Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Уравнение Бернулли

Характеристика уравнения Бернулли

Определение 1

Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартный вид y+P(x)y=Q(x)yn, где P(x) и Q(x)непрерывные функции, а n — некоторое число, называется дифференциальным уравнением Якоба Бернулли.

При этом на число n накладываются ограничения:

  • n0, так как при n=0 дифференциальное уравнение представляет собой линейное неоднородное, и какой-то иной специальный метод решения в этом случае не нужен;
  • n1, так как если мы имеем в качестве n единицу, дифференциальное уравнение представляет собой линейное однородное, метод решения которого также известен.

Кроме того, не рассматривается специально тривиальное решение дифференциального уравнения Бернулли y=0.

Не следует путать дифференциальное уравнение математика Якоба Бернулли с законом Бернулли, названным в честь дяди его племянника, известного как Даниил Бернулли.

Замечание 1

Даниил Бернулли — физик, наиболее известная найденная им закономерность состоит в описании взаимосвязи скорости потока жидкости и давления. Закон Бернулли также применим и для ламинарных течений газа. В целом он применяется в гидравлике и гидродинамике.

Решение уравнения Бернулли сведением к линейному неоднородному

Основной метод решения дифференциального уравнения Бернулли состоит в том, что посредством преобразований оно приводится к линейному неоднородному. Эти преобразования следующие:

  1. Умножаем уравнение на число yn и получаем yny+P(x)y1n=Q(x).
  2. Применяем замену z=y1n и дифференцируем это равенство как сложную степенную функцию; получаем z=(1n)yny, откуда z1n=yny.
  3. Подставляем значения y1n и yny в данное дифференциальное уравнение и получаем z1n+P(x)z=Q(x) или z+(1n)P(x)z=(1n)Q(x).
«Уравнение Бернулли» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции z, которое решаем следующим образом:

  1. Вычисляем интеграл I1=(1n)P(x)dx, записываем частное решение в виде v(x)=eI1, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для v(x) простейший ненулевой вариант.
  2. Вычисляем интеграл I2=(1n)Q(x)v(x)dx, посля чего записываем выражение в виде u(x,C)=I2+C.
  3. Записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде z=u(x,C)v(x).
  4. Возвращаемся к функции y, заменяя z на y1n, и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения dydx+yx=y2(4x2). Записать частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=1 при x=1.

В данном случае имеем дифференциальное уравнение Бернулли, представленное в стандартном виде.

При этом n=2, P(x)=1x, Q(x)=4x2.

Представляем его в форме относительно замены z:

z+(12)1xz=(12)(4x2) или z1xz=(4x2).

Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции z, которое решаем описанным выше методом.

Вычисляем интеграл I1=(1n)P(x)dx.

Имеем I1=(12)1xdx=ln|x|.

Записываем частное решение в виде v(x)=eI1 и выполняем упрощающие преобразования: v(x)=eln|x|; lnv(x)=ln|x|; v(x)=|x|.

Выбираем для v(x) простейший ненулевой вариант: v(x)=x.

Вычисляем интеграл I2=(1n)Q(x)v(x)dx.

Имеем:

Записываем выражение в виде u(x,C)=I2+C, то есть u(x,C)=x224ln|x|+C.

Окончательно записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции z в виде z=u(x,C)v(x), то есть z=x324xln|x|+Cx.

Теперь возвращаемся к функции y, заменяя z на y1n:

y12=x324xln|x|+Cx или 1y=x324xln|x|+Cx.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения Бернулли, записанное в неявной форме.

Для поиска частного решения используем данное начальное условие y=1 при x=1:

Следовательно, частное решение имеет вид: 1y=x324xln|x|+x2.

Решение дифференциального уравнения Бернулли методом подстановки

Второе возможное решение уравнения Бернулли состоит в методе подстановки.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения y+yx=y2(4x2) методом подстановки.

Применяем подстановку y=uv.

После дифференцирования получаем:

Функцию v(x) находим из уравнения v+vx=0, для этого переносим второе слагаемое в правую часть.

Получаем:

dvdx=vx;

разделяем переменные dvv=dxx;

интегрируем ln|v|=ln|x|, откуда v=1x.

Функцию u(x) находим из уравнения u1x=u21x2(4x2), в котором учтено v=1x и v+vx=0.

После простых преобразований получаем: u=u21x(4x2).

Разделяем переменные: duu2=1x(4x2)dx.

Интегрируем: 1u=4ln|x|x22+C или 1u=x224ln|x|+C.

Возвращаемся к старой переменной. Учитываем, что y=uv или y=u1x, откуда u=xy.

Получаем общее решение данного дифференциального уравнения: 1y=x324xln|x|+Cx.

Дата последнего обновления статьи: 26.11.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Уравнение Бернулли"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant