Временные ряды в эконометрических исследованиях

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ, АНАЛИЗ И АУДИТ» Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Тверь 2009 ________________________________________________________________________________ Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях Тематические вопросы: Специфика временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании. Аналитическое выравнивание временных рядов. Оценка параметров уравнения тренда. Автокорреляция в остатках, ее измерение и интерпретация. Критерий Дарбина-Уотсона в оценке качества трендового уравнения регрессии. Анализ временных радов при наличии периодических колебаний: аддитивная и мультипликативная модели. Особенности изучения взаимосвязанных временных рядов. Автокорреляция рядов динамики и методы ее устранения. Метод последовательных разностей. Интерпретация параметров уравнения регрессии, построенного по первым и вторым разностям. Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции. Метод включения фактора времени. Минимум содержания в соответствии с ГОС: характеристики временных рядов; модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация. 5.1.Анализ временных рядов..................................................................1 5.2.Динамические модели......................................................................7 5.3.Прогнозирование (предсказание) с помощью временных рядов..........11 5.1.Анализ временных рядов ◊Временной ряд (ряд динамики) – как упорядоченные по времени получения статистические данные по показателю. Временной ряд, состоящий из N уровней x(1), x(2), ... x(N), может быть записан в компактной форме: X(t), t=1,2,...N, где t - порядковый номер наблюдения. Специфика временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании заключается в том, что каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию, циклические или сезонные колебания и случайную компоненту, наличие которых отражается на результатах корреляционно-регрессионного анализа временных рядов данных. Основной целью анализа временных рядов является изучение соотношения между закономерностью и случайностью в формировании значений уровней ряда, оценка количественной меры их влияния. Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ Закономерности, объясняющие динамику показателя в прошлом, могут быть использованы для прогнозирования его значений в будущем, а учет случайности позволяет определить вероятность отклонения от закономерного развития и их возможную величину. Формирование уровней ряда определяется закономерностями трех основных типов: инерцией тенденции, инерцией взаимосвязи между последовательными уровнями ряда и инерцией взаимосвязи между исследуемым показателем и показателями-факторами, оказывающими на него причинное воздействие. Основные задачи анализа временных рядов: • анализ и моделирование компонентного анализа); • анализ и моделирование взаимосвязи между последовательными уровнями ряда (с помощью адаптивных методов и моделей); • анализ и моделирование причинных взаимодействий между исследуемым показателем и показателями-факторами (с помощью эконометрического моделирования, базирующегося на методах корреляционно-регрессионного анализа). тенденций (с помощью методов Общая схема анализа временных рядов: • Постановка задачи и подбор исходной информации: формулируется цель исследования, осуществляется содержательный (логический и экономический) анализ исследуемого процесса; решается вопрос о выборе показателя, характеризующего его наиболее полно; определяются показатели, оказывающие влияние на ход развития; определяется наиболее разумный период упреждения прогноза (горизонт прогнозирования, т.е. на сколько шагов вперед делается прогноз, как правило, не превышает 1/3 объема данных). • Предварительный анализ исходных временных рядов и формирование набора моделей прогнозирования: имеет целью определение соответствия имеющихся данных требованиям, предъявляемым к ним математическими методами (объективности, сопоставимости, полноты, однородности и устойчивости); строится график динамики, и рассчитываются основные динамические характеристики (приросты, темпы роста, темпы прироста, коэффициенты автокорреляции). Набор моделей (исходная база моделей) формируется на основе интуитивных приемов (таких, например, как анализ графика динамики ряда), формализованных статистических процедур (исследование приростов уровней), исходя из целей исследования и качества имеющейся информации, а также содержательного анализа. Предпочтение отдается наиболее 2 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ простым моделям, которые могут быть содержательно интерпретированы. • Численное оценивание параметров моделей: заключается в наилучшем (максимальном) приближении модели к исходным данным. Метод наименьших квадратов лежит в основе численного оценивания параметров моделей кривых роста, которые исходят из равноценности всех данных и отражают общую тенденцию развития. Параметры адаптивных моделей, исходящих из большей значимости последних наблюдений и лучше отражающих динамику изменения, оцениваются с использованием специальных процедур многомерной численной оптимизации. • Определение качества моделей (адекватности и точности): адекватность моделей оценивается путем исследования свойств остаточной компоненты, т.