Задача Кеплера

Задача Кеплера Лекция Д. А. Тельнов Задача Кеплера Лекция по теоретической механике – углубленный курс (лекция № 5) Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Д. А. Тельнов кафедра квантовой механики Санкт-Петербургский государственный университет Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .1 Содержание лекции Задача Кеплера Д. А. Тельнов 1 Уравнение траектории в поле притяжения 2 Закон движения в поле притяжения 3 Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения 4 Вектор Лапласа Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания 5 Решения задачи Кеплера и задачи двух тел Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .2 Эффективная потенциальная энергия в поле притяжения Важным частным случаем движения в центральном поле является движение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Потенциальная энергия этого поля такова: α U (r) = − . r Задача Кеплера Д. А. Тельнов (1) При α > 0 имеем поле притяжения, а при α < 0 – поле отталкивания. Рассмотрим сначала случай притяжения (α > 0) и проанализируем поведение эффективной потенциальной энергии: Ueff (r) = − α L2 + . r 2µr2 Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения (2) График этой функции изображен на рис. 1. Как видно, функция имеет минимум при r = rm , в котором принимает значение Um : L2 µα2 rm = , Um = − 2 . (3) µα 2L Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .3 Задача Кеплера Ueff(r) Д. А. Тельнов E>0 rp rp rm ra r E<0 Um Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Рис. 1. Эффективная потенциальная энергия в поле притяжения U (r) = −α/r. Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .4 Уравнение траектории в поле притяжения Задача Кеплера Если полная энергия отрицательна, возможно только финитное движение между точками поворота rp и ra . Если же E ≥ 0, то возможно только инфинитное движение справа от точки поворота rp . Найдем уравнение траектории из общей формулы для траектории движения в центральном поле. При этом в качестве начального значения радиальной координаты r0 выберем ближайшую к центру точку поворота rp , а начальный угол ϕ0 положим равным нулю. Тогда L ϕ = ±√ 2µ Zr rp L = ±√ 2µ Zrp r dr0 s r02 E+ Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения α L2 − r0 2µr02   1 r0 s  . √ 2 L α 2µ µα2 √ − − +E+ 2L 2L2 r0 2µ d Д. А. Тельнов (4) Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .5 Мы считаем, что E + µα2 /(2L2 ) ≥ 0, что с учетом (3) означает E ≥ Um . Это естественное условие, так как в противном случае движение просто невозможно. Интеграл (4) табличный и легко вычисляется: √ r α 2µ p L √ − 2L r0 2µ ϕ = ∓ arccos r µα2 E+ 2L2 r √ (5) α 2µ L L2 √ − −1 2L r 2µ µαr = ± arccos s . = ± arccos r 2 µα 2EL2 E+ 1+ 2L2 µα2 Здесь учтено, что rp – это точка поворота, в которой обращается в ноль выражение в знаменателе формулы (4), а аргумент арккосинуса в формуле (5) равен единице, то есть сам угол ϕ при r = rp равен нулю. Задача Кеплера Д. А. Тельнов Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .6 Задача Кеплера Введем обозначения: L2 , p= µα s ε= Д. А. Тельнов 2EL2 1+ . µα2 (6) Величины p и ε имеют специальные названия: p – параметр орбиты, а ε – эксцентриситет орбиты. Обе величины неотрицательны. С учетом обозначений (6) получаем из формулы (5): p − 1 = ε cos ϕ, (7) r или p r= . (8) 1 + ε cos ϕ Это и есть уравнение траектории движения в поле притяжения U (r) = −α/r, записанное в канонической форме в полярных координатах. При его выводе мы не вводили каких-то дополнительных ограничений, кроме естественного условия E ≥ Um . Поэтому уравнение траектории (8) применимо как для финитного движения (E < 0), так и для инфинитного движения (E ≥ 0). Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .7 Задача Кеплера Областям энергии финитного и инфинитного движения соответствуют области изменения эксцентриситета: финитное движение: Um ≤ E < 0, инфинитное движение: E ≥ 0, ε ≥ 1. 