Законы теплового излучения

МГУ им. адм. Г.И. Невельского кафедра физики В. В. Брунбендер Конспект лекций по физике Законы теплового излучения Владивосток 2021 1 План лекции 1. Понятие теплового излучения, спектральные и интегральные характеристики теплового излучения 2. Понятие черного тела; практическая модель черного тела 3. Закон Стефана – Больцмана 4. Закон Кирхгофа для теплового излучения 5. Закон смещения Вина 6. Формула Рэлея – Джинса 7. Формула Планка; понятие о фотонах 1. Тепловое излучение; характеристики теплового излучения Тепловым излучением называют испускание поверхностью тела электромагнитных волн за счет энергии теплового хаотического движения микроскопических частиц, составляющих тело. Тепловое излучение находится в термодинамическом равновесии с поверхностью тела. Различают спектральные и интегральные характеристики теплового излучения. 1.1. Спектральные характеристики 1) Спектральная поглощательная способность а. Пусть на поверхность непрозрачного тела падает поток излучения dФ0() в частотном интервале ( + d). Часть потока dФпогл() поглощается поверхностью, остальное излучение отражается от нее. Поглощательная способность поверхности определяется a = d  погл ( ) . d  0 ( ) (1) 2) Спектральная плотность энергетической светимости1 (частотная) равна мощности, излученной с единичной поверхности тела в единичном интервале частот dR r = , (2) d где dR – мощность излученная с единичной поверхности в интервале частот ( − d). 3) Спектральная плотность энергетической светимости (волновая) равна мощности, излученной с единичной поверхности тела в единичном интервале длин волн r = 1 dR , d (3) Применяется также термин «спектральная излучательность» 2 где dR – мощность, излученная с единичной поверхности в интервале длин волн ( – d). Связь между r и r   = c  ; d = − c 2  d   r = − 2 c  r . (4) 1.2. Интегральные характеристики 1). Энергетическая светимость2 поверхности R равна полной мощности, излученной единичной поверхностью тела на всех частотах во всех направлениях P  Вт  RT =  2 . (5) S м  Из (2) и (3) можно получить выражения, связывающие RT с r и r:  RT =  r d ;  RT =  r d . (6) 2) Степень черноты поверхности (интегральная поглощательная способность):  AT =  a d ;  AT =  a d . (7) Степень черноты АT не является строгой характеристикой поверхности; она зависит от температуры и от спектрального состава падающего излучения. В определенных случаях, при малых изменениях температуры и при неизменном спектре излучения, применение АT вполне оправданно. 2. Абсолютно черное тело Абсолютно черным телом (АЧТ) называют тело, спектральная поглощательная способность поверхности которого а = 1 на всем диапазоне частот (0 ≤  ≤ ∞). Из (7) следует, что для черного тела АT = 1. В природе абсолютно черных тел не существует. Поглощательной способностью, близкой к единице, обладают сажа и платиновая чернь. В видимом диапазоне длин волн поверхность, покрытая сажей, имеет а = 99; но в инфракрасном диапазоне поглощательная способность сажи значительно меньше. Наиболее чёрным из всех известных тел является композитный материал, состоящий из параллельно ориентированных углеродных нанотрубок, поверхность материала имеет степень черноты а ≈ 0,999 в диапазонах радиоволн, микроволн и видимого света. Черная поверхность излучает электромагнитное излучение, энергетическая светимость которого в значительной степени зависит от температуры тела. 2 Применяется также термин «излучательность». 3 У природных тел наиболее близкой к излучению АЧТ является поверхность Солнца (а также и звезд), однако, в отличие от излучения АЧТ, в спектре Солнца наблюдаются спектральные линии водорода, гелия и некоторых других элементов. Для градуировки оптических спектральных приборов применяется модель АЧТ в виде замкнутой полости с покрытыми сажей стенками и с небольшим отверстием (глазком). Свет, попадающий внутрь полости через глазок, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным. При нагревании этой полости через отверстие будет испускаться излучение, практически совпадающее с излучением АЧТ. Рис. 1. Практическая модель черного тела Характеристики АЧТ играют важную роль в теории теплового изучения, обычно в научной и учебной литературе их помечают символом «*», так, r* – спектральная плотность энергетической светимости черного тела; R*T – энергетическая светимость черного тела и так далее. 3. Закон Стефана – Больцмана Формулировка закона: энергетическая светимость АЧТ пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры. RT* =  T 4 , (8) где  = 5,67∙10−8 Вт/(м2∙К 4) – постоянная Стефана – Больцмана. Закон был открыт экспериментально в 1879 г. французским ученым Стефаном и теоретически Больцманом в 1884 г. на основе законов термодинамики. Закон Стефана – Больцмана позволяет рассчитать мощность, излученную АЧТ площадкой S: P = RT* S =  T 4 S . Приближенно закон Стефана – Больцмана может применяться для излучения поверхности «серого» тела RT = AT T 4 , (9) 4 где Т – степень черноты поверхности. При применении формулы (9) необходимо учитывать зависимость степени черноты АТ от температуры тела. В качестве примера сравним спектральный состав излучения АЧТ r* ( ) (кривая А) и «серой» вольфрамовой спирали (кривая В) при Т = 2400 К (рис. 2).  (мкм) Рис. 2. 4. Закон Кирхгофа для теплового излучения Пусть две бесконечные параллельные плоскости (одна плоскость представляет собой АЧТ, другая – нечерная с поглощательной способностью а ≠ 1) разделены вакуумным промежутком и находятся в теплоизолированной системе. Благодаря обмену энергией в виде теплового излучения в системе двух плоскостей через некоторое время установится термодинамическое равновесие. АЧТ плоскость излучает мощность dP* = r*d  S в интервале частот ( + d), которая падает на нечерную плоскость. В условии термодинамического равновесия мощность, поглощенная нечерной плоскостью dPпогл = a dP* = a rd  S , равна мощности, излученной этой же плоскостью dPизл = r d  S , откуда dPпогл = dPпогл  a rd  S = r d  S . После преобразований получим формулу закона Кирхгофа для теплового излучения r = r . a (10) Отношение спектральной плотности энергетической светимости поверхности тела r к его спектральной поглощательной способности a равно спектральной плотности энергетической светимости r* АЧТ и не зависит от природы тела. Спектральную плотность энергетической светимости АЧТ r* называют функцией Кирхгофа; исследование экспериментальной и теоретической зависимости функции Кирхгофа от частоты (или r* от ) было одной из наиболее важных задач физики на рубеже 19 и 20 веков. 5. Закон смещения Вина Немецкий ученый Вин исследовал распределение энергии излучения в полости с зеркальными стенками (оптический резонатор) и на основе законов 5 классической электродинамики и термодинамики в 1893 г. получил закон распределения энергии по длинам волн в спектре АЧТ (распределение r* ()) и получил формулу, совпадающую с экспериментом: b (11) m = , T где m – длина волны, при которой r* принимает максимальное значение; b = 2,9  10−3 м  К – постоянная Вина. Формулировка закона: длина волны m, на которую приходится максимум интенсивности в спектре излучения АЧТ ( r* ()) обратно пропорциональна его термодинамической температуре Т. Рис. 3. Распределение r () в спектре излучения АЧТ * Закон смещения максимума в спектре излучения АЧТ можно записать также для зависимости r* ()  m = b T , (12) где m – частота, на которую приходится максимум в частотном спектре излучения АЧТ; b – частотная постоянная Вина (b = 5,88∙1010 Гц/К). Частота m, на которую приходится максимум интенсивности в спектре излучения АЧТ ( r* ()) прямо пропорциональна его термодинамической температуре. При повышении температуры максимум в спектре излучения АЧТ смещается в сторону более коротких длин волн (в область более высоких частот). Важно: при перерасчете максимумов в волновом m и частотном m спектрах нельзя использовать формулу связи между  и . Пример: при Т = 1000 К максимум в волновом спектре излучения АЧТ m ≈ 2,9 мкм, а в частотном спектре излучения АЧТ m ≈ 5,9∙1013 Гц . Произведение m∙m ≈ 1,7∙108 м/с ≠ с. 6 6. Поиски формулы функции Кирхгофа 6.1. Формула Рэлея – Джинса Рэлей и Джинс рассматривали распределение энергии электромагнитных колебаний в объемном оптическом резонаторе – полости в форме параллелепипеда с зеркальными стенками. В резонаторе могут продолжительное время существовать лишь стоячие волны, которые целое число раз укладываются между стенками резонатора, т.е. должно выполняться условие для определенной моды3 (l, m, n) колебаний: x = l l; y = m m; z = n n, где l, m, n – целые числа; x, y, z – размеры резонатора. Применяя методы статистической физики к модам колебаний, Рэлей и Джинс рассчитали поверхностную плотность стоячих волн на n = единичном интервале частот: 2 2 . c2 (13) Из термодинамики известно, что средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа = i ∙ ½ ∙ kT , где i – число степеней свободы. Полагая из термодинамических соображений среднюю энергии моды колебаний =2∙½ ∙ kT = kT (i = 2, так как у электромагнитной волны имеются 2 поляризации), Рэлей и Джинс получили формулу для спектральной плотности излучения АЧТ 2 2 r = 2  kT . c * (14) Исследования показали, что формула Рэлея – r Джинса согласовывалась с экспериментом только в области низких частот, в области средних частот она существенно расходилась с экспериментом, в области высоких частот ( → ∞) излученная черным телом электромагнитная энергия также должна стреРис. 4 миться к бесконечности. График зависимости   r () согласно формуле Рэлея – Джинса и эксперименту дан на рис. 4. Из графика следует абсурдный вывод – любое тело при Т ≠ 0 должно излучать бесконечно большую мощность. Формула Рэлея – Джинса, полученная из законов классической физики, не смогла объяснить природу теплового излучения. Неспособность классической физики объяснить законы теплового излучения называют ультрафиолетовой катастрофой. 3 Мода – тип колебаний. 7 6.2. Формула Планка Планк предположил, что тепловое излучение с поверхности тела испускается порциями (квантами), энергия кванта пропорциональна частоте излучения: 0 = h  , (15) где h = 6,63∙10−34 Дж∙с – постоянная Планка. Дополнив квантовую гипотезу статистическими методами расчетов, Планк нашел среднее значение моды электромагнитных колебаний: = h .  h  exp   −1  kT  (16) После замены в формуле Рэлея и Джинса средней энергии осциллятора kT на найденное значение , Планк получил формулу для функции Кирхгофа, полностью совпадающую с данными эксперимента: r* = 2 2  c2 h .  h  exp   −1  kT  (17) Формула Планка, являющаяся следствием квантовой теории излучения, позволяет получить основные законы теплового излучения. В области низких частот (h ≪ kT) формула Планка переходит в формулу Рэлея – Джинса:  h exp   kT h   1 +  kT  2 2 h 2 2  r = 2  = 2  kT . h c c 1+ −1 kT * В области высоких частот (h ≫ kT):  h  exp    kT  2 2 1  r = 2  c * h 2 h 3  h  =  exp  − , 2 c kT   h   exp    kT  следовательно, r → 0 при  → ∞ так как экспонента убывает круче, чем возрастает степенная функция. Из формулы Планка математически также можно получить закон Стефана – Больцмана и закон смещения Вина. В настоящее время квантовая теория электромагнитного излучения лежит в основе современной физики, а постоянная Планка является одной из важнейших физических констант. 8