Управление системами и процессами

Управление системами и процессами Конспект лекций 1.1. Общие понятия Управление каким-либо объектом (объект управления будем обозначать ОУ) есть воздействие на него в целях достижения требуемых состояний или процессов. В качестве ОУ может служить самолет, станок, электродвигатель и т.п. Управление объектом с помощью технических средств без участия человека называется автоматическим управлением​. Совокупность ОУ и средств автоматического управления называется ​системой автоматического управления (САУ).​ Основной задачей автоматического управления является поддержание определенного закона изменения одной или нескольких физических величин, характеризующих процессы, протекающие в ОУ, без непосредственного участия человека. Эти величины называются ​управляемыми величинами​. Если в качестве ОУ рассматривается хлебопекарная печь, то управляемой величиной будет температура, которая должна изменяться по заданной программе в соответствии с требованиями технологического процесса. 1.2. Фундаментальные принципы управления Принято различать три фундаментальных принципа управления: ​принцип разомкнутого управления, принцип компенсации, принцип обратной связи​. 1.2.1. Принцип разомкнутого управления Рассмотрим САУ хлебопекарной печи (рис.1). Ее ​принципиальная схема ​показывает принцип действия данной конкретной САУ, состоящей из конкретных технических устройств. Принципиальные схемы могут быть электрическими, гидравлическими, кинематическими и т.п. Технология выпечки требует изменения температуры в печи по заданной программе, в частном случае требуется поддержание постоянной температуры. Для этого надо реостатом регулировать напряжение на нагревательном элементе НЭ. Подобная часть ОУ, с помощью которой можно изменять параметры управляемого процесса называется ​управляющим органом ​объекта (УО). Это может быть реостат, вентиль, заслонка и т.п. Часть ОУ, которая преобразует управляемую величину в пропорциональную ей величину, удобную для использования в САУ, называют ​чувствительным элементом ​(ЧЭ). Физическую величину на выходе ЧЭ называют выходной величиной ОУ. Как правило, это электрический сигнал (ток, напряжение) или механическое перемещение. В качестве ЧЭ могут использоваться термопары, тахометры, рычаги, электрические мосты, датчики давления, деформации, положения и т.п. В нашем случае это термопара, на выходе которой формируется напряжение, пропорциональное температуре в печи, подаваемое на измерительный прибор ИП для контроля. Физическую величину на входе управляющего органа ОУ называют​входной величиной​ОУ. Управляющее воздействие u(t) - это воздействие, прикладываемое к УО объекта с целью поддержания требуемых значений управляемой величины. Оно формируется устройством управления (УУ). Ядром УУ является ​исполнительный элемент​, в качестве которого может использоваться электрические или поршневые двигатели, мембраны, электромагниты и т.п. Задающим устройством (ЗУ) называется устройство, задающее программу изменения управляющего воздействия, то есть формирующее ​задающий сигнал u​о​(t)​. В простейшем случае ​u​о​(t)=const​. ЗУ может быть выполнено в виде отдельного устройства, быть встроенным в УУ или же вообще отсутствовать. В качестве ЗУ может выступать кулачковый механизм, магнитофонная лента, маятник в часах, задающий профиль и т.п. Роль УУ и ЗУ может исполнять человек. Однако это уже не САУ. В нашем примере УУ является кулачковый механизм, перемещающий движок реостата согласно программе, которая задается профилем кулачка. Рассмотренную САУ можно представить в виде ​функциональной схемы​, элементы которой называются ​функциональными звеньями​. Эти звенья изображаются прямоугольниками, в которых записывается функция преобразования входной величины в выходную (рис.2). Эти величины могут иметь одинаковую или различную природу, например, входное и выходное электрическое напряжение, или электрическое напряжение на входе и скорость механического перемещения на выходе и т.п. Величина ​f(t)​, подаваемая на второй вход звена, называется возмущением.​ Она отражает влияние на выходную величину y(t) изменений окружающей среды, нагрузки и т.п. В общем случае функциональное звено может иметь несколько входов и выходов (рис.3). Здесь ​u​1​,u​2​,...,u​n - входные (управляющие) воздействия; f​1​,f​2​,...,f​m возмущающие воздействия; ​y​1​,y​2​,...,y​k​- выходные величины. Принцип работы функциональных звеньев может быть различным, поэтому функциональная схема не дает представление о принципе действия конкретной САУ, а показывает лишь пути прохождения и способы обработки и преобразования сигналов. ​Сигнал - это информационное понятие, соответствующее на принципиальной схеме физическим величинам. Пути его прохождения указываются направленными отрезками (рис.4). Точки разветвления сигнала называются ​узлами​. Сигнал определяется лишь формой изменения физической величины, он не имеет ни массы, ни энергии, поэтому в узлах он не делится, и по всем путям от узла идут одинаковые сигналы, равные сигналу, входящему в узел. Суммирование сигналов осуществляется в ​сумматоре​, вычитание - в ​сравнивающем устройстве.​ Рассмотренную САУ хлебопекарной печи можно изобразить функциональной схемой (рис.5). В данной схеме заложен ​принцип разомкнутого управления​, сущность которого состоит в том, что программа управления жестко задана ЗУ; управление не учитывает влияние возмущений на параметры процесса. Примерами систем, работающих по принципу разомкнутого управления, являются часы, магнитофон, компьютер и т.п. 1.2.2. Принцип компенсации Если возмущающий фактор искажает выходную величину до недопустимых пределов, то применяют ​принцип компенсации (рис.6, КУ - ​корректирующее устройство​). Пусть ​y​о - значение выходной величины, которое требуется обеспечить согласно программе. На самом деле из-за возмущения f на выходе регистрируется значение y​. Величина ​e = y​о - y называется ​отклонением от заданной величины.​ Если каким-то образом удается измерить величину ​f​, то можно откорректировать управляющее воздействие ​u на входе ОУ, суммируя сигнал УУ с корректирующим воздействием, пропорциональным возмущению ​f ​и компенсирующим его влияние. Примеры систем компенсации: биметаллический маятник в часах, компенсационная обмотка машины постоянного тока и т.п. На рис.6 в цепи НЭ стоит термосопротивление ​R​t​, величина которого меняется в зависимости от колебаний температуры окружающей среды, корректируя напряжение на НЭ. Достоинство принципа компенсации:​ быстрота реакции на возмущения. Он более точен, чем принцип разомкнутого управления. ​Недостаток​: невозможность учета подобным образом всех возможных возмущений. 1.2.3. Принцип обратной связи Наибольшее распространение в технике получил ​принцип обратной связи (рис.7). Здесь управляющее воздействие корректируется в зависимости от выходной величины ​y(t)​. И уже не важно, какие возмущения действуют на ОУ. Если значение y(t) отклоняется от требуемого, то происходит корректировка сигнала ​u(t) с целью уменьшения данного отклонения. Связь выхода ОУ с его входом называется главной обратной связью (ОС)​. В частном случае (рис.8) ЗУ формирует требуемое значение выходной величины y​о​(t)​, которое сравнивается с действительным значением на выходе САУ ​y(t)​. Отклонение ​e = y​о​-y с выхода сравнивающего устройства подается на вход регулятора Р, объединяющего в себе УУ, УО, ЧЭ.Если ​e 0​, то регулятор формирует управляющее воздействие ​u(t)​, действующее до тех пор, пока не обеспечится равенство ​e = 0​, или ​ y = y​о​. Так как на регулятор подается разность сигналов, то такая обратная связь называется ​отрицательной,​ в отличие от положительной обратной связи,​ когда сигналы складываются. Такое управление в функции отклонения называется ​регулированием,​ а подобную САУ называют ​системой автоматического регулирования​(САР). Так на рис.9 изображена упрощенная схема САР хлебопекарной печи. Роль ЗУ здесь выполняет потенциометр, напряжение на котором ​U​з сравнивается с напряжением на термопаре ​U​т​. Их разность U через усилитель подается на исполнительный двигатель ИД, регулирующий через редуктор положение движка реостата в цепи НЭ. Наличие усилителя говорит о том, что данная САР является системой непрямого регулирования​, так как энергия для функций управления берется от посторонних источников питания, в отличие от ​систем прямого регулирования​, в которых энергия берется непосредственно от ОУ, как, например, в САР уровня воды в баке (рис.10). Недостатком принципа обратной связи является инерционность системы. Поэтому часто применяют ​комбинацию данного принципа с принципом компенсации​, что позволяет объединить достоинства обоих принципов: быстроту реакции на возмущение принципа компенсации и точность регулирования независимо от природы возмущений принципа обратной связи. Вопросы 1. Что называется управлением? 2. Что называется автоматическим управлением? 3. Что называется системой автоматического управления? 4. Что является основной задачей автоматического управления? 5. Что называется объектом управления? 6. Что называется управляемой величиной? 7. Что называется управляющим органом? 8. Что называется чувствительным элементом? 9. Что такое входная и выходная величины? 10. Что называется управляющим воздействием? 11. Что называется возмущением? 12. Что называется отклонением от заданной величины? 13. Что называется управляющим устройством? 14. Что называется задающим устройством? 15. Что называется функциональной схемой и из чего она состоит? 16. В чем отличие сигнала от физической величины? 17. В чем суть принципа разомкнутого управления? 18. В чем суть принципа компенсации? 19. В чем суть принципа обратной связи? 20. Перечислите достоинства и недостатки принципов управления? 21. Какой частный случай управления называется регулированием? 22. В чем отличие систем прямого и непрямого регулирования? 