Многозначная логика

Общая характеристика многозначной логики

В основе многозначной логики лежит принцип многозначности, противопоставляемый принципу двузначности (который лежит в основе классической логики). Принцип двузначности гласит, что любое высказывание является ложным или истинным (принимает одно из двух значений истинности – «ложь» или «истина»). В соответствии с принципом многозначности, высказывание обладает одним из n (где n > 2) значений истинности (например, «возможно», «неопределенно», «бессмысленно»). При этом n может быть как конечным, так и бесконечным. В зависимости от этого различаются:

• конечнозначные логики,
• бесконечнозначные логики.

Несмотря на то, что при построении многозначной логики принцип двузначности отбрасывают, само построение осуществляется по аналогии с классической логикой.

Важно понимать, что ни многозначность, ни двузначность не могут рассматриваться как прирожденное свойство человеческого мышления. Для решения одних проблем лучше подходит двузначная логика, рассуждать о других предпочтительнее с опорой на ту или иную разновидность многозначной логики.

Первые опирающиеся на принцип многозначности логические системы появились в 1920-х:

• трехзначная логика Я. Лукасевича;
• n-значная логика Э. Поста, в рамках которой высказывания характеризовались значениями из конечного множества натуральных чисел от 1 до n, где n конечно и больше единицы.

Троичная логика

Исторически первым расширением двузначной логики стала троичная логика, также называемая тернарной. Различают следующие варианты тернарной логики:

• четкая троичная логика, в рамках которой все три значения задаются как конкретные числа – например, {0, 1, 2}, {-1, 0, 1} или {0, ½, 1};
• нечеткие троичные логики, имеющие одно, два или три нечетких логических значения. Нечеткие значения выражаются числами как диапазонами значений. Если в нечеткой троичной логике предусмотрено одно нечеткое значение, базовые значения 0 (ложь) и 1 (истина) дополняются неопределенностью, охватывающей весь интервал от 0 до 1. В качестве примеров нечеткой тернарной логики с двумя нечеткими значениями можно указать {отрицательно, 0, положительно} или {меньше, 0, больше}. Для практического применения важны тернарные логики с тремя нечеткими значениями. Это объясняется тем, что при измерении характеристики (например, с помощью датчика) полученная информация верна с некоторым допуском (т.е. в диапазоне значений). Так, в логике могут использоваться тройки {меньше, равно в пределах допуска, больше}, {холодно, комфортно, жарко}, {отклоняется влево, прям в пределах допуска, отклоняется вправо} и т. д.

Для троичных логик разработан собственный математический аппарат, отличающийся от математического аппарата двоичной логики. Некоторые законы в тернарной логике сохраняются – так, для конъюнкции и дизъюнкции справедливы:

• переместительный (коммутативный) закон,
• сочетательный (ассоциативный) закон,
• распределительный (дистрибутивный) закон.

Ряд других законов классической логики становится неверным из-за наличия третьего состояния. Для них сформулированы аналоги:

• закон противоречия заменен законом несовместимости состояний,
• закон исключенного третьего заменен законом исключенного четвертого (законом полноты состояний).

Чтобы выполнить физическую реализацию троичных функций, используют троичные логические элементы (не обязательно электронные). Благодаря им можно сократить количество используемых запоминающих и логических элементов, упростить схему за счет сокращения числа межэлементных соединений. Для реализации схем трехзначной логики хорошо подходят КМОП-технологии.

Примеры троичных логик:

• логика Лукасевича,
• сильная логика неопределенности Стивена Клини,
• парадоксальная логика Грэма Приста,
• внутренняя трехзначная логика Бочвара.

Связь многозначной логики с классической

Любая логика представляет собой систему с набором правил, ориентированную на сохранение при разнообразных преобразованиях свойств предложений. В классической логике речь идет о свойстве истины. В многозначной логике сохраняются свойства обозначения. Поскольку она включает более двух значений истинности, правила вывода могут применяться для того, чтобы сохранить дополнительные данные, не обязательно соответствующие истине. Например, тернарная логика может предусматривать два значения, определяющие истину разной градации, и правила вывода обеспечивают сохранение этих значений. Так, в частности, и интуиционистской логике может сохраняться свойство подтверждения. Его истинность или ложность не рассматривается, вместо этого работают с понятиями ошибочности и подтвержденности. Подтвержденность принципиально отличается от истинности невыполнением закона исключенного третьего. Не обязательно, что не являющееся ошибочным суждение будет подтверждено. Ключевым отличием является определенность сохраняемого свойства: можно показать, что P подтверждено, что P некорректно, или не является ни тем, ни другим. Корректный аргумент сохраняет обоснованность при преобразованиях, поэтому утверждение, полученное на основе обоснованных утверждений, остается обоснованным. Тем не менее в классической логике есть доказательства, которые напрямую зависят от закона исключенного третьего; поскольку этот закон неприменим в рамках данной схемы, существуют утверждения, которые нельзя доказать подобным образом.

Представляет интерес тезис Сушко (разработка польского логика Романа Сушко). В соответствии с этим тезисом, для любой многозначной логики может быть получена бивалентная семантика, обеспечивающая описание данной логики. Это позволяет редуцировать многозначные логики к единой основе – обычной классической логике.