е. расхождений, рассчитанных по модели уровней и фактических наблюдений; точность модели характеризует степень близости расчетных данных к фактическим. На основе характеристик точности и адекватности рассчитывается обобщенный показатель качества модели, который используется для определения лучшей модели. • Выбор одной лучшей или построение обобщенной модели: при выборе лучшей модели следует учитывать не только формальные статистические характеристики, но и интерпретируемость их траектории развития с содержательной точки зрения. В случае несовпадения результатов выбора по статистическому и содержательному критериям предпочтение отдается последнему. • Получение точечного и интервального прогнозов. В основе точечного прогноза лежит экстраполяция: путем подстановки в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора "Время", т.е. t=N+1, N+2...N+k. Интервальные прогнозы строятся на основе точечных с учетом доверительной вероятности прогноза, характеризующей степень уверенности в попадании прогнозируемой величины в построенный интервал прогнозирования. • Содержательный комментарий полученного прогноза: полученный прогноз должен быть подвергнут критическому рассмотрению с целью выявления возможных противоречий известным фактам и сложившимся к настоящему моменту представлениям о характере развития на периоде упреждения прогноза (напр., в качестве средства оценки эффективности математического аппарата при исследовании конкретных процессов часто применяют ретропрогноз). 3 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ Анализ временных рядов базируется на предположении о возможности представления уровней ряда в виде суммы нескольких компонент, отражающих закономерность и случайность развития, в частности, в виде суммы нескольких компонент: Х(t) = f(t) + S(t) +E(t), где f(t) - тренд (долговременная тенденция) развития; S(t) - сезонная компонента; E(t) - остаточная компонента. Тренд представляет собой устойчивое изменение показателя в течение длительного времени; выражается аналитической функцией, которая используется для формирования прогнозных оценок. Аналитическое выравнивание временного ряда способ моделирования и изучения основной тенденции временного ряда (ряда динамики), при котором строится аналитическая функция (тренд), характеризующая зависимость уровней ряда динамики от времени; включает следующие основные этапы: 1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней; 2) расчет сезонной компоненты; 3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в модели; 4) аналитическое выравнивание уровней и расчет значений тренда с использованием полученного уравнения тренда; 5) расчет полученных по модели значений, генерируемых трендом и сезонной компонентой; 6) расчет абсолютных и относительных ошибок. Определение (оценивание) параметров тренда: используется обычный МНК, который в данном случае состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выровненных уровней (от тренда). Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации. Устранение тренда как попытка устранения или фиксирования воздействия фактора времени на формирование уровней ряда. Методы устранения тренда можно разделить на два класса: • Методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тренда. Полученные переменные используются для анализа взаимосвязи изучаемых временных рядов. Эти методы предполагают непосредственное устранение тренда из каждого уровня ряда динамики. Главные представители данного класса — это метод последовательных разностей и метод отклонений от тренда. 4 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ Метод отклонений от тренда для анализа взаимосвязи двух временных рядов заключается в следующем. Пусть каждый из рядов содержит тренд и случайную компоненту. Выполняется аналитическое выравнивание для каждого из этих двух рядов. Оно позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов. Также при этом определяются расчетные по тренду уровни рядов. Такие расчетные значения можно принять за оценку тренда каждого ряда. В свою очередь, влияние тренда можно устранить вычитанием расчетных значений уровней ряда из фактических. После этого выполняется дальнейший анализ взаимосвязи рядов, но опираясь теперь уже не на исходные уровни, а используя отклонения от тренда. Вполне естественно считается, что отклонения от тренда сами уже не содержат основную тенденцию, поскольку все предыдущие процедуры как