Сложение обыкновенных дробей
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Рассмотрим пример:
Пусть на тарелке лежало $\frac{3}{8}$ доли яблока, к ним положили еще $\frac{2}{8}$ доли того же яблока. Это можно записать следующим образом: $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$. В результате на тарелке оказалось $3+2=5$ восьмых долей яблока, то есть $\frac{5}{8}$ долей. То есть результатом сложения обыкновенных дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{8}$ является обыкновенная дробь $\frac{5}{8}$.
Пример дает возможность сделать вывод, что в результате сложения дробей с одинаковыми знаменателями получается дробь с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей, и знаменателем, равным знаменателю исходных дробей.
Таким образом, можно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:
при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним:
Сложить обыкновенные дроби $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$.
Решение.
Т.к. знаменатели у складываемых дробей равны, в результате сложения знаменатель дроби будет $18$, а числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть $7+4=11$. Таким образом, сложение дробей $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$ дает дробь $\frac{11}{18}$.
Краткое решение: $\frac{7}{18}+\frac{4}{18}=\frac{11}{18}$.
Ответ: $\frac{11}{18}$.
После выполнения действий над дробями нужно проверить результат и, при необходимости, преобразовать его следующим образом:
- В результате сложения дробей получили сократимую дробь -- необходимо выполнить сокращение дроби.
- В результате получили неправильную дробь -- необходимо выделить целую часть.
Вычислить сумму обыкновенных дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$.
Решение.
Применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:
\[\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}\]Получили сократимую дробь, т.к. числитель и знаменатель делятся на $5$ (по признаку делимости на $5$). Сократим полученную дробь:
\[\frac{5}{10}=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{1}{5}\]Итак, в результате сложения дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$ получили $\frac{1}{5}$.
Краткое решение: $\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.
Выполнить сложение обыкновенных дробей $\frac{52}{69}$ и $\frac{77}{69}$.
Решение.
Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}\]Проверим дробь на сократимость. Т.к. и числитель, и знаменатель соответствуют признаку делимости на $3$, полученная дробь может быть сокращена на число $3$. Получим:
\[\frac{129}{69}=\frac{129:3}{69:3}=\frac{43}{23}\]Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{43}{23}$, получим $1\frac{20}{23}$.
Краткое решение:
\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}=\frac{43}{23}=1\frac{20}{23}\]Ответ: $1\frac{20}{23}$.
Сложение дробей с разными знаменателями
Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями, для чего их приводят к общему знаменателю.
Правило сложения дробей с разными знаменателями:
-
Складываемые дроби привести к общему знаменателю (чаще всего, к наименьшему общему знаменателю).
-
Выполнить сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Сложить обыкновенные дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{21}$.
Решение.
Складываемые дроби имеют разные знаменатели, поэтому приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное НОК чисел $7$ и $21$ равно $21$: $НОК\left(7,\ \ 21\right)=21$.
Найдем соответствующие дополнительные множители: $21:7=3.$ Получим
\[\frac{6}{7}=\frac{6\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{18}{21}\]Сложим дроби:
\[\frac{18}{21}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}\]В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:
\[\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]Краткое решение:
\[\frac{6}{7}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]Ответ: $1\frac{1}{21}$.
Вычитание обыкновенных дробей
Действие вычитания дробей является обратным сложению.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Рассмотрим пример:
Пусть на тарелке лежало $\frac{6}{8}$ долей яблока. $\frac{3}{8}$ доли съели. Это можно записать как $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}$. В результате на тарелке осталось $6-3=3$ восьмых доли яблока, т.е. $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$.
Таким образом, можно сформулировать правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числители вычитаются, а знаменатель остается прежним:
Выполнитm вычитание обыкновенных дробей $\frac{13}{18}$ и $\frac{5}{18}$ .
Решение.
У вычитаемых дробей знаменатели одинаковые. Числитель уменьшаемой дроби равен $13$, а числитель вычитаемой дроби равен $5$. Разность числителей равна $13-5=8$. Пользуясь правилом вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, запишем:
\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}\]В результате вычитания получилась сокращаемая дробь (по признаку деления на $2$. Сократим получившуюся дробь на $2$:
\[\frac{8}{18}=\frac{8:2}{18:2}=\frac{4}{9}\]Краткое решение:
\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\]Ответ: $\frac{4}{9}$
Вычитание дробей с разными знаменателями
При вычитании дробей с разными знаменателями их сводят к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, для чего дроби приводят к общему знаменателю.
Правило вычитания дробей с разными знаменателями:
-
Привести дроби к общему знаменателю (чаще всего к наименьшему общему знаменателю).
-
Вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Вычесть из обыкновенной дроби $\frac{4}{9}$ обыкновенную дробь $\frac{5}{12}$.
Решение.
У вычитаемых дробей знаменатели разные, поэтому воспользуемся правилом вычитания дробей с разными знаменателями:
-
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю: $НОК\left(9,12\right)=36$.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{4}{9}$ будет число $36:9=4$, а дополнительный множитель дроби $\frac{5}{12}$ будет число $36:12=3$. Получим:
\[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{4\cdot 4}{9\cdot 4}-\frac{5\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}\] -
Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:
\[\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]
Краткое решение:
\[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]
