Теория групп и симметрий

ТЕОРИЯ ГРУПП И СИММЕТРИЙ; ЛЕКЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ–ФИЗИКОВ 1 Содержание 1 Введение 7 2 Конечные группы 8 2.1 Лекция 1. Понятие симметрии. Определение группы и подгруппы. Отображения. Примеры групп и отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 8 Лекция 2. Группы симметрий правильных n-угольников (диэдральные группы Dn ). Смежные классы. Классы сопряженных элементов. Фактор группа. Прямое произведение групп. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Лекция 3. Группа перестановок Sn (симметрическая группа). . . . . . . 27 2.4 Лекция 4. Теорема Эйлера и эйлерова характеристика. Правильные платоновские многогранники и их симметрии. Фуллерены и графены. . 35 2.5 Лекция 5. Кристаллографические группы. Квазикристаллы. Мозаики Пенроуза. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6 Лекция 6. Матрицы. Матричные группы и группы линейных преобразований. Группы GL(n), U(n), O(n) и Sp(2n). . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.7 Лекция 7. Матричные представления групп. Характер представления. Прямое произведение и прямая сумма представлений. Приводимые и неприводимые представления. Леммы Шура. . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 Группы и алгебры Ли 3.1 84 Лекция 8. Группа вращений O(2) в двумерном пространстве (собственные и несобственные вращения). Группа вращений в двумерном псевдоевклидовом пространстве O(1, 1). Параметризации групп SO(2), SO(1, 1). 84 3.2 Лекция 9. Многообразия. Непрерывные группы Ли. Компактные и некомпактные группы. Общее определение алгебр Ли. . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Лекция 10. Группа вращений в трехмерном пространстве O(3). Параметризации группы SO(3). Алгебра Ли группы SO(3). . . . . . . . . . . 108 3.4 Лекция 11. Унитарная группа SU(2) и ее алгебра Ли. Универсальная накрывающая группа для группы SO(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.5 Лекция 11а. Связь алгебр Ли su(2) и sl(2). Алгебра Ли sl(2) и ее конечномерные представления. Конечномерные представления групп Ли SL(2) и SU(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2 3.6 Лекция 12. Прямое произведение конечномерных представлений группы SU(2) и его разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Коэффициенты Клебша - Гордана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.7 Лекция 13. Унитарная группа SU(N) и ее алгебра Ли. Базис Картана. Конструкция Йордана-Швингера для образующих алгебр Ли. Матрицы Гелл-Манна. Кварки и SU(3) симметрия. Массовые формулы. . . . 153 3.8 Лекция 14. Метод индуцированных представлений. Унитарные представления некомпактных групп SL(N, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4 Группы Лоренца и Пуанкаре и их представления. 4.1 166 Лекция 15. Пространство Минковского M. Группы Лоренца и Пуан- каре. Бусты. Алгебра Ли для группы Пуанкаре. . . . . . . . . . . . . . . 166 4.2 Лекция 16. Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры. Твисторы. . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.3 Лекция 17. D- мерная алгебра Клиффорда ClD и ее представления. Группы Spin(D). Алгебра Клиффорда Cl(D−1,1) и ее представления. 4.4 Группы Spin(D − 1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Лекция 18. Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии. Ковари- антность уравнения Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.5 Лекция 19. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре. Представления группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Индуцированные представления. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 4.6 Лекция 20. Скрытые симметрии SO(4) и SO(3, 1) в квантово-механической модели атома водорода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 5 Приложение 221 3 План нового курса Лекция 1. Группы (определения и примеры) Понятие симметрии. Определение группы, подгруппы, смежные классы, факторпространство, инвариантные подгруппы, фактор- группа, центр, прямое произведение групп, ..... Лекция 2. Матричные группы: GL(n), SL(n), U(n), O(n), Sp(2n), ....... Отображения групп. Гомоморфизм, изоморфизм, Ker, Im, точные последовательности Лекция 3. Многообразия. Группы Ли (ГЛ) и алгебры Ли (АЛ) (общая теория и примеры). Комплексные и вещественные АЛ. Вещественные формы ГЛ. Компактные ГЛ и АЛ. Простые и полупростые АЛ. Универсальные накрывающие ГЛ. Суммирование и интегрирование на группах. Метрика на группе, мера Хаара. Лекция 4. Линейные (матричные) представления ГЛ и АЛ. Характер представления. Прямое произведение и прямая сумма представлений. Приводимые и неприводимые представления. Леммы Шура. Элементы теории характеров. Лекция 5. Присоединенные представления АЛ и ГЛ. Обертывающие АЛ, операторы Казимира. Конечномерные неприводимые представления АЛ и ГЛ sl(2) ∼ su(2). Представления со старшим весом. Ряд Клебша-Гордана. Лекция 6. Группа перестановок Sn (симметрическая группа). Дуальность Шура - Вейля. Диаграммы Юнга. Лекция 7. Однородные и симметрические пространства. Расслоенные пространства. Связности на расслоениях (монополи???). Примеры: сферы, грассманианы, расслоения Хопфа, ... Лекция 8. Элементы гомотопической топологии (по В.А.Рубакову, А.С.Шварцу, Ботт-Ту,...) (Можно обойтись) Лекция 9. Пространство Минковского M. Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты. Алгебра Ли для группы Пуанкаре. Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майо4 рановские и вейлевские спиноры. Лекция 10. D- мерная алгебра Клиффорда ClD и ее представления. Группы Spin(D). Алгебра Клиффорда Cl(D−1,1) и ее представления. Группы Spin(D − 1, 1). Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии. Ковариантность уравнения Дирака. Лекция 11. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре. Представления группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Индуцированные представления. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре. Лекция 12. Базис Картана-Вейля в АЛ. Разложение Картана элементов ГЛ. Корни, диаграммы Дынкина. Классификация полупростых алгебр и групп Ли. Лекция 13. (Дополнение) Суперсимметрия. Супергруппы и супералгебры Ли. Суперконформные группы и алгебры Ли. Алгебры Вирасоро и Каца-Муди и их представления. Янгианы. 5 Семестр No. 1. Темы курсовых проектов по курсу ”Теория групп”. 1. Группа перестановок. Элементы теории матричных представлений группы перестановок. 2. Группа симметрий тетраэдра, октаэдра и икосаэдра. Образующие, определяющие соотношения, таблица Кэли. 3. Аналог теоремы Эйлера для 3-х мерной сферы S 3 . Замощение S 3 полиэдрами. (5) 4. Группы и алгебры Ли. 5. Унитарные матрицы и унитарные группы. Группа SU(2) и ее алгебра Ли. Матрицы Паули. 6. Унитарные матрицы и унитарные группы. Группа SU(3) и ее алгебра Ли, матрицы Гелл-Манна. 7. Ортогональные матрицы и группы вращения. Группа SO(3) и ее алгебра Ли. 8. Ортогональные матрицы и группы вращения. Группа Лоренца и ее алгебра Ли. 9. Алгебры осцилляторов. Представление алгебр Ли для групп SL(n) и Sp(2n) c помощью осцилляторов. 10. Матрицы Дирака, их свойства и представления. 11. Спинорные представления группы Лоренца. Майорановские и дираковские спиноры. 12. Алгебры с делением. Группа и алгебра кватернионов. 13. Алгебры с делением (ассоциативные и неассоциативные). Октонионы. (5) 14. Спин и изотопический спин (протон-нейтрон), оболочечная модель ядра, магические числа. (5) 15. Унитарная симметрия в физике элементарных частиц, кварки. (5) 16. Релятивистское уравнение Дирака для электрона и позитрона во внешнем поле. 17. Модель неабелевых калибровочных полей. (5) 6 1 Введение Лекции представляют собой элементарное введение в теорию групп. Лекции начинаются с обсуждения понятия симметрии (от греческого слова ”συµµǫτ ρια” – совместно измеренное или соразмерное) – преобразования, при котором объект или совокупность объектов сохраняет свои свойства (форму, и т.д.) ”Понятие симметрии неразрывно связано с понятием о красоте. При этом истинная, высшая красота требует небольшого нарушения симметрии придающего ей таинственный и манящий элемент незаконченности” [21]. Мы рассматриваем "симметрии как гармонии пропорций"[1] и обсуждаем геометрическое понятие симметрии в различных формах, таких как зеркальная симметрия, переносная симметрия, симметрия орнаментов и кристаллов и т.д. Это рассмотрение естественно приводит к идее, обобщающей все эти частные примеры симметрий, а именно инвариантности некоторых объектов относительно определенной совокупности (группы) преобразований. Только после этого можно перейти к абстрактному математическому определению группы. Такая последовательность изложения – совет Феликса Клейна из его "Лекций о развитии математики в XIX столетии"[2]. Основоположником теории групп считается Эварист Галуа (1811 - 1832, убит на дуэли в возрасте 21 года). Занимаясь проблемой разрешимости алгебраических уравнений, он ввел понятия поля, группы и др. и создал то, что сейчас называется "теорией Галуа". Группу в этом случае образуют n! перестановок n корней x1 , x2 , . . . , xn заданного алгебраического уравнения n-ой степени (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn ) = 0 . Вот определение симметрий, которое дано в книге [1] ”симметрия обозначает тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в единое целое” или ”симметричное означает нечто обладающее хорошим соотношением пропорций”. Данные лекции читались на кафедрах теоретической и ядерной физики Международного университета г. Дубна в 2006 – 2008 годах, а также в МФТИ и на Физическом факультете МГУ в 2008 году. Мы благодарны А.А. Владимирову, В.П. Колонцову, С.Н. Неделько, В.А. Осипову, И.К. Соболеву и др. за многочисленные полезные обсуждения материала изложенного в этих лекциях. 7 2 Конечные группы 2.1 Лекция 1. Понятие симметрии. Определение группы и подгруппы. Отображения. Примеры групп и отображений. Мы начнем с рассмотрения симметрий знаменитого древнего символа – пятиконечной звезды (пентаграммы). Этот символ был известен еще древним грекам (а возможно и ранее) и иногда трактуется как символ женского начала. С точки зрения определений симметрий, данных Г. Вейлем (см. Введение) пентаграмма на рис. 1 представляет собой идеально симметричный объект. B   B  B B B B  B C  B  Q Q  .O B   Q Q B  Q  B  Q  B  Q Q B  Q QB  A Q E A D Z  B Z   B Z  Z  B  Z  B  Z  ZC  B  Q B Q GB F    B Q   B Q B  Q B  B B   QQ  B  B   Q Q B  B    Q QB  BB E рис. 1 D рис. 2 Пятиконечные конфигурации, типа пентаграммы, часто встречаются в природе. Например, такую форму (см. рис. 1) имеют морские звезды. Если разрезать яблоко поперек, то можно обнаружить, что яблочные косточки располагаются в пяти камерах, симметрично расположенных относительно оси, проходящей перпендикулярно разрезу. Мандарин, как правило, состоит из пяти пар симметрично расположенных долей и т.д. Прежде всего отметим известный еще древним грекам геометрический факт о пентаграмме, а именно Утверждение 2.1.1 Отрезок AC на рис.2 делится точкой G (или F) согласно пропорции √ AG AC = := φ = (1 + 5)/2 . (2.1.1) prop AG GC T.е. отрезок AC делится точкой G(F) так, что отношение длины всего отрезка к большей его части равно отношению длины большей части отрезка к длине его √ меньшей части. Число φ = (1+ 5)/2 = 1, 61803398... называется золотым сечением. 8 Доказательство. Сумма углов в выпуклом n угольнике равна (n−2)·180◦ . Т.о., угол 6 ABC на рис.2 равен 3 · 180◦ /5 = 108◦ . Т.