Характеристика уравнения Бернулли
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартный вид y′+P(x)⋅y=Q(x)⋅yn, где P(x) и Q(x) — непрерывные функции, а n — некоторое число, называется дифференциальным уравнением Якоба Бернулли.
При этом на число n накладываются ограничения:
- n≠0, так как при n=0 дифференциальное уравнение представляет собой линейное неоднородное, и какой-то иной специальный метод решения в этом случае не нужен;
- n≠1, так как если мы имеем в качестве n единицу, дифференциальное уравнение представляет собой линейное однородное, метод решения которого также известен.
Кроме того, не рассматривается специально тривиальное решение дифференциального уравнения Бернулли y=0.
Не следует путать дифференциальное уравнение математика Якоба Бернулли с законом Бернулли, названным в честь дяди его племянника, известного как Даниил Бернулли.
Даниил Бернулли — физик, наиболее известная найденная им закономерность состоит в описании взаимосвязи скорости потока жидкости и давления. Закон Бернулли также применим и для ламинарных течений газа. В целом он применяется в гидравлике и гидродинамике.
Решение уравнения Бернулли сведением к линейному неоднородному
Основной метод решения дифференциального уравнения Бернулли состоит в том, что посредством преобразований оно приводится к линейному неоднородному. Эти преобразования следующие:
- Умножаем уравнение на число y−n и получаем y−n⋅y′+P(x)⋅y1−n=Q(x).
- Применяем замену z=y1−n и дифференцируем это равенство как сложную степенную функцию; получаем z′=(1−n)⋅y−n⋅y′, откуда z′1−n=y−n⋅y′.
- Подставляем значения y1−n и y−n⋅y′ в данное дифференциальное уравнение и получаем z′1−n+P(x)⋅z=Q(x) или z′+(1−n)⋅P(x)⋅z=(1−n)⋅Q(x).
Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции z, которое решаем следующим образом:
- Вычисляем интеграл I1=∫(1−n)⋅P(x)⋅dx, записываем частное решение в виде v(x)=e−I1, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для v(x) простейший ненулевой вариант.
- Вычисляем интеграл I2=∫(1−n)⋅Q(x)v(x)⋅dx, посля чего записываем выражение в виде u(x,C)=I2+C.
- Записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде z=u(x,C)⋅v(x).
- Возвращаемся к функции y, заменяя z на y1−n, и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения dydx+yx=y2⋅(4−x2). Записать частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=1 при x=1.
В данном случае имеем дифференциальное уравнение Бернулли, представленное в стандартном виде.
При этом n=2, P(x)=1x, Q(x)=4−x2.
Представляем его в форме относительно замены z:
z′+(1−2)⋅1x⋅z=(1−2)⋅(4−x2) или z′−1x⋅z=−(4−x2).
Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции z, которое решаем описанным выше методом.
Вычисляем интеграл I1=∫(1−n)⋅P(x)⋅dx.
Имеем I1=∫(1−2)⋅1x⋅dx=−ln|x|.
Записываем частное решение в виде v(x)=e−I1 и выполняем упрощающие преобразования: v(x)=eln|x|; lnv(x)=ln|x|; v(x)=|x|.
Выбираем для v(x) простейший ненулевой вариант: v(x)=x.
Вычисляем интеграл I2=∫(1−n)⋅Q(x)v(x)⋅dx.
Имеем:
Записываем выражение в виде u(x,C)=I2+C, то есть u(x,C)=x22−4⋅ln|x|+C.
Окончательно записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции z в виде z=u(x,C)⋅v(x), то есть z=x32−4⋅x⋅ln|x|+C⋅x.
Теперь возвращаемся к функции y, заменяя z на y1−n:
y1−2=x32−4⋅x⋅ln|x|+C⋅x или 1y=x32−4⋅x⋅ln|x|+C⋅x.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения Бернулли, записанное в неявной форме.
Для поиска частного решения используем данное начальное условие y=1 при x=1:
Следовательно, частное решение имеет вид: 1y=x32−4⋅x⋅ln|x|+x2.
Решение дифференциального уравнения Бернулли методом подстановки
Второе возможное решение уравнения Бернулли состоит в методе подстановки.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения y′+yx=y2⋅(4−x2) методом подстановки.
Применяем подстановку y=u⋅v.
После дифференцирования получаем:
Функцию v(x) находим из уравнения v′+vx=0, для этого переносим второе слагаемое в правую часть.
Получаем:
dvdx=−vx;
разделяем переменные dvv=−dxx;
интегрируем ln|v|=−ln|x|, откуда v=1x.
Функцию u(x) находим из уравнения u′⋅1x=u2⋅1x2⋅(4−x2), в котором учтено v=1x и v′+vx=0.
После простых преобразований получаем: u′=u2⋅1x⋅(4−x2).
Разделяем переменные: duu2=1x⋅(4−x2)⋅dx.
Интегрируем: −1u=4⋅ln|x|−x22+C или 1u=x22−4⋅ln|x|+C.
Возвращаемся к старой переменной. Учитываем, что y=u⋅v или y=u⋅1x, откуда u=x⋅y.
Получаем общее решение данного дифференциального уравнения: 1y=x32−4⋅x⋅ln|x|+C⋅x.