Движение в центральном поле

Лекция 10 §10 Движение в центральном поле. П.1 Общие соотношения Центральными полями мы будем называть такие поля, в которых потенциальная энергия взаимодействия частицы (или тела) с полем будет зависеть только от расстояния этой частицы до некоторой точки (центра), U(r). В случае решения задачи о движении взаимодействующих двух частиц, нам удалось свести решение к одночастичной задаче о движении эквивалентной частицы с массой, равной приведенной  , в поле, обусловленном собственно этим взаимодействием частиц между собой, и зависящем только от относительного расстояния между ними. В этом случае пространство имеет изотропию, по крайней мере, относительно одной точки, являющейся центром симметрии системы. Мы доказывали ранее, что в таком центральном поле, имеет место фундаментальный интеграл движения, связанный именно со свойством изотропии пространства, а именно угловой момент, или момент количества движения, являющийся величиной векторной: L(r(t), v(t)) M  r  p  r  v i j k M x y 0  vx vy i  j  cos   sin   cos    sin   sin    cos   k 0  .       cos     cos    sin    sin    cos    sin    sin  k   2 k 2 x   cos  , __ y   sin  , vx  x   cos    sin  v y  y   sin    cos  (1) Мы отмечали ранее, что механическое состояние системы частиц в любой момент времени полностью определяется указанием радиус-векторов, описывающих местоположение частиц в пространстве и векторов скоростей этих частиц – это то , что мы называем «полным механическим описанием» системы частиц. В случае одночастичной задачи, полное механическое состояние определяется радиус-вектором r (t ) в любой момент времени, и вектором скорости v(t ) , иными словами, этими величинами однозначно определяется траектория движения частицы в пространстве. В случае движения частицы в центральном поле, где сохраняющейся величиной является вектор углового момента (1), легко заметить, что оба вектора, определяющих траекторию движения , r (t ) и v(t ) , в любой момент времени остаются перпендикулярны сохраняющемуся вектору момента M , и лежат в плоскости, ортогональной вектору момента. Таким образом, все движение, траекторию которого мы находим, происходит в плоскости. Строго говоря, движение в центральном поле, определенном в трехмерном пространстве, всегда является плоским, то есть траектория расположена всегда в плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения. Вводя в ней полярные координаты  ,  , с началом отсчета в полевом центре, мы можем записать функцию Лагранжа не в сферических координатах, а именно в полярных:  2  L(  ,  ,  ,  )  2       U (  ) 2 (2) Эта функция не зависит явно от угла ϕ, то есть эта переменная является игнорируемой, и следовательно, влечет за собой закон сохранения соответствующего обобщенного импульса: d L(  ,  ,  ,  ) L(  ,  ,  ,  )  0 dt   L(  ,  ,  ,  )  , (3)  p   2  M который, в свою очередь, равен ничему иному, как величине полного углового момента частицы. Здесь же легко заметить, что выражение для сохраняющейся величина момента, с точностью до константы 2  совпадает с выражением секториальной скорости    2 2 , которая со всей очевидностью тоже сохраняется. Тогда энергия запишется как E M где исключая    2  2  2       U (  ) , 2 с использованием уравнения (3) , имеем окончательно 2   2  2  1  M  E   U ( )    U eff (  ) .  2     2 2   В последнем (4) выражении введено обозначение для эффективного (5) потенциала 2 1 M  U eff (  )     U (  ) , что формально позволяет свести задачу радиального движения 2    к эффективной задаче одномерного движения в заданном одномерном потенциале. 2 1 M  Величина   является центробежной энергией. 