Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни

Лекции 5-10 ТЕОРИЯ СТРАХОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТАБЛИЦ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ЖИЗНИ И СВЯЗАННЫХ С ЭТИМИ ТАБЛИЦАМИ ХАРАКТЕРИСТИК И ФУНКЦИЙ 3.1 Страхование на чистое дожитие 3.2 Страхование рент 3.3 Страхование жизни 3.4 Ренты, выплачиваемые несколько раз в год 3.5 Накопительное страхование с фиксированными взносами 3.6 Страховые премии ЛЕКЦИЯ 5 3.1. Страхование на чистое дожитие Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах: страхование сумм (капитала) и страхование рент (аннуитетов). В первом случае при наступлении страхового события (смерти или дожития) выплачивается единовременно определенная сумма денег, во втором случае – страховщик производит регулярные выплаты в течение определенного периода времени или пожизненно. В классическом страховании жизни имеют место только два страховых события: дожитие до определенного срока и смерть в период действия договора. Ожидаемая текущая стоимость выплат Наиболее простым вариантом является страхование на чистое дожитие, которое заключается в страховании определенной суммы денег на определенный срок. В случае смерти страхователя в период действия договора страховая сумма не выплачивается, и взносы не возвращаются. Определим текущую стоимость страховых выплат на момент заключения договора страхования. Пусть группа страхователей численностью в возрасте заключила со страховщиком договор страхования на дожитие сроком на лет. Дожившие до окончания срока страхования должны получить страховую сумму . Очевидно, что суммарная выплата, которую должен осуществить страховщик по окончании срока договора, равняется числу доживших до возраста , умноженному на страховую сумму: , где – коэффициент дисконтирования, – годовая процентная ставка, или годовая норма доходности. В расчете на каждого страхователя, заключившего договор, это составляет величину . (1) Таким образом, получили величину единовременного взноса, который должен заплатить каждый страхователь при заключении договора. Этот же результат можно получить другим путем, рассчитывая накопленную стоимость фонда, сформированного взносами страхователей в момент заключения договора. Если каждый страхователь в возрасте внес взнос , то первоначальная стоимость фонда равна . Множитель наращения за лет равен . К моменту окончания договора накопленная стоимость этого фонда составит . Приравнивая эту величину к сумме страховых выплат , получим формулу (1). Если сравнить формулу (1) с формулой (приращение начальной суммы при непрерывной капитализации процентов), то видно, что она отличается наличием множителя – вероятностью дожития до возраста лица, застрахованного в возрасте . Эта величина всегда меньше единицы, поэтому нетто-взнос каждого застрахованного будет меньше текущей стоимости единичной страховой суммы. Причина этого заключается в том, что часть застрахованных, уплативших взносы, не доживает до конца срока страхования, и их взносы перераспределяются между оставшимися в живых. С учетом этого обстоятельства взнос каждого из них уменьшается на соответствующую величину. Величину в правой части формулы (1) называют актуарной текущей стоимостью страховой суммы или ожидаемой текущей стоимостью. Прибыль от смертности Перераспределение взносов умерших в пользу доживших дает дополнительную прибыль от смертности. Определим годовую норму доходности с учетом прибыли от смертности. Если в начале года величина страхового фонда составляет , численность застрахованных – , величина индивидуального страхового фонда (в расчете на одного застрахованного) – , то в конце года величина страхового фонда увеличится за счет процентного роста до значения , численность застрахованных уменьшится на величину , а величина индивидуального страхового фонда станет равной . Годовая норма доходности для возраста будет равна . (2) Эта норма доходности называется актуарной годовой нормой доходности (однако термин не является общепринятым). Из формулы (2) видно, что при невысокой процентной ставке актуарная годовая норма доходности может оказаться заметно выше ее. Так при страховании жизни в странах с развитой экономикой величина процентной ставки обычно составляет 4-5%, тогда как вероятность смерти в течение года, согласно таблице смертности, составляет для мужчин в возрасте 50 лет 2,2%, в возрасте 60 лет – 4,3%. Для актуарной нормы доходности можно ввести также актуарный годовой множитель наращения и актуарный годовой дисконтный множитель: (3) Формулу (1) можно получить, осуществляя дисконтирование суммы с актуарным дисконтным множителем (что эквивалентно дисконтированию с переменной процентной ставкой): (4) Годовая процентная ставка, используемая в расчетах по страхованию жизни, называется технической процентной ставкой или техническим процентом. Технический процент выбирается страховщиком в таком размере, чтобы при самых неблагоприятных обстоятельствах обеспечить выбранную доходность инвестиций. Обычно величина технического процента ниже