Синтез логических систем

Алгебра логики как основа синтеза логических систем

В основе синтеза логических схем систем управления лежит алгебра логики.

Переменная х может быть сопоставлена с простым утвердительным высказыванием (для которого можно определить, истинно оно или ложно) или с устройством, имеющим два дискретных (конечных) значения состояний (такое устройство называют реле). С физической точки зрения реле могут строиться на различных элементах, в частности:

• электромагнитных (электромеханических),
• электронных,
• ферритно-полупроводниковых,
• гидравлических,
• пневматических,
• плунжерных,
• крановых,
• струйных,
• механических.

Принцип работы этих элементов состоит в том, что они пропускают или не пропускают поток энергии.

Двоичные переменные могут быть подвергнуты логическим операциям, базовыми из которых являются:

• отрицание, ставящее в соответствие каждой двоичной х переменной обратную (или дополнительную к ней) переменную не-х, такую, что не-х равно 0 при х равном 1 и не-х равно 1 при х равном 0. Двойное отрицание переменной равно ей самой;
• дизъюнкция (логическая сумма, двоичное сложение). Эта операция применяется к двум логическим переменным – слагаемым. Результатом операции будет 1, если хотя бы одна (или сразу обе) переменные имеют значений 1 и 0, если обе переменные имеют значение 0. Логическая сумма может распространяться и не большее число слагаемых: в таком случае достаточно хотя бы одного единичного слагаемого, чтобы вся сумма была равна 1. Логической сумме соответствует сложное высказывание, простые части которого соединены союзом «или», и схема параллельного соединения реле;
• конъюнкция (логическое или двоичное умножение). Эта операция применяется к двум логическим переменным – множителям. Результатом операции будет 0, если хотя бы одна (или сразу обе) переменные имеют значений 0 и 1, если обе переменные имеют значение 1. Логическое произведение может распространяться и не большее число множителей: в таком случае достаточно хотя бы одного нулевого множителя, чтобы все произведение было равно 0. Логическому произведению соответствует сложное высказывание, простые части которого соединены союзом «и», и схема последовательного соединения реле.

Другие логические операции могут быть представлены через перечисленные. Элементарные логические функции позволяют записать сколь угодно сложное логическое условие.

Для логического сложения и умножения справедливы законы:

1. Закон коммутативности (переместительный закон):

   x + y = y + x

   xy = yx

2. Закон ассоциативности (сочетательный закон):

   (x + y) + z = x + (y + z) = (x + z) + y

   (xy)z = x(yz) = y(xz)

3. Закон дистрибутивности (распределительный закон):

   (x + y)z = xz + yz

   xy + z= (x + z)(y + z)

4. Закон идемпотентности (закон повторения):

   x + x + x + … + x = x

   xxxx … xxx = x

5. Закон Де Моргана (закон преобразования отрицаний):

   ¬(x + y) = (¬x)(¬y)

   ¬(xy) = ¬x + ¬y

Логические функции представимы в виде формул неоднозначно. С помощью приведенных выше правил и законов можно преобразовывать одни логические формулы в другие, которые им равносильны.

На практике чаще всего стремятся минимизировать формулу, т.е. записать ее в наиболее простом виде.

Свойства логических систем управления

Логические системы принадлежат к классу конечных автоматов (или релейных устройств, или исследовательностных машин), в общем случае характеризующихся рядом свойств:

• у устройства есть входные каналы, на которые в дискретные моменты времени извне поступают двоичные сигналы – входные сигналы. Комбинация всех поступающих в конкретный момент времени входных сигналов называется «значение входа»;
• у устройства есть выходные каналы, формируемые на которых двоичные сигналы называют выходными сигналами. Комбинация всех возникающих в конкретных момент выходных сигналов называется «значение выхода»;
• в каждый момент времени устройство находится в одном из внутренних состояний, которое определяется входными сигналами, поступающими в этот момент, и состоянием, сложившимся в предыдущий момент;
• преобразование входных сигналов в выходные может зависеть от внутреннего состояния системы, сформированного в предыдущий момент.

Каждый из входных и выходных сигналов принимает значение 0 или 1, т.е. описывается двоичной переменной. То, как происходит преобразование значений входа в значение выхода, описывается логической функцией. Чтобы провести анализ и синтез релейного устройства, используется алгебра логики (точнее, булева алгебра – она называется так в честь Джорджа Буля, заложившего ее основы в XIX веке).

Зависимость между выходом и входом может быть описана словесно, с помощью таблицы или другим способом. Она называется условием работы релейного устройства.

Релейные устройства бывают:

• однотактными (без памяти), если значение выхода в каждый конкретный момент времени однозначно определяется значением входа. Такие устройства состоят только из логических элементов;
• многотактными (с памятью), если в разные моменты времени одному значению входа могут соответствовать разные значения выхода, поскольку они определяются не только значением входа, но и состоянием устройства в предшествующий момент. Такие устройства состоят не только из логических элементов, но еще и из элементов памяти.

Полное состояние устройства определяется сочетанием значений входа и внутренним состоянием.

Последовательность изменений полного состояния может изображаться графически, с помощью тактограммы (таблицы включений).