Введение. Информационный портрет курса «Строительная механика». Кинематический анализ расчетных схем сооружений. Определение внутренних усилий в элементах статически определимых систем. Основы теории линий влияния и ее применение к расчету простейших статически определимых систем.

1 1. ВВЕДЕНИЕ 1.1. Информационный портрет курса «Строительная механика» Всякое сооружение, возведением и проектированием которых вам в недалеком будущем предстоит заниматься, должно быть прочным, жестким и устойчивым. Под ПРОЧНОСТЬЮ мы будем понимать способность сооружения не разрушаясь сопротивляться внешним воздействиям. ЖЕСТКОСТЬЮ сооружения (или элемента) будем называть способность сопротивляться деформациям, нарушающим его нормальную эксплуатацию. Способность сооружения сохранять заданную форму равновесия будем считать его УСТОЙЧИВОСТЬЮ. Основной задачей строительной механики (точнее теории расчета сооружений) является разработка методов расчета и их реализация в проектировании надежных (в достаточной степени прочных, жестких и устойчивых) и экономичных сооружений. Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные памятники архитектуры, которые сохранились до наших дней. Это зависело от особого таланта зодчих, которые интуитивно чувствовали работу сооружений и умели находить нужные размеры ее элементов. Кроме этого большое значение имело накопление опыта строительства, который не всегда был удачен. По мере своего развития человек стал все более задумываться над причинами нередких в то время трагедий. Величественные руины мечети Биби-Ханым в Самарканде показывают к чему приводили ошибки строителей: мечеть разрушилась через 30 лет после окончания строительства из-за недостаточной прочности кирпича. И таких случаев в древности, надо полагать, было немало. Но с разрушением конструкций вследствие ошибки их авторов исчезали и сами свидетельства этих ошибок. И в последующие века люди делали ошибочный вывод: в древности все строили прочно. На самом деле до сих пор сохранилось лишь самое прочное !!! При отсутствии методов расчета прочности сооружений наиболее ответственна роль руководителей строительства. Это нашло отражение в древних законах. Например, вавилонский законодатель Хаммурапи (около 1700 лет до нашей эры) писал: "Если строитель построит дом и его творение окажется недостаточно прочным, и случится так, что построенный дом разрушится, вызвав смерть хозяина, то строителя следует предать казни". При этом, правда, ничего не говорилось о том, как обеспечить нужную прочность - законы человеческие формулировались задолго до того, как были открыты законы природы. Отголоски этого жестокого закона чувствовались и в более поздние времена. В 1830 году архитектор К. Росси при строительстве Александрийского театра в Петербурге (ныне театр им. А.С.Пушкина) в ответ на сомнения в прочности железных ферм писал правительству: "В случае, когда в упомянутом здании от устройства металлической крыши произошло какое-либо несчастье, то, в пример для других, пусть меня тотчас повесят на одной из стропил". Ранее другому рус- 2 скому зодчему М.Ф.Казакову пришлось стоять при раскружаливании купола (ныне существующего) Московского университета - иначе рабочие не соглашались приступить к работе. Плата за ошибки в строительстве, как и в других областях развивающейся техники, становилась все более высокой (например: последствия аварий в транспорте, "Титаник"). Нужна была наука, и она появилась. В настоящее время эта наука бурно развивается. Мы будем заниматься лишь классической ее частью - строительной механикой начало которой идет от Галилея (16 - 17 в.) и Р.Гука (17 в.). Строительная механика в широком смысле включает в себя теоретическую механику, сопротивление материалов, теорию упругости и пластичности, строительную механику стержневых систем, теорию пластин и оболочек и др. 1.2. Основные допущения изучаемого курса Материалы, в которых реализуются элементы сооружений, считаются: А. ОДНОРОДНЫМИ (их свойства одинаковы во всех точках); Б. ИЗОТРОПНЫМИ (их свойства одинаковы во всех направлениях) ; В. ИДЕАЛЬНО УПРУГИМИ (в них соблюдается линейная зависимость между воздействиями и деформациями). В рассматриваемых нами сооружениях справедливы принципы независимости действия сил и неизменных начальных размеров. 1.3. Понятие о расчетной схеме Расчет реального сооружения с точным учетом всех особенностей его конструкции является сложной и в большинстве случаев практически неразрешимой задачей. Переход от реального сооружения к РАСЧЕТНОЙ (идеализированной) СХЕМЕ - тяжелая инженерная задача, требующая глубоких знаний используемых в сооружении конструкций и материалов. Способность выхватывать из всевозможных характеристик конструкций определяющее дается не сразу (если вообще дается). Вас этому научат при изучении курсов железобетонных, металлических и деревянных конструкций. Мы же будем иметь дело с заданными расчетными схемами (наиболее распространенными в настоящей практике проектирования). Расчетные схемы и их элементы принято классифицировать по следующим признакам: 3 1. Геометрическим: A. МАССИВЫ - это тела, имеющие все геометрические размеры одного порядка (Н В А); H Например: подпорные стенки, монолитные дамбы, фундаментные блоки B Рис.1.1 Б.СТЕРЖНИ - это тела, у которых два измерения (толщина и ширина) малы по сравнению с третьим (L>>Н, В); Например: балки, элементы ферм, колонны. H L Рис.1.2 В.ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ - это тела, у которых габариты поперечного сечения малы по сравнению с длиной, но значительно превосходят толщину (C<<В,Н<>Н); H L C H B 2R Рис.1.4 4 2. По характеру внутренних связей: А. Шарнирно-стержневые системы (ФЕРМЫ); Шарниры Рис.1.5 Б. Конструкции имеющие жесткие узлы (РАМЫ); Например: поперечник промышленного здания. Ригель Жесткие соединения Стойка Рис.1.6 В. КОМБИНИРОВАННЫЕ конструкции: Например: ферма, усиленная ж/б балкой жесткости (применяется в конструкциях мостов). Рис.1.7 3. По типу опорных реакций (по характеру внешних связей) : А. БАЛОЧНЫЕ (безраскосные) конструкции q P XA B A YA Например: ригеля и др. балки. YB Рис.1.8 Б. АРОЧНЫЕ конструкции (распорные): Например: q арки,рамы. A XA XB XA A B YA Рис.1.9 B YB XB 5 4. По характеру работы в пространстве: А. Плоские (рамы, фермы, балки); Б. Пространственные (пространственные рамы, оболочки). 1.4. Типы внешних (опорных) связей Они вам должны быть известны из курса "Сопротивление материалов". Неподвижность сооружений относительно земли обеспечивается внешними связями (опорами). Согласно третьему закону Ньютона в них возникают реакции, которые вместе с заданными нагрузками представляют уравновешенную систему сил. 1. Шарнирно-подвижная опора: А. Внешний вид Б. Расчетная схема q YA q ИЛИ YA q Шарнир A Балансиры Опорная подушка Катки Рис.1.10 2. Шарнирно-неподвижная опора: А. Внешний вид Б. Расчетная схема P Y XA A YA P ИЛИ XA P Рис.1.11 РЕАКЦИЯ - это сила, проходящая через центр шарнира. Ее ориентация определяется внешней нагрузкой. Таким образом, реакция характеризуется величиной и направлением. Они. как правило, неизвестны. Можно определить их непосредственно или ограничиться составляющими этой реакции в двух произвольных направлениях (например горизонтальном и вертикальном). 3. Заделка: А. Внешний вид Б. Расчетная схема MA A HA Рис.1.12 YA 6 4. Ползун: А. Внешний вид Б. Расчетная схема YA A MA Рис.1.13 5. Упругая заделка. M A ∆A y A = k1 ⋅ ϕ A Y A = k1 ⋅ ∆ Ay X ∆ Ax A = k 2 ⋅ ∆ Ax Рис.1.14 Число стержней в схематическом изображении внешних связей всегда равняется числу параметров, определяющих полную реакцию этой опоры. 1.5. Типы внутренних соединений 1. Жесткое (иногда называют ПРИПАЙКОЙ) соединение. В этом соединении невозможны ни поступательные движения, ни повороты. До и после загружения считается, что направление А'А || В', А'В' || АВ β α β α α α=const β=const A 'A A' A B 'B B' B Рис.1.15 (многие узлы железобетонных конструкций являются жесткими). 7 2. ШАРНИРНЫЕ соединения - препятствуют взаимным поступательным движениям, но не сопротивляются повороту. Рис.1.16 3. Упругое соединение. В этом соединении поворот и поступательное движение пропорциональны жесткости соединения. Рис.1.17 1.6. Классификация нагрузок Различают следующие виды нагрузок: 1. По происхождению: А. ПОЛЕЗНЫЕ нагрузки, для восприятия которых возводится сооружение (оборудование, краны, транспорт, гидростатическое давление в плотинах); Б. СОБСТВЕННЫЙ ВЕС конструкций; В. ПРИРОДНЫЕ нагрузки (ветер, снег, землетрясения и др.) 2. По продолжительности действия: А. ПОСТОЯННАЯ - это собственный вес и некоторые виды полезных нагрузок. Б. ВРЕМЕННАЯ, подразделяется на: 1) длительную 2) кратковременную (вес людей, атмосферная нагрузка) 3) особую (сейсмическая, температура, осадки опор) 3. По характеру действия: А. СТАТИЧЕСКИЕ - величина, направление и положение нагрузки неизменны во времени (нет инерции); Б. ДИНАМИЧЕСКИЕ - нагрузки вызывающие инерционные силы. 8 При расчете конструкций должны учитываться нагрузки и воздействия в наиболее невыгодных комбинациях. Различают основные, дополнительные и особые сочетания нагрузок: А. Основные - это постоянная плюс длительная временная и одна из наиболее существенных кратковременных временных нагрузок; Б. Дополнительные - это постоянная плюс временная длительная и все кратковременные временные нагрузки. В. Особые сочетания - это постоянная плюс временная длительная плюс все кратковременные временные плюс особые нагрузки. Нормативные величины и характер нагрузок, а также коэффициент перегрузки берутся из СНИП 2.01.07-85* "Нагрузки и воздействия". 