Понятие однородного уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в стандартном виде $y'=f\left(x,y\right)$, является однородным, если его правая часть зависит не просто от переменных $x$ и $y$, а от отношения функции $y$ к независимой переменной $x$, то есть $ f (x,y) = f (x/y)$.
Зависимость функции от отношения $\frac{y}{x} $ следует понимать так, что функция не изменяется при замене в ней данного отношення на любое другое, имеющее вид $\frac{t\cdot y}{t\cdot x} $. Например, именно такое свойство имеет функция $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x} $. Действительно, $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x} =\frac{t\cdot y}{t\cdot x} \cdot \cos \frac{t\cdot y}{t\cdot x} $. После замены переменных $x$ и $y$ на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно и последующего сокращения на $t$ данная функция приобретает свой исходный вид. В этом и состоит основное свойство однородного дифференциального уравнения.
Общий метод решения
Однородное дифференциальное уравнение $y'=f (x/y)$ решают посредством применения замены $\frac{y}{x} =u$, где $u=u\left(x\right)$ -- новая неизвестная функция. Идея состоит в том, что найдя функцию $u$ и умножив её на $x$, можно будет найти и нужную функцию $y$.
Представим замену в виде $y=u\cdot x$ и продифференцируем её: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u\cdot \frac{dx}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u$. Подставим $y$ и $\frac{dy}{dx} $ в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot x+u=f\left(u\right)$.
Полученное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, после элементарных преобразований его можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{f\left(u\right)-u}{x} $, где $f_{1} \left(x\right)=\frac{1}{x} $ -- функция, зависящая только от $x$, и $f_{2} \left(u\right)=f\left(u\right)-u$ -- функция, зависящая только от $u$. Применим к этому дифференциальному уравнению метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Сначала вычисляем интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx $. Получаем: $I_{1} =\int \frac{1}{x} \cdot dx=\ln \left|x\right| $. Теперь записываем интеграл $I_{2} =\int \frac{du}{f_{2} \left(u\right)} $. Получаем: $I_{2} =\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $. Общее решение записываем в форме $I_{2} =I_{1} +C$, то есть $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\right|+C$. Правую часть полученного решения можно упростить, если представить произвольную постоянну в более удобной форме $\ln \left|C\right|$. При этом получим: $\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$.
Окончательно получаем: $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\cdot C\right|$. После вычисления интеграла $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $ и замены $u$ на $\frac{y}{x} $ общее решение данного однородного дифференциального уравнения будет найдено.
Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:
- В первую очередь убеждаемся, что решаемое дифференциальное уравнение является однородным. Для этого нужно представить его в стандартном виде $y'=f\left(x,y\right)$, после чего в функции $f\left(x,y\right)$ переменные $x$ и $y$ заменить на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно. Если после элементарных тождественных преобразований удается вернуться к той же функции $f\left(x,y\right)$, то данное дифференциальное уравнение является однородным и $ f (x,y) = f (x/y)$. Если добиться этого оказалось невозможным, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
- Находим $f\left(u\right)$, выполнив для функции $f (x/y)$ замену $y=u\cdot x$, после чего записываем функцию $f\left(u\right)-u$.
- Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $ и записываем общее решение в виде $I=\ln \left|x\cdot C\right|$.
- Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и проводим упрощающие тождественные преобразования.
- Находим особые решения, которые могли быть утрачены при разделении переменных.
Решение типичных задач
Найти общее решение дифференциального уравнения $y'=2+\frac{y}{x} $.
По внешнему виду данного дифференциального уравнения его можно сразу отнести к однородному.
Для функции $f (x/y)=2+\frac{y}{x} $ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=2+\frac{u\cdot x}{x} =2+u$. Записываем функцию $f\left(u\right)-u=2+u-u=2$.
Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\int \frac{du}{2} =\frac{u}{2} $.
Записываем общее решение в виде $\frac{u}{2} =\ln \left|x\cdot C\right|$.
Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и получаем $\frac{y}{2\cdot x} =\ln \left|x\cdot C\right|$ или $y=2\cdot x\cdot \ln \left|x\cdot C\right|$.
Так как $f\left(u\right)-u=2$, то особых решений данное дифференциальное уравнение не имеет.
Найти общее решение дифференциального уравнения $x\cdot y'=5\cdot y+x$.
Приводим данное дифференциальное уравнение к стандартному виду $y'=5\cdot \frac{y}{x} +1$, после чего можно сделать вывод, что оно является однородным.
Для функции $f (x/y)=5\cdot \frac{y}{x} +1$ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=5\cdot \frac{u\cdot x}{x} +1=5\cdot u+1$.
Записываем функцию $f\left(u\right)-u=5\cdot u+1-u=4\cdot u+1$.
Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\int \frac{du}{4\cdot u+1} =\frac{1}{4} \cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|$.
Записываем общее решение в виде $\frac{1}{4} \cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$, откуда $\ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|^{4} $; $4\cdot u+1=x^{4} \cdot C^{4} $ или просто $4\cdot u+1=C\cdot x^{4} $.
Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и получаем $4\cdot \frac{y}{x} +1=C\cdot x^{4} $.
Таким образом, общее решение имеет вид: $4\cdot y+x=C\cdot x^{5} $.
Решая уравнение $f\left(u\right)-u=4\cdot u+1=0$ или $4\cdot \frac{y}{x} +1=0$, находим особое решение $y=-\frac{x}{4} $. Проверка подстановкой в данное дифференциальное уравнение $x\cdot \left(-\frac{1}{4} \right)=5\cdot \left(-\frac{x}{4} \right)+x$ показывает, что особое решение $y=-\frac{x}{4} $ удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.
Однако это же решение можно получить из общего решения $4\cdot y+x=C\cdot x^{5} $, положив в нём $C=0$.
Таким образом, окончательный результат: $4\cdot y+x=C\cdot x^{5} $.
Уравнения, приводящиеся к однородным
При определенных условиях дифференциальное уравнение вида $y'=\frac{a_{1} \cdot x+b_{1} \cdot y+c_{1} }{a_{2} \cdot x+b_{2} \cdot y+c_{2} } $, в котором $a_{1} $, $b_{1} $, $c_{1} $, $a_{2} $, $b_{2} $, $c_{2} $ -- постоянные коэффициенты, может быть приведено к однородному.
Если $\Delta \equiv \left|\begin{array}{cc} {a_{1} } & {b_{1} } \\ {a_{2} } & {b_{2} } \end{array}\right|\ne 0$, то приведение его к однородному достигается с помощью замен $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, где постоянные $\alpha $ и $\beta $ следует выбрать как результат решения системы $\left\{\begin{array}{c} {a_{1} \cdot \alpha +b_{1} \cdot \beta =-c_{1} } \\ {a_{2} \cdot \alpha +b_{2} \cdot \beta =-c_{2} } \end{array}\right. $.
Так как $\Delta \ne 0$, то эта система имеет единственное решение, которое проще всего найти по формулам Крамера.
Используя найденные выражения для $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, получим дифференциальное уравнение $\frac{dn}{dm} =\frac{a_{1} \cdot m+b_{1} \cdot n}{a_{2} \cdot m+b_{2} \cdot n} $, которое является однородным.