той фактической нормы доходности, которую получает страховщик. Поскольку динамика приращения капитала и демографические процессы никак не зависят от величины страховой суммы, в актуарной математике принято производить все расчеты для страховой суммы, равной единице. Величину страхового взноса с единицы страховой суммы называют тарифной ставкой или тарифом. Для любой конкретной страховой суммы величину страхового взноса легко получить, умножая тарифную ставку на эту сумму. Для обеспечения единого подхода к решению актуарных задач по страхованию жизни в 1898 г. на втором Международном конгрессе актуариев в Лондоне были приняты единые актуарные обозначения. Для обозначения различного рода единовременных платежей используется заглавная буква , для регулярных периодических платежей – строчная буква . При страховании на чистое дожитие ожидаемая текущая стоимость страховых выплат в расчете на одного страхователя со страховой суммы, равной единице, обозначается следующим образом: . (5) Формула (5) определяет ожидаемую текущую стоимость единичной суммы, т.е. является актуарным дисконтным множителем за лет в соответствии с формулой (4). Эта величина имеет свойство – актуарное дисконтирование на срок лет от возраста до возраста эквивалентно последовательному актуарному дисконтированию сначала на лет от возраста до возраста , а затем еще на лет до возраста . Коммутационные функции Для упрощения актуарных расчетов часто используют так называемые коммутационные функции, для которых составлены таблицы. Функция, используемая в страховании на дожитие . (6) Ее смысл – если при рождении группы детей численностью их страхуют на дожитие с условием выплаты единичной страховой суммы по достижению возраста , то формула (6) дает ожидаемую текущую стоимость суммы страховых выплат, т.е. суммарную страховую премию. С помощью коммутационной функции формулу (5) можно представить в виде . (7) ЛЕКЦИЯ 6 3.2. Страхование рент Во многих случаях более предпочтительным для страхователей является не получение единовременной выплаты, а регулярный доход в течение определенного периода или пожизненно. Регулярные выплаты через равные промежутки времени называют страховой рентой или аннуитетом. Часто термин «аннуитет» относят только к последовательности платежей с ограниченным сроком. Страховая рента отличается от обычной финансовой ренты тем, что выплачивается только при условии, что ее получатель жив, т.е. является условной рентой. Обыкновенная пожизненная рента. Наиболее распространенным видом страховой ренты является обыкновенная пожизненная рента, которая выплачивается в конце каждого года дожития в течение всей жизни застрахованного. Так как платежи осуществляются в конце каждого временного периода, то обыкновенную ренту называют еще рентой постнумерандо. Начиная с некоторого момента человек раз в год в конце года начинает получать определенную сумму (которую обычно принимают в качестве условной денежной единицы). Выплаты производятся только во время жизни человека. Определим ожидаемую текущую стоимость ренты на начало контракта, а также на начало каждого года в течение срока действия контракта. Пусть лиц в возрасте заключают договор страхования, предусматривающий регулярные выплаты размером в единицу в конце каждого года пожизненно. Тогда в конце первого года страховщик выплатит сумму , в конце второго года – и т.д. до тех пор, пока будет жив хотя бы один страхователь. Последняя выплата будет осуществлена лицам в возрасте . Текущая стоимость страховых выплат на момент заключения договора составит соответственно Суммарная текущая стоимость всех выплат ренты . (1) В расчете на одного страхователя, заключившего договор в возрасте , это составит . (2) Формула (2) определяет ожидаемую текущую стоимость пожизненной ренты с выплатами в конце каждого года, равными единице, для страхователя в возрасте . Очевидно, что величина единовременного взноса, который должен заплатить каждый страхователь при заключении договора равна . Взносы по страховой ренте собираются со всех, выплаты же производятся только дожившим до сроков ее выплаты, на это показывает множитель . Поскольку взносы умерших перераспределяются в пользу оставшихся в живых, то при равной величине выплат стоимость страховой ренты всегда ниже стоимости финансовой ренты. Формулу (2) можно также получить, представив контракт по страхованию ренты в виде совокупности контрактов на дожитие с единичной страховой суммой сроком на 1, 2, 3, года и т.