Высшая математика: линейная алгебра

В.Босс ПЕкqии по МАТЕМАТИКЕ т.м 3 Пuнеiiнаll аП2еПра москм - - I~I URSS ББК 22.143 22.144 22.151.5 Босс В. Лекции по математике: линейная алгебра. Т.3. 224 - М.: КомКнига, 2005. с. ISBN 5-484-00046-7 Книга отличается краткостью и прозрачностьюизложения. Объяснения да­ ются .. человеческим языком. - лаконично и доходчиво. Значительное внимание уделяется мотиваuии результатов и приклздным аспектам. Даже в устоявшихея темах ошушается свежий взгляд, в связи с чем преподаватели найдут для себя немало интересного. Книга легко читается. Аналитическая геометрия рассматривается как вспомогательный предмет, способствующий освоению понятий векторного пространства. Охват линейной алгебры достаточно широкий, но изложение построено так, что можно ограни­ читься любым желаемым срезом содержания. ДЛя студентов, преподавателей, инженеров и научных работников. Издательство .КомКнига •. 117312. г. Москва. пр-т 60-летия Октября. Подписано к печати 24.02.2005 г. Формат 60х90/16. Печ. л. 14. Заказ Ni! 9 1912 Отпечатано с готовых диапозитивов во ФГУП ИП к .УльяновскиА дом печати. г. Ульяиовск. ул. Гончарова, 14 432980, ISBN 5-484-00046-7 © КомКнига, 2005 НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1,IЕ.....'"RЗ'''''"'''. К8тanor ~иий в Интеривте: http://URSS.ru Тen.lфекс: 7 URSS Тen.lфакс: 7 (095) 1ЗS-42-16 (095) 13S-42-46 3143 ID 26865 ДlllilllШ IIIIШШ > Глава 1 Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия предста81lяет собоА удобную ступеньку к пониманию линеАноА алгебры. Рене Декарт создавал ее, прама, с другоА целью - чтобы геометрические задачи можно было решать алгебраически. Но результат часто не совпадает с намерением. Декартовы координаТbl оказались полезнее в проти­ воположноА ситуации, когда числам приписывается роль координат выдуманного пространства. При этом, конечно, получается виртуальная фикция, но она рабо­ тает. Будит воображение там, где изначально никакоА геометрии нет. Когда дело было сделано, об аналитическоА геометрии стали начиная сразу с n измерениА. У подсознания ушла почва из под ног, забывать, - ибо ему нужна другая поcnедовательность. Геометрия, потом алгебра. Наглядность, затем абстракция. 1.1. Координаты и векторы Координатами называют числа, определяющие положение точки на плоскости Х2 R 2 или В пространстве RЗ. Обозначения R2, R з - пока для удобства. Прямоуroльные (де- х картовы [9]) координаты точки на плос­ кости - суть снабженные знаками плюс или минус расстояния от точки Х до двух взаимно перпендикулярных прямых ОХI и ОХ2 Рис. 1.1 осей координат, - точка пере­ сечения которых считается началом ко- ординат. На рис. 1.1 точка Х = {Хl, Х2} описывается двумя координатами Хl и Х2. Горизонтальная ХI называется абсциссой, вертикальная Х2 - ординатой. Систему декартовых координат в пространстве задают три вза­ имно перпендикулярные плоскости, относительно которых поло­ жение точки определяется тремя числами аналогично предыдущему, Х = {Хl, Х2, Хз}. 1.1. Точку ж Координаты и векторы 11 = {Ж J, Ж2, жз} называют таюке вектором либо радиусом­ вектором. Изначально, правда, вектор определяют как направлен­ ный отрезок прямой, изображая его со стрелочкой на конце. Однако все векторы, которые одинаково направлены и равны по дЛине, счи­ таются равными 1), - что, собственно, и позволяет ограничиться рассмотрением векторов, исходящих из начала координат. Сумма ж = {ЖJ, Ж2, жз} Iж + У = = {YJ, У2, Уз} и У определяется как {ЖI + YI, Ж2 + У2, Жз + Уз}, I что равносильно сложению векторов по правилу параллелограмма, эквивалентом которого является правило треугольника. щества последнего ров (рис. 1.2): выявляются при сложении Преиму­ нескольких векто­ каждый следующий слаraемый вектор приставляется началом к концу предыдущего - замыкающий вектор дает сумму. Вычитание выводится из сложения: Ь - а определяется как вектор, который в сумме с а дает Ь. Эroму соответствует простой геомет­ рический трюк: начала а и Ь совмещаются, а концы соединяются отрезком, направленным к Ь, что и дает ('азность Ь - а (рис. 1.2). Рмс.1.2 Умножение на скаляр ..\, ..\Ж = {..\Ж(, "\Ж2, "\жз}, растягивает (1..\1 > 1) правления при ..\ > О, или сжимает (1..\1 < 1) вектор Ж, не меняя на­ и меняет его на противоположное при ..\ < О. 1) Эro xap:urn:PHO ДJIJI ндеолОПlИ свободНЫХ 8eкropo8. Которая удобна 8 n:OМС1ричесКИХ эацачах. Глава 12 1. Аналитическая геометрия Вектор иногда определяют как направленный отрезок, но тогда в погранич­ ных ситуацИJIХ возникают проблемы. на угол 'Р - Скажем, врашение около не которой оси вектор или не вектор? С одной стороны, ему можно сопоставить направленный по оси отрезок прямой дЛины 'Р. но это не решает проблему. Не­ приятность заключается в том. что врашения около разных осей не складываются по правилу параллелограмма 2), - И это приводит К отрицательному ответу на ис­ ходный вопрос. Поэтому в подобное определение вектора необходимо добавить требование, чтобы векторы складывались по правилу параллелограмма. В данном контексте речь идет о математических объектах вида ж которые складываются ния сил. моментов, потоков и других физических величин, епархии ={ж 1, :1:2, жэ}, .