Сложение дробей, вычитание дробей

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Сложение обыкновенных дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 1

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{3}{8}$ доли яблока, к ним положили еще $\frac{2}{8}$ доли того же яблока. Это можно записать следующим образом: $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$ . В результате на тарелке оказалось $3+2=5$ восьмых долей яблока, то есть $\frac{5}{8}$ долей. То есть результатом сложения обыкновенных дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{8}$ является обыкновенная дробь $\frac{5}{8}$ .

Пример дает возможность сделать вывод, что в результате сложения дробей с одинаковыми знаменателями получается дробь с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей, и знаменателем, равным знаменателю исходных дробей.

Таким образом, можно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним:

Пример 2

Сложить обыкновенные дроби $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$ .

Решение.

Т.к. знаменатели у складываемых дробей равны, в результате сложения знаменатель дроби будет $18$ , а числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть $7+4=11$ . Таким образом, сложение дробей $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$ дает дробь $\frac{11}{18}$ .

Краткое решение: $\frac{7}{18}+\frac{4}{18}=\frac{11}{18}$ .

Ответ: $\frac{11}{18}$ .

После выполнения действий над дробями нужно проверить результат и, при необходимости, преобразовать его следующим образом:

В результате сложения дробей получили сократимую дробь -- необходимо выполнить сокращение дроби.
В результате получили неправильную дробь -- необходимо выделить целую часть.

«Сложение дробей, вычитание дробей» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 3

Вычислить сумму обыкновенных дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$ .

Решение.

Применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}$

Получили сократимую дробь, т.к. числитель и знаменатель делятся на $5$ (по признаку делимости на $5$ ). Сократим полученную дробь:

$\frac{5}{10}=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{1}{5}$

Итак, в результате сложения дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$ получили $\frac{1}{5}$ .

Краткое решение: $\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{5}$ .

Ответ: $\frac{1}{5}$ .

Пример 4

Выполнить сложение обыкновенных дробей $\frac{52}{69}$ и $\frac{77}{69}$ .

Решение.

Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}$

Проверим дробь на сократимость. Т.к. и числитель, и знаменатель соответствуют признаку делимости на $3$ , полученная дробь может быть сокращена на число $3$ . Получим:

$\frac{129}{69}=\frac{129:3}{69:3}=\frac{43}{23}$

Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{43}{23}$ , получим $1\frac{20}{23}$ .

Краткое решение:

$\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}=\frac{43}{23}=1\frac{20}{23}$

Ответ: $1\frac{20}{23}$ .

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями, для чего их приводят к общему знаменателю.

Правило сложения дробей с разными знаменателями:

Складываемые дроби привести к общему знаменателю (чаще всего, к наименьшему общему знаменателю).
Выполнить сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 5

Сложить обыкновенные дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{21}$ .

Решение.

Складываемые дроби имеют разные знаменатели, поэтому приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное НОК чисел $7$ и $21$ равно $21$ : $НОК\left(7,\ \ 21\right)=21$ .

Найдем соответствующие дополнительные множители: $21:7=3.$ Получим

$\frac{6}{7}=\frac{6\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{18}{21}$

Сложим дроби:

$\frac{18}{21}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}$

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

$\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}$

Краткое решение:

$\frac{6}{7}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}$

Ответ: $1\frac{1}{21}$ .

Вычитание обыкновенных дробей

Действие вычитания дробей является обратным сложению.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{6}{8}$ долей яблока. $\frac{3}{8}$ доли съели. Это можно записать как $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}$ . В результате на тарелке осталось $6-3=3$ восьмых доли яблока, т.е. $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$ .

Таким образом, можно сформулировать правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числители вычитаются, а знаменатель остается прежним:

Пример 6

Выполнитm вычитание обыкновенных дробей $\frac{13}{18}$ и $\frac{5}{18}$ .

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели одинаковые. Числитель уменьшаемой дроби равен $13$ , а числитель вычитаемой дроби равен $5$ . Разность числителей равна $13-5=8$ . Пользуясь правилом вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, запишем:

$\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}$

В результате вычитания получилась сокращаемая дробь (по признаку деления на $2$ . Сократим получившуюся дробь на $2$ :

$\frac{8}{18}=\frac{8:2}{18:2}=\frac{4}{9}$

Краткое решение:

$\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

Вычитание дробей с разными знаменателями

При вычитании дробей с разными знаменателями их сводят к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, для чего дроби приводят к общему знаменателю.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями:

Привести дроби к общему знаменателю (чаще всего к наименьшему общему знаменателю).
Вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 7

Вычесть из обыкновенной дроби $\frac{4}{9}$ обыкновенную дробь $\frac{5}{12}$ .

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели разные, поэтому воспользуемся правилом вычитания дробей с разными знаменателями:

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю: $НОК\left(9,12\right)=36$ .

Дополнительный множитель для дроби $\frac{4}{9}$ будет число $36:9=4$ , а дополнительный множитель дроби $\frac{5}{12}$ будет число $36:12=3$ . Получим:

$\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{4\cdot 4}{9\cdot 4}-\frac{5\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}$
Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}$