д. Тогда ожидаемая текущая стоимость выплат рент равна сумме ожидаемых текущих стоимостей выплат по соответствующим контрактам на дожитие . (3) Приведенная пожизненная рента Наряду с обыкновенной рентой часто используется приведенная рента или пренумерандо, когда платежи осуществляются в начале каждого временного периода. Начиная с некоторого момента человек раз в год начинает получать определенную сумму (которую обычно принимают в качестве условной денежной единицы). Выплаты производятся только во время жизни человека. Ожидаемая текущая стоимость ренты пренумерандо вычисляется так же, как и для ренты постнумерандо: . (4) Приведенные ренты широко используются при расчете страховых взносов, уплачиваемых в рассрочку. Сравнивая формулы (3) и (4) видим (5) Коммутационные функции Для упрощения актуарных расчетов по страхованию ренты используют следующую коммутационную функцию . (6) Смысл этой функции следующий: если при рождении группы детей численностью заключается договор страхования с условием пожизненной выплаты ренты размером в единицу в начале каждого года начиная с возраста , то формула (6) дает текущую стоимость страховых выплат или суммарную величину единовременного страхового взноса. С помощью коммутационной функции формулы (3) и (4) примут вид: , . Срочные ренты Если выплата ренты ограничена определенным сроком, например лет, то рента называется срочной. Пусть – настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента – лет. Обыкновенная срочная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год в конце года пожизненно, начиная с момента , но не более, чем лет. Стоимость обыкновенной срочной ренты . Пусть – настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента – лет. Приведенная срочная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год пожизненно, начиная с момента , но не более, чем лет. Таким образом, если человек проживет еще лет (т.е. если ), то производится ровно выплат в начале каждого года; если же , то производится выплат. Стоимость приведенной срочной ренты . Отложенные ренты Рассмотренные выше ренты называются немедленными, так как срок их действия начинается сразу после заключения контракта. Срок действия отложенных (или отсроченных) рент запаздывает относительно этого момента на период отсрочки. Пусть – настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента – лет. Отложенная на лет обыкновенная пожизненная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год, начиная с момента , до тех пор, пока человек жив. Однако если человек умрет до момента , то ни одной выплаты не производится. Стоимость отложенной на лет пожизненной ренты постнумерандо . Пусть – настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента – лет. Отложенная на лет приведенная пожизненная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год, начиная с момента , до тех пор, пока человек жив. Однако если человек умрет до момента , то ни одной выплаты не производится. Стоимость отложенной пожизненной ренты пренумерандо . Отложенная срочная рента постнумерандо Отложенная срочная рента пренумерандо . ЛЕКЦИЯ 7 3.3. Страхование жизни Наряду со страхованием на дожитие весьма популярным (и гораздо более дешевым) является страхование жизни, когда страховая выплата осуществляется в случае смерти застрахованного. Страхование жизни имеет две основные формы: а) пожизненное страхование; б) страхование на срок, когда страховая сумма выплачивается только в том случае, если застрахованный умрет, не дожив до срока окончания договора. Пожизненное страхование Пусть лиц возраста заключили договор на пожизненное страхование. Спустя год после заключения договора в живых останутся только лиц, а умрут в течение года. Будем считать для простоты, что страховые выплаты осуществляются в конце года смерти застрахованного. Тогда текущая стоимость выплат первого года страхования будет равна , второго года – , третьего года – и т.д. (расчеты также производятся для единичной суммы). Текущая стоимость страховых выплат по всем договорам составляет . (1) В расчете на один договор страхования получим . (2) Формула (2) определяет текущую стоимость пожизненного страхования с выплатой в конце года смерти. Перепишем формулу (2), учитывая , тогда . (2а) Из формулы (2а) видно, что вклад выплат за год страхования в стоимость полиса по страхованию жизни равен текущей стоимости выплат, умноженной на вероятность умереть в течение -го года, которая в свою очередь равна вероятности дожить до начала этого года, умноженной на вероятность смерти в течение года. Страхование жизни на срок При страховании жизни на срок ( лет) ожидаемая текущая стоимость выплат будет . (3) Изобразим графически схему страхования жизни сроком на 3 года. В момент времени страховщик получает взнос в размере в расчете на одного застрахованного, затем в течение периода от 0 до 1 года происходит приращение этой суммы ( в силу начисления процентов) , затем в момент времени производится первая выплата (по смертям произошедшим в течение первого года), затем в течение периода от 1- го до 2-го года происходит наращивание оставшейся суммы, затем в момент производится вторая выплата, после чего остаток нарастает к моменту времени , в который и производится последняя выплата, полностью исчерпывающая остаток средств. Коммутационные функции Для упрощения расчетов по страхованию жизни вводятся следующие коммутационные функции: , (4) . (5) Тогда формулы (2) и (3) можно переписать в следующем виде: (6) Страхование с выплатой в момент смерти До сих пор было рассмотрено страхование, при котором страховые выплаты осуществлялись в