Однородные уравнения первого порядка

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие однородного уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в стандартном виде $y'=f\left(x,y\right)$ , является однородным, если его правая часть зависит не просто от переменных $x$ и $y$ , а от отношения функции $y$ к независимой переменной $x$ , то есть $f (x,y) = f (x/y)$ .

Зависимость функции от отношения $\frac{y}{x}$ следует понимать так, что функция не изменяется при замене в ней данного отношення на любое другое, имеющее вид $\frac{t\cdot y}{t\cdot x}$ . Например, именно такое свойство имеет функция $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x}$ . Действительно, $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x} =\frac{t\cdot y}{t\cdot x} \cdot \cos \frac{t\cdot y}{t\cdot x}$ . После замены переменных $x$ и $y$ на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно и последующего сокращения на $t$ данная функция приобретает свой исходный вид. В этом и состоит основное свойство однородного дифференциального уравнения.

Общий метод решения

Однородное дифференциальное уравнение $y'=f (x/y)$ решают посредством применения замены $\frac{y}{x} =u$ , где $u=u\left(x\right)$ -- новая неизвестная функция. Идея состоит в том, что найдя функцию $u$ и умножив её на $x$ , можно будет найти и нужную функцию $y$ .

Представим замену в виде $y=u\cdot x$ и продифференцируем её: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u\cdot \frac{dx}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u$ . Подставим $y$ и $\frac{dy}{dx}$ в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot x+u=f\left(u\right)$ .

Полученное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, после элементарных преобразований его можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{f\left(u\right)-u}{x}$ , где $f_{1} \left(x\right)=\frac{1}{x}$ -- функция, зависящая только от $x$ , и $f_{2} \left(u\right)=f\left(u\right)-u$ -- функция, зависящая только от $u$ . Применим к этому дифференциальному уравнению метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

«Однородные уравнения первого порядка» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Сначала вычисляем интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx$ . Получаем: $I_{1} =\int \frac{1}{x} \cdot dx=\ln \left|x\right|$ . Теперь записываем интеграл $I_{2} =\int \frac{du}{f_{2} \left(u\right)}$ . Получаем: $I_{2} =\int \frac{du}{f\left(u\right)-u}$ . Общее решение записываем в форме $I_{2} =I_{1} +C$ , то есть $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\right|+C$ . Правую часть полученного решения можно упростить, если представить произвольную постоянну в более удобной форме $\ln \left|C\right|$ . При этом получим: $\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$ .

Окончательно получаем: $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\cdot C\right|$ . После вычисления интеграла $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u}$ и замены $u$ на $\frac{y}{x}$ общее решение данного однородного дифференциального уравнения будет найдено.

Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:

В первую очередь убеждаемся, что решаемое дифференциальное уравнение является однородным. Для этого нужно представить его в стандартном виде $y'=f\left(x,y\right)$ , после чего в функции $f\left(x,y\right)$ переменные $x$ и $y$ заменить на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно. Если после элементарных тождественных преобразований удается вернуться к той же функции $f\left(x,y\right)$ , то данное дифференциальное уравнение является однородным и $f (x,y) = f (x/y)$ . Если добиться этого оказалось невозможным, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
Находим $f\left(u\right)$ , выполнив для функции $f (x/y)$ замену $y=u\cdot x$ , после чего записываем функцию $f\left(u\right)-u$ .
Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u}$ и записываем общее решение в виде $I=\ln \left|x\cdot C\right|$ .
Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x}$ и проводим упрощающие тождественные преобразования.
Находим особые решения, которые могли быть утрачены при разделении переменных.

Решение типичных задач

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения $y'=2+\frac{y}{x}$ .

По внешнему виду данного дифференциального уравнения его можно сразу отнести к однородному.

Для функции $f (x/y)=2+\frac{y}{x}$ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=2+\frac{u\cdot x}{x} =2+u$ . Записываем функцию $f\left(u\right)-u=2+u-u=2$ .

Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\int \frac{du}{2} =\frac{u}{2}$ .

Записываем общее решение в виде $\frac{u}{2} =\ln \left|x\cdot C\right|$ .

Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x}$ и получаем $\frac{y}{2\cdot x} =\ln \left|x\cdot C\right|$ или $y=2\cdot x\cdot \ln \left|x\cdot C\right|$ .

Так как $f\left(u\right)-u=2$ , то особых решений данное дифференциальное уравнение не имеет.

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения $x\cdot y'=5\cdot y+x$ .

Приводим данное дифференциальное уравнение к стандартному виду $y'=5\cdot \frac{y}{x} +1$ , после чего можно сделать вывод, что оно является однородным.

Для функции $f (x/y)=5\cdot \frac{y}{x} +1$ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=5\cdot \frac{u\cdot x}{x} +1=5\cdot u+1$ .

Записываем функцию $f\left(u\right)-u=5\cdot u+1-u=4\cdot u+1$ .

Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\int \frac{du}{4\cdot u+1} =\frac{1}{4} \cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|$ .

Записываем общее решение в виде $\frac{1}{4} \cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$ , откуда $\ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|^{4}$ ; $4\cdot u+1=x^{4} \cdot C^{4}$ или просто $4\cdot u+1=C\cdot x^{4}$ .

Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x}$ и получаем $4\cdot \frac{y}{x} +1=C\cdot x^{4}$ .

Таким образом, общее решение имеет вид: $4\cdot y+x=C\cdot x^{5}$ .

Решая уравнение $f\left(u\right)-u=4\cdot u+1=0$ или $4\cdot \frac{y}{x} +1=0$ , находим особое решение $y=-\frac{x}{4}$ . Проверка подстановкой в данное дифференциальное уравнение $x\cdot \left(-\frac{1}{4} \right)=5\cdot \left(-\frac{x}{4} \right)+x$ показывает, что особое решение $y=-\frac{x}{4}$ удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.

Однако это же решение можно получить из общего решения $4\cdot y+x=C\cdot x^{5}$ , положив в нём $C=0$ .

Таким образом, окончательный результат: $4\cdot y+x=C\cdot x^{5}$ .

Уравнения, приводящиеся к однородным

При определенных условиях дифференциальное уравнение вида $y'=\frac{a_{1} \cdot x+b_{1} \cdot y+c_{1} }{a_{2} \cdot x+b_{2} \cdot y+c_{2} }$ , в котором $a_{1}$ , $b_{1}$ , $c_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{2}$ , $c_{2}$ -- постоянные коэффициенты, может быть приведено к однородному.

Если $\Delta \equiv \left|\begin{array}{cc} {a_{1} } & {b_{1} } \\ {a_{2} } & {b_{2} } \end{array}\right|\ne 0$ , то приведение его к однородному достигается с помощью замен $x=m+\alpha$ и $y=n+\beta$ , где постоянные $\alpha$ и $\beta$ следует выбрать как результат решения системы $\left\{\begin{array}{c} {a_{1} \cdot \alpha +b_{1} \cdot \beta =-c_{1} } \\ {a_{2} \cdot \alpha +b_{2} \cdot \beta =-c_{2} } \end{array}\right.$ .

Так как $\Delta \ne 0$ , то эта система имеет единственное решение, которое проще всего найти по формулам Крамера.

Используя найденные выражения для $x=m+\alpha$ и $y=n+\beta$ , получим дифференциальное уравнение $\frac{dn}{dm} =\frac{a_{1} \cdot m+b_{1} \cdot n}{a_{2} \cdot m+b_{2} \cdot n}$ , которое является однородным.