как надо- по определению. Что касается правил сложе­ - это задача другой . • Второе ДНО •• но громоздка, Идея декартовых координат проста до гениальности, - и поначалу возникает впечатление, что вектор­ ные понятия нужны для краткости. Эro лишь половина правды. Геометрия имеет «некоординатный. характер, и ее координатное описание часто уводит мысль в ложном направлении. Векторный язык точнее отражает суть геометрических свойств, что обнаружи­ вается на каждом шагу. Векторы, лежащие на одной прямой (одинаково или про­ тивоположно направленные), называют коллинеОРНЫ'ми; лежащие в одной плоскости, - ко,Мnлонарны,Ми. Говорят, что векторы 3) {Х 1, ..• , Xk} линейно зависимы, если существуют такие коэффициенты ~I, ••• , ~k, не все равные нулю, что В противном случае говорят о линейной независи,Мости векто­ ров {Хl"" ,Xk}' Коллинеарныевекторы всегда линейнозависимы. Компланарные- зависимы, если их больше двух. линейно (?) Линейно независимое множество {el' е2, ез} в пространстве считается базисо'м, если любой вектор z можно представить в виде 2) СlUllUlываются по правИJJy параллелОlJNlмма бесконечно малые вращения, что впечет за собоА векторную ПрИроДУ угловоА СКоростИ [31. Э) как правило. векторы с ИНдексом ВЫделяются жирным щрифroм. чтобы отличить ИХ от координат. 1.1. 13 Координаты и векторы линейной комбинации х = х)е) + Х2е2 + хзез. Величины Х; называют координатами точки х Е RЗ. Стандартный базис R з (единичные векторы, орты, {е), е2, ез} направлены по осям декартовых координат): Подготавливая плацдарм для линейной алгебры, естественно нуме­ ровать оси координат и орты следующий шаг - {el' е2, е]}, что потом облегчает n, тройка увеличивается да и обобщение готово. Но в обычном пространстве более удабны и nривычны другие обозна­ чения: оси координат:l:, 1/, z; соответствующиеорты 1, j, k, - чему далее отдается предпочтение. УпРuutеИИII 1. 2. Из векторов о, Ь, с можно сложить треугольник, если - Любые 1РИ вектора на плоскости либо четыре 0+ Ь + с = О. в пространстве, - линейно зависимы. 3. Любые дllЗ не кonnинеарных вектора о, Ь определяют плоскость 4), все ТОЧЮI которой MOryт быть записаны в виде + рЬ. = '\0 + рЬ лежит r ='\0 4. В случае ,\ +Р = I точка r на прямой, проходящей через кониы векторов о и Ь. При дополнительном условии r 5. = '\0 + рЬ лежит на отрезке, соединяющем Если о, Ь, с - '\, р ~ о точка о и Ь. радиус-векторы вершин треугольника Аве, то r 1 = з(0 + Ь +с) является радиусом-вектором точки пересечения медиан. Проекция аь вектора а на вектор (направление) Ь определяется формулой 11 аь = а cos~, 4) проходJIЩУЮ через 'lpИ точки: нуль, а и Ь. 11 Глава 14 1. Аналитическая геометрия где I{J - угол между векторами а и Ь (рис. 1.3), не важно по малой или большой дуге измерен­ ный - в силу cos I{J = COS (21Г - 'Р). ь Проекции аж, ау, а : на декартовы оси х, у, Рис. z представляют собой координаты вектора а. 1.3 При z дальнейшем развитии теории важным оказываетсяделе­ ние систем координат на две ка­ тегории. Прямоугольнуюсистему 11 Ozyz а) равчик при б) Рис. называют правой, если бу­ вращении от z ось z движется вдоль 1.4 и левой, если противоположно I{ocoyron..we КоордиВ""". Иногда декартовой называют тора S) - рис. 1.5 - у 1.4 б. косоугольную координат общего вида, в которой координаты определяются к 1.4 а, направлена рис. - z рис. систему ра3ll0_ением век­ по двум (на плоскости) или по 'Jl)CM (в пространстве) направлениям, которые не обязательно взаимно перпендикулярны. Атрибутом _декартовости. ется наличие базиса. при этом явля­ Примером не декартовых координат могут служить (нелинейные) поляр­ ные координаты (вектор характеризуется длиной r Р"с.1.5 и углом I{J с выделенным направлением). в общем случае не nрямоугольньа координат nонятие ориентации опи­ рается на следующее onределение. Уnорядоченная тройка некомnла­ нарньа векторов а. Ь. С, исходящux из точки О, называется 1fIНI-. если для наблюдателя, расnоложенного в нуле, 06ход концов а, Ь. с в укаЗQННОМ порядке npoиcxoдuт по часовой стрелке. случае тройка а, Ь, с - В npomивном A/!tIIUf. Соответственно классифицируются базисы. S) Операция ра:шо_ения вектора по эаданным направлениям известна со школы (pa3IIo- жение сил, скоростей на несколько состаВЛЯЮЩИХ - две на плоскOCТ1t, три В пространCПIe). и З3КJ1ючается В построении подходящеro параллелограмма (либо параллелепипеда) с по­ СЛ~дyIOЩН" представлением диаroнали В ВИде векторной суммы сторон. 