Вычисление определенных интегралов. Задачи электротехники, приводящие к вычислению определенных интегралов.

ЛЕКЦИЯ №5 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Задачи электротехники, приводящие к вычислению определенных интегралов Круг задач электротехники, в которых необходимо вычислять определенные интегралы, широк и многообразен. Остановимся на электрических цепях переменного тока, в частности, на цепях синусоидального и несинусоидального переменного тока. Синусоидальными называются токи (напряжения, ЭДС), величина которых изменяется во времени по синусоидальному закону , (5.1) где Im - амплитудное (максимальное) значение тока; - угловая частота, равная ,- где Т - период одного колебания в секундах; - фаза колебания; - начальная фаза колебания, т. е. фаза при t = 0. Очень часто, если в электрической цепи содержатся элементы, сопротивление которых зависит от величины или направления тока в ней, напряжения и токи (см. главу 1, раздел 1.1) становятся несинусоидальными. В случае как синусоидальных, так и несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС, их принято сравнивать по двум основным характеристикам - среднему и действующему (эффективному) значению. Среднее значение тока (аналогично напряжения и других электрических величин) определяется следующим образом: (5.2) где - интервал времени, за который рассчитывают среднее значение. При синусоидальных токах и напряжениях , то есть берется только одна полуволна синусоиды (см. рис.1.4). Если в цепи стоят выпрямители (см. модель электромагнита), то необходимо знать величину выпрямленного тока. В этом случае , то есть периоду несинусоидального тока (см. рис.1.3). Тепловое и механическое действие переменного тока определяется действующим или среднеквадратичным его значением, определяемым следующим образом: . (5.3) Для синусоидального тока соотношение между действующим и амплитудным значением тока легко определяется аналитически и хорошо известно:. Если форма тока несинусоидальная, то расчет интегралов (5.2) и (5.3) аналитически провести чаще всего сложно. Если же мы не имеем аналитического выражения для соответствующей функциональной зависимости, а только результаты расчетов или эксперимента в виде таблицы значений аргумента и функции, аналитический расчет становится невозможным. Приходится в таких случаях прибегать к численным методам расчета средних и действующих значений электрических величин. Это, как следует из сказанного выше, сводится к расчету определенных интегралов. Методы вычисления определенных интегралов На практике часто необходимо вычислять интегралы вида (5.4) где а и b - нижний и верхний пределы; f(x) - непрерывная функция на отрезке [a,b]. Методы вычисления определенных интегралов, описываемые в пособии, основываются на замене подынтегральной функции f(x) аппроксимирующей функцией j(x), для которой первообразную можно легко найти [5] , т.е. (5.5) где S - приближенное значение интеграла; R - погрешность вычисления интеграла. Как сказано выше, численное интегрирование применяют в случаях, когда аналитическое решение задачи трудоемко или невозможно. Геометрический смысл определенного интеграла - площадь фигуры, ограниченной сверху (снизу) - кривой функции, снизу (сверху) - осью абцисс (X) , слева и справа - линиями, параллельными оси ординат (Y), проведенными от оси абцисс до пересечения с кривой f(x). Площадь над осью абцисс считается положительной, под осью - отрицательной (рис.5.1). При численном интегрировании поступают следующим образом. Разбивают интервал интегрирования [a,b] на N частей. Далее на каждом N-м интервале (или на ряде соседних интервалов) функцию f(x) аппроксимируют (заменяют) функцией, первообразная которой легко вычисляется. Другими словами, площадь криволинейной фигуры заменяют суммой