2    Определим теперь в общем виде зависимость  и t. Для этого из выражения (5) запишем  d 2   E  U eff (  )  , dt  d dt   E U  2 eff ( ) d   M2  2 E   U ( )     2   2  (6) . откуда имеем зависимость t d 2   E U eff ( ) d  t0    M2  2  U ( )   E  2   2   t0 . (7) Аналогично определяем зависимость  (  ) , используя при этом интеграл движения (3) и выражение (6) для dt:  d M  dt  2 M d  M  2 dt   2   П.2 M 2 1  2 2 M d  E U eff ( )  2 d   M2  2  E    U (  )  2  2   d   M2  E   U ( )     2  2    0  M 2 d 1  2 (8) ,  E U eff (  )   0 . Задача Кеплера. Параметры эффективного потенциала. Важнейшим случаем центральных полей являются поля, потенциальная энергия тела (частицы) в которых обратно пропорциональна расстоянию до центра, и, соответственно сила, действующая на тело в которых обратно пропорциональна квадрату расстояния. К таким полям относятся кулоновские электростатические поля и поле тяготения. Поле тяготения всегда является полем притяжения, тогда как электростатическое взаимодействие может быть, как притягивающим, так и отталкивающим. Рассмотрим для начала поле притяжения, потенциальная энергия частицы в котором U ( )   где  ,   - произвольная положительная константа (размерная). В этом случае эффективный потенциал (см.рис.1) (9) 2 1 M   U eff (  )     , 2      2 M2   1  2 M2 U 'eff (  )          0,  3  2 2  2       2   2 M 1  *  , __  2  * M   2 1 M   1  M U eff (  *)      2   *   * 2   1 M 2        2M   2 2   2 M 2   2M 2  2        1 M2           . 2 * (10) рис.1. Эффективный потенциал Определим характерные параметры указанной кривой. Легко найти значение  * , отвечающее точке минимума потенциальной кривой  *  M2  , или 1   2 , при этом * M само значение потенциала в точке минимума U*    2 2M 2   . 2 * Исследуем одномерное движение в данном эффективном потенциале на финитность. E  2 2  U eff (  ), (11)  2  M2    E     0, 2 2   2 M2  M2  1 2 2 E  M 2  1 2 2 E    E  0,   2   2 0  2  2 2 2 2   2   M M  2    * M  (12) Решим теперь следующее уравнение для определения координат точек поворота: 1  2  2 2 E  2  0,  * M (13) откуда находим 1 2  2 2 E M2  2    0, ___  *  , __ U *    . 2 2  * M  2M 2 *  1 1 1 2 E 1  2 E     *2   1  1     2 2 2 * M  * M   1,2  *  2   1  2 E  M 2    1 1     * M 2        1  2M 2 E 1  1   *   2 1,2  *  E 1  1  U*   1  *     1  E  1  1    * U*    1  * 1 E U*  E  1  1    U*      E   1  1  U*   *  E   E      U* U* 1 E U*  ,     . (14) Поскольку переменная  является расстоянием до центральной точки, то она всегда положительно определенная величина. Таким образом, из (14) видно, что два корня, 1,2 , 1  уравнения (13) существуют только при условии U *  E  0 при   1,2 равно как два корня  этом решение неравенства (12) действительно лежит в интервале [ 1 , 2 ] , где 1,2  *  E 1  1  U*     ,  E 1 1 2 2  2 E  M  1 U* M  1 2     2 2  2    * M  2   *    E 1 1  U*  1    *    ,   0    (15) Что означает возможность механического движения в указанном интервале внутри потенциальной ямы. Из общего соотношения (14) также хорошо видно, что в случае положительного значения энергии, E  0 , остается только одна точка поворота, 1  * и движение будет инфинитным. В асимптотическом случае, E  0 (или  E  1  1   U *   * , тогда как второй корень (вторая точка поворота) E  0 ), 1  2  2  Lim E 0 *  E 1  1  U*      * 1 E  2 U*     2 * U* . E (16) Лекция 11 П.3 Задача Кеплера. Траектория движения Рассмотрим теперь возможные формы траектории движения для заданного потенциала. Запишем выражение (8) применительно к рассматриваемому потенциалу (9). d 1 2 M 2 M 1 d     0   2 1 2    M 2 E  2  M 2      M 2  1 1 1  d   d        *  0    0  2  2  2  1 2 1 1 1  1   M 2 E  2   *    2 E     2 M      *  *      2  M2   E     2 2     0   1 1      *      arccos  0 ,   2 1   M 2 E   *2     2 1  1 1  ,  2 E  2  cos   0   *  *  M    M 2 2 2   1  1   2 2    E  1 cos(  0 )   1   E  1 cos(  0 )   1    *  2 2        * M   M     *       1   E   2M 2  1   . 