Бином Ньютона — это формула, использующаяся для разложения суммы двух чисел или переменных, возведённых в степень. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:
$C_n^k=(a + x)^n = a^n + C^1_n \cdot a^{n-1}x + … + C^k_n \cdot a^{n-k}x^k + C^n_n \cdot x^n$,
Биномиальные коэффициенты при этом определяются по следующей формуле:
$\frac{n(n-1) \cdot ... \cdot (n-k +1)(n-k) \cdot...\cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot … \cdot k(n-k) \cdot ...\cdot 2 \cdot 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Вывод формулы бинома Ньютона и доказательство
Все мы помним наизусть формулы разложения квадрата суммы и куба, для тех, кто всё же имеет какие-то сомнения, ниже мы привели их:
$(a + x)^2 = a^2 + 2ax + x^2$ и $(a + x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3$.
Эти формулы есть не что иное, как частные случаи второй и третьей степени для бинома Ньютона.
Рассмотрим теперь формулу для общего случая, то есть когда $(a+x)^n$. При умножении выражения $(a + x)$ на само себя $n$ раз мы будем иметь дело с многочленом $n$-ой степени, если рассматривать всё выражение относительно $x$, имеем следующее:
$(a + x)^n = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3 + … +A_nx^n \left(1\right)$
Теперь необходимо найти коэффициенты $A_0, A_1, A_2...A_n$. Для нулевого коэффициента необходимо подставить в обе части $x=0$, получим, что $A_0= a^n$.
Теперь необходимо найти $A_1$, для этого продифференцируем равенство $(1)$, сначала его левую часть:
$((a + x)^n)’ = n(a + x)^{n-1}(a + x)’ = n \cdot (a+ x)^{n-1}$
А теперь правую:
$(A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3 + … +A_nx^n)’ = A_1 + 2A_2x + 3A_3x^2 + … +nA_n \cdot x^{n-1}$
Приравняем их друг к другу и получим равенство $(3)$, затем подставим в $(3)$ нулевое значение вместо икса и из полученного равенства выражаем $A_1$ в выражении $(4)$:
$n \cdot (a+ x)^{n-1} = A_1 + 2A_2x + 3A_3x^2 + … +nA_n \cdot x^{n-1}\left(3\right)$
$na^{n-1}= A_1, A_1 = \frac{na^{n-1}}{1}\left(4\right)$
Для того чтобы найти $A_2$, продифференцируем $(3)$ с обеих сторон и также подставим вместо $x$ нулевое значение:
$n(n-1)(a+x)^{n-2} = 2A_2 + 3 \cdot 2 \cdot A_3x + ...+n(n-1)A_nx^{n-2}$,
$n(n-1)a^{n-2} =2A_2$, следовательно,
$A_2 = \frac{n(n-1)a^{n-2}}{1 \cdot 2}\left(5\right)$
Взяв производную от выражения $(1)$ $k$-раз, имеем следующее:
$n(n-1) \cdot … \cdot (n-k + 1)(a + x)^{n-k} = k(k-1) \cdot … \cdot 2 \cdot 1 \cdot A_k + (k+1)k \cdot … \cdot 2A_{k+1}x + ...+n(n-1) \cdot ...\cdot (n-k+1)A_nx^{n-k}$.
Снова используем в качестве значения $x$ нуль:
$n(n-1)\cdot … \cdot (n-k + 1)a^{n-k}= 1 \cdot 2 \cdot … \cdot kA_k$
Выражаем из этого равенства $A_k$:
$A_k = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot ...\cdot (n-k+1)a^{n-k}}{1 \cdot 2 \cdot...\cdot k}\left(6\right)$,
В этом выражении вся часть без множителя $a$ — это и есть выражение для вычисления $k$-ого биномиального коэффициента, вынесем её отдельно:
$C^k_n = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot ...\cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot...\cdot k}\left(7\right)$
Полученное выражение используется для вычисления биномиальных коэффициентов.
Разложите выражение $(\frac{1}{b} + \sqrt{x})^6$.
Сосчитаем биномиальные коэффициенты:
$С^0_6 = 1, C^1_6 = \frac{6}{1} = 6, C^2_6 = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2}, C^3_6 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20, C^4_6 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 15, C^5_6 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}= 6, C^6_6=1$
Теперь воспользуемся вычисленными коэффициентами для разложения бинома Ньютона:
$(\frac{1}{b} + \sqrt{x})^6 = (\frac{1}{b})^6 + 6(\frac{1}{b})^5 \sqrt{x} + 15 (\frac{1}{b})^4 (\sqrt{x})^2 + 20 (\frac{1}{b})^3 (\sqrt{x})^3 + 15 (\frac{1}{b})^2 (\sqrt{x})^4 + 6 (\frac{1}{b}) (\sqrt{x})^5 + (\sqrt{x})^6 = \frac{1}{b^6 } + \frac{6\sqrt{x}}{b^5} + \frac{15x}{b^4} + \frac{20x\sqrt{x}}{b^3} + \frac{15x^2}{b^2} + \frac{6x^2\sqrt{x}}{b} + x^3$
Бином Ньютона: треугольник Паскаля
Как вы уже заметили, биномиальные коэффициенты имеют свойство повторяться, поэтому все их можно записать в виде специальной таблицы, называемой треугольником Паскаля:
Рисунок 1. Бином Ньютона: треугольник Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
По рисунку 1 видно, что каждый коэффициент равен сумме двух стоящих слева и справа над ним в предыдущей строчке, так что этой таблицей можно пользоваться для более быстрого вычисления биномиальных коэффициентов в случае показателей степеней, представленных целыми неотрицательными числами.
