Введение. Матрицы как способ представления данных в управлении экономическими системами

1 Введение. Матрицы как способ представления данных в управлении экономическими системами. Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме. Матрицы позволяют с минимальными затратами труда и времени обрабатывать огромный и весьма разнообразный статистический материал, различные исходные данные, характеризующие уровень, структуру, особенности социальноэкономического комплекса. На данный момент особенно актуально использование матриц для создания баз данных, ведь вся информация обрабатывается и хранится в матричной форме. Матрица – это прямоугольная таблица, представляющая собой совокупность строк и столбцов. Размерностью матрицы называется величина m×n, где m-число строк, n-число столбцов. Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами А, В,…, а их элементы – соответствующими маленькими буквами с двойными индексами, где первый индекс – номер строки, второй – столбца. При записи матрицы таблицу заключают в круглые или квадратные скобки. Матричный метод позволяет в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и объекты. Одним из примеров может послужить таблица распределения ресурсов по различным отраслям (табл. 1). Таблица 1. Распределение ресурсов (в условных единицах) Ресурсы Трудовые ресурсы Водные ресурсы Электроэнергия Отрасли экономики Промышленность Сельское хозяйство 4.8 6.7 3.1 2.5 5.6 4.3 Торговля 7.1 5.8 3.4 2  4.8 6.7 7.1    Данная таблица может быть записана в виде матрицы: A =  3.1 2.5 5.8  .  5.6 4.3 3.4    Так, например, элемент матрицы а22 = 2.5 показывает, сколько водных ресурсов потребляет сельское хозяйство, а элемент матрицы а13 = 7,1 показывает, сколько трудовых ресурсов потребляет торговля. Диагональными называются элементы матрицы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Эти элементы образуют главную диагональ матрицы, идущую из левого верхнего угла. Матрица может состоять из одной строки, например, A = ( 2 3 4 ) или из  1 одного столбца, например, B =   , а также может содержать всего один эле 5 мент, например, C = ( 3 ) . Матрицы А и В называются равными А = В, если у них одинаковые размеры и соответствующие элементы их равны. Нулевой называют матрицу, все элементы которой равны нулю. Транспонированной к матрице А называют матрицу АТ, полученную из А заменой каждой строки столбцом с тем же номером, например, 1 7  1 5 T A= ; A =   . 5 7     Квадратной матрицей порядка n называют матрицу, в которой n строк и n  2 3 столбцов, например, B =   – квадратная матрица второго порядка. 1 5   Следом квадратной матрицы A , который обозначают trA , называют сумму элемен 1 3 тов на главной диагонали, например, A =  , 2 4 trA = 1 + 4 = 5 . Квадратную матрицу называют диагональной, если все её элементы,  2 0 0   лежащие вне главной диагонали, равны нулю, например, A =  0 5 0  . 0 0 8   3 Единичной называют диагональную матрицу, у которой все диагональные элементы раны единице, она обозначается Е. Квадратную матрицу называют треугольной, если все её элементы, лежащие по одну сторону главной диагонали, равны нулю. На рисунке 1, где приведены 3 треугольных матрицы, эти элементы окрашены. Рис.1 Действия над матрицами. 1. Сложение и вычитание существует только для матриц одинакового размера, складывают или вычитают соответствующие элементы мат 3 12   2 8  1 2     риц. Например, пусть A =  1 4  , B =  0 3  , C =  . 3   6 5  1 7     Тогда:  3 12   2 8   1 4   3 12   2 8   5 20              A − B =  1 4  −  0 3 =  1 1  , A + B =  1 4  +  0 3 =  1 7  .  6 5   1 7   5 −2   6 5   1 7   7 12              Матрицы A ± C и B ± C не существуют, т.к. А и С, а также В и С – матрицы разного размера. При умножении или делении матрицы на число все её элементы умножают или делят на это число, например:  2 1 3   10 5 15  5⋅ = , 4 1 20 5     2 3  2 1 3 : 3 =    4 1 4    3 1 3  1 . 1  3 4 Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за 2 8   1 4 знак матрицы, например,  = 2 ⋅   . 6 14 3 7     2. Умножение матриц. Матрицы можно перемножать только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Пусть хотим умножить матрицу А (размера m × k ) на матрицу В (размера k × n ), т.е. вычислить C = A ⋅ B . Матрица С имеет размер m × n . Таким образом, Am×k ⋅ Bk×n = Cm×n . Для нахождения элемента сik матрицы С нужно мысленно поставить вертикально строку № i матрицы А и приложить её к столбцу № k матрицы В, перемножить соответствующие элементы и сложить полученные произведения – см. схему на рисунке 2: Рис. 2  0 1  1 2 0 Пример. Хотим перемножить две матрицы: B =  и A =   . 5 1 3 4 5     Произведение A ⋅ B не существует, т.к. у первой матрицы А три столбца, а у второй матрицы В – две строки и 3 ≠ 2 . Существует произведение B ⋅ A = C , т.к. в этом случае у первой матрицы В два столбца, а у второй матрицы А – две строки. Для вычисления элемента c11 разворачиваем вертикально и мысленно прикла0  1 дываем первую строку матрицы В:   к первому столбцу матрицы А:   ,  1  3 5  0  1 т.е. получим     , перемножаем оказавшиеся рядом элементы и результаты  1  3 складываем, c11 = 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 = 3 . Поступая аналогично, находим все остальные элементы матрицы С:  0 1  1 2 0   0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 5  C= ⋅ = = 5 1 3 4 5 5 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 5 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 5 ⋅ + 1 ⋅ 5        3 4 5 = . 8 14 5   Замечание 1. Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же размера, то A ⋅ E = E ⋅ A . Замечание 2. Если существуют оба произведения A ⋅ B и B ⋅ A , то они могут быть матрицами разных размеров. Например, если матрица А размера 3 × 4 и матрица В размера 4 × 3 , то A ⋅ B имеет размер 3 × 3 , а B ⋅ A имеет размер 4 × 4 . Свойства операций сложения, умножения матриц и умножения их на число α или β : 1. Коммутативность: А + В = В + А. 2. Ассоциативность: ( A + B) + C = A + ( B + C ) = A + B + C , ( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) = A ⋅ B ⋅ C , (α ⋅ β ) ⋅ A = α ⋅ ( β ⋅ A ) = α ⋅ β ⋅ A. 3. Дистрибутивность: ( A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C , α ⋅ ( A + B ) = α ⋅ A + α ⋅ B, (α + β ) ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A.