2.1. Основные виды САУ В зависимости от принципа и закона функционирования ЗУ, задающего программу изменения выходной величины, различают основные виды САУ: ​системы стабилизации, программные, следящие и ​самонастраивающиеся с​истемы, среди которых можно выделить ​экстремальные, оптимальные​и ​адаптивные с​истемы. В системах стабилизации (рис.9,10) обеспечивается неизменное значение управляемой величины при всех видах возмущений, т.е. ​y(t) = const. ЗУ формирует эталонный сигнал, с которым сравнивается выходная величина. ЗУ, как правило, допускает настройку эталонного сигнала, что позволяет менять по желанию значение выходной величины. В ​программных системах о ​ беспечивается изменение управляемой величины в соответствии с программой, формируемой ЗУ. В качестве ЗУ может использоваться кулачковый механизм, устройство считывания с перфоленты или магнитной ленты и т.п. К этому виду САУ можно отнести заводные игрушки, магнитофоны, проигрыватели и т.п. Различают ​системы с временной программой (например, рис.1), обеспечивающие ​y = f(t)​ , и ​системы с пространственной программой,​ в которых ​y = f(x)​, применяемые там, где на выходе САУ важно получить требуемую траекторию в пространстве, например, в копировальном станке (рис.11), закон движения во времени здесь роли не играет. Следящие системы отличаются от программных лишь тем, что программа ​y = f(t) или ​ y= f(x) заранее неизвестна. В качестве ЗУ выступает устройство, следящее за изменением какого-либо внешнего параметра. Эти изменения и будут определять изменения выходной величины САУ. Например, рука робота, повторяющая движения руки человека. Все три рассмотренные вида САУ могут быть построены по любому из трех фундаментальных принципов управления. Для них характерно требование совпадения выходной величины с некоторым предписанным значением на входе САУ, которое само может меняться. То есть в любой момент времени требуемое значение выходной величины определено однозначно. В ​самонастраивающихся системах ЗУ ищет такое значение управляемой величины, которое в каком-то смысле является оптимальным. Так в ​экстремальных системах (​рис.12) требуется, чтобы выходная величина всегда принимала экстремальное значение из всех возможных, которое заранее не определено и может непредсказуемо изменяться. Для его поиска система выполняет небольшие пробные движения и анализирует реакцию выходной величины на эти пробы. После этого вырабатывается управляющее воздействие, приближающее выходную величину к экстремальному значению. Процесс повторяется непрерывно. Так как в данных САУ происходит непрерывная оценка выходного параметра, то они выполняются только в соответствии с третьим принципом управления: принципом обратной связи. Оптимальные системы являются более сложным вариантом экстремальных систем. Здесь происходит, как правило, сложная обработка информации о характере изменения выходных величин и возмущений, о характере влияния управляющих воздействий на выходные величины, может быть задействована теоретическая информация, информация эвристического характера и т.п. Поэтому основным отличием экстремальных систем является наличие ЭВМ. Эти системы могут работать в соответствии с любым из трех фундаментальных принципов управления. В ​адаптивных системах предусмотрена возможность автоматической перенастройки параметров или изменения принципиальной схемы САУ с целью приспособления к изменяющимся внешним условиям. В соответствии с этим различают самонастраивающиеся​и ​самоорганизующиеся а ​ даптивные системы. Все виды САУ обеспечивают совпадение выходной величины с требуемым значением. Отличие лишь в программе изменения требуемого значения. Поэтому основы ТАУ строятся на анализе самых простых систем: систем стабилизации. Научившись анализировать динамические свойства САУ, мы учтем все особенности более сложных видов САУ. 2.2. Статические характеристики Режим работы САУ, в котором управляемая величина и все промежуточные величины не изменяются во времени, называется ​установившимся​, или ​статическим режимом​. Любое звено и САУ в целом в данном режиме описывается ​уравнениями статики вида ​ y = F(u,f)​, в которых отсутствует время ​t​. Соответствующие им графики называются статическими характеристиками​. Статическая характеристика звена с одним входом u может быть представлена кривой ​y = F(u) (рис.13). Если звено имеет второй вход по возмущению f​, то статическая характеристика задается семейством кривых ​y = F(u) при различных значениях​f​, или ​y = F(f)​при различных ​u​. Так примером одного из функциональных звеньев системы регулирования воды в баке (см. выше) является обычный рычаг (рис.14). Уравнение статики для него имеет вид ​ y= Ku​. Его можно изобразить звеном, функцией которого является усиление (или ослабление) входного сигнала в ​K раз. Коэффициент K = y/u​, равный отношению выходной величины к входной называется ​коэффициентом усиления звена. Когда входная и выходная величины имеют разную природу, его называют ​коэффициентом передачи.​ Статическая характеристика данного звена имеет вид отрезка прямой линии с наклоном ​ a = arctg(L​2​/L​ 1​) = arctg(K) (рис.15). Звенья с линейными статическими характеристиками называются ​линейными​. Статические характеристики реальных звеньев, как правило, нелинейны. Такие звенья называются ​нелинейными​. Для них характерна зависимость коэффициента передачи от величины входного сигнала:​K = y/ u const​. Например, статическая характеристика насыщенного генератора постоянного тока представлена на рис.16. Обычно нелинейная характеристика не может быть выражена какой-либо математической зависимостью и ее приходится задавать таблично или графически. Зная статические характеристики отдельных звеньев, можно построить статическую характеристику САУ (рис.17, 18). Если все звенья САУ линейные, то САУ имеет линейную статическую характеристику и называется ​линейной​. Если хотя бы одно звено нелинейное, то САУ ​нелинейная​. Звенья, для которых можно задать статическую характеристику в виде жесткой функциональной зависимости выходной величины от входной, называются статическими​. Если такая связь отсутствует и каждому значению входной величины соответствует множество значений выходной величины, то такое звено называется астатическим​. Изображать его статическую характеристику бессмысленно. Примером астатического звена может служить двигатель, входной величиной которого является напряжение ​ U​, а выходной - угол поворота вала , величина которого при ​ U= const может принимать любые значения. Выходная величина астатического звена даже в установившемся режиме является функцией времени. 2.3. Статическое и астатическое регулирование Если на управляемый процесс действует возмущение ​f​, то важное значение имеет статическая характеристика САУ в форме ​y = F(f) при ​y​o = const​. Возможны два характерных вида этих характеристик (рис.19). В соответствии с тем, какая из двух характеристик свойственна для данной САУ, различают ​статическое и астатическое регулирование​. Рассмотрим систему регулирования уровня воды в баке (рис.20). Возмущающим фактора является поток ​Q воды из бака. Пусть при ​Q = 0 имеем ​y = y​o , ​e = 0​. ЗУ системы настраивается так, чтобы вода при этом не поступала. При ​Q 0​, уровень воды понижается (​e 0​), поплавок опускается и открывает заслонку, в бак начинает поступать вода. Новое состояние равновесия достигается при равенстве входящего и выходящего потоков воды. Но в любом случае при ​Q 0 заслонка должна быть обязательно открыта, что возможно только при ​e 0​. Причем, чем больше Q, тем при больших значениях e, устанавливается новое равновесное состояние. Статическая характеристика САУ имеет характерный наклон (рис.19б). Это есть пример ​статического регулирования​. Для получения статического регулирование, все звенья САР должны быть статическими. Статические регуляторы работают при обязательном отклонении ​e регулируемой величины от требуемого значения. Это отклонение тем больше, чем больше возмущение f​. Это заложено в принципе действия регулятора и не является его погрешностью, поэтому данное отклонение называется ​статической ошибкой регулятора​. Из рис.21 видно, что, чем больше коэффициент передачи регулятора ​K​р​, тем на большую величину откроется заслонка при одних и тех же значениях ​e​, обеспечив в установившемся режиме большую величину потока ​Q​. Это значит, что на статической характеристике одинаковым значениям e при больших ​K​р будут соответствовать большие значения возмущения ​Q​, статическая характеристика САУ пойдет более полого. Поэтому, ​чтобы уменьшить статическую ошибку надо увеличивать коэффициент передачи регулятора​. Того же результата можно добиться, увеличивая коэффициент передачи объекта управления, но это дело конструкторов, проектирующих данный объект, а не специалистов по автоматике. Статизм ​d​ , САР, характеризует насколько сильно значение регулируемой величины отклоняется от требуемого значения при действии возмущений, и равна тангенсу угла наклона статической характеристики, построенной в относительных единицах: ​d = tg(a) = (рис.22), где ​y = y​ - точка номинального режима САУ. При достаточно н​, f = f​ н ​ больших значениях ​K​p​имеем ​d 1/K​p​. В некоторых случаях статическая ошибка недопустима, тогда переходят к ​астатическому регулированию, при котором регулируемая величина в установившемся режиме принимает точно требуемое значение независимо от величины возмущающего фактора. Статическая характеристика астатической САУ не имеет наклона (рис.19в). Возможные неточности относятся к погрешностям конкретной системы и не являются закономерными. Для того, чтобы получить астатическое регулирование, необходимо в регулятор включить астатическое звено, например ИД, между ЧЭ и УО (рис.23). Если уровень воды понизится, то поплавок переместит движок потенциометра на величину L​, за счет этого появится разность потенциалов 0 и ИД начнет поднимать заслонку до тех пор, пока не уменьшится до нуля, а это возможно только при y = y​o . При поднятии уровня воды разность потенциалов сменит знак, и двигатель будет вращаться в противоположную сторону, опуская заслонку. Достоинства и недостатки статического и астатического регулирования​: статические регуляторы обладают статической ошибкой; астатические регуляторы статической ошибки не имеют, но они более инерционны, сложны конструктивно и более дороги. Обеспечение требуемой статической точности регулирования является первой основной задачей при расчете элементов САУ.