Язык логики высказываний
Исчисление высказываний – это формальная теория, ориентированная на формализацию понятий логического закона и логического следования.
В основе исчисления высказываний (или логики высказываний) лежит понятие высказывания.
Высказыванием называют повествовательное предложение, для которого можно определить, истинно оно или ложно.
Вопросительные, побудительные предложения не являются высказываниями. Также не являются высказываниями фразы, для которых невозможно установить их истинность. Классическое исчисление высказываний оперирует двумя истинностными значениями:
- 0 – ложь,
- 1 – истина.
Существуют разработки, в которых вводятся дополнительные значения (трехзначная, четырехзначная и т.д. символьные логики), но базовым, традиционным и общепризнанным вариантом является приведенный выше.
Если первоначально логика, зародившаяся в рамках античной философии, использовала естественные человеческие языки, то по мере развития математической логики стали складываться специальные искусственные языки логики. Для работы с разными задачами создали несколько искусственных языков, одним из получивших самое широкое распространение стал язык логики высказываний.
Логикой высказываний называют раздел логики, в котором вопрос о ложности или истинности высказываний рассматривают и решают исходя из исследования способа построения высказывания из элементарных высказываний (высказываний, которые нельзя разложить на части и проанализировать) с помощью логических операций (отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации и т.д.).
Как и естественные языки, язык логики высказываний имеет свой алфавит. В состав алфавита входят следующие символы:
- Пропозициональные переменные. Они не имеют формального определения. Обозначаются, как правило, буквами латинского алфавита (иногда – с нижним цифровым индексом). Каждый символ обозначает целое повествовательное предложение, выражающее суждение.
Логические термины, обозначающие операции:
- отрицание (в естественном языке соответствует частице «не» или словам «неверно, что»);
- конъюнкция (соответствует союзу «и»);
- дизъюнкция (соответствует союзу «или»);
- импликация (соответствует связке «если … то …»);
- эквиваленция (соответствует «если и только если …»).
Скобки (определяют порядок выполнения операций). Если ставить все скобки, их будет слишком много и восприятие формул затруднится. Поэтому действует соглашение: не обязательные для однозначного понимания формулы с5кобки опускают.
Формулы исчисления высказываний
Под пропозициональной формулой понимают слово языка логики высказываний – конечную последовательность знаков алфавита, построенную по определенным правилам и образующую законченное выражение на языке исчисления высказываний.
Можно сформулировать индуктивное определение для множества формул исчисления высказываний:
- любая пропозициональная переменная языка исчисления высказываний является формулой;
- если А является формулой, то не-А (отрицание А) также является формулой;
- если А и В являются формулами, то «А и В» (конъюнкция), «А или В» (дизъюнкция), «если А, то В» (импликация) также являются формулами.
Иные формулы в языке исчисления высказываний отсутствуют. Более сложные формулы строят, присоединяя высказывания при помощи логических связок к уже имеющимся формулам.
Здесь необходимо сделать оговорку. Использованные в определении формулы заглавные буквы латинского алфавита (А, В) принадлежат не собственно языку логики высказываний, а метаязыку. Метаязык – это язык, используемый, чтобы описать сам язык исчисления высказываний. Выражения, в которых содержатся метабуквы (например, «не-А») - это не пропозициональные формулы, а их схематическое изображение. Вместо А и В можно подставить не только пропозициональную переменную, но и другую формулу (содержащую в себе переменные и операторы).
Перечисление исходных символов и правил образования формул составляет синтаксис языка. Операция приписывания определенных значений выражениям языка называется интерпретацией. Существование интерпретации определяет семантику языка.
Тождественно истинные формулы
Формулу исчисления высказываний называют тождественно истинной, если при любых значениях входящих в нее переменных она принимает значение «истина».
Примерами тождественно истинных формул, имеющих большое значение для логики высказываний, являются:
Законы де Моргана. Эти законы применяются в дискретной математике, электротехнике, физике и информатике – в частности, для оптимизации цифровых схем путем замены одних логических элементов на другие. Законы де Моргана устанавливают связь между парами логических операций при помощи отрицания:
- отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний: не (a и b) = (не a) или (не b);
- отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний: не (a или b) = (не a) и (не b).
Закон контрапозиции, который утверждает: если из некой посылки А следует B, то из отрицания этого следствия (не-В) следует отрицание этой посылки (не-А). Оно строится на простом умозаключении: когда из истинности утверждения следует, что другое утверждение истинно, то при ложности этого другого утверждения первое не может быть истинным (т.к. в таком случае второе тоже должно быть истинным). Различают полный закон контрапозиции, прямой и обратный законы контрапозиции. На основе закона контрапозиции как общезначимого импликативного утверждения строится правило вывода, которое называется modus tollens.
Законы поглощения:
- дизъюнкция некой формулы А и конъюнкции этой формулы с другой формулой эквивалентна формуле А;
- конъюнкция некой формулы А и дизъюнкции этой формулы с другой формулой эквивалентна формуле А.
Законы дистрибутивности. Также эти законы называются распределительными. Выделяют дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции и дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.