1     E  1 cos(    )  1   1 cos(    )    2 U*    *   *           1 (17) Откуда получаем искомую зависимость  ( ) для уравнения траектории  ( )  *  2M  1  E  1 cos(  0 ) 2     2 * *  E  1   1 cos(  0 ) U*  , p . 1   cos( ) 1   cos( )   ( )  p  (18) b2 b2 f a 2  b2 , ___   1  2   a a a a  E   2M 2   1   E  1 . 2 U *      Здесь было введено обозначение для эксцентриситета     Полученное уравнение траектории в плоскости, перпендикулярной полному моменту вращения, соответствует следующим кривым: 1) Если эксцентриситет   1 , что отвечает случаю финитного движения с энергией, лежащей в интервале значений U *  E  0 , полученная траектория является эллипсом, в котором роль параметра эллипса выполняет р   * ; 2) Если эксцентриситет   0 , что отвечает случаю финитного движения с энергией E  U * , то полученная траектория является окружностью радиусом, р   * ; 3) Если эксцентриситет   1 , что отвечает случаю инфинитного движения с энергией, лежащей в интервале значений E  0 , полученная траектория является гиперболой, с параметром р   * ; 4) Если эксцентриситет   1 , что отвечает случаю инфинитного движения с энергией E  0 , то полученная траектория является параболой, с параметром р   *. П.4 Физические характеристики связанного состояния ПРЕРЕКВИЗИТЫ: 1) Расстояние от силового центра до точке минимума потенциальной кривой *  M2  , 1   2 , * M или 2) значение потенциала в точке минимума U*    2 2M 2   . 2 * 3) Точки поворота (перигелий и апогей) * 1,2  1 1 E U* 4) Уравнение эллиптической траектории  ( )   ( )  *  1   cos  * 1   cos( ) *  E  1  1   cos   U* , . Для гиперболической траектории  ( )  *  2M  1  E  1 cos( ) 2    cos  †  2 1  E   1  U*   *  E  1   1 cos( ) U*  , ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ траектория b2 M2  *  , Параметр эллипса p  a  Эксцентриситет f 2  a 2  b2 2  E  f 2M 2 b    1       1   1  E,  2 a U *  a   2 f2 b    1    2 , a a 2 E 2M 2 E 2  b 2  E    1   U *  2  a 2 Тогда большая полуось эллипса, выраженная через параметр и эксцентриситет, имеет вид: E E 2  b2 M2  2 p  *  , __1     ,_ U *  a  U*  2  a a b2 a b   a  2E Малая полуось: 2  *  p *   U*   . 2 1  E E 2* 2 E (19)  E 2    b 2 2    , _ b  a    a a a 2 E b  a 1  2  a *  b U* E 2 * a  a * a  a * (20) M2  M a M 2 E  Попутно сразу для себя отметим следующее. Мы уже обращали внимание на то, что 2-й закон Кеплера о постоянстве секториальной скорости    2 2 сводится по существу к закону сохранения момента    M , то можно записать для секториальной скорости 2 выражение 2  M 2   2 M 2 . (21) Поскольку площадь поверхности, ограниченная эллипсом, равна    ab , то можно ее выразить как площадь поверхности, «заметаемую» радиус –вектором тела, движущегося по эллиптической орбите, за промежуток времени, равный периоду обращения: a *  p *   U*   2 1  E E 2* 2 E M b 2 E M a   ab   T ,  T  ab 2 a M  M  M . 2 a   2 a 3/ 2  .  (22) Откуда приходим к соотношению: T2 2    2  3 a  , где применительно к Солнечной системе,   планеты, M -масса Солнца,    mM соотношение (23) будет иметь вид mM mM (23) m здесь обозначено , m- масса , где  - гравитационная постоянная, тогда  2  T2 m 2  2     a3  M  m M 2 , (24) и мы приходим к 3-му Закону Кеплера, где для любых двух планет, принадлежащих системе, выполняется: 2 2 2 3 T1 T  23 , 3 a1 a2 T1 a  13 . 