геометрических фигур, площадь каждой можно легко вычислить. Далее значения интеграла на каждом интервале суммируются. Если известно аналитическое выражение для подынтегральной функции, количество разбиений интервала интегрирования выбирается из требуемой точности результата с использованием оценки погрешности различных методов. При численном интегрировании результатов физического или вычислительного экспериментов максимальное число разбиений интервала определяется шагом аргумента h. Рассмотрим несколько наиболее распространенных методов численного интегрирования в порядке возрастания их точности, определяемой видом аппроксимирующей функции (об аппроксимации см. главу 6). Методы прямоугольников Методы прямоугольников основаны на аппроксимации подынтегральной функции f(x) полиномом нулевого порядка, т.е. константой. В зависимости от того, какое из значений функции на интервале интегрирования является узлом аппроксимации, различают методы левых, правых и средних прямоугольников (рис.5.2, 5.3). Формула для вычисления интеграла по методу прямоугольников имеет вид: (5.6) где h - шаг интегрирования, R= Jточн -Jприбл - погрешность интегрирования. Значение аргумента xm зависит от метода. Для левых прямоугольников xm =xi , для правых - xm =xi+1 , для средних - xm =xi + h/2. Метод левых и метод правых прямоугольников имеют сравнительно высокую погрешность R, главный член которой R0 имеет следующий вид: (5.7) где h - шаг интегрирования; (x) - первая производная подынтегральной функции; [xn,x0] - интервал интегрирования. Погрешность метода средних прямоугольников определяется по формуле (5.8) где h - шаг интегрирования; (x) - вторая производная подынтегральной функции; [xn,x0] - интервал интегрирования. Степень шага h, которой пропорциональна величина R0 , называется порядком метода интегрирования. Методы левых и правых прямоугольников имеют первый порядок, а метод средних прямоугольников - второй порядок. Это означает, что с уменьшением шага в 2 раза погрешность метода левых и правых прямоугольников уменьшится в 2 раза, а средних - в четыре. Как видно (рис.5.2,5.3.), метод средних прямоугольников требует знания подынтегральной функции в средней точке i-го интервала аргумента. При использовании опытных данных или результатов вычислительного эксперимента это означает, что для построения N средних прямоугольников требуется дополнительно иметь N значений функции по сравнению с методами левых и правых прямоугольников при том же шаге аргумента. Если использовать N значений аргумента, то шаг в методе средних прямоугольников увеличивается в два раза. Во время практических занятий предлагается, изменяя количество расчетных точек, оценить точность методов прямоугольников и их относительную погрешность, взяв за базу аналитический расчет. Метод трапеций Если в методах прямоугольников функцию f(x) на участке [xi,xi+h] заменяют константой, то в методе трапеций f(x) заменяют полиномом первой степени: P1(x) = a0+a1x. Как правило, прямую проводят через значения функции на концах интервала интегрирования h. В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции (рис. 5.4,a): (5.9) Главный член погрешности метода трапеций равен . (5.10) Как видно, метод трапеций при принятом выборе проведения аппроксимирующей прямой имеет большую по абсолютной величине погрешность, чем метод средних прямоугольников. Метод парабол Если подынтегральную функцию f(x) заменить полиномом второй степени - параболой P2(x) = a0+a1x+a2x2 , проходящей через узлы xi-1, xi, xi+1, то получим метод парабол, или метод Симпсона (рис.5.4,б). Не делая промежуточных выкладок, приведем окончательную формулу вычисления интеграла методом парабол: . (5.11) Как следует из формулы (5.11), количество узлов функции в методе Симпсона должно быть 2N+1, где N - количество