Парадокс «Лжец»

Содержание парадокса лжеца

Утверждения, подобные парадоксу лжеца, известны с древности. Эпимениду (древнегреческому философу VII века до н.э.) приписывают схожее суждение: «Все критяне лжецы». Здесь подразумевается, что лжецы лгут всегда (никогда не говорят правду). Поскольку Эпименид был критянином, возникает парадокс: непонятно, сказал ли он в этом случае правду.

Авторство классической формулировки приписывают Евбулиду Милетскому (IV век до н.э.): «Человек говорит, что он лжет. То, что он говорит, - истина или ложь?».

В Средние Века Жан Буридан использовал парадокс «Лжец», чтобы доказать бытие Бога. Им были рассмотрены два утверждения:

1. Бог существует.
2. Ни одно из этих утверждений не истинно.

Если считать первое утверждение ложным, возникает парадокс. Поэтому Буридан утверждает, что оно должно быть истинным.

Существуют следующие вариации парадокса лжеца:

1. Классический парадокс. Рассматривается утверждение: «Это утверждение ложно». Если утверждение истинно, то – исходя из его содержания – оно должно быть ложным, что есть противоречие. Если же оно ложно, то его содержание не ложно, т. е. истинно – также возникает противоречие. Последнее заключение базируется на законе исключенного третьего («любое логическое утверждение является истинным или ложным»). Единственный путь состоит в отрицании закона исключенного третьего.
2. Закон исключенного третьего. Рассматривается утверждение: «Данное утверждение не является истинным». Если утверждение истинно, то по смыслу оно не истинно, что является противоречием. Если же оно не является истинным, то по содержанию оно истинно. Здесь не используется закон исключенного третьего, при этом утверждение ссылается на себя само. В другой формулировке третий вариант (не истинность или ложность) рассматривается как бессмысленность: «Данное утверждение ложно или бессмысленно»;
3. Логический цикл. Здесь рассматривается пара утверждений: «Второе утверждение ложно. Первое утверждение истинно». Если первое утверждение истинно, то второе ложно – т. е. первое не истинно. Если первое утверждение ложно, то второе не ложно (т. е. первое истинно). Благодаря исправлению ложности на неистинность удается избежать необходимости закона исключенного третьего (как в предыдущей формулировки), при этом отсутствует отсылка утверждения к нему самому. Могут быть построены циклы с большей длиной: «Второе утверждение ложно. Третье утверждение ложно. Первое утверждение ложно».
4. Парадокс Карри. Сначала рассмотрим утверждение: «Это утверждение не истинно или 1=0». Поскольку в дизъюнкции ложное утверждение не влияет на истинность всего суждения (она определяется вторым дизъюнктом), получается противоречие, аналогичное классической формулировке парадокса лжеца. Похожим будет утверждение: «Если это утверждение истинно, то Луна сделана из сыра». Это утверждение называется парадоксом Карри. Внесены небольшие изменения: одно ложное утверждение заменили на другое («1=0» на «Луна сделана из сыра») и логическая дизъюнкция «не А или В» заменена на импликацию «из А следует В». В импликации ложное следствие не влияет на истинность, она определяется посылкой, поэтому набор значений А и В, при которых функция истинна, остается неизменным (истинна при истинном А и ложна при ложном А в условиях ложности В). Однако такой вариант имеет привязку к реальности.
5. Парадокс Ябло. Рассматривается бесконечная цепочка высказываний: «Все j-ые утверждения при j>i ложны». Если первое утверждение истинно, то все утверждения при i>1 ложны, в частности, ложно второе утверждение. Значит, должно существовать i>2 такое, что i-ое утверждение истинно. Если же первое утверждение ложно, то существует истинное утверждение с номером i>1. На первый взгляд, здесь нет отсылки утверждения к самому себе, но это дискуссионный вопрос;
6. Парадокс Пиноккио. Когда Пиноккио лгал, его нос увеличивался. Неизвестно, что произойдет, если Пиноккио скажет: «Сейчас мой нос удлинится».

Решение парадокса лжеца

Попытки решить парадокс лжеца производились с древних времен. Известны даже смерти философов, вызванные фанатичным увлечением поиском решения. В современной логике предлагается решение, основанное на допущении противоречия без попыток сделать выводы на их основании. Для этого вводится понятие диалетеичности, что можно перевести с греческого как «два истинностных значения». Сторонники диалетеического подхода предлагают отказ от такого метода аргументации, как дизъюнктивный силлогизм. Предположение наличия у высказывания сразу двух истинностных значений приводит к возможности получения ложного следствия из истинных посылок дизъюнктивного силлогизма.

В качестве примера рассмотрим утверждение «либо P, либо Q и не P» и предположим, что P является одновременно истинным и ложным. Тогда «либо P, либо Q» тоже одновременно истинно и ложно независимо от значения Q. Но если P одновременно истинно и ложно, то и «не P» одновременно истинно и ложно, и тогда «либо P, либо Q и не P» тоже одновременно истинно и ложно. Но если принять истинность высказывания P, а Q («или Луна сделана из сыра») при этом будет ложно, то, согласно принципам дизъюнктивного силлогизма, мы будем вынуждены перейти от истинных посылок к ложному следствию.

Таким образом, получено решение парадокса лжеца, работающее при условии перехода к неклассической логике (в которой выполнен отказ от принципов дизъюнктивного силлогизма).

Диалетеические решения парадокса лжеца соединяют в себе как общепризнанную теорию истины, так и признание существования противоречий – возможности быть истинными и ложными одновременно. Поэтому приходится пересматривать принципы логики, известные тысячелетия. Однако давняя известность – это не гарантия истинности положения.