Задача Ламе о напряжениях в трубе, заполненной жидкостью

1. ЗАДАЧА ЛАМЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ В ТРУБЕ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ Рассмотрим известную задачу Ламе о вычислении напряжений в длинной цилиндрической трубе [2]. 1. Постановка задачи Ламе Пусть цилиндрическая труба кольцевого поперечного сечения находится под действием внутреннего и внешнего давления, рис. 1. Концы трубы закреплены так, что нет перемещения вдоль ее оси, а перемещения в поперечном направлении не стеснены. Через , обозначены внутренний и внешний радиусы трубы. Рис. 1. К постановке задачи Ламе Требуется найти напряжения и перемещения в стенке трубы при заданном внешнем и внутреннем давлении. 2. Перемещения и деформации в цилиндрической трубе Введем цилиндрические координаты (рис. 1): , , . Элемент длины дуги в цилиндрических координатах выражается формулой: . Декартовы координаты выражаются через цилиндрические координаты: . Ввиду симметрии задачи только одна компонента вектора перемещения отлична от нуля: . Перемещения вдоль осей , равны нулю: . (1) По правилам вычисления деформаций в цилиндрических координатах: , . Остальные деформации равны нулю. В общем случае закон Гука имеет вид: , где , - коэффициенты Ламе; - метрика в цилиндрических координатах: . Отсюда следует закон Гука для трубы с учетом осевой симметрии: , , ; (2) . Проецируя напряжения на ось , получим уравнение равновесия трубы: . (3) На внешней и внутренней поверхностях трубы наложены граничные условия: при , при , – внешняя нормаль к боковой поверхности, – вектор напряжений вдоль нормали. На торцах трубы также наложены граничные условия: при . Из (1, 2) следует, что условия на торцах удовлетворены при любом . Из (2) следует, что условия на боковых поверхностях имеют вид: при , при . (4) Уравнение (3) и краевые условия (4) определяют краевую задачу о напряженно-деформированном состоянии трубы. 3. Решение задачи о равновесии цилиндрической трубы В данном пункте решена краевая задача о напряженно-деформированном состоянии трубы (3, 4). Интегрируя уравнение (3), найдем: , поэтому для перемещения стенки имеем: . (5) Уравнения для неопределенных констант , получаются из краевых условий (4): Решая эту систему алгебраических уравнений относительно , , получим: ; . (6) Формулы (2), (5, 6) позволяют найти напряжения в любой точке трубы. Из закона Гука следуют равенства: , , (7) . При положительных , величина , то есть вдоль радиальной координаты труба испытывает сжатие. Если наружное давление , то наиболее опасны растягивающие напряжения при . Максимальные напряжения возникают на внутренней поверхности трубы. Возникает вопрос: до какой величины выгодно наращивать толщину трубы? Для ответа на этот вопрос приведем формулу для вычисления растягивающих напряжений на внутренней стенке трубы: . Отсюда следует, что при росте разрывающее напряжение уменьшается мало. Слишком большое увеличение толщины стенки трубы бессмысленно. 4. Вопросы для самоконтроля 1. Какой вид симметрии механической системы имеет место в задаче Ламе для цилиндрической трубы? 2. Какая система координат используется при постановке задачи о напряженно-деформированном состоянии трубы? 3. Какие компоненты вектора перемещения отличны от нуля в задаче Ламе? 4. Какие компоненты тензоров деформаций и напряжений отличны от нуля в задаче Ламе? 5. Сформулируйте закон Гука в осесимметричном случае для задачи о напряжениях в трубе. 6. Сформулируйте краевую задачу о равновесии деформируемой трубы. 7. Запишите общее решение уравнения равновесия деформируемой трубы. 8. Запишите формулу для перемещений точек трубы в задаче Ламе. 9. Запишите формулы для компонент тензора напряжений. 10. Запишите формулу для разрывного напряжения на внутренней поверхности трубы. 5. Литература 1. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. / В.И.Самуль.– М.: Высшая школа, 264 с. 2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. / Л.И. Седов.– 6-е изд. – СПб.: Лань, 2004. – 560 с.