1.2. Описание геометрических объектов Если не оговорено противное, - nод дeKapтoвыии 15 nодразумеваютCJI далее nрJIмоугольныe KoopдиHaты. Описание геометрическихобъектов 1.2. На плоскости с декартовыми координатами х, у уравнение х2 описывает нат у окружность + у2 = r2 радиуса r - рис. 1.6 а. = kx +Ь служит прямая линия с центром в начале коорди­ Хорошо известно таюке, что графиком функции - рис. 1.6 б. Уравнение прямой обычно записывают в симметричном виде I ах + ру + 'у = о. I у у х а) б) Рис. Аналогичное уравнение в 1.6 R3 (1.2) описывает плоскость. "Школьный вариант>о освоения этих уравнений довольно неуклюж, но он выполняет определенную задачу установления контакта с подсознанием. Проблема ведь заключается в том, чтобы сначала понять суть не умом, а нyrpoм. Для этого С1рОится прямая у = ж + 1, затем у = 2ж - 1, потом У этапе подсознание начинает lIIИТЬСЯ на однообразие - = /еж + Ь. + /зу + 7Z + 6 = О = -ж + 3. На каком-то и тогда уже все при меры можно зачеркнуть, оставив одну запись у Что касается плоскости, то аж еще не конец пути. Беда в том, что язык описания кос-что не ухватывает. Новую точку зрения дает понятие скалярного произведения векторов. Глава 16 Аналитическая геометрия 1. Скалярное произведение определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними 6) (рис. 1.7), 11 X.Y~iX'.'Y'C~I<'·11 Другими словами, обозначении ху (точка в скалярного часто опускается) (1.3) произведения есть произведе­ ние длины х на проекцию вектора у х Рис. на вектор х, т. е. ху 1.7 = Iхlуж, Для обозначения скалярного произведения используется также более гро­ моздкая, но иногда полезная запись (х, у). Скалярное произведение удовлетворяет обычным свойствам умножения: (КОАСМутативность), ху =ух х(у + z) = ху + xz (дистрибутивный закон). Второе вытекает из равенства проек­ у ции суммы векторов - сумме проек­ ций. lal Ilall) Отметим попутно, что длина (еще говорят х Рис. норма, и пишут вектора а фагора 1.8 = {аж, ау} по теореме Пи­ равна (рис. 1.8) Ilall = Т.е. а 2 Ja~ + ai, = а· а = a~ + ai. В пространстве, соответственно, 6) из-за четности и периодичности косинуса, cos (271' - 11') = измеряетсll угол. COS!p, - не важно, как 1.2. Описание геометрических обьектов 17 откуда что приводит К а' Ь (а = + ь)2 - 4 (а - ь)2 = аzЬж + а,Ь, + а.Ь•. Последнюю формулу ( 1.4) иногда принимают дения, выводя за исходное векторов, характеризуемый ноro вектора на проекuию друroго: 8 произве­ = lal'I:'1 cos Ip отражает широко распространенный роде способ взаимодействия щении скалярного в качестве следствия. (1.3) Произведение а· Ь определение lal Ь•. в при­ умножением длины од­ Например, работа силы F на перемс­ равна F· 8 = IFI . 181 cos Ip, поскольку «работает_ только составляющая F. направленная вдоль 8. Поток жидкости через площадку площади дению v1:18, где v - 1:18 равен скалярному произве­ 1:18), а вектор 1:18 считается скорость течения (в районе направленным по нормали к площадке. Физически опять-таки понятная ситу­ ация: количество жидкости, протекающей через I:1S, определяется нормальной составляющей потока и не зависит от касательной составляющей. Скалярное произведение - удобный инструмент при решении многих задач. Пусть, скажем, исходная декартова система коор­ динат имеет орты i,j,k, а новая (тоже декартова) Поскольку координаты вектора а = {аж, ау, a z } - z, {' аж" ции а на оси х, у, координаты а , -- в новой системе , ау, '} azl сно- ва проекции, но уже на оси х', у' , z' . орты i',j~k'. есть проек- у - __ а Поэтому, например, где коэффициенты дают запись орта l' = {i~, i~, ii} в старой системе коор­ динат. х Рис. 1.9 1. Глава 18 Аналитическая геометрия • Произведение единичных векторов (рис. 1.9) а = {cosa, sin а}, Ь = {cosP, sinp} сразу дает формулу ab=1 cos(a-p) = cosа cosP+sinasinp,I = = поскольку lal Ibl 1. • Векторное описание треутольника АВС (рис. 1.1 О) леrко приводит к теореме косинусов (а + Ь)(а + Ь) так как • cos (11' - С) = Icl 2 = lal 2 + IbI 2 - 21al' Ibl cos С, =- cos С. В косоуrольных координатах скалярные произведения единичных направля­ ющих (по осям) векторов 1· j - получаются ненулевыми: = cos (ж, 11), 1· k = cos (ж, z), j. k = cos (11, z). Эrо, соответственно, усложняет формулы. Например, = a~ + а; + a~ + 2а х а, cos (ж. 11) + 2а х а. cos (ж. z) + 2а,а. cos (11, z), что получается возведением в квадрат а = ахl + a.J + a.k. а 2 Равенство нулю скалярного про­ С изведения аЬ А означает в силу cos (а, Ь) = О - ортогональность не­ нулевых векторов а и Ь. Поэтому О (при фиксированном а и те­ кущем r = {х, У, z}) представляет ar = собой уравнение плоскости, ортого­ в Рис. нальноu вектору а и nроходящеu через 1.10 начало координат. Уравнение (1.5) как и рез (1.2), начало задает плоскость, не обязательно проходящую че­ координат, и означает, что проекuия радиуса-вектора r = {х, У, z} любой точки этой плоскости на направление а одна и та :же. Если, дополнительно, lal = 1, то эта проек.ция численно равна б. 1.3. Векторное произведение 19 Понятно, уравнения что (1.5) лишь дрyraя (векторная) форма записи (1.2), но она привносит дополнительную интерпретацию, которая позволяет наглядно мыслить. Прямые и плоскости в евклидовой геометрии - одни из основ­ НЫХ объектов. Соответствующую роль в аналитической геометрии иrpaет уравнение (1.5), манипуляции с которым помогают описать многие задачи. Например, совокупности двух уравнений ar = 6, br =( удовлетворяет прямая в н 3 (пересечение плоскостей). ПоНJIТИЯ точки, прямой и плоскости в геометрии Евклида nервичны It п01"О­ му - неOflределяемы. Аналитическая reoме11'ИЯ дает определение этих понятий 7), но никакоro чуда при этом не происходит I - первичные понятия отодпигаются дрyryю область. 