Первая и вторая формулы Грина для оператора теплопроводности

Лекция 10. Первая и вторая формулы Грина для оператора теплопроводности. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности Будем рассматривать уравнение теплопроводности в ограниченной n-мерной области : Введем обозначения: – бесконечный цилиндр в -мерном пространстве с основанием , – цилиндр конечной высоты , – боковая поверхность цилиндра , – сечение цилиндра плоскостью (оно же верхнее основание цилиндра ). Далее, обозначим через оператор теплопроводности и через оператор, сопряжённый к . Наконец, будем обозначать через градиент функции по пространственным переменным и через градиент ее по всем переменным. 1. Формулы Грина. Введём обозначение . Утверждение. Пусть . Тогда справедливы формулы Грина: (1-я формула Грина) и (2-я формула Грина), где – единичный вектор внешней нормали к поверхности цилиндра ( – проекция на ось , – на оси ). Доказательство. Рассмотрим -мерное векторное поле . По формуле Гаусса-Остроградского Имеем: откуда с учетом определения оператора теплопроводности Далее, поскольку на боковой поверхности цилиндра , получаем: На основаниях цилиндра и и соответственно, откуда Заменив интегралы в на равные им интегралы в соответствии с вышеприведенными формулами, получим 1-ую формулу Грина. Для вывода 2-ой формулы Грина применим формулу Гаусса-Остроградского к векторному полю : Повторяя те же выкладки, что и при выводе 1-ой формулы Грина, придем к равенству Вычитая полученное равенство из 1-ой формулы Грина и перенося интеграл в левую часть, приходим ко 2-ой формуле Грина. 2. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Пусть – функция Хевисайда. Рассмотрим функцию -ух переменных где . Эта функция называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Утверждение 1. Функция бесконечно дифференцируема всюду, кроме точек плоскости . При этом для каждой фиксированной точки Доказательство. В полупространстве и утверждение очевидным образом выполнено. При доказательство представляет собой простое упражнение на дифференцирование. Остается случай . Применив правило Лопиталя, несложно убедиться, что при 0 и как сама функция , так и все ее частные производные стремятся к нулю, благодаря чему утверждение оказывается выполненным и во всех точках плоскости , за исключением . Следствие. Для каждой фиксированной точки Доказательство. Достаточно заметить, что , и сослаться на предыдущее утверждение. Утверждение 2. При любых фиксированных и Доказательство. Делая замену , и используя известное значение интеграла Пуассона , получим: