Законы распределений дискретных случайных величин

Составитель: ст. преподаватель Ершова И.В. § 6. Примеры законов распределений дискретных случайных величин 6.1. Биномиальное распределение Определение. Дискретная случайная величина называется X распределѐнной по биномиальному закону с параметрами, если еѐ возможные значения есть числа 0, 1, 2, …, m, …, n, а соответствующие вероятности определяются формулами: Pn  X  m   Cnm  p m  q nm , где Cnm  n! , q  1  p, m  0, 1, 2, ..., n. m! n  m ! К этому распределению приходят в тех случаях, когда изучается последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью p . Ряд распределения биномиального закона имеет вид: xi 1 … m … n pi qn nq n1 … Cnm  p m  q nm … pn Теорема. Математическое ожидание СВ Х, распределѐнной по биномиальному закону, есть а еѐ дисперсия M  X   np, D  X   npq. Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, в теории стрельбы, при описании функционирования систем массового обслуживания и в др. областях. 6.2. Геометрическое распределение X Определение. Дискретная случайная величина называется распределѐнной по геометрическому закону, если еѐ возможными значениями являются числа 1, 2, , m, ... (бесконечное, но счѐтное множество), а соответствующие вероятности определяются формулами: P  X  m   p  q nm , где q  1  p . Составитель: ст. преподаватель Ершова И.В. Ряд геометрического распределения СВ X имеет вид: xi 1 2 3 … m … pi p pq p2q … p m1  q … Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число mиспытаний, проведѐнных по схеме Бернулли, с вероятностью р наступления события в каждом испытании до первого «успеха» (положительного исхода). Например, число вызовов радистом корреспондента до тех пор, пока вызов не будет принят, есть случайная величина, имеющая геометрическое распределение. Теорема. Математическое ожидание СВ Х, распределѐнной по геометрическому закону с параметром р, есть 1 M X   , p а еѐ дисперсия q D  X   2 , где q  1  p. p 6.3. Гипергеометрическое распределение Определение. Дискретная случайная величина имеет X гипергеометрическое распределение с параметрами n, N , M , если она принимает значения ( ) с вероятностями Р  X  m  где СMm  CNnmM ,. CNn – натуральные числа. Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина – число объектов, обладающих заданным свойством, среди объектов, случайно извлечѐнных (без возврата) из совокупности объектов, из которых обладают этим свойством. Например, X – число белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей M белых шаров и N  M не белых, – есть случайная величина, имеющая гипергеометрическое распределение. Теорема. Математическое ожидание СВ Х, распределѐнной по гипергеометрическому закону с параметрами n, N , M , есть Составитель: ст. преподаватель Ершова И.В. M X   n M , N а еѐ дисперсия D X   n  M  M  n  1    1   . N 1  N   N  6.4. Распределение Пуассона Определение. Дискретная случайная величина называется X распределѐнной по закону Пуассона с параметром  , где   0 , если еѐ возможными значениями являются числа 0,1, 2, , m, ..., (бесконечное, но счѐтное множество), а соответствующие вероятности определяются формулами: Р  X  m   m  e ,   0. m! Ряд распределения закона Пуассона имеет вид: xi pi  e 1 e 2  2e  2!  … m … …  m  e  m! … Теорема. Математическое ожидание СВ Х, распределѐнной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру  этого закона, т.е. M  X   , D  X   . По закону Пуассона распределены, например, число рождения четверней, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др. Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений ДСВ Закон распределения Биномиальный Геометрический Гипергеометрический Закон Пуассона M X  D X  np 1 p npq q p2 n M N  M  M  1  N 1  N    n   1     N Составитель: ст. преподаватель Ершова И.В. ВЫПОЛНИТЕ ЗАДАНИЕ!!! Задание. Определить по заданному условию, к какому закону распределения относится случайная величина Х. 1. В лотерее «Спортлото 6 из 45» денежные призы получают участники, угадавшие 3, 4, 5 и 6 видов спорта из отобранных случайно 6 видов из 45. СВ Х – число угаданных видов спорта среди случайно отобранных. 2. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. СВ Х – число проверенных деталей. 3. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. СВ Х – число купленных пар обуви, изготовленных первой фабрикой. 4. По мишени производится три выстрела, причѐм вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. СВ X – число попаданий в мишень. 5. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Наудачу отобрано 4 прибора. СВ Х – число неточных приборов среди четырѐх отобранных. 6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. СВ Х – число элементов, отказавших за время t. Ответы запишите в таблицу: 1. 2. 3. 4. 5. 6. впишите закон распределения впишите закон распределения впишите закон распределения впишите закон распределения впишите закон распределения впишите закон распределения