Теория вероятностей

Раздел 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ (ПОВТОРЕНИЕ) 2 1.1. Пространство элементарных событий. Случайный эксперимент Опр. 1. 1. 1. Под случайным экспериментом понимается такой эксперимент, результат которого нельзя предсказать точно до его осуществления. 3 1.1. Пространство элементарных событий. Элементарный исход с.э. Опр. 1. 1. 2. Взаимоисключающие, неразложимые ни на какие другие результаты исходы случайного эксперимента (с.э.), называются элементарными исходами (э.и.) с.э. Обозначение:  4 1.1. Пространство элементарных событий Опр. 1. 1. 3. Совокупность (множество) всех элементарных исходов , соответствующее данному случайному эксперименту, называют пространством элементарных исходов. (п.э.и.) Обозначение:   1 , 2 ,..., m    1 , 2 ,..., m ,... 5 1.1. Пространство элементарных событий. Случайное событие Опр. 1.1.4. Результат случайного эксперимента – случайное событие. Обозначение: А, В, С,… Случайному событию можно поставить в соответствие некоторое подмножество п.э.и.: A  1 , 2 ,..., M , i  , i  1,..., M 6 1.1. Пространство элементарных событий. Пример 1. • А = «выпало 6 очков» • В = «выпало чётное число очков» • С = «выпало число очков меньше 3» A  1 , 2 ,..., M , i  , i  1,..., M Если событие А состоит из М элементарных исходов, то говорят, что событию А благоприятствует М элементарных исходов 7 1.1. Пространство элементарных событий. Опр. 1.1.5. Невозможное случайное событие - это событие, которое не может произойти в данном случайном эксперименте. Обозначение: Опр. 1.1.6. Достоверное случайное событие это событие, которое обязательно происходит в данном случайном эксперименте. Обозначение:  8 1.2. Действия со случайными событиями Диаграмма Эйлера-Венна  А В 9 1.2. Действия со случайными событиями Опр. 1.2.1. Суммой двух случайных событий А и В называется случайное событие, состоящее из элементарных исходов, которые содержаться или в А, или в В, или принадлежат им обоим. Обозначение: A B или A B A  B     A или   B или   A и   B 10 1.2. Действия со случайными событиями Опр. 1.2.2. Произведением двух случайных событий А и В называется случайное событие, состоящее из элементарных исходов, которые содержаться и в А, и в В. Обозначение: A B или AB A  B     A и   B  11 1.2. Действия со случайными событиями Опр. 1.2.3. Два случайных события называются несовместными, если их произведение есть событие невозможное: A B  12 1.2. Действия со случайными событиями Опр. 1.2.4. Разностью двух случайных событий А и В называется случайное событие, состоящее из элементарных исходов, которые содержаться в А, но не содержаться в В. Обозначение: A B A B     А и   В 13 1.2. Действия со случайными событиями Опр. 1.2.5. Случайное событие А называется противоположным случайному событию А, если множество, из которого оно состоит, включает в себя все элементарные исходы п.э.и.  , но не включает э.и., принадлежащие А. Обозначение: A      и   А   А 14 1.2. Действия со случайными событиями Пример 2. • А = «выпало 6 очков» • В = «выпало чётное число очков» 1. А  В  2. B \ A  3. А  В  4. A  15 1.2. Действия со случайными событиями Опр. 1.2.6. Случайное событие А влечет за собой случайное событие В, если всегда, как только происходит с.с. А, происходит и с.с. В. Обозначение: А В Пример 3. • А = «выпало 6 очков» •В= А В 16 1.2. Действия со случайными событиями Опр. 1.2.7. Два случайных события А и В называются тождественными (или эквивалентными), если с.с. А влечет за собой с.с. В и наоборот, т.е. с.с. В влечет за собой с.