0 ≤ ε < 1, Д. А. Тельнов (9) Геометрический тип кривой, которую представляет собой траектория, зависит от величины эксцентриситета (рис. 2): • ε = 0 – окружность, • 0 < ε < 1 – эллипс, • ε = 1 – парабола, • ε > 1 – гипербола. Центр силы находится в фокусе эллипса, параболы или гиперболы, либо в центре окружности. Траектория финитного движения (Um ≤ E < 0, 0 ≤ ε < 1) всегда замкнута независимо от начальных условий. При движении по окружности E = Um , и разрешенная область движения для радиальной координаты стягивается в одну точку r = rm . Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .8 Задача Кеплера r Д. А. Тельнов ϕ r r ϕ r ϕ ϕ Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Рис. 2. Типы орбит в задаче Кеплера в поле притяжения. Слева направо, сверху вниз: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Центр силы (красная точка) находится в фокусе эллипса, параболы или гиперболы, либо в центре окружности. Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .9 Полуоси эллипса При финитном движении траекторией в общем случае является эллипс. Найдем выражения для большой и малой полуосей эллипса (рис. 3). Что касается большой полуоси a, то для нее можно написать очевидное выражение a= 1 (ra + rp ), 2 p , 1−ε rp = p . 1+ε Д. А. Тельнов (10) где ra и rp – расстояния от центра до дальней и ближней точек поворота соответственно. При движении тела вокруг Земли эти точки называются апогеем и перигеем, при движении вокруг Солнца – афелием и перигелием. В общем случае употребляются понятия апоцентр и перицентр. Из уравнения орбиты (8) находим: ra = Задача Кеплера (11) Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Отсюда получаем выражение большой полуоси эллипса через параметр и эксцентриситет орбиты: a= p . 1 − ε2 Решения задачи Кеплера и задачи двух тел (12) .10 Задача Кеплера Д. А. Тельнов b ra a rp Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Рис. 3. Большая (a) и малая (b) полуоси эллипса. Центр силы (красная точка) находится в фокусе эллипса, ra и rp – расстояния от фокуса до апоцентра и перицентра соответственно. Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .11 Полезно также выразить a через физические величины – энергию и момент импульса. Используя формулы (6) для параметра и эксцентриситета после несложного вычисления получаем: α α = . (13) a=− 2E 2E В последнем равенстве учтено, что при финитном движении энергия отрицательна. Как видно, величина большой полуоси определяется только энергией частицы и не зависит от момента импульса. Перейдем к вычислению малой полуоси. Найдем ее величину из условия максимальности координаты y при изменении угла ϕ: y = r sin ϕ = p sin ϕ . 1 + ε cos ϕ (14) Д. А. Тельнов Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Вычисляя производную dy/dϕ, получаем: dy cos ϕ + ε =p . dϕ (1 + ε cos ϕ)2 Задача Кеплера (15) Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .12 Задача Кеплера Условие экстремума есть (dy/dϕ) = 0, откуда находим: cos ϕ = −ε. Д. А. Тельнов (16) Подставляя это значение в формулу (14), находим величину малой полуоси эллипса: √ p p 1 − ε2 =√ . (17) b = ymax = 2 1−ε 1 − ε2 Используя формулы (6) для параметра и эксцентриситета орбиты, выразим малую полуось через энергию и момент импульса: L b= p . (18) 2µ|E| Длина малой полуоси пропорциональна моменту импульса L. При L = 0 имеем b = 0, и эллипс вырождается в отрезок прямой. Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .13 Закон движения для радиальной координаты в поле притяжения при E < 0 Найдем закон движения для радиальной координаты, то есть зависимость r(t). Для этого используем общее выражение для закона движения в центральном поле, выбрав в качестве начальной точки ближайшую к центру точку rp и положив t0 = 0. Рассмотрим вначале случай финитного движения (E < 0). Для определенности также будем считать, что радиальная скорость положительна, то есть частица удаляется от центра, хотя это непринципиально: r t= µ 2 Zr dr0 s rp E+ r = µ 2 Zr r0 dr0 s α L2 L2 rp − Er02 + αr0 − 02 r 2µr 2µ r Z r µ r0 dr0 s = . 