Устойчивость сооружений

УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ 1. Введение в устойчивость сооружений Кроме прочности и жесткости, сооружение обязательно должно быть устойчивым. Это потому, что при потере устойчивости сооружение или разрушается, или становится непригодным для дальнейшей эксплуатации. Например, даже такой простейший элемент как прямолинейный длинный стержень при действии продольной сжимающей силы может резко изогнуться и потерять свою первоначальную прямолинейную форму. В практике строительства и эксплуатации различных сооружений (мостов, высотных зданий и др.) известны случаи их разрушения из-за потери устойчивости. Устойчивость – это способность сооружения сохранять свое первоначальное положение или форму. Переход устойчивого сооружения в неустойчивое состояние называется потерей устойчивости. Граница перехода в неустойчивое состояние называется критическим состоянием. Сила, приводящая сооружение в критическое состояние, называется критической силой. Критическую силу будем обозначать Pкр. Ответ на вопрос «устойчиво или неустойчиво сооружение?» является очень важной задачей, потому что для потери устойчивости сооружения, достигшего критического состояния, достаточно и незначительной причины. Если же процесс потери устойчивости начался, он идет очень быстро и приводит к резкому изменению первоначальной формы или разрушению частей или всего сооружения. 2. Виды и типы потери устойчивости Различают два вида потери устойчивости – устойчивость положения и устойчивость формы. Устойчивость положения – это способность сооружения сохранять свое положение. Например, при действии на подпорную стенку нагрузки q (рис. 25.1 а), относительно точки А создается опрокидывающий момент 131 M опр = qh 2 / 2 , от чего подпорная стенка может потерять устойчивость (рис. 25.1 б). Этому противостоит собственный вес подпорной стенки G, создающий удерживающий момент M уд = Gl . Устойчивость системы зависит от соотношения этих моментов, так как при: 1) M опр < M уд – система устойчива; 2) M опр > M уд – система неустойчива; 3) M опр = M уд – система безразлична. Рис. 25.1 Устойчивость формы – это способность сооружения сохранять свою первоначальную форму. Например, если верхний конец стержня с действующей продольной силой P немного отклонить в сторону (рис. 25.2 а), он при PPкр, перемещения стержня начинают возрастать (рис. 25.2 б). Такая система в исходное состояние вернуться не может. Поэтому ее называют неустойчивой. Если P=Pкр, система остается в безразличном состоянии (рис. 25.2 в). Таким образом, в зависимости от величины приложенной нагрузки система может быть устойчивой, неустойчивой или безразличной. Внизу на рисунках 25.2 а-в показаны схематические аналоги устойчивой, неустойчивой и безразличной систем. 132 Потеря устойчивости делится на 2 рода. Потеря устойчивости первого рода связана с появлением нового вида деформации и характеризуется нарушением равновесия между нагрузкой и внутренними усилиями. Она может быть трех типов: – потеря устойчивости центрального сжатия (рис. 25.2 б); – потеря устойчивости симметричной формы деформации (рис. 25.3 а, б); – потеря устойчивости плоской деформации (рис. 25.3 в). Рис. 25.3 Потеря устойчивости второго рода наблюдается при потере несущей способности всего сооружения и характеризуется резким возрастанием предыдущих деформаций. В этом случае равновесие между нагрузкой и внутренними усилиями нарушается даже без появления новых видов деформаций (рис. 25.4 а-в): Рис. 25.4 3. Задачи и методы расчета на устойчивость Основной задачей теории устойчивости является определение критической силы Pкр. Поскольку потерявшее устойчивость сооружение обычно непригодно для дальнейшей эксплуатации, определять форму потери устойчивости сооружения во многих случаях не требуется. Если на систему действует несколько сил (рис. 25.5 а), определять их критические значения одновременно довольно трудно. Поэтому одну из сил (обычно наибольшую) принимают за основную, а остальные выражают через нее (рис. 25.5 б). Тогда вместо определения нескольких критических сил можно определять только одну (наибольшую). 133 Рис. 25.5 Расчет на устойчивость можно вести тремя методами: статическим, энергетическим и динамическим. Статический метод основан на составлении уравнений статики. Он базируется на критерии Эйлера: критической силой является наименьшая сила, способная вызвать потерю устойчивости сооружения. Алгоритм статического метода состоит из трех этапов: – задать системе малые перемещения; – составить уравнения равновесия внешних и внутренних сил; – из этих уравнений определить критическую силу. Энергетический метод основан на исследовании полной потенциальной энергии системы и базируется на энергетическом критерии: критической является сила, при которой приращение работы внешних сил равно приращению работы внутренних сил, т.