к. правильный выпуклый многоугольник ABCDE можно вписать в окружность, то углы 6 ABE = 6 EBD = 6 DBC = 6 BAC = 36◦ как опирающиеся на равные дуги. Треугольник ∆ABG – равнобедренный, т.к. 6 AGB = 180◦ −3·36◦ = 72◦ ⇒ 6 AGB = 6 ABG = 72◦ , следовательно AB = AG = BC. Теперь заметим, что ∆GBC и ∆ABC подобны, откуда следует AC AG AC BC = ⇒ = . GC BC GC AG Подставляя в (2.1.2) условие GC = AC − AG мы получаем, что число φ = (2.1.2) prop1 AC AG >0 удовлетворяет уравнению √ 1 1 = φ ⇒ φ2 − φ − 1 = 0 ⇒ φ = (1 + 5) φ−1 2 √ (второй корень квадратного уравнения φ̂ = (1 − 5)/2 не подходит, т.к. он < 0). Ч.т.д. • Рассмотрим теперь преобразования (движения) в плоскости, которые переводят звезду на рис. 1 саму в себя. Заметим, что поворот звезды относительно точки O на угол 360◦ /5 = 72◦ по часовой стрелке совмещает звезду саму с собой, при этом вершина A переходит в B, B переходит в C и т.д., и в конце E переходит в A. A→B B→C C→D D→E E→A (2.1.3) prop2 Обозначим операцию (движение в плоскости) соответствующую этому повороту символом g1 . Заметим теперь, что все повороты звезды относительно точки O на углы n · 72◦ , (n = 1, 2, . . . , 5), как по часовой так и против часовой стрелки, совмещают звезду саму с собой. Обозначим эти повороты по, и против, часовой стрелки символами gn и g−n , соответственно. Заметим также, что два последовательных поворота (операций) на углы n·72◦ и m·72◦ , обозначаемые символами gn и gm , дают поворот на угол (n + m) · 72◦, который соответствует символу gn+m . Согласно этому наблюдению определим на множестве поворотов {gk } операцию умножения по правилу gn · gm = gn+m . (2.1.4) umnD Т.е. умножение сопоставляет двум поворотам одну операцию, которая рассматривается как результат последовательного применения этих двух поворотов. В частности мы имеем g1n = gn . Данное умножение ассоциативно, т.к. мы имеем (gn · gm ) · gk = gn+m+k = gn · (gm · gk ) . 9 (2.1.5) umnD1 Обозначим поворот на нулевой угол (звезда остается на месте) символом e. Очевидно, что gn · e = e · gn = gn , т.е. элемент e является единичным элементом на множестве поворотов gn . Более того мы имеем gn · g−n = e = g−n · gn и, следовательно, для любого поворота gn поворот g−n на тот же угол, но в обратном направлении, опре- деляет обратный элемент g−n = gn−1 по отношению к тому умножению, которое мы определили. Наконец отметим, что 5 g5 = g15 = e = g−1 = g−5 , (2.1.6) umnD2 откуда следуют равенства g−n = g5−n (n = 1, 2, 3, 4). Все вышесказанное можно резюмировать следующим образом. Мы определили множество (группу) из 5 операций (элементов) gn (n = 0, 1, 2, 3, 4), которые можно перемножать по правилам (2.1.4) – (2.1.6). Это множество включает единичный элемент g0 = e и элементы g5−n обратные к gn . Множество, состоящее из пяти элементов с такими свойствами, называется циклической группой 5-ого порядка и обозначается C5 или Z5 . Заметим, что любые два элемента группы C5 коммутируют, т.е. gn · gm = gm · gn . Группы у которых любые два элемента коммутируют, называются абелевыми. Рассмотрим пример неабелевой группы, для чего дополним группу C5 поворотов звезды еще одним преобразованием (элементом), переводящим звезду на рис. 1 саму в себя. Для этого рассмотрим зеркальное отражение звезды относительно вертикальной оси BO, проходящей через точки B и O на рис 1. При этом вершина звезды B остается на месте B → B, а остальные вешины переходят друг в друга по правилу A ↔ C, E ↔ D. Обозначим это преобразование за r. Очевидно повторное зеркальное отражение относительно BO возвращает вершины на свои места: r2 = e . (2.1.7) umnD3 Преобразование g1 · r (где r зеркальное отражение относительно вертикальной оси) соответствует переходу A↔B E↔C D→D. (2.1.8) prop3 Напомним, что сначала делается поворот g1 а затем отражение r, ("слово"g1 · r чи- тается слева направо) т.е. мы имеем следующее действие на звезду справа: ⋆ · g1 · r (2.1.9) left В то же время для преобразования r · g1 мы имеем A↔D B↔C E→E 10 (2.1.10) prop4 Сравнивая (2.1.8) и (2.1.10) мы заключаем, что g1 · r 6= r · g1 и, т.о., соответствую- щая расширенная группа преобразований является неабелевой. На самом деле легко показать, что g1 · r = r · g−1 ⇔ (2.1.11) umnD4 g−1 · r = r · g1 . Расширенная группа симметрий пентаграммы (включающая и вращения и отражения) называется диэдральной группой D5 . Группа D5 имеет конечный порядок (число элементов) равный 10, что легко понять перечислив все ее элементы {e, gn , r, rgn } (n = 1, 2, 3, 4), воспользовавшись определяющими соотношениями (2.1.4), (2.1.6), (2.1.11). Всю информацию о группах конечного порядка удобно суммировать в виде таблицы умножения (или таблицы Кэли по имени английского математика 19-ого столетия (1821 - 1895); предложена в 1854 г.), которая для группы D5 имеет вид e g1 g2 g3 g4 r rg1 rg2 rg3 rg4 e e g1 g2 g3 g4 r rg1 rg2 rg3 rg4 g1 g1 g2 g3 g4 e rg4 g2 g2 g3 g4 e g1 rg3 rg4 g3 g3 g4 e g1 g2 rg2 rg3 rg4 g4 g4 e g1 g2 g3 rg1 rg2 rg3 rg4 r r rg1 rg2 rg3 rg4 rg1 rg2 rg3 r rg1 rg2 r rg1 r e g1 g2 g3 g4 r g4 e g1 g2 g3 rg1 g3 g4 e g1 g2 rg1 rg2 g2 g3 g4 e g1 rg1 rg2 rg3 g1 g2 g3 g4 e rg1 rg1 rg2 rg3 rg4 rg2 rg2 rg3 rg4 rg3 rg3 rg4 rg4 rg4 r r r r T.к. любой элемент группы D5 имеет вид r k g1n (k = 0, 1; n = 0, 1, 2, 3, 4) то эта группа порождается только двумя элементами (g1 , r), которые называются образующими группы D5 . Из таблицы Кэли видно, что пять элементов {e, g1 , g2 , g3 , g4 } образуют абелеву подгруппу C5 в группе D5 (произведение любых двух элементов из C5 есть снова элемент из C5 ). Заметим, что преобразования из групп C5 и D5 – частные преобразования из более общей группы всех возможных перестановок 5 букв {A, B, C, D, E}. Эта группа называется группой перестановок 5 элементов и обозначается S5 (ее порядок равен 5! = 120). 11 Дадим математическое определение группы. Определение 2.1.1 Конечное (или бесконечное) множество G элементов называют группой, если в G определено умножение (групповая операция) элементов, для которого выполняются следующие условия: а) Групповое свойство: операция умножения сопоставляет каждой паре элементов g1 и g2 из G элемент g3 ∈ G (мы будем писать g1 · g2 = g3 ). б) Для любых трех элементов g1 , g2 , g3 из G выполняются соотношения: (g1 · g2 ) · g3 = g1 · (g2 · g3 ). Это свойство называется ассоциативностью групповой операции умножения. в) В группе G существует элемент e, называемый единицей группы такой, что g · e = g = e · g для всех g ∈ G. г) Для каждого элемента g ∈ G существует обратный элемент g −1 ∈ G такой, что g · g −1 = g −1 · g = e. Другие примеры групп: 1.) Множество вещественных чисел R\{0} является группой по отношению к обычному умножению чисел. Число 1 выступает в роли единицы в группе. (Вопрос: почему удалено число 0?) 2.) Два числа {+1, −1} по отношению к умножению образуют группу C2 = Z2 . 3.) Множество положительных вещественных чисел R+ также является группой относительно умножения чисел. 4.) Группа целых чисел Z: {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} по отношению к сложению (в качестве операции умножения здесь выступает сложение). 5.) Группа собственных вращений (без отражений) в двумерном пространстве SO(2) (S и O – начальные буквы в словах: Special Orthogonal) – группа симметрии единичной окружности на плоскости. Умножение вращений – их последовательное применение. 6.) Группа всех перестановок 5 элементов S5 . Умножение перестановок – их последовательное применение. 7.) Группа собственных вращений в трехмерном пространстве SO(3) – группа симметрии единичной двумерной сферы в R3 . Элементы этой группы – все возможные вращения сферы вокруг ее центра. 8.) Общая линейная группа GL(5) всех невырожденных 5 × 5 матриц (G и L – начальные буквы в словах: General Linear). 12 Определение 2.1.2 Число элементов в группе G называется порядком группы. Если все элементы группы G коммутируют друг с другом, то такая группа называется абелевой. Например, группа C5 – абелева. Группы из первых 5 примеров абелевы. Группа D5 , группа S5 всех перестановок 5-и элементов, группа SO(3) и группа GL(5) неабелевы. Определение 2.1.3 Подмножество H элементов группы G называют подгруппой, если H является группой относительно введенной в G операции умножения, т.е. единичный элемент e ∈ H, и для всех элементов h1 , h2 , h из H мы имеем h1 · h2 ∈ H и h−1 ∈ H. Примеры подгрупп: 1.) Группа вещественных положительных чисел R+ , а также группа рациональных чисел Q\{0}, по отношению к умножению – подгруппы в группе вещественных чисел R\{0}. 2.) Циклическая группа C5 – абелева подгруппа в диэдральной группе D5 . 3.) Группы C5 и D5 – подгруппы группы S5 . 4.) Группа SO(2) – подгруппа группы SO(3). 5.) Специальная линейная группа SL(5), состоящая из всех 5 × 5 матриц с детерми- нантом равным 1 (S и L – начальные буквы в словах: Special Linear)– подгруппа в GL(5). Понятие отображения Преобразования из групп C5 и D5 , примеры которых приведены в (2.1.3), (2.1.8), (2.1.10), а также перестановки 5 букв {A, B, C, D, E}, представляющие собой эле- менты из группы перестановок S5 , можно рассматривать как различные взаимнооднозначные отображения из множества 5 букв {A, B, C, D, E} в то же самое множество {A, B, C, D, E} −→ {A, B, C, D, E} Т.о., мы видим, что понятие группы тесно связано с понятием отображения, или точнее с понятием множества отображений. Это понятие является центральным для многих разделов математики. Математическое понятие отображения (mapping) возникло путем абстрагирования понятия карты или плана (map) города, местности и т.д. В математике под отображением понимают установление соответствия между 13 элементами исходного объекта (прообраза) и элементами его образа. Важное требование для отображения - это невозможность ставить в соответствие одному элементу исходного объекта два и более различных элементов из образа (см. рис.3), т.к. одному объекту на местности не могут соответствовать две разные точки на карте. В то же время различным элементам исходного объекта может соответствовать единственный элемент образа (см. рис.4) X Y X *      HH HH HH j H Y H HH HH HH j *      рис. 3 Не отображение рис. 4 Разрешено Начнем изучение понятия отображения с рассмотрения простого случая, когда в качестве исходного объекта и его образа берутся множества с конечным числом элементов. Пусть задано множество X = {A, B, C, D, E} (студенты) и множество Y = {1, 2, 3, 4, 5} (стулья), состоящие из пяти элементов. Установим следующее соот- ветствие g: X → Y такое, что (2.1.12) bie g = (A → 1, B → 2, C → 3, D → 4, E → 5) Это отображение удобно представить в виде  g= A B C D E 1 2 3 4 5   Заметим, что каждому элементу из X сопоставляется единственный элемент из Y и наоборот (каждый студент сидит на своем стуле). Такое отображение называется взаимно-однозначным (или биекцией). Очевидно, что взаимно-однозначное отображение обратимо (достаточно поменять все стрелки в (2.1.12) на обратные). Рассмотрим теперь другое отображение f : X → Y  f = (A → 1, B → 1, C → 2, D → 2, E → 5) =  A B C D E 1 1 2 2 5   (2.1.13) ine Данное отображение не является взаимнооднозначным – студенты A, B сидят на одном стуле 1, студенты C, D ютятся на одном стуле 2, а студент E восседает на своем 14 личном стуле 5 (отметим, что согласно рис.3, одному студенту запрещено сидеть сразу на двух стульях). Все множество X отображается в Y лишь на подмножество {1, 2, 5} ⊂ Y (в дальнейшем мы будем различать отображение ”на” и отображение ”в”). Данное отображение не обратимо, т.