конце года смерти застрахованного. На практике, как правило, договор страхования предусматривает выплату страховой суммы сразу после установления факта смерти. Поэтому при вычислении текущей стоимости страховой выплаты следует осуществлять дисконтирование от момента смерти, а не от конца года, что реализуется заменой:, где – интервал времени от начала -го года страхования до момента смерти (в долях года). Более сложная задача – вычисление ожидаемого количества смертей в течение года. Дело в том, что таблицы смертности дают информацию об общем количестве смертей за год, не детализируя их распределение по месяцам или неделям года. Поэтому для вычисления количества смертей в определенном временном интервале внутри года необходимо принять какую-либо гипотезу о характере этого распределения. Наиболее простым и естественным является предположение о равномерном распределении смертей внутри года. Если разбить -й год страхования на равных интервалов времени длительностью, то количество смертей за любой интервал времени составит . Будем считать, что все выплаты по страховым случаям, происшедшим в соответствующем временном интервале, осуществляются в конце этого интервала, т.е. совокупность страховых выплат представляет собой -срочную ренту постнумерандо. Тогда ожидаемая текущая стоимость страховых выплат за этот год составит . (7) (при выводе формулы (7) использовали формулу для суммы геометрической прогрессии) Переходя ко все более и более коротким интервалам времени (), получим . В результате текущая стоимость страховых выплат за год равна: . Ожидаема текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых в момент смерти, для пожизненного страхования () равна: . (8) В актуарной математике обозначения с чертой сверху относятся к непрерывным выплатам. В данном случае страховые выплаты происходят достаточно часто, т.е. практически непрерывно в течение каждого года страхования. Формула (8) отличается от соответствующей формулы (2) для страхования с выплатой в конце года смерти наличием дополнительного множителя. Величина этого множителя при небольших значениях годовой процентной ставки определяется приближенной формулой . Аналогичным образом для стоимости срочного контракта по страхованию жизни сроком на лет вместо формулы (3) получим . (9) Изобразим графически зависимость ожидаемой текущей стоимости от времени для страхования жизни сроком на 3 года со страховыми выплатами непосредственно после установления факта смерти застрахованного. В момент времени страховщик получает взнос в размере в расчете на одного застрахованного, затем в течение всего срока страхования происходит некоторое приращение этой суммы (в силу начисления процентов), с одной стороны, и непрерывное ее уменьшение в результате страховых выплат – с другой, причем последний процесс является более преобладающим. К моменту окончания срока страхования полностью исчерпываются полученные средства. ЛЕКЦИЯ 8 3.4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год Ежегодные ренты встречаются значительно реже, чем ренты, выплачиваемые несколько раз в год. Так, например, пенсии выплачиваются ежемесячно. Страховые премии также часто вносятся ежемесячно или ежеквартально. Принципы расчета текущей стоимости этих рент такие же, как и в случае ежегодных рент, однако вывод окончательных формул более сложен в связи с тем, что необходимо уметь вычислять дисконтные множители и численность доживающих для интервалов времени, длительность которых менее года. Для дисконтных множителей мы предполагаем, что наращивание процентов происходит непрерывно; для промежуточных же значений численности доживающих используется линейная интерполяция . Рассмотрим авансированную срочную ренту, выплачиваемую раз в год. Величина каждой выплаты равна , поэтому суммарная выплата за год, как и в случае ежегодной ренты, равна единице. Текущая стоимость этой ренты обозначается так же, как и для ежегодной ренты, но с верхним индексом : . (1) Простые формулы для -кратных рент Если значение годовой процентной ставки достаточно мало, то можно считать, что линейная интерполяция справедлива не только для числа доживающих, но и для дисконтного множителя (т.е. в пределах года начисление процентов происходит по закону простых процентов). Тогда и для коммутационной функции также будет справедлива линейная интерполяция в пределах года: . (2) Подставим формулу (2) в формулу (1) и выполним суммирование по : ; . Затем выполним суммирование по с использованием формулы для суммы членов арифметической прогрессии: . (3) Аналогичным образом можно получить и формулу для обычной ренты . (4) Если процентная ставка достаточно велика, то линейная интерполяция (2) для неприменима, и требуется более детальный анализ. Точные формулы для -кратных рент для произвольной процентной ставки Если процентная ставка достаточно велика, то линейная интерполяция (2) для неприменима. Поэтому будем использовать в расчетах линейную интерполяцию только для числа доживающих (), для дисконтных же множителей будем использовать точные выражения. В результате получим ; , где – фактические процентная и учетная ставки за период, равный части года, определяемые формулами ; (эффективная процентная ставка); ; (эффективная годовая учетная ставка). Непрерывные ренты Если выплаты ренты происходят достаточно часто, то можно считать, что процесс выплаты рент непрерывен (особенно для еженедельных выплат). Текущую стоимость непрерывной ренты легко получить из формул (3) или (4) при : . 