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ СООРУЖЕНИЙ Очевидно, что сооружения должны быть геометрически неизменяемыми, то есть постоянно сохранять геометрическую форму, заданную при возведении. Ответ на вопрос "Движется ли?" может быть сформулирован лишь на соответствующем кинематическом языке ("кинема" - греч. слово движение). 2.1. Основные понятия ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕИЗМЕНЯЕМОЙ принято называть систему соединенных между собой элементов сооружения, изменение взаимного расположения отдельных частей которого возможно лишь за счет их деформации (рис.2.1). Именно такие системы применяются в практике строительства. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЕМЫМИ P будем называть системы, в которых возможны взаимные перемещения отдельных элементов без их деформации (рис.2.2). Они представляют собой механизмы и некоторые из них применяются в различных машинах. Рис.2.1 Геометрическая неизменяемость зависит не только от количества связей в системе, но и от их взаимного расположения . P Рис.2.2 9 Системы, в которых возможны малые взаимные перемещения без деформации элементов, называются МГНОВЕННО ИЗМЕНЯЕМЫМИ. После осуществления этих малых перемещении система может стать неизменяемой (рис.2.3). Подобные системы названы так И.М.Рабиновичем. Направление бесконечно малого смещения A Y N2 N1 A C α C α B P B P y i = 2 N 1 ⋅ sin α − P = 0 ; N = ∑ N1=N2; A e A P P α P , при α  → ∞ 2 sin α α P R1 R2 ∑M A R1 R3 = 0, P ⋅ α = 0!!! На самом деле P ⋅ α ≠ 0 R2 R3 R1 =P ⋅ α − R3 ⋅ e = 0 Pα R= , при e → 0 ∑M A e R3 → ∞ ∑ R2 R3 X i = P = 0!!! P ≠ 0 Рис.2.3 Примеры мгновенно изменяемых систем с пояснениями причин невозможности из эксплуатации. Определимся с некоторыми категориями кинематического анализа: - ДИСКИ - простейшие геометрически неизменяемые элементы систем; Стержни Плоские фигуры Треугольник Рис.2.4 - КОЛИЧЕСТВО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ СИСТЕМЫ определяется числом независимых геометрических параметров однозначно определяющих ее положение в плоскости (пространстве); Y yA Точка Y Плоская фигура Y Две плоские фигуры A α yA xA Две степени свободы: x A ,yA X xA X Три степени свободы:xA ,yA ,α Рис 2.5 X Шесть степеней свободы 10 Для того, чтобы превратить системы в неизменяемые (а именно они нас и интересуют) необходимо наложить связи (по количеству степеней свободы). Поговорим о СВЯЗЯХ - устройствах, предотвращающих взаимные поступательные движения и повороты: А. Связь 1 рода - СТЕРЖЕНЬ. Она не позволяет смещаться в направлении связи и таким образом снимает одну степень свободы. Рис 2.6 Б. ШАРНИР - препятствует любым взаимным линейным смещениям - снимает в плоскости две степени свободы (соответствует двум непараллельным стержням). Рис.2.7 Шарнир, соединяющий два диска, называется ПРОСТЫМ. А если в соединении дисков более двух - КРАТНЫМ. Ш =4 Ш =2 Ш =1 2 2 1 1 1 3 1 2 4 2 Д=2 3 Д ш= 2 Д ш - коли чест во дисков Ш - количест во прост ы х ш арниров 5 Д ш= 3 Д ш=5 Ш = Дш - 1 Рис.2.8 В. ПРИПАЙКА - препятствует любым взаимным перемещениям (линейным и повороту). Соответствует шарниру и стержню, линия действия которого не проходит через шарнир или трем непараллельным или непересекающимся в одной точке стержням. П=3 П=1 П=0 2 2 1 Д п = 1 3 1 Д п = 2 Рис.2.9 П = Д Д п = 4 п - 1 11 2.2. Определение величины, характеризующей количество степеней свободы произвольной системы. Классификация систем по этому признаку W=3×3 – 3×1 – 2×1 – 4 =0 Формула П.Л.Чебышева: W=3D – 2Ш – 3П – С, где W − количество степеней свободы, D − количество простейших дисков, Ш − количество простых шарниров, П − количество простых припаек, С − количество опорных стержней. Y X Рис.2.10 Перейдем к классификации систем по величинам их степеней свободы. 1. W > 0 − система изменяема (механизм). Непосредственно ее использование возможно лишь после добавления W связей. Рис.2.11 2. W = 0 − система при разумной расстановке связей может быть неизменяемой. Необходим дополнительно структурный анализ. Рис.2.12 3. W< 0 − система имеет лишние связи (говорят, что она статически неопределима) и при разумной расстановке этих связей может быть неизменяемой. Также необходим структурный анализ. Рис.2.13 Для проведения структурного анализа необходимо ознакомить с основными принципами образования неизменяемых и мгновенно изменяемых систем. 12 2.3. Основные принципы образования неизменяемых и мгновенно изменяемых систем Неизменяемые системы 1. Узел, присоединенный к диску при помощи двух стержней, не лежащих на одной прямой Таблица 2.1 Мгновенно изменяемые системы Стержни лежат на одной прямой 2. Один диск присоединен к другому Оси трех стержней параллельны или при помощи трех стержней, оси кото- пересекаются в одной точке рых не пересекаются в одной точке и Ф все три одновременно не параллельны 3. Диск, присоединенный к другому Ось стержня проходит через шарнир одним шарниром и стержнем, ось которого не проходит через шарнир 4. Три диска, соединенных между со- Все три шарнира лежат на одной прябой при помощи трех шарниров, не мой расположенных на одной прямой 5. Три диска соединены при помощи Фиктивные шарниры Ф(1) лежат на шести стержней. Два пересекающихся одной прямой. стержня можно заменить фиктивными Ф2 Ф3 Ф1 шарнирами Ф(1) Ф1 Ф3 Ф2 13 2.4 Примеры проведения кинематического анализа ЗАДАЧА 1. 2 1 3 6 4 5 7 8 10 9 Решение: 1.Определяем количество степеней свободы заданной системы: W = 3×16 – 3×0 – 2×22 − 4 = 0 Связей достаточно для того, чтобы система была геометрически неизменяемой. Рис. 2.14 2. Проведем структурный анализ. Диски 1−2,2−3,3−1 согласно принципа 4 (см.табл.2.1) образуют единую неизменяемую систему. К ней присоединен узел 4 (принцип 1). Диски 1−2−3−4 согласно принципа 2 образуют единую неизменяемую систему с основанием ("землей"). Аналогично образуется неизменяемая система 6−10−9−5, которая согласно принципа 2 образует единую неизменяемую систему с вышеописанным диском. Окончательно имеем дело с неизменяемой системой. ЗАДАЧА 2. Решение: 1. W = 3×8 – 3×0 − 2×10 − 4 6 Система М.Б.Н. 2. Проведем структурный анализ. Налицо три диска: 1-2-3, 3-4-5 и так назы4 2 ваемый диск "земля". Диск 1-2-3 соединен с Рис. 2.15 "землей" с помощью двух стержней, пересекающихся в точке 1 (фиктивный шарнир Ф(1)), а 3-4-5 с "землей" посредством двух Ф(2) 5 1 Ф(1) стержней, пересекающихся в точке 5 (вто3 рой фиктивный шарнир Ф(2)). Три диска (12-3, 3-4-5 и "земля") соединены с помощью трех шарниров (Ф(1), Ф(2) и 3), лежащих на одной прямой. Система мгновенно изменяема (согласно принципа 4). 14 ЗАДАЧА 3. 2 3 Решение: 6 1. W = 3×6 – 3×0 – 2×5 − 7 = 1 Система изменяемая, в структурном анализе нет необходимости. 4 7 1 5 Рис 2.16 3 ЗАДАЧА 4. Рис 2.16 4 Решение: 1. W = 3×6 – 3×1 – 2×5 − 5 = 0 Система может быть неизменяемой. 2 5 2. Проведем структурный анализ. Диск 5-6 вместе с "землей" образует еди1 6 ную неизменяемую систему, к которой с помощью двух стержней 5-2 и 1-2 присоединен узел 2 (система неизменяема согласно принципа 1). Аналогично присоединен узел 3. Система неизменяемая, а значит дальнейший ее расчет возможен. 15 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ 3.1. Общие сведения СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫМИ (СОС) мы будем называть системы, усилия во всех элементах которых могут быть определены только с помощью уравнений равновесия. Если же уравнений статики окажется недостаточно, то говорят, что мы имеем дело со СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫМИ СИСТЕМАМИ (СНС). На предыдущей лекции нами отмечалось, что "СОС" характеризуется величиной W=0 (при правильной расстановке внутренних и внешних связей). Обычно под расчетом систем понимают оценку их несущей способности и жесткости. В настоящем курсе эта категория будет служить лишь для обозначения определения внутренних усилий и некоторых характерных перемещений (линейных и угловых). Вышеуказанная же оценка осуществляется согласно методике, знакомой Вам из курса "Сопротивление материалов". 