е. для f невозможно определить обратное отображение (поворот всех стрелок в (2.1.13) приводит к необходимости отобразить один элемент из Y в два различных элемента X, что запрещено, см. рис.3). Другой пример отображения дается таблицей умножения группы D5 , приведенной выше. При этом отображении паре элементов из D5 соответствует единственный элемент из D5 , приведенный в таблице. Такое отображение обозначается следующим образом: D5 ×D5 → D5 и в качестве множеств X и Y мы имеем D5 ×D5 и D5 , соответственно. Этот пример дает абстрактное определение умножения в любом множестве G как отображения m: G × G → G (т.е. двум элементам из G соответствует эле- мент из G). Ассоциативность отображения m (умножения) при таком определении представляется в виде коммутативности диаграммы id × m G×G×G G×G m × id m ? m - G×G ? G (здесь id обозначает тождественное отображение G → G). Множество X называется областью определения или прообразом отображения X → Y , а множество тех элементов из Y , которые являются образами элементов из X, называется областью значений или образом отображения X → Y . Пользуясь понятиями отображений, мы можем теперь интерпретировать опера- ции g1 и r, переводящие звезду саму в себя, как следующие взаимно-однозначные отображения множества {A, B, C, D, E} в себя  g1 =  A B C D E B C D E A   ,  r= A B C D E C B A E D  (2.1.14) g1h  Эти обозначения чрезвычайно удобны для умножения операций g1 и r:  g1 ·r =  A B C D E B C D E A   · A B C D E C B A E D    = A B C D E B A E D C   (2.1.15) g2h (правило следующее: например, согласно первой операции C → D, а согласно второй 15 операции D → E, т.о., в результате получаем C → E и т.д. 1 ). Из таблицы Кэли для D5 следует, что этот же результат (2.1.15) получается и для произведения r · g4 . Действительно, мы имеем  r · g4 =  A B C D E C B A E D   · A B C D E E A B C D    = A B C D E B A E D C   Нетрудно убедиться, что мы получили те же результаты, что и при последовательном вращении и отражении (отражении и вращении) пентаграммы. Такой способ перемножения (он нам понадобится при обсуждении группы перестановок) гораздо более удобен в случае конечных груп, не имеющих наглядной интерпретации в виде симметрии какого-либо объекта, типа звезды. Приведенная интерпретация преобразований симметрии как взаимно- однозначных отображений позволяет ввести абстрактное определение симметрий некоторого множества M: Определение 2.1.4 Симметрией множества M называется взаимно-однозначное отображение φ: M → M. Если множество M наделено некоторой структурой (например, структурой векторного пространства), то симметрия φ должна сохранять эту структуру. На совокупности GM всех симметрий множества M можно определить умножение двух симметрий φ1 и φ2 как отображение φ1 · φ2 , получающееся в результате последовательного применения отображений φ1 и φ2 . Очевидно, что GM , с заданной операцией умножения, образует группу. В заключении этой лекции мы обсудим еще один важный для теории групп тип отображений. Заметим, что операции (2.1.14) можно представить как результат действия справа некоторых 5 × 5 матриц на вектор (A, B, C, D, E):  g1 : 1    (A, B, C, D, E) ·     1 1 1 1 1         = (B, C, D, E, A) Отметим, что здесь мы перемножаем отображения так, что стоящее слева отображение счи- тается первым, следующее – вторым и т.д. Иногда принимают другой порядок умножения, при котором первое отображение стоит справа. Этот порядок определяется тем, в какую сторону (влево или вправо) действуют преобразования, соответствующие этим отображениям, см (2.1.9). 16  r:    (A, B, C, D, E) ·     1 1 1 1 1         = (C, B, A, E, D) Пользуясь этим матричным представлением для элементов g1 и r (обозначим эти представления как ρ(g1 ) и ρ(r)), посчитаем произвеление ρ(r) · ρ(g1 ) · ρ(r) · ρ(g1 ): (ρ(r)·ρ(g1 ))2 =         1 1 1 1 1 2        =         1 1 1 1 1         = ρ(e) = ρ(r·g1 ·r·g1) (2.1.16) pred1 что соответствует результату представленному в таблице Кэли для D5 . Т.о., мы определили отображение ρ: D5 → GL(5) из группы диэдра D5 в группу матриц (5 × 5), причем такое, что ∀g1 , g2 ∈ D5 мы имеем ρ(g1 · g2 ) = ρ(g1 ) · ρ(g2 ). Отображение ρ, обладающее таким свойством, называется гомоморфизмом. Определение 2.1.5 Отображение ρ группы G в другую группу G′ называют гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую операцию, т.е. ρ(g1 · g2 ) = ρ(g1 ) · ρ(g2 ) для всех g1 , g2 ∈ G. Гомоморфное отображение ρ называется изоморфизмом если оно является взаимно однозначным отображением G → G′ . Изоморфизм группы G на себя называется автоморфизмом. Примеры 1. Изоморфизм группы C5 и группы комплексных чисел 1 2 3 4 {1, e2πi 5 , e2πi 5 , e2πi 5 , e2πi 5 } ←→ {e, g1 , g2 , g3 , g4 } . 2. Примером автоморфизма ρ: D5 → D5 может служить преобразование элементов D5 , осуществляемое с помощью умножения всех элементов D5 на элемент r ∈ D5 слева и справа одновременно, т.е. ∀a ∈ D5 мы имеем: a → ρ(a) = r a r. При этом ρ(a)ρ(a) = r a r 2 b r = r a b r = ρ(a b) ∀a, b ∈ D5 , gk → ρ(gk ) = rgk r = g−k , r → ρ(r) = r 3 = r . 17 3. Примером тривиального гомоморфизма служит отображение G → e всех элемен- тов группы G в единичный элемент e группы, состоящей из этого одного элемента e. Упражнения. 1. Рассмотреть группу симметрии D2 отрезка AB (правильного "двухугольника") с учетом изменения ориентации, заданной вектором на рисунке A • 6 •B (т.е. вращение на 180◦ градусов и отражение относительно вертикальной оси не эквивалентны). Составить для этой группы таблицу Кэли. Доказать, что эта группа абелева и содержит две разные подгруппы C2 . 2. Составить таблицы Кэли для групп симметрии правильного треугольника D3 и квадрата D4 . 3. Составить таблицу Кэли для группы перестановок трех элементов S3 и доказать изоморфизм D3 ∼ = S3 . 4. Доказать, что матричное умножение ассоциативно, т.е. выполняется соотношение A(BC) = (AB)C, где A, B, C-произвольные n × n матрицы. (Указание: записать компоненты произведения матриц (A · B · C) в виде P j,k aij bjk ckm ). 5. Доказать, что множество (n × n) матриц, с определителем не равным нулю, образует группу относительно матричного умножения. Эта группа обозначается GL(n). 6. Доказать, что совокупность всех симметрий множества M образует группу. 2.2 Лекция 2. Группы симметрий правильных n-угольников (диэдральные группы Dn ). Смежные классы. Классы сопряженных элементов. Фактор группа. Прямое произведение групп. В этой лекции мы продолжаем изучение конечных групп или групп конечного порядка (групп с конечным числом элементов). В предыдущей лекции мы подробно обсуждали группы симметрий C5 и D5 правильного пятиугольника. На основе рассмотрения этих симметрий мы дали абстрактное определение группы и подгруппы. Группы симметрий правильного n-угольника Cn и Dn определяются аналогичным образом. Рассмотрим правильный n-угольник, вершины которого лежат на окруж18 ности n 1 2 '$ 3 n-1 .. . .. . &% .... рис. 5 Группа Cn порождена поворотом n-угольника по часовой стрелке на угол 360◦ · 1 n или, что то же самое, циклическая перестановка вершин  g1 =  1 2 ... n− 1 n 2 3 ... n 1   = (1 2 3 . . . n − 1 n) , где в правой части мы ввели краткое обозначение для цикла длинны n. Очевидно, что g1n = e и все элементы представимы в виде {e, g1 , g12, . . . g1n−1}, а порядок этой абелевой группы равен n. Для задания диэдральной группы Dn всех преобразований симметрии правильного n-угольника необходимо расширить группу Cn , добавив все отражения правильного n-угольника относительно осей симметрии, проходящих через его вершины. Для этого достаточно определить преобразование симметрии правильного n-угольника, соответствующее его отражению относительно вертикальной оси, проходящей через вершину 1  r= 1 2 ... n− 1 n 3 1 n n− 1 ... 3 2   Элементы группы Dn представимы в виде {e, g1 , g12, . . . , g1n−1, r, rg1 , . . . , rg1n−1} и ее порядок равен 2n. Всю таблицу умножения Кэли для Dn можно вывести исходя из соотношений на порождающие элементы g1 , r: r2 = e , g1n = e , r · g1 = g1−1 · r , (2.2.1) defDn которые называются определяющими соотношениями для группы Dn . В качестве других образующих группы Dn можно выбрать 2 элемента a, b, удовлетворяющих определяющим соотношениям a2 = e , (a · b)n = e , b2 = e , которые переходят в (2.2.1) при отождествлении a = r, (a · b) = g1 , b = r · g1 . 19 (2.2.2) defDn1 Отметим, что у правильных n-угольников с четным числом вершин n = 2k имеются дополнительные оси симметрии, которые проходят через середины противоположных сторон. Однако, как легко увидеть, отражения относительно этих дополнительных осей сводятся к преобразованиям rgm . Группа Cn – подгруппа в группе Dn . Отметим следующее замечательное свойство подгруппы Cn . А именно ∀f ∈ Cn и ∀g ∈ Dn мы имеем g · f · g −1 = f ′ ∈ Cn , (2.2.3) invC что иногда записывают как g·Cn ·g −1 ⊂ Cn . Т.е., умножая любой элемент f подгруппы Cn ⊂ Dn слева на любой элемент g ∈ Dn , а справа на обратный элемент g −1 (такое действие элемента g на f называется присоединенным), мы всегда получаем элемент из той же подгруппы Cn . Этот факт очевиден для g ∈ Cn . Если же g включает в себя отражение g = rgk , то g −1 = g−k r и, пользуясь тождествами r 2 = e и gm · r = r · gn−m = r · g−m , (2.2.4) ghg которые легко выводятся из определяющих соотношений (2.2.1), мы получаем g · gm · g −1 = r · gk · gm · g−k · r = r · gm · r = gn−m ∈ Cn . Подгруппы, обладающие свойством (2.2.3), называются инвариантными. Абстрактное определение следующее Определение 2.2.1 Пусть H- подгруппа в группе G. Если gHg −1 ⊂ H для лю- бого элемента g из группы G, то H называется инвариантной подгруппой, или нормальным делителем. Инвариантные подгруппы были введены Э.Галуа в 1830 г. Замечательное наблюдение Э.Галуа заключается в том, что группу можно делить на ее инвариантную подгруппу и результат деления будет снова группой. Для описания такого деления необходимо ввести понятие смежного класса. Определение 2.2.2 Подмножество элементов gH = {g · h|h ∈ H}, где g фиксиро- ванный элемент группы G, называется левым смежным классом элемента g группы G по подгруппе H. Аналогично: Hg = {h·g|h ∈ H} называется правым смежным классом элемента g ∈ G по подгруппе H. 20 Пример: Рассмотрим смежные классы группы Dn по подгруппе Cn . Если в качестве элемента g ∈ Dn мы возьмем элемент из подгруппы Cn , то его левый смежный класс g · Cn совпадает с множеством e · Cn ∼ = Cn . Если в качестве элемента g мы возьмем элемент вида rgm , то левый смежный класс по подгруппе Cn совпадает с множеством r · Cn . Очевидно, что эти два класса e · Cn и r · Cn не пересекаются и исчерпывают всю группу Dn . Аналогично, пользуясь формулой (2.2.4), легко получить, что Dn расщепляется на два непересекающихся правых смежных класса Cn ·e и Cn ·r, причем Cn · e = e · Cn = Cn и Cn · r = r · Cn . Множества левых и правых смежных классов группы G по подгруппе H обозначаются G/H и H\G, соответственно. Утверждение 2.2.1 Левые (правые) смежные классы либо совпадают, либо не пересекаются. Левые и правые смежные классы (одного и того же элемента) по инвариантной подгруппе совпадают. Док-во. Пусть один и тот же элемент g принадлежит левым смежным классам g1 H и g2 H: g ∈ g1 H и g ∈ g2 H. Это значит, что существуют h1 , h2 ∈ H, такие что g1 h1 = g = g2 h2 . Отсюда следует, что g1 = g2 h2 h−1 = g2 h′ и следовательно 1 g1 ∈ g2 H, g2 ∈ g1 H, т.е. такие смежные классы совпадают g1 H = g2 H. Для правых смежных классов это утверждение доказывается аналогично. Пусть подгруппа H инвариантна. Тогда ∀g ∈ G, согласно определению инвариантной подгруппы, мы имеем gHg −1 = H, т.е. gH = Hg – левые и правые смежные классы совпадают. • Определим произведение двух смежных классов g̃ ≡ gH и g̃ ′ ≡ g ′H элементов g и g ′ группы G по инвариантной подгруппе H как множество, составленное из всех произведений f · f ′ , f ∈ g̃ и f ′ ∈ g˜′ . В результате такого произведения мы полу- g′, т.