Нестандартные рассмотрения семантических антиномий

Общая характеристика семантических антиномий

Многие семантические антиномии можно представить в логической форме (обратное также справедливо). При этом провести семантические антиномии в обычных математических и логических теориях невозможно в силу отсутствия в этих теориях необходимых для формулировки семантической антиномии понятий. Это обуславливает сравнительную «безопасность» семантических антиномий по отношению к логическим. Здесь следует принять во внимание, что ведутся исследования теорий, включающих нужные понятия – в частности, необходимые для формулировки парадоксов Ришара; в таких теориях парадоксов избегают с помощью применения специальных средств.

Для иллюстрации можно привести следующие известные семантические парадоксы:

1. Антиномия Ришара в форме Берри. Рассматривается множество натуральных чисел. Каждое из этих чисел можно однозначно определить осмысленным текстом, состоящим не более чем из тысячи слогов. Очевидно, что количество таких чисел должно быть конечным, поскольку невозможно сгенерировать бесконечное количество текстов ограниченной длины. Рассмотрим наименьшее из натуральных чисел, которое не входит в данное множество. Приведенный текст является осмысленным, его объем не превышает тысячу слогов, и он однозначно определяет натуральное число, которое – по сформулированному для него определению – нельзя охарактеризовать удовлетворяющим этим требованиям текстом. Можно избежать парадокса, если назвать текст неосмысленным или не определяющим натуральное число. Но тогда возникают проблемы, связанные с описанием критериев осмысленности.
2. Антиномия Эвбулида. Предположим, что некоторый субъект говорит: «Высказывание, произносимое мной в данный момент, ложно». Истинно или ложно это суждение? Из допущения его истинности и его смысла необходимо сделать вывод о его ложности. Но его ложность влечет вывод о том, что оно не может быть ложным. Этот парадокс был сформулирован в разных вариантах – как парадокс лжеца, парадокс Эпименида и т. д. Идея этого парадокса составляет основу доказательства теоремы Геделя о неполноте формальных аксиоматических теорий.
3. Антиномия Греллинга. В ее основе лежит понятие «гетерологический предикат». Предикат (слово, которое выражает некоторое свойство) называют гетерологическим, если сам он не обладает описываемым свойством. К примеру, слово «трехсложное» само не трехсложное. Возникновение антиномии происходит в процессе приложения этого определения к слову (предикату) «гетерологический». Если признать, что он гетерологический, то – по определению – он не должен обладать выражаемым свойством, т. е. не должен быть гетерологическим. Если же признать, что он не гетерологический, то по тому же определению он должен обладать выражаемым свойством, т.е. быть гетерологическим. Подобные антиномии возникают в случаях, когда язык, в котором строится антиномия, содержит для собственных выражений имена и предикаты – «ложный», «истинный», «гетерологический» и пр.

Чтобы исключить семантические антиномии, есть разные способы. Одним из них является различение метаязыка и языка-объекта при строгом определении в метаязыке соответствующих предикатов.

Альтернативные подходы к семантическим антиномиям

При интерпретации нелогических констант происходит приписывание (для каждого возможного мира) некоторого объема и антиобъема. В общем случае не предполагается:

• что объединение объема и антиобъема тождественно универсуму,
• что объем и антиобъем не имеют пересечения.

Не предъявляются подобные требования и к семантическим предикатам.

Отдельно может быть рассмотрена ситуация пустоты объема и антиобъема. Здесь необходимо указать на четыре возможных варианта:

• и стандартные, и семантические предикаты могут быть определены не всюду;
• стандартные (не являющиеся семантическими) предикаты определены не всюду, а семантические предикаты всюду определены;
• стандартные предикаты определены всюду, а семантические – не всюду;
• и стандартные, и семантические предикаты всюду определены.

Четвертый случай ортодоксален и хорошо разработан. Языки, характеризующиеся семантической замкнутостью, имеющие всюду определенные стандартные и семантические предикаты, являются противоречивыми.

В системах с не всюду определенными предикатами (в частности, с предикатом «быть истинным высказыванием») при формулировке предложения, которое говорит о своей неистинности, противоречия не возникает.

В случае, если несемантические понятия определены не всюду, а семантические всюду, исследователи различают внешние и внутренние связки. Внутренними считаются слабые трехзначные связки. Схема, которой удовлетворяет всюду определенный предикат «быть истинным высказыванием» видоизменяется, к примеру, таким образом:

• если Х определено, то Х истинно в том и только том случае, если p;
• если Х не определено, то оно не истинно.

Вместо p подставляется высказывание, а вместо Х – его имя.

В случае, если несемантические понятия всюду определены, а семантические – частичны (определены не всюду), можно свести рассуждения к исследованиям пресуппозициональных языков. Их зарождение было связано с ошибочной критикой расселовской теории дескрипций. Многие авторы при рассмотрении теории дескрипций упускали вопрос области действия дескрипции. Критика сформировалась из-за непонимания расселовской теории дескрипции. В альтернативных теориях перед введением неопределенной дискрипции нужно доказать, что существует объект, удовлетворяющий условиям образования дескрипции. Если дескрипция определена, дополнительно необходимо доказать единственность.

Итак, в рассматриваемых семантиках можно ввести предикат «Быть истинным высказыванием» (как в естественном языке) и в то же время задать условия его непротиворечивого употребления.