1.3. Векrориое произведеиие Векторное произведение, с = ах Ь, определяется как вектор с, ортогональный векторам а и Ь, и состав­ ляющий тройку {а, Ь, с}, совпадающую по ориентации с тройкой базисных векторов, а дЛина с равна площади параллелограмма, построен­ ного на векторах а, Ь (рис. 1.11), с Icl = lal . Ibl sin I(J. Часто подразумевают, что система коордннат правая, - Рис. 1.11 тогда пpoбnему направления с решает «правило буравчика., и cwaHHOCТb определения с =а хЬ забывается . .c1p3HH~ заключается в том, что векторное произведение а х Ь как бы ощу­ щает ориентацию пространства (меняет направление при замене левой системы координат на правую). Такие векторы называют аксиальными, и даже iJoи"mopaми. Обычные векторы (сила, скорость) на замену системы координат не реагируют 8 ). - - 7) Как МНОJl(CCПI решений тех или иных уравнений. 8) Реаrирует их описание. При замене координат {ж,r. z} на {-ж. - -r, -z} описание полярного вeкropa {а." а" а.} переходlП в {-а". -а" -а.}. Запись аксиального няется. nсев­ их называют полярными не ме­ Глава 20 1. Аналитическая геометрия Векторное произведение не ассоциативно, (о х Ь) х с ::f:. о х (Ь х с), антикоммутативно, % Х 1/ = -1/ Х %, но справеДl1ИВ дистрибутивный закон, (% + 1/) Х u = % Х U + 1/ Х и, (1.6) проверка которого требует некоторых усилий. .... Для обоснования (1.6) представим вектор ж в виде суммы где составляющая %l перпендикулярнавектору и, а %х u = %.L Х и, Равенство (1.6) %11 -- % = %.L + %11' параллельна. Очевидно, (% + Y).L = Ж.L + 1/.L' теперь следует из почти очевидного (%.L +Y.L) Х u = %.L Х u+1/.L Х и. .. Линейная скорость V r радиуса-вектора при KOHua вращении вокруг оси, проходя щей через на­ чало координат О, с угловой ско­ ростью UJ равна v= UJ Х Т, (1.7) где (пока формально) вектор UJ на­ правлен по оси вращения (в сто­ рону, определяемую буравчика», рис. по «правилу 1.12). Если тело участвует в двух вращениях UJI и UJ2 (с пересекаю­ щимися осями), то линейные скорости и складываются как векторы, и в силу V =UJ 1 Х r+UJ 2 х V 2 = UJ2 Хr (1.6) - 1 2 r = (UJ +UJ ) Х Т. Это означает, что результирующее движение происходит с угло­ вой скоростью UJ = UJI складываются по + UJ2. правилу полноuенными векторами 9). 9) Аксиальными. Таким образом, угловые скорости параллелограмма, и поэтому являются Векторное произведение 1.3. 21 в правой декартовой системе координат: i х J= j х k = i, k, k х i = j, 'lТO совместно с дистрибyrивным законом (1.6) легко приводит 10) к формулам, определяющим координаты векторного произведения а х Ь: = а"Ь. = а.Ь., (а х Ь). = а.,Ь" - (а х Ь)., а.Ь", (а х Ь)" а.,Ь., (1.8) а"Ь.,. Векторное произведение оказывается удобным инструментом при описании многих физических явлений. Моментом силы F относительно точки О называется вектор м =r х F. Аналогичноопределяетсямомент количества движения: х N=r Дифференцируя N, mv. получаем N = r х mv + r х т" = r х т" = r х F = М, поскольку т'; = F и r х mv = v х mv = О. вот несколько примеров из геометрии. • Раскрыти~ скобок в (а + Ь) х (а - Ь) приводит к (а + Ь) х (а - Ь) = -2а х Ь, откуда следует, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях, в два раза больше nлошади исходного параллелограмма. • Перемножение векторов, изображенных на рис. 1.9, дает (в случае правой ориентации {i,J, k}) ах Ь = - sin (о - р) k, т. е. ненулевой является только координата (а х Ь). = а.,Ь" - Поэтому sin (о - р) а"Ь., = cos о sin р - sin о cos р. = sinocosp - cososinp. • Уравнением прямой, параллельной вектору а и проходящей через точку Ь (конец вектора Ь), служит (r 10) Ь) ха = о. В результате раскрытия скобок в (а.,1 + а,.! + a.k) Х (6.,1 + 6,.! + 6.k). Глава 22 Аналитическая геометрия 1. Определители 1.4. Объем V параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с (как на ребрах), определяется смешанным произведением а· (Ь х с) = ±У, где Ь х с дает площадь параллелограмма, лежащего в основании, а проекция аьхс - высота параллелепипеда. Что касается знака, то плюс получается в ситуации, когда ориентация тройки {а, Ь, с} такая же, как у базиса, минус - в противном случае (базис левый, тройка {а, Ь, с} правая; либо наоборот). в случае компланарных векторов а· (Ь х с) - смющен, и его объем = О, поскольку параллелепипед нуль. Рутинное перемножение векторов в координатной форме после исключения нулевых членов приводит к а· (Ь х с) = ажЬ,с. - ажЬ.с, Тот же результат, что и + а,Ь.еж - а,Ьжс. + а.Ьжс, - а.