к. (gH) · (g ′ H) = g(H g ′ )H = g(g ′ H)H = g g ′ H чаем снова смежный класс gg в силу определения инвариантной подгруппы H. Т.е. групповая аксиома для такого определения произведения смежных классов выполнена. Ассоциативность этого произведения очевидно следует из ассоциативности группового умножения в G. Роль единицы выполняет смежный класс eH, совпадающий с подгруппой H, а обратный к gH смежный класc есть g −1 H. Т.о., мы получили: Утверждение 2.2.2 Смежные классы группы G по инвариантной подгруппе H образуют группу G/H, которая называется факторгруппой. Пример. Как мы выяснили группа Dn распадается в два смежных класса ẽ и r̃ по инвариантной подгруппе Cn : ẽ = e · Cn и r̃ = r · Cn . Таблица Кэли для элементов ẽ и 21 r̃ совпадает с таблицей Кэли для группы C2 : ẽ · ẽ = ẽ , ẽ · r̃ = r̃ · ẽ = r̃ , r̃ · r̃ = ẽ , Т.о., мы имеем Dn /Cn = C2 . Отметим, что можно специальным образом перемножить две группы G1 и G2 , чтобы получить новую группу, которая обозначается G1 × G2 и называется прямым произведением групп. Прямое произведение групп играет важную роль в теории групп, оно позволяет конструировать новые группы и сводить изучение более сложных групп к изучению более простых. Определение 2.2.3 Пусть G1 и G2 – две группы. Множество всех пар (g1 , g2 ) (g1 ∈ G1 и g2 ∈ G2 ) с покомпонентной операцией умножения (g1 , g2 )(h1 , h2 ) = (g1 h1 , g2 h2 ) образует группу, называемую прямым произведением групп G1 и G2 . Единицей в этой группе служит элемент (e1 , e2 ), где e1 и e2 единицы в группах G1 и G2 , соответственно. В группе G1 × G2 имеются две инвариантные подгруппы, изоморфные G1 и G2 , с элементами (G1 , e2 ) и (e1 , G2 ); соответствующие фактор группы равны G1 × G2 /G1 ∼ = G2 , G1 × G2 /G2 ∼ = G1 . Важным понятием в теории групп является понятие классов сопряженных элементов в группе G. Определение 2.2.4 Подмножество элементов g˜0 = {g g0 g −1 |g ∈ G}, где g0 фик- сированный элемент группы G, называется классом сопряженности (или классом сопряженных элементов) для элемента g0 . Единица группы e образует класс сопряженных элементов, состоящий из одного элемента. Группа G расслаивается на классы сопряженных элементов, т.к. классы сопряженности или совпадают или не пересекаются. Это следует из равенств gg0 g −1 = g ′g0′ g ′ −1 −1 ⇒ g0 = (g −1g ′ ) g0′ (g ′ g) = (g −1g ′ ) g0′ (g −1 g ′)−1 . Примеры. 1. Группа Cn расслаивается на n классов сопряженности {e}, {g1}, {g2 }, . . . , {gn−1 }, каждый из которых состоит из одного элемента. Действительно, группа Cn – абелева и ∀g ∈ Cn мы имеем ggn g −1 = gn . Такое расслоение на классы сопряженности, 22 состоящие из одного элемента, справедливо для всех абелевых групп. 2. Группа D2n+1 расслаивается на n + 2 класса сопряженности {e}, {gk , g−k } (k = 1, . . . , n), {r, rg1, . . . , rg2n }. То, что все несобственные элементы D2n+1 попадают в один класс сопряженности следует из соотношения rgk (rgm )g−k r = rg2k−m и нечет- ности порядка группы (2n + 1). 3. Группа D2n расслаивается на n + 3 класса сопряженности {e}, {gn }, {gk , g−k } (k = 1, . . . , n − 1), {rg2k }, {rg2k+1 }. Определение 2.2.5 Подмножество самосопряженных элементов группы G образует абелеву инвариантную подгруппу Z, которая называется центром группы G. Т.е., центр Z группы G образован теми элементами из G, которые коммутируют со всеми элементами G. Доказательство того, что такое множество Z является инвариантной подгруппой – очевидно. Примеры. 1. Любая группа имеет тривиальный центр, состоящий из одного элемента e. 2. Центр абелевой группы Cn совпадает с самой группой. 3. Центр группы D2n образован двумя элементами {e, gn }. Определение 2.2.6 Конечная группа G называется простой, если она не имеет нетривиальных инвариантных подгрупп. Конечная группа G называется полупростой, если она не имеет нетривиальных абелевых инвариантных подгрупп. Т.о., понятие простых групп обобщает понятие простых чисел (простые группы делятся только на тривиальные нормальные делители). Примеры. 1. Группы Cp просты, если p – простое число. Группы Dn не полупросты и не просты. 2. Если группы G1 и G2 просты и неабелевы, то группа G1 × G2 полупроста. Определение 2.2.7 Цепочка подгрупп G ≡ G1 ⊃ G2 ⊃ . . . ⊃ Gn ≡ {e} , для которых Gi+1 – инвариантная подгруппа (нормальный делитель) в Gi , 1 ≤ i ≤ n − 1, называется нормальным рядом группы G. Факторгруппы G1 /G2 , G2 /G3 , G3 /G4 , . . ., называют факторами нормального ряда. Группа, имеющая нормальный ряд, все факторы которого коммутативны, называется разрешимой. 23 Оказывается, что можно установить чрезвычайно важную связь между инвариантными подгруппами некоторого набора групп и гомоморфизмами между этими группами (определение гомоморфизма групп дано в Лекции 1, см. Определение 2.1.5). Рассмотрим гомоморфизм ρ : G → G′ из группы G в группу G′ . Множество K элементов G, отображающихся с помощью ρ в единичный элемент e ∈ G′ , называет- ся ядром гомоморфизма ρ. Множество элементов I ∈ G′ , на которое отображается группа G при отображении ρ, называется образом гомоморфизма ρ. Очевидно, что K и I являются подгруппами в G и G′ , соответственно, причем Утверждение 2.2.3 Ядро K гомоморфного отображения ρ: G → G′ есть инвари- антная подгруппа в G. Док-во. Пусть K = {K1 , K2 , . . . , Km }. Множество K есть группа, т.к. из ρ(Ki ) = e′ и ρ(Kj ) = e′ следует ρ(Ki Kj ) = e′ и следовательно Ki Kj ∈ K. Кроме того e ∈ K и Ki−1 ∈ K, т.к. e′ = ρ(Ki ) = ρ(Ki e) = ρ(Ki ) ρ(e) = ρ(e) , e′ = ρ(e) = ρ(Ki Ki−1 ) = ρ(Ki−1 ) . K есть инвариантная подгруппа, т.к. ∀g ∈ G мы имеем ρ(gKg −1) = ρ(g)e′ ρ(g −1 ) = ρ(gg −1 ) = ρ(e) = e′ , т.е. gKg −1 ⊂ K. • Утверждение 2.2.4 Если ядро K гомоморфного отображения ρ тривиально, то ρ – изоморфизм в G ′ 2 . Док-во. Пусть ядро гомоморфизма ρ : G → G′ тривиально, т.е. состоит только из одного элемента e: ρ(e) = e′ и ρ(g) 6= e′ ∀g 6= e, то мы имеем ρ(g1 ) 6= ρ(g2 ) если g1 6= g2 (т.е. ρ – изоморфизм в G′ ). Докажем этот факт от противного. Пусть ∃g1 6= g2 такие, что ρ(g1 ) = ρ(g2 ), следовательно ρ(g1 g2−1 ) = e′ , т.е. элемент g1 g2−1 ∈ K(ρ) и g1 g2−1 6= e, а это противоречит нашему первоначальному утверждению о тривиальности ядра • K(ρ). Рассмотрим последовательность групп и гомоморфизмов ρ ρ ρ 1 2 G0 −→ G1 −→ G2 −→ ... 2 Напомним, что мы различаем ”отображение на” и ”отображение в”: G → G′ . В первом случае образом является все множество G′ , а во втором случае – некоторое подмножество G′ . 24 Такая последовательность называется точной, если образ ρi−1 (Gi−1 ) ∈ Gi совпадает с ядром ρi . Другими словами ρi (ρi−1 (Gi−1 )) = e (или ρi−1 (Gi−1 ) ⊂ K(ρi ) ≡ Keri ) и ρi (g) 6= e, если g ∈ / ρi−1 (Gi−1 ) (или Keri ⊂ ρi−1 (Gi−1 )). Т.о., последовательность λ e −→ H −→ G является точной только если λ является изоморфизмом H в G (т.к. образом e в H может быть только один элемент, который очевидно совпадает с единицей в H). Проиллюстрируем этот факт с помощью диаграммы λ G H  e• - - eH -e  - G Аналогично, последовательность µ G −→ G′ −→ e является точной только если образом µ является вся группа G′ (или G отображается на G′ ), т.к. вся группа G′ является ядром второго гомоморфизма G′ → e: G XXµ ′ XXX zG :   PP PP q P 1•e     Теперь предположим мы имеем точную последовательность µ λ e −→ H −→ G −→ G′ −→ e (2.2.5) exsec и обозначим λ(H) = H ′ : H e• - eH  λ G PPµ PP G′ = G/H -P P qP P PP PP P Pe P q P q P ′ 1•e H 1         - 1      Тогда H ∼ = H ′ , где H ′ является ядром µ, т.е., согласно Утверждению 2.2.3, H ∼ = H′ является инвариантной подгруппой в G. Т.к. µ(H ′ ) = e, то весь смежный по H ′ класс gH ′ = H ′ g в G отображается в единственный элемент µ(g) в G′ : µ(gH ′) = µ(H ′g) = µ(g) , 25 а для любых двух смежных классов gH ′ и g ′ H ′ , которые не пересекаются (g −1 g ′ ∈ /H ′ ), мы имеем µ(g −1H ′ )µ(g ′H ′ ) = µ(g −1H ′ g ′ H ′ ) = µ(g −1g ′) 6= e , т.е. µ(gH ′) 6= µ(g ′H ′ ). Т.о., мы установили взаимнооднозначное соответствие групп G/H ∼ = G/H ′ и G′ : G/H ′ ∼ = G′ , = G′ ⇒ G/H ∼ т.е., если последовательность (2.2.5) – точная, то группа G′ есть факторгруппа G по H. Пример. Пусть Gi – абелевы группы (умножение можно заменить сложением, а единичные элементы в Gi будем обозначать нулем). Рассмотрим последовательность гомоморфизмов di ((ко)граничных операторов) d d d 1 2 G0 −→ G1 −→ G2 −→ ... , таких, что di+1 di (Gi ) = 0, т.е. Imi = di (Gi ) ⊂ Keri+1 . Условие гомоморфизма в данном случае записывается в виде di (g1 + g2 ) = di (g1 ) + di (g2 ) (∀g1 , g2 ∈ Gi ). Об- раз Imi = di (Gi ) в Gi+1 образует инвариантную (т.к. Gi+1 – абелева) подгруппу в ядре Keri+1 . Фактор группа Hi = Keri+1 /Imi называется группой (ко)гомологий. Для точной последовательности имеем Keri+1 = Imi и группы (ко)гомологий Hi тривиальны. Упражнения 1. Доказать, что отражения правильных 2k-угольников относительно дополнительных осей симметрии (которые проходят через середины противоположных сторон) сводятся к преобразованиям rgm ∈ D2k . 2. Найти классы сопряженности для групп Dn × Dn . 3. Докажите, что если порядок группы G равен 2n, а H – подгруппа порядка n груп- пы G, то H – ее нормальная подгруппа. (Указание: В G имеется только 2 смежных класса, один из которых есть H, а второй можно реализовать как левый или как правый смежный класс по H.) 4. Если группа G конечна, то количество смежных классов по H называется индексом подгруппы H в G. Доказать теорему: Теорема 2.2.5 (Лагранжа) Порядок и индекс подгруппы H в G являются делителями порядка группы G. 26 5. Найти факторгруппу аддитивной группы целых чисел, кратных 3, по подгруппе чисел, кратных 15. 6∗ . Доказать, что группы S3 и S4 разрешимы, а группа S5 неразрешима. 2.3 Лекция 3. Группа перестановок Sn (симметрическая группа). Как мы уже отмечали, элементы диэдральной группы Dn можно представить в виде взаимно однозначных отображений множества n вершин {1, 2, . . . , n} n-угольника в это же множество. Другими словами эти элементы представляются в виде перестановок  A= 1 2 ... n −1 3 a1 a2 a3 . . . n an−1 an   (2.3.6) perm1 где {a1 , a2 , . . . , an } – некоторое новое размещение чисел {1, 2, . . . , n}. Т.о., перестанов- ка A является взаимно-однозначным отображением следующего вида A: {1, 2, 3, . . . , n − 1, n} → {a1 , a2 , a3 , . . . , an−1 , an } . Все перестановки типа (2.3.6) образуют группу перестановок n объектов (симметрическую группу), которая обозначается Sn и в которой под произведением двух перестановок (2.3.6) и  B= 1 2 3 ... n− 1 n b1 b2 b3 . . . bn−1 bn    = a1 a2 a3 . . . an−1 an ba1 ba2 ba3 . . . ban−1 ban   (очевидно, что столбцы в такой записи мы можем переставлять произвольным образом, при этом отображение не меняется) мы понимаем перестановку, которая получается в результате последовательного применения сначала перестановки A, а потом B:  A·B = 1 2 ... n− 1 n a1 a2 . . . an−1 an   · a1 a2 . . . an−1 an ba1 ba2 . . . ban−1 ban    = 1 2 ... n− 1 n ba1 ba2 . . . ban−1 ban   Единичная перестановка и обратная перестановка A−1 к перестановке (2.3.6) имеют вид  e= 1 2 3 ... n−1 n 1 2 3 ... n−1 n   ,  A−1 =  27 a1 a2 a3 . . . 