е. когда δW=δV. Алгоритм энергического метода состоит из трех этапов: – задать системе малые перемещения; – определить приращения работ внешних и внутренних сил; – из условия их равенства определить критическую силу. Динамический метод основан на изучении колебаний системы. Он базируется на динамическом критерии: критической является сила, при которой частота собственных колебаний системы равняется нулю. Алгоритм динамического метода также состоит из трех этапов: – задать системе малые перемещения; – записать уравнение движения системы; – из условия равенства нулю частоты собственных колебаний системы определить критическую силу. 4. Расчет прямых стержней на устойчивость Рассмотрим прямой стержень, сжимаемый вдоль оси продольной силой P (рис. 25.2 а). Изгиб, возникающий при этом, часто называется продольным изгибом. При достижении этой силы некоторого предельного значения Pкр стержень теряет устойчивость первого рода. Его расчет будем вести методом начальных параметров, позволяющим рассматривать различным образом закрепленные по концам стержни по единой методике. 134 Метод начальных параметров основан на использовании четырех начальных параметров, зависящих от условий закрепления концов стержня: y (0 ) = y0 – начальное перемещение, y′(0 ) = y0′ – начальный поворот, M (0 ) = M 0 – начальный момент, Q(0 ) = Q0 – начальная поперечная сила, которые позволяют определять полное напряженно-деформированное состояние стержня. Например, перемещения и моменты в произвольном сечении стержня x определяются по следующим формулам sinα x cosα x − 1 sinα x − α x y0′ + M Q0 ; + α α 2 EI α 3 EI sinα x M (x) = EIα sinα x ⋅ y0′ + cosα x M 0 + Q0 , α где величина P α= EI называется параметром устойчивости. Аналогичные формулы получаются и для величин y′(x ), Q (x) . Не приводя сами расчеты, приведем результаты определения критических сил Pкр четырех различных стержней жесткости EI и длины l, сжатых продольной силой P (рис. 25.6). y (x ) = y0 + Pкр = π 2 EI ⋅ ; 4 l2 Pкр = 2π 2 ⋅ EI ; l2 Pкр = 4π 2 ⋅ EI ; l2 Pкр = π 2 ⋅ EI . l2 Рис. 25.6 Эти результаты показывают, что стержень со свободным концом (случай «а») воспринимает наименьшую нагрузку, и поэтому является 135 наиболее неустойчивым. Поэтому в сооружении нецелесообразно использование консольных элементов. Если у стержня защемлены оба конца (случай «в»), он воспринимает наибольшую (в четыре раза большую, чем шарнирно-опертая балка) нагрузку. Поэтому для устойчивости сооружения швы по концам колонн, применяемых при его строительстве, необходимо заливать бетоном (строительным раствором). Шарнирно-опертая балка, а также критическая сила, определенная для нее, обычно рассматривается как основной случай расчета таких балок. Тогда критические силы для остальных случаев можно выразить через эту критическую силу по формуле, введенной Эйлером: 2 ⎛ π ⎞ EI Pх = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 2 . ⎝μ⎠ l Величина μ в этой формуле, учитывающая условия закрепления стержня, носит название коэффициента приведения длины и используется для приведения длины балки к основному случаю (к шарнирно-опертой балке). Ниже в табл. 3 даны различные варианты закрепления стержней и соответствующие коэффициенты приведения их длины. Таблица 3 Коэффициенты приведения длины сжато-изогнутых стержней 136 РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 1. Основные положения Расчетные схемы большинства сооружений, в частности многопролетных и многоэтажных рам, являются статически неопределимыми. Для их расчета обычно используются методы сил и перемещений. Однако расчет рам на устойчивость методом сил вызывает значительные трудности. Поэтому рассмотрим использование метода перемещений. Как известно, основной задачей расчета рам является определение их напряженно-деформированного состояния и последующая проверка условий прочности и жесткости. Иногда ограничиться только этим нельзя, т.к. могут возникать большие сжимающие усилия, приводящие к потере устойчивости сжатых элементов или всей рамы. К примеру, расчет рамы на рис. 26.1 а на внешнюю нагрузку показывает, что в ее стержнях возникают сжимающие усилия (рис. 26.1 б). Они могут привести и к потере устойчивости рамы. Поэтому становится очевидным необходимость проверки рамы на устойчивость от действия этих сил (рис. 26.1 в). В некоторых случаях могут возникать задачи расчета на устойчивость и при узловом воздействии нагрузки (рис. 26.1 г). Рис. 26.1 Задача расчета на устойчивость в такой постановке не совсем корректна, так как учитывает только потерю устойчивости первого рода. В действительности, уже до его достижения может произойти потеря устойчивости второго рода. Но тем не менее, здесь мы будем рассматривать только упругую область работы материала и не будем касаться потери устойчивости второго рода. Допустим, надо рассчитать раму на рис. 26.1 г. Если внешние силы меньше их критических значений, т.