3.2. Правило знаков для внутренних усилий Определением внутренних усилий для простейших элементов Вы начали заниматься еще в курсе "Сопротивление материалов". Отметим, что в курсе "Строительная механика" практически та же методика расчета, но используется она для более сложных систем. Для оценки того, что происходит в чем-либо обычно "заглядывают во внутрь". Мы так и поступим. В интересующем нас месте элемента конструкции мысленно проведем сечение. Внутренние усилия являются величинами, характеризующими взаимодействие частей рассеченного элемента (рис.3.1). Отметим, что в основном нами будут рассматриваться плоские системы. M(x) z P x y х q m M(x) q P Q(x) m N(x) Q(x) Рис.3.1 ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ (М) в данном сечении представляет собой сумму моментов всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части балки относительно оси 2. Момент считается ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ, если он вызывает растяжение нижних волокон. При определении знака изгибающего момента вертикальных элементов следует повернуть их по часовой стрелке на 90 градусов. 16 ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА (Q) − внутреннее усилие, равное по величине сумме проекций всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части, на поперечную ось. Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемую отсеченную часть по часовой стрелке. ПРОДОЛЬНАЯ СИЛА (N) − внутреннее усилие, равное по величине сумме проекций всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части, на продольную ось. Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение рассматриваемой отсеченной части. 3.3. Эпюры внутренних усилий в простейших балках Известно, что геометрические образы, применяемые для изображения изменения в элементе какого-либо силового или другого фактора, называется ЭПЮРОЙ. С эпюрами внутренних усилий для простейших систем вы знакомы из курса "Сопротивление материалов". Напомним некоторые из них (рис.3.2). Расчетные схемы Эпюры М Эпюры Q. 1 PL 4 P q 2 qL 8 2 4 qL 2 m 2 m m m 5 P 6 q m PL m 8 + - m L - m L - m L + P Q=0 L/2 Рис. 3.2 qL 2 - qL m P 2 - 2 qL 2 7 L/2 + m 2 m 3 P 2 17 Отметим, что на эпюре изгибающих моментов знак, как правило, не ставится, она строится на растянутых волокнах. Между выражениями для изгибающего момента, поперечной силы и интенсивностью распределенной нагрузки в пределах расчетного силового участка существуют известные вам из курса "Сопротивление материалов" дифференциальные зависимости. Они легко выводятся с помощью уравнений равновесия, составленных для вырезанного бесконечно малого элемента (рис.3.3): q M M+dM Q dx Q+dQ dM Q= dx dQ q= dx Рис. 3.3 3.4. Основные типы элементов плоских стержневых систем А. ФЕРМЕННЫЙ элемент - это стержень, имеющий по концам шарнирное (безмоментное) закрепление. В этом элементе при отсутствии собственной поперечной нагрузки возникают лишь продольные силы. Б. РАМНЫЙ (БАЛОЧНЫЙ) элемент - стержень, в котором возможно возникновение всех внутренних силовых факторов (N,Q,М). 3.5. Понятие о расчетном силовом участке РАСЧЕТНЫМ силовым участком будем называть участок элемента системы с постоянным законом изменения всех внутренних силовых факторов. В расчетной практике силовые участки определяются их границами. Граница силового участка − это место приложения какой-либо сосредоточенной нагрузки (силы или момента), начало или конец распределенной нагрузки, место изменения геометрии, механических характеристик конструкции, интенсивности распределенной нагрузки. В курсе "Строительная механика" принята следующая последовательность определения внутренних усилий (построения эпюр). Первоначально с помощью уравнений статики в требуемых сечениях определяются изгибающие моменты. Далее посредством дифференциальной зависимости осуществляется переход к поперечным силам. Последние дают возможность оценить и продольные силы. Построение эпюры моментов производится по силовым участкам. При этом за расчетный модуль принимается консольная балка (рис. 3.4). За начало (Н) принимается тот конец силового участка, на котором все внутренние и внешние воздействия определены. 18 K рис.3.4 H Они (воздействия) легко (принцип независимости действия сил) приводятся к алгебраической сумме результатов простейших (случаи 6,7,8 на рис.3.2) воздействий. 3.6. Порядок определения внутренних усилий в статически определимых системах Условимся считать расчет "СОС" законченным, когда будут построены эпюры изгибающих моментов (М), поперечных (Q) и продольных (N) сил. Примем следующую последовательность решения этих задач: 1. Кинематический анализ. Напомним, что нас интересуют лишь геометрически неизменяемые системы с нулевым количеством степеней свободы и правильной расстановкой связей. 2. Определение опорных реакций и реакций связи. При этом используются уравнения равновесия, составленные как для всей системы в целом, так и для любого элемента или группы элементов. 3. Построение эпюры изгибающих моментов − М (смотри п.3.5 настоящей главы). 4. По эпюре изгибающих моментов с помощью дифференциальной зависимости строится эпюра поперечных сил (Q). На участке с линейной эпюрой изгибающих моментов величина поперечной силы равна тангенсу угла наклона эпюры М. Знак Q определяется по направлению кратчайшего совмещения оси участка с эпюрой. Если оно происходит по направлению движения часовой стрелки, поперечную силу считают положительной. Если же против часовой стрелки, то отрицательной. При построении эпюры поперечных сил для участков с криволинейной (изменяющейся только по закону квадратной параболы) эпюрой изгибающих моментов пользуются следующей зависимостью: Q = Qо + (Мл - Мп)/L, где Qо − Мп, Мл − поперечная сила от внешней нагрузки, приложенной на рассматриваемый участок, определенная для балки на двух опорах пролета равного L; алгебраические величины изгибающих моментов, соответственно на правом и левом торцах рассматриваемого участка. 19 Вышеуказанное выражение легко получить самостоятельно (рис.3.5): Mл q Mл Mп q Mп = + L 2 qL 8 Эп. М Mл Mл Mп + Mп = Эп. Q Mmax qL 2 + + Mп-Мл L + qL 2 - = + q L + Mп-Мл L 2 -q L + Mп-Мл L 2 Рис.3.5 5. По эпюре поперечных сил строится эпюра продольных сил. При этом рассматривается равновесие всех узлов системы под действием внутренних (продольных и поперечных) и внешних (узловых) сил. 6. Проводится статическая проверка правильности построения эпюр М,Q,N. 3.7. Пример расчета многопролетной статически определимой балки Многопролетной (шарнирной) балкой называется "СОС", состоящая из ряда однопролетных и консольных балок, соединенных между собой шарнирами. В большинстве случаев на практике возведение многопролетных балок выгодно с точки зрения снижения расхода материалов. Ниже приводится пример расчета многопролетной статически определимой балки (рис. 3.6): 1. Кинематический анализ: А. W = 3×6 – 3×3 – 2×2 −5 = 0, система может быть неизменяемой; Б. Структурный анализ: диск АВ вместе с диском "земля" образует единый диск, который соединен с диском СОЕВН с помощью трех непараллельных и непересекающихся в одной точке стержней. Система в целом неизменяема. 2. Определение опорных реакций и реакций связей. Заменим внутренние 20 (шарниры В,С) и внешние (заделка А, шарнирно-подвижные опоры D,G) связи их реакциями, которые будут представлять собой неизвестные пока сосредоточенные воздействия. После этого расчленим нашу систему на элементы. Рассматривая каждый элемент с учетом их совместной работы, определим опорные реакции и реакции связей. q=10 кН/м A B 2 C 2 ув MА уА D G 3 3 6 xc уc ув xА n E 2 xв m=60 кН м P=100 кН P xc xв m уc Эп. М, кН м 40 5 20 60 100 Эп. Q, кН + 10 10 - 46.7 - 30 53.3 Рис.3.6 ∑m Начнем с ВС: BC B = − y c × 2 − 10 × 2 × 1 = 0 , y c = 10 кН = y c × 2 − 10 ×2 × 1 = 0, y B = 10 кН ; Рассмотрим СDЕGН: ∑m ∑m ∑m ∑x BC i BC С = xB + xc = 0,− xB = xC CH D = − y c × 2 − 10 × 2 × 1 + 100 × 3 − y G × 6 + 60 = 0 , y G = 53 . 3 кН CH G = y D × 6 − 10 × 2 × 7 − 100 × 3 − y C × 8 + 60 = 0 , y D = 76 . 6 кН Проверка: ∑ y i = 76 . 7 + 53 . 3 − 10 − 2 × 10 − 100 = 0 ∑x CH i = − xc = 0, xC = 0, xB = xC = 0 Перейдём к AB: ∑ m AAB = M A + y B × 2 = 0, M A = −20 кН × м; ∑x AB i = x A − x B = 0, x A = 0 ∑y i = y A − y B = 0, y A = 10 кН 21 3. Построение эпюры изгибающих моментов. Имеем шесть (AB,ВС,СD,DЕ,ЕG,GН) силовых участков. Участок АВ: Начало силового участка примем в сечении "А": 20 MA A уА = Эп. М 10 + 20 20 20 Рис. 3.7 Если же за начало силового участка принять сечение "В" (это приводится здесь для доказательства того, что выбор начала участка не влияет на окончательную эпюру): 10 Э п. М 20 Рис.3.8 Участок ВС: Начало консоли примем в точке "В". q 10 B C уB = 10 + 5 20 2 10x2 =20 2 Рис.3.9 Участок СD: Начало участка в сечении "С" (очевидно, что сечение "О" пока началом участка быть не может). q C 10 10 D уC Эп. М = + 40 20 Рис.3.10 2 10x2 =20 2 22 Участок DЕ: Начало силового участка примем в сечении "О". уD +qx2x1 40 уD +2xq E 46.7=76.7-30 уD = + Эп. М 40 40 140 Рис.3.11 Участок DE: Начало силового участка примем в сечении "D". 