Уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве; уравнения плоскости в пространстве

Чернышева Л.Р. ИжГТУ ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕКТЫ. Содержание. 1. Уравнения прямой линии на плоскости. 2. Уравнения плоскости в пространстве. 3. Уравнения прямой линии в пространстве. П1. Уравнения прямой линии на плоскости. Определение. Прямой на плоскости называется геометрическое место точек удовлетворяющих уравнению (1) y  kx  b , где k - угловой коэффициент этой прямой и равен k  tg α , b - величина отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Оу, начиная от начала координат, α называется углом наклона прямой к оси Ох, это наименьший положительный угол 0  α  π  , на который надо повернуть против часовой стрелки ось Ох до совмещения с прямой. Если прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней, то ее угол наклона будем считать равным нулю. у Заметим, что если угол наклона прямой к оси Ох острый, то k > 0, если тупой, то k < 0. Для прямой, параллельной оси Ох, k = 0, а для прямой, перпендикулярной оси Ох, угловой коэффициент не существует. α α x Рис. 1 1 Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.  (рис. 2). Возьмем на прямой 2 произвольную точку M ( x; y ) . Если провести прямые M 1 N и Пусть прямая проходит через точку M 1 ( x1 ; y1 ) и образует с осью Ох угол   у М у М1 MN , параллельные треугольник M1NM . α образуется прямоугольный Ясно, что M1N  x  x1 , N M  y  y1 . b α то N M  tg   M 1 N , N у1 осям, Отсюда (вспоминая, что tg  = k ) получим искомое уравнение: x   y  y1  k x  x1 . x x1 Рис. 2 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Теорема. Пусть даны две точки M 1 ( x1 ; y1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ) и x1  x2 , y1  y2 . Уравнение прямой, проходящей через эти точки, будет иметь вид: x  x1 y  y1 . (3)  x2  x1 y2  y1 1 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Замечание. Записывая это же уравнение в форме  y  y1 x2  x1   x  x1  y2  y1 , нетрудно установить, что если у1 = у2, то уравнение искомой прямой, параллельной оси Ох, будет y  y1 . (3.1) Если х2 = х1, то прямая параллельна оси Оу и ее уравнение x  x1 . (3.2) Уравнение прямой в отрезках. Теорема. Уравнение прямой, проходящей через точки А(а; 0) и В(0 ; b), будет иметь вид: x y   1. a b (4) Доказательство. Найдем уравнение прямой, отсекающей на оси Ох отрезок величины а (а ≠ 0), а на оси Оу – отрезок личины b, b ≠ 0. Используя (3), уравнение прямой, проходящей через точки у x a y 0 А(а; 0) и В(0 ; b) (рис. 13), запишем в виде  . 0 a b 0 В(0; b) или после преобразований b А(а; 0) a Рис.3 x y   1. a b Уравнение (4) называется уравнением прямой в отрезках. x В этом уравнении х и у – текущие координаты, а и b – параметры. Заметим, что это уравнение удобно использовать для геометрического построения прямой. Уравнение прямой в полярных координтах. Зададим на плоскости согласованные декартову и полярную системы координат. Начало О декартовой системы координат поместим в полюсе, а положительную у полуось Ох примем за полярную ось. Пусть дана какая-нибудь прямая, не проходящая через полюс О (рис. 4). Проведем из полюса луч ON, перпендикулярный данной прямой. Пусть α – угол между полярной осью Ох и лучом ON, N p – расстояние от полюса О до данной прямой, р = | ON |. p Выведем уравнение данной прямой, считая известными M(r; )  величины α и р. Пусть М(r ; ) – произвольная точка данной r α  прямой. Из прямоугольного треугольника ONM имеем: r cos    p . (5) x Уравнение (5) называется уравнением прямой в полярных Рис. 4 координатах. Нормальное уравнение прямой. Теорема. Пусть α угол наклона нормали ON (рис. 4) к оси абсцисс, а р – расстояние от начала О до заданной прямой, тогда уравнение прямой имеет вид: x cosα  y sin α  p  0 . (6) Доказательство. Перепишем уравнение (5) в виде r coscosα  r sin sin α  p  0 . Отсюда, учитывая зависимость между декартовыми и полярными координатами точки, получим уравнение (6). Следствие. Пусть α и β – углы наклона нормали ON к осям абсцисс и ординат, а р – расстояние от начала О до заданной прямой, тогда уравнение прямой имеет вид: x cosα  y cosβ  p  0 . (7) Уравнение (7) называется нормальным уравнением прямой. 