Задача статики

Лекция 2. Задача статики Строительные объекты – здания и сооружения – являются неподвижными объектами (за исключением «избушки на курьих ножках»). В этом случае внешние силы, действующие на здания, уравновешиваются внутренними силами. Раздел механики, изучающий условия, при которых тело находится в равновесии, называется статикой. При расчёте строительных конструкций рассматривается состояние их равновесия, когда они находятся в покое, т. е. без движения (рис. 2.1). В этом случае рассматриваются нагрузки, не изменяющиеся во времени и пространстве. Рис. 2.1. Пример системы, находящейся в равновесии Условия, которым должна удовлетворять приложенная к некоторому объекту система сил  Fi n , чтобы он находился в равновесии, называются условиями равновесия системы сил. В общем виде эти условия формулируются следующим образом. Система сил, приложенных к твердому телу, уравновешена тогда и только тогда, когда ее главный вектор сил R и вектор главного момента М относительно произвольного центра равны нулю:    0;    0. R F i   М Fi  n (2.1) n Данные уравнения являются векторными. Уравнения равновесия в скалярной форме получаются путем проецирования уравнений (2.1) на оси координат OX, OY и OZ. 1 В общем случае – для произвольной пространственной системы сил – в качестве условий равновесия объекта в пространстве рассматриваются следующие шесть уравнений:  Rx  Fi x  0;   Ry  Fi y  0;   R  Fi z  0; z   M x Fi  0;  Мx   M y Fi  0; М y   М  M z Fi  0. z              (2.2) Таким образом, для равновесия твердого тела под действием пространственной произвольной системы сил необходимо, чтобы три проекции главного вектора системы сил (суммы проекций всех сил) на три координатные оси и три проекции вектора главного момента системы сил (суммы моментов всех сил вокруг трех координатных осей) были равны нулю. Для произвольной плоской системы сил из уравнений (2.2) остаются только три, соответствующие, например, плоскости XOY:  Rx  Fi x  0;   R  Fi y  0; y   M z Fi  0. М z        (2.3) Это означает, что для равновесия твердого тела под действием плоской произвольной системы сил необходимо, чтобы две проекции главного вектора системы сил (суммы проекций всех сил) на две координатные оси, лежащие в плоскости действия сил, и сумма моментов всех сил (главный алгебраический момент системы сил) относительно произвольного центра в плоскости были равны нулю. Рассмотрим пример, иллюстрирующий использование условий равновесия (2.3) для плоской балки AB, нагруженной распределённой нагрузкой с и моментом (рис. 2.2, а). Определим (в долях q и l) сосредоточенные силы XA, YA и YB – соответственно, реакции в опорах А и B (рис. 2.2, б). 2 q A Q = ql M = ql2 l XA B YA l/2 ql2 YB Рис. 2.2. Иллюстрация использования уравнений равновесия (3): а – расчётная схема балки на опорах; б – опорные реакции Для определения опорной реакции XA необходимо составить сумму проекций всех сил на ось OX:  Fi x  X A  0. Для нахождения реакций YA и YB воспользуемся оставшимися двумя уравнениями – суммой проекций всех сил на ось OX и суммой моментов всех сил относительно оси OZ. Для определения реакции YB запишем сумму моментов сил относительно оси, проходящей через точку А:  M z,A  F   Y i B  l  ql 2  ql   l / 2   0;  ql 2  ql   l / 2  YB    ql / 2. l Полученное значение реакции отрицательное, следовательно, необходимо скорректировать её первоначальное направление – см. правку на рис. 2.2, б. Для определения реакции YA составим уравнение проекций всех сил на ось OY (с учётом изменения направления YB):  Fi y  YA  YB  ql  0; YA  ql / 2  ql  3ql / 2. Таким образом, используя систему уравнений равновесия (2.3), удалось определить все неизвестные опорные реакции. 3