раз и имели своей целью ее устранение из отклонений. Метод последовательных разностей. Так, если ряд динамики содержит явно выраженную линейную тенденцию, то ее можно устранить с помощью замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями). При наличии сильной линейной тенденции случайные остатки оказываются достаточно малы. В соответствии с предпосылками МНК и с учетом того, что коэффициент регрессии— это просто константа, не зависящая от времени, получаем, что первые разности уровней ряда не зависят от переменной времени. Поэтому их (первые разности) можно использовать для дальнейшего анализа. При наличии тренда в виде параболы второго порядка для устранения тренда используют замену исходных уровней ряда на вторые (а не первые) разности. Если тренд соответствует экспоненциальной или степенной зависимости, то метод последовательных разностей применяют не к исходным уровням ряда, а к логарифмам исходных уровней. В отличие от уравнения регрессии по отклонениям от тренда параметры уравнения в последовательных разностях имеют, как правило, прозрачную и простую интерпретацию. Но применение этого метода сокращает число пар наблюдений, по которым строится уравнение регрессии. Это означает, в свою очередь, потерю числа степеней свободы. Другой недостаток этого метода заключается в том, что использование вместо исходных уровней временного ряда их приростов или ускорений приводит к потере информации, содержащейся в исходных данных. • Методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели. Прежде всего, это метод включения в модель регрессии по рядам динамики фактора времени. 5 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ В корреляционно-регрессионном анализе можно устранить воздействие какого-либо фактора, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Такой способ применяется в анализе рядов динамики, когда тренд фиксируется посредством включения фактора времени в модель в качестве независимой переменной. В простейшей линейной модели такое включение времени имеет вид слагаемого, которое есть просто произведение некоторого коэффициента на время. Кроме текущих переменных в уравнение регрессии могут входить и лаговые значения результативной переменной. Такая модель имеет некоторые преимущества по сравнению с методами отклонений от трендов и метода последовательных разностей. Она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных. Это объясняется тем, что значения результативной переменной и факторов представляют собой уровни исходных рядов динамики. Важно также, что сама модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период. Это выгодно отличает модель от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Сами параметры модели с включением фактора времени определяют с помощью обычного МНК. Сезонная компонента характеризует устойчивые внутригодичные колебания уровней. Она проявляется в некоторых показателях, которые представлены квартальными или месячными данными. Наличие устойчивых колебаний в суточных или недельных данных может рассматриваться как циклическое и отображается сезонной компонентой. На предварительном этапе анализа исследуется наличие в исходных данных сезонных или циклических колебаний в качестве выявления структуры изучаемого ряда динамики. Если такие компоненты имеются, то до проведения дальнейшего исследования взаимосвязи следует устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней ряда. Это необходимо, поскольку наличие таких компонент приведет к завышению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых рядов динамики, когда оба ряда содержат циклические компоненты одинаковой периодичности. Если же сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в этих рядах различна, то соответствующие показатели будут занижены. Остаточная компонента представляет собой расхождение между фактическими и расчетными значениями. Если построена адекватная (хорошая) модель, то E(t) является близкой к 0, случайной, независимой, подчиняющейся нормальному закону распределения компонентой. В противном случае модель является недостаточно качественной. 6 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ Специфика остатков временного ряда: последовательность остатков может рассматриваться как временной ряд. Тогда возникает возможность построения зависимости этой последовательности остатков от времени. Согласно предпосылкам адекватности применения МНК, сами остатки должны быть случайными. В моделировании рядов динамики весьма распространена ситуация, когда остатки содержат тренд или циклические колебания. В этом случае каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих, что и свидетельствует об автокорреляции остатков. Автокорреляция остатков бывает связана с исходными данными и вызвана ошибками измерения в значениях результативного признака. В других случаях автокорреляция остатков происходит из-за недостатков