Метод исключения
Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), являющаяся линейной однородной с постоянными коэффициентами, имеет следующий вид: $\left\{\begin{array}{c} {y'_{1} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {y'_{2} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {y'_{n} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $.
Здесь $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ -- искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ -- заданные действительные числа.
Для решения СОДУ такого вида применим метод исключения, состоящий в преобразовании её в одно дифференциальное уравнение (ДУ) $n$-го порядка, которое затем решим каким-либо из известных методов.
Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =2\cdot y_{1} +y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +4\cdot y_{2} } \end{array}\right. $.
Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2} $.
Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =\frac{dy_{1} }{dx} -2\cdot y_{1} $.
Шаг 2. Подставляем $y_{2} $ во второе уравнение:
\[\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +4\cdot \left(\frac{dy_{1} }{dx} -2\cdot y_{1} \right); \frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -5\cdot y_{1} .\]Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{dy_{2} }{dx} $.
Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:
\[\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +4\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -5\cdot y_{1} ; \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -6\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +5\cdot y_{1} =0. \]Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
- характеристическое уравнение $k^{2} -6\cdot k+5=0$;
- корни характеристического уравнения $k_{1} =1$, $k_{2} =5$ -- действительные, разные;
- искомая функция $y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot e^{5\cdot x} $.
Шаг 6. Находим функцию $y_{2} $:
- производная $\frac{dy_{1} }{dx} =C_{1} \cdot e^{x} +5\cdot C_{2} \cdot e^{5\cdot x} $;
- результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:
Общее решение данной системы:
\[y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot e^{5\cdot x} ; y_{2} =-C_{1} \cdot e^{x} +3\cdot C_{2} \cdot e^{5\cdot x} .\]Решить систему ДУ
$\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =3\cdot y_{1} -y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} -y_{2} } \end{array}\right. $.
Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2} $.
Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =-\frac{dy_{1} }{dx} +3\cdot y_{1} $.
Шаг 2. Подставляем $y_{2} $ во второе уравнение:
\[\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot y_{1} ; \frac{dy_{2} }{dx} =\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} .\]Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =3\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -\frac{dy_{2} }{dx} $.
Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:
\[\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =3\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -\frac{dy_{1} }{dx} -y_{1} ; \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} =0. \]Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
- характеристическое уравнение $k^{2} -2\cdot k+1=0$;
- корни характеристического уравнения $k_{1} =1$, $k_{2} =1$ -- действительные, равные;
- искомая функция $y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{x} $.
Шаг 6. Находим функцию $y_{2} $:
- производная $\frac{dy_{1} }{dx} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot \left(e^{x} +x\cdot e^{x} \right)$;
- результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:
Общее решение данной системы:
\[y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{x} ; y_{2} =2\cdot C_{1} \cdot e^{x} -C_{2} \cdot e^{x} +2\cdot C_{2} \cdot x\cdot e^{x} .\]Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =y_{1} -3\cdot y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +y_{2} } \end{array}\right. $.
Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2} $.
Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} \right)$.
Шаг 2. Подставляем $y_{2} $ во второе уравнение:
\[\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} \right); \frac{dy_{2} }{dx} =-\frac{1}{3} \cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{10}{3} \cdot y_{1} .\]Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot \frac{dy_{2} }{dx} $.
Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:
\[\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot \left(-\frac{1}{3} \cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{10}{3} \cdot y_{1} \right); \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +10\cdot y_{1} =0. \]Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
- характеристическое уравнение $k^{2} -2\cdot k+10=0$;
- корни характеристического уравнения $k_{1} =1+3\cdot i$, $k_{2} =1-3\cdot i$ -- комплексные;
- искомая функция $y_{1} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)$.
Шаг 6. Находим функцию $y_{2} $:
- производная
- результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1: \[y_{2} =\frac{1}{3} \cdot e^{x} \cdot \left(-C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)-C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)+\] \[+\frac{1}{3} \cdot e^{x} \cdot \left(3\cdot C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)-3\cdot C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right)+\] \[+\frac{1}{3} \cdot e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)=\] \[=e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)-C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right).\]
$\frac{dy_{1} }{dx} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)$+ \[+e^{x} \cdot \left(-3\cdot C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)+3\cdot C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right);\]
Общее решение данной системы:
\[y_{1} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right);\] \[y_{2} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)-C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right).\]