3.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами В страховой практике часто используют накопительные схемы страхования, в которых фиксируются величины не страховых выплат, а уплачиваемых взносов. Искомая величина, подлежащая определению с помощью актуарных расчетов, – накопленная величина вкладов. Причина популярности таких схем заключается в том, что страхователи психологически легче воспринимают банковскую схему наращения вклада, которая позволяет легко оценить доходность. Кроме того, вследствие постоянного изменения процентной ставки, не представляется возможным гарантированно спланировать на срок более года страхование по классической схеме с нормой доходности, способной конкурировать с сегодняшней доходностью банковских вкладов. Применение схемы с фиксированными взносами позволяет работать с плавающей процентной ставкой, которую можно в каждый момент времени выбрать на достаточно высоком конкурентоспособном уровне. Если каждый член большой группы численностью в возрасте внесет в фонд платеж в размере 1, то через лет накопленная сумма будет равна . В расчете на одного дожившего до возраста это даст . (1) Из формулы (1) видно, что наращение суммы будет происходить более высокими темпами, чем на банковском вкладе с такой же процентной ставкой, за счет перераспределения вкладов умерших между дожившими. Если каждый член группы в начале каждого года вносит в фонд сумму в размере 1 (рента пренумерандо), то накопленная через лет сумма в расчете на одного дожившего будет равна . (2) Если взносы будут вноситься в конце каждого года (рента постнумерандо), то аналогичным образом получим . (3) Сравнивая формулы (2), (3) с формулами и видим, что они связаны универсальным соотношением . (4) 3.6. Страховые премии Основные определения Ранее была рассмотрена теория страховых выплат для различных видов страхования жизни и была определена единовременная стоимость страховых выплат на момент заключения договора. Однако долгосрочные контракты по страхованию жизни оплачиваются единовременным взносом только в редких случаях – слишком велика их стоимость. Как правило, страховая премия уплачивается в рассрочку – ежегодно, ежеквартально, ежемесячно. Если при единовременной оплате страхователь полностью выполняет свои обязательства на момент заключения договора, то при периодической уплате взносов они выполняются в рассрочку. Очевидно, что от способа уплаты страховой премии страхователем стоимость обязательств страховщика никак не зависит. При расчете величины периодически уплачиваемых взносов необходимо учитывать как процентный доход от их инвестирования, так и демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает существенное влияние на величину взносов, поскольку далеко не все страхователи успевают до наступления смерти уплатить все предусмотренные контрактом взносы. Если величина периодически уплачиваемых взносов постоянна, то совокупность этих взносов представляет собой постоянную ренту платежей. В связи с тем, что договор страхования вступает в силу только после получения первого взноса, рента страховых платежей всегда является приведенной (рента постнумерандо). Основа для расчета величины страховых взносов – условие равенства обязательств страховщика и страхователя на момент заключения договора: ожидаемая текущая стоимость предстоящих страховых выплат должна быть равна ожидаемой текущей стоимости предстоящих текущих взносов. Если договор страхования сроком на лет заключен в возрасте , ожидаемая текущая стоимость страховых выплат равна , а неизвестная величина ежегодных страховых взносов равна , то это равенство имеет вид , (1) где – ожидаемая текущая стоимость ренты с ежегодными платежами единичной величины. Отсюда ежегодный взнос . (2) Формула (2) показывает, во сколько раз величина ежегодного взноса меньше величины единовременно уплачиваемого взноса, поэтому величину часто еще называют коэффициентом рассрочки. Если уменьшение численности страхователей и процентный доход от взносов равны нулю (, то коэффициент рассрочки будет в точности равен продолжительности срока платежей . Часто период уплаты страховой премии составляет лишь часть срока действия договора страхования. В течение периода уплаты страховой премии страхователь обязан полностью внести подлежащие уплате взносы, т.