60 G 60 H Рис.3.12 Участок ЕG: Начало силового участка примем в сечении "G". Е G 60 60 53.3 YG Эп. М 60 100 60 160 Рис.3.13 Окончательно получим эпюру моментов, изображенную на рис. 3.6 4. Построение эпюры поперечных сил. Первоначально рассмотрим силовые участки с линейной эпюрой момен- тов. Участок GН: Эпюра моментов параллельна базису (оси участка), поэтому тангенс угла наклона эпюры моментов, а значит и поперечная сила на этом участке равны нулю. Участок ЕG: Участок DЕ: Е 60 α 100 G tg α =(60+100)/3=53.3 Q = -53.3 кН. EG направление кратчайшего D совмещения α1 оси с эпюрой Е tg α1 =(100+40)/3=46.7 Q = 46.7 кН. DE 23 Участок АВ. Участок ВС. 20 A B α2 B C α 3 (x) tg α2 =20/2=10 Q = 10 кН. α 4 (x) QB=Q O+ (Mп - Mл ) / L = q L/2 + (M - M ) / L = = 10 2 / 2 + (0 - 0) / 2 = 10 кН QC = QO + (Mп - Mл) / L = - q L / 2 + (M - M ) / L = = - 10 2 / 2 + (0 - 0) / 2 = - 10 кН Рис. 3.16 Рис. 3.17 Участок СD. C QO+ (Mп - Mл ) / L = 10 2/2 + (-40 - 0 ) / 2 = = 10 - 20 = -10 кН QD = - 10 2 / 2 + (0 - 0) / 2 = - 10 кН C D α 5 (x) Рис.3.18 Окончательная эпюра Q изображена на рис.3.6 5. Построение эпюры продольных сил. Отсутствие горизонтальных составляющих всех реакций позволяет сделать вывод о том, что продольные усилия на всех силовых участках отсутствуют. 6. Общая статическая проверка. 10 20 60 100 A 10 76,7 53.3 Рис. 3.19 A = −20 + 10 × 4 × 4 − 76 .7 × 6 + 100 × 9 − 53 .3 × 12 + 60 = 0, i = 10 + 76 .7 + 53 .3 − 10 × 4 − 100 = 0. ∑m ∑y 24 3.8. Пример статического расчета простейшей рамы 1. Кинематический анализ приведенной ниже (рис. 3.20) расчетной схемы: А. W = 3×3 – 3×2 – 2×0 −3=0, система может быть неизменяемой. Б. Структурный анализ: диск ДВСО соединен с так называемым диском "земля" посредством шарнира D и стержня (в сеч. А); линия действия стержня не проходит через шарнир. Таким образом, мы имеем дело с неизменяемой системой. q1 =5 кН/м a) P=10 кН 540 в) 360 180 6 q2 =10 кН/м Эп. М, кНхм 75 г) + - 5 б) 60 105 60 A C уА Эп. Q, кН 60 165 д) 10 + D xD E - уD 6 Эп. N, кН 6 Рис 3.20 2. Определение опорных реакций: ∑m ∑m ∑m E = 5 × 6 × 3 + 10 × 6 × 3 + 60 × 12 − y D × 6 = 0 , y D = 165 кН D = 60 × 6 + 10 × 6 × 3 − 5 × 6 × 3 + y A × 6 = 0 , y A = − 75 кН A = 6 × 5 × 3 + 60 × 12 − 10 × 6 × 3 − 165 × 6 + x D × 6 = 0 , x D = 60 кН Проверка: ∑x i = 10 × 6 − 60 = 0 , ∑y i = 165 − 75 − 5 × 6 − 60 = 0 3. Построение эпюры изгибающих моментов Участок AВ: q=5кН/м 1 q1 B A = 540 уA B A B A + 75 6=450 6 5x6 2 Рис 3.21 2 =90 25 Участок ВС: Участок ВО: P=60kH B С 6 q 2 =10 кН/м = q2 + 360 x D=60кН рис. 3.22 60 y D=165кН 180 180 = 360 + Рис 3.23 Статическая проверка правильности построения эпюры моментов (необходимая, но недостаточная). 540 360 m = 360+180-540=0 B 180 4. Построение эпюры поперечных сил Участок АВ: Q = (q × 6)/2 + (−540 − 0)/6 = −75 кН; Q = −(q × 6)/2 + (−540 − 0)/6 =−105 кН. Участок ВD: Для определения ориентации этого участка в системе знаков вышеуказанной (см. п.3.5) формулы повернем участок ВD таким образом, чтобы распределенная q действовала сверху вниз. Тогда М = М , М = М : Q = (q × 6)/2 + (180−0)/6 = 60 кН; Q = −30 + 30 = О. Участок ВС: Q = 360/6 = 60 кН. 26 5. Построение эпюры продольных сил. Узел В с точки зрения изгибающих моментов, как было показано ранее (см. рис.3.24), находится в равновесии. Тоже самое должно быть и в"стане" продольных и поперечных сил. Именно на этом базируется методика построения эпюры продольных сил. 60 105 Продольное усилие в стержне ВО определяется при рассмотрении равновесия узла "В" 105+60=165 кН Рис. 3.25 Отсутствие продольных сил в стержнях АВ и ВС очевидно: q1 NAB=0 xi = NAB=0; yA P NCB=0 xi = - NCB=0. Рис. 3.26 6. Общая статическая проверка правильности построения эпюр внутренних усилий. 60 кН 5 кН/м C 75кН, по эпюре Q, против часовой стрелке 10 кН/м 60кН, по эпюре Q, по часовой стрелке 165 кН, по эпюре N, сжатие Рис.3.27 ∑m C = − 75 × 12 − 5 × 6 × 9 − 10 × 6 × 3 + 165 × 6 + 60 × 6 = 0 , ∑x i = 10 × 6 − 60 = 0 , ∑y i = 165 − 75 − 5 × 6 − 60 = 0 27 3.9. Некоторые правила для проверки правильности построенных эпюр внутренних усилий А. На прямолинейном ненагруженном участке эпюра моментов прямолинейна. m Эп. М Б. В сечении, где приложен сосредоточенный внешний момент, эпюра получает скачок на величину этого момента (см. рис.3.28). m{ Рис.3.28 P В. В точке приложения сосредоточенной внешней силы Р, перпендикулярной оси стержня, эпюра моментов имеет перелом, направленный острием в сторону действия силы (рис.3.29). Изменение тангенсов углов наклона эпюры в точке ее перелома равно силе Р. На эпюре Q в этой точке - скачок на величину Р в направлении ее действия. Эп. М α1 α2 + Эп. Q P - tgα 2 -tgα1=P Рис.3.29 q L Эп. М Г. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов очерчена по параболе второй степени с выпуклостью в сторону действия нагрузки и со стрелкой равной q×L2/8 (рис. 3.30). 2 L/2 qL 8 Рис. 3.30 Q>0 Q>0 Рис.3.31 Д. В сечениях, где нет сосредоточенной нагрузки, эпюра моментов не имеет перелома. На участках, где моменты возрастают, поперечная сила положительна. Е. Поперечная сила в сечении стержня положительна, если она стремится вращать разделенные данным сечением части стержня по часовой стрелке (рис.3.31). 28 3.10. Расчет трёхшарнирных статически определимых систем Трехшарнирными системами называются статически определимые (W=0) распорные конструкции, состоящие из двух дисков, соединенных между собой и с поверхностью земли шарнирами (рис. 3.32). Опорные шарниры "А" и "В" обычно называют пятовыми, а средний "С" ключевым или замковым. Основные геометрические характеристики трехшарнирных систем: f - стрела подъема, L -пролет. f L Рис. 3.32 Рис. 3.33 3.11. Классификация трехшарнирных систем А. По очертанию их составляющих: 1) в виде криволинейного бруса - арки (рис.3.33); Заметим, что арки по геометрическому очертанию оси криволинейного бруса могут быть параболическими, круговыми, эллиптическими и др. 2) в виде прямолинейных стержней - рамы (рис.3.34); 3) арочные фермы (элементы - шарнирно-стержневые системы, рис.3.35). Рис. 3.34 Рис. 3.35 Б. По симметрии относительно вертикальной оси, проходящей через замковый шарнир: 1) симметричные; 2) несимметричные; Рис. 3.36 Рис. 3.37 29 В. По расположению опорных (пятовых) шарниров: 1) на одном уровне; 2) на разных уровнях; h α Рис. 3.38 Рис. 3.39 В трехшарнирных арках и рамах один из опорных шарниров может быть заменен шарнирно-подвижной опорой. В этом случае для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции вводится затяжка, которая воспринимает горизонтальную составляющую опорной реакции - распор. В конструкциях с затяжкой отпадает необходимость в устройстве массивного фундамента в опорах. Г. По местоположению затяжки: 1) с обычной затяжкой; Рис. 3.40 2) с приподнятой затяжкой Рис.3.41 3.12. Определение опорных реакций в трехшарнирных системах При действии внешней нагрузки (Рi, qi) на трехшарнирные системы, в каждой их опоре возникают по две реакции: вертикальные - YA, YB и горизонтальные (распор) – НA, НB (рис.3.42). Определение опорных реакций в таких системах производится с помощью составления уравнений равновесия. Наряду с тремя основными y уравнениями статики для всей qi Pi системы: x 1) ΣMа = 0 или ΣМв = 0; 2) Σуi = 0; 3) Σхi = 0; необходимо записать четвертое HA HB уравнение, выражающее условие равенства нулю изгибающего момента Мс в замковом шарнире "С": YA Y B Рис. 3.42 30 4)∑ M c = 0 или ∑M л c =0 п Определение опорных реакций таким способом довольно затруднительно, так как в ряде случаев приходится решать систему из четырех линейных уравнений. При действии на трехшарнирную конструкцию только обычной вертикальной нагрузки, определение опорных реакций несколько упрощается. Рассмотрим определение опорных реакций при действии только вертикальной нагрузки на примере трехшарнирной арки. А. Арка с опорными шарнирами, расположенными на одном уровне Pi f HA A B YA HB YB L Pi YAo ai YBo bi Эп.М o o Для определения опорных реакций YA, YB, НA, НB в арке составим упомянутые выше уравнения равновесия: 1) ΣMа = 0; ΣРi × аi - YB × L = 0; YB = YB°= (ΣРi×аi) / L . Получаем, что выражение для опорной реакции YB в арке совпадает с аналогичным выражением в балке на двух шарнирных опорах того же пролета загруженной той же вертикальной нагрузкой. Воспользуемся нулевым индексом для обозначения величин, характеризующих эту простую балку. o Mmax MC Рис.3.43 2) Опорную реакцию YA можно определить из условия σYi= 0 или σМB= 0: ΣМB= 0; YA× L − ΣРi × bi =0; YA = (Рi × bi) / L = YAo Делаем такой же вывод: определение YB аналогично определению YB°. Σхi = 0; НA− НB= 0; НA = НB = Н. При действии лишь вертикальной нагрузки Рi, горизонтальные опорные реакции (распор) равны между собой. 