Задачи управления запасами

Тема 4.6. Задачи управления запасами 4.6.1. Экономическое содержание задач управления запасами. Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказов. Спрос можно удовлетворить путем однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду). При избыточном запасе требуются более высокие удельные (отнесенные к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает реже и частота размещения заказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастают. Для любого из указанных крайних случаев характерны большие экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации общих издержек, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита. В дальнейшем мы будем учитывать расходы трех типов: 1. Расходы, вызываемые оформлением и получением заказа при закупке или производстве. 2. Затраты на хранение запаса на складе. Сюда включаются, например, затраты на переработку, амортизационные и эксплуатационные расходы, процент на инвестированный капитал, расходы на страхование и налоги. 3. Расходы (штрафы), возникающие при истощении запасов, когда происходит задержка в обслуживании или спрос вообще невозможно удовлетворить. Эти расходы связаны с ухудшением репутации поставщика у потребителя и с потенциальными потерями прибыли. Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Приведем (далеко не полный) перечень подобных условий: 1. Все затраты могут оставаться постоянными или изменяться от времени (например, в зависимости от сезона может меняться стоимость хранения продукции на складе). Затраты могут зависеть также от объема запасов (размером партии может, например, определяться оптовая скидка при покупке или стоимость хранения на складе). 2. Спрос может быть известным или неизвестным, постоянным (спрос на хлеб) или зависящим от времени (спрос на мороженое). Величина, характеризующая спрос, может быть как дискретной (плиты перекрытия), так и непрерывной (раствор). 3. Заказы на пополнение запасов могут выполняться немедленно или с определенной задержкой. Величина задержки может быть детерминированной или случайной. Заказы можно делать в любые или только в определенные моменты времени. 4. Процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно (заказы поступают от внешнего источника) или равномерно во времени (запасаемая продукция производится самой организацией). Размер заказа может измеряться дискретной или непрерывной величиной и может быть как постоянным, так и переменным. 5. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надежно прогнозировать, период времени, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса, принимается конечным или бесконечным. 6. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса, образующих иерархическую структуру с различными периодами пополнения и временем поставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами и т.п. 7. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Этот фактор учитывается при наличии зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться один и тот же склад или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные мощности. Рассмотренные далее в этой теме модели соответствуют самым простым системам управления запасами. Маловероятно, что эти модели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью разъяснения различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами. 4.6.2. Детерминированная статическая модель без дефицита. Данная модель характеризуется постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита (т.е. нехватка товара не допускается, штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно велик). Такую модель можно применять в следующих типичных ситуациях: а) использование осветительных ламп в здании; б) использование канцелярских товаров крупной фирмой; в) использование таких промышленных изделий, как гайки, болты и т.п.; г) потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока). Предположим, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна . Пусть q – размер заказа, ts – интервал времени между поступлениями заказов, R – полный спрос за все время планирования T. В данной модели наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером q и падает до нуля спустя время ts (рис.4.6.1). q q q q q ts ts ts ts ts Т Рис. 4.6.1. Кривая запасов. Модель без дефицита. Тогда q /2 – средний запас в течение ts,  = R/Т, ts = q/. Чем меньше размер заказа q, тем чаще нужно размещать новые заказы. Однако, при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже. Так как затраты зависят от частоты размещения заказа и объема хранимого запаса, то величина q выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат (минимизации их суммы). Пусть с1 – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении (при покупке или производстве), с2 – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени, тогда суммарные затраты в единицу времени можно представить как функцию от q в виде: с(q) = затраты на оформление заказа в единицу времени + затраты на хранение запасов в единицу времени = = с1/ ts + с2 q/2 = с1/q + с2q /2. (4.6.1) В точке минимума функции с(q) ее производная равна нулю: c′(q) = - с1/q2 + с2/2 = 0, откуда находим оптимальное значение размера заказа q* = 2 с1/ с2. (4.6.2) Полученное выражение обычно называют формулой экономичного размера заказа Уилсона. Подставляя q* в (4.6.1) определим минимальные ожидаемые суммарные накладные расходы: С* = Тс(q*) =Т2с1с2 . (4.6.3) Время расхода оптимальной партии равно ts* = q* / = 2 с1/( с2). (4.6.4) Пример 4.6.1. Ежедневный спрос на некоторый товар составляет 100 ед. Затраты на размещение каждого заказа постоянны и равны 1000 руб. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса составляют 0.2 руб. Требуется определить оптимальный размер партии, оптимальную продолжительность цикла поставок и вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат. Подстановка исходных данных примера в уравнения (4.6.2)-(4.6.4) нам дает q* = 21001000/0.2 = 1000 ед. С* =365210010000.2 = 73000 руб. ts* = 21000/(1000.2) = 10 дней. Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа от момента размещения до его действительной поставки. Тогда необходимо определять точку возобновления заказа, как правило, через уровень запаса, соответствующий моменту возобновления заказа. На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной точки возобновления заказа. Возможно, по этой причине модель экономичного размера заказа называют моделью непрерывного контроля состояния заказа. Пример 4.6.2. Предположим в условиях примера 4.6.1, что срок выполнения заказа L равен 12 дням. Так как оптимальная продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление заказа в условиях налаженного производства происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 12 – 10 = 2 дня. Таким образом, заказы должны делаться регулярно при достижении уровня запаса 2100=200 ед. После стабилизации системы можно считать, что срок выполнения заказа равен L – ts* при L  ts*. В описанных условиях в любой момент времени имеется более одного размещенного, но еще не выполненного заказа, и «эффективный» срок выполнения заказа принят равным 2 дням. 4.6.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом. Эта модель отличается от предыдущей только тем, что превышение спроса над запасами уже допускается, т.е. штраф за нехватку конечный. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 4.6.2. Убывание запаса в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 4.6.1 характеризует накопление дефицита. Каждый период пополнения запаса ts состоит в данном случае из суммы двух интервалов, где t1 – время, в течение которого производится потребление запаса, t2 – время, когда накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии. s q t1 t2 t1 t2 t1 t2 t1 t1 t2 ts ts ts ts ts Т Рис. 4.6.2. Кривая запасов. Модель с дефицитом. Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s теперь не равен размеру заказа q, а меньше его на величину дефицита q - s, накопившегося за время t2. Из подобия треугольников на рис.4.6.2 имеем t1 / ts = s / q, t2 / ts = (q – s) / q. (4.6.5) Средний запас за время t1 равен s/2. Поэтому затраты на хранение за время t1 составляют t1c2s/2. Пусть c3 – величина штрафа за нехватку одной единицы продукции в единицу времени, тогда при среднем уровне дефицита за время t2, равном (q – s)/2, штраф за это время составляет t2c3(q – s)/2. Таким образом, ожидаемые суммарные расходы за время ts равны c1 + t1c2s/2 + t2c3(q – s)/2 или, поделив на ts, получаем общие затраты в единицу времени: c1/ ts + (t1 /ts)c2s/2 + (t2 /ts)c3(q – s)/2. Подставляя сюда (4.6.5) и ts = q / , получаем выражение для общих затрат в единицу времени как функции от q и s: с(q, s) = с1/q + с2s2/(2q) + c3(q – s)2/(2q). (4.6.6) Из уравнения (4.6.6) находим оптимальные значения объема заказа q* и максимального уровня запаса s*, при которых функция с (4.6.6) принимает минимальное значение. Для этого приравниваем частные производные с/q, с/s к нулю и после упрощений получаем систему уравнений: s = qс3 /(с2 + с3), (4.6.7) q2 с3 - (с2 + с3)s2 = 2с1. Решая эту систему относительно q и s, находим q* = 2 с1/ с2 (с2 + с3)/ с3 и s* = q*с3 /(с2 + с3). (4.6.8) Определим минимальные ожидаемые суммарные накладные расходы за весь период Т: С* = Тс(q*, s*) =Т2с1с2с3 /(с2 + с3). (4.6.9) Оптимальный интервал времени между заказами равен: ts* = q* / = 2 с1/( с2) (с2 + с3)/ с3 . (4.6.10) При сравнении результатов, полученных для моделей без дефицита и с дефицитом, можно заметить, что уравнения (4.6.2)-(4.6.4) можно получить из уравнений (4.6.8)-(4.6.10), если с3  , действительно, отсутствие дефицита соответствует бесконечно большому штрафу за неудовлетворенный спрос. Отметим также, что ожидаемые суммарные расходы в модели с дефицитом меньше, чем в модели без дефицита, т.к. они отличаются на величину  =с3/(с2+с3)  1. Коэффициент  называется плотностью убытков из-за неудовлетворительного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Пример 4.6.3. Пусть сохраняются все условия примера 4.6.1, но только штраф с3 за нехватку теперь равен 0.4 руб. за одно изделие в день. Из уравнений (4.6.8)-(4.6.10) получаем: q* = 21000100/0.2(0.2 + 0.4)/ 0.4 = 1225 ед., s* = 12250.4 /(0.2 + 0.4) = 817 ед., С* = 365210000.21000.4 /(0.2 + 0.4) = 59604 руб., ts* = 1225 /100 = 12.25 дней. При оптимальной стратегии ожидаемый дефицит к концу каждого периода составлял бы 1225 – 817 = 408 изделий. 