Математическое ожидание

Рассмотрим произвольное вероятностное пространство $(\Omega ,{\rm F},F(x))$, где $F(x)$ - функция распределения случайной величины $\xi =\varphi (\omega )$.

Математическое ожидание существует, если существует интеграл в (1), который называется интегралом Лебега (для его существования достаточно задать случайную величину и меру Лебега).

Основной недостаток интеграла Лебега в том, что, в общем случае, непонятно как его вычислять. Однако тот факт, что он существует, позволяет получать формулы, которые, возможно, только так и можно записать. Поэтому при вычислении интеграла Лебега часто используется интуитивный подход.

Если случайная величина дискретна, то интеграл (14) сводится к сумме

$\int \limits _{\omega \in \Omega }\varphi (\omega ) P(d\omega )=\sum \limits _{\omega \in \Omega }\varphi (\omega ) P(\omega )$, ($\sum \limits _{\omega \in \Omega }P(\omega ) =1$), (2)

в предположении, что ряд сходится абсолютно. В противном случае говорят, что интеграл и, тем самым, математическое ожидание не существует.

Таким образом, если дискретная случайная величина $\xi$ задается рядом распределения, то ее математическое ожидание вычисляется по формуле

$M\xi =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i} \cdot p_{i}$ или $M\xi =\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i} \cdot p_{i}$, (3)

соответственно, при условии, что числовой ряд в правой части второй формулы (дискретная случайная величина имеет счетное число значений) сходится.

Если вероятностная мера задается на действительной оси, то она определяется функцией распределения, непрерывна и

$\int \limits _{\omega \in \Omega }\varphi (\omega ) P(d\omega )=\int \limits _{x\in (a,b)}x dF_{\xi } (x)$, (4)

где $a\le b$, $a,b\in R$.

Пусть функция $F_{\xi } (x)$ дифференцируема (принято говорить абсолютна непрерывна), тогда, как следует из (13)

отсюда

$M\xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\cdot \rho _{\xi } (x) dx$. (5)

Математическое ожидание существует, если несобственный интеграл правой части (5) сходится. Если несобственный интеграл правой части равенства (5) расходится, то случайная величина $\xi$ не имеет конечного математического ожидания.

Свойства математического ожидания

Всегда считаем, что случайные величины $\xi$ и $\eta$ определены на одном и том же вероятностном пространстве.

1. $Mc=c$, если $c=const$.

2. $M(c\cdot \xi )=c\cdot M\xi$, если $c=const$.

3. $M(\xi \pm \eta )=M\xi \pm M\eta$ для любых случайных величин $\xi$, $\eta$.

Если математические ожидания $M\xi$, $M\eta$ существуют, то $M(\xi \pm \eta )$ существует.

1. $M(\xi \cdot \eta )=M\xi \cdot M\eta$, если $\xi$, $\eta$ $-$ независимые случайные величины.

Если математические ожидания $M\xi$, $M\eta$ существуют, то $M(\xi \cdot \eta )$ существует.

Геометрически математическое ожидание численно равно абсциссе центра тяжести интеграла (5).

Применение на практике