4) Для определения величины распора Н от действия внешней нагрузки составим четвертое уравнение: YA× L/2 −ΣРi × (L/2−ai) − H×f = 0; ∑ Mc = 0 л Построим для приведенной схемы простой балки эпюру М, на которой величина момента под шарниром "С" равна: Мc0=YA× L/2 −ΣРi × (L/2−ai) − H×f = 0 Следовательно, последнее уравнение равновесия, выраженное через момент М, будет иметь вид: Мc0 −H×f = 0, H = Мc0/ f. 31 Таким образом: величина распора арки (рамы) при действии вертикальной нагрузки равна балочному моменту в сечении под замковым шарниром "С", уменьшенному в f раз. Полученная формула справедлива при действии вертикальных сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, как в арках, так и в трехшарнирных рамах. Если трехшарнирная система имеет приподнятую затяжку, то претерпевает изменение только знаменатель: P q H H H = Мc0/ (f-t), где t - расстояние от оси затяжки до линии, соединяющей опорные шарниры (рис.3.44) f t L Рис.3.44 Б. Арка с опорными шарнирами, расположенными на разных уровнях Аналогично случаю арки с опорами на одном уровне, здесь будем иметь: Y ai , , HB=H' f , f' h , , HA=H' Y'B α Y'A L Рис.3.45 YA' = YAo ; YB' = YBo H A' = H B' = H ' = M co / f где f - длина перпендикуляра, опущенного из замкового шарнира "С", на линию, соединяющую опорные шарниры. 32 Если же опорные реакции Н’, YA’, YB’разложить на вертикальные и горизонтальные составляющие в системе координат ХОY, то для заданного угла наклона линии, соединяющей опоры, к горизонту с1, получим их в следующем виде: YA = YA' + H sin α ; Y HB YB α HA YB = YB' − H sin α ; H A = H B = H = H ' cos α где H ' = M co / f YA Рис.3.46 3.13. Определение внутренних усилий в трехшарнирных арках при действии вертикальной нагрузки Для составления выражений внутренних усилий в трехшарнирной арке рассмотрим равновесие ее отсеченной части, расположенной слева от сечения. А. Выражение для изгибающего момента Мк σ Y ai Pi K M К NК QК τ αК YК HA= H YA A xК τ − ось, касательная к очертанию арки в точке "К"; σ −ось, перпендикулярная к оси в точке "К". М, Q, N - внутренние усилия, направленные согласно правилу знаков. Рис. 3.17 Составим уравнение равновесия для отсеченной части относительно точки "К": ΣМк = 0; YA × xк − ΣРi × (xк − ai) − H × yк − Мк= 0. Выделяя из этого уравнения Мк и учитывая, что: YA × xк − ΣРi × (xк − ai) = Мкo, 33 получим: Мк= Мкo − H × yк Анализируя это выражение можно заметить, что арочные системы рациональнее балочных, вследствие некоторого уменьшения величины балочного момента М за счет возникающего распора Н. Б. Выражение для поперечной силы Qк Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось: Σσi = 0 : −Qк + (YA − Σ Рi) × Соs αк− Н × Sin αк = 0; Выделяя Qк, с учетом того, что YA − Рi = Qко, окончательно получим: Qк = Qко × Соs αк − Н × Sin αк. В. Выражение для продольной силы Nк Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось : Στi= Nк + Н × Соs αк + (YA − Σ Рi) × Sin αк= 0; Выделяя Nк, с учетом того, что YA − Рi = Qко, окончательно получим: Nк = − Qко × Sin αк − Н × Соs αк. 3.14. Рациональное очертание для трехшарнирной арки Рациональным очертанием оси арки является такое, при котором момент в любом ее сечении равен нулю. Так в предыдущем пункте, при действии вертикальной нагрузки, нами было получено следующее выражение для момента: Мк= Мкo − H × yк Положив это выражение равным нулю и выделяя выражение для ординаты yк, будем иметь: yк = Мкo / Н = Мкo × f / Мco Анализ полученной формулы показывает: − уравнение рациональной оси арки определяется видом нагрузки; − при вертикальной нагрузке ось арки будет рациональной, если ее очертание меняется по закону изменения балочного момента. Рассмотрим пример по определению рационального очертания арки, загруженной по длине равномерно распределенной нагрузкой. Для произвольного сечения "К" с координатами yк , xк имеем: yк = Мкo / Н 34 Рассматривая равновесие по моментам левой отсеченной части, получим: М (x) = q × L × x/ 2 − q × x2/ 2 Z q Y K YK f A X B XK L q A B YA = qL 2 YB = Эп. М о Мко о Мк = qL 2 2 qL 8 Рис. 3.48 Таким образом, рациональной осью для арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой по всему пролету. является квадратная парабола. Это объясняется тем, что постоянная нагрузка на арку и ее собственный вес составляют большую долю от общей нагрузки. Как известно, эти виды нагрузок близки к равномерно распределенным. 35 3.15. Пример расчета трехшарнирной арки Арка параболического очертания, Р = 10 кН, q = 8 кН/м; L = 40 м; f = 14 М. Расчет ведем в табличной форме; предварительно определяем величину распора Н = Мс0/ f ; значения изгибающих моментов и поперечных сил в соответствующих сечениях балки обозначим М°(х), Q°(x); Н = Мс0/ f = 850 / 14 = 60.71 кН; y q=8 кН/м P=10 кН q C C P ϕ f=14 м y H A 1 H YB 4 56 7 8 134.65 134.32 0.04 12.84 37.5 4.11 21.32 512.5 21.75 Эп. Q, кН 4.05 B 18.94 17.65 8 937.9 937.5 825 о Рис.3.49 135 101.56 57.74 58.14 74.11 60.71 69.69 76.22 - 76.99 71.25 13.95 112.5 Эп. Q, кН 82.5 850 56 7 2.5 42.5 + 4 37.5 47.5 47.5 37.5 37.5 475 237.5 3 662.5 2 15.57 15.3125 Эп. M,о кН.м 1 134.25 Y=122.5 кН Y=47.5 кН 162.46 Эп.M,кН м P 140.65 . 187.54 20 10 11.22 10 47.5 3 140.68 YA A 2 x 36 Расчет трехшарнирной арки Таблица 3.1 Номера сечений Координата Координата x,м y,м у'= tgϕ ϕ,град Sin ϕ А О 1.4 54°30' 0.814 1 5 6.125 1,05 46°24' 0.724 2 10 10.5 0,7 35° 0.574 2 10 10,5 0.7 35° 0,574 3 15 13,125 0.35 19°18' 0.330 4 20 14 5 24.6875 13,231 0,328 −18°09' −0.312 6 25 13.125 0.35 −19°18' −0,33 7 30 10.5 ОГ1 .1 −35° −0.574 8 35 6,125 1,05 −46°24' −0.724 В 40 1,4 −54°30' −0.814 37 Продолжение таблицы 3.1 Номера сечений Cos ϕ Q°(х), кН A 0,581 47,5 27,6 38,67 49,42 1 0,689 47,5 32,73 34,39 43,95 371,85 2 0,819 47,5 38,9 27.27 34,85 637,46 2 0,819 37.5 30,71 21,53 34,85 637,46 3 0,944 37,5 35,4 12,38 20,03 796,82 4 1,0 37,5 37,5 849,44 5 0,951 -18,94 803,25 6 0,944 -2,5 -2,36 0,825 -20,03 796,82 7 0,819 -42,5 -34,81 24,39 -34,85 637,46 8 0,689 -82,5 -56,84 59,73 -43,95 371,85 В 0,581 -122,5 -71,17 99,72 -49,42 Q°(х)×Cosϕ, Q°(х)×Sinϕ, H×Sinϕ , Н×y, кН×м кН кН кН 38 Продолжение таблицы 3.1 Номера Н×Cosϕ, кН М°(x), кН сечений М(x), кН×м Q(x), кН N(x), кН А 35,28 -21,82 -73,75 1 41,83 237,5 -134,35 -11,22 -76,22 2 49,72 475 -162,46 4,05 -76,99 2 49,72 475 -162,46 -4,11 -71,25 3 57,31 662,5 -134,32 15,37 -69,69 4 60,71 850 37,5 -60,71 5 57.74 937,9 134,65 18,94 -57,74 6 57,31 937,5 140,68 17,67 -58,14 7 49,72 825 187,54 0,04 -74,11 8 41,83 512,5 140,65 -12,89 -101.56 В 35,28 -21,75 -135,0 39 3.16. Общая информация о статически определимых шарнирно-стержневых системах (фермах) Фермой называется шарнирно-стержневая система, элементами которой являются стержни, шарнирно скрепленные между собой по концам (см. рис.3.50 и 3.51).Точки соединения стержней в любой стержневой системе называются узлами. Восходящий раскос Верхний пояс P P P P Стойка P Нижний пояс Нисходящий раскос Рис.3.50 P Рис. 3.51 В используемых на практике строительства фермах стержни соединены между собой как правило не шарнирно, а жестко. Однако к ним применима с достаточной степенью приближения шарнирно-стержневая расчетная схема. Действительно, в реальных фермах стержни искривляются очень слабо, а их изгибная жесткость очень мала, поэтому возникающие в стержнях изгибающие моменты пренебрежительно малы по сравнению с продольными силами, и стержни работают как шарнирнозакрепленные (см.п.3.4). Применимость шарнирно-стержневой схемы к реальным фермам подтверждена экспериментальной и расчетной практикой. В фермах, применяемых для покрытий, перекрытий и мостов следует различать: верхний и нижний пояса, а также решетку (рис.3.50). Решетка состоит из наклонных (восходящих − повышающихся к середине пролета и нисходящих) раскосов и вертикальных стоек (последние могут отсутствовать). Фермы по длине пролета делятся на панели, обычно ограниченные соседними узлами поясов. В однопролетной ферме, нагруженной действующей вниз нагрузкой - верхний пояс сжат, а нижний растянут; нисходящие раскосы вблизи опор фермы растянуты, а верхние сжаты. Стойки решетки при нагрузке по верхнему поясу сжаты, а при нагрузке по нижнему поясу - растянуты. В консольных фермах (рис.3.51) верхний пояс растянут, а нижний сжат. Расчет ферм обычно производится при узловой передаче нагрузки. Как правило, любая нагрузка может быть приведена к узловой посредством специальных устройств перераспределения (рис.3.52). 