2 T2 a2 П.5 Временная зависимость Для установления зависимости от времени расстояния тела до силового центра, воспользуемся общим соотношением (7) для случая Е<0: (25) a  2E t    2 M , ___ b  2 E d  M2  2  U ( )   E  2   2    d     M2  2  E          2      a   d    2  2a   b 2   d  M2    2    E  2    2      2E    a   d   2  M2        E 2 E   d      a     a  a  d (   a)    a      a   2    2 f 2     a      a    f  2      a 2   a     a      a     f    a f    a  a      a     2        1   a  arccos   f d (a   ) 2 2  a b 2 d (   a)2  f  2  2     a 2     ad (   a ) f 2     a 2            d (a   ) f 2 2   a    (a   )  . f  2       (26) t    a    (a   ) cos   f  2        1   a  arccos (a   )    t0 , f  ,  ( a   )  f cos   a cos  , (   a)   a cos  ,    a 1   cos   , t    a      f f    a      a f  2 2     a 2   f cos   2   a  arccos (a f  )     a  arccos cos    1   cos     a     2   a  f sin   a       3/ 2  a  sin     ,  (27)  3/ 2 t a    sin   ,  (   a )  a cos  Возвращаясь к результирующему выражению (26) для временной зависимости, можно определить период обращения как период финитного движения:   T  2  a    2 (a   )   2        1   a  arccos   f  1   f  a a arccos  a  arccos  f   3/ 2  2 a .   2 f   a a  0    2 f  (28) П.6 «Случайный» интеграл движения, или вектор Лапласа-Рунге-Ленца При движении в рассматриваемом поле с потенциалом U (  )   , с любым знаком  параметра α, существует дополнительный интеграл движения, названный «случайным». Так, нетрудно показать, что векторная величина, так называемый вектор Лапласа-РунгеЛенца [32-34], действительно является сохраняющейся: A  vM  r r  const (t ), (29) где , как и выше , M - угловой момент, v - скорость. Действительно, полная производная от (29) будет d d  A   v  M  dt  dt   d r dt   r r   d v   M   v   r (v  r ) .   r r2 r r3  dt  (30) Подставляя выражение для M  m[r  v ] , и учитывая также уравнение движения d 1    r , v      dt m  r  m r3 d d  имеем A   v   M  dt  dt   d r dt   r r   d v   M   v   r (v  r ) .   r r2 r r3  dt  M  m[r  v ] d  v  r (v  r )   A   3  r  [r  v ]    dt r r3 r   v  r (v  r )     3  r (r  v )  vr 2     0. r r3 r  (31) Строго говоря, вектор Лапласа — Рунге — Ленца является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора, который может быть определён для любой центральной силы см. [35-37] Указанная симметрия имеет место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями [38, 39]. Классически, более высокая симметрия задачи Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Вычислим величину вектора А применительно к случаю потенциала притяжения, рассматривая положение тела в точке перигелия. Тогда имеем: A  vM  r r v  v  1   M 12  const (t ), M 1 , , M 2 1    M 2 1      A  A  v  M        2     1  *  M M2 *  M2  Поэтому в астрофизике этот вектор известен еще как вектор эксцентриситета. Литература по теме «Вектор Лапласа-Рунге-Ленца» [32] Laplace P. S. Traité de mécanique celeste. Tome I, Premiere Partie, Livre II. — Paris, 1799. — P. 165ff., [33] Runge C. Vektoranalysis. Bd. I. — Leipzig: Hirzel, 1919. — 436 p. [34] Lenz, W. (1924). «Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung». Zeitschrift für Physik 24: 197—207. [35] Fradkin, D. M. (1967). «Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems». Progress of Theoretical Physics 37: 798—812. [36] Yoshida, T. (1987). «Two methods of generalisation of the Laplace-Runge-Lenz vector». European Journal of Physics 8: 258—259.) [37 ] Rogers, H. H. (1973). «Symmetry transformations of the classical Kepler problem». Journal of Mathematical Physics 14: 1125—1129. [38] Prince, G. E.; Eliezer C. J. (1981). «On the Lie symmetries of the classical Kepler problem». Journal of Physics A: Mathematical and General 14: 587—59. [39] В.К. Херсонский, Е.В. Орленко, Д.А. Варшалович «Квантовая теория углового момента и ее приложения» т.2, Физматлит, Москва, 2019, 786 стр.