2|E| 2 αr L rp −r02 + − |E| 2µ|E| (19) Задача Кеплера Д. А. Тельнов Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .14 Выделим под корнем в правой части (19) полный квадрат: r t= µ 2|E| Zr rp r0 dr0 s  . 2 2 2 α α L − r0 − + − 2|E| 4E 2 2µ|E| Д. А. Тельнов (20) Если использовать формулы (6) и (13) для эксцентриситета и большой полуоси, то уравнение (20) можно записать в следующем виде: r t= µ 2|E| Zr r0 dr0 p rp (aε)2 − (r0 − a)2 . Задача Кеплера (21) Для удобства вычисления этого интеграла сделаем замену переменной интегрирования: Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа r − a = −aε cos ξ, r = a(1 − ε cos ξ). (22) Решения задачи Кеплера и задачи двух тел Данная замена явно учитывает область изменения радиальной координаты между точками поворота. .15 Нижний предел интегрирования при этом соответствует значению параметра ξ = 0 (перицентр орбиты). Подставляя (22) в интеграл (21), найдем: r t= µ 2|E| Zξ = µ 2|E| Zξ Д. А. Тельнов a(1 − ε cos ξ 0 )aε sin ξ 0 dξ 0 aε sin ξ 0 r Задача Кеплера (23) a(1 − ε cos ξ 0 )dξ 0 = r µ a(ξ − ε sin ξ). 2|E| Формулы (22) и (23) определяют закон движения для радиальной координаты в параметрическом виде. Задавая значение параметра ξ, с помощью этих формул можно вычислить как время, так и значение радиальной координаты, которое этому времени соответствует. Как следует из формулы (22), зависимость r(ξ) периодическая. Радиальная координата принимает прежнее значение всякий раз, как параметр ξ изменяется на 2π. Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .16 Законы Кеплера Соответствующий этому изменению параметра интервал времени найдем из формулы (23): r r µ µ 3/2 = 2π a . (24) T = 2πa 2|E| α Это период радиальных колебаний, который в задаче Кеплера является также периодом обращения по замкнутой траектории – эллиптической орбите (см. рис. 3). В формуле (24) легко увидеть выражение третьего закона Кеплера. Перечислим все три закона Кеплера [J. Kepler, 1609–1619]: • Первый закон Кеплера: планеты движутся по эллиптическим орбитам, в фокусе которых находится Солнце. • Второй закон Кеплера: радиус-вектор планеты относительно Солнца за равные промежутки времени заметает равные площади. • Третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит. Задача Кеплера Д. А. Тельнов Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .17 Закон движения для угловой координаты в поле притяжения при E < 0 Задача Кеплера Д. А. Тельнов Первый закон Кеплера мы уже фактически получили при выводе уравнения траектории. Что касается второго закона Кеплера, то он справедлив не только в задаче Кеплера, но и при движении в произвольном центральном поле, так как по сути выражает собой сохранение секторной скорости или момента импульса. Получим теперь закон движения для угловой координаты. Для этого используем следующее равенство:  −1 dϕ dξ dϕ dt dϕ = = . ϕ̇ = dt dξ dt dξ dξ (25) Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Выразим из уравнения (25) производную dϕ/dξ: dϕ dt L dt = ϕ̇ = 2 . dξ dξ µr dξ Уравнение траектории в поле притяжения (26) Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел Здесь использовано выражение угловой скорости через радиальную координату при движении в центральном поле. .18 Задача Кеплера Далее, из уравнения (23) находим: r r µ µ dt = a(1 − ε cos ξ) = r. dξ 2|E| 2|E| Д. А. Тельнов (27) Таким образом, dϕ = dξ r µ L b b = = . 2|E| µr r a(1 − ε cos ξ) (28) Интегрируя уравнение (28), находим зависимость угловой координаты ϕ от параметра ξ: ϕ= b a Zξ dξ 0 b = 1 − ε cos ξ 0 a b = a Zξ Zξ Закон движения в поле притяжения dξ 0 ξ0 1 − ε + 2ε sin 2 2 dξ 0 (1 − ε) cos2 Уравнение траектории в поле притяжения ξ0 ξ0 + (1 + ε) sin2 2 2 Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .19 = 2b a Zξ ξ0 d tg 2 Задача Кеплера Д. А. Тельнов ξ 1 − ε + (1 + ε) tg2 2! r 2b 1+ε ξ = √ arctg tg 2 1−ε 2 a 1−ε ! r 1+ε ξ = 2 arctg tg . 1−ε 2 Иначе это результат можно записать так: r ϕ 1+ε ξ tg = tg . 2 1−ε 2 Приведем теперь полностью параметрический закон движения в поле притяжения при E < 0: r µ t= a(ξ − ε sin ξ), r = a(1 − ε cos ξ), 2|E| ! r 1+ε ξ ϕ = 2 arctg tg . 