40 q d d/2 d d P P d d/2 P P P P/2 P/2 Рис.3.52 Известно, что при узловой передаче нагрузки в стержнях фермы возникают только продольные усилия (это возможно лишь в том случае, если оси сходящихся стержней центрированы в узлах, а также при отсутствии трения в шарнирах узлов). Напомним, что проектировочный и проверочный расчет сечений элементов фермы проводится по известной из курса "Сопротивление материалов" формуле: σ = N / А ≤ R, где N - возникающее в сечении одного из элементов продольное усилие; А - площадь поперечного сечения элемента; К - расчетное сопротивление материала на растяжение (сжатие), регламентируемое соответствующим СНиП ("Строительные нормы и правила"). Для сжатых элементов необходимо произвести дополнительный проверку на возможную потерю устойчивости: σ = N / А < ϕ × R, здесь ϕ - коэффициент уменьшения основного расчетного сопротивления при продольном изгибе (см.курс "Сопротивление материалов"). 3.17. Классификация ферм Шарнирно-стержневые системы (фермы) различают по следующим признакам: А. По очертанию внешнего контура: 1) с параллельными поясами; 2) треугольного очертания; Рис. 3.53 Рис. 3.54 41 3) полигональные фермы; 4) с параболическим очертанием верхнего пояса; Рис. 3.57 Рис. 3.56 Б. По типу решетки: 1) с треугольной раскосной решеткой; 2) со полураскосной решеткой; Рис. 3.59 Рис. 3.58 3) с ромбической решеткой; Рис. 3.60 В. По типу опирания: 1) балочные (см. рис. 3.50); 2) консольные (см. рис. 3.51); 3) консольно-балочные. Г. По назначению: 1) стропильные; 2) крановые; З) башенные; 4) мостовые и др. Д.По количеству степеней свободы системы: 1)статически определимые; 2) статически неопределимые. W=0 Рис. 3.61 W<0 Рис. 3.62 42 3.18. Аналитические способы определения усилий в стержнях ферм Для определения усилий в стержнях статически определимых ферм могут быть использованы различные методы. Наибольшее распространение в расчетной практике нашли методы вырезания узлов и сквозных сечений. Известно, что расчет любого сооружения следует начинать с кинематического анализа расчетной схемы. После чего, если это возможно, определяются опорные реакции. С вышеуказанными операциями вы уже знакомы (рис. 3.63). P2 P1 3 P4 P3 7 5 1 2 8 6 4 W=3Д-3П-2Ш-С=3 13 - 2 18 - 3 = 0 P2 P1 P3 P4 Σ m1=0 Σ m8=0 Σ xi =0 y8 y1 x1 X1 Y8 Y1 Рис. 3.63 P1 P2 N3-5 А. Метод вырезания узлов В основу этого метода положено следующее соN3-1 N3-4 ображение: равновесие всей системы (фермы) позволяет считать уравновешенными (под действием внешN3-2=0 них и внутренних сил) ее узлы. Например: мысленно вырезая стержни, cходящиеся в узле "3" (рис.3.64), и уравновешивая внешнюю силу, прило∑ yi = 0, женную к нему, продольными силами, x = ∑ i действующими по направлению каждого стержня, получаем необходимые уравнения для определения этих сил. При составлении уравнений равновесия предполаРис. 3.64 гаем все внутренние силы растягивающими (действующими от узла). Так как все силы, действующие на узел, пересекаются в одной точке (сходящаяся система сил), то для каждого узла плоской фермы можно составить два уравнения равновесия, выражающих равенство нулю сумм проекций всех сил 3 43 на горизонтальную и вертикальную оси. Очевидно, что с помощью двух уравнений статики мы не можем определить более двух неизвестных усилий. Следовательно, расчет необходимо начинать с узла, содержащего не более двух неизвестных усилий. В нашем случае (рис.3.63) с узлов "1" или "8". Начнем с узла "1": tgα = h/d N1-3 N1-2 X1 ∑ ∑x Y1 y i = 0 , y 1 + N 1 − 3 sin α = 0 , i = 0, N1− 2 + x1 + N1−3 ⋅ cosα = 0, N1− 2 − y1 sin α = − x1 + N1−3 ⋅ cos α N 1− 3 = Рис. 3.65 Далее мы уже можем рассмотреть узел "2" (рис.3.66), где сходятся три стержня, но усилие в одном из них (N2-3) уже определено. Следующим может быть рассмотрен узел "3"(рис.3.67). P1 N3-1 N2-1 P2 N3-5 3N 2-3 N3-4 N 2-4 N3-2=0 ∑y ∑x i i = 0, N2-3=0 = 0 , N2-4= N2-1 ∑y ∑x i i = 0
N3-4 = 0
N3-5 Рис.3.66 Рис. 3.67 Отметим, что уже определенные продольные усилия прикладываются к последующим узлам с учетом знаков. Далее переходим к узлу "5" и т.д. Недостатком метода вырезания узлов является зависимость последующих вычислений от предыдущих (возможность постепенного накопления погрешностей вычисления). Б. Метод сквозных сечений. Мысленно рассекая ферму на две части и отбросив одну из них, мы могли бы составить три уравнения равновесия для оставшейся части фермы. Если в разрез попадают только три стержня, то при помощи этих уравнений можно определить усилия в этих стержнях. Систему трех уравнений равновесия можно свести к трем независимым уравнениям, если эти уравнения будут уравнениями моментов, относительно каждой из трех точек (называемых моментными) пересечения направлений рассеченных стержней. 44 P4 P3 P1 P5 8 P2 P6 6 10 4 P7 N 10-12 12 2 P8 14 N 9-12 1 5 3 7 9 x13 11 N9-11 Y1 C 13 Y13 L d Рис. 3.68 Например для определения усилия N12−9 достаточно составить только одно уравнение моментов для правой части фермы относительно точки пересечения двух других стержней (точка "С"): Σmcправ. = −P7×(L−d) − P8×L + y13×L − N12-9×cosα×(L+d) = 0 N12-9=[−P7×(L−d) − P8×L + y13×L]/[cosα×(L+d)] Если два из трех пересеченных стержней параллельны друг другу, то моментная точка для третьего стержня уходит в бесконечность (рис.3.69). В этом случае для определения усилий в третьем стержне составляется условие равенства нулю суммы проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения "АА", на направление, перпендикулярное параллельным стержням, попадающим в разрез: ∑yi = y1 − P2 − P3 − N4−5 sinα = 0, P2 P3 P4 P1 4 2 N4-6 P5 8 6 P6 N 4−5 = ( y1 − P2 − P3 ) / sin α 10 N4-5 X1 1 Y1 3 N3-5 5 7 9 Y9 Рис.3.69 В. Возможность визуальной оценки усилий При расчете статически определимых ферм полезно выявить "нулевые", т.е. неработающие, стержни. Для этого следует знать следующие принципы: 45 1) если в узле, соединяющем только два стержня, нагрузка отсутствует, то усилия в них равны нулю; N1 1 2 3 N1=N2 N1 P N =N 2) если в узле сходятся три стержня, из ко2 1 1 торых два направлены по одной прямой, то при отсутствии нагрузки в узле усилие в третьем стержне равно нулю; 3 2 N3=-P N3=0 Рис.3.70 3) если внешняя сила направлена вдоль этого стержня, то усилие в последнем равно внешней силе (рис. 3.70). В ферме, изображенной на рис.3.71. (пример заимствован из учебного пособия А.Р. Ржаницына) неработающие стержни могут быть выявлены их последующим исключением. Последовательность исключения обозначена на рисунке цифрами. Оставшиеся стержни (перечеркнутые), образуют значительно более простую ферму, чем первоначально взятая. 10 7 9 4 11 12 6 13 2 5 3 1 14 P 8 15 16 17 18 Рис. 3.71 46 3.19. Пример расчета статически определимой фермы Определить усилия во всех стержнях статически определимой фермы (рис. 3.72): P4=4кН P2=2кН P3=3кН P1=1кН 3 P5=5кН 5 7 3 3 X1 1 8 6 2 4 Y1 4 4 4 4 Y8 Рис. 3.72 1). Кинематический анализ: А. W=З×D−З×П−2×Ш− С =3×13−3×0−2×18−3=0, Система может быть неизменяемой; Б. Структурный анализ: Очевидно, что мы имеем дело с неизменяемой системой (см. табл.2.1). 2). Определение опорных реакций: Σm1 = Р1×3 + Р2× 4 + Р3×6 + Р4×8 + Р5×12 − y8× 16 = 0; откуда y8 = 56 кН. Σm8 = y1×16 + Р1× 3 − Р2×4 + Р3×6 − Р4×8 − P5×4 = 0; откуда y1=3.44 кН. Σxi = x1+ Р1 + Р3= 0; откуда x1=− Р1 − Р3= −4 кН. Проверка: Σyi = 3.44 −Р2 − Р4− P5 + 7.56 = 0. 3). Определение усилий во всех стержнях: Отметим нулевые стержни (2-3) и (7-6): N2-3= 0, N7-6 =0. Для определения усилий в остальных стержнях воспользуемся методом вырезания узлов. Отметим, что начинать следует с узлов, в которых сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями. Узел 1: X1 =4кН α y i = 0 , y 1 + N 1 − 3 sin α = 0 , ∑ N1-3 N1-2 Y1 =3.44кН N 1− 3 = ∑x Рис. 3.73 Далее переходим к узлу 2: i − y1 = − 5 . 73 кН sin α = 0, N1−4 − x1 + N1−3 ⋅ cosα = 0, N1−4 = 8,58кН 47 N2-4 2 N1-2 =8.58кН ∑x i = 0,− N1−2 + N 2−4 = 0, N 2−4 = 8,58кН Рис. 3.74 Затем имеем возможность рассмотреть узел 3: P2 =2 ∑η N2-5 N2-4 α =0 (ось η перпендикулярна направлению 1−3−5) ∑ηi = − P1 ⋅ sin α − P2 ⋅ cosα − N 2−4 ⋅ cos(90 − 2α ) = 0 3 P1 =1 i N 2− 4 = −2.29кН (90-2α) N1-3=5.73 Рис. 3.75 Таким образом могут быть определены усилия во всех стержнях фермы. Окончательные результаты расчета изображены на рис. 3.76. P4=4кН P2=2кН P3=3кН P1=1кН 1 P5=5кН 7 3.88 -12.61 3 3 -5.73 X 1=4 -8.44 3 5 -4.69 8.58 2 6 8.58 10.09 8 4 Y1 =3.44 4 4 4 4 Y8 =7.56 Рис. 3.76 Выборочная проверка правильности определения усилий заключается в рассмотрении того узла, равновесие которого не было использовано при определении усилий (например узел 4): 3.88 2.29 8.58 4 4.17 10.09 Рис. 3.77 ∑ yi = 3.88 − 2.29 ⋅ sin α − 4.17 ⋅ sin α = 3.88 − (2.29 + 4.17) × 3 / 5 = 0 ∑x i = 10.09 − 8.58 + 2.29 cos α − 4.17 cos α = 0 48 3.20. Расчет ферм на внеузловую нагрузку При возведении покрытия на практике иногда невозможно избежать внеузлового нагружения фермы (например при недостатке или отсутствии плит с шириной, равной длине панели фермы и т.