формулировки модели. Например, может отсутствовать фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках. Тем самым остатки вполне могут оказаться автокоррелированными. Помимо фактора времени в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель. Может иметь место и такая ситуация, когда модель не учитывает несколько второстепенных по отдельности факторов, совместное влияние которых на результат уже оказывается существенным. Эта значимость проистекает в силу совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний. Вместе с тем от такой истинной автокорреляции остатков необходимо отличать те ситуации, в которых причина автокорреляции заключается в неверной спецификации функциональной формы модели. Тогда уже нужно изменить форму связи факторных и результативного признаков. Именно это, а не использование специальных методов расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков, необходимо выполнять в таком случае. Для определения автокорреляции остатков можно использовать построение графика зависимости остатков от времени с целью последующего визуального определения наличия или отсутствия автокорреляции. Другой метод — это использование критерия Дарбина — Уотсона и расчет соответствующего теста. 5.2.Динамические модели ◊Динамические модели – регрессионные модели, в которых при изучении зависимостей между показателями либо при анализе их развития во времени в качестве объясняющих переменных используются не только текущие значения переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также сам фактор времени. 7 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ Динамические модели Авторегрессионные модели Модели с лагами (модели с распределенными лагами) содержат в качестве лаговых объясняющих переменных значения зависимых переменных (yt=a+bxt+cyt-1+et) содержат в качестве лаговых (с запаздыванием) переменных только независимые (объясняющие) переменные (yt=a+bxt+cxt-1+et) ◊Модели с распределенными лагами – регрессионные модели, включающие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных: • модель с конечным y t = α + β 0 x t + β 1 x t − 1 + ... + β k x t − k + ε t ; • модель с бесконечным y t = α + β 0 x t + β 1 x t − 1 + .β 2 x t − 2 + ... + ε t ; • принятые в моделях обозначения: β0краткосрочный мультипликатор, характеризует изменение среднего значения Y под воздействием единичного изменения переменной Х в тот же k самый момент времени; ∑ β j= 0 j числом числом лагов: лагов: - долгосрочный мультипликатор, характеризует изменение Y под воздействием единичного изменения переменной Х в каждом из рассматриваемых временных h периодов; ∑ j= 0 β j , h < k - промежуточный мультипликатор. Модель с конечным числом лагов оценивается МНК с использованием приема сведения к уравнению множественной регрессии: X0*=xt, X1*=xt-1 , * * * …, Xk*=xt-k : y t = α + β 0 X 0 + β 1 X 1 + ... + β k X k + ε t . Модель с бесконечным числом лагов оценивается с использованием специальных методов: • Метод последовательного увеличения количества лагов: уравнение регрессии оценивается с последовательным увеличением лагов до завершения процедуры по одному из правил: 1) при добавлении нового лага какой-либо коэффициент регрессии меняет знак, тогда в уравнении регрессии оставляют переменные, коэффициенты при которых знак не поменяли; 2) при добавлении нового лага какойлибо коэффициент регрессии становится статистически 8 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ незначимым, тогда в уравнении регрессии оставляют переменные, коэффициенты при которых остаются статистически значимыми. • Преобразование Койка (метод геометрической прогрессии): • предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической k прогрессии: β k = β 0 λ , k=0,1,…, 0< λ <1 – характеризует скорость убывания коэффициентов с увеличением лага (с удалением от момента анализа); • уравнение регрессии y t = α + β 0 x t + β 0 λ x t -1 + β 0 λ 2 x t - 2 + … + ε t ; • вычитая из преобразованного уравнения вычитается такое же, но умноженное на λ и вычисленное для предыдущего периода λ y t -1 = λ α + β 0 λ x t - 1 + β 0 λ 2 x t -1 + … + λ ε t - 1 , времени (t-1): получается уравнение: y t − λ y t -1 = (1 - λ )α + β 0 x t + (ε t − λ ε t -1 ) , ⇒ y t = (1 - λ )α + β 0 x t + λ y t -1 + υ t , где υ t = ε t − λ ε t − 1 - скользящая средняя. преобразуется: Так, с помощью преобразования Койка уравнение с бесконечным числом лагов (с убывающими по степенному закону коэффициентами) y t = α + β 0 x t + β 1 x t − 1 + .