В данной статье мы будем рассматривать понятие осевой симметрии в трехмерном пространстве. Случай осевой симметрии на плоскость был рассмотрен нами в другой статье.
Понятие движения
Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.
Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.
Введем теперь, непосредственно, определение движения.
Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.
Пример – рисунок 1.
Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.
При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.
При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.
Осевая симметрия
Перед тем, как определить понятие осевой симметрии, введем понятие симметричности точки относительно какой-либо оси.
Точки $X$ и $X_1$ будем называть симметричными относительно какой-либо оси $a$, если прямая $(XX_1)$ будет перпендикулярна оси $a$ и при этом ось $a$ будет делить отрезок $[XX_1]$ пополам (рис. 2).
Осевой симметрией фигуры относительно оси будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно этой оси каждой точке начальной фигуры.
Введем следующую теорему:
Осевая симметрия – движение.
Доказательство.
Пусть нам даны две точки $Z$ и $Z'$ – симметричные относительно оси $l$. Построит систему координат $O_{xyz}$, где ось $Oz$ – это прямая $l$. Пусть точка $Z$ в этой системе координат имеет координаты $(α,β,γ)$, а точка $Z'$ имеет координаты $(α',β',γ')$. Так как эти точки симметричны относительно оси $Oz$, то эта ось будет делить отрезок $[ZZ']$ пополам, то есть
$\frac{α+α'}{2}=0$, $\frac{β+β'}{2}=0$
следовательно
$α=-α'$, $β=-β'$
Так как ось $Oz$ совпадает с нашей осью симметрии, то $γ=γ'$.
Возьмем две произвольные точки $X$ и $Y$ с координатами $(α_1,β_1,γ_1)$ и $(α_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно
$d=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2 }$
По формулам выше, получим, что симметричные им точки $X'$ и $Y'$ имеют координаты $(-α_1,-β_1,γ_1)$ и $(-α_2,-β_2,γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно
$d'=\sqrt{(-α_1+α_2 )^2+(-β_1+β_2 )^2+(γ_1-γ_2 )^2}=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}=d$
То есть осевая симметрия сохраняет расстояния, что и доказывает нашу теорему.
С понятием осевой симметрии также связано понятие симметричной фигуры:
Фигуру будем называть симметричной относительно какой-то своей оси, если при такой осевой симметрии фигура перейдет в себя (рис. 3).
Пример задачи
Постройте осевую симметрию тетраэдра, относительно оси $l$, изображенных на рисунке 4.
Решение.
Для построения такой осевой симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет перпендикулярна к оси $l$ (рис. 5).
Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка $A$ перейдет в такую точку $A'$, которая будет принадлежать прямой $a$. Точка $B$ перейдет в такую точку $B'$, которая будет принадлежать прямой $b$. Точка $C$ перейдет в такую точку $C'$, которая будет принадлежать прямой $c$. Аналогично, и точка $D$ перейдет в такую точку $D'$, которая будет принадлежать прямой $k$. Причем, при этом первоначальная ось $l$ делит отрезки $[AA']$, $[BB']$, $[CC']$, $[DD']$ пополам.
Таким образом, осевая симметрия этого тетраэдра изображена на рисунке 6.