4.6.4. Простая вероятностная модель (I). Рассмотрим вначале приближенный метод, сохраняющий простоту модели экономичного размера заказа и в то же время учитывающий вероятностный характер спроса. Этот метод предусматривает создание некоторого (постоянного) резервного запаса на всем горизонте планирования. Размер резерва определяется таким образом, чтобы вероятность истощения запаса в течение периода выполнения заказа L не превышала наперед заданной величины . Тогда размер резервного запаса В определяется из условия: x  В + L  , где L представляет собой потребление в течение времени L. Пример 4.6.4. Предположим, что ежедневный спрос в примере 4.6.2 является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним  =100 и средним квадратичным отклонением =10. Определим размер резервного запаса таким образом, чтобы вероятность истощения запаса в течение срока выполнения заказа не превышала 0.05. Из примера 4.6.2 этот срок равен 2 дням. Так как ежедневный спрос распределен нормально, запаздывание спроса xL также имеет нормальное распределение со средним L = 2100 = 200 и средним квадратичным отклонением L = 2102= 14.14. Таким образом, нам необходимо найти В, удовлетворяющее x L  В + L  , (x L – L)/ L  В/ L   , или (x L – L)/ L  В/ 14.14   0.05. Используя формулу доверительной вероятности для нормального распределения (3.3.12), получим Ф(В/14.14)  0.9. Из таблицы значений функции Лапласа Ф(x) (приложение 2) получаем В/14.14  1.645, или В23.26. В этой модели определяющим фактором является среднее квадратичное отклонение. Действительно, если среднее квадратичное отклонение равно нулю (детерминированный случай), размер резервного запаса должен быть нулевым. 4.6.5. Простая вероятностная модель (II). При построении этой модели штрафы, связанные с дефицитом запасов, считаются конечными, и данная модель имеет следующие особенности: 1. Спрос и пополнение запасов оцениваются на основе опытных данных. 2. Рассматривается производство и потребление дискретного продукта. 3. Распределения по времени спроса и заказов на пополнение дискретные и неравномерные. 4. Известно и постоянно время выполнения заказов. Здесь учитываются только расходы на приобретение запасных деталей, которые могут оказаться лишними, и убытки, возникающие при их нехватке. Пусть спрос r является случайной величиной и задан закон (ряд) распределения (r). Тогда запасу в s деталей будут соответствовать следующие затраты: (s - r)с2, если r  s , т.е. запас оказался чрезмерным, и (r - s)с3, если s  r , т.е. запасных деталей не хватило. Тогда среднее значение суммарных затрат (математическое ожидание) имеет вид: C(s) = с2s – r) (r) + с3r – s)(r). (4.6.11) Задача управления запасами при вероятностном спросе состоит в отыскании такого запаса s*, при котором математическое ожидание суммарных затрат (4.6.11) принимает минимальное значение. Опуская доказательство, получаем, что значение s* должно удовлетворять неравенствам P(s* – 1)  с3 /(с2 + с3)  P(s*), (4.6.12) где P(s) =(r) – эмпирическая функция распределения спроса (вероятность того, что спрос r  s). Пример 4.6.5. Пусть стоимость одной детали, если ее заказывать заранее, составляет 100 руб. Отсутствие этой детали в запасе при поломке приводит к простою оборудования и срочный заказ детали обходится в 200 руб. Опытные данные о частоте выхода этой детали из строя приведены в табл. 4.6.1. Таблица 4.6.1. Потребовалось запасных деталей (r) 1 2 3 4 5 6 и более Сколько случаев потребовало данное число деталей 10 20 25 20 15 10 Эмпирическая вероятность (r) 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10 Подсчитаем значение с3 /(с2 + с3) = 200/(100 + 200) = 0.67. Оптимальное решение получается в результате построения эмпирической функции распределения спроса (табл. 4.6.2). Таблица 4.6.2 s 1 2 3 4 5 P(s) 0.10 0.30 0.55 0.75 0.90 1.00 Так как P(2) = 0.55  0.67  0.75 = P(3), то оптимальное значение s* = 3. Полученным аналитическим решением можно воспользоваться для оценки потерь, возникающих при недостаточных запасах. Предположим, что нам неизвестна зависимость штрафа от размера дефицита, а уровень запасов, который предприниматель стремится поддерживать, равен трем деталям. Для какого штрафа этот уровень запасов будет оптимальным? Подставляя в (4.6.12) s* = 3, получим P(2)  с3 /(с2 + с3)  P(3), 0.55  с3 /(100 + с3)  0.75. Определим минимальное значение с3: с3/(100 + с3) = 0.55, откуда с3 = 122. Определим максимальное значение с3: с3 /(100 + с3) = 0.75, откуда с3 = 300. Следовательно, предприниматель считает, что размер штрафа за дефицит заключен в пределах от 122 до 300 руб. Заключение. Общее решение задачи выбора оптимальных размеров и сроков размещения заказов на запасаемую продукцию нельзя получить на основе одной модели. Мы рассмотрели некоторые простые частные случаи. В реальных условиях потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить, так как они могут быть обусловлены нематериальными факторами, например, ухудшением репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этих расходов существенно усложняет математическое описание задачи. Известные модели управления запасами редко точно описывают реальную систему. Поэтому решения, получаемые на основе моделей этого класса, следует рассматривать скорее как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. В ряде сложных случаев приходится прибегать к методам динамического программирования и даже имитационного моделирования системы, чтобы получить достаточно надежное решение.