1 2 3 an−1 an ... n− 1 n   . Циклическими перестановками или циклами (a1 , a2 , . . . , ak ) (∀k ≤ n) мы называ- ем перестановки, которые объекты {a1 , a2 , . . . , ak } переставляют циклически a1 → a2 , a2 → a3 , . . ., ak−1 → ak , ak → a1 , а остальные (n − k) объектов оставляют неизменными:   a1 a2 a3 . . . ak ak+1 . . . an a2 a3 a4 . . . a1 ak+1 . . . an   = (a1 , a2 , . . . , ak ) · (ak+1 ) · · · (an ) ≡ (a1 , a2 , . . . , ak ) , (циклы, состоящие из одного элемента, мы будем опускать для упрощения записи). Очевидно, что любая перестановка распадается в произведение циклических перестановок (циклов). Практически – надо взять какой-то объект и последовательно записать те объекты в которые он переходит (согласно данной перестановке) пока не вернемся к начальному объекту. Далее повторить эту процедуру с оставшимися объектами и т.д. Например, рассмотрим перестановку из группы S7 :   1 2 3 4 5 6 7 3 6 4 1 2 5 7   = (1, 3, 4) · (2, 6, 5) · (7) ≡ (1, 3, 4) · (2, 6, 5) , где мы использовали краткое обозначение для циклов   1 3 4 2 5 6 7 3 4 1 2 5 6 7   = (1, 3, 4) = (3, 4, 1) = (4, 1, 3) . Заметим, что циклы, состоящие из разных символов, не влияют друг на друга и, соответственно, коммутируют друг с другом, например: (1, 3, 4) · (2, 6, 5) = (2, 6, 5) · (1, 3, 4) . Цикл (a, b), переставляющий лишь два различных символа, называется транспозицией  (a, b) =  a b c ... b a c ...   = (b, a) . Утверждение 2.3.1 Любой цикл распадается в произведение транспозиций: (a1 , a2 , . . . , an ) = (a1 , a2 )(a1 , a3 ) · · · (a1 , an−1 )(a1 , an ) . (2.3.7) tr1 Док-во. Достаточно доказать следующее утверждение (∀k > 2) (a1 , a2 , . . . , ak ) = (a1 , a2 , a3 , . . . , ak−1 )(a1 , ak ) . 28 (2.3.8) tr2 Действительно мы имеем: (a1 , a2 , a3 , . . . , ak−1 )(a1 , ak ) =  = a1 a2 . . . ak−2 ak−1 ak a2 a3 . . . ak−1 a1 ak Или графически a1 • · a1 a2 . . . ak−1 ak ak a2 . . . ak−1 a1 a a • . . . k−2 • k−1 • a1 a2 ak−2 ak−1    = a1 a2 . . . ak−2 ak−1 ak a2 a3 . . . ak−1 ak a1   ak • @ @ @  @    @ @ @  R @ R @ R• •? )  •XXX• . . . • @ XX  XX X  X?  XX ?  9 • . . . •? z• • • X (a1 , a2 , . . . , ak−1 ) = @@ (a1 , ak ) = a2   a1 = a a a • •2 . . . k−1 • •k • • ... • @ @ @  @ @ @  @ @  @ R @ @ @ R R )  a1 a2 ak−1 = (a1 , . . . , ak ) • ak ak Применяя (2.3.8) последовательно для k = n, n − 1, . . . , 3 мы получаем (2.3.7). • Т.к. любая перестановка представима в виде произведения циклов, то из Утверждения 2.3.1 следует, что любая перестановка представима в виде произведения транспозиций. Более того, любая перестановка представима в виде произведения соседних транспозиций (k, k + 1). Это утверждение легко понять на интуитивном уровне, т.к. любой объект ai из k объектов {a1 , a2 , . . . , ak } можно поставить на ме- сто любого элемента aj , а элемент aj на место ai (другие объекты останутся на своих местах) осуществляя последовательные транспозиции данного объекта с соседними объектами. Например, для случая j > i, мы сначала переставляем ai и ai+1 , т.е. делаем транспозицию (ai , ai+1 ) (при этом объект ai будет расположен на i + 1-ом месте), потом соседнюю (ai , ai+2 ) и т.д. до последней соседней транспозиции объектов (ai , aj ) (при этом объект ai будет расположен на j-ом месте, а все объекты am (m = i + 1, . . . , j) будут располагаться на m − 1-ом месте). После этого, точно также (с помощью соседних транспозиций), объект aj с (j − 1)-ого места можно передви- нуть влево на i-ое место. Теперь из Утверждения 2.3.1 очевидно следует, что любую перестановку можно сделать, осуществляя соседние транспозиции. Для группы Sn обычно выбирают один из 2-х наборов образующих: 1.) набор из (n−1) образующих σi = (i, i+1) (i = 1, . . . , n−1) (соседних транспозиций), которые удовлетворяют соотношениям группы кос σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 , [σi , σj ] = 0 (|i − j| > 1) , (2.3.9) braid и σi2 = e (i = 1, . . . , n − 1). Соотношения (2.3.9) можно изобразить графически 29 i • σi+1 σi σi+1 i+1 • i i+2 • • @ @ @ R @ •? • @ =@ R• @ • @ • •? @ @ @ R @ = i+1 i+2 • • @ @ R• @ • @ •? @ @ R• @ •? • @ @ @ @ R @ ? • • •? • • если воспользоваться представлением 1 2 i i+1 n • • ... • • ... • @ @ σi = @ R• . . . •? •? •?. . . • @ = σi σi+1 σi • (2.3.10) figas 2.) набор из двух образующих – первой транспозиции σ1 = (1, 2) и самого длинного цикла = (1, 2, . . . , n) (см. упражнения к этой лекции). Заметим, что графическое представление (2.3.10) подсказывает важную матричную реализацию образующих σi ∈ Sn , а соответственно дает матричную реализацию и всей группы перестановок Sn . А именно, каждой вершине с номером a (a = 1, . . . , n) на диаграмме (2.3.10) в верхнем ряду сопоставим индекс ka , а в нижнем ряду – индекс ja , пробегающие M значений 1, 2, . . . , M. Каждой стрелке, связывающей вершины с индексами ka и rb сопоставим символ Кронекера δrkba . В результате для транспозиции σa (2.3.10) получаем представление в виде тензора k k k ...kn a−1 a+2 a σa → (σa )kj11...j = δjk11 δjk22 · · · δja−1 · δjaa+1 δjka+1 · δja+2 · · · δjknn . n (2.3.11) matSn Наконец, произведению двух перестановок A, B ∈ Sn сопоставляется свертка соот- ветствующих тензоров k1 ...kn j1 ...jn n (A B)km11...k ...mn = (A)j1 ...jn (B)m1 ...mn . (2.3.12) matSn1 Здесь и в дальнейшем, если это не оговорено специально, мы будем придерживаться соглашения, что по повторяющимся индексам идет суммирование. Определение 2.3.1. Перестановки, которые представляются в виде произведения четного (нечетного) числа транспозиций, называются четными (нечетными). Заметим, что перестановки представляются в виде произведения транспозиций неоднозначно, т.к. транспозиции удовлетворяют соотношениям (i, j)(j, k) = (j, k)(i, k) = (i, k)(i, j) , (i, j)2 = e (∀i, j, k) , [(i, i + 1), (j, j + 1)] = 0 (∀|i − j| > 1) . (2.3.13) tr3 Тем не менее видно, что преобразования, использующие соотношения (2.3.13), сохраняют четность перестановки. Четные перестановки очевидно образуют подгруппу в 30 группе перестановок Sn (произведение четных перестановок всегда имеет четное число транспозиций и, т.о., есть четная перестановка). Эта подгруппа обозначается An и называется альтернативной (или знакопеременной) подгруппой. Подгруппа An является инвариантной подгруппой в группе Sn , т.к. очевидно, что присоединенное преобразование h → ghg −1 (∀g ∈ Sn ) сохраняет четность элементов h. Утверждение 2.3.2 В группе Sn две перестановки, имеющие одинаковое разложение в произведение циклов (т.е. одинаковое количество циклов и одинаковые длины соответствующих циклов), содержатся в одном и том же классе сопряженных элементов. Док-во. Действительно, перестановка (2.3.14) Acyc A = (a1 , a2 . . . , ak1 )(ak1 +1 , ak1 +2 . . . , ak2 ) · · · (akm−1 +1 , akm−1 +2 . . . , akm ) , состоящая из m циклов длинной k1 , k2 − k1 , ..., km − km−1 (km = n), преобразованием подобия T −1 AT , где T - произвольная перестановка  T = a1 a2 . . . ak1 ak1 +1 ak1 +2 . . . ak2 · · · akm−1 +1 akm−1 +2 . . . akm b1 b2 . . . bk1 bk1 +1 bk1 +2 . . . bk2 · · · bkm−1 +1 bkm−1 +2 . . . bkm т.е. T (ai ) = bi , переводится в перестановку   , B = T −1 AT = T −1 (a1 , . . . , ak1 )T T −1 (ak1 +1 , . . . , ak2 )T · · · T −1 (akm−1 +1 , . . . , akm )T = = (T (a1 ), . . . , T (ak1 )) (T (ak1 +1 ), . . . , T (ak2 )) . . . (T (akm−1 +1 ), . . . , T (akm )) = = (b1 , b2 . . . , bk1 )(bk1 +1 , bk1 +2 . . . , bk2 ) · · · (bkm−1 +1 , bkm−1 +2 . . . , bkm ) , , (2.3.15) tmat состоящую из произведения циклов той же длинны. Т.о., произвольные перестановки A и B, имеющие одинаковое количество циклов и одинаковые длины соответствующих циклов, переводятся друг в друга преобразованием подобия и принадлежат одному классу сопряженных элементов. Теперь, если мы хотим решить вопрос, входят ли две перестановки A и B в один и тот же класс, то расположим все циклы, произведение которых дают A (или B), слева на право в порядке убывания их длин, пока самый короткий цикл не окажется на последнем месте справа. Если длины всех циклов λ1 = k1 , λ2 = k2 −k1 , ..., λm = km −km−1 и их число одинаковы для перестановок A и B, то эти перестановки принадлежат одному и тому же классу сопряженности, в противном случае это не так. Поэтому число классов равно числу последовательностей целых чисел λ1 , λ2 , . . . , λm , удовлетворяющих условиям λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λm и λ1 + λ2 + . . . + λm = km = n. Каждая такая 31 последовательность называется разбиением числа n и обозначается λ ⊢ n. Удобно представлять различные разбиения λ ⊢ n в виде диаграммы Юнга m1 λ= λ(1) m2 m3 mk ... mk m2 1 λ = (λm (1) , λ(2) , . . . , λ(k) ) , ⇔ λ(2) λ(3) (2.3.16) qdima01 λ(k) которая изображает перестановки, имеющие m1 циклов длинной λ(1) (т.е. длины первых m1 циклов равны друг другу λ1 = . . . = λm1 ≡ λ(1) ), m2 циклов длинной λ(2) , и т.д. Конкретную перестановку, например (2.3.14) можно представить в виде таблицы, заполняя клетки диаграммы соответствующими элементами a1 a2 ak1 +1 ... akm−1 +1 a3 . . . . . . ak1 ak1 +2 . . . . . . ak2 ... (2.3.17) Acyc1 ... ... . . . akm Примеры. 1. Рассмотрим группу перестановок S3 . Мы имеем следующие разбиения 3! = 6 перестановок 3-х элементов на 3 различных класса 1. e = (1)(2)(3), 2. (1, 2), (1, 3), (2, 3), 3. (1, 2, 3), (1, 3, 2), Соответствующие диаграммы Юнга имеют вид = •• = (13 ) , • = •• • = (2, 1) , = ••• = (3) . 2. Рассмотрим группу перестановок S4 . Мы имеем следующие разбиения 24-х перестановок 4-х элементов на 5 различных классов (# обозначает их размерность) • 1. e = (1)(2)(3)(4) = •• = (14 ) (#1), • 2. (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) = •• • = (2, 12) (#6), • 3. (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) = •• •• = (2, 2) (#3), 32 4. (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3) = •••• = (3, 1) (#8), 5. (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (4, 3, 2, 1) = •••• = (4) (#6), X # = 1 + 6 + 3 + 8 + 6 = 24 = 4! . Оказывается, что для числа сопряженных элементов класса Kλ ⊂ Sn , где λ = mk m2 1 (λm (1) , λ(2) , . . . , λ(k) ), можно получить общую формулу. Утверждение 2.3.3 Рассмотрим класс Kλ сопряженных элементов, имеющих разmk m2 1 ложение в циклы λ = (λm (1) , λ(2) , . . . , λ(k) ) (2.3.16). Тогда, число |Zλ | перестановок g ∈ Zλ ⊂ Sn таких, что фиксированный элемент κ ∈ Kλ – стабилен (т.е. g κ g −1 = κ) равно mk m2 1 |Zλ | = m1 ! λm (1) m2 ! λ(2) · · · mk ! λ(k) , (2.3.18) zlam а число элементов в классе Kλ определяется формулой |Kλ | = n! n! = mk . m1 2 |Zλ | m1 ! λ(1) m2 ! λm (2) · · · mk ! λ(k) (2.3.19) klam Док-во. Согласно (2.3.15), (2.3.17) данная перестановка g ∈ Zλ либо переставляет в λ циклы одинаковой длинны, либо делает циклическую перестановку элементов внутри цикла. T.е., для циклов длинны λ(i) , которых mi штук, имеется mi ! способов i для первого действия и λm (i) для второго действия. Произведение этих чисел дает (2.3.18). Заметим, что Zλ – подгруппа в Sn . Вся группа Sn действует на κ преобразованием сопряжения κ → gκg −1 так, что все элементы g из левого смежного класса h · Zλ (для некоторого фиксированного h ∈ Sn )) переводят κ в один и тот же элемент hκh−1 . Более того, разные элементы из множества gκg −1 (∀g ∈ Sn ) соответствуют разным смежным классам по подгруппе Zλ , т.к. из hκh−1 6= h′ κh′ −1 следует, что h−1 h′ ∈ / Zλ . Т.о., число элементов в классе Kλ равно числу смежных классов в Sn по подгруппе Zλ и, пользуясь Теоремой 2.2.5 и (2.3.18), мы получаем (2.3.19). Заметим, что формула (2.3.19) имеет нетривиальный комбинаторный смысл, т.к. все числа |Kλ | должны быть целыми и мы имеем тождество пускает вероятностную интерпретацию. P λ⊢n |Kλ | = n!, которое до- Важность группы перестановок определяется тем, что в определенном смысле изучение конечных групп порядка n сводится к изучению различных подгрупп группы перестановок Sn . Это следует из следующего утверждения: 33 Теорема 2.3.4 (Кэли) Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок Sn . Док-во. Для конечной группы G порядка n с элементами {e = g1 , g2 , . . . , gn } мно- жество элементов {gi g1 , gi g2 , . . . , gi gn } для любого фиксированного элемента gi ∈ G совпадает с множеством {g1 , g2 , . . . , gn }, но записанном в другом порядке. Действи- тельно, из gk 6= gm следует, что gi gk 6= gi gm , т.