2 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Общее уравнение прямой. Теорема. Каждое уравнение первой степени относительно x и y вида Ax  By  C  0 , (8) где А и В – коэффициенты, одновременно не равные нулю, определяет в декартовой прямоугольной системе координат некоторую прямую. Доказательство. Рассмотрим возможные случаи. 1) А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0. Разделив все члены уравнения на В и определяя из него y, запишем уравнение (8) в виде y C A C A x  . Обозначая k   , b   , получим уравнение y  kx  b . Это уравнение прямой с B B B B угловым коэффициентом (1). 2) В ≠ 0, С ≠ 0, А = 0. В этом случае уравнение принимает вид By  C  0 , или y  b . Это уравнение прямой, параллельной оси Ox вида (3.1), отсекающей на оси ординат отрезок, величина которого равна b , где b   C . B 3) А ≠ 0, С ≠ 0, В = 0. Уравнение (8) принимает вид Ax  C  0 , или x  a . Это уравнение прямой, параллельной оси Oy вида (3.2), отсекающей от оси абсцисс отрезок, величина которого равна a , где a   4) А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0. Уравнение (8) имеет вид Ax  By  0 , или y  kx , где k   C . A A . Это уравнение прямой, B проходящей через начало координат (1) . 5) А ≠ 0, В = 0, С = 0. Уравнение имеет вид x  0 . Это – уравнение оси ординат. 6) В ≠ 0, А = 0, С = 0. Уравнение имеет вид y  0 . Это – уравнение оси абсцисс. Таким образом, во всех случаях уравнение Ax  By  C  0 является уравнением прямой линии. Тем самым теорема доказана. Уравнение (8), где А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой. Приведение общего уравнения прямой к нормальному уравнению. Если дано общее уравнение прямой (8), то его можно привести к виду нормального уравнения (7) умножением на нормирующий множитель 1 , (9) μ  2 A  B2 где знак перед квадратным корнем выбирается противоположным знаку коэффициента С общего уравнения. Каноническое уравнение прямой. L М M1 a Определение. Ненулевой вектор q   l ; m  , коллинеарный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой (рис. 5). Теорема. Прямая, проходящая через заданную точку M 1 ( x1 ; y1 ) и коллинеарная вектору q   l ; m  , задается уравнением x  x1 y  y1 Рис. 5 . (10)  l m 7 Доказательство. Произвольная точка M ( x; y ) лежит на прямой L только в том случае, если векторы M1M   x  x1 ; y  y1  и q   l ; m  коллинеарны, т. е. когда координаты этих векторов пропорциональны: x  x1 y  y1 .  l m Определение. Уравнение вида (10) называется каноническим уравнением прямой. 3 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Параметрическое уравнение прямой. Определение. Параметрическим уравнением прямой x  x1 y  y1 называется система уравнений  l m  x  x1  lt , где t - параметр.   y  y1  mt (11) Замечание. Параметрическое уравнение прямой в пространстве получается из канонического уравнения (10) этой прямой, если каждое из отношений (10) примем за параметр t : x  x1 y  y1   t , где   t   . l m Расстояние от точки до прямой Определение. Расстоянием d от данной точки M 0 ( x0 ; y0 ) до прямой L называется длина перпендикуляра, опущенного из M 0 на L (рис. 6). Теорема. Расстояние d от данной точки M 0 ( x0 ; y0 ) до прямой L заданной нормальным уравнением x cosα  y cosβ  p  0 равно d  | x0 cos α  y0 cosβ  p | (12) Если прямая L задана общим уравнением Ax  By  C  0 , то d Ax0  By0  C A2  B 2 . (13) Чтобы найти расстояние от данной точки до данной прямой, надо уравнение прямой привести к нормальному виду, вместо текущих координат подставить в левую часть уравнения координаты данной точки и взять по абсолютной величине полученный результат. П2. Уравнения плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Определение. Перпендикулярный плоскости вектор n  ( А; В; С ) называется нормальным вектором этой плоскости. Теорема. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , перпендикулярно данному вектору n  ( А; В; С ) имеет вид A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 Доказательство. Рассмотрим произвольную точку n вектору n (рис. 1). Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: n  M 0 M  0 . Запишем это равенство в координатной форме A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 . М0 у x Рис. 1 этой плоскости. Так как вектор M 0 M  ( x  x0 ; y  y0 ; z  z0 ) лежит в плоскости, то он перпендикулярен z М M ( x; y; z ) (1) Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (1) различные значения, мы можем получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) . 4 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Общее уравнение плоскости. Определение. Уравнение Ax  By  Cz  D  0 (2) называется общим уравнением плоскости, где n  ( А; В; С ) - нормальный вектор этой плоскости. Неполные уравнения плоскости. Определение. Общее уравнение (2) называется полным, если все коэффициенты его A, B, C, D отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение (2) называется неполным. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений. 1) D = 0; уравнение Ax  By  Cz  0 определяет плоскость, проходящую через начало координат (поскольку координаты x  0 , y  0 , z  0 начала О удовлетворяют этому уравнению). 2) A = 0; уравнение By  Cz  D  0 определяет плоскость, параллельную оси Ox (поскольку нормальный вектор этой плоскости n  0; B; C  перпендикулярен оси Ox). Аналогично уравнение Ax  Cz  D  0  B  0  определяет плоскость, параллельную оси Oy , а уравнение Ax  By  D  0  C  0  – плоскость, параллельную оси Oz. 3) A  0 , B  0 ; уравнение Cz  D  0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oxy (ибо эта плоскость параллельна осям Ox и Oy). Аналогично уравнение By  D  0 ( A  0 , C  0 ) определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oxz, а уравнение Ax  D  0 ( B  0 , C  0 ) – плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz. 4) A  0 , B  0 , D  0 ; уравнение Cz  0 , или z  0 , определяет координатную плоскость Oxy (так как плоскость z  0 параллельна координатной плоскости Oxy и проходит через начало координат). Аналогично уравнение y  0 ( A  0 , C  0 , D  0 ) определяет координатную плоскость Oхz, а уравнение x  0 ( B  0 , C  0 , D  0 ) – координатную плоскость Oyz. Уравнение плоскости в отрезках на осях. x  a Определение. Уравнение y  b z  1. c (3) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. При этом a, b, c есть величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy и Oz соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат, см. рис.2). Замечание. Рассмотрим полное уравнение (2). Так как в таком уравнении ни один из коэффициентов A, B, C, D не равен нулю, то его можно переписать в виде z x D  A c b a 0 x Рис. 2 у y D  B  Полагая x  a  для y  b z D  C  1. краткости  D D D  a,   b,   c , получаем: A B C z  1. c В самом деле, точка пересечения плоскости с осью Ox определяется из уравнения этой плоскости (3) при дополнительном условии y  0 , z  0 . Отсюда находим x  a , и, таким образом, величина отрезка, отсекаемого плоскостью (3) на оси Ox, равна a. Аналогично устанавливается, что отрезки, отсекаемые плоскостью (3) на осях Oy и Oz, имеют величины, равные соответственно b и c. 5 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой. Теорема. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки М 1 ( х1 ; у1 ; z1 ) , М 2 ( х2 ; у2 ; z2 ) и М 3 ( х3 ; у3 ; z3 ) , не лежащие на одной прямой, имеет вид: x  x1 x 2  x1 x 3  x1 y  y1 y 2  y1 y 3  y1 z  z1 z 2  z1 z 3  z1  0. (4) Доказательство. Пусть искомая плоскость проходит через три различные точки М 1 ( х1 ; у1 ; z1 ) , М 2 ( х2 ; у2 ; z2 ) и М 3 ( х3 ; у3 ; z3 ) , не лежащие на одной прямой. Тогда векторы M1M 2   x2  x1 ; y2  y1 ; z2  z1  и M1M 3   x3  x1 ; y3  y1 ; z3  z1  не коллинеарны, а поэтому произвольная точка M ( x; y; z ) лежит в одной плоскости с точками М1, М2 и М3 тогда и только тогда, когда векторы M1M 2 , M 1M 3 и M1M   x  x1 ; y  y1 ; z  z1  компланарны, т. е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю. Используя выражение смешанного произведения трех векторов в координатной форме, получим уравнение искомой плоскости в виде определителя x  x1 x 2  x1 x 3  x1 y  y1 y 2  y1 y 3  y1 z  z1 z 2  z1 z 3  z1  0. Следствие1. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки М 1 ( х1 ; у1 ; z1 ) и М 2 ( х2 ; у2 ; z2 ) параллельно вектору q   k; l ; m  , имеет вид: x  x1 x2  x1 k Следствие2. Уравнение плоскости, y  y1 y2  y1 l проходящей z  z1 z2  z1 m через  0. точку (4.1) М 1 ( х1 ; у1 ; z1 ) параллельно двум некомпланарным векторам q1   k1 ; l1 ; m1  и q 2   k2 ; l2 ; m2  , имеет вид: x  x1 k1 k2 y  y1 l1 l2 z  z1 m1  0. m2 (4.2) Нормальное уравнение плоскости. Теорема. Пусть n0   cos α,cos β,cos γ  - орт нормального вектора плоскости, p - расстояние от плоскости до начала координат. Тогда уравнение плоскости имеет вид x cos   y cos   z cos   p  0 (5) Доказательство. Пусть задана прямоугольная система координат оси xyz и произвольная плоскость  . Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости  (рис 3). Будем называть ее нормалью. Обозначим через точку P , точку в которой нормаль пересекает плоскость  . На нормали введем направление от точки O к точке P . Если точка O и точка P совпадают, то возьмем любое из двух направлений на нормали. Пусть α, β , γ – углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат, p - длина отрезка OP . Введем уравнение данной плоскости  , считая известными числами cos α,cos β,cos γ и p . Для этого введем единичный вектор n 0 на нормали, направление которое совпадает с Рис. 3 положительным направлением нормали. Т.к. n 0 –единичный вектор, то n0   cos α,cos β,cos γ  .Пусть M x, y, z  -произвольная точка. На лежит на плоскости  тогда и только тогда, когда проекция вектора OM на нормаль равна p , т.е. прn0 OM  p (5.1). 6 Чернышева Л.Р. Заметим, что прn0 OM  n  OM и OM   x, y, z  . Из этого следует следующее ИжГТУ прn0 OM  n0  OM  x cos α  y cos β  z cos γ (5.2). Из равенств (5.1) и (5.2) получаем, что точка M x, y, z  лежит на плоскости  тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению x cos   y cos   z cos   p  0 , которое и является искомым уравнением данной плоскости. Определение. Уравнение (5) называется нормальным уравнением плоскости. Замечание1. Нормальное уравнение плоскости в векторной форме имеет вид r  n0  p  0 , (6) где n 0 - единичный вектор нормали, а p - расстояние от начала координат до плоскости. Замечание2. Нормальное уравнение плоскости (5) может быть получено из общего уравнения плоскости (2) путем умножения его на нормирующий множитель 1 , (знаки  и D противоположны). (7)   2 A  B2  C 2 Расстояние от точки до плоскости. Теорема. Расстояние d от точки М 0 ( х0 ; у0 ; z0 ) до плоскости  , заданной общим уравнением Ax0  By0  Cz0  D (8) Ax  By  Cz  D  0 , равно d  ρM0,π  . A2  B 2  C 2 Доказательство. Найдем расстояние d от точки М 0 ( х0 ; у0 ; z0 ) до плоскости  (рис. 4), заданной общим