Теория систем массового обслуживания.

Лекция № 4. Теория систем массового обслуживания. 10 20 Нередко приходится сталкиваться с системами связанными с выполнением однотипной задачи многократно. Например, к таким системам можно отнести обслуживание покупателя в магазине (при оплате товара), покупка билетов в кассе ж/д вокзала, заправка автомашин на автозаправочной станции, таможенный контроль на границе с государствами, работа морского порта и тому подобное. Таких примеров можно привести очень много. Во всех приведенных примерах есть элемент обслуживания: в покупке билетов – процесс выбора и продажи билета, на автозаправке – выбор марки бензина и покупка нужного объема, таможенный контроль – проверка провозимого груза и оформление соответствующих документов. Системы, связанные с обеспечением всякого обслуживания называют системами массового обслуживания (далее примем сокращение – СМО). Одной из естественных особенностей характеризующих работу СМО является случайность поступления и длительности обслуживания заявки в СМО. Это естественно прежде всего по тому, что поступление заявок ничем не регламентировано, а процесс обслуживания хоть и может иметь некоторый стандарт обслуживания, все же колеблется возле некоторой средней. Введем важное понятие: марковский случайны процесс. Марковским случайным процессом называется случайны процесс, в котором состояние системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящем и не зависит от состояния системы в прошлом. В дальнейшем мы будем рассматривать СМО с марковским случайным процессом, что будет означать, что вероятность состояния СМО в будущем зависит только от ее настоящего состояния и не зависит от состояния в прошлом. Введем еще одно понятие, относящееся к теории случайных процессов: пуассоновский поток (процесс). Наличие марковского случайного процесса в описании работы СМО необходимо для того, чтобы все происходящие события (потоки событий) в СМО были пуассоновскими. В теории случайных процессов поток Пуассона демонстрирует число наступивших случайных событий, которые происходят с некоторой постоянной интенсивностью. В простейшем пуассоновском потоке событий случайная величина распределена по показательному закону: ( ) 30 40 где 𝝺 – интенсивность потока. Цель теории СМО состоит в разработке рекомендаций по эффективной организации и построению СМО, а также рациональному регулированию потока заявок. Основой любой СМО определенное число обслуживающих устройств или, по-другому, каналов обслуживания. Исходя из названия теории, можно догадаться, что основное предназначение СМО заключается в своевременном (быстром) обслуживании поступающих в систему заявок. Важным моментом, который нас отсылает к случайным процессам СМО, является тот факт, что заявки в системе возникают нерегулярно и в заранее не определенные и случайные моменты времени. Обслуживание заявок также является процессом, имеющим непостоянную случайную природу. Случайность потоков заявок и их обслуживания связано с тем, что СМО подвергается неравномерно распределенной нагрузке. Вполне очевидно, что на входе в систему может образовываться очередь (требующие обслуживания заявки) – перегрузка СМО. В случае, когда заявок меньше, чем свободных каналов обслуживания СМО, говорят о недогрузке СМО. По сути, работу СМО можно охарактеризовать тремя основными процессами, протекающими в системе: 1. в СМО поступают заявки для обслуживания, 2. некоторая часть поступивших заявок становится в очередь на обслуживания, и 3. другая часть покидает систему необслуженными. Опираясь на приведенную характеристику, к основным элементам СМО относят: 1) входной поток заявок; 1 50 60 70 80 90 2) очередь; 3) каналы обслуживания; 4) выходной поток заявок (обслуженные заявки). Все СМО, так или иначе, можно подразделить два вида: одноканальные и многоканальные СМО. Вполне очевидная классификация. Нужно отметить, что СМО с числом каналов более одного могут быть однородными (по каналам) или же разнородными (по продолжительности обслуживания заявок). Среди решаемых задач в теории систем массового обслуживания можно выделить три класса СМО: 1. СМО с отказами. Заявка, которой было отказано в обслуживании заново поступает в систему для обслуживания. Примером может служить попытка дозвониться кому-либо. 2. СМО с ожиданием. Если в системе все каналы обслуживания заняты, то заявка становится в очередь и рано или поздно будет обслужена системой. Пример – сфера медицинского или жилищно-коммунального обслуживания. 3. СМО смешанного типа (СМО объединяющая в себе как отказы в обслуживании, так и формировании очереди). Такой тип СМО можно охарактеризовать ограничением на длину очереди и время пребывания заявки в системе. И последняя классификация, позволяющая понять организацию СМО. Существуют три вида СМО: 1. Системы, в которых поток заявок ничем не ограничен. Так называемые открытые СМО. 2. Системы массового обслуживания, в которых заявки обслуживаются в порядке их поступления. Такие системы получили название упорядоченных СМО. 3. Системы, в которых все каналы выполняют однотипную операцию, - однофазные СМО. Для того чтобы оценить работу СМО, то насколько она эффективно работает необходимо определить ряд специфических для СМО показателей. Среди этих показателей можно выделить три группы: 1. Группа показателей эффективности использования СМО: a. Абсолютная пропускная способность (A) – среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; b. Относительная пропускная способность (Q) – отношение абсолютной пропускной способности к среднему числу заявок, поступивших в систему за единицу времени; c. Средняя продолжительность периода занятости СМО ( ); d. Интенсивность нагрузки (ρ). Демонстрирует согласованность входящего и исходящего потока заявок. Через интенсивность нагрузки СМО можно определить устойчивость СМО; e. Коэффициент использования СМО – средняя период времени, в течении которого система выполняет обработку заявок. 2. Группа показателей качества обслуживания заявок: a. Среднее время, в течение которого заявка находится в очереди, ожидая обслуживания ( ); b. Среднее время, в течение которого заявка обслуживается каналом СМО ( ); c. Вероятность отказа в обслуживании заявки без постановки в очередь ( ); d. Вероятность того, что заявка немедленно будет принята к обслуживанию каналом СМО ( ); e. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди в СМО; 2 100 f. Среднее число заявок, которые находятся в очереди ( ); g. Среднее число заявок, которые находятся в целом в системе массового обслуживания ( ). 3. Показатель эффективности функционирования пары «СМО – потребитель». Этот показатель позволяет определить доходность работы СМО и затраты на ее содержание (в том случае, если доходность и затраты от СМО ведутся в одних единицах измерения). Например, средний доход, который приносит автозаправка на текущем участке трассы за один час работы. Этих сведений достаточно для того чтобы иметь общее представление о структуре СМО, ее типах и показателях эффективности работы. В следующей лекции мы разберем первый и самый простой тип: одноканальные СМО с отказами. 110 Всего хорошего! До встречи на лекциях. 3