с. А. Обозначение: А В А  В, В  А  А  В 17 1.2. Действия со случайными событиями Пример 4. • А = «выпало максимальное число очков» • В = «выпало число очков больше 5» 18 1.2. Действия со случайными событиями • Частные случаи: 1.   А   2. А  А 3. А   А 4. А  19 1.2. Действия со случайными событиями Опр. 1.2.8. Случайные события А1 , А2 ,..., Аn образуют полную группу событий, если выполняются следующие условия: 1. А1  А2  ...  Аn   2. Ai  Aj  для i  j; i, j  1,..., n 20 1.3. Определение вероятности случайного события I. Статистический подход Опр.1.3.1. Число появлений с.с. А в серии из n испытаний называют частотой и обозначают:  , а относительной частотой с.с. А называют отношение вида: Р  A  * n  n 21 1.3. Определение вероятности случайного события Пример 5. Монету подбросили 1024 раза и наблюдают за тем, сколько раз на верхней грани выпал герб (с.с.А). В результате эксперимента герб выпал 605 раз. Найдите относительную частоту выпадения герба. Опыт Бюффона: 4040 подбрасываний, герб – 2048 раз. Опыты Пирсона: 12000 подбрасываний, герб – 6019 раз; 24000 подбрасываний, герб – 12012 раз 22 1.3. Определение вероятности случайного события Свойства относительной частоты 1. 0  Р  A  1 * n 2. Р    1 * n 3. Пусть АВ  , тогда P  A  B   P  A  P  B  * n * n * n Относительная частота – статистический подход, который является оценкой для вероятности случайного события. 23 1.3. Определение вероятности случайного события II. Классический подход Предположения. 1. П.э.и. содержит конечное число исходов – N. 2. Шансы появиться в случайном эксперименте у каждого элементарного исхода равны, т.е. все исходы равновозможны. В данном случае мера возможности появления каждого элементарного исхода равна 1 . N Пусть М – число элементарных исходов с.с. А 24 1.3. Определение вероятности случайного события Формула классической вероятности В качестве меры возможности появления случайного события А при соблюдении предположений 1, 2 можно выбрать соотношение вида: M P A  N 25 1.3. Определение вероятности случайного события Пример 6. Монету подбросили 1 раз и наблюдают за тем, выпал ли герб на верхней грани (с.с.А). С какой вероятностью может выпасть герб? Пример 7. В коробке 43 шара, из них 18 белых, а остальные – синие. Из коробки, не глядя, вынимают шар и фиксируют его цвет. Какова вероятность, что вынутый шар белого цвета? 26 1.3. Определение вероятности случайного события Свойства классической вероятности. 1. 0  Р A  1 2. Р  1 3. Пусть АВ  , тогда P A  B  P A  PB Формула классической вероятности – способ вычисления вероятности при выполнении условий классической схемы. 27 1.3. Определение вероятности случайного события III. Геометрический подход  D В качестве оценки возможности появления события используется соотношение вида: mes ( D) P( A)  mes () 28 1.3. Определение вероятности случайного события IV. Аксиоматический подход Академик Колмогоров А. Н. Пусть задано пространство э.и. Ω некоторого случайного эксперимента. Опр.1.3.2. (Аксиоматическое) Каждому с.с. А соответствует некоторое число Р(А), называемое вероятностью, и такое, что выполняются следующие аксиомы: 29 1.3. Определение вероятности случайного события Аксиомы Колмогорова • Аксиома 1. 0  Р ( А)  1 • Аксиома 2. Р ()  1 • Аксиома 3. Если АВ  ∅ , то Р ( A  В )  Р ( А)  Р ( В ) Аксиоматическое определение вероятности – единственное формальное определение понятия «вероятность с.с.». 30 1.3. Определение вероятности случайного события Следствия из аксиом Колмогорова (Свойства вероятности) Следствие 1.3.1. Если с.с. А1 , А2 ,..., Аn , образуют полную группу, то Р А1  А2  ...  