Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды 1. Абсолютно и условно сходящиеся ряды В предыдущих параграфах рассмотрены ряды с положительными членами. Рассмотрим теперь ряды с членами произвольного знака. Пусть ряд u1 + u 2 + u3 + ... + u n + ... имеет как положительные, так и отрицательные члены. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд u1 + u2 + ... + un + ... , составленный из абсолютных величин соответствующих членов ряда. ∞ Ряд  un ∞ называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд n =1  un n =1 расходится. Теорема 6. Всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. Теорема формулирует достаточный признак сходимости произвольного ряда. Абсолютная сходимость требование более сильное, чем просто сходимость. (−1) n Примеры 8. Исследовать на сходимость ряд  2 . n =1 n ∞ ∞ Решение. Составим ряд из абсолютных величин 1 n n =1 2 , это ряд Дирихле ( α = 2 ), он сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Если среди членов данного ряда имеются как положительные, так и отрицательные (притом и тех и других неограниченное число), то такой ряд называется знакопеременными. 2. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена ряда имеют противоположные знаки. ∞  (−1) n−1 u n = u1 − u 2 + u3 − u 4 + ... + (−1) n−1 u n + ... , (*) n =1 где u1 , u 2 - положительные числа. Знакочередующийся ряд, отличающийся от (*) только знаком, т.е. ∞  (−1) n =1 n u n = −u1 + u 2 − u 3 + u 4 − ... + (−1) n u n − ... , может быть получен из него путем умножения на (-1). Поэтому он будет обладать всеми теми же свойствами, что и ряд (*). Для знакочередующихся рядов имеет место следующая теорема. Теорема 7 (Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (*) удовлетворяют условиям: 1) u n ≥ u n+1 ; 2) lim u n = 0 , n →∞ то ряд (*) сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т.е. S ≤ u1 . Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница называется рядом Лейбница. 1 Вернемся к произвольным знакопеременным рядам. Учитывая соотношения между сходимостью, условной сходимостью и абсолютной сходимостью рядов, заметим, что при исследовании знакопеременных рядов на сходимость следует придерживаться следующего плана: 1. Исследовать ряд на абсолютную сходимость, используя все достаточные признаки сходимости для знакоположительных рядов (1,2 признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши). Возможны случаи: ∞ а) Если ряд  u n сходится, то ряд n =1 ∞  un сходится абсолютно, и исследование n =1 завершается. ∞ б) Если ряд  un расходится вследствие невыполнения необходимого признака n =1 сходимости числового ряда, то lim u n ≠ 0 и ряд n →∞ ∞  un расходится, и исследование n =1 завершается. ∞ с) Если ряд  un расходится, но необходимый признак сходимости выполняется n =1 ( lim u n = 0 ), то переходим к пункту 2. n →∞ 2. Исследовать ряд на условную сходимость. Если при этом ряд является знакочередующимся, то при условии монотонного стремления к нулю последовательности {u n } можно использовать признак Лейбница. Схема поясняет все вышесказанное. 2 (−1) n Примеры 9. Исследовать на сходимость ряд  . n =1 n ∞ ∞ Решение. Составим ряд из модулей  un : n =1 (−1) n 1 un = = . n n ∞ Ряд 1  - это гармонический ряд, он расходится, а потому абсолютной n =1 n сходимости данного ряда нет. Для исследования на условную сходимость воспользуемся признаком Лейбница: Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) u n ≥ u n+1 ; 2) lim u n = 0 , то ряд сходится. n →∞ 1) 1 > 2) 1 1 1 1 > >K> > > K выполнено. 2 3 n n +1 1 1 u n = lim = = 0 выполнено. lim ∞ n →∞ n →∞ n Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится, притом сходится условно. ∞ 2n Примеры 10. Исследовать на сходимость ряд  (−1) . n n=1 n ∞ Решение. Составим ряд из модулей  un : n =1 2n 2n u n = (−1) = . n n n Для исследования этого ряда, воспользуемся достаточными признаками, а именно признаком Даламбера. Почему признак Даламбера, потому что в замечании сказано: Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал. ∞ Признак Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами  un , n =1 un > 0 u n +1 = q . Тогда справедливы следующие утверждения: существует предел lim u n →∞ n 1) если q < 1 , то данный ряд сходится; 2) если q > 1 , или q = ∞ данный ряд расходится. 3) если q = 1 , ничего определенного сказать нельзя, существует как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q = 1 . 3 Так как по формуле необходимо вычислить предел un +1 , то составим u n +1 n → ∞ un lim 2n 2 n +1 член ряда. Так как u n = , тогда u n +1 = . n n +1 Вычислим предел u n +1 n →∞ u n lim 2 n +1 2n ⋅ 2 ⋅ n 2n 2 n +1 n = lim n +n 1 = lim ⋅ n = lim = = lim n n →∞ 2 n →∞ n + 1 2 n → ∞ ( n + 1) ⋅ 2 n→∞ n + 1 n (2n)' 2 ∞  =   = lim = = 2 > 1 ряд расходится, а потому абсолютной сходимости  ∞  n →∞ (n + 1)' 1 данного ряда нет. Для исследования на условную сходимость воспользуемся признаком Лейбница: Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) u n ≥ u n+1 ; 2) lim u n = 0 , то ряд сходится. n →∞ 2 4 8 2 n 2 n +1 < < K не выполнено. 1) < < K < 1 2 3 n n +1 2) lim u n = lim n →∞ n →∞ 2n  ∞  (2 n )' 2 n ln 2 =   = lim = lim = lim 2 n ln 2 = 2 ∞ ⋅ ln 2 = ∞ n  ∞  n →∞ (n)' n →∞ 1 n →∞ не выполнено. Отсюда следует, что данный знакочередующийся ряд расходящийся. (−1) n Примеры 11. Исследовать на сходимость ряд  2 . n =1 (3n + 1) ∞ ∞ Решение. Составим ряд из модулей  un : n =1 (−1) n 1 un = = . 2 (3n + 1) (3n + 1) 2 Для исследования этого ряда, воспользуемся достаточными признаками, а именно первым признаком сравнения: ∞ 1 признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда  un , n =1 un ≥ 0 и ∞  vn , vn ≥ 0 . n =1 1) Если начиная с некоторого n 0 ∈ N выполняется условие u n ≤ vn , то из ∞ сходимости ряда с большими членами  vn n =1 ∞ членами  un ; n =1 4 вытекает сходимость ряда с меньшими 2) Если начиная с некоторого n 0 ∈ N выполняется условие u n ≥ vn , то из ∞ сходимости ряда с меньшими членами  vn вытекает расходимость ряда с большими n =1 ∞ членами  un . n =1 Алгоритм решения: 1 > 0. (3n + 1) 2 2. Составить ряд v n ≥ 0 . Для этого необходимо отбросить в знаменателе все, кроме 1 наибольшей степени. vn = 2 n 1. Посмотреть, чтобы u n = ∞ 3. Выяснить, как ведет себя ряд  v n . Для этого воспользуемся так называемыми n =1 рядами-эталонами, сходимость или расходимость которых известна заранее: vn = 1 n2 обобщенно гармонический или ряд Дирихле (он сходится при α = 2 > 1 ). 1 1 4. Сравнить ряды u n и vn : < 2 2 (3n + 1) n 5. сделать вывод: по 1 пункту ряд сходится и, следовательно, исследуемый ряд сходится абсолютно. (−1) n n Примеры 12. Исследовать на сходимость ряд  . n =1 n + 100 ∞ ∞ Решение. Составим ряд из модулей  un : n =1 (−1) n n n un = = . n + 100 n + 100 Для исследования этого ряда, воспользуемся достаточными признаками, а именно вторым признаком сравнения: 2 признак сравнения или признак сравнения в предельной форме: Если для ∞ знакоположительных рядов  un , un ≥ 0 и n =1 ∞  vn , n =1 v n ≥ 0 существует конечный и u отличный от нуля предел lim n = C , C ≠ 0 и C ≠ ∞ , тогда ряды n →∞ v n себя одинаково, т.е. одновременно сходятся или расходятся. Алгоритм решения: 1. Посмотреть, чтобы u n = n > 0. n + 100 5 ∞  un n =1 ∞ и  vn n =1 ведут 2. Составить ряд v n ≥ 0 . Для этого необходимо отбросить в числителе и знаменателе все, кроме наибольшей степени: vn = 1 n2 n 1 = = 1. n n n2 ∞ 3. Выяснить, как ведет себя ряд  v n . Для этого воспользуемся так называемыми n =1 рядами-эталонами, сходимость или расходимость которых известна заранее: 1 1 vn = 1 = - обобщенно гармонический или ряд Дирихле (он расходится при n n2 1 α = < 1). 2 n un n n n = lim n + 100 = lim ⋅ = lim = 4. Вычислить предел: lim 1 v n + 100 1 n + 100 n→∞ n n→∞ n→∞ n→∞ n (n)' 1 ∞  =   = lim = =1≠ 0 ≠ ∞ .  ∞  n→∞ (n + 100)' 1 5. Сделать вывод: ряды ведут себя одинаково, т.е. одновременно расходятся, а потому абсолютной сходимости данного ряда нет. Для исследования на условную сходимость воспользуемся признаком Лейбница: Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) u n ≥ u n+1 ; 2) lim u n = 0 , то ряд сходится. n →∞ 1 2 3 < < < K не выполнено. Последовательность 101 102 103 1) {u n } монотонно убывает, так как 1 ' ⋅ (n + 100) − n ⋅ 1  n  ( n )' (n + 100) − n (n + 100)' 2 n  =  = 2 n + 100 ( n 100 ) (n + 100) 2 +   n + 100 2n n + 100 − 2n − 100 − n 2 n = 2 n = 2 n = <0 2 2 (n + 100) (n + 100) 2 n ⋅ (n + 100) 2 n + 100 − n 2 n = = (n + 100) 2 1 2) n ∞  ( т )' u n = lim =   = lim = lim lim n→∞ n→∞ n + 100  ∞  n→∞ (n + 100)' n→∞ выполнено. Следовательно, ряд сходится условно. 6 1 1 2 n = = =0 lim 1 ∞ n→∞ 2 n Оценка суммы знакочередующегося ряда Часто, когда вычислить точную сумму ряда не представляется возможным, ограничиваются приближенным вычислением этой суммы. Для приближенного ∞ вычисления суммы S ряда  un n =1 с заданной точностью ε > 0 находят его частичную сумму S n с таким номером n , для которого модуль суммы n –остатка не превышает заданной точности. ∞ S =  u n ≈ S n , где n ∈ N таково, что S − S n = rn < ε . n =1 Для экономии вычислений номер n при этом стараются выбрать минимально возможным. Наиболее просто оцениваются суммы знакочередующих рядов. Если такой ряд удовлетворяет условию признака Лейбница, то по следствию из этой теоремы абсолютная погрешность суммы ряда, вычисленной приближенно с помощью некоторой n -частичной суммы, не превышает модуля первого отброшенного члена ряда: S − S n = rn ≤ u n+1 . Поэтому для обеспечения заданной точности достаточно найти такой номер n , чтобы u n+1 < ε . (−1) n Пример 13. Вычислить сумму ряда  3 с точностью ε = 0,01 . n =1 n + 1 ∞ ∞ Решение. Ряд 1 , составленный из модулей членов данного ряда. Проверим 3 n =1 n + 1  его по признаку Лейбница. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) u n ≥ u n+1 ; 2) lim u n = 0 , то ряд сходится. n →∞ 1) 1 1 1 1 1 > > >K> 3 > > K выполнено. 3 2 9 28 n + 1 (n + 1) + 1 2) u n = lim 3 = =0 lim ∞ n + 1 n →∞ n →∞ 1 1 выполнено. Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится, а условно или абсолютно не важно. Вычислим теперь приближенно сумму исходного ряда. Для этого надо найти такой наименьший номер n ∈ N , при котором для исследуемого ряда будет выполняться неравенство u n +1 < ε : u n+1 = 1 < 0,01 . (n + 1) 3 + 1 7 1 1 <  (n + 1) 3 + 1 > 100  (n + 1) 3 + 1 > 100  (n + 1) 3 + > 99  n + 1 > 3 99 3 (n + 1) + 1 100  n > 3 99 − 1 ≈ 3,6 . Таким образом, n = 4 и приближенное значение суммы ряда с точностью 0,01 равно (−1) n 1 1 1 1  3 ≈ S 4 = − 2 + 9 − 28 + 65 ≈ −0,5 + 0,11 − 0,04 + 0,02 ≈ −0,41 . n =1 n + 1 Можно, конечно, поступить и прямолинейно, вычисляя каждый член ряда и оценивая его погрешность: 1 n =1 S1 = − = −0,5 , S1 = 0,5 > 0,01; 2 1 n=2 S 2 = = 0,111 , S 2 = 0,111 > 0,01 ; 9 1 n=3 S 2 = − = −0,036 , S 3 = 0,036 > 0,01 ; 28 1 n=4 S2 = = 0,015 , S 4 = 0,015 > 0,01; 65 1 n=5 S2 = − = −0,0,008 , S 5 = 0,008 < 0,01 , это нам уже не подходит. 126 ∞ 8