Теплопроводность

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕПЛОФИЗИКЕ Теплопроводность 1. Закон Фурье. Математические основы теории теплопроводности были разработаны французским математиком Фурье в начале ХIХ века, когда теплота считалась субстанцией – теплородом ,- перетекающей ,как жидкость, от более нагретого тела к менее нагретому. Пусть имеются две параллельные плоскости 1 и 2 на расстоянии d с постоянными температурами Т1 иТ2 (Т1 >Т2). Между плоскостями находится сплошная среда. Если это газ или жидкость, то вещество должно быть неподвижным, т.е. конвекция отсутствует. Вектор плотности потока тепла j направлен от 1 к 2 и равен количеству теплоты, проходящей за 1 с через 1 м2 площадки, перпендикулярной направлению потока тепла. Опыт показывает, что плотность потока тепла прямо пропорционален перепаду температур и обратно пропорционален расстоянию между плоскостями, Здесь λ (Вт/м К) - коэффициент теплопроводности. Обобщение (1) для произвольного температурного поля T = T(x,y,z) в неоднородной среде, где λ = λ (x,y,z), даёт закон Фурье: Оператор набла  , в применении к скалярному полю, является градиентом. Вектор плотности потока теплоты направлен в сторону наиболее быстрого падения температуры, перпендикулярно изотермам в координатном пространстве. Для решения простейших задач об установившемся потоке тепла при теплопроводности через плоскую, в том числе , многослойную стенку, достаточно уравнения (1). Например, имеется два слоя, толщины d1 ,d2 c λ1, λ2. Обозначим температуру между слоями Т12. Тогда Складываем эти уравнения и получаем (3) Для полного решения находим j и подставляем в предыдущее уравнение для нахождения температуры Т12. Внутри слоёв температура изменяется по линейному закону. В многослойной стенке закон изменения температуры представляет собой ломаную линию. Выражение в скобках в (3)называется термическим сопротивлением стенки, по аналогии с законом Ома: поток тепла j→ сила тока I, температурный напор ΔT→ электрическое напряжение U. 2.1. Уравнение теплопроводности. Одномерная задача. Рассматриваем перенос тепла в направлении оси х в выделенном неподвижном объёме, площадь в сечениях А и В равна ds. В сечение А за время dt поступает количество теплоты Через сечение В выходит теплота В выделенном объёме остаётся количество теплоты dq, которое равно разности этих величин. Её можно записать в виде При поступлении теплоты произойдёт изменение температуры dT, cвязанное с количеством теплоты dq = c dm dT = cv ρ dx ds dT. Здесь сv – удельная теплоёмкость при постоянном объёме . Подставляем в (4) и делим на объём ds dx и интервал времени dt. Теперь используем закон Фурье (2) для одномерной задачи: Подставим (6) в (5): В однородной среде коэффициенты, входящие в это уравнение, постоянны, и тогда, получаем уравнение теплопроводности в следующем виде: В этом уравнении χ – коэффициент температуропроводности. В трёхмерной задаче (5) превращается в Здесь Δ – оператор Лапласа. Уравнение (8) – уравнение теплопроводности, одно из важнейших уравнений математической физики. 2.2 Уравнение теплопроводности в случае сферической симметрии. Предположим, что однородный шар, поверхность которого имеет температуру T = T(t) обменивается теплом с однородной окружающей средой. Через произвольную сферу радиуса r за время dt проходит теплота Через сферу радиуса r+dr выходит теплота Теплота, которая пошла на изменение температуры сферического слоя толщиной dr , равна Дифференциал берётся от произведения r2 j. Изменение температуры слоя dT связано с dq: dq = сv ρ 4πr2 dr dT. Подставляем j из закона Фурье в сферической задаче И получаем В итоге в однородной среде получаем уравнение: Справа мы получили радиальную часть лапласиана в сферических координатах. 2.3Уравнение теплопроводности в случае осевой симметрии. Этот случай имеет большое практическое значение, т.к. описывает распространение тепла от нагретой трубы. Пусть имеется бесконечно длинный цилиндр радиуса R, поверхность которого имеет температуру T = T(t). Теплота, которая проходит через боковую поверхность произвольного цилиндра радиуса r>R длиной l за время dt Через поверхность радиуса r+ dr теплота выходит : . В цилиндрический слой поступает количество теплоты Подставляя j из (9), получаем после аналогичных преобразований уравнение теплопроводности в случае цилиндрической симметрии: Задача о переносе тепла от нагретой трубы, покрытой слоем изоляционного материала, в стационарном случае решается просто: поток тепла через любую цилиндрическую поверхность одинаковый. На 1 м длины цилиндра за 1с проходит теплота Постоянная P зависит от мощности нагревателя, который поддерживает температуру трубы T0. Отсюда Решение этого уравнения даёт логарифмический закон изменения температуры. Этот результат легко обобщается на многослойную трубу. 4. Коэффициент теплопроводности λ для газов. Теплопроводность, диффузия и вязкость объединяются термином явления переноса. В неравновесном состоянии, когда в некоторой области возникает повышение температуры, концентрации или поток газа, система стремится к равновесию. Во всех этих случаях молекулы переносят свои энергию, массу или импульс ближайшим соседям, на расстояние длины свободного пробега. где d- эффективный диаметр молекулы, n- концентрация. Коэффициент диффузии D, вязкости η и теплопроводности λ называются кинетическими коэффициентами, и они связаны между собой. Коэффициент диффузии D = 1/3 v. Коэффициент вязкости η = 1/3 ρ v. Коэффициент теплопроводности λ = 1/3 cv ρ v. В этих формулах – средняя арифметическая скорость молекул: Коэффициент кинематической вязкости ν (ню) и коэффициент температуропроводности χ (хи) оказываются совпадающими с коэффициентом диффузии. На самом деле совпадают с точностью до множителя порядка единицы. Если не учитывать зависимость эффективного диаметра молекулы d от температуры давления, то коэффициент вязкости газа растет с температурой как Т1/2. Если не учитывать изменение теплоёмкости при изменении температуры, то коэффициент теплопроводности λ растёт как Т1/2. На самом деле с ростом температуры активируются дополнительные степени свободы, и теплоёмкость скачками увеличивается. А вот зависимость η и λ от давления практически несущественна, поскольку плотность ρ пропорциональна концентрации n, а длина свободного пробега обратно пропорциональна ей. Только в разреженных газах, когда длина пробега определяется размером сосуда, это несправедливо.