е. полностью выполнить свои обязательства. Срок уплаты премий будем обозначать буквой . Первая премия вносится в начале первого года страхования, последняя – в начале -ого года. Величина ежегодного взноса определяется тогда формулой . (3) Период от даты уплаты последнего взноса до первой (или единственной) страховой выплаты называют выжидательным. При страховании капитала на дожитие выжидательный период продолжается до окончания срока договора страхования. При страховании ренты выжидательный период заканчивается с началом периода выплат ренты. ЛЕКЦИЯ 9 Нетто-премии для элементарных видов страхования Страхование на чистое дожитие Рассмотрим сначала наиболее простую ситуацию, когда выжидательный период отсутствует и уплата страховой премии происходит в течении всего срока действия договора страхования. Пусть возраст застрахованного лет, срок страхования лет равен периоду уплаты премии. В соответствии с формулой величина страхового взноса с единичной страховой суммы равна единовременной стоимости страхования, деленной на соответствующий коэффициент рассрочки: . (1) Период уплаты взносов либо может совпадать со сроком действия договора, либо быть меньше него. В последнем случае на полисе указывается возраст застрахованного, по достижении которого полис должен быть полностью оплачен. Если продолжительность периода уплаты страховой премии равна лет, то величина ежегодного взноса в соответствии с равен . (2) Страхование рент Страхование рент является разновидностью страхования на дожитие, когда вместо единовременной выплаты по дожитию до срока окончания договора предусмотрен ряд регулярных страховых выплат в течение некоторого периода времени или пожизненно (при условии дожития до сроков выплаты). Поэтому в дополнение к периоду уплаты страховой премии и выжидательному периоду, предусмотренными при страховании на дожитие, здесь выделяют также период страховых выплат, в течение которого страховщик выполняет свои финансовые обязанности по отношению к страхователю. Рассмотрим вначале более простой случай, когда выжидательный период отсутствует. Будем считать, что период выплат пожизненной ренты (пенсии) начинается по достижении человеком определенного возраста , а договор страхования заключен в возрасте и предусмотрен период уплат взносов в течение лет. Тогда ожидаемая текущая стоимость этой отсроченной на лет ренты на момент заключении договора страхования равна . (3) Коэффициент рассрочки, соответствующий заданному периоду уплаты страховой премии, равен . (4) разделив (3) на (4), получим . (5) Если период уплаты взносов меньше срока отсрочки, то величина ежегодного взноса определяется по формуле . (6) Для срочной ренты продолжительностью лет получим . (7) Страхование жизни на случай смерти В отличие от страхования на дожитие в страховании на случай смерти отсутствует выжидательный период, т.е. период, когда страховая премия уже полностью внесена, а обязанности страховщика осуществлять страховые выплаты еще не наступила. Это связано с тем, что страховым случаем, обязывающим произвести выплату, является смерть застрахованного, которая может наступить в любой момент после заключения договора. Рассмотрим сначала простой случай пожизненного страхования, когда взносы уплачиваются страхователем, пока он жив (т.е. период уплаты взносов совпадает со сроком страхования), а страховая выплата производиться непосредственно после смерти. Величина страхового полиса с единичной страховой суммы равна единовременной стоимости полиса, деленной на соответствующий коэффициент рассрочки . (8) Если период уплаты взносов при пожизненном страховании на случай смерти ограничен (до возраста ), то коэффициент рассрочки , (9) а величина годового взноса с единичной страховой суммы определяется формулой . (10) Для страхования жизни сроком на лет имеем . (11) Смешанное (комбинированное) страхование жизни Этот вид страхования представляет собой комбинацию срочного страхования жизни и страхования на дожитие на этот же срок. Часто его просто называют страхованием на дожитие (в отличие от чистого дожития). Страховая сумма выплачивается застрахованному при дожитии до окончания срока либо выгодоприобретателю, если застрахованный умер раньше. Единовременная премия такого страхования равна сумме единовременных премий страхований на случай смерти и дожитие: . (12) При уплате страховой премии в рассрочку величина периодических взносов . (13) Иногда встречается смешанное страхование жизни с неравными страховыми суммами – страховая сумма по смерти выбирается больше, чем по дожитию. В этом случае при расчете тарифов за основу принимается страховая сумма по дожитию, а единовременная стоимость страхования с единичной страховой суммой , , (14) где – отношение страховых сумм по смерти и дожитию. Нетто-премии для пенсионных планов Различают два основных типа пенсионных планов: планы с фиксированной выплатой пенсии и планы с фиксированным взносом. План с фиксированной выплатой пенсии предполагает накопление средств для обеспечения выплат пенсии установленного договором размера по наступлению пенсионного возраста. Уровень пенсионного обеспечения обычно устанавливается в зависимости от заработной платы работника в момент заключения договора. Преимущество системы с фиксированной выплатой заключается в том, что она дает застрахованные твердые гарантии уровня их пенсионного обеспечения в будущем. Недостаток системы в том, что у работника могут возникнуть финансовые проблемы при уплате будущих взносов, если величина его зарплаты с возрастом понизится. Страховая компания несет на себе риск низкой доходности инвестиций. План с фиксированным взносом – план, в котором размер взноса устанавливается в зависимости от заработной платы работника и изменяется вместе с размером последней. Затем взносы инвестируются, и размер пенсии определяется при достижении пенсионного возраста исходя из накопленной суммы. Такая система позволяет гибко реагировать на изменение процентной ставки в течение срока страхования. Недостаток ее – достаточно высокая степень неопределенности в размере пенсии. Смешанные планы совмещают в себе элементы системы с фиксированным взносом и системы с фиксированной выплатой. Так, например, условиями пенсионного плана может быть предусмотрен возраст, по достижению которого работник может (или должен) перейти от системы с фиксированным взносом к системе с фиксированной выплатой. ЛЕКЦИЯ 10 План без возврата взносов Такой пенсионный план представляет собой классическую пожизненную ренту, выплачиваемую начиная с момента достижения застрахованным пенсионного возраста . Если возраст застрахованного в момент заключения договора равен , то мы имеем дело с пожизненной рентой пренумерандо, отложенной на лет. Ее текущая стоимость на момент заключения договора равна . (1) Величина годовых страховых нетто-взносов определяется путем деления стоимости ренты на ожидаемую текущую стоимость ренты взносов, уплачиваемых в течение лет , (2) где – годовой коэффициент рассрочки (пренумерандо). Если выжидательный период отсутствует (), то в знаменателе формулы (2) следует заменить на . Если пенсионные выплаты осуществляются пожизненно раз в год в размере , начиная с возраста , то текущая стоимость такой ренты на момент заключения договора , (3) где В свою очередь страховые взносы также могут уплачиваться чаще, чем один раз в год. Если страховые взносы уплачиваются раз в год, то годовая сумма взносов . (4) Премия, нагруженная на издержки. Брутто-премия До сих пор все расчеты размера страховой премии были основаны на равенстве ожидаемых текущих стоимостей страховых выплат и страховой нетто-премии. Нетто-премия обеспечивает лишь покрытие ожидаемых страховых выплат. Операции по страховому договору требуют определенных издержек (издержки страхования), для покрытия которых сверх нетто-премии взимается еще нагрузка. Сумма нетто-премии и нагрузка называется брутто-премией. Если доля нагрузки составляет процентов, то брутто-премия, обозначим ее , может быть найдена по формуле , где – нетто-премия. Обычно различаются три вида издержек. 1. Издержки приобретения (аквизиционные расходы) часто еще называют начальными издержками. Они связаны с приобретением полиса и складываются из комиссионных страхового агента, затрат по оформлению и регистрации полиса, стоимости консультаций, медицинского осмотра, рекламы и т.д. Для простоты часто к издержкам приобретения относят только комиссионные страхового агента (брокера), остальные же издержки, которые в постоянно действующей страховой компании имеют регулярный характер, относят к административным. Такое разделение удобно, поскольку оплата издержек приобретения полиса происходит в момент поступления первого взноса, оплату прочих издержек трудно привязать к какому-то конкретному моменту времени. Еще одно преимущество такого разделения в том, что все издержки приобретения относятся на счет конкретного агента (брокера) по конкретному договору с конкретным сроком действия и страховой суммой, а прочие издержки носят общеучрежденческий характер и практически не зависят от характеристик договора. 2. Издержки сборов (издержки возобновления) связаны с рассылкой напоминаний б уплате премии, а также с выплатой регулярных комиссионных агенту, продавшему полис. Издержки взимаются в дни уплаты регулярных взносов. 3. Административные издержки включают в себя расходы по обеспечению функционирования страховой компании (зарплата, аренда, плата за коммунальные услуги, стоимость, обработки данных, налоги, плата за лицензию и т.п.), а также иные расходы, не вошедшие в предыдущие пункты. По способу расчета различаются три типа издержек: 1. прямо пропорциональные страховой сумме. 2. прямо пропорциональные премии (например, расходы по инкассации страховых платежей). 3. не зависящие от премии или страховой суммы (например, стоимость изготовления полисов, медицинского осмотра и т.