Ь,еж. (1.9) (1.9), дает раскрытие определителя, или детерминанта аж ау ЬЖ Ьу az bz , сж су Cz (1.10) общая теория которых будет изложена в следующей главе, но част­ ные случаи определителей 2-го и З-го порядков с у - это те самые при­ меры, которые более поучительны, чем правила. Детерминант aтoporo порядка по оп­ G ределению равен l аЖ Ь ж Если ось а'l Ь, = ажЬ, - а, Ьж· z перпендикулярна москости векторов а, Ь, то а. z F Рис. К 1.13 мул (1.8) для ( 1.11) = Ь. = о и из фор­ векторного произведения ста­ новится понятно, что детерминант равен, по модулю, площади (1.11) параллело­ грамма, построенноro на векторах а и Ь. 1.5. С учетом Матрицы и преобраэования 23 (1.11) отсюда следует. что плошадь параллелограмма ОАСВ (рис. 1.13) OGHK и опЕР. Вне векторной равна разности плошадей прямоуroльников Идеологии это не такая уж леrкая reоме'Jl)ическая задача. Сопоставление (1.11) с (1.9) приводит к равенству которое сводит вычисление детерминанта 3-го порядка к вычислению детерми­ нантов 2-ro порядка. Из этой формулы следует, что векторное произведениеа на Ь можно записать в форме определителя а х Ь где i,J, k - = k аж ЬЖ а, а, , Ь, Ь, единичные орты. Матрицы и преобраэоваНИR 1.5. При маннпулировании векторами часто встречается квадратная таблица чисел Вида которая фигурировала в записи определителя (1.10). На такую таблицу можно 'Jl)ex векторов (вектор­ запись в C'Jl)Oчку 'Jl)ex вектор-столбцов CMO'Jl)eть как на координатную запись друг под другом строк) а, Ь, с; либо как на координатную [::]. [~]. ш Более удобной оказывается запись таких таблиц (матриц) в виде (1.13) ajj обозначает номер строки, вто­ через aj: будем обозначать i-ю строку А, где первый индекс у элемента рой - столбца. При этом Глава 24 через a:j - j 1. Аналитическая геометрия -й столбец, т. е. Матрицы как операторы. Матрица (1.13) чаще всего возникает как таблица коэффициентов линейного преобразования + al2Y + а1ЗZ = а, а21 Ж + апу + a23 z = /3, { аЗ1 Ж + аЗ2У + азз z = 1, переводящего вектор r = {ж, у, z} в вектор d = аllЖ Преобразование (1.14) записывают в виде (1.14) {а, /3, 1}. Ar = d, что опреде­ ляет по сyrи nравиАО умножения матрицы на вектор и позволяет смотреть на матрицу как на линейный оператор 11), действующий в пространстве трех переменных и преобразующий векторы по ука­ занному правилу. Если на произведение С = АВ матриц А = [aij] и В = [bij] смотреть как на последовательное применение линейного операто­ ра В, потом А, то nравиАО умножено матриц з cij =L (1.15) ajkbkj k=1 получается обыкновенным приведением подобных в равенстве Сж Из (1.15) = АВж = А(Вж). видно, что элемент Cjj матрицы С получается ска­ лярным умножением вектор-строки aj: на вектор-столбец Ь :j, т. е. I 11) Oroбражение. функцию. cij = aj: . b:j . I 1.5. Матрицы и преобразования 25 Обратной к А называют матрицу A-J, такую что A-1A = АА- 1 = [ , где единичная матрица, [ - [=[~~~]1 о о == определяюшая тождественное преобразование [х Наконец, матрица А· с элементами a;j ся столбцами, столбцы - = aji х. (строки становят­ строками) называется транспонированной к А. Вместо А· используются также равноценные обозначения АТ либо А'. Легко проверяется, что 'АI = IA·I. Линеitнwе уравнении. тельно На (1.14) можно смотреть также r;;:: {ж, У, z} при заданном d;;:: {а,Р.1}. Здесь полезно рассмотрение уравнения стороны, как на уравнение относи­ (1.14) с разных точек зрения. С одной (1.14) есть т. е. решение {ж, у. z} представляет собой координаты t1 базисе {[:~:], [:~~] [:~~] , аЗI ан } . aJJ При этом понятно, что вектор-столбцы MOryr составлять базис, если они неком­ М8нарны (не лежат в одной плоскости). Для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель IAI с другой стороны, был не равен нулю. (1.14) можно рассматривать как a·r;;:: а, b·r { с· "де ;;::р, r;;:: 1, (1.16) Глава 26 Аналитическая геометрия 1. Каждое из трех уравнений (1.16) описывает I1IIOCKOCТb см. - (1.5), - причем векторы а, Ь, с перпендикулярны к этим I1IIОСКОСТЯМ. Понятно, что I1IIОСКОСТИ пересекаются в единственной точке, если нормали а, Ь, с чего опять-таки необходимо IAI ::f. и достаточно reометрически также очевидны 12). HeKOMl1IIaHapHbl, для о. Остальные возможности ХОТА решить линейную систему уравнений численно вcerдa легко после­ довательным исключением переменных, интерес представляют единообразные формулы и возможные интерпретаuии. С uелью получения обшего решения (1.16) рассмотрим сначала систему a'r= 1, b'r =0, { Поскольку в (1.17) (1.17) c·r =0. скалярное произведение r на Ь и на с равно нулю, то перпеидикулярен Ь и с, т. е. параллелен Ь)(С, а значит которое определяется подстановкой >.[а . (Ь )( с») r = л= =1 Обозначая полученное решение а .= имеем (Ь с) )( а' (Ь Ь· )( с)' {""B.~I' r Л(Ь)( с) в первое уравнение 1 )( а' (Ь в' ,. = О, = о, Ь· Ь· = 1, с· а· = о, с· Ь· = (1.18), (Ь с) )( а· (Ь (1.17), )( с) откуда . через а· и два аналогичных через Ь· и с· , Ь· а· Умножая теперь системы r= с) = а (с. (Ь)( )(а)с)' { r = >'(Ь)(с) при некотором >., r .= с (а Ь) )( а' (Ь )( с)' {"'С =0, о, Ь· с· = о, с· с· = 1. соответственно, (1.18) на а,Р,7 и складывая, получаем { + рь· + 7С·) = а, Ь· (аа· + рь· + 7С·) = р, с· (аа· + рь· + 7С·) = 7, а. (аа· откуда видно, что I ЯВJJяется решением системы r = аа· + рь· + 7С• (1.19) (1.16). 