​ Вопросы 1. 2. 3. 4. 5. Перечислите и дайте краткую характеристику основных видов САУ? Что называется статическим режимом САУ? Что называется статическими характеристиками САУ? Что называется уравнением статики САУ? Что называется коэффициентом передачи, в чем отличие от коэффициента усиления? 6. В чем отличие нелинейных звеньев от линейных? 7. Как построить статическую характеристику нескольких звеньев? 8. В чем отличие астатических звеньев от статических? 9. В чем отличие астатического регулирования от статического? 10. Как сделать статическую САР астатической? 11. Что называется статической ошибкой регулятора, как ее уменьшить? 12. Что называется статизмом САР? 13. Назовите достоинства и недостатки статического и астатического регулирования? 3.1. Динамический режим САУ. Уравнение динамики Установившийся режим не является характерным для САУ. Обычно на управляемый процесс действуют различные возмущения, отклоняющие управляемый параметр от заданной величины. Процесс установления требуемого значения управляемой величины называется регулированием.​ Ввиду инерционности звеньев регулирование не может осуществляться мгновенно. Рассмотрим САР, находящуюся в установившемся режиме, характеризующемся значением выходной величины ​y = y​ . Пусть в момент ​t = 0 на объект воздействовал какой o​ - либо возмущающий фактор, отклонив значение регулируемой величины. Через некоторое время регулятор вернет САР к первоначальному состоянию (с учетом статической точности) (рис.24). Если регулируемая величина изменяется во времени по апериодическому закону, то процесс регулирования называется ​апериодическим​. При резких возмущениях возможен ​колебательный затухающий процесс (рис.25а). Существует и такая вероятность, что после некоторого времени ​Т​р в системе установятся незатухающие колебания регулируемой величины - ​незатухающий колебательный процесс (рис.25б). Последний вид - ​расходящийся колебательный​процесс (рис.25в). Таким образом, основным режимом работы САУ считается ​динамический режим,​ характеризующийся протеканием в ней ​переходных процессов​. Поэтому ​второй основной задачей при разработке САУ является анализ динамических режимов работы САУ.​ Поведение САУ или любого ее звена в динамических режимах описывается ​уравнением динамики ​y(t) = F(u,f,t)​, описывающее изменение величин во времени. Как правило, это дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений. Поэтому основным методом исследования САУ в динамических режимах является метод решения дифференциальных уравнений.​ Порядок дифференциальных уравнений может быть довольно высоким, то есть зависимостью связаны как сами входные и выходные величины ​u(t), f(t), y(t)​, так и скорости их изменения, ускорения и т.д. Поэтому уравнение динамики в общем виде можно записать так: F(y, y’, y”,..., y​(n)​, u, u’, u”,..., u​(m)​, f, f ’, f ”,..., f​(k)​) = 0​. 3.2. Линеаризация уравнения динамики В общем случае уравнение динамики оказывается нелинейным, так как реальные звенья САУ обычно нелинейны. В целях упрощения теории нелинейные уравнения заменяют линейными, которые приблизительно описывают динамические процессы в САУ. Получаемая при этом точность уравнений оказывается достаточной для технических задач. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией уравнений динамики​. Рассмотрим сначала геометрическое обоснование линеаризации. В нормально функционирующей САУ значение регулируемой и всех промежуточных величин незначительно отличается от требуемых. В пределах малых отклонений все нелинейные зависимости между величинами, входящими уравнение динамики, могут быть приближенно представлены отрезками прямых линий. Например, нелинейная статическая характеристика звена на участке АВ (рис.26) может быть представлена отрезком касательной в точке номинального режима А"В". Начало координат переносится в точку О’, и в уравнениях записываются не абсолютные значения величин ​y,u,f​, а их отклонения от номинальных значений: y = y - y​н​, u = u - u​н​, f = f - f​н​. Это позволяет получить нулевые начальные условия​, если считать, что при ​t 0 система находилась в номинальном режиме в состоянии покоя. Математическое обоснование линеаризации состоит в том, что если известно значение f(a) какой - либо функции ​f(x) в любой точке ​x = a​, а также значения производных от этой функции в данной точке f’(a), f”(a), ..., f​(n)​(a)​, то в любой другой достаточно близкой точке ​ x + x значение функции можно определить, разложив ее в окрестности точки a в ряд Тейлора: Аналогично можно разложить и функцию нескольких переменных. Для простоты возьмем упрощенный, но наиболее характерный вариант уравнения динамики САУ: ​F(y,y',y",u,u') = f. Здесь производные по времени ​u',y',y" также являются переменными. В точке, близкой к номинальному режиму: ​f = f​ f ​и ​F = F​н + F​. Разложим функцию ​F в ряд Тейлора в н + окрестности точки номинального режима, отбрасывая члены ряда высоких порядков малости: . В номинальном режиме, когда все отклонения и их производные по времени равны нулю, получаем частное решение уравнения: ​F​н​= f​н​. Учитывая это и вводя обозначения получим: a​o Отбрасывая все знаки y” + a​1 y’ + a​2 y = b​o u’ + b​1 u + c​o f​. , получим: a​o​y” + a​1​y’ + a​2​y = b​o​u’ + b​1​u + c​o​f​. Отбрасывая все знаки , получим: В более общем случае: a​o​y​(n)​+ a​1​y​(n-1)​+ ... + a​n - 1​y’ + a​n​y = b​o​u​(m)​+ ... + b​m​- 1u’ + b​m​u + c​ f. o​ При этом всегда нужно помнить, что в данном уравнении используются не абсолютные значения величин ​y, u, f ​их производных по времени, а отклонения этих величин от номинальных значений. Поэтому полученное уравнение будем называть ​уравнением в отклонениях​. К линеаризованной САУ можно применить ​принцип суперпозиции​: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет звено с двумя входами ​u и ​f разложить на два звена, каждое из которых имеет один вход и один выход (рис.27). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением поведения систем и звеньев с одним входом, уравнение динамики которых имеет вид: (n-1)​ a​o​y​(n)​+ a​1​y​ + ... + a​ y’ + a​n​y = b​o​u​(m)​+ ... + b​m​- 1u’ + b​m​u. n - 1​ Это уравнение описывает САУ в динамическом режиме лишь приближенно с той точностью, которую дает линеаризация. Однако следует помнить, что линеаризация возможна только при достаточно малых отклонениях величин и при отсутствии разрывов в функции ​F в окрестностях интересующей нас точки, которые могут быть созданы различными выключателями, реле и т.п. Обычно ​n m​, так как при ​n < m​САУ технически нереализуемы. 3.3. Передаточная функция В ТАУ часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператора p = d/dt так, что, ​dy/dt = py​, а ​ pn​ = d​n​/dt​n​. Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как ​1/p​. В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое: (n-1)​ a​o​p​(n)​y + a​ 1​p​ (n-1)​ (n)​ y + ... + a​n​y = (a​ o​p​ + a​ 1​p​ (m-1)​ (m)​ + ... + a​n​)y = (b​o​p​ + b​1​p​ + ... + b​m​)u Не надо путать эту форму записи с операционным исчислением хотя бы потому, что здесь используются непосредственно функции времени ​y(t), u(t) (​оригиналы​), а не их изображения ​Y(p), U(p)​, получаемые из оригиналов по формуле преобразования Лапласа. Вместе с тем при нулевых начальных условиях с точностью до обозначений записи действительно очень похожи. Это сходство лежит в природе дифференциальных уравнений. Поэтому некоторые правила операционного исчисления применимы к операторной форме записи уравнения динамики. Так оператор ​p можно рассматривать в качестве сомножителя без права перестановки, то есть ​py скобки и т.п. yp​. Его можно выносить за Поэтому уравнение динамики можно записать также в виде: Дифференциальный оператор ​W(p) называют ​передаточной функцией.​ Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени: ​W(p) = y(t)/u(t)​ , поэтому ее еще называют ​динамическим коэффициентом усиления.​ В установившемся режиме ​d/dt = 0​, то есть ​p = 0​ , поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена ​K = b​m​/a​n​. Знаменатель передаточной функции ​D(p) = a​o​p​n + a​1​p​n - 1 + a​2​p​n - 2 + ... + a​n называют характеристическим полиномом​. Его корни, то есть значения p, при которых знаменатель D(p) обращается в ноль, а ​W(p) стремится к бесконечности, называются ​полюсами передаточной функции​. m - 1​ Числитель ​K(p) = b​o​p​m + b​ + ... + b​m называют ​операторным коэффициентом 1​p​ передачи​. Его корни, при которых ​K(p) = 0 и ​W(p) = 0​, называются ​нулями передаточной функции​. Звено САУ с известной передаточной функцией называется ​динамическим звеном.​ Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функция ​Wи​ ​(p) = 1/p​. Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называется ​структурной​. 3.4. Элементарные динамические звенья Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют ​элементарными динамическими звеньями​. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени: W​э​(p) =​ . Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета можно записать n - 1​ D(p) = a​o​p​n​+ a​1​p​ + a​ p​n - 2​+ ... + a​n​= a​o​(p - p​1​)(p - p​2​)...(p - p​n​), 2​ где ​p​1​, p​2​, ..., p​n​- корни полинома ​D(p)​ . Аналогично K(p) = b​o​p​m​+ b​1​p​m - 1​+ ... + b​m​= b​o​(p - p​~​1​)(p - p​~​2​)...(p - p​~​m​), где ​p~​ ​1​, ​p~​ ​2​, ..., ​p~​ ​m​- корни полинома ​ K(p)​. То есть Корни любого полинома могут быть либо вещественными ​p​i ​= a​i ​, либо комплексными попарно сопряженными ​p​i ​= a​ ± j i ​. Любому вещественному корню при разложении i ​ полинома соответствует сомножитель ​(p - a​i ​)​. Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как (p - a​i​​+ j То есть ​)(p - a​ -j i​​ i​ 2​ ​) = (p - ai)​ + i​ 2​ ​ = p​ - 2pa​i​​+ (a​i​2​ ​+ 2​ i​ ​). 2​ i​ Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом. В теории удобно ограничиться рассмотрением ​типовых звеньев​, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то есть ​W(p) = , W(p) = , ​W(p) = 1/p​, ​W(p) = p​, ​W(p) = Tp + 1​, ​W(p) = k​. Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы. Вопросы 1. Какой режим САУ называется динамическим? 2. Что называется регулированием? 3. Назовите возможные виды переходных процессов в САУ. Какие из них являются допустимыми для нормальной работы САУ? 4. Что называется уравнением динамики? Каков его вид? 5. Как провести теоретическое исследование динамики САУ? 6. Что называется линеаризацией? 7. В чем геометрический смысл линеаризации? 8. В чем состоит математическое обоснование линеаризации? 9. Почему уравнение динамики САУ называется уравнением в отклонениях? 10. Справедлив ли для уравнения динамики САУ принцип суперпозиции? Почему? 11. Как звено с двумя и более входами представить схемой, состоящей из звеньев с одним входом? 12. Запишите линеаризованное уравнение динамики в обычной и в операторной формах? 13. В чем смысл и какими свойствами обладает дифференциальный оператор p? 14. Что называется передаточной функцией звена? 15. Запишите линеаризованное уравнение динамики с использованием передаточной функции. Справедлива ли эта запись при ненулевых начальных условиях? Почему? 16. Напишите выражение для передаточной функции звена по известному линеаризованному уравнению динамики: (0.1p + 1)py(t) = 100u(t). 17. Что называется динамическим коэффициентом усиления звена? 18. Что называется характеристическим полиномом звена? 19. Что называется нулями и полюсами передаточной функции? 20. Что называется динамическим звеном? 21. Что называется структурной схемой САУ? 22. Что называется элементарными и типовыми динамическими звеньями? 23. Как сложную передаточную функцию разложить на передаточные функции типовых звеньев? 4.1. Эквивалентные преобразования структурных схем Структурная схема САУ в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем. Рассмотрим возможные способы преобразований. 1. ​Последовательное соединение (рис.28) - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего. При этом можно записать: y​1​= W​ ; ...; y​n​= W​n y​n - 1​= > 1 y​ o​; y​ 2​= W​ 2 y​ 1​ y​n​= W​ .....W​n​.y​o​= W​экв y​o​, 1 W​ 2​ где . То есть цепочка последовательно соединенных звеньев преобразуется в эквивалентное звено с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев. 2. ​Параллельно - согласное соединение (рис.29) - на вход каждого звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы складываются. Тогда: y = y​1​+ y​2​+ ... + y​n​= (W​1​+ W​2​+ ... + W3)y​o​= W​экв y​o​, где . То есть цепочка звеньев, соединенных параллельно - согласно, преобразуется в звено с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций отдельных звеньев. 3. ​Параллельно - встречное соединение (рис. 30а) - звено охвачено положительной или отрицательной обратной связью. Участок цепи, по которому сигнал идет в противоположном направлении по отношению к системе в целом (то есть с выхода на вход) называется ​цепью обратной связи​с передаточной функцией ​W​ос​. При этом для отрицательной ОС: y = W​ u; y​1​= W​ос​y; u = y​o​- y​1​, п​ следовательно y = W​п​y​o​- W​п​y​1​= W​п​y​o​- W​п​W​oc​y = > y(1 + W​п​W​oc​) = W​п​y​o​= > y = W​экв​y​o​, где Аналогично: . - для положительной ОС. Если ​W​oc​= 1​, то обратная связь называется единичной (рис.30б), тогда ​W​экв​= W​п​/(1 ± W​ ). п​ Замкнутую систему называют ​одноконтурной​, если при ее размыкании в какой либо точке получают цепочку из последовательно соединенных элементов (рис.31а). Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных звеньев, соединяющий точку приложения входного сигнала с точкой съема выходного сигнала называется ​прямой ц ​ епью (рис.31б, передаточная функция прямой цепи ​W​п = Wo W​1 W​2​)​. Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур называют ​разомкнутой цепью (рис.46в, передаточная функция разомкнутой цепи ​W​p = W​1 W​2 W​3 W​4​). Исходя из приведенных выше способов эквивалентного преобразования структурных схем, одноконтурная система может быть представлена одним звеном с передаточной функцией: ​W​экв = W​п​/(1 ± W​ ) p​ передаточная функция одноконтурной замкнутой системы с отрицательной ОС равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи. Для положительной ОС в знаменателе знак минус. Если сменить точку снятия выходного сигнала, то меняется вид прямой цепи. Так, если считать выходным сигнал y​1 на выходе звена ​W​1​, то ​W​p = Wo W​1​. Выражение для передаточной функции разомкнутой цепи не зависит от точки снятия выходного сигнала. Замкнутые системы бывают ​одноконтурными и ​ ​многоконтурной ​(рис.32).Чтобы найти эквивалентную передаточную функцию для данной схемы нужно сначала осуществить преобразование отдельных участков. Если многоконтурная система имеет ​перекрещивающиеся связи (рис.33), то для вычисления эквивалентной передаточной функции нужны дополнительные правила: 4. При переносе сумматора через звено по ходу сигнала необходимо добавить звено с передаточной функцией того звена, через которое переносится сумматор. Если сумматор переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена, через которое переносим сумматор (рис.34). Так с выхода системы на рис.34а снимается сигнал y​2​= (f + y​o​W​1​)W​2​. Такой же сигнал должен сниматься с выходов систем на рис.34б: y​2​= fW​ W​1​W​2​= (f + y​o​W​1​)W​2​, 2​+ y​ o​ и на рис.34в: y​2​= (f(1/W​1​) + y​o​)W​1​W​2​= (f + y​o​W​1​)W​2​. При подобных преобразованиях могут возникать неэквивалентные участки линии связи (на рисунках они заштрихованы). 5. При переносе узла через звено по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена, через которое переносим узел. Если узел переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией звена, через которое переносится узел (рис.35). Так с выхода системы на рис.35а снимается сигнал y​1​= y​o​W​1​. Такой же сигнал снимается с выходов рис.35б: y​1​= y​o​W​1​W​2​/W​2​= y​o​W​1 и рис.35в: y​1​= y​o​W​1​. 6. Возможны взаимные перестановки узлов и сумматоров: узлы можно менять местами (рис. 36а); сумматоры тоже можно менять местами (рис.36б); при переносе узла через сумматор необходимо добавить сравнивающий элемент (рис.36в: ​y = y​1 + f​1 = > y​1 = y - f​1​) или сумматор (рис.36г: ​y = y​1​+ f​1​). Во всех случаях переноса элементов структурной схемы возникают ​неэквивалентные участки​линии связи, поэтому надо быть осторожным в местах съема выходного сигнала. При эквивалентных преобразованиях одной и той же структурной схемы могут быть получены различные передаточные функции системы по разным входам и выходам. Так на рис.48 имеется два входа: по управляющему воздействию ​u и возмущению ​f при одном выходе ​y​. Такая схема может быть преобразована к одному звену с двумя передаточными функциями ​Wuy​ ​ и ​Wfy​ ​. 4.2. САР напряжения генератора постоянного тока Для примера рассмотрим схему САР напряжения генератора постоянного тока (рис.37). Выведем дифференциальное уравнение исполнительного двигателя постоянного тока. Его схема замещения изображена на рис. 38. Для якорной цепи справедливо уравнение . Если принять, что , гдеj – угол поворота вала двигателя, то , то есть , где – постоянная времени якорной цепи; пропорциональнсти. , – коэффициенты Если учесть, что , где J – момент инерции якоря, ​ M электромагнитный момент, ​Мс​ ​ – момент сторонних сил, то получим . Следовательно => => => => => . Здесь – электромеханическая постоянная времени; ; ; ; , по напряжению и моменту сторонних сил. – коэффициенты пропорциональности; – передаточные функции Структурная схема двигателя постоянного тока показана на рис.39. Аналогичным образом выводится передаточная функция генератора постоянного тока, которая с учетом пренебрежения индуктивностью обмотки якоря имеет вид, показанный на рис.40, где . Усилитель можно представить пропорциональным звеном с коэффициентом усиления ​ K​ .В у​ окончательном виде структурная схема САР напряжения генератора постоянного тока показана на рис.41. Вопросы 1. Перечислите типичные схемы соединения звеньев САУ? 2. Как преобразовать цепь последовательно соединенных звеньев к одному звену? 3. Как преобразовать цепь параллельно соединенных звеньев к одному звену? 4. Как преобразовать обратную связь к одному звену? 5. Что называется прямой цепью САУ? 6. Что называется разомкнутой цепью САУ? 7. Как перенести сумматор через звено по ходу и против движения сигнала? 8. Как перенести узел через звено по ходу и против движения сигнала? 9. Как перенести узел через узел по ходу и против движения сигнала? 10. Как перенести сумматор через сумматор по ходу и против движения сигнала? 11. Как перенести узел через сумматор и сумматор через узел по ходу и против движения сигнала? 12. Что называется неэквивалентными участками линий связи в структурных схемах? 13. Каково назначение САР напряжения генератора постоянного тока? 5.1. Понятие временных характеристик Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на ​типовые входные воздействия​, которые наиболее полно отражают особенности реальных возмущений. Во - первых, это позволяет сравнивать отдельные элементы между собой с точки зрения их динамических свойств. Во - вторых, зная реакцию системы на типовые воздействия, можно судить о том, как она будет вести себя при сложных изменениях входной величины. Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются: ​ступенчатое, импульсное и ​гармоническое ​воздействия. Любой сигнал ​u(t)​, имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий ​u​i​(t) и исследовать реакцию системы на каждую из составляющих, а затем, пользуясь принципом суперпозиции, получить результирующее изменение выходной величины ​y(t) суммируя полученные таким образом составляющие выходного сигнала ​y​i​(t)​ . Особенно важное значение в ТАУ придают ступенчатому воздействию ​1(t) = . Все остальные воздействия могут быть сведены к нему. Так, например, реальный импульсный сигнал может быть представлен двумя ступенчатыми сигналами одинаковой величины, но противоположными по знаку, поданными один за другим через интервал времени t​(рис.42). Зависимость изменения выходной величины системы от времени при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой​и обозначается ​h(t)​. Не менее важное значение в ТАУ уделяется ​импульсной переходной характеристике​, которая описывает реакцию системы на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях, обозначают (t)​. Единичный импульс физически представляет из себя очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота - к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Математически он описывается дельта - функцией d(t) = 1’(t)​. Переходная и импульсная переходная характеристики называются ​временными характеристиками​. Каждая из них является исчерпывающей характеристиками системы и любого ее звена при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии. Зная передаточную функцию ​W(p) = K(p)/D(p)​, выражение для переходной функции можно найти из формулы Хевисайда: , где ​p​k - корни характеристического уравнения ​D(p) = 0​. Взяв производную от переходной функции можно получить выражение для импульсной переходной функции (t) = h’(t)​. 5.2. Переходные характеристики элементарных звеньев Здесь мы рассмотрим только самые основные звенья. 5.2.1. Безынерционное (пропорциональное, усилительное) звено Это звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной. Его уравнение: ​y(t) = k u(t). Передаточная функция: ​W(p) = k​. Переходная характеристика: ​h(t) = k 1(t)​. В ответ на единичное ступенчатое воздействие сигнал на выходе мгновенно достигает величины в ​k раз большей, чем на входе и сохраняет это значение (рис.43). При ​k = 1 звено никак себя не проявляет, а при​k = - 1​- инвертирует входной сигнал. Любое реальное звено обладает инерционностью, но с определенной точностью некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безынерционные, например, жесткий механический рычаг, редуктор, потенциометр, электронный усилитель и т.п. 5.2.2. Интегрирующее (астатическое) звено Его уравнение , или , или ​py = ku​. Передаточная функция: W(p) = k/p. Переходная характеристика: (рис.44). При ​k = 1 звено представляет собой “чистый” интегратор ​W(p) = 1/p​. Интегрирующее звено неограниченно "накапливает" входное воздействие. Примеры интегрирующих звеньев: электродвигатель, поршневой гидравлический двигатель, емкость и т.п. Введение его в САУ превращает систему в астатическую, то есть ликвидирует статическую ошибку. 5.2.3. Инерционное звено первого порядка (апериодическое) Уравнение динамики: , или ​Tpy + y = ku​. Передаточная функция: ​W(p) =​ . Переходная характеристика может быть получена с помощью формулы Хевисайда: , где ​p​1​= - 1/T​- корень уравнения ​D(p) = Tp + 1 = 0; D’(p​1​) = T. Переходная характеристика имеет вид экспоненты (рис.45), по которой можно определить передаточный коэффициент ​k​, равный установившемуся значению h(t)​, и постоянную времени ​Т по времени ​t​, соответствующему точке пересечения касательной к кривой в начале координат с ее асимптотой. При достаточно больших ​Т звено на начальном участке может рассматриваться как интегрирующее, при малых ​Т звено приближенно можно рассматривать как безынерционное. Примеры апериодического звена: термопара, электродвигатель, четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности. 5.2.4. Инерционные звенья второго порядка Его уравнение: ​T​1​2​p​2​y + T​2​py + y = ku. Передаточная функция:​W(p) =​ . Решение уравнения зависит от соотношения постоянных времени ​T​1 и ​T​2​, которое определяет коэффициент затухания r = где ​T = T​1​. . Можно записать ​W(p) = , Если ​r 1​, то знаменатель ​W(p) имеет два вещественных корня ​p​1 и ​p2 и раскладывается на два сомножителя: 2​ T​2​p​ + 2rTp + 1 = T​2 (p - p​1​).(p - p​2​). Такое звено можно разложить на два апериодических звена первого порядка, поэтому оно не является элементарным. При ​r<1 корни полинома знаменателя ​W(p) комплексно сопряженные: ​p​1,2 = ± j . Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий колебательный процесс с затуханием ​и частотой (рис.46). Такое звено называется колебательным​. При ​r = 0 колебания носят незатухающий характер. Такое звено является частным случаем колебательного звена и называется ​консервативным​. Примерами колебательного звена могут служить пружина, имеющая успокоительное устройство, электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п. Зная характеристики реального устройства можно определить его параметры как колебательного звена. Передаточный коэффициент k равен установившемуся значению переходной функции. 5.2.5. Дифференцирующее звено Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Уравнение динамики идеального звена: y(t) = , или ​y = kpu​. Здесь выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины. Передаточная функция: ​W(p) = kp​. При ​k = 1 звено осуществляет чистое дифференцирование ​W(p) = p​. Переходная характеристика: h(t) = k 1’(t) = d(t)​. Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала. Его уравнение: ​Tpy + y = kTpu​. Передаточная функция: ​W(p) = . При малых ​Т ​звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее. Переходную характеристики можно вывести с помощью формулы Хевисайда: , здесь ​p​1 = - 1/T ​- корень характеристического уравнения D(p) = Tp + 1 = 0​; кроме того, ​D’(p​ ) 1​ = T​. При подаче на вход единичного ступенчатого воздействия выходная величина оказывается ограничена по величине и растянута во времени (рис.47). По переходной характеристике, имеющей вид экспоненты, можно определить передаточный коэффициент k и постоянную времени ​Т​. Примерами таких звеньев могут являться четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности, демпфер и т.п. Дифференцирующие звенья являются главным средством, применяемым для улучшения динамических свойств САУ. Кроме рассмотренных имеется еще ряд звеньев, на которых подробно останавливаться не будем. К ним можно отнести идеальное форсирующее звено (​W(p) = Tp + 1​, практически не реализуемо), реальное форсирующее звено ​(W(p) = , при ​T​1 >> T​2​), ​ T​ - p​ запаздывающее звено (​W(p) = e ​ ), воспроизводящее входное воздействие с запаздыванием по времени и другие. Вопросы 1. Что называется и какие Вы знаете типовые входные воздействия? Для чего они нужны? 2. Что называется переходной характеристикой? 3. Что называется импульсной переходной характеристикой? 4. Что называется временными характеристиками? 5. Для чего служит формула Хевисайда? 6. Как получить кривую переходного процесса при сложной форме входного воздействия, если известна переходная характеристика звена? 7. Что называется безынерционным звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики? 8. Что называется интегрирующим звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики? 9. Что называется апериодическим звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики? 10. Что называется колебательным звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики? 11. Что называется консервативным звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики? 12. Почему не являются элементарными инерционные звенья второго порядка с коэффициентом затухания большим или равным единице? 13. Что называется идеальным дифференцирующим звеном? Почему его нельзя реализовать? 14. Что называется реальным дифференцирующим звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики? 6.1. Понятие частотных характеристик Если подать на вход системы с передаточной функцией ​W(p) ​гармонический сигнал то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания с той же частотой , но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются ​частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется ​частотным анализом​. Подставим выражения для ​u(t)​и ​y(t)​в уравнение динамики n-2​ (a​о​pn​ ​ + a​1​pn - 1 + a​2​p​ + ... + a​n​)y = (b​о​pm​ ​ + b​1​p​m-1​+ ... + b​m​)u. Учтем, что а значит pnu = pnU​m​ejwt = U​m​(jw)nejwt = (jw)nu. Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим: По аналогии с передаточной функцией можно записать: . W(j ), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется ​частотной передаточной функцией​. Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на j W(j ) есть комплексная функция, поэтому: в выражении W(p). где P( ) - ​вещественная ЧХ (ВЧХ)​; Q( ) - ​мнимая ЧХ (МЧХ);​ А( ) - ​амплитудная ЧХ (АЧХ)​: ( ) - ​фазовая ЧХ (ФЧХ)​. АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной: ; Если W(j ) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении его конец будет вычерчивать кривую, называемую ​годографом вектора​W(j амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ)​(рис.48). от 0 до + ), или Ветвь АФЧХ при изменении от до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси. В ТАУ широко используются ​логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L( ( ) и ​логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) ). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции: ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L( )= 20lgA( ). Величина L( ) откладывается по оси ординат в ​децибелах.​ Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как lg(P​2​/P​1​) = lg(A​2​2​/A​1​2​) = 20lg(A​2​/A​1​). По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется ​декадой.​ Так как lg(0) = - , то ось ординат проводят произвольно. ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси Величина ( . ) откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: - + . ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры. 6.2. Частотные характеристики типовых звеньев Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики. Для этого необходимо подставить в нее j выразить из нее ВЧХ P( ) и МЧХ (Q( форму и получают АЧХ A( 20lgA( ) и ФЧХ вместо p, получим АФЧХ W(j ). Затем надо ). После этого преобразуют АФЧХ в показательную ( ), а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = ) (ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс). 