суммируемых криволинейных фигур. Главный член погрешности в методе парабол равен: . (5.12) Метод Симпсона имеет четвертый порядок точности. Формула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае методы второго порядка могут дать большую точность, чем метод парабол. Программная реализация методов Все методы реализованы в виде одной процедуры-функции (см. ПРОГРАММУ 5.1), в которой параметр MetInt определяет выбранный метод интегрирования. Если известно аналитическое выражение для интегрируемой функции, необходимо выполнить подготовительную работу - написать подпрограмму, которая будет заполнять таблицу значений x и F(x). Одновременно с расчетом интеграла процедура рассчитывает среднее и действующее значение кривой любым из методов, что достигается делением значения интеграла на величину интервала аргумента xn - x0. Также в программе значение шага h не постоянно, а рассчитывается по текущим значениям аргумента xi.. Это позволяет использовать процедуры при обработке расчетных данных с переменным шагом по аргументу. В процедуре рассчитывается необходимое число точек для методов средних прямоугольников и парабол Nr. На практических занятиях предлагается с помощью программы, обрабатывающей результаты расчета математической модели электромагнита, оценить точность расчета интеграла различными методами при изменении шага интегрирования. За базу при этом берется значение интеграла, полученное аналитически. ПРОГРАММА 5.1 { Процедурa-функция для расчета величины определенного интеграла, среднего и действующего значений функции, заданной таблично } {_________ В вызывающей программе:____________________} {Const NMax=500; Макс. число точек в таблице функции } { Тип - одномерный массив для хранения и передачи в подпрограмму значений аргумента и функции } { Type VecF=array[0..NMax] Of Real; } {___________ Расчет определенного интеграла ____________} Function Integral (N:Integer; x,F:VecF; MetInt:Integer; Var Sr:Real; Var Eff:Real):Real; { N - число узлов функции F(x) } { x - массив аргументов } { F - массив значений интегрируемой функции } { MetInt - выбираемый метод интегрирования } { Sr - среднее значение функции } { Eff - действующее значение функции } Var i, { Cчетчик циклов } Nr { Расчетное число узлов функции }:Integer; Sum, Sum1 {Переменные для накопления сумм интегралов}:Real; F1 { Массив значений вспомогательной функции } {для расчета действующего значения }:VecF; Begin { Заполнение массива вспомогательной функции } For i:=0 to N do F1[i]:=F[i]*F[i]; Nr:=N;{ Исходное расчетное число узлов функции } { Коррекция Nr для методов средних прямоугольников и парабол } If MetInt > 3 Then Nr:=(N div 2)*2; Sum:=0.0; Sum1:=0.0; { Начальное обнуление сумм } Case MetInt of { Выбор метода интегрирования } 1:{ Метод левых прямоугольников } Begin For i:=0 to Nr-1 do Sum:=Sum+F[i]*(x[i+1]-x[i]); For i:=0 to Nr-1 do Sum1:=Sum1+F1[i]*(x[i+1]-x[i]); End; 2:{ Метод правых прямоугольников } Begin For i:=0 to Nr-1 do Sum:=Sum+F[i+1]*(x[i+1]-x[i]); For i:=0 to Nr-1 do Sum1:=Sum1+F1[i+1]*(x[i+1]-x[i]); End; 3:{ Метод трапеций } Begin For i:=0 to Nr-1 do Sum:=Sum+0.5*(F[i+1]+F[i])*(x[i+1]-x[i]); For i:=0 to Nr-1 do Sum1:=Sum1+0.5*(F1[i+1]+F1[i])*(x[i+1]-x[i]); End; 4:{ Метод средних прямоугольников} Begin i:=1; Repeat Sum:=Sum+F[i]*(x[i+1]-x[i-1]); Sum1:=Sum1+F1[i]*(x[i+1]-x[i-1]); i:=i+2; Until i > Nr; End; 5:{ Метод парабол (Симпсона)} Begin i:=1; Repeat Sum:=Sum+(F[i-1]+4.0*F[i]+F[i+1])*(0.5*(x[i+1]-x[i-1]))/3.0; Sum1:=Sum1+(F1[i-1]+4.0*F1[i]+F1[i+1])*(0.5*(x[i+1]-x[i-1]))/3.0; i:=i+2; Until i > Nr; End; End; Integral:=Sum; { Значение интеграла } Sr:= Sum/(x[Nr]-x[0]);{ Cреднее значение кривой } Eff_Znach:=Sqrt(Sum1/(x[Nr]-x[0]));{ Действующее значение кривой } End;{ Integral_____________________________________________}