Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =2\cdot y_{1} +y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +4\cdot y_{2} } \end{array}\right.$.

Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2}$.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2}$: $y_{2} =\frac{dy_{1} }{dx} -2\cdot y_{1}$.

Шаг 2. Подставляем $y_{2}$ во второе уравнение:

$$\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +4\cdot \left(\frac{dy_{1} }{dx} -2\cdot y_{1} \right); \frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -5\cdot y_{1} .$$

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{dy_{2} }{dx}$.

Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:

$$\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +4\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -5\cdot y_{1} ; \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -6\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +5\cdot y_{1} =0.$$

Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. характеристическое уравнение $k^{2} -6\cdot k+5=0$;
2. корни характеристического уравнения $k_{1} =1$, $k_{2} =5$ -- действительные, разные;
3. искомая функция $y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot e^{5\cdot x}$.

Шаг 6. Находим функцию $y_{2}$:

1. производная $\frac{dy_{1} }{dx} =C_{1} \cdot e^{x} +5\cdot C_{2} \cdot e^{5\cdot x}$;
2. результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:

$$y_{2} =C_{1} \cdot e^{x} +5\cdot C_{2} \cdot e^{5\cdot x} -2\cdot \left(C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot e^{5\cdot x} \right)=-C_{1} \cdot e^{x} +3\cdot C_{2} \cdot e^{5\cdot x} .$$

Общее решение данной системы:

$$y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot e^{5\cdot x} ; y_{2} =-C_{1} \cdot e^{x} +3\cdot C_{2} \cdot e^{5\cdot x} .$$

Решить систему ДУ

$\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =3\cdot y_{1} -y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} -y_{2} } \end{array}\right.$.

Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2}$.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2}$: $y_{2} =-\frac{dy_{1} }{dx} +3\cdot y_{1}$.

Шаг 2. Подставляем $y_{2}$ во второе уравнение:

$$\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot y_{1} ; \frac{dy_{2} }{dx} =\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} .$$

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =3\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -\frac{dy_{2} }{dx}$.

Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:

$$\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =3\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -\frac{dy_{1} }{dx} -y_{1} ; \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} =0.$$

Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. характеристическое уравнение $k^{2} -2\cdot k+1=0$;
2. корни характеристического уравнения $k_{1} =1$, $k_{2} =1$ -- действительные, равные;
3. искомая функция $y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{x}$.

Шаг 6. Находим функцию $y_{2}$:

1. производная $\frac{dy_{1} }{dx} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot \left(e^{x} +x\cdot e^{x} \right)$;
2. результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:

$$y_{2} =-C_{1} \cdot e^{x} -C_{2} \cdot \left(e^{x} +x\cdot e^{x} \right)+3\cdot \left(C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{x} \right)=$$ $$=-C_{1} \cdot e^{x} -C_{2} \cdot e^{x} -C_{2} \cdot x\cdot e^{x} +3\cdot C_{1} \cdot e^{x} +3\cdot C_{2} \cdot x\cdot e^{x} =$$ $$=2\cdot C_{1} \cdot e^{x} -C_{2} \cdot e^{x} +2\cdot C_{2} \cdot x\cdot e^{x} .$$

Общее решение данной системы:

$$y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{x} ; y_{2} =2\cdot C_{1} \cdot e^{x} -C_{2} \cdot e^{x} +2\cdot C_{2} \cdot x\cdot e^{x} .$$

Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =y_{1} -3\cdot y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +y_{2} } \end{array}\right.$.

Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2}$.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2}$: $y_{2} =\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} \right)$.

Шаг 2. Подставляем $y_{2}$ во второе уравнение:

$$\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} \right); \frac{dy_{2} }{dx} =-\frac{1}{3} \cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{10}{3} \cdot y_{1} .$$

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot \frac{dy_{2} }{dx}$.

Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:

$$\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot \left(-\frac{1}{3} \cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{10}{3} \cdot y_{1} \right); \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +10\cdot y_{1} =0.$$

Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. характеристическое уравнение $k^{2} -2\cdot k+10=0$;
2. корни характеристического уравнения $k_{1} =1+3\cdot i$, $k_{2} =1-3\cdot i$ -- комплексные;
3. искомая функция $y_{1} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)$.

Шаг 6. Находим функцию $y_{2}$:

1. производная

$\frac{dy_{1} }{dx} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)$+

$$+e^{x} \cdot \left(-3\cdot C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)+3\cdot C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right);$$
2. результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:
$$y_{2} =\frac{1}{3} \cdot e^{x} \cdot \left(-C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)-C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)+$$ $$+\frac{1}{3} \cdot e^{x} \cdot \left(3\cdot C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)-3\cdot C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right)+$$ $$+\frac{1}{3} \cdot e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)=$$ $$=e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)-C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right).$$

Общее решение данной системы:

$$y_{1} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right);$$ $$y_{2} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)-C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right).$$