Аn   1 Следствие 1.3.2. Р  А  Р  А   1 31 1.3. Определение вероятности случайного события Следствия из аксиом Колмогорова (Свойства вероятности) Следствие 1.3.3. Вероятность невозможного события равна 0: Р ∅ = 0. Следствие 1.3.4. Если А  следующие соотношения: В , то имеют место 1. Р А  РВ  2. РВ \ А  РВ   Р А 32 1.4. Условная вероятность Пусть в с.э. могут произойти с.с. А и В. Пусть РВ   0. Опр. 1.4.1. Условной вероятностью с.с. А, при условии, что с.с. В произошло, называется отношение: Р АВ  Р А / В   Р В  33 1.4. Условная вероятность Аксиомы Колмогорова и функция Р(А/В) Аксиома 1. Аксиома 2. 0  Р А / В   1 Р  / В   1 Аксиома 3. Если А1 А2 ∅, то Р  А1  А2  / В   Р  А1 / В   Р  А2 / В  34 1.4. Условная вероятность Пример 8. Кубик бросают 1 раз. Найти вероятность того, что выпала «6» , если известно, что выпало чётное число очков. 35 1.4. Условная вероятность Опр. 1.4.2. Говорят, что с.с. А не зависит от с.с. В, если имеет место равенство: Р  А / В   Р  А Замечание. Если с.с. А не зависит от с.с. В, то и с.с. В не зависит от с.с. А. Свойство независимости случайных событий является взаимным. Опр. 1.4.3. Говорят, что с.с. А не зависит от с.с. В, если имеет место равенство: Р  АВ   Р  АР В  36 1.4. Условная вероятность Утверждение. Если с.с. А и В, независимы, то и следующие пары случайных событий будут независимы:  Аи В АиВ АиВ 37 1.5. Теоремы о вероятности суммы и произведения случайных событий Теорема 1.5.1. (о вероятности произведения двух случайных событий). Если известна вероятность Р А и условная вероятность РВ / А, то вероятность произведения с.с. А и В вычисляется по формуле: Р А  В   Р АРВ / А, или по формуле: Р А  В   РВ Р А / В , если известны вероятности РВ  и Р А / В . 38 1.5. Теоремы о вероятности суммы и произведения случайных событий Теорема 1.5.2. (О вероятности суммы двух случайных событий). Вероятность суммы двух совместных случайных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: Р А  В   Р А  РВ   Р АВ  39 1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Теорема 1.6.1. (формула полной вероятности). Пусть случайные события 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 образуют полную группу событий и пусть известны 𝑃(𝐴𝑖 ) и 𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛, а с.с. В происходит вместе с одним из с.с. 𝐴𝑖 . Тогда вероятность случайного события 𝐵 можно вычислить по формуле: 𝑛 𝑃 𝐵 = 𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ) 𝑖=1 = 𝑃(𝐴1 ) 𝑃(𝐵/𝐴1 )+ … + 𝑃(𝐴𝑛 ) 𝑃(𝐵/𝐴𝑛 ) называемой формулой полной вероятности. 40 1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса Замечание. Случайные события 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 называют гипотезами, а вероятности 𝑃(𝐴𝑖 ) – априорными вероятностями. Априорные (от лат. а priori, букв. – из предшествующего) вероятности – вероятности, вычисленные «до опыта» 41 1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса Теорема 1.6.2. (формула Байеса). Пусть случайное событие 𝐴𝑚 , 𝑚 = 1, … , 𝑛 - это некоторая фиксированная гипотеза и пусть выполняются все условия теоремы 1.6.1, т.е. 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 образуют полную группу событий и известны 𝑃(𝐴𝑖 ) и 𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ) , 𝑖 = 1, … , 𝑛. Тогда вероятность гипотезы 𝐴𝑚 , при условии, что с.с. В произошло, находится по формуле : 𝑃(𝐴𝑚 ) 𝑃(𝐵/𝐴𝑚 ) 𝑃(𝐴𝑚 ) 𝑃(𝐵/𝐴𝑚 ) 𝑃 𝐴𝑚 /𝐵 = 𝑛 = 𝑃(𝐵) 𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 )𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ) называемой формулой Байеса. 42 1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса Замечание. Вероятности 𝑃 𝐴𝑚 /𝐵 апостериорными вероятностями. называют Апостериорные (от лат. а posteriori, букв. – из последующего) вероятности – вероятности, вычисленные «после опыта». 43