Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Зависимость между моментами инерции при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции. Определение положения главных осей и вычисление значений главных моментов инерции различных поперечных сечений. Главные оси и главные моменты инерции Посмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей x и y (не обязательно центральных). Требуется определить Iu, Iv и Iuv – моменты инерции относительно осей u и v, повернутых относительно первой системы на угол α (рис. 10.1). Так как проекция ломаной 0ABC равна проекции замыкающей, находим: u=OC=KD=KA+AD, v=BC=BD-CD. Или прибегая к тригонометрическим зависимостям, получаем: u = y sin α + x cos α , v = y cos α − x sin α . Исключим u и v в выражениях моментов инерции: I u = ∫ v 2 dA ; I v = ∫ u 2 dA ; I uv = ∫ uvdA . A A A Рис. 10.1 Тогда: I u = ∫ ( y sin α + x cos α ) 2 dA , A I v = ∫ ( y cos α − x sin α ) 2 dA , A I uv = ∫ ( y sin α + x cos α )( y cos α − x sin α )dA . A Откуда: I u = I x cos 2 α − I xy sin 2α + I y sin 2 α , I v = I x sin 2 α + I xy sin 2α + I y cos 2 α , I uv = I xy cos 2α + Ix − Iy 2 (10.1) sin 2α . Складывая два первых уравнения, получим: I u + I v = I x + I y = ∫ ( x 2 + y 2 )dA . (10.2) A Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла α и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что x + y = ρ , где ρ – расстояние от начала координат до элементарной площадки. Тогда: 2 Ix + Iy = I p , 2 2 (10.3) где Ip –полярный момент инерции, значение которого, будет найдено позже и не зависит от угла поворота. С изменением угла поворота осей α значения Iu и Iv меняются, но их сумма остается неизменной. Следовательно, существует такое α, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, а второй – минимального. 2 2 Дифференцируя выражение I v = I x sin α + I xy sin 2α + I y cos α по α и приравнивая производную нулю, находим: tg 2α = 2 I xy Iy − Ix . (10.4) При этом угле α один из осевых моментов будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно центробежный момент обращается в нуль. Ось, относительно которой центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если к тому же они являются центральными, то тогда они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Они определяются: Ix + Iy Iy − Ix cos α − I xy sin 2α , 2 2 I + Iy Iy − Ix Iv = x − cos α + I xy sin 2α . 2 2 Iu = − (10.5) (10.6) Учитывая тригонометрические соотношения, можно получить выражения для максимального и минимального моментов инерции сечения: I max = min Ix + Iy 2 ± ( Iy − Ix 2 ) 2 + I xy2 . (10.7) Верхний знак выражения соответствует максимальному моменту инерции, а нижний – минимальному. Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось, очевидно, всегда будет главной. Центробежный момент инерции сечений, расположенных по одну сторону от оси, равен моменту сечений, расположенных по другую сторону оси, но противоположен по знаку. Следовательно, Ixy=0 и ось является главной. Сечение всегда имеет две главные центральные оси, однако, существуют сечения, которые имеют бесконечное количество главных центральных осей. К таким сечениям относятся все правильные фигуры.