1−ε 2 (29) Уравнение траектории в поле притяжения (30) Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа (31) Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .20 Закон движения для радиальной координаты в поле притяжения при E > 0 При E > 0 траекторией движения является гипербола. Закон движения для радиальной координаты имеет вид: r t= µ 2 Zr = µ 2E Er02 + αr0 − Zr = µ 2E s Zr rp r = µ 2E r02 + Уравнение траектории в поле притяжения αr 0 L2 − E 2µE (32) r0 dr0 s  α 2 α2 L2 − r0 + − 2 2E 4E 2µE Zr r0 dr0 p rp L2 2µ r0 dr0 rp r Д. А. Тельнов r0 dr0 s rp r Задача Кеплера (r0 + a)2 − (aε)2 Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел . .21 Хотя у гиперболы нет полуосей, мы используем обозначения a и b для величин с аналогичным выражением через энергию и момент импульса: a= α , 2E b= √ L . 2µE Задача Кеплера Д. А. Тельнов (33) Для вычисления интеграла в правой части (32) сделаем следующую замену переменной: r + a = aε ch ξ, r = a(ε ch ξ − 1). (34) После этого получим: r t= µ 2E Zξ Закон движения в поле притяжения = µ 2E Zξ Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания a(ε ch ξ 0 − 1)aε sh ξ 0 dξ 0 aε sh ξ 0 r (35) a(ε ch ξ 0 − 1)dξ 0 = Уравнение траектории в поле притяжения r µ a(ε sh ξ − ξ). 2E Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .22 Закон движения для угловой координаты в поле притяжения при E > 0 Задача Кеплера Д. А. Тельнов При вычислении закона движения для угловой координаты по-прежнему можно использовать формулу (26), в которой теперь нужно положить r r µ µ dt = a(ε ch ξ − 1) = r. (36) dξ 2E 2E Таким образом, dϕ = dξ r µ L b b = = . 2E µr r a(ε ch ξ − 1) Уравнение траектории в поле притяжения (37) Воспользовавшись формулами преобразования гиперболических функций, получим: b ϕ= a Zξ dξ 0 b = ε ch ξ 0 − 1 a Zξ Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа dξ 0 ξ0 ξ0 (ε − 1) ch2 + (ε + 1) sh2 2 2 Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .23 2b = a Zξ ξ0 d th 2 Задача Кеплера Д. А. Тельнов ξ ε − 1 + (ε + 1) th2 2! r ε+1 ξ 2b arctg th = √ ε−1 2 a ε2 − 1 ! r ε+1 ξ = 2 arctg th , ε−1 2 (38) Уравнение траектории в поле притяжения или r ϕ ε+1 ξ tg = th . 2 ε−1 2 Запишем теперь полностью параметрический закон движения в поле притяжения при E > 0: r µ t= a(ε sh ξ − ξ), r = a(ε ch ξ − 1), 2E ! r ε+1 ξ ϕ = 2 arctg th . ε−1 2 (39) Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа (40) Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .24 Предельные случаи ε = 0 и ε = 1 в поле притяжения При ε = 0 движение происходит по окружности [см. (8)]. Закон движения получаем при ε = 0 из общих формул (31): s r α −3/2 2|E| 2E α a t= r=a= , ϕ= t. (41) 2E µ µ α Происходит равномерное вращение по окружности, причем угловая скорость пропорциональна |E|3/2 . При ε = 1 движение происходит по параболе. Закон движения найдем предельным переходом ε → 1 из общих формул (40): r   2µ 3/2 1 3 r η + η , r = rp (1 + η 2 ), ϕ = 2 arctg η, (42) t= α p 3 где η – безразмерный параметр, а rp – точка перицентра при нулевой энергии: L2 rp = . 2µα Отметим, что r ∼ |t|2/3 при |t| → ∞. (43) Задача Кеплера Д. А. Тельнов Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .25 Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Обратимся теперь к случаю поля отталкивания (α < 0). Эффективная потенциальная энергия в этом случае – положительно определенная монотонно убывающая функция (рис. 4). Движение возможно только при E > 0 и является инфинитным – существует только одна точка поворота rp . Уравнение траектории найдем из общей формулы, выбирая rp в качестве начального значения радиальной координаты и полагая начальный угол ϕ0 равным нулю: L ϕ = ±√ 2µ Zr rp L = ±√ 2µ Zrp r r02 E+ α L2 − r0 2µr02   1 r0 s  . √ 2 L α 2µ µα2 √ − − +E+ 2L 2L2 r0 2µ d Д. А. Тельнов Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения dr0 s Задача Кеплера (44) Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .26 Задача Кеплера Ueff(r) Д. А. Тельнов E>0 Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения rp r Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Рис. 4. Эффективная потенциальная энергия в поле отталкивания U (r) = −α/r. Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .27 Интеграл в формуле (44) точно такой же, как и в случае поля притяжения (4) и вычисляется аналогично: √ r α 2µ p L √ − 2L r0 2µ ϕ = ∓ arccos r µα2 E+ 2L2 r √ (45) L2 α 2µ L √ − +1 µ|α|r 2L r 2µ = ± arccos s . = ± arccos r 2 2 µα 2EL E+ 1+ 2L2 µα2 Разница с формулой (5) здесь только в последнем равенстве, где учтено, что α теперь – отрицательная величина. Аналогично случаю поля притяжения, введем обозначения для параметра и эксцентриситета орбиты: s L2 2EL2 p= , ε= 1+ . (46) µ|α| µα2 Задача Кеплера Д. А. Тельнов Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .28 Заметим, что теперь эксцентриситет ε > 1, так как энергия обязательно положительна. Используя (45) и (46), запишем уравнение орбиты: p + 1 = ε cos ϕ, r или r= p . −1 + ε cos ϕ r µ 2E Zr rp s  r0 dr0 . 2 2 2 α L α r0 + − − 2E 4E 2 2µE Д. А. Тельнов (47) (48) Орбита представляет собой гиперболу, но расположенную по-другому относительно фокуса, в котором находится центр силы (рис 5). Найдем закон движения в поле отталкивания. Для радиальной координаты преобразования интеграла, аналогичные тем, что проводились в формуле (32), можно довести до следующего выражения: t= Задача Кеплера Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа (49) Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .29 Задача Кеплера Д. А. Тельнов r ϕ Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Рис. 5. Гипербола, по которой движется частица в задаче Кеплера в поле отталкивания. Центр силы (красная точка) находится в одном из фокусов гиперболы. Отражением в точке пересечения асимптот можно получить соответствующую орбиту в поле притяжения. Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .30 Теперь следует учесть, что α < 0, и положительный параметр a («большая полуось» гиперболы) определяется как α α . (50) a= =− 2E 2E Тогда r Zr µ r0 dr0 p t= . (51) 2E (r0 − a)2 − (aε)2 Задача Кеплера Д. А. Тельнов rp Для выполнения интегрирования делаем замену переменной: r − a = aε ch ξ, r = a(ε ch ξ + 1) Уравнение траектории в поле притяжения (52) и находим: r t= µ 2E Zξ r = µ 2E Zξ Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания a(ε ch ξ 0 + 1)aε sh ξ 0 dξ 0 aε sh ξ 0 Вектор Лапласа (53) a(ε ch ξ 0 + 1)dξ 0 = r µ a(ε sh ξ + ξ). 2E Закон движения в поле притяжения Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .31 Закон движения для угловой координаты вычисляем также аналогично случаю поля притяжения: r µ L b b dϕ = = = , (54) dξ 2E µr r a(ε ch ξ + 1) b ϕ= a Zξ b dξ 0 = ε ch ξ 0 + 1 a Zξ Д. А. Тельнов dξ 0 ξ0 ξ + (ε − 1) sh2 2 2 ξ ξ Z d th 2b 2 = a 2 ξ (55) 0 ε + 1 + (ε − 1) th 2! r 2b ε−1 ξ = √ arctg th 2 ε + 1 2 a ε −1 ! r ε−1 ξ = 2 arctg th . ε+1 2 Задача Кеплера (ε + 1) ch2 Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .32 Задача Кеплера Д. А. Тельнов Иначе формулу (55) можно представить так: r ξ ε−1 ϕ tg = th . 2 ε+1 2 Запишем теперь полностью закон движения в поле отталкивания в параметрическом виде: r µ t= a(ε sh ξ + ξ), r = a(ε ch ξ + 1), 2E ! r ε−1 ξ ϕ = 2 arctg th . ε+1 2 (56) Уравнение траектории в поле притяжения (57) Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .33 Вектор Лапласа Задача Кеплера В конце 18 века Лаплас [P.-S. Laplace, 1799] обнаружил еще один интеграл движения в задача Кеплера, помимо энергии и момента импульса. Он, однако, не был первым, кто сделал это открытие. Еще в начале 18 века этот же интеграл движения обнаружили Герман и И. Бернулли [J. Hermann, 1710; J. Bernoulli, 1710]. История переоткрытия продолжилась и после Лапласа. Это делали Гамильтон [W. R. Hamilton, 1847] и уже в 20 веке Гиббс [J. W. Gibbs, 1901], Рунге [C. Runge, 1919] и Ленц [W. Lenz, 1924]. В настоящее время этот интеграл движения чаще всего называют вектором Лапласа или вектором Лапласа–Рунге–Ленца. Обычное определение вектора Лапласа таково: A = µ[ṙ × L] − µαr . r (58) Очевидно, что вектор A лежит в плоскости орбиты, так как он перпендикулярен