6.2.1. Безынерционное звено Передаточная функция: W(p) = k. АФЧХ: W(j ) = k. ВЧХ: P( ) = k. МЧХ: Q( ) = 0. АЧХ: A( ) = k. ФЧХ: ( ЛАЧХ: L( ) = 0. ) = 20lgk. Некоторые ЧХ показаны на рис.50. Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе. 6.2.2. Интегрирующее звено Передаточная функция: W(p) = k/p. Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть W(p) = 1/p. АФЧХ: W(j )= ВЧХ: P( ) = 0. МЧХ: Q( ) = - 1/ АЧХ: A( ) = 1/ ФЧХ: ( ЛАЧХ: L( )=- . . . /2. ) = 20lg(1/ ) = - 20lg( ). о​ ЧХ показаны на рис.51. Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90​ . Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и уменьшается до нуля при росте частоты (звено "заваливает" высокие частоты). ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку L( ) = 0 при = 1. При увеличении частоты на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен - 20 дб/дек (децибел на декаду). 6.2.3. Апериодическое звено При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ: W(p) = ; ; ; ; ( )= 1- 2 = - arctg( T); ; L( ) = 20lg(A( )) = - 10lg(1 + ( T)2). Здесь A1 и A2 - амплитуды числителя и знаменателя ЛФЧХ; числителя и знаменателя. ЛФЧХ: 1 и 2 - аргументы ЧХ показаны на рис.52. АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке P = 1/2. При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при T)​2 выражении для L( ), то есть L( ) < 1 = 1/T можно пренебречь ( - 10lg1 = 0.. При > 1 пренебрегают единицей в выражении в скобках, то есть L(w) - 20lg(wT). Поэтому ЛАЧХ проходит вдоль оси абсцисс до сопрягающей частоты, затем - под наклоном - 20 дб/дек. Частота w1 называется сопрягающей частотой. Максимальное отличие реальных ЛАЧХ от асимптотических не превышает 3 дб при = . 1​ ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к - /2 при возрастании до бесконечности. Перегиб в точке = ( ) = - /4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют 1 при одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот. 6.2.4. Инерционные звенья второго порядка При k = 1 передаточная функция звена: W(p) = . В виду сложности вывода выражений для частотных характеристик рассмотрим их без доказательства, они показаны на рис.53. Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена до сопрягающей частоты 1 = 1/T​ 1 совпадает с осью абсцисс, при дальнейшем увеличении частоты идет с наклоном - 40 дб/дек. То есть высокие частоты колебательное звено "заваливает" сильнее, чем апериодическое звено. Реальная ЛАЧХ при 1​значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем меньше коэффициент демпфирования . Точную кривую можно построить, воспользовавшись кривыми отклонений, которые приводятся в справочниках. В предельном случае = 0 получаем консервативное звено, у которого при амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности (рис.54). 1 ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к - 180​о​. ЛФЧХ можно построить с помощью шаблона, но для этого нужен набор шаблонов для разных коэффициентов демпфирования. При уменьшении коэффициента демпфирования АФЧХ приближается к оси абсцисс и в пределе у консервативного звена она вырождается в два луча по оси абсцисс, при этом фаза выходных колебаний скачком меняется от нуля до - 180​о при переходе через сопрягающую частоту (рис.54). 6.2.5. Правила построения ЧХ элементарных звеньев При построении ЧХ некоторых звеньев можно использовать “​правило зеркала​”: при k = 1 ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев с обратными передаточными функциями зеркальны относительно горизонтальной оси. Так на рис.55 изображены ЧХ идеального дифференцирующего и идеального форсирующего звеньев. Если k 1, то передаточную функцию звена можно рассматривать как произведение W = k.W​1​, где W​1 - передаточная функция с k = 1. При этом амплитуда вектора АФЧХ W(j ) при всех значениях должна быть увеличена в k раз, то есть A( ) = kA​1​( ). Поэтому, например, центр полуокружности АФЧХ апериодического звена будет находиться не в точке P = 1/2, а в точке k/2. ЛАЧХ также изменится: L( 20lgA​1​( формы ) = 20lgA( ) = 20lgkA​1​( ) = 20lgk + ). Поэтому при k 1 ЛАЧХ звена нужно поднять по оси ординат не меняя ее на 20lgk. На ЛФЧХ изменение k никак не отразится. Для примера на рис.56 приведены частотные характеристики апериодического звена при k = 10 и T = 1c. При этом ЛАЧХ апериодического звена с k = 1 поднята вверх на 20lg10 = 20. Вопросы 1. Что называется частотными характеристиками? 2. Как получить частотные характеристики опытным путем? 3. Как получить частотные характеристики теоретическим путем по известной передаточной функции звена? 4. Что такое и как получить АФЧХ? 5. Что такое и как получить ВЧХ? 6. Что такое и как получить МЧХ? 7. Что такое и как получить АЧХ? 8. Что такое и как получить ФЧХ? 9. Что такое и как получить ЛАЧХ? 10. Что такое и как получить ЛФЧХ? 11. Как построить годограф АФЧХ? 12. Постройте АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ безынерционного звена. 13. Постройте АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена. 14. Постройте АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена. 15. Постройте АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена. 16. Постройте АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ консервативного звена. 17. Постройте ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального дифференцирующего звена. 18. Постройте ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального форсирующего звена. 19. Как изменятся ЛАЧХ и ЛФЧХ звена, если коэффициент усиления возрастет в 100 раз? 20. Для чего служит правило зеркала. 7.2. Законы регулирования Пусть задана какая-то САР (рис.59). Законом регулирования называется математическая зависимость, в соответствии с которой управляющее воздействие на объект вырабатывалось бы безынерционным регулятором. Простейшим из них является ​пропорциональный закон регулирования​, при котором u(t) = Ke(t) (рис.60а), где ​u(t)​- это управляющее воздействие, формируемое регулятором, ​e(t)​- отклонение регулируемой величины от требуемого значения, ​K​- коэффициент пропорциональности регулятора Р. То есть для создания управляющего воздействия необходимо наличие ошибки регулирования и чтобы величина этой ошибки была пропорциональна возмущающему воздействию ​f(t)​. Другими словами САУ в целом должна быть статической. Такие регуляторы называют ​П-регуляторами.​ Так как при воздействии возмущения на объект управления отклонение регулируемой величины от требуемого значения происходит с конечной скоростью (рис.60б), то в начальный момент на вход регулятора подается очень малая величина e , вызывая при этом слабые управляющие воздействия ​u.​ Для повышения быстродействия системы желательно форсировать процесс управления. Для этого в регулятор вводят звенья, формирующие на выходе сигнал, пропорциональный производной от входной величины, то есть дифференцирующие или форсирующие звенья. Такой закон регулирования называется ​пропорционально - дифференциальным: u(t) = K​1​e(t) + K​2 de(t)/dt. В соответствии с ним работают ​ПД-регуляторы​. Чем быстрее нарастает отклонение регулируемой величины от требуемого значения, тем интенсивнее работает ПД-регулятор, что препятствует дальнейшему нарастанию данного отклонения. Кроме того при увеличении отклонения (​de(t)/dt > 0​) управляющий сигнал u будет больше, чем при уменьшении (​de(t)/dt < 0​), что также играет положительную роль, снижая колебательность процеса управления. Добавление в регулятор двух дифференцирующих звеньев позволяет формировать управляющее воздействие по второй производной отклонения ​e​, такой регулятор называется ПДД-регулятором. Интегральный закон регулирования​реализуется ​И-регулятором​, его формулировка: . Этот регулятор наращивает управляющее воздействие до тех пор пока управляемая величина отличается от требуемого значения, то есть пока ​e(t) 0. И-регулятор обеспечивает астатическое регулирование. При малых ​e​управляющее воздействие изменяется с малой скоростью, поэтому данный регулятор очень инерционный. Чтобы увеличить быстродействие обычно последовательно с ним включают усилитель, это дает ​пропорционально-интегральный закон регулирования (ПИ-регулятор)​, его формула: . Первое слагаемое обеспечивает быстродействие, второе - астатичность, то есть точность регулирования. Еще большее быстродействие обеспечивается при добавлении слагаемого, пропорционального производной от отклонения управляемой величины ​de/dt​, такой закон регулирования обеспечивается ​ПИД-регулятором,​ его формула: . Вопросы 1. Что представляет собой разомкнутая одноконтурная САУ? 2. Почему для построения ЧХ разомкнутых одноконтурных САУ удобно пользоваться логарифмическими характеристиками? 3. Чем отличается ЛФЧХ от ФЧХ? 4. Постройте ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой одноконтурной САУ с передаточной функцией W(p) = . 5. Постройте ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой одноконтурной САУ с передаточной функцией W(p) = . 6. Как изменится ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой одноконтурной САУ, если коэффициент усиления увеличить в 10 раз? 7. Чем отличается реальная ЛАЧХ от асимптотической? 8. Как определить уравнение динамики реального звена, если не известен его механизм, но известно как задать входное воздействие и как померить выходное? 9. Что называется законом регулирования? 10. Как реализовать пропорциональный закон регулирования? 11. Зачем в регулятор добавляют дифференцирующие и форсирующие звенья? 12. Зачем в регулятор добавляют интегрирующие звенья? 8.1. Понятие устойчивости системы Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система н ​ епрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой. Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что ​система устойчива "в малом"​, если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. ​Система устойчива "в большом",​ когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: y(t) = y​вын​(t) + y​св​(t). Здесь yсв(t) - ​общее решение однородного дифференциального уравнения,​ то есть уравнения с нулевой правой частью: (n)​ a​o​y​ + a​1​y​(n-1)​+ ... + a​(n-1)​y’ + a​(n)​y = 0. Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется ​свободной составляющей общего решения. yвын ​ ​(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения​, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие ​u(t)​. Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный​. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса. Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени ​t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила ​Р​. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей ​y​вын = y(t )​ . Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону ​P = P​o​sin( + t )​, то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть ​y​вын​= y​max​sin( t + y). Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени ​t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где ​p​i ​корни характеристического уравнения ​D(p) = a​0​p​n + a​1​p​n​-1 + a​ . Корни могут быть либо вещественными p​ 2​p​ n​-2 + ... + a​ n = 0​ i = a​i​, либо попарно комплексно сопряженными ​p​i = a​i ± j i​. Постоянные интегрирования ​ А​ i определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения ​u, y​и их производные в моменты времени​t = 0​и​t . Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая ​y​св​(t)​i​, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует ​y​св​(t)​ i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой , при положительной вещественной части i​ расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.64). Так как после снятия возмущения ​y​вын​(t) = 0​, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей ​y​св​(t)​. zПоэтому ​условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать. Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются ​ левыми​, с положительными - ​правыми (​рис.65). Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где ​a​n = 0​), а остальные левые, то система находится на ​границе апериодической устойчивости.​ Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на ​границе колебательной устойчивости​. Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются ​критериями устойчивости.​ Их можно разделить на ​алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные​(основаны на исследовании частотных характеристик). 8.2. Алгебраические критерии устойчивости 8.2.1. Необходимое условие устойчивости Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде n-1​ D(p) = a​o​p​n​+ a​1​p​ + a​2​p​n-2​+ ... + a​n​= a​o​(p-p​1​)(p-p​2​)...(p-p​n​) = 0, где ​p​1​, p​2​, ..., p​n - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней отрицательны, что можно записать как​a​i​= -|a​i​| < 0​. Подставим их в уравнение: a​0 (p + |a​1​|) (p + |a​2​| - j 2) (p + |a​2​| + j 2) ... = 0. Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим: a​0 (p + |a​ |)2 + ( 1​|) ((p + |a​ 2​ 2)2) ... = 0. После раскрытия скобок должно получиться выражение n​ a​0 p​ + a​1 p​n-1​+ a​2 p​n-2 ​+ ... + a​n​= 0. Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a​0​,a​1​,...,a​n не будет отрицательным. Поэтому ​необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: ​a​0 > 0, a​ > 1​ 0, ... , a​n ​> 0​. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где ​a​0 > 0​. В противном случае уравнение домножается на -1. Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица. 8.2.1. Критерий Рауса Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения: 1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания; 2) во второй строке - с нечетными; 3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: ​c​k,i = c​k+ 1,i - 2 - ri c​k + 1,i - 1​, где ri = c​1,i - 2​/c​1,i - 1​, i 3​- номер строки, ​k​- номер столбца. 4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения. Ri i\k 1 2 3 4 - 1 c​11​= a​0 c​21​= a​2 c​31​= a​4 ... - 2 c​12​= a​1 c​22​= a​3 c​32​= a​5 ... r​3​= c​11​/cc​12 3 c​13​= c​21​-r​3​c​ 22 c​23​= c​31​-r​3​c​ 32 c​33​= c​41​-r​3​c​42 ... r​3​= c​11​/c​12 4 c​14​= c​22​-r​3​c​ 23 c​24​= c​32​-r​4​c​ 33 c​34​= c​42​-r​4​c​43 ... ... ... ... ... ... ... Критерий Рауса:​ для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса ​c​11​, ​c​12​, c​13​,... были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце. Достоинство критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. ​Его недостаток малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, на сколько далеко отстоит она от границы устойчивости. 8.2.2. Критерий Гурвица Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму: 1) по главной диагонали слева направо характеристического уравнения от ​a​1​до ​a​n​; выставляются все коэффициенты 2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз; 3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули. Критерий Гурвица:​ для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все ​n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются ​определителями Гурвица​. Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица: 1) ​n = 1 => уравнение динамики: ​a0​ ​p + a​1 = 0. Определитель Гурвица: > 0​, то есть условиие устойчивости:​a​0​> 0​, ​a​1 > ; ​ 0​ = 1 = a​1 ​> 0 при ​ a​ 2) n = 2 => уравнение динамики: ​a0​ ​p​2 + a​1​p + a​2 = 0​. Определители Гурвица: 1 = a​ 1 > 0, D​ 2 = a​1​a​2 ​- a​0​a​3 ​= a​1​a​2 ​> 0​, так как ​a​3 ​= 0​, то есть условие устойчивости: ​a​0​> 0​, ​a1​ ​ > 0​, ​a​2 ​> 0​; 3) ​n = 3 => уравнение динамики: ​a0​ ​p​3 + a​1​p​2 + a​2​p + a​3 = . Определители Гурвица: ​ 0​ 0​, , 2 = a​ 1​a​ 2 - a​ 0​a​ 3 ​> 0​ a​0​a​3 > 0​ ; ​ 3 = a​3 1 = a​ 1 > > 0​, условие устойчивости: ​a​0 ​> 0, a​1 ​> 0, a​2 ​> 0, a​3 ​> 0, a​ a​ 1​ 2​ 2 ​ Таким образом при ​n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При ​n > 2 появляются дополнительные условия. Критерий Гурвица применяют при ​n 4​. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. ​Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя n = a​ n a​ n-1 = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо ​ n = 0 при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя . Исследуя это влияние можно n-1​ найти, при каком значении Ki определитель станет равен нулю, а потом n-1 отрицательным (рис.67). Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой. Вопросы 1. Что понимают под устойчивостью САУ в малом и в большом? 2. Какой вид имеет решение уравнения динамики САУ? 3. Как найти вынужденную составляющую решения уравнения динамики САУ? 4. Какой вид имеет свободная составляющая решения уравнения динамики САУ? 5. Что такое характеристическое уравнение? 6. Какой вид имеют корни характеристического уравнения? 7. Чем отличаются правые и левые корни характеристического уравнения? 8. Сформулируйте условие устойчивости систем по Ляпунову. 9. Что такое граница устойчивости? 10. Что такое критерии устойчивости? 11. Сформулируйте необходимое условие устойчивости САУ. 12. Сформулируйте критерий Рауса. 13. Сформулируйте критерий Гурвица. 14. В чем достоинства и недостатки алгебраических критериев устойчивости? Частотные критерии устойчивости Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. ​Их общее достоинство​в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения. 9.1. Принцип аргумента Запишем характеристический полином САУ в виде D(p) = a​0 (p - p​1​) (p - p​2​) ... (p - p​n​) = 0. Его корни p​i​= где ​arg(p​i​) = arctg( i/a​i​) + k i​ +j i = |p​i​|e​jarg(pi)​, , . Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность ​p - p​i​изобразится разностью векторов (рис.68б), где ​p ​- любое число. Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p​i​будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как ​p​i​- это конкретное неизменное значение. В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , то ​p = j ​, а характеристический полином принимает вид: D(j При этом концы векторов j ) = a​0 (j - p​1​) (j - p​2​) ... (j - p​n​). - p​i​будут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от ​​до ​+ , то каждый вектор ​j - p​i​​будет поворачиваться относительно своего начала p​ на угол​ +p​ для левых и ​ p​ для правых корней (рис.68г). i​ Характеристический полином можно представить в виде D(j где ​|D(j arg(D(j )| = a​0 |j )) = arg(j - p​1​| |j ) = |D(j - p​2​|...|j - p​1​) + arg(j )|e​jarg(D(j )​, )​ - p​n​|, - p​2​) + .. + arg(j - p​n​). Пусть из ​n ​корней ​m​- правые, а ​n - m​- левые, тогда угол поворота вектора ​D(j изменении от ​- до + равен ​= (n - m) или при изменении ​от ​0​до + получаем ​= (n - 2m) ( /2). -m , )​при Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения ​D(p) = 0​, умноженному на /2​. , а при изменении частоты от ​0​до + от - эта разность умножается на Это и есть ​принцип аргумента​. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста. 9.2. Критерий устойчивости Михайлова Так как для устойчивой САУ число правых корней ​m = 0​, то угол поворота вектора ​D(j составит =n То есть САУ будет устойчива, если вектор ​D(j повернется на угол ​n ) /2​. )​при изменении частоты от 0 до + /2​. При этом конец вектора опишет кривую, называемую ​годографом Михайлова​. Она начинается на положительной полуоси, так как ​D(0) = a​n​, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность в ​n​- ом квадранте (рис.69а). Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно ​ n​ , или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и есть ​необходимое и достаточное условие критерия Михайлова​. Достоинства​. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ. Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для ​D(j суммой вещественной и мнимой составляющих: )​представляют ​D(j )​​= a​0​(j - p​1​)(j - p​2​)...