е. P 1 < P 1 кр и P 2 < P 2 кр , рама устойчивости не теряет. В этом случае возникают только продольные усилия, изгибающие моменты и поперечные силы будут отсутствовать. 137 Если эти силы достигнут критических значений, т.е. P 1 = P 1 кр и P 2 = P 2 кр , рама будет находиться в безразличном состоянии в условиях равновесия. Однако, даже при небольших отклонениях, появятся моменты и поперечные силы, которые будут оказывать влияние на устойчивое состояние рамы. Если же силы превысят их критические значения, т.е. P 1 > P 1 кр и P 2 > P 2 кр , то рама потеряет устойчивость. При расчете статически неопределимых систем методом перемещений принимаются следующие гипотезы: – силы прилагаются только в узлах; – сжимающие силы действуют только по осям стержней; – при потере устойчивости деформации остаются в упругой области; – из-за малости деформаций расстояния между узлами не меняются. Эти гипотезы позволяют вести расчет рам на устойчивость по единой методике. При этом алгоритм метода перемещений существенно меняется. 2. Единичные состояния элементов основной системы В единичных состояниях элементов основной системы метода перемещений требуется определить реакции и внутренние усилия в сжатых элементах. Эти задачи будем решать методом начальных параметров. Пусть требуется определить опорные реакции и внутренние усилия защемленного с обоих концов стержня, один конец которого получает поворот на единичный угол (рис. 26.2). Рис. 26.2 В выбранной системе координат xOy определим граничные условия закрепления балки: при x = 0: y (0 ) = y0 = 0 , y′(0 ) = y0′ = ϕ = 1; при x = l: y (l ) = 0, y′(l ) = 0 . Два начальных параметра нашлись сразу из граничных условий при x = 0 . Два других определяются по граничным условиям при x = l . Например, получаем EI v (tgv − v) M 0 = 4 ⋅ ϕ1(v) , где ϕ1(v)= . v v l 8tgv (tg − ) 2 2 По формуле для момента, приведенной в прошлой лекции, определим 138 момент и на правом конце стержня: EI v (v − sinv) M (l ) = 2 ⋅ ϕ 2 (v) , где ϕ 2 (v)= . v v l 4 sinv (tg − ) 2 2 Следует заметить, что перед моментами M0 и M(l) стоят коэффициенты, совпадающие с аналогичными моментами в левом и правом концах стержня в обычной таблице метода перемещений. Следовательно, присутствующие здесь функции ϕ1 (v ), ϕ 2 (v) учитывают особенность задачи − продольный изгиб стержня от действия осевой сжимающей силы. Аналогично этому рассматриваются и другие единичные состояния стержней с другими закреплениями по концам. В табл. 4 даются результаты этих вычислений. В отличие от обычной таблицы, ее называют специальной таблицей метода перемещений. Таблица 4 Реакции сжато-изогнутых стержней от единичных перемещений 139 Данная таблица широко используется при расчете рам и балок на устойчивость. Имеющиеся здесь шесть функций ϕ1 (v ),..., ϕ 6 (v) , две из которых приведены выше, обычно подсчитываются в табличной форме. Рассмотрим небольшой пример расчета рамы (рис. 26.3 а) на устойчивость. Число ее неизвестных по методу перемещений n = 1 . Выберем основную систему и построим в ней эпюру продольных сил N 0 (рис. 26.3 б, в). Параметры устойчивости стержней равны v1 = v2 = 0 , v3 = 3 P EI . Каноническое уравнение будет r11Z1 = 0 . Т.к. внешняя нагрузка до момента потери устойчивости не вызывает изгиба элементов, то в нем R1P = 0 . Рис. 26.3 Из канонического уравнения следует: 1) Z1 = 0 или 2) r11 = 0 . Так как первое условие дает завышенное значение критической силы, рассмотрим только второе условие, которое называется уравнением устойчивости. Далее рассмотрим единичное состояние основной системы (рис. 26.4 а) и построим эпюру изгибающих моментов (рис. 26.4 б). При этом надо помнить, что в стержне 3 имеется сжимающее усилие (рис. 26.3 в), и поэтому эпюра изгибающих моментов для него строится по специальной таблице метода перемещений (табл. 4), а в стержнях 1 и 2 сжимающих сил нет, поэтому эпюры строятся по обычной таблице (табл. 2). Рис. 26.4 140 Из уравнения устойчивости и рис. 26.4 в имеем r11 = [1 + ϕ5 (v3 ) ] EI 33 = 0 . Отсюда следует 1 + ϕ5 (v3 ) = 0 или ϕ5 (v3 ) = − 1. По таблице для функции ϕ5 (v) определяем, что v3 = 2,2 . Окончательно получаем 2 Pкр = vкр EI 3 2 = 0,54 EI . На основе решенной задачи определим алгоритм расчета рам на устойчивость методом перемещений: 1. Определение числа неизвестных. 2. Выбор основной системы. 3. Построение эпюры продольных сил N 0 в основной системе. 4. Определение параметров устойчивости стержней. 5. Запись системы канонических уравнений и уравнения устойчивости. 6. Рассмотрение единичных состояний основной системы. 7. Построение единичных эпюр изгибающих моментов. 8. Определение коэффициентов канонических уравнений. 10. Определение критических сил. 141