е. все элементы {gi g1 , gi g2 , . . . , gi gn } разные и, следовательно, перечисляют изначальный набор {g1 , g2 , . . . , gn }. То же самое справедливо и для набора {g1 gi , g2 gi , . . . , gn gi }. Т.о., мы можем сопоставить каждому элементу gi перестановку   e g2 g3 . . . gn  pg i = pi =  gi g2 gi g3 gi . . . gn gi элементов группы G. Множество таких перестановок образует группу изоморфную G. Действительно     e g2 g3 . . . gn   e g2 g3 . . . gn  pi pk =  · = gi g2 gi g3 gi . . . gn gi gk g2 gk g3 gk . . . gn gk     e g2 g3 . . . gn   gi g2 gi g3 gi . . . gn gi  = pg i g k · = gi gk g2 gi gk g3 gi gk . . . gn gi gk gi g2 gi g3 gi . . . gn gi Отсюда следует, что отображение gi → pi задает гомоморфизм группы G на некото- рую подгруппу группы Sn , причем тождественная перестановка pe является образом всего лишь одного единичного элемента e ∈ G (т.е. ядро отображения gi → pi три- виально), а это означает, согласно Утверждению 2.2.4, что отображение gi → pi – изоморфизм. Из этой теоремы следует, что любую конечную группу G порядка n можно гомоморфно отобразить в группу матриц GL(n). Такой гомоморфизм строится следующим образом. Расставим n элементов группы G в некотором порядке в виде вектора (g1 , g2 , . . . , gn ). Действие слева (справа) фиксированного элемента gi ∈ G на этот вектор определяет перестановку компонент этого вектора, которую можно представить (R) в виде (n × n)- матрицы T (R) (gi )jk (T̃jk (gi )) согласно правилам: (R) (R) gi gj = gk Tkj (gi ) , gj gi = T̃jk (gi ) gk . (2.3.20) regu5 Эти правила определяют гомоморфные отображения T (R) и T̃ (R) : G → GL(n) (R) (R) (R) Tlk (gm ) Tkj (gi ) = Tlj (gm gi ) , (R) (R) (R) T̃jk (gi ) T̃kl (gm ) = T̃jl (gi gm ) . 34 (2.3.21) homRR Соотношения (2.3.21) следуют из ассоциативности умножения в G: (R) (R) (R) (R) gm (gi gj ) = gm gk Tkj (gi ) = gl Tlk (gm ) Tkj (gi ) , (gm gi ) gj = gl Tlj (gm gi ) , (R) (R) (R) (R) (2.3.22) regu (gj gi ) gm = T̃jk (gi ) gk gm = T̃jk (gi ) T̃kl (gm ) gl , gj (gi gm ) = T̃jl (gi gm ) gl . Гомоморфизмы T (R) и T̃ (R) называются левым и правым регулярным представлением группы G, соответственно. Упражнения 1. Разложить в произведение циклов перестановку    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  3 6 4 11 7 5 8 2 1 10 9 2. Доказать формулы (2.3.13) для транспозиций (i, j). Пользуясь этими формулами, доказать, что транспозиции σi = (i, i + 1) удовлетворяют соотношениям группы кос (2.3.9). 3. Доказать, что набор из двух элементов – первой транспозиции σ1 = (1, 2) и самого длинного цикла = (1, 2, . . . , n) являются образующими всей группы Sn . 4. Проверить, что соотношения группы кос (2.3.9) выполняются для матричной реализации (2.3.11), (2.3.12). 5. Доказать, что инвариантная подгруппа An в группе Sn имеет порядок n!/2, и что факторгруппа Sn /An = C2 = Z2 . 6. Посчитать по формуле (2.3.19) размерность классов сопряженности в S5 , которые • •• ••• •••• , •••••: и проверить, соответствуют диаграммам •• , • , •• •• , • , ••• •• , • • • • • • • что сумма этих размерностей равна 5!. 2.4 Лекция 4. Теорема Эйлера и эйлерова характеристика. Правильные платоновские многогранники и их симметрии. Фуллерены и графены. Теорема Эйлера3 и эйлерова характеристика. Заметим, что резиновый мяч непрерывными деформациями (разрезы и склейки запрещены) невозможно преобразовать в резиновый спасательный круг. Более общее утверждение – никакой непрерывной деформацией сферу с g1 ручками Mg1 нельзя 3 Краткая биография Л.Эйлера приведена в Приложении. 35 перевести в сферу Mg2 с g2 6= g1 ручками. На математическом языке это звучит так: Mg1 не гомеотопна Mg2 , если g2 6= g1 . Сфера с одной ручкой гомеотопна спасатель- ному кругу, с двумя ручками гомеотопна поверхности кренделя, и т.д.. Возьмем теперь сферу S, отметим на ней 4 точки и соединим эти точки линиями на S так, чтобы она разбилась на 4 куска треугольного типа. Непрерывной деформацией сделаем эти куски плоскими – в результате получим тетраэдр с V = 4 вершинами (vertices), E = 6 ребрами (edges) и F = 4 гранями (faces). Вычислим для тетраэдра величину χ = V − E + F . Простой подсчет дает χ = 4 − 6 + 4 = 2. Далее рассмотрим поверхность куба, которую также можно получить непрерыв- ной деформацией сферы S (если отметить на S 8 точек и соединить их линиями так, чтобы разбить S на 6 кусков подобных квадратам) – соответственно имеем χ = V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2. Поверхность куба можно ”триангулировать”, проводя по одной диагонали на каждой квадратной грани куба. При этом мы снова получаем поверхность, гомеотопную сфере, но состоящую только из треугольных граней (как и в случае с тетраэдром), образованных 18 ребрами и 8 вершинами. Такая конструкция называется комплексом, т.к. состоит из элементарных геометрических элементов определенной размерности (симплексов) – точек (0-мерный симплекс), отрезков (1мерный симплекс) и треугольников (2-мерный симплекс). При такой триангуляции поверхности куба (сферы) величина V − E + F = 2 не меняется, т.к. каждая диагональ в квадратной грани увеличивает число граней F на 1, но при этом число ребер E, в этой же грани, также увеличивается на 1, т.е. при триангуляции для всей поверхности куба мы имеем ∆(V − E + F ) = 0 (число вершин F не меняется). Т.о., мы видим, что две разные триангуляции сферы приводят к одному и тому же резуль- тату для V − E + F = 2. Более того покажем, что как бы мы не триангулировали сферу, величина V − E + F = 2 не поменяется. Действительно, процесс изменения триангуляции при сохранении числа вершин сводится к преобразованиям вида             −→  \   \  \  \  (∆V = ∆E = ∆F = 0) Рис. 4.1 а при увеличении числа вершин (в случае общего положения) к преобразованиям J J J J J J −→ J (∆V J H  H J HH  J Рис. 4.2 36 = 1, ∆E = 3, ∆F = 2) Легко видеть, что при обоих преобразованиях характеристика V − E + F не ме- няется. Этот факт является содержанием знаменитой теоремы Эйлера. Теорема 2.4.1 (Эйлер) Для всякого простого (одно-связного) многогранника число вершин V , ребер E и граней F удовлетворяют соотношению V − E + F = 2. Рассмотрим теперь комплекс, который получается вырезанием параллелепипеда из куба (см. рис. 4.3), гомеотопный тору (форма спасательного круга или сфера с одной ручкой). h hP P hhP PP P P PP  P Ph Phh P hP h hP P hhP PP P P PP  P Ph Phh P P h Рис. 4.3 По сравнению с кубом мы увеличили число вершин на 8, число ребер на 20 и число граней на 10, т.е. изменение ∆ характеристики V − E + F равно ∆ = ∆(V − E + F ) = (∆V − ∆E + ∆F ) = 8 − 20 + 10 = −2 . Соответственно, для куба с одной дыркой мы получаем: V −E +F = 2+∆ = 2−2 = 0. Как видно из рисунка, данная фигура образуется склеиванием четырех объектов (па- раллелепипедов), каждый из которых "подобен"кубу. Заметим, что вырезание еще одного параллелепипеда (например, в одном из этих 4-х параллелепипедов – в результате мы получаем фигуру типа кренделя или сферу с двумя ручками) изменяет число симплексов как и в предыдущем случае. Т.о., для триангулированной поверхности, подобной поверхности кренделя, мы имеем V − E + F = 2 + 2∆ = −2. Продол- жая эту процедуру, мы приходим к заключению, что если вырезать таким образом g дырок в кубе, то для V − E + F получим величину V − E + F = 2 + g∆ = 2(1 − g) =: χ , (2.4.23) vefg которая называется характеристикой Эйлера4 для двумерной поверхности типа сфе4 Эта же характеристика может быть получена как альтернированная сумма: χ = b0 − b1 + b2 , где bn – числа Бетти. По определению bn – размерности пространств Zn = Cn /Bn n-циклов для заданного комплекса K (Cn – пространство замкнутых n-цепей в K, а Bn – пространство n-границ в K). Для триангулированной сферы легко получить, что b0 = b2 = 1 и b1 = 0, следовательно, χ = 2. 37 ры с g ручками. Характеристика Эйлера – это топологическая характеристика поверхности, т.к. она не зависит от способа триангуляции этой поверхности. Мы видим, что если у двух поверхностей характеристика χ совпадает, то они принадлежат одному и тому же топологическому типу, а если отличаются, то тип поверхностей – разный. Эта топологическая характеристика указывает на то, можно ли разные поверхности переводить друг в друга с помощью непрерывной деформации (если 2-мерные поверхности вложены в 3-мерное пространство, то следует учитывать нюанс, связанный с различными топологическими типами вложений ”заузленностью”) . Правильные платоновские многогранники (тела) и их симметрии. Определение 2.4.1 Платоновским многогранником (правильным выпуклым многогранником или регулярным простым полиэдром5 ) называется выпуклый многогранник, у которого все грани – правильные многоугольники – одинаковы, а все вершины имеют одинаковую валентность (число ребер, исходящих из вершины). Утверждение 2.4.2 Имеется только 5 правильных выпуклых многогранников (платоновских тел): тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Док-во. Предположим, что такой многогранник S имеет V вершин, E ребер и F граней. Пусть m обозначает число ребер, сходящихся в одной вершине и n – число ребер для каждой грани. Заметим, что n ≥ 3 и m ≥ 3. Тогда, удвоенное полное число ребер для S можно выразить через число граней и вершин: m V = n F = 2 E. Кроме того из теоремы Эйлера 2.4.1 мы имеем (т.к. S имеет топологию сферы) V −E +F = 2 так, что nF nF − + F = 2 =⇒ F (2 n − m n + 2 m) = 4 m , m 2 и, соответственно, (2 n − m n + 2 m) > 0. Т.к. n ≥ 3 это дает (2.4.24) Fnm 2 m > n(m − 2) ≥ 3(m − 2) = 3m − 6 =⇒ m < 6 . Т.о., m может равняться только 3, 4 или 5.6 1. Пусть m = 3, тогда из (2.4.24) мы получаем: F (6 − n) = 12, т.е. F делит 12 и, 5 Слово ”полиэдр” происходит от двух греческих слов: poly – много, многое и hedra – основание, поверхность, сторона, грань. 6 Если m = 2, то из (2.4.24) мы получаем F = 2 и, следовательно, V = n = E. Соответствующий двухгранник (диэдр) формально удовлетворяет требованиям, сформулированным в определении 2.4.1. Группа Dn симметрий этих тел называется диэдральной группой и рассматривалась в Лекции 2. 38 откидывая невозможные случаи F = 1, 2, мы имеем F = 3, 4, 6, 12, которым соответствуют n = 2, 3, 4, 5. Напомним, что n ≥ 3, тогда возможные значения для (m, n, F ): (a) (3,3,4), (b) (3,4,6), (c) (3,5,12). 2. Пусть m = 4, тогда F (4 − n) = 8, т.е. F = 4, 8, а n = 2, 3 и имеется единственная возможность для (m, n, F ): (d) (4,3,8). 3. Пусть m = 5, тогда F (10 − 3n) = 20, т.е. F = 4, 5, 10, 20, которым соответствуют n = 5/3, 2, 8/3, 3 и, т.к. n - целое и больше 2, то возможные значения для (m, n, F ): (e) (5,3,20). Т.о., мы получили только пять возможностей для (m, n, F ): (a) (3,3,4) – тетраэдр (V = 4, E = 6, F = 4), (b) (3,4,6) – куб (V = 8, E = 12, F = 6), (c) (3,5,12) – додекаэдр (V = 20, E = 30, F = 12), (d) (4,3,8) – октаэдр (V = 6, E = 12, F = 8), (e) (5,3,20) – икосаэдр, (V = 12, E = 30, F = 20) • Эти 5 правильных многогранников показаны на рисунке: Be e  Be B e  B e  B  e B  e PP B PP PP B P PB PP P P PP P P PP P P PP P P Тетраэдр Куб Be Be  B e  B e BP e  PP e P  PP e P P e  C e C  e C  e C eC Октаэдр hhh "h h " "

e b b b A e e A e  HH  A  D HH  a  A C aa  c D  c D C A "b  cD A b CC ""  b A b  \ A  \ A((((H H H \    \  
Q  J 
 JQQ   J Q  
QQ J