п.). При этом в элементах фермы, непосредственно подверженных действию этой нагрузки, помимо продольных сил "N", возникают изгибающий момент "М" и поперечная сила "Q"(рис.3.78). P y= qd y= 2 P 2 Pd 4 M q qd y= 2 o M o qd 2 P 2 Qo qd 2 8 P 2 P C qd 2 qd 2 Qo q D D y= B' B Рис. 3.78 В стержнях верхнего пояса "СD" и "DВ" возникают внутренние усилия "М" и "Q", приближенно соответствующие простым балкам на двух шарнирных опорах (индекс "о"). В таких случаях расчет ведут в следующей последовательности: 1). Производится расчет каждого элемента, загруженного внеузловой нагрузкой, как для простой однопролетной балки. 2). Заданная ферма загружается узловой нагрузкой (рис.3.79), по величине равной полученным значениям опорных реакций от внеузловой нагрузки в простых балках, и производится обычный расчет фермы (определяются продольные усилия). P qd 2+ 2 P P + 2 2 P qd 2 + 2 qd 2 qd 2 Рис. 3.79 49 3). В стержнях, подверженных действию внеузловой нагрузки, сечение подбирается по известной из курса "Сопротивление материалов" формуле: σ = N/А ± М/W ≤ R; Во всех других элементах фермы, подбор сечений производится по упомянутой ранее формуле: σ = N/А ≤ R Заметим, что для сжатых и сжато-изогнутых элементов фермы необходимо провести дополнительный расчет на устойчивость. Внеузловая нагрузка на фермы является экономически невыгодной (перерасход материала), поэтому на практике для уменьшения длины панели применяют либо составные, либо шпренгельные фермы. 3.21. Расчет составных ферм Составной называется такая ферма, в которой ряд прямолинейных стержней заменен составными, выполненными в виде фермочек. P3 P2 2 3 P4 P1 5 1 d d1 4 Применение таких ферм в ряде случаев позволяет избежать появления в некоторых их элементах изгибающих моментов "М" и поперечных сил "Q". d Рис. 3.80 Расчет составных ферм производится в следующей последовательности: 1). В каждой передаточной фермочке, которые считаются статически определимыми, определяются величины опорных реакций от местной нагрузки (рис.3.81); 2). Определяются продольные усилия "М" во всех стержнях основной фермы от действия нагрузки, перераспределяемой с отдельных фермочек, равной по величине найденным реакциям (направленных в противоположную сторону - см. рис.3.81). По этим усилиям подбирается сечение всех элементов составной фермы за исключением тех, которые в реальной ферме отсутствуют, т.е. стержней, условно заменяющих передаточные фермы (1-2, 2-3, 3-4); 3). Отдельно рассматривается каждая из причем расчет ведется не только на местную нагрузку, но и на усилия, определенные на втором этапе расчета ("N"). По полученным усилиям подбираются сечения элементов фермочек. 50 1 2 1 P+ P + P 3 1 32 3 3 2 + 2P P 3 3 34 2 3 2P+ 1P 3 1 32 1P 3 4 5 4 1 Рис. 3.81 P2 N12 P2 P1 y2 = 1P1 + 2 P2 3 3 P1 1 y1 = 2 P1 + 1 P2 3 3 Рис. 3.82 1 Рис. 3.83 3.22. Классификация шпренгельных устройств Шпренгельные устройства в фермах предназначены для уменьшения длины панелей грузового пояса. Шпренгельные устройства работают только на местную нагрузку. Различают три основных вида шпренгельных устройств ферм: 1) одноярусные; 2) двухярусные Рис. 3.84 Рис. 3.85 51 4)смешанные шпренгельные устройства, включающие в пределах одной панели фермы одновременно одноярусные и двухярусные шпренгели. 3) с треугольной решеткой; Рис. 3.87 Рис. 3.86 Одноярусные шпренгели перераспределяют нагрузку в пределах одного пояса, а двухярусные перераспределяют нагрузку с одного пояса на другой. 3.23. Расчет шпренгельных ферм Последовательность расчета шпренгельных ферм рассмотрим на основе схемы, приведенной на рис. 3.88 (опуская уже известные операции кинематического анализа и определения опорных реакций): P1 P2 2 4 P3 6 P4 10 12 18 14 16 8 3 11 1 15 17 7 5 13 9 P6 P5 P1 2 P3 6 10 14 1 18 17 5 13 9 Рис. 3.88 Основная ферма 52 1) Из заданной фермы выделяем основную ферму и шпренгельные устрой- ства: P2 6 Б 2 P4 14 10 8 4 12 7 3 В 9 P5 Г 14 5 18 Шпренгели: А, Б - одноярусные В, Г - двухярусные 16 9 13 15 13 17 P6 Рис. 3.89 2) Местные нагрузки со шпренгелей перераспределяем на основную ферму: 1 P1 + 2 P2 1 2 P2 P3 1 2 P6 1 2 P6 Основная ферма с перераспределённой нагрузкой 1 2 P5 1 P+ 1 P 2 5 2 4 1 2 P4 Рис. 3.90 3) Определяем усилия во всех стержнях фермы, причем но разделить на три основные категории: последние мож- А. Стержни, принадлежащие только основной ферме; усилия в них определяются расчетом основной фермы: N1-2=No1-2 Б. Стержни, принадлежащие только шпренгелям; усилия в них определяется лишь расчетом шпренгелей: N3-4=Nш3-4 В. Стержни, принадлежащие основной ферме и повременно; усилия в них определяется алгебраическим суммированием усилий в стержнях основной фермы и шпренгелей: N. 53 3.24. Пример определения усилий в шпренгельных фермах Исходная схема фермы: P2 P3 2 4 P4 12 P9 D 2 P6 13 5 14 P8 D 2 Р1 = 1 кН Р3 = 3 кН Р5 = 3 кН Р7 = 2 кН Р9 = 2 кН 8 6 11 3 1 P5 H P1 7 P7 D 2 D 2 D 2 Р2 = 2 кН Р4 = 1 кН Р6 = 2 кН Р8 = 1 кН Н = 3 м, d=4м sinα=3/5, cosα=4/5. D 2 Рис.3.91 1) Из заданной фермы выделяем основную ферму и шпренгельные устройства. Местные нагрузки на шпренгеля перераспределяем на основную ферму: 1 кН 1 кН 2 1 1 кН 3 кН 4 кН 3 кН 4 6 8 3 5 2.5 кН 0.5 кН Основная ферма с перераспределенной нагрузкой 7 Рис. 3.92 Б А 9 1 кН 6 4 12 1 10 Шпренгели с местной нагрузкой 2 кН 3 В 11 8 13 3 5 5 14 7 2 кН Рис. 3.93 2) Определим опорные реакции основной фермы, что можно сделать на основе заданной расчетной схемы или на основе схемы основной фермы с перераспределенной нагрузкой. Для последнего случая, т.е. для основной фермы с перераспределенной нагрузкой, имеем: Σ M1 = (3 + 2.5)×4 + (4 + 0.5) × 8 + 3×12 + 3×1 − Y7× 12 = 0; Y7 = 8.083 кН Σ M1 = Y1× 12+ 3×1−(2 + 1)×12− (3 + 2.5)×8 − (4 + 0.5) × 4 =0; Y1 = 7.917 кН Σ Xi = -X1 + 1 =0; X1 = 1 кН Проверка: Σ Yi = 8.083 + 7.917 – 2 – 3 – 4 – 3 − 1 – 2.5 − 0.5=0 54 3) Порядок определения усилий в стержнях основной фермы изображен на рис. 3.94: 1 кН 1 кН 3 кНN 0 4 кН 4 6 4-6 2 N1-2 N1-4 3 1 1 кН N3-6 N3-4 1-3 N N3-5 2.5 кН N5-6 5 N6-8 3 кН 8 N5-8 N7-8 7 N02−1= −2 кН N02−4= −1 кН N07−8= −8.083 кН N05−7= 0 кН 0.5 кН 8.083 кН 6.917 кН Рис. 3.94 Для определения усилий в стержнях "4-6", "3-6", "3-5" проведем сечение "1" и: − составим сумму проекций всех сил, приложенных к правой части фермы на ось "ОY" (моментная точка лежит на бесконечном удалении) : Σ Yi = −No3−6× sinα − 4 − 0.5 − 3 + 8.083 =0, No3−6=0.972 кН; − составим сумму моментов всех сил, приложенных к левой части фермы относительно моментной точки "З": Σ M3 = No4−6× 3 +3×1+(7.917 − 2 − 1) × 4 = 0, No4−6=−7.556 кН; − составим сумму моментов всех сил правой части фермы относительно моментной точки "6": Σ M3 = N03-5× 3 +(3 − 8.083) × 4 = 0, No3−5=6.777 кН; Для определения усилий в стержнях "3-4", "5-6" проведем соответственно сечения "2", "3" и составим сумму проекций всех сил на ось "ОY": − сечение "2" (левая часть фермы): Σ Yi = 7.917 −1 −2 − 3 − N03-4=0, No3-4=1.917 кН; − сечение "3" (правая часть фермы): Σ Yi = No5-6 − 3 − 0.5 + 0.8083 = 0, No5-6=−4.583 кН; Для определения усилий в стержнях "1-4", "1-3" вырежем узел "1" и рассмотрим его равновесие: -2 кН N1-4 1 1 кН N1-3 6.917 кН Σ Yi = No1-4× sinα + 7.917 − 2 − 1 =0, отсюда No1-4=−4,917×5/3 кН Σ Xi = No1-3 + No1-4× cosα −1=0, отсюда No1-3=8.195×4/3+1=7.556 кН Рис. 3.95 И, наконец, для определения усилий " No6−8 " и "No5-8 " вырежем узел "8": Σ Yi = − No5-8× sinα + 8.083 − 3 =0, No5-8 = 8.472 кН Σ Xi = − No6−8 − No5−8× cosα = 0, No6−8 = − 6.778 кН 55 Найденные усилия в стержнях основной фермы покажем на рисунке: 1 кН 1 кН 3 кН -1 кН 4 кН -7.558 кН -8.195 кН -0.972 кН -2 кН -8.472 кН -8.083 кН -4.583 кН 1.917 кН 6.777 кН 7.556 кН 3 кН -6.778 кН 2.5 кН 0.5 кН Рис. 3.96 3) Определение усилий в стержнях шпренгелей " Nшi ": Схемы шпренгелей 1 кН 9 6 4 8 12 1 10 3 13 11 2 кН 5 3 14 7 5 2 кН Рис. 3.97 Усилия в некоторых стержнях определяются сразу: N 9-10=2 кН, Nш11−12= −1 кН, Nш13−14= 2 кН, Nш4−12= Nш6−12 =0, Nш5−14= Nш7−14 =0. А) узел 3: Σ Yi = Nш3-9×sinα + 1 =0, отсюда Nш3-9=−1×5/3 = 1,667 кН ш N3-9 (заметим, что Nш1-9= Nш3-9) α 3 Σ Xi = Nш3−10 − Nш3-9×cosα =0, Nш3−10 =1,667×4/5=1,333 кН ш N3-10 (Nш1−10 = Nш3−10) ш 1 кН Рис.3.98 Б) узел 5: ш N5-11 α ш N3-5 5 0.5 кН ΣYi= Nш5−11×sinα + 0,5 =0, Nш5−11=−0,5×5/3 =−0,833кН (Nш5−11= Nш3-11) ΣXi=Nш3−5−Nш5-11×cosα =0, Nш3−5 =0,833×4/5=0,667 кН Рис. 3.99 В) узел 8: 8 ш 6-8 N ш N8-13 1 кН Рис. 3.100 Σ Yi = Nш8−13×sinα + 1=0, Nш8−13=−1×5/3 =−1,667 кН (Nш8−13= Nш6−13) ΣXi=−Nш6−8−Nш8−13×cosα=0, Nш3−5 =−1,667×4/5=−1,333 кН 56 Результаты расчета основной фермы и шпренгельных устройств запишем в табличной форме: Таблица 3.2 Номера Усилия, Номера Номера Усилия, кН Усилия, кН стержней кН стержней стержней 1. Стержни первой категории (основная ферма) 1–2 2−4 −2 −1 9−4 6−11 −8.195 0.972 5−13 7−8 8.472 −8.083 2. Стержни второй категории (шпренгельные) 3−9 5−11 1.667 −0.833 6−13 9−10 1.667 2 11 − 12 13 − 14 −1 2 3. Стержни третьей категории (основная ферма и шпренгели) 1−9 