уравнением Ax  By  Cz  D  0 . Пусть М1 ( х1 ; у1 ; z1 ) есть проекция точки М 0 на плоскость  . Введем вектор M 1M 0   x0  x1 ; y0  y1 ; z0  z1  , тогда d  M 1M 0  пр n M 1M 0  М0 d n Координаты x1 , y1 , z1 точки M1 должны удовлетворять уравнению плоскости, отсюда  Ax1  By1  Cz1  D . Следовательно, d  A  x0  x1   B  y0  y1   C  z0  z1  n  M 1M 0  . |n| A2  B 2  C 2 Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 . М1 Рис. 4 6 Следствие. Расстояние d от точки М 0 ( х0 ; у0 ; z0 ) до плоскости  , заданной нормальным уравнением x0 cos α  y0 cos β  z0 cos γ  p  0 , равно d  ρ  M 0 , π   x0 cos α  y0 cos β  z0 cos γ  p . (9) П3 Уравнения прямой линии в пространстве. Определение. Общим уравнением прямой называется система двух уравнений первой степени  A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 ,   A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 . 7 (1) Чернышева Л.Р. ИжГТУ Каждое из уравнений этой системы является уравнением плоскости. Если эти плоскости не параллельны (т. е. их нормальные векторы не коллинеарны), то система (1) определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей. Определение. Ненулевой вектор q   l ; m ; n  , коллинеарный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой. Теорема. Прямая, проходящая через заданную точку М 1 ( х1 ; у1 ; z1 ) и коллинеарная вектору q   l ; m ; n  , x  x1 y  y1 z  z1 (2)   . l m n Доказательство. Произвольная точка M(x; y; z) лежит на прямой L только в том случае, если векторы M1M   x  x1 ; y  y1 ; z  z1  и q   l ; m ; n  коллинеарны, т. е. когда координаты этих векторов задается уравнением x  x1 y  y1 z  z1   . l m n Определение. Уравнение вида (2) называется каноническим уравнением прямой. пропорциональны: Замечание 1. Так как вектор q – ненулевой, то все три числа l, m и n не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. Замечание 2. Общее уравнение прямой (1) можно привести к каноническому уравнению (2). Для этого достаточно найти: 1) хотя бы одну точку М 1 ( х1 ; у1 ; z1 ) , координаты которой удовлетворяют системе (1); 2) направляющий вектор q   l ; m ; n  , в качестве которого можно взять векторное произведение q  n1  n2 , где n1   A1 ; B1 ; C1  , n2   A2 ; B2 ; C2  . Теорема. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки М 1 ( х1 ; у1 ; z1 ) и М 2 ( х2 ; у2 ; z2 ) имеет вид: x  x1 x2  x1  y  y1 z  z1  . y2  y1 z2  z1 (3) Доказательство. Для получения их достаточно заметить, что прямая проходит через точку М1(х1; у1; z1) и имеет направляющий вектор q  M1M 2   x2  x1 ; y2  y1 ; z2  z1  , и воспользоваться каноническими уравнениями (5.22). Определение. Параметрическим уравнением прямой x  x1 y  y1 z  z1 называется система уравнений   l m n  x  x1  lt   y  y1  mt , где t - параметр.  z  z  nt 1  (4) Замечание 3. Параметрическое уравнение прямой в пространстве получается из канонического уравнения (2) этой прямой. Примем за параметр t каждое из отношений (2). Тогда x  x1 y  y1 z  z1 (4.1)   t . l m n Так как хотя бы один из знаменателей (4.1) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра t является вся числовая ось:   t   . Из равенств (4.1) находим  x  x1  lt   y  y1  mt .  z  z  nt 1  Замечание 4. Параметрическое уравнение (4) удобно воспользоваться когда требуется найти точку пересечения прямой L, заданной этим уравнением, с непараллельной ей плоскостью P, заданной общим 8 Чернышева Л.Р. ИжГТУ уравнением Ax  By  Cz  D  0 . Для определения точки пересечения нужно выражения для x, y, z из уравнений (4) подставить в уравнение плоскости P. В результате очевидных преобразований получим Ax  By1  Cz1  D t  1 . Al  Bm  Cn Подставляя найденное значение параметра t в уравнения прямой (5.29), находим искомую точку М ( х; у; z ) пересечения прямой L с плоскостью P. 9