Вариационные задачи с фиксированными границами.

Тема: Вариационные задачи с фиксированными границами 1. Понятие об экстремуме функционала. Простейшая задача вариационного исчисления Говорят, что функционал , определённый на линейном пространстве , достигает сильного (слабого) минимума на функции (в точке) (или доставляет соответствующий минимум функционалу ), если найдётся такая сильная (слабая) ε-окрестность функции , что для любой функции из этой окрестности выполнено неравенство . (1.1) Если для любой функции из этой окрестности, отличной от , неравенство (1.1) является строгим, то такой минимум называется строгим. Сильный (слабый) максимум вводятся аналогичным образом. Сильные (слабые) максимумы и минимумы объединяют под общим названием сильный (слабый) экстремум. Функцию , доставляющую сильный или слабый экстремум функционалу , будем называть точкой соответствующего экстремума функционала. Рассмотрим задачу об экстремуме функционала , (1.2) определённого на множестве функций , удовлетворяющих условиям . (1.3) Предполагаем, что – дважды непрерывно дифференцируемая функция трёх переменных. Сформулированную задачу называют простейшей (элементарной) задачей вариационного исчисления. Первая вариация функционала (1.2) при указанных условиях на функцию найдена ранее и имеет вид . (1.4) Здесь и – допустимая вариация функции и её производная. В силу условий (1.3) . 2. Необходимые условия экстремума функционала. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера Теорема 2.1. Если функционал (1.2) достигает слабого экстремума во внутренней точке своей области определения, причём в этой точке существует дифференциал Гато, то этот дифференциал в точке обращается в нуль, т.е. . Теорема 2.2. Для того чтобы функция доставляла слабый экстремум функционалу (1.2), необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению . (2.1) Уравнение (2.1) называют уравнением Эйлера для функционала (1.2), а гладкие решения этого уравнения – экстремалями функционала. В развёрнутой записи оно имеет вид . (2.2) Замечание. Теорема сформулирована для слабого экстремума. Но любое необходимое условие для слабого экстремума является в то же время и необходимым условием для сильного экстремума, а любое достаточное условие для сильного экстремума является достаточным условием и для слабого экстремума, т.е. всякий сильный экстремум одновременно является и слабым. Уравнение Эйлера не всегда интегрируется в квадратурах. Поэтому важно выявить такие случаи, когда интегрирование в квадратурах возможно. Рассмотрим некоторые из них. 10. Функция из (1.2) не зависит от , т.е. . В этом случае , уравнение Эйлера имеет вид и является не дифференциальным, а обычным конечным уравнением, связывающим значения переменных и , т.е. неявной формой задания кривой . Если точки и лежат на этой кривой, то она – экстремаль. В противном случае у исходной экстремальной задачи решений нет. 20. Функция линейно зависит от , т.е. . Этот случай, включающий в себя и предыдущий, охватывает те функции, для которых . Такие функционалы называются вырожденными. Тогда уравнение Эйлера имеет вид . Это уравнение не является дифференциальным относительно неизвестной функции и, вообще говоря, не имеет решений, удовлетворяющих заданным граничным условиям. Если же , то подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции двух переменных. В этом случае значение функционала не зависит от пути интегрирования. Следовательно, функционал постоянен на всех допустимых кривых и вариационная задача теряет смысл, т.е. любая функция является экстремалью функционала. 30. Функция зависит только от , т.е. . Тогда уравнение Эйлера имеет вид . Если (в противном случае требуется дополнительное исследование), то получим уравнение . Его общее решение , т.е. экстремалями являются прямые. 40. Функция не зависит от , т.е. . Так как в этом случае , то уравнение Эйлера имеет вид , откуда сразу находим . Разрешая это уравнение относительно и интегрируя, получим общее решение уравнения Эйлера. 50. Функция зависит лишь от и (не зависит явно от x). В этом случае она имеет вид . Тогда уравнение Эйлера (2.2) примет вид . (2.3) Но такой же вид имеет и полная производная по от выражения , (2.4) т.е. в этом случае уравнение Эйлера допускает понижения порядка. Оно может быть проинтегрировано путём разрешения относительно и разделения переменных или путём введения параметра. Действительно, продифференцируем (2.4) по . При дифференцировании учтём, что функция и её частные производные от не зависят: , что после сокращения на совпадает с (2.3).