вектору момента импульса. Покажем, что этот вектор является интегралом движения и выясним его свойства. Д. А. Тельнов Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .34 Прежде всего, вычислим производную этого вектора по времени: µαṙ µαr ṙ Ȧ = µ[r̈ × L] − + . (59) r r2 Используя второй закон Ньютона: µr̈ = − αr , r3 Задача Кеплера Д. А. Тельнов (60) получим: α[r × L] µαṙ µαr ṙ Ȧ = − − + . (61) r3 r r2 Используем теперь определение вектора момента импульса и формулу для двойного векторного произведения: 2 [r × L] = µ[r × [r × ṙ]] = µ[r(r · ṙ) − ṙr ]. (62) Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Наконец, заметим, что (r · ṙ) = rṙ. (63) Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .35 Учитывая приведенные выше результаты в формуле (61), найдем: µαṙ µαr ṙ µαrrṙ µαṙr2 Ȧ = − + − + = 0. 3 3 r r r r2 Д. А. Тельнов (64) Итак, вектор A является интегралом движения и не зависит от положения материальной точки на орбите. Определить направление и длину этого вектора проще всего, вычислив его в точке перицентра орбиты, в которой скорость перпендикулярна радиус-вектору (рис. 6). Тогда вектор µ[ṙ × L] направлен вдоль большой оси эллипса от фокуса в сторону перицентра, а его абсолютная величина равна µαp L2 = = µα(1 + ε). µ|[ṙ × L]| = µ|ṙ|L = rp rp (65) rp . rp Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Окончательно получаем: A = µαε Задача Кеплера (66) Вектор A направлен вдоль большой оси от фокуса к перицентру, а его абсолютная величина пропорциональна эксцентриситету орбиты. Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .36 Задача Кеплера Д. А. Тельнов v rp Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Рис. 6. Радиус-вектор и вектор скорости частицы в перицентре орбиты. Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .37 Решения задачи Кеплера и задачи двух тел Задача Кеплера Д. А. Тельнов Вернемся к задаче двух тел и выясним, как выглядят траектории реальных частиц 1 и 2. Как мы знаем, эти траектории подобны, причем r1 = rc + m2 r, m1 + m2 r2 = rc − m1 r. m1 + m2 (67) В системе центра масс (rc = 0) радиус-векторы двух частиц пропорциональны радиус-вектору относительного движения r с соответствующими коэффициентами. Рассмотрим два частных случая. В первом случае будем считать, что m2  m1 . Тогда r1 ≈ rc + r, r2 ≈ rc . (68) В этом пределе размеры орбит практически не зависят от соотношения масс. Для тяжелого тела орбита стягивается в точку, а для легкого тела ее размеры совпадают с размерами орбиты для µ-точки, радиус вектор которой равен r (рис. 7, верхняя панель). Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .38 r Задача Кеплера Д. А. Тельнов r1 r2 Уравнение траектории в поле притяжения r Закон движения в поле притяжения r1 r2 Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Рис. 7. Орбиты в задаче двух тел, действующих друг на друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Верхняя панель: случай m2  m1 . Нижняя панель: случай m2 = m1 . Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .39 Приблизительно такая ситуация характерна, например, для Солнечной системы, когда несколько легких тел вращаются вокруг одного тяжелого тела. Размеры их орбит при этом не зависят от соотношения масс, и для легких тел выполняется третий закон Кеплера. Отметим, что для двух частиц в самой задаче двух тел третий закон Кеплера не имеет места: при одном и том же периоде обращения отношение полуосей орбит равно обратному отношению масс: m1 a2 = . a1 m2 (69) Во втором частном случае возьмем массы двух тел одинаковыми: m1 = m2 . Тогда 1 r1 = rc + r, 2 1 r2 = rc − r. 2 Задача Кеплера Д. А. Тельнов Уравнение траектории в поле притяжения Закон движения в поле притяжения (70) В этом случае происходит вращение двух тел вокруг центра масс по орбитам одинаковых размеров, но противоположно ориентированным (рис. 7, нижняя панель). Такое движение напоминает движение в системах двойных звезд. Уравнение траектории и закон движения в поле отталкивания Вектор Лапласа Решения задачи Кеплера и задачи двух тел .40