п.). Издержки могут также представлять произвольную комбинацию перечисленных типов. Для простоты будем пользоваться величиной издержек на единицу страховой суммы; соответствующие издержки приобретения обозначим , расходы по сбору страховых платежей – , ежегодные административные расходы – . Будем считать, что издержки приобретения оплачиваются полностью при получении первого взноса, административные расходы производятся равномерно в течение всего срока действия договора ( лет), расходы по сбору платежей – в течение периода уплаты взносов ( лет). Уравнение для определения размера ежегодной брутто-премии с единичной страховой суммы имеет вид баланса: ожидаемая текущая стоимость страховой брутто-премии равна сумме ожидаемых текущих стоимостей страховых выплат и издержек на момент начала договора: , (1) где и – продолжительность периода уплаты взносов и срок действия договора, – ежегодная брутто-премия, – текущая стоимость ожидаемых страховых выплат. Ежегодная брутто-премия . (2) Три слагаемых в скобках обозначают соответственно нетто-премию, ежегодную часть оплаты издержек приобретения и ежегодную часть оплаты административных издержек. Отсюда ясно, что страхователь оплачивает издержки приобретения в рассрочку в рассрочку в течение всего периода уплаты взносов, хотя комиссионные за продажу полиса уплачиваются агенту полностью при заключении договора. Это означает, что вышеупомянутые расходы несет страховщик, как бы предоставляя страхователю долгосрочную ссуду, а последний погашает задолженность в течение периода уплаты взносов. Если договор страхования прекращается до окончания периода уплаты взносов, страховщик удерживает непогашенную задолженность. Резюме Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах: страхование сумм (капитала) и страхование рент (аннуитетов). В первом случае при наступлении страхового события (смерти или дожития) выплачивается единовременно определенная сумма денег, во втором случае – страховщик производит регулярные выплаты в течение определенного периода времени или пожизненно. В классическом страховании жизни рассматривают два страховых события: дожитие до определенного срока и смерть в период действия договора. Страхование на чистое дожитие заключается в страховании определенной суммы денег на определенный срок. В случае смерти страхователя в период действия договора страховая сумма не выплачивается, и взносы не возвращаются. Страхование жизни заключается в страховании жизни на определенную сумму, когда страховая выплата осуществляется в случае смерти застрахованного. Страхование жизни имеет две основные формы: а) пожизненное страхование; б) страхование на срок, когда страховая сумма выплачивается только в том случае, если застрахованный умрет, не дожив до срока окончания договора. Во многих случаях более предпочтительным для страхователей является не получение единовременной выплаты, а регулярный доход в течение определенного периода или пожизненно. Регулярные выплаты через равные промежутки времени называются страховой рентой. Страховая рента отличается от обычной финансовой ренты тем, что выплачивается только при условии, что ее получатель жив, т.е. является условной рентой. Различают следующие виды рент: пожизненные ренты, срочные ренты, отложенные ренты и ренты, выплачиваемые несколько раз в год. Долгосрочные контракты по страхованию жизни оплачиваются единовременным взносом только в редких случаях – слишком велика их стоимость. Как правило, страховая премия уплачивается в рассрочку – ежегодно, ежеквартально, ежемесячно. При расчете величины периодически уплачиваемых взносов необходимо учитывать как процентный доход от их инвестирования, так и демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает существенное влияние на величину взносов, поскольку далеко не все страхователи успевают до наступления смерти уплатить все предусмотренные контрактом взносы. Основа для расчета величины страховых взносов – условие равенства обязательств страховщика и страхователя на момент заключения договора: ожидаемая текущая стоимость предстоящих страховых выплат должна быть равна ожидаемой текущей стоимости предстоящих текущих взносов. Операции по страховому договору требуют определенных издержек (издержки страхования), для покрытия которых сверх нетто-премии взимается еще нагрузка. Сумма нетто-премии и нагрузки называется брутто-премией. Вопросы для самопроверки 1. В чем заключается прибыль от смертности? 2. Что собой представляют технический процент, тарифная ставка? 3. Ожидаемая текущая стоимость выплат при страховании на чистое дожитие. 4. Обыкновенная и приведенная пожизненные ренты. Определение, ожидаемая текущая стоимость. 5. Срочные ренты. Определение, ожидаемая текущая стоимость. 6. Отложенные ренты. Определение, ожидаемая текущая стоимость. 7. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год. Непрерывные ренты. 8. Пожизненное страхование. Ожидаемая текущая стоимость выплат пожизненного страхования. 9. Страхование жизни на срок. Ожидаемая текущая стоимость выплат. 10. Страхование с выплатой в момент смерти. 11. Накопительное страхование с фиксированными взносами. 12. Коммутационные функции. Определение, их приложение в актуарной математике. 13. Какой принцип лежит в основе для расчета величины страховых взносов? 14. Нетто-премии для страхования на чистое дожитие. 15. Нетто-премии для страхования рент. 16. Нетто-премии для страхования жизни. 17. Смешанное (комбинированное) страхование жизни. 18. Типы пенсионных планов. 19. Виды издержек страхования. 20. Брутто-премия.