  # J  S  # P J#  L PP  S LL S L S L  S S L S L S  L Shh( L " S " hL b e S((((  " b   b e    b e b  ee   b   b Икосаэдр Додекаэдр Имеется 3 группы симметрий этих правильных многогранников. Это группа собственных вращений тетраэдра T ∼ = A4 , куба (и октаэдра) W ∼ = S4 , додекаэдра (и 39 икосаэдра) P ∼ = A5 . Порядки этих групп равны соответственно: |T | = 4! = 12 , 2 |W | = 4! = 24 , |P | = 5! = 60 . 2 Симметрии куба и октаэдра совпадают, т.к. октаэдр ”дуален” кубу, т.е. взяв в качестве вершин середины граней куба, мы получаем октаэдр и обратно, середины граней октаэдра дают вершины куба. Такая же дуальность наблюдается между додекаэдром и икосаэдром. Эта дуальность (дуальность между соответствующими графами на сфере) проявляется в виде замены числа вершин на число граней и наоборот (число ребер не меняется): (V=4, E=6, F=4) ↔ (V=8, E=12, F=6) ↔ (V=20, E=30, F=12) ↔ (V=4, E=6, F=4) (V=6, E=12, F=8) (V=12, E=30, F=20) Легко понять (в том числе и из этой диаграммы), что тетраэдр является самодуальным многогранником. Порядок групп T , W , P можно найти, рассмотрев все оси инвариантных вращений, соответственно, тетраэдра, куба и додекаэдра. Например, для тетраэдра мы имеем четыре оси 3-его порядка, проходящие через вершины и противоположные грани (на каждую приходится по два нетривиальных вращения; итого 4 × 2 = 8 нетривиальных вращений), и 3 оси 2-ого порядка, проходящие через середины противоположных ребер (на каждую приходится по одному нетривиальному вращению; итого 3). С учетом тривиального преобразования мы имеем |T | = 1 + 8 + 3 = 12. Аналогично, для икосаэдра (число вершин 12, число ребер 30 и число граней 20) мы имеем оси симметрий: 1.) 6 осей 5-ого порядка, проходящие через противоположные вершины; 2.) 10 осей 3-его порядка, проходящие через середины противоположных граней; 3.) 15 осей 2-ого порядка, проходящие через середины противоположных ребер. Т.о., число нетривиальных вращений симметрии икосаэдра равно 6 × 4 + 10 × 2 + 15 × 1 = 59. С учетом тождественного преобразования мы получаем, что порядок группы симметрии икосаэдра равен 60 = 5!/2 и совпадает с порядком группы A5 . Группа симметрий икосаэдра (додекаэдра) P ∼ = A5 – наименьшая (наименьшего порядка) неабелева простая группа. Если рассмотреть полные группы симметрий T̃ , W̃ P̃ для тетраэдра, куба и икосаэдра (додекаэдра), включая несобственные вращения (отражения), то порядки групп T̃ , W̃ , P̃ соответственно равны 24, 48, 120. Заметим, что несобственная группа P̃ не совпадает с группой S5 (хотя их порядки и совпадают). В этом можно убедиться 40 заметив, что в группе P̃ имеется инвариантная подгруппа порядка 2, связанная с полным отражением икосаэдра относительно его центра симметрии. Группа S5 , как легко понять, не имеет инвариантных подгрупп 2-ого порядка. Действительно, если бы такая подгруппа с элементами e, r ∈ S5 существовала, то элемент r 6= e был бы центральным в S5 и образовывал бы класс сопряженных элементов, содержащий единственный элемент r, чего быть не может (см. Задачу 6 в конце Лекции 3). С учетом групп Cn , Dn , рассмотренных в предыдущих лекциях, мы получаем полный список конечных групп собственных вращений в 3-х мерном пространстве: Cn (n = 1, 2, 3, . . .), Dn T , W , (n = 2, 3, . . .), P , где Cn циклическая группа поворотов вокруг некоторой оси l на углы, кратные 360◦ /n; Dn группа поворотов вокруг некоторой оси l на углы, кратные 360◦ /n плюс повороты на угол π вокруг осей, лежащих в плоскости перпендикулярной l (эти повороты эквивалентны диэдральным отражениям в данной плоскости); T, W, P группы собственных вращений тетраэдра, куба (октаэдра), додекаэдра (икосаэдра), соответственно. Фуллерен C60 – усеченный икосаэдр. Фуллерены и графены. Для икосаэдра мы имеем (m, n, F ) = (5, 3, 20), т.е. число вершин V = nF/m = 3·20/5 = 12. Отсекая вершины икосаэдра, мы получаем 12 пятиугольных граней, при этом 20 треугольных граней икосаэдра превращаются в 20 шестиугольных граней. Т.о., мы получаем фигуру типа поверхности футбольного мяча, у которой 12 пятиугольников окружены 20-ю шестиугольниками. Число трехвалентных вершин (число атомов углерода) у данной фигуры равно 60 (т.к., отсекая вершины в икосаэдре, мы каждую из его 12 вершин заменяем на 5 вершин) – такую молекулу (существующую в природе) обозначают C60 и называют фуллереном. Молекулы фуллерена C60 могут кристаллизоваться, занимая узлы кубической решетки. В свою очередь межузельные пространства могут занимать атомы металлов (металло-фуллерены), при этом вещество может становиться высокотемпературным сверхпроводником. Углерод C четырех-валентен, но две из этих 4-х валентностей иногда образуют единую связь C @ @ @ 41 в этом случае почти все молекулы и кристаллы (кроме алмаза), построенные из атомов углерода, должны иметь вершины с 3-мя ребрами. Плоская решетка такого типа – это гексагональная решетка (решетка, состоящая из правильных шестиугольников, или решетка "пчелиные соты"). Такую структуру имеют графены7 . Для трехвалентных решеток имеем V = 2E/3. Пусть в этой решетке имеется n3 - треугольных, n4 - четырехугольных, n5 - пятиугольных, n6 - шестиугольных и т.д. ячеек. Тогда мы имеем F = n3 + n4 + n5 + . . . = ∞ X nk , E= k=3 ∞ (3n3 + 4n4 + 5n5 + . . .) 1 X = k nk , 2 2 k=3 и конфигурация (молекула графена), типа сферы с g ручками, возникает, согласно формуле (2.4.23), при 2(1 − g) = V − E + F = 31 ( = 1 6 P∞ k=3 P∞ k nk ) − 21 ( P∞ k=3 k=3 (6 − k) nk . k nk ) + P∞ k=3 nk = (2.4.25) ps Т.е., для сферической конфигурации углерода (типа фуллерена), когда g = 0, число шестиугольников может быть произвольно, а число пятиугольников, семиугольников и т.д. удовлетворяют соотношению (2.4.25) ∞ X k=3 (6 − k) nk = 12 . Т.е., если молекула имеет только пятиугольные, шестиугольные и семиугольные ячейки, то ”основное” состояние соответствует n5 = 12 (фуллерен), а еще один пятиугольник может возникнуть только в паре с семиугольником и т.д. Рассмотрим углеродные сферические системы (g = 0), которые не имеют ячейки в виде k-угольников с k > 6. В этом случае мы имеем соотношение 3n3 + 2n4 + n5 = 12 . Это соотношение показывает какие ячейки (и сколько) возникают при запаивании нанотрубки, представляющей собой свернутую в длинный цилиндр гексагональную решетку атомов углерода. Т.е., либо 12 пятиугольников (как у фуллерена), либо 6 четырехугольников (как у куба), либо 4 треугольника, как у тетраэдра или многогранника, представленного на Рис. 4.4, 7 Графен – слой графита толщиной в один атом. 42 PP PP P   @ BB @B T
J``TT PP P
h hh J `PP Рис. 4.4 Существует 3-х мерное обобщение только что рассмотренной геометрической конструкции. Пусть мы имеем 3-х мерную границу 4-х мерной фигуры, разрезанную на 3-х мерные грани так, что получается комплекс с V вершинами, E ребрами, F 2мерными гранями и P 3-мерными гранями (многогранниками). Топологической характеристикой такой фигуры является величина χ = V − E + F − P . Действительно, любую 3-х мерную триангуляцию можно перевести в любую другую триангуляцию с помощью двух перестроек (ср. с перестройками в 2-мерном случае, изображенными на рисунках 4.1, 4.2)  \  \   \  \   \   \   \\     b   b    b  b b J  J J  J  J  H e HH  

e H
e LL
e L eL
eL

⇒  \  \   \  \   \   \  P P \    \  P    b  b  b   b b ⇒ J  J J J J  H e HH  

e H
e LL
e L eL
eL

  Теперь легко проверить, что эти перестройки сохраняют характеристику χ = V − E + F − P. Пусть все вершины в рассматриваемом комплексе четырех-валентны (минималь- ная нетривиальная валентность вершин для 3-мерных границ 4-мерных фигур; дуальная 3-х мерная решетка состоит из тетраэдров). Тогда очевидно, что 4V = 2E. Пусть в этой 3-х мерной решетке имеется n4 - тетраэдров, n5 - многогранников с 43 5-ю гранями, n6 - 6-гранников, и т.д. Тогда P = P k=4 nk , 2F = P k=4 k nk . Заметим, что ”2-мерная валентность” каждой вершины в такой решетке равна 6, т.к. в каждой вершине сходятся 6 граней. Рассматривая величину χ = V − E + F − P для грани- цы 4-мерного симплекса, для которого V = C15 = 5, E = C25 = 10, F = C35 = 10, P = C45 = 5, мы находим, что для 3-мерной сферы χ(S 3 ) = V − E + F − P = 0. Т.о., для любой фигуры M с топологией S 3 мы имеем тождество 0 = V − E + F − P = V − 2V + X (k/2 − 1)nk = k=4 X (k/2 − 1)nk − V , k=4 которое связывает число вершин в M с числами nk . Упражнения 1. Доказать, что порядки групп T , W , P собственных вращений тетраэдра, куба (октаэдра), додекаэдра (икосаэдра), соответственно равны 12, 24, 60. 2. Найти соотношение на число 5,6 и 7-угольников для торической молекулы графена, состоящей из атомов углерода, образующих 3-х валентную решетку. Обобщить это соотношение для случая молекулы графена, имеющей форму сферы с g ручками. 3. Доказать обобщение формулы (2.4.25) для решеток с r-валентными вершинами (V = 2E/r) 2(1 − g) = V − E + F = 1r ( ∞ P k=3 k nk ) − 21 ( ∞ P k=3 k nk ) + ∞ P k=3 nk = 1 r ∞ P k=3 ) nk . (r − k r−2 2 Особый интерес представляют решетки с r = 3, 4, 6, которые позволяют замостить плоскость (поверхности с g = 1) с помощью 6-,4-,3-угольников, соответственно. 4. Доказать, что род двумерной квадратной решетки n × n равен g = n2 , а 3- мерной кубической решетки n × n × n равен g = n3 + 9n2 . 2.5 Лекция 5. Кристаллографические группы. Квазикристаллы. Мозаики Пенроуза. Кристаллографические группы. Определение 2.5.1 Решеткой кристалла называется множество точек, соответствующих расположению всех атомов (молекул) кристалла. На рисунке 5 изображен простейший двумерный кристалл, для которого выделена примитивная ячейка. 44 • • • • • • • • • • α2



• •
-
• • • α1 • • • • • Рис. 5 Каждый атом (каждая точка решетки) этого кристалла может быть получен из какого-то одного произвольного атома путем применения трансляций вдоль двух векторов α~1 , α~2 , которые называются основными. Такие решетки называеются транзитивными. Отметим, что кристаллы могут состоять из атомов (молекул) разных типов, при этом трансляции вдоль основных векторов уже не обязательно переводят каждый узел решетки в любой другой ее узел (т.е. вся решетка не может быть получена из одного узла, в этом случае говорят, что трансляции вдоль основных векторов не транзитивны на данном кристалле) ⋆ 6 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ • • • • • α2 ⋆ ⋆ -⋆ ⋆ ⋆ α1 • • • • • Рис. 6 Определение. 2.5.2 Трансляционно инвариантной решеткой R (решеткой Браве) 3-х мерного кристалла называется совокупность всех атомов кристалла, которые располагаются на концах векторов α ~ = n1 α~1 + n2 α~2 + n3 α~3 (на плоскости α ~ = n1 α~1 +n2 α~2 ). Здесь n1 , n2 , n3 – произвольные целые числа, а векторы α~1 , α~2 , α~3 называются векторами основных трансляций. Параллелепипед, построенный на векторах α~1 , α~2 , α~3 , называется примитивной ячейкой решетки кристалла. Группой трансляций T3 (R) решетки R называется группа всех преобразований R, осуществляемых целочисленными сдвигами вдоль основных векторов α~1 , α~2 , α~3 и оставляющих решетку R инвариантной. Заметим, что решетка на рис. 5 инвариантна не только относительно всех целочисленных трансляций вдоль векторов α~1 , α~2 , но и относительно поворотов на угол 180◦ вокруг любого ее узла O. При этих вращениях узел O остается на месте (”стационарен” или ”стабилен”). 45 Определение. 2.5.3 Множество всех преобразований (движений) переводящих 3х мерную решетку R в себя, называется пространственной группой этой решет(O) ки и будет обозначаться G3 (R). Стационарной подгруппой H3 (R) (или подгруппой стабильности) решетки называется подгруппа группы G3 (R), состоящая из всех преобразований, сохраняющих решетку и оставляющих неподвижной точку O- центр вращений. Группа трансляций T3 (R) решетки R является инвариантной подгруппой пространственной группы G3 (R). Действительно, ∀g ∈ G3 (R) преобразование gTα~ g −1, где Tα~ ∈ T3 (R) – трансляция вдоль вектора α ~ , переводит произвольный узел решетки β~ в узел gTα~ g −1 · β~ = g(g −1β~ + α ~ ) = β~ + g~ α. Т.е. gTα~ g −1 ∈ T3 (R) и, следовательно, T3 (R) – инвариантная подгруппа. Фактор группа G3 (R)/T3 (R) = S3 (R) называется точечной группой R, или группой симметрии R. Заметим, что для некоторых реше(o) ток S3 (R) ∼ / H3 (R). В качестве примера рассмотрим решетку R = • • • • • • • • • • β • • • • • • • • • •