12) У плоскостей может не быть обшей точки пересечеНИА (решение системы (1.16) невозможно). Либо пересечением плоскостей АIIЛАСТСА ПрАМая бесконечно много. - решений системы (1.16) 1.5. Матрицы и преобраэования 27 Таким образом, знание векторов а·, Ь·, с· позволяет практически мrнoBeHHo решать исходную систему уравнений ,. (1.16) при любой правой чаcrи. Говорят, ЧТО векторы а·,Ь·,с· взаимны по отношению к а,Ь,с. Из 8ИДНО, что ТОЧНО так же а, Ь, с взаимны по отиошению к а·, Ь· , с· [ аж а, а.] [а; ь; с;] Ьж Ь, Ь. еж е, . a~ Ь~ ~ с. а. Ь. = [1 с. (1.18) . Очевидно, О О] О 1 О О О 1 т. е. ма1рица, сОС1'авленная из вектор-столбцов а·, Ь·, с· , ЯВIIЯется обратной по от­ ношению к исходной. Именно поэтому система (1.16) сразу решается, как только определены а·, Ь·, С·. На ма1рИЧНОМ языке это выглядит 1рививльно. Уравнение Ar = d после умножения слева на А- 1 переходит в r = A-1d, что сразу дает решение, т. е. выражает r через d. ПfUllJlO Крамера. Многое из сказанного может показаться переливанием из пу­ СТОГО в порожнее, поскольку мы толчемся вокруг да около. Как решить систему - .СНО, а смена позиций меняет форму, но ничего не прибаВIIЯет по сущесгву. По крайней мере, так кажется. Тем не менее разные взглJIды на один и тот же факт позволяют математике расти и достигать новых областей, очень далеких от первоначальных постановок задач. Разные взгляды - разные ассоциации, СМЗИ, возможные обобщения. Остановимся еще на одной интерпретации, для чего перенумеруем перемен- ные, считая r = {:l:I' :1:2, :l:з}, и перепишем систему уравнений (1.14) в виде + al2:1:2 + а)J:l:з = а, а2.:I:. + а22:1:2 + а2з:l:з = р, аз.:I:. + ан:1:2 + азз:l:з = 7, all:l:. { = d. = IAI, а D; (1.20) т. е. по-прежнему Ar Пусть D IIЗ А заменой i-ro обозначает определитель м8'lpИЦW, которая получается столбца на вектор-столбец d. Тогда решение формулы раЗllожения определителя (1.12) (1.19) с учeroм можно записать как CЦl ~ Il1'O называют npo81UOМ КptUlepa, которое точно так же формулируется в случае рор. переменных .з). В качестве упражнения полезно вернyrьcя к представлению решения каlc IШOPдИнат вектора d в базисе, составленном из векrop-столбцов ма1рИUbl А. В lUl)'МepHOM случае 13) Равно как и n перемснных - см. ~ главу. Глава 28 1. Аналитическая геометрия результат получается совсем легко. Векторная запись системы уравнений имеет и после умножения (векторно) на Ь дает (а х Ь)ЖI = (d х Ь) = О), откуда ЖI = (d х Ь)/(а х Ь), что есть ЖI = D D. Аналогично получается Ж2 = D 2/D. Деление в данном случае вектора на вектор возможно в вид аЖI + ЬЖ2 = d (поскольку Ь х Ь 1/ силу коллинеарности векторов. Переход к другим координатам. Пусть имеется два базиса, {еl, е2} и { и {e~, е;}, е: = 8\\е\ + 8\2е2, е2 = 82\е\ + 822 е 2 (1.21 ) определяет их взаимосвязь. Допустим теперь, что жi обозначают координаты вектора ж в базисе {е}, а ж~ ж в базисе {е'}. Подставляя e~ из = Жlе\ (1.21) в + Ж2е2 = Жlе\ " + Ж2е2 " и приравнивая коэффициенты при ~, - после раскрытия скобок и приведения подобных, получим жl = 811Ж~ { + 82IЖ;, , Ж2 = 812 Ж I + 822 Ж 2, , т. е. ж = S·ж' и, соответственно, ж' = (S·)-\ж. Другими словами, если связь между базисами определяется матрицей ле (1.21), - матрица Т = S - в смыс­ то связь между координатами ж' = Тж осуществляет (s·)-I. Неудобство, связанное с тем, что взаимоотнощение базисов и координат выражается разными матрицами, не играет роли, поскольку рассматриватьто и другое одновременнообычно не тре­ буется. Пусть, говорят, новые координаты через старые (либо на­ оборот) выражаются с помощью Т, - и о базисе не вспоминают. Главное, что Т линейно. В RЗ ситуация аналогична. Выражение одних координат через другие - это всегда определение проекций вектора т = {Т х , Ту, T z } 1.6. Прямые и плоскости 29 на новые направления, задаваемые векторами другого базиса. При - ","ом решает простое правило проекция суммы векторов равна сумме проекций: re = r ж cos (О) + ry COS (е:И + rz cos (О). Если при переходе к новым координатам растяжения осей не происходит, - остается только поворот, который описывается матрицей S( ) = [c~s ер - sin ер] . ер SIП ер COS ер Транспонированию S шесь соответствует замена ер на -ер (замена вращения на угол ер противоположным вращением). S'(ep) = S(-ep), S-I(ep) = S'(ep). Упражнение COS (о + Р) [ sin(o+p) 1,6. - sin (о + Р)] _ [COS о - sin о] . [COS Р sino coso sinp Cos(o+P) - - sin Р]. cosp (?) Прямые и плоскости Ра:JJIичные опнсания 1IJI0СКОСТИ. Как уравнение ах т. е. а' r + ру + "(Z + б = О, + б = О, так и r = ~a + рЬ + С, задают плоскость. Первое описание служит уравнением плоскости С нормалью а = {а, р, "(} и позволяет легко проверить, принад­ лежит ли предъявляемая точка веркой равенства а' r +6 = r = {х, у, Z} этой плоскости (про­ - параметрически задает точку с и ортогональную а х Ь, - О), второе плоскость, проходящую через с его помощью удобно генерировать точки плоскости, выбирая произвольно параметры ~,p. Подобная двойственность характерна для математики вообше, и между та­ кими описаниями иногда лежит пропасть 14). В данном случае различие не так велико. И3 одного описания легко получить другое. (1) 14) См. например, в 131 главу о вычислимости и доказуемости. Глава зо 1. Аналитическая геометрия Приведенные варианты являются опорными, но не исчерпы­ вают возможностей. Необходимо, скажем, описать плоскость, про­ ходящую через три заданные точки r l = {Xl,YI,Z.