осн. 8.195 1−10: шпр. 7.556 4−12: осн. −7.556 шпр. −1.667 10−3: осн. 1.333 12−6: шпр. −9.862 8.889 −7.556 3−11 осн. шпр. 0.972 −0.833 0.139 3−5: шпр. осн. 6.779 0.667 7.446 8−13 осн. шпр. 8.472 1.667 10.139 5−14: шпр. 14−7: осн. 6−8: осн. шпр. −6.778 −1.333 −8.111 Сделаем выборочную проверку правильности нахождения усилий в стержнях заданной фермы: Узел 9: 8.195 Узел 11: 1.667 1 9 10.139 0.972 9.862 0.139 2 Узел 13: 1.667 ΣXi=(9.862–8.195–1.667)× × cosα =0, ΣYi=(9.862−8.195+1.667)× ×sinα =0 11 0.833 ΣX i= (− 0.139 + 0.972 – −0.833) × cosα =0, ΣY i= ( − 0.139 + 0.972 + +0.833) × sinα =0 Рис. 3.101 8.472 13 2 ΣX i= (− 8.472 + 1.667 + +10.193) × cosα =0, ΣY i= (− 8.472 + 1.667 + +10.193) × sinα =0 57 Результаты расчетов приведены на схеме: 2 кН 1 кН 3 кН -1 кН 2 -7.56 кН 4 -8.155 кН -7.56 кН 12 -1кН 9 -9.862 кН -2 кН -1.667кН 0.135 кН 1 3 10 8.889кН 8.889кН 2 кН 2 кН 3 кН 1 кН 6 -8.111 кН 1.667кН 10.193кН 0.572кН 8.472 кН 11 -0.833кН 7.446 кН 13 Рис. 3.102 -8.083кН 2 кН 5 14 2 кН 1 кН 8 7 58 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ ПРОСТЕЙШИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ 1. Понятие о линиях влияния При помощи линий влияния проводится расчет сооружений на действие подвижной нагрузки. Обычно подвижная нагрузка (воздействие транспорта на мосты; нагрузка, передающаяся от движущегося крана на подкрановую балку и т.п.) представляет собой систему постоянных вертикальных сосредоточенных сил с неизменным расстоянием между грузами, занимающую различные положения на сооружении (рис.4.1). Возможно также действие на сооружение распределенных по тому или иному закону нагрузок, сосредоточенных моментов и т.д. Для линейно деформируемых систем (деформации прямо пропорциональны приложенным нагрузкам) справедливы принципы P2 P6 независимости действия сил и P4 P3 P1 P5 P7 неизменности начальных размеров, согласно которым конструкция рассчитывается на отдельные единичные нагрузки, результаты умножаются на реальные величины L1 L2 L3 L4 L5 L6 нагрузок и складываются друг с другом. Рис. 4.1 Простейшей элементарной нагрузкой является единичная сосредоточенная сила, приложенная в определенной точке по определенному направлению. Из сосредоточенных сил можно получить любую нагрузку, например распределенную, путем предельного перехода к бесконечной сумме бесконечно малых сосредоточенных сил, или сосредоточенный момент, как пару сил с определенным плечом. Поэтому, имея расчет системы на действие единичной сосредоточенной силы, приложенной в любом месте по любому направлению, можно рассчитать систему на любую нагрузку. При перемещении точки приложения сосредоточенной силы величины внутренних усилий, прогибов, углов наклона и т.п. в любой заданной точке системы, естественно, изменяются. Графическое изображение закона изменения какой-либо величины в заданном сечении сооружения в зависимости от координаты точки приложения сосредоточенной единичной силы называется ЛИНИЕЙ ВЛИЯНИЯ данной величины в данном сечении. Иными словами, ордината линии влияния есть значение искомого силового или другого фактора при нахождении единичного груза над этим сечением. При построении линий влияния будем пренебрегать динамическим действием движущейся нагрузки, т.е. строим статические линии влияния. Заметим, что возможно построение и динамических линий влияния, учитывающих силы инерции и влияние скорости движения нагрузки. Линия влияния, таким образом, представляет собой график, в котором функцией является изучаемая величина (изгибающий момент, продольная и поперечная сила, прогиб в заданной точке и т.д.), а независимой переменной − абсцисса груза P=1. Ординаты линии влияния численно равны значениям изучаемой величи- 59 ны при положении груза P=1 над этими ординатами. Размерность ординат линии влияния равна частному от деления размерности изучаемой величины на размерность силы. Поскольку линии влияния дают возможность определять искомую величину при любом положении нагрузки, основное их предназначение состоит в определении расчетного положения нагрузки, при котором исследуемая величина принимает максимальное значение. y Например, определение такого положения грузового автомобиля на x ферме моста (x−?), при котором усилие в данном стержне имеет максимальное значение (Nmax). Линии влияния также N используются при расчете сооружений Рис. 4.5 на неподвижные нагрузки в тех случаях, когда число комбинаций отдельно действующих нагрузок велико. Для построения линий влияния применяют статический и кинематический методы. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД построения линий влияния заключается в следующем: устанавливаем груз в произвольное положение, определяемое абсциссой "х", используя условия равновесия получаем аналитическое выражение для исследуемой величины, затем представляем эту величину в графической форме. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ основан на использовании принципа возможных перемещений и особенно эффективен при построении линии влияния внутренних усилий в многопролетных балках. Суть кинематического метода состоит в следующем: для построения линии влияния какого-либо усилия отбрасывается связь, воспринимающая это усилие и таким образом, статически определимая система превращается в механизм, подученному механизму сообщается единичное перемещение по направлению усилия в отброшенной связи и соответствующее виду связи. График перемещений всей конструкции от указанного перемещения точки расположения отброшенной связи и есть линия влияния усилия в отброшенной связи. max 4.2. Построение линий влияния в простейших балках А. Балка на двух опорах Построим сначала линии влияния опорных реакций (рис.4.3), поскольку они чаще всего являются исходными для построения линий влияния внутренних усилий. Установим груз Р=1 в произвольное положение и найдем аналитическое выражение для правой опорной реакции, исходя из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, приложенных к балке, относительно центра тяжести сечения "А" : ΣМA= 0, 1×x − YB × L=0; (−с ≤ x ≤ L + d), откуда YB = x/L. 60 P=1 x B A yA c L yB d л.в.yB + - + - рис.4.3 л.в. yA График опорной реакции " YB", как функции "x", представляет собой прямую линию с ординатами YB=0, при x=0 и YB=1, при x=L. Аналогично из условия ΣМB= 0, 1×(L−x) − YA × L=0; (−с ≤ x ≤ L + d), определяется зависимость левой опорной реакции от координаты точки приложения силы Р=1; YA = (L−x)/L; также имеющей вид прямой линии с ординатами YA = 1 при x=0 и YA = 0 при x=L. Построим теперь линии влияния внутренних усилий в некоторой точке "К" (см. рис.4.4). Изгибающий момент в данном сечении равен сумме моментов внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. При движении груза справа от сечения "К", удобнее определить момент как сумму моментов сил, расположенных слева от него, поскольку при указанном положении груза левее сечения "К" приложена только одна сила "YA" (правее сечения "К" приложены две силы − Р = 1 и YB): Мк = YA × а = (х / L) × а, поскольку рассматривалось положение груза справа от сечения "К", полученное выражение описывает правую ветвь линии влияния, справедливую в пределах a ≤ x ≤ L + d. При движении груза слева от сечения "К" момент в нем удобнее определить как сумму моментов всех сил, расположенных справа от него. В этом случае справа от точки расположена только одна сила YB: Мк = YB × b = b×(L−x)/ L, Это выражение представляет собой левую ветвь линии влияния, справедливую в пределах −с ≤ x ≤ a. Под сечением "К" левая и правая ветви линии влияния пересекаются (рис. 4.4). Аналогично строится линия влияния поперечной силы в любом сечении "К". При движении груза правее сечения "К" поперечную силу в нем удобнее получить как сумму вертикальных сил, приложенных к балке слева от сечения "К" (рис. 4.5). Из условия равновесия Σ YBлев=0, Qк= YA − получается правая ветвь линии влияния Qк. Из уравнения ΣYBправ=0 следует Qк =−YB− левая ветвь линии влияния Qк. Линия влияния поперечной силы в сечении "К" изображена на рис. 4.5 61 P=1 x A B A K K a b a L c d yA d P=1 yB yA yB Qк P=1 Mк yA yB yA b 1 правая ветвь левая ветвь yB Qк b/L л.в.M K a + b L c P=1 Mк P=1 P=1 x B + правая ветвь л.в.Q K + a/L левая ветвь 1 рис. 4.4 рис. 4.5 Б. Консольная балка В консольной балке (рис. 4.6) линии влияния опорных реакций и внутренних усилий определяются следующим образом: ΣYi= 0, YA =1; ΣMA= 0, MA = − x груз правее сечения "С": ΣMcправ=0, Мс= −1 × (x−a) − правая ветвь л.в. ΣYi= 0, Qк = 1; груз левее сечения "С" : ΣMcправ=0, Мс= 0 − левая ветвь л. в. ΣYi= 0, Qк = 0. P=1 x B A C a Mc MA yA b P=1 Qc Qc Mc груз справа L P=1 P=1 Mc Qc MA MA yA yA Qc Mc груз слева л.в. yA + 1 - - л.в.MA + л.в. Mc b 1 л.в.Qc L Рис. 4.6 Такой же вид имеют линии влияния внутренних усилий в сечениях, расположенных на консольных участках многопролетных балок.