Бином Ньютона

Бином Ньютона — это формула, использующаяся для разложения суммы двух чисел или переменных, возведённых в степень. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

$C_n^k=(a + x)^n = a^n + C^1_n \cdot a^{n-1}x + … + C^k_n \cdot a^{n-k}x^k + C^n_n \cdot x^n$,

Биномиальные коэффициенты при этом определяются по следующей формуле:

$\frac{n(n-1) \cdot ... \cdot (n-k +1)(n-k) \cdot...\cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot … \cdot k(n-k) \cdot ...\cdot 2 \cdot 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Вывод формулы бинома Ньютона и доказательство

Все мы помним наизусть формулы разложения квадрата суммы и куба, для тех, кто всё же имеет какие-то сомнения, ниже мы привели их:

$(a + x)^2 = a^2 + 2ax + x^2$ и $(a + x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3$.

Эти формулы есть не что иное, как частные случаи второй и третьей степени для бинома Ньютона.

Рассмотрим теперь формулу для общего случая, то есть когда $(a+x)^n$. При умножении выражения $(a + x)$ на само себя $n$ раз мы будем иметь дело с многочленом $n$-ой степени, если рассматривать всё выражение относительно $x$, имеем следующее:

$(a + x)^n = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3 + … +A_nx^n \left(1\right)$

Теперь необходимо найти коэффициенты $A_0, A_1, A_2...A_n$. Для нулевого коэффициента необходимо подставить в обе части $x=0$, получим, что $A_0= a^n$.

Теперь необходимо найти $A_1$, для этого продифференцируем равенство $(1)$, сначала его левую часть:

$((a + x)^n)’ = n(a + x)^{n-1}(a + x)’ = n \cdot (a+ x)^{n-1}$

А теперь правую:

$(A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3 + … +A_nx^n)’ = A_1 + 2A_2x + 3A_3x^2 + … +nA_n \cdot x^{n-1}$

Приравняем их друг к другу и получим равенство $(3)$, затем подставим в $(3)$ нулевое значение вместо икса и из полученного равенства выражаем $A_1$ в выражении $(4)$:

$n \cdot (a+ x)^{n-1} = A_1 + 2A_2x + 3A_3x^2 + … +nA_n \cdot x^{n-1}\left(3\right)$

$na^{n-1}= A_1, A_1 = \frac{na^{n-1}}{1}\left(4\right)$

Для того чтобы найти $A_2$, продифференцируем $(3)$ с обеих сторон и также подставим вместо $x$ нулевое значение:

$n(n-1)(a+x)^{n-2} = 2A_2 + 3 \cdot 2 \cdot A_3x + ...+n(n-1)A_nx^{n-2}$,

$n(n-1)a^{n-2} =2A_2$, следовательно,

$A_2 = \frac{n(n-1)a^{n-2}}{1 \cdot 2}\left(5\right)$

Взяв производную от выражения $(1)$ $k$-раз, имеем следующее:

$n(n-1) \cdot … \cdot (n-k + 1)(a + x)^{n-k} = k(k-1) \cdot … \cdot 2 \cdot 1 \cdot A_k + (k+1)k \cdot … \cdot 2A_{k+1}x + ...+n(n-1) \cdot ...\cdot (n-k+1)A_nx^{n-k}$.

Снова используем в качестве значения $x$ нуль:

$n(n-1)\cdot … \cdot (n-k + 1)a^{n-k}= 1 \cdot 2 \cdot … \cdot kA_k$

Выражаем из этого равенства $A_k$:

$A_k = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot ...\cdot (n-k+1)a^{n-k}}{1 \cdot 2 \cdot...\cdot k}\left(6\right)$,

В этом выражении вся часть без множителя $a$ — это и есть выражение для вычисления $k$-ого биномиального коэффициента, вынесем её отдельно:

$C^k_n = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot ...\cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot...\cdot k}\left(7\right)$

Полученное выражение используется для вычисления биномиальных коэффициентов.

Бином Ньютона: треугольник Паскаля

Как вы уже заметили, биномиальные коэффициенты имеют свойство повторяться, поэтому все их можно записать в виде специальной таблицы, называемой треугольником Паскаля:

треугольник Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ" />

Рисунок 1. Бином Ньютона: треугольник Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

По рисунку 1 видно, что каждый коэффициент равен сумме двух стоящих слева и справа над ним в предыдущей строчке, так что этой таблицей можно пользоваться для более быстрого вычисления биномиальных коэффициентов в случае показателей степеней, представленных целыми неотрицательными числами.