}, r 2 = {Х2, У2, Z2}, rЗ = {Хз,Уз,zз}. Задача выглядит по-другому, но легко сводится к предьщущему. Полагая, например, а = rl - Ь= rl r 2, - rЗ и выбирая в качестве с любую из точек r l, r 2, r З , получаем парамет­ рическую запись плоскости IS) r = ~a + рЬ + с. Описанием первого типа будет (а х Ь) .r + б = О, где б определяется подстановкой вместо r любой из точек r 1, r 2, r З . В иной форме это можно записать как равенство нулю определителя Х2 х х) Х. - Х, Х) У2 Уз У YI Z - ZI У. Z2 - ZI = Zз - ZI УI О, что означает линейную зависимость векторов r- r l , Кстати, вместо уравнения ах + ру + 1z + 6 = О часто целесо­ образно использование его эквивалента где вместо {Хо, уо, Zo}, Прпu. не всегда удобного пара метра 6 фиrypирует точка через которую проходит плоскость. Прямая на плоскости иrpает роль аналогичную той, кото­ рую иrpает москость в пространстве трех переменных. Поэтому а(х 15) - хо) + р(у - Уо) = о почему в качect1lC С МОJOtо выбирать любую из 1UЧСII: ,.', ,.2, ,.]? 1.6. Прямые и плоскости 31 есть уравнение прямой, ортогональной вектору {а, Р} и ПРОХQДЯ­ шей через точку {ХО, УО}' Но для описания прямой в пространстве требуются уже два линейных уравнения I а· r + 6 = О, Если r Ь • r + ( = О. I (1.22) удовлетворяет обоим уравнениям, это означает, что r лежит на пересечении плоскостей, т. е. на прямой. Разумеется, можно оrpаничиться одним нелинейным уравне­ нием но это не меняет сути. Суть в каком-то смысле меняет запись (1.22) в виде одного линейного уравнения I r х (а х Ь) = 6Ь - (а, I однако в координатной записи как (1.23) (1.22) - (1.23) это два уравнения, тогда приводит к трем уравнениям. Поскольку о происхождении вектора (а х Ь) можно забыть, каноническое уравнение прямой можно записать так 11 r х с = d. 11 Вектор с здесь направлен вдоль прямой, а d = r O х с, где r O - любая точка, через которую проходит прямая. Другой ку r O, - вариант описания прямой, проходя шей через точ­ параметрическое задание, r - r O = ат, т. е. х-х О =ажт, у-у О = аут, z-z О =azT, где вектор а задает направление прямой. При необходимости описать прямую, проходяшую через две точки Глава 32 1. Аналитическая геометрия достаточно в качестве а взять вектор T1 - параметра Т, получается уравнение прямой где точка тО = {хо, Уо, Обычно полагают то ZO}, т 2 • После исключения 16) понятно, не может быть произвольной. = т I либо r O = r2• Касательная плоскость. Пусть речь идет о функции двух переменных z = /(ж. у). Как известно, градиент grad/ = { д/ дж' д/} ду перпеидикулярен к линии постоянного уровня f(ж. у) ке {Жо.Уо}. Поэтому касательная плоскость - = const в любой точ­ проходящая через точку {Жо.Уо} - клинии постоянного уровня функции grad / z = /(ж. у) (на рис. 1.14 описывается уравнением это пункrирная прямая) д/ дж (ж - жо) д/ + ду (у - уо) = о. Если интерес представляет каса­ тельная плоскость к поверхности гра­ фика функции z = /(ж, у), то это сводится к предыдущему случаю рас­ смотрением функции 1J =Z - /(ж, у) трех переменных. Ее градиент Рис. 1.14 { 1. - Поэтому касательная плоскость к поверхности определяется z :~. - :~ } . = f(ж. у) в точке {zo. жо, уо} уравнением z- д/ zo = -(ж дж жо) д/ + -(у ду Уо). Геометрическиезадачи 1.7. Расстояниедо ПЛОСКОСТИ. Пусть плоскостьзадает уравнениет·а Если 16) r = 6. разложить по взаимно перпендикулярным направлениям На самом деле - два уравнения. r = Та + т 1.0' в случае т 1.0 ээ Геометрические задачи 1.7. становится ясно, что минимальная длина у т будет = О. Таким образом, расстояние от начала координат до плоскости равно IITllmin = ITol = 161 ~. Расстояние от произвольной точки Ь определяется так же - после переноса в Ь начала координат, что достигается заменой т = т' 16 - и в итоге даеt величину Если требуется а не само минимальное расстояние, а ближайшая координат точка (на плоскости), то для ее определения И3 двух векторных уравнений: r· а + Ь, . bl/llall. = 6 и r х а При нежелании иметь дело с векторами - = к началу надо решить систему О, что равносильно r.l. o = О. можно рассматривать координат­ ную ззпись задачи: которая легко решается методом множителей Лагранжа (см. [4, т. 1). Расстояние до прямой. Разнообразие возможностей здесь опреде­ ляется вариантами задания прямой, которые легко сводятся друг к другу. В варианте (1.23), т. е. т х а = с, ближайшая к началу координат точка на прямой определяется системой уравнений т х а = с, т .