β 2 x t − 2 + ... + ε t преобразовано в авторегрессионное уравнение y t = (1 - λ )α + β 0 x t + λ y t -1 + υ t , для которого требуется оценить лишь три коэффициента: λ, α, β0. При этом снимается проблема мультиколлинеарности, но возможно возникновение проблемы автокорреляции. • Полиномиально распределенные лаги Алмон: • предполагается, что «веса» коэффициентов βi при лаговых значениях могут аппроксимироваться полиномами определенной степени от величины лага i: 2 m β i = a0 + a1i + a2i + … + ami ; • определяется количество лагов k (подбором, начиная «разумного» максимального, постепенно уменьшая); • 2 m подбирается степень полинома m: β i = a0 + a1i + a2i + … + ami , причем степень полинома, как правило, должна быть, по крайней мере, на единицу больше количества точек «экстремума» (точек, разделяющих интервалы возрастания и убывания) в зависимости β i = β (t - i) ; 9 с Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ k • уравнение регрессии преобразуется: y t = α + ∑ β ix t -i + ε t , или i= 0 k y t = α + ∑ (a + a i + a i2 + … + amim )x + εt; 1 t -i 2 i= 0 0 • преобразованное множественной уравнение регрессии: z t0 сводится k = ∑ x , i= 0 t − i к z tm уравнению k = ∑ i⋅ x t − i ,…, i= 0 k z tm = ∑ imx , в результате y t = α + a0 z t0 + ... + am z tm + ε t ; t− i i= 0 • обычным МНК определяются значения параметров α, а0,…,аm, коэффициенты βi определяются из соотношения: 2 m β i = a0 + a1i + a2i + … + ami . ◊Модели авторегрессии – регрессионные модели, которые содержат в качестве факторов лаговые значения самой зависимой переменной: • имеют следующий вид: y t = β 0 + β 1 x t + γ y t − 1 + υ t ; • результат оценки авторегрессионных моделей обычным МНК: удовлетворительный (!в редких случаях), неудовлетворительный (смещенные и несостоятельные оценки) в силу автокорреляция остатков, корреляция между объясняющей переменной yt-1 и случайным членом; • методы оценки авторегрессионных уравнений: • метод инструментальных переменных, позволяющий сгладить корреляция между объясняющей переменной и случайным членом: основная идея этого метода состоит в том, чтобы переменную yt-1, коррелирующую с отклонением, заменить так называемой инструментальной переменной, близкую по своим свойствам, но не коррелирующую с отклонением. Подбор инструментальной переменной не всегда является простой задачей и во многом зависит от практической ситуации. В частности, в качестве инструментальной переменной можно предложить оценку ŷt-1 , которая получается в результате регрессии переменной Y на независимые переменные X, входящие в первоначальную авторегрессионную модель. Такая замена, однако, может привести к появлению мультиколлинеарности. • методы обнаружения и устранения автокорреляции остатков: для обнаружения автокорреляции в авторегрессионных моделях используется h-статистика Дарбина, для устранения автокорреляции остатков применяются авторегрессионные 10 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ преобразования p-порядка AR(p), преобразования методом скользящей средней, авторегрессионные преобразования со скользящей средней ARMA, преобразования ARIMA (преобразование ARMA в сочетании с переходом от объемных величин к приростным). Детальное описание указанных методов подробно представлено в основной и дополнительной литературе. Итак, особенности оценки динамических моделей: • практическая трудность (невозможность) оценки параметров моделей авторегрессии, а весьма часто и моделей с распределенным лагом с помощью обычного МНК, в связи с нарушением условий применимости МНК, • необходимость решения проблемы выбора величины лага и определения структуры лага, • взаимосвязь между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии, в результате в некоторых случаях необходимо переходить от одного типа моделей к другому. оптимальной 5.3.Прогнозирование (предсказание) с помощью временных рядов ◊Предсказание – оценивание будущего значения зависимой ˆt + p по эмпирическому уравнению регрессии, если будущее переменной y значение объясняющей переменной x t + p известно. ◊Прогноз – оценивание будущего значения зависимой переменной ˆt + p по эмпирическому уравнению регрессии, если будущее значение y объясняющей переменной x t + p точно неизвестно. ◊Долгосрочное прогнозирование как анализ долговременной динамики показателя с целью выделение общего направления его изменения - тренда. При этом считается возможным пренебречь краткосрочными колебаниями значений исследуемого показателя относительно этого тренда. Тренд обычно строится методами регрессионного анализа. ◊Краткосрочное прогнозирование как анализ кратковременной динамики показателя с учетом факторов, вызывающих отклонения значений исследуемой величины от тренда. Для предсказания краткосрочных колебаний проводится более детальный регрессионный анализ с целью выявления большого числа показателей, определяющих поведение исследуемой величины. Кроме этого, проводят более детальное исследование связей текущих значений исследуемых показателей с их прошлыми значениями или с прошлыми значениями других факторов. 