(j - p​ ) = a​0​(j n​ )​n​​+ a​1​(j )​n - 1​+ ... + a​n​= ReD(j ) + jImD(j ), где ReD(j ) = a​ n​- a​ n-2 ImD(j ) = a​n - 1 2​ + a​n- 4​ - a​n - 3 3​ 4​ - ..., + a​n- 5​ 5​ - .... Меняя от ​ 0​до по этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной линией. 9.3. Критерий устойчивости Найквиста Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой САУ (рис.70). Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Его можно производить экспериментально, поэтому часто оказывается, что АФЧХ разомкнутой САУ мы имеем или можем получить. Передаточная функция разомкнутой САУ: W​p​(p) = W​p​(p)/D​p​(p)​= > уравнение динамики: ​y(t) = e(t)​, или D​p​(p) y(t) = K​p​(p) e(t). Здесь ​D​p​(p)​- характеристический полином разомкнутой САУ. То есть по виду корней уравнения ​D​p​(p) = 0​можно судить об устойчивости разомкнутой САУ. Но это пока ничего не говорит об устойчивости замкнутой САУ. Для того, чтобы получить уравнение динамики замкнутой САУ при свободном движении, считаем, что внешнее воздействие ​u = 0​, тогда на вход первого звена САУ подается сигнал e(t) = u(t) - y(t) = - y(t). То есть D​p​(p) y(t) = K​p​(p) ( - y(t)), следовательно уравнение замкнутой САУ: (D​p​(p) + K​p​(p)) y(t) = 0. Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой САУ: D​з​(p) = D​p​(p) + K​p​(p) = 0. По виду его корней уже можно судить об устойчивости замкнутой САУ. Воспользуемся вспомогательной функцией: F(j ) = 1 + W​р​(j )= . По сути дела она представляет собой АФЧХ разомкнутой САУ, сдвинутую на единицу вправо. Степени полиномов ​D​з​(j p​ pi​, то есть можно записать: F(jw) =​ )​и ​ D​p​(j ) ​равны ​n.​Эти полиномы имеют свои корни ​ p​ зi​и . Каждую разность в скобках можно представить вектором на комплексной плоскости, конец которого скользит по мнимой оси векторов ​j правый. (рис.63в). При изменении от - до + каждый из - p​i​​будет поворачиваться на угол ​+p​, если корень левый и ​-p​, если корень Пусть полином ​Dз(jw) ​имеет ​m​правых корней и ​n - m​левых, а полином ​D​p​(j )​имеет​g правых корней и ​n - g​левых. Тогда суммарный угол поворота вектора функции ​F(j изменении частоты от - до + )​при : ​p[(n - m) - m)] - p[(n - g) - g] = 2p(g - m). Если замкнутая САУ устойчива, то ​m = 0​, тогда суммарный поворот вектора ​F(j изменении составит ​2 от - до + должен быть равен 2 ​ g​, а при изменении ) ​при от ​0​до ​+ он g/2​. Отсюда можно сформулировать ​критерий устойчивости Найквиста:​ если разомкнутая САУ неустойчива и имеет​g​правых корней, то для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор ​F(j )​при изменении от 0 до + охватывал начало координат в положительном направлении ​g/2​раз, то есть АФЧХ разомкнутой САУ должна охватвать ​g/2​раз точку ​( - 1, j0)​. На рис.71а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис.71б - замкнутая САУ неустойчива. На рис.71в и 71г показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно устойчивых и неустойчивых в замкнутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ при 0​уходит в бесконечность. В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса. Достоинство​. Критерий Найквиста очень нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли САУ, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости. Вопросы 1. 2. 3. 4. 5. Что называется частотными критериями устойчивости САУ? В чем преимущество частотных критериев устойчивости перед алгебраическими: Сформулируйте принцип аргумента. Сформулируйте критерий устойчивости Михайлова. Поясните каждый из годографов на рис.69. Как вы судите об устойчивости соответствующих САУ? 6. Как из годографов на рис.69 соответствуют САУ, находящимся на границе устойчивости? 7. Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста. 8. Поясните, являются ли устойчивыми САУ, АФЧХ которых в разомкнутом состоянии представлены на рис.71. Почему? 9. В чем особенность использования критерия Найквиста для астатических САУ? 10. Как из годографов на рис.71 соответствуют САУ, находящимся на границе устойчивости? 10.1. Понятие структурной устойчивости. АФЧХ астатических САУ САУ может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев. САУ, неустойчивые по первой причине называются ​структурно неустойчивыми.​ Это означает, что изменением параметров САУ нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру. Например, если САУ состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис.72 . При увеличении коэффициента усиления САУ K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении ​K​крит​АФЧХ не пересечет точку (​-1, j0​). При дальнейшем увеличении ​K​, САУ будет неустойчива. И наоборот, при уменьшении ​K​такую САУ в принципе возможно сделать устойчивой, поэтому ее называют ​структурно устойчивой.​ Если САУ астатическая, то при ее размыкании характеристическое уравнение можно представить в виде: ​p D​1​p(p) = 0​, где​n​- ​порядок астатизма​, равный количеству последовательно включенных интеграторов. Это уравнение имеет нулевые корни, поэтому при здесь ​0​, АФЧХ стремится к (рис.71в и 71г). Например, пусть ​W​р​(p) =​ = 1​, тогда АФЧХ разомкнутой САУ: ​W(j )= Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при , ​Q( ) ​-j . Подобная АФЧХ представлена на рис.73. = P( ) + jQ( , ). 0​имеем ​P( ) - Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку ​(-1,j0)​. В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при ​0​, ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, САУ, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой. Если САУ имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма бесконечность во втором квадранте (рис.74). Например, пусть ​W​р​(p) = W(j )= = 2​), ее АФЧХ уходит в , тогда АФЧХ САУ: = P( ) + jQ( ). При 0 ​имеем ​P( ) - , Q( ) + j .​Такая САУ не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива. Структурно неустойчивую САУ можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие или форсирующие) или изменив структуру САУ, например, с помощью местных обратных связей. 10.2. Понятие запаса устойчивости В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют​запасом устойчивости​. Согласно критерия Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точки ​(-1, j0)​, тем больше запас устойчивости. Различают запасы устойчивости по модулю и по фазе. Запас устойчивости по модулю​характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием​h​от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис.75). Запас устойчивости по фазе х​арактеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью. Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении ​K = K​кр​АФЧХ пройдет через критическую точку (рис.76) и попадет на границу устойчивости, а при ​K > K​кр​​замкнутая САУ станет неустойчива. Однако в случае “клювообразных” АФЧХ (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение ​K​может привести к потере устойчивости замкнутых САУ (рис.77). В этом случае запас устойчивости определяется двумя отрезками ​h1​ ​ и ​h2​ ​, заключенными между критической точкой и АФЧХ. Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости ​h​и , за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой САУ входить не должна (рис.78). 10.3. Анализ устойчивости по ЛЧХ Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ. Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи ​K​1​< K​2​. Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет.(рис.79). Если ​W​1​(p)​- передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W​2​(p) = K W​ , где ​K = K​2​/K​1​. Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой 1​(p)​ из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и ​W​1​(p)​, поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев. Поэтому ЛАЧХ второй САУ: ​L​2​( а ЛФЧХ: ( 2​ )= ( 1​ ) = 20lgK + L​1​( )​, )​. Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы соответствует точке пересечения ЛФЧХ​ видно на АФЧХ, амплитуды ​A​1​( ) = 20lgA​1​( ) < 0 и L​2​( ) < 1, A​2​( =- =- . Это линии координатной сетки. При этом, как ) > 1​, что соответствует на САЧХ значениям ​ L​ ( 1​ ) > 0​. Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ = - будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю ​h​1​и ​h​2​, определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где логарифмическом масштабе. =- , но в Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты c1​ и , при которых это происходит называют ​частотами среза.​ c2​ В точках пересечения ​A( ) = 1 = > L( ) = 0​- ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ (рис.79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На c1 ​>​рис.79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии (рис.79а кривая 2) Угол​ 1​ = -(- c1​ =- < ​- , поэтому при c2 ​ . И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ = c2​ ЛФЧХ проходит ниже линии =- . )​является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии =- до ЛФЧХ. Исходя из сказанного, ​критерий устойчивости Наквиста по логарифмическим​ЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси ​[- ;-1]​, можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию частоты среза. =- , была больше Если АФЧХ разомкнутой САУ имеет сложный вид (рис.80), то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию = - . В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно. Вопросы 1. Какие САУ считаются структурно устойчивыми и структурно неустойчивыми? 2. В каком квадранте уходит в бесконечность АФЧХ разомкнутой САУ если порядок астатизма равен трем? Является ли такая САУ структурно устойчивой в замкнутом состоянии: 3. Как сделать устойчивой структурно неустойчивую САУ? 4. Что называется запасом устойчивости по модулю? 5. Что называется запасом устойчивости по фазе? 6. В чем особенность определения запасов устойчивости для клювообразных САУ? 7. Как влияет коэффициент усиления САУ на запасы устойчивости? 8. Чему соответствуют на АФЧХ пересечение ЛАЧХ оси w? 9. Чему соответствуют на АФЧХ пересечение ЛФЧХ значения j = -p? 10. Что называется частотой среза? 11. Сформулируйте критерий Найквиста для логарифмических характеристик. 12. В чем особенность логарифмических характеристик, если АФЧХ имеет клювообразный характер?