Высказывания и высказывательные формы
Пропозиционная логика – это раздел символической логики, предметом изучения которого являются сложные высказывания, сформированные из простых, и отношения между ними.
В математической логике понятие элементарного (простого) высказывания является первоначальным, поэтому невозможно дать ему определение.
Под высказыванием понимается повествовательное предложение, в котором утверждается что-то о чем-то, при этом есть возможность определить его истинность или ложность в конкретных условиях времени и места.
Высказывания имеют логические значения:
- истина,
- ложь.
В логике понятие истинного высказывания согласовано с понятием истины, используемым в естественных языках. Истина является объективной. Ложь в логике тоже объективна, а в естественных языках субъективна: человека считают лгуном, если он говорит ложь сознательно; если же он заблуждается (при этом сам верит в то, что говорит), с точки зрения логики он сообщает ложь, а с обыденной точки зрения не врет.
Рассмотрим утвердительное предложение: «Натуральное число n простое». Это не высказывание, потому что невозможно определить его истинность. Использованная здесь буква n является переменной, т.е. языковым выражением, служащим для обозначения произвольного объекта, принадлежащего фиксированному множеству – области возможных значений переменной (универсуму).
Переменная, употребляемая таким образом, что допустима подстановка вместо нее конкретного обозначения (имени) объекта универсума, называется свободной переменной.
Если смысл выражения не допускает подстановку вместо переменной имени конкретного объекта, такая переменная называется связанной.
Выражение, которое содержит вхождения свободных переменных и превращается при подстановке конкретных объектов универсума вместо всех свободных переменных в имя некоторого объекта (или высказывание) называется именной формой (или, соответственно, высказывательной формой).
Переменные, свободно входящие в именную (высказывательную) форму, называют ее параметрами.
Логические операции и сложные высказывания
Из простых высказываний можно построить более сложные разными способами – для этого служат три вида операций:
- модальности. Их применение к высказываниям позволяет изменить отношение и сформировать квазивысказывания. Квазивысказывания являются предметом изучения модальной логики. Пример квазивысказывания: «Мне кажется, это покрытие недолговечное»;
- кванторные конструкции. Их применение обращает высказывательную форму в высказывание. Например: «Существуют такие натуральные числа n, что n – простое»;
- логические операции (связки). С их помощью из высказывания можно получить новое высказывание (сложное). Например, из простых высказываний: «На столе лежит книга» и «На столе стоит чашка», - можно получить сложное высказывание: «На столе лежит книга или на столе стоит чашка», которое будет истинным, если на столе находится хотя бы один (или сразу оба) указанных предмета.
Логика высказываний не изучает кванторные конструкции (логика предикатов изучает кванторы «существует» и «для всех», а другие кванторные конструкции являются предметом модальной логики).
Итак, в рамках пропозициональной логики рассматривается единственный инструмент получения сложных высказываний из простых – логические операции.
Логическая операция – это способ построения из данных высказываний сложного высказывания, при котором истинностные значения исходных высказываний полностью определяют истинностное значение полученного высказывания.
При использовании логических операций выполняется два соглашения:
- имеется два исходных неопределяемых понятия «истина» и «ложь», выступающие логическими (истинностными) значениями высказываний;
- на логическое значение сложно высказывания влияет только логическое значение его компонентов, а не их смысл.
Основные логические операции:
- отрицание. В естественном языке оно выражается словами: «Неверно, что». Также отрицание может быть образовано путем инверсии сказуемого. Пусть, например, исходное высказывание: «По дороге идет кот». Отрицание можно сформулировать как «Неверно, что по дороге идет кот» или «По дороге не идет кот». Если исходное высказывание истинно, то его отрицание ложно – и наоборот;
- конъюнкция. В естественном языке образуется с помощью союза «и». Сложное высказывание, образованное с помощью конъюнкции, будет истинным только в том случае, если истинны оба исходных простых высказывания. Например: «Марс вращается вокруг Солнца, и Солнце вращается вокруг Земли», - ложное высказывание, т. к. истинным является только первое входящее в эту конъюнкцию простое высказывание («Марс вращается вокруг Солнца»), а второе ложное («Солнце вращается вокруг Земли»);
- дизъюнкция. В естественном языке образуется с помощью союза «или». Сложное высказывание, образованное с помощью дизъюнкции, ложно только в одном случае – если ложны оба его компонента. Если хотя бы один компонент истинен, истинным будет и все сложное высказывание. Так, «Марс вращается вокруг Солнца, или Солнце вращается вокруг Земли», - истинное высказывание. При этом необходимо различать строгую и нестрогую дизъюнкцию (исключающее или и обычное или) – в первом случае высказывание будет также ложным в случае истинности обоих компонентов одновременно;
- импликация. В естественном языке выражается связкой «если … то …». Если в дизъюнкции и конъюнкции оба компонента рассматриваются как «равноправные», в то в импликации первое из высказываний (условие) называют посылкой, а второе – следствием (заключением). При этом единственный вариант ложности импликации – когда из истины следует ложь; во всех остальных случаях импликация истинна;
- эквиваленция. В естественном языке может выражаться словами «равнозначно» или «необходимое и достаточное условие». Сложное высказывание истинно, если оба простых имеют одинаковую истинностную характеристику (оба истинны или оба ложны).