11 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ При анализе динамических моделей обычно на базе статистических методов пытаются определить вероятную ошибку предсказаний: ˆ ∆ t + p = yt + p − yt + p : • в случае парной регрессии: стандартная ошибка предсказания определяется по формуле: S(∆ t+ p) = S 1 + 2 2 1 (x − x t + p ) 1 (x − x t + p ) + n = S 1+ + , n n nS x2 ∑ (x i − x )2 i=1 • в случае множественной регрессии: предсказания определяется по формуле: стандартная ошибка S(Yˆt + p ) = S X tT+ p ( X T X )− 1 X t + p , • стандартные ошибки предсказания могут быть рассчитаны с помощью добавления в модель фиктивных переменных по методу Салкевера. Пусть имеется возможность получения статистических данных за р моментов на прогнозном периоде. Тогда строится такая же регрессия для совокупного набора данных выборки и прогнозного периода, но с добавлением фиктивных переменных Dt+1, Dt+2, ..., Dt+P. При этом Dt+i = 1 только для момента наблюдения (t + i), для всех других моментов Dt+i = 0. Доказано, что оценки коэффициентов и их стандартные ошибки для всех количественных переменных Xj в точности совпадают со значениями, полученными по регрессии, построенной только по данным выборки. Коэффициент при фиктивной переменной Dt+i будет равен ошибке предсказания в момент (t + i), а стандартная ошибка коэффициента равна стандартной ошибке предсказания. Тест Чоу на устойчивость регрессионной модели предназначен для оценки того, насколько модель, полученная по выборке, будет соответствовать поведению исследуемой величины на прогнозном (послевыборочном) периоде. При этом либо оцениваются прогнозные качества модели, либо определяется, происходят ли изменения параметров в период прогноза. Суть теста: • Пусть для совокупного набора данных выборки и прогнозного периода построены два уравнения регрессии. Первое - с теми же объясняющими переменными, что и в первоначальном (построенном по выборке) уравнении. Второе - с добавлением фиктивных переменных по методу Салкевера. • Пусть суммы квадратов отклонений точек наблюдений от этих уравнений регрессии равны S, Sd соответственно. Тогда разность (S - Sd) может рассматриваться как улучшение качества 12 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ уравнения при добавлении р новых (фиктивных) объясняющих переменных. • Для анализа, насколько существенно улучшение качества уравнения, можно воспользоваться соответствующей Fстатистикой: (S − Sd ) F = Sd p (T − m − 1) (S − SТ ) = SТ p , (T − m − 1) где Т - объем первоначальной выборки, m - количество объясняющих переменных в первоначальном уравнении регрессии. Формально (Т-m-1) определено как количество (Т+р) наблюдений в объединенной совокупности за вычетом числа (m+р+1) оцениваемых параметров в уравнении с фиктивными переменными. Фактически в силу специфики метода Салкевера вместо Sd можно использовать совпадающую с ней сумму ST квадратов отклонений для первоначального уравнения регрессии, построенного по выборке объема Т. • В случае стабильности модели (при незначительном улучшении качества) F-статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v1 = p и v2=T-m-1, сравнивается критическим значением распределения Фишера при выбранном уровне значимости: если F > Fα , p,T − m − 1 , то гипотеза о стабильности модели отклоняется. При достаточно большом прогнозном периоде можно воспользоваться схемой проверки гипотезы о совпадении уравнений регрессии для отдельных групп наблюдений, при этом рассчитываются три уравнения регрессии: для периода выборки, для периода прогноза и для объединенного периода. Основные критерии качества прогноза: • относительная ошибка прогноза определяется как отношение ˆt + p − y t + p ∆ t+ p = y ошибки предсказания к действительному значению переменной, выраженное в процентах: ˆt + p − y t + p ∆ t+ p y δ t+ p = ⋅ 100% = ⋅ 100% , или yt + p yt + p δ 't + p = ˆt + p − ∆ y t + p ∆y ∆ yt + p ⋅ 100% , где вместо абсолютных значений исследуемой величины используют приросты этих значений: прогнозируемый ˆt + p = y ˆt + p − y t и реальный ∆ y t + p = y t + p − y t за рассматриваемый ∆y 13 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях ________________________________________________________________________________ период. • стандартная среднеквадратическая ошибка (при необходимости анализа точности прогнозов на несколько периодов времени): 1 k ( ∆ yˆt + p − ∆ y t + p ) 2 ∑ k p= 1 U = , 1 k 2 ∆ y ∑ t+ p k p= 1 где k - количество прогнозных периодов. Данный показатель обладает существенным достоинством. Все его значения лежат в интервале от нуля до единицы (0 ≤ U ≤ 1). При абсолютно точных прогнозах U=0. Таким образом, близость значения U к нулю является признаком достаточно качественного прогноза. Однако в любом случае следует иметь в виду, что прогнозирование (особенно макроэкономическое) является одной из сложнейших задач экономического анализа. По крайней мере, нахождение возможных решений является задачей, требующей индивидуального подхода. Удачное использование какой-либо модели для прогноза на некоторый период не является гарантией аналогичного результата для другого периода. 14