а = О. Находя решение и вычисляя длину соответствующего вектора т, получаем расстояние до прямой (от начала координат). Если сама ближайшая точка не нужна, то расстояние определя­ ется совсем просто. Раскладывая т по взаимно перпендикулярным = Tllo +т 1.0' в ближайшей к началу координатточке имеем ITl.IIl·llall = Ilcll, откуда искомое расстояние: Ilcll/llall . направлениям т СкрещиlаlOUlИесJl прJlмые. Пусть имеются две прямые, описываемые уравнеНИJlМИ rxo=A, где векторы r и 8 лежат, 8ХЬ=В, соответственно, на первой и второй прямой. Умножая первое уравнение скалярно на Ь. второе (r х а) . Ь = А . Ь, (8 Х Ь) . а - на а, имеем = В . а, Глава 34 1. Аналитическая геометрия или равносильно 17) r· (а х Ь) А = . Ь, 8' (Ь Х а) = В· а. Последние два уравнения при сложении дают (r - 8) . (а х Ь) = А· Ь + В . а. Это означает, что проекция вектора r - 8 на направление (а х Ь) постоянна. Поэтому дЛина (норма) r - 8 будет минимальна, когда (r - 8) 11 (а х Ь). в этом случае Ilr - прямыми 811 . Ila х bll = IIA . Ь + В . all, откуда (минимальное) расстояние меЖдУ равно IIА·Ь+В·аll Ila х ыI При А· Ь + В· а = О прямые пересекаются. Чтобы найти сами точки r и 8, на которых достигается минимум расстояния, надо решить систему трех векторных уравнений (r - 8) Х (а х Ь) = О, r х а = А, 8 Х Ь = В. Частные задачи. • В ряде случаев полезна следующая формула для двойного век­ торного произведения 18) I а х (Ь х с) = Ь(а . с) - с(а . Ь). I Вот одно из полезных следствий: n х (Ь х n) =Ь- n(n . Ь), если n· n = 1, что приводит К формуле Ь= n(n· Ь) +n х (Ь х n), Ilnll = 1, которая дает разложение Ь на две составляющие ную и перпендикулярную единичному вектору • - параллель­ n. Координатно-векторное мышление (Спереворачивает. и упро­ щает почти любую геометрическую задачу. Вот, например, как выглядит векторное доказательство известного факта: если диа­ гОНШlи четырехугольника Авеп делят друг друга пополам, то Аве 17) D- nаршиелогра.м.м. Поскольку смешанное пронзведенне а· (Ь х с) не меняется прн uнклнческой переста­ - не циклической) - объем паpanлелепипеда ТОТ же новке векторов (н меняет зиак при самый. знак определяет ориентация. 18) Мнемоническое правило: .абэuэ равно бац минус uaб •. 1.8. Кривые и noвeрхности второго порядка Пусть а, Ь, с, А, В, С, 35 радиус-векторы, соответственно, вершин d - По условию D. 1 1 2(а+с) = 2(b+d), откуда следует Ь - и параллельны. ~ а = с - d, т. е. стороны АВ и CD равны Уа,....... Пуcn. а. Ь. с • - радиус-векторы вершин 'q)eyroльника АВС. Тогда вектор 6=а)(Ь+а)(с+Ь)(с равен удвоенной ПJlощади l:!.AВC и перпендикулярен ПJlОСКОСТИ. в которой леJКИТ 'q)eyroльник. • Уравнение ЖоЖ + УОУ + Zo% = R! 2 опредeJUlет ПJlОСКОС'1Ъ. касающуюся сферы ж +JГ + %2 Пуcn. а. Ь. с • - =в 2 В roчке {:I:o.Ifo. Zo}. радиус-векторы вершин 'q)eyroльника АВС. Тогда радиус­ вектор roчки пересечения биссеlClPИС равен аВС r где ВС. АС. АВ 1.8. - + ЬАС + сАВ = ---В"'"':С-+---:"А"'"':С-+-А-:-В---. длины COO'ПIeТC11Iуюших cropoн. r = а+Ь+с 3 r + btgB + ctgC = а tgA tgA+tgB+tgC - roчка пересечения медиан. roчка пересечения высот. Кривые и поверхности второго порядка Уравнение на плоскости Ае + 2B~" + с,,2 = D поворотом осей координат при водится к ВИДУ А'х 2 + 2В'Х1l + С'1I 2 = D. Глава 36 1. Аналитическая геометрия При этом выбором угла tp всегда можно обеспечить 19) В' = О. Вари­ анты в результате считаются на пальцах ОДНОЙ руки. ВЫРОЖденные случаи, когда одна из констант А', С' обращается в нуль 20), мало­ интересны. В остающихся вариантах получаются ЭJUlUnС и гunербола. ЭJIJIИПС. Каноническое уравнение эллипса: а ~ ь На > О. рис. 1.15 изображена ответствующая со­ геометрическая фигура. Величины а и Ь равны длинам большой и малой полу­ х -а осей. В случае а а = Ь получается окружность. Эмипс обладает рядом эамеча­ Рис. 1.15. Эллипс тельных свойств и может быть охарак­ теризован как: • Множество точек плоскости, для кaJК,Дой из которых сумма расстояний до ФОКУСOt1 где с 2 • F., F2 постоянна = 02 _ и равна 2а. Расстояние между фокусами - 2с, ь2 • Кривая, получаемая в пересеченни KpyгollOro конуса с плоскостью. Оптическое свойство: световой луч, исходящий из одноro фокуса, после отражения от эллипса проходит через другой фокус. Отношение е = с/а называют эксцентриситетом эллипса. В полярных координатах р, 'р эмипс описывается уравнением р р= I +ecos'P' где р - фокальный пораметр, равный половине длины вертикальной хорды, проходя щей через фокус. 19) Принять на веру или проверить - кaJl{ДЫIi решает сам. Хорошо (плохо) и ТО. и дpyroe. Проверки изощряют навыки, но :l3меДЛIIЮТ ход. Вера, как воздушный шар, быС1]Ю возносит в облака, но отрывает от Земли. 20) Эro cOO11leТCТВYeт ситуаuии det [~ ~] = det [: ~ = О. Кривые и поверхности второго порядка 1.8. - Прос1р8нcrвенное обобщение ж + ь2 + 02 IИпербола. Гипербола эллипсоид. Уравнение: ,i 2 37 Z2 с2 = •. плоская кривая, - как и эллипс, представляет собой сечение конуса плоскостью. На рис. 1.16 изображена ра. Имеет две асимптоты F2 - 2с, где с = а 2 Харакreризуется ское 2 +ь соответствующая reометрическая фиry­ 11 = 2 а ±ьж. Расстояние меЖдУ Фокусами • как геОМе1Риче­ множеcrво lОчек плоскости, мо­ дуль разности расeroяниА КО1Орыхдо Р. и Р2 пocroянен и равен При о =Ь 20. асимnтorы взаимно перпендикулярны. Если их принять координатные оси, - 38 уравнение rипер­ болы трансформируется в 11 = !с/ж. Пространственное обобщение /Unep6oAouд. Уравнение: Рис. 1.16. Гипербола F.,