α
2 • • • • •
α•-• • • • •1 • • • • • • • • • • • • • •O • • • • • • • • • L • Рис. 7 в которой элемент G3 (R), состоящий из отражения h относительно оси L и последующей трансляции Tβ~ вдоль β (h, Tβ~ ∈/ G3 (R)), невозможно представить в виде произведения T · gO , где T трансляции вдоль основных векторов α1 , α2 , а gO ∈ G3 (R) вращения на π вокруг любой из точек стабильности типа O. Однако имеется соотношение H3 (R) = G3 (R) ∩ S3 (R). Утверждение 2.5.1 Пусть R трансляционно инвариантная решетка. Тогда группа H3 (R) состоит из конечного числа преобразований, каждое из которых является поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через точку O, на угол φ, равный 2π/6, 2π/3, 2π/4, 2π/2 или кратный им. Док-во. Т.к. случай объемной решетки можно свести к рассмотрению плоской решетки (выбирая соответствующую ось вращения), то мы рассмотрим только случай плоской решетки. Пусть φ угол поворота решетки, который переводит решетку в себя. Рассмотрим один из основных векторов трансляций α ~ 1 (причем выберем минимальный вектор трансляций) и повернем его на угол φ два раза. При этом мы 46 получим последовательность векторов, которые обозначим как α ~ 1, φ · α ~ 1 , φ2 · α ~ 1 . Все эти векторы должны быть векторами трансляции решетки. Т.к. примитивная ячейка содержит конечное число атомов, то после конечного числа применений поворота φ вектор α ~ 1 должен вернуться в прежнее положение и, следовательно, φ = 2mπ/n, где m, n – целые числа. Если φ2 · α ~ 1 = −~ α1 , т.е. векторы α ~ 1 и φ2 · α ~ 1 линейно зависимы, то угол φ = π/2 и мы получаем один из углов, упомянутых в утверждении. Пусть α ~1 и φ2 ·~ α1 линейно независимы. Тогда они образуют базис, и мы можем разложить вектор φ·~ α1 по этому базису φ·~ α1 = q α ~ 1 +p φ2 ·~ α1 , причем для того чтобы группа трансляций была дискретна, необходимо и достаточно чтобы вектор φ · α ~ 1 разлагался по базису α ~ 1 и φ2 · α ~ 1 с рациональными координатами q, p. Действительно, если эти координа- ты являются иррациональными, то применяя последовательные трансляции вдоль φ·α ~ 1 , мы получим, что в примитивной ячейке решетки содержится бесконечное чис- ло атомов, что противоречит нашему определению решетки. Вычислим координаты q, p, как функцию угла φ, рассмотрев рисунок φ2 · α ~ 1



C ~1 " φ·α 3 "
"φ BM
"  B " 
B " 
φ"" B  2φ -B α
" φ ~1 O B A Т.к. |~ α1 | = |φ· α ~ 1|, то OA = OC и очевидно OB = ном треугольнике с катетом ~ = φ·α вектора OC ~ 1 в базисе OB , OA OA 2 cos φ (OB гипотенуза в прямоуголь- = OA ). Таким образом рациональность координат 2 {~ α1 , φ 2 · α ~ 1 } эквивалентна рациональности отношения OC 2 или рациональности cos φ. Заметим, что из минимальности основного вектора ~ (AC ~ также является вектором трансляций R) α~1 следует, что длинна вектора AC должна быть не меньше длинны α~1 , т.е. угол φ ≥ π/3 = 2π/6 (равенство реализуется только когда ∆OAC равносторонний). Итак, мы получили 3 условия на угол φ: 1.) φ = 2mπ/n, где m, n – целые числа; 2.) cos φ – рациональное число; 3.) φ ≥ π/3 = 2π/6. Отсюда следует, что φ может принимать только следующие значения: 2π/6, 2π/3, 2π/2 (а так же угол 2π/4, рассмотренный выше) и кратные им8 . Тем самым мы 8 Можно доказать, что уравнение cos(2r1 π) = r2 , где r1 и r2 рациональные числа, выполняется только для r1 = k/6, k/4, k/3, k/2, k (k ∈ Z). 47 убеждаемся, что в трансляционно инвариантных решетках реализуется только симметрия 2, 3, 4 и 6 порядка. • Из доказанного выше утверждения мы получаем полный список стационарных групп для плоских решеток (10 двумерных кристаллографических классов [11]): C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 , D1 , D 2 , D3 , D 4 , D 6 , (2.5.26) polsp причем группа C1 состоит из единственного тождественного преобразования. Для объемных решеток к списку (2.5.26) мы должны добавить еще группы связанные с симметриями тетраэдра и куба (октаэдра): T, W, T̃ , W̃ , где, напомним, T̃ , W̃ включают отражения. Необходимо также добавить группы D1′ , D2′ , D3′ , D4′ , D6′ (группы Dn′ содержат следующие преобразования: все повороты из подгруппы Cn в некоторой плоскости П и, кроме того, поворотов на угол π всего 3-х мерного пространства вокруг n осей, лежащих в П, и образующих друг с другом углы π/n – в частности таким образом можно осуществить отражения из Dn в плоскости П). Вообще полный список (который мы здесь не приводим) стационарных групп для объемных решеток включает 32 группы [12]. Квазикристаллы. Мозаики Пенроуза В декабре 1984 года израильский физик Дэни Шехтман, работавший вместе с коллегами в Национальном бюро стандартов в Вашингтоне, США, объявил об открытии фазы алюминиево-марганцевого сплава Al0,86 Mn0,14 (здесь числа 0,86 и 0,14 определяют процентное содержание алюминия и марганца в сплаве), который проявлял свойства кристалла с симметрией 5-ого порядка. А именно, пучек электронов рассеивался на образце этого материала так, что на фотопластинке, помещенной за материалом, образовалась ярко выраженная дифракционная картина с симметрией 5-ого порядка. Это свидетельствовало о присутствии в структуре дальнего упорядочения атомов, причем с симметрией 5-ого порядка. Как мы только что видели, такие структуры невозможны в трансляционно инвариантных кристаллических решетках. Однако в математике с середины семидесятых годов были известны не трансляционно - инвариантные решетки (как на плоскости, так и в пространстве) – ныне называемые квазикристаллами – с ”квазисимметрией” пятого порядка (что такое ”квазисимметрия” будет объяснено чуть ниже). На плоскости такие решетки были предложены Пенроузом в 1973 году (и называются мозаиками Пенроуза), а 3-х мерный аналог мозаики Пенроуза был открыт Робертом Амманом в 1975 году (см. [3]). 48 Следует отметить, что история этих открытий началась еще раньше. В 1961 году Хао Ван заинтересовался задачей о замещении плоскости множеством единичных квадратов, стороны которых раскрашены по разному (домино Вана). Домино необходимо укладывать так, чтобы смежные ребра были одинакового цвета (поворачивать и зеркально отражать домино запрещено). Данная задача важна потому, что она связана с проблемой разрешимости в математической логике. Гипотеза Вана: любой набор домино, который замещает плоскость, обязательно позволяет построить и периодическое замощение плоскости (т.е. мозаике, которая переходит сама в себя при некоторых сдвигах). В 1964 году эта гипотеза была опровергнута. Были найдены наборы домино (более чем 20 000 домино), из которых строились только непериодические мозаики. Впоследствии это число домино было уменьшено до 92 (Дональд Кнут). Заметим, что набор домино Вана можно превратить в набор многоугольных фигур, со специальными вырезами и выступами, заменяющими разные цвета ребер. Профессору математики Оксфордского университета Роджеру Пенроузу в 1973 году удалось найти один из наименьших наборов фигур неквадратного типа (две фигуры, из которых специальными поворотами можно получить все необходимые домино для непериодического замощения), из которых строится только непериодическая мозаика. Так как найденные фигуры могли стать основой комерческих игр-головоломок, Пенроуз воздержался от публикации своего открытия до тех пор, пока не получил на них патенты в Великобритании, США и Японии. Форма двух основных фигур мозаики Пенроуза может быть различной, но наиболее простая пара фигур состоит из ”тонкого” и ”толстого” ромбов. Толстый ромб – это ромб с углами 72◦ и 108◦ градусов, а тонкий ромб – это ромб с углами 36◦ и 144◦ градусов (см. рисунок): -◦  108               ◦   72  ◦ C  144   + 3 + C     36◦ C - A. Толстый ромб B. Тонкий ромб Заметим, что разрезая эти ромбы по пунктирным линиям мы получаем, во-первых, треугольники ∆ABC и ∆ABG, из которых составлена пентаграмма на рис. 2 (стр. 6), а, во-вторых, склеивая эти треугольники по другим ребрам мы получим две другие фигуры мозаики Пенроуза – "острие копья"и "воздушный змей". Складывая 49 фигуры (A) и (B) в некотором порядке (см. ниже) получается мозаика, которая никаким смещением не переходит сама в себя (т.е. является непериодической), однако обладает квазисимметрией 5-ого порядка, т.е. любая конечная часть такого замощения встречается во всем замощении бесчисленное множество раз. Т.о., если в нашем распоряжении есть вещество, в котором все атомы расположены в узлах кристаллической решетки с подобной структурой, то оно будет продуцировать дифракционную картину, как будто это кристалл, обладающий запрещенной симметрией с осью пятого порядка. Порядок размещения фигур (A) и (B) выбирается согласно раскраске (на рисунке раскраска обозначена стрелками) ребер, т.е. соприкасаться могут только такие ребра фигур, у которых одинаковая раскраска. Фигуры можно поворачивать (но не отражать) на углы, кратные π и 2π/5, а возможные вершины замощения должны иметь один из шести допустимых видов [13]:   Q   Q kQ  Q B  + B  BBN B все углы = 72◦   Q   Q kQ    Q   B +  B  BBN B 2 угла = 36◦   Q  Q s s Q   Q  B  3 3 B  BMBM BB все углы = 72◦    B     Q  Q s s Q  Q B  3 3  B  MBBM BB 1 угол = 144◦ Q Q s s Q Q   3 3   BBM B B 2 угла = 108◦   2 угла = 144◦ В трехмерном случае квазикристал с квазисимметрией 5-ого порядка строится из 2-х ромбоэдров (тонкого и толстого), у которых гранями являются соответственно тонкий и толстый ромбы. Известно несколько способов построения квазипериодических замощений. Здесь, на примере одномерной квазипериодической цепочки Фибоначчи, мы продемонстрируем т.н. проэкционный метод. В одномерном случае хорошей моделью квазипериодического замощения является цепочка (цепочка Фибоначчи), состоящая из короткого S и длинного L отрезков, 50 порядок укладки которых связан с последовательностью чисел Фибоначчи (эти числа ввел Леонардо Фибоначчи в 1202 году). Они определяются индуктивно F0 = 0 , F1 = 1 , Fn = Fn−1 + Fn−2 (2.5.27) sym1 Таким образом мы имеем последовательность чисел Fi : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . . Эти числа часто встречаются в природе. Например, число спиралей, по которым располагаются семечки в подсолнухе (наблюдались подсолнухи с 13, 21, 34 и даже гигантские подсолнухи с 89 и 144 спиралями). Одномерное замощение (цепочка Фибоначчи) строится следующим образом (см. рис.) 1 1 2 3 5 8 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • L L L L L L L L L L L L L • • • • • • • • • • • • • • L S L S L S L S L S L S L S L S • • • • • • • • • • • • • • • • • • L • S• L • L •S• L • L •S• L • L •S • L • L •S • L • L • L • S• L • L •S• L •S • L • L •S • L • S• L • L •S• L • S • L • S• L • L •S• L •S • L • L •S • L • L •S • L •S• L • L На каждом шаге построения (переход от верхней строчки к следующей и т.д.) мы делаем замену короткого отрезка на длинный, а длинного отрезка на пару длинного и короткого: S → L и L → L, S. На рисунке слева указаны числа отрезков, вхо- дящих в периодическую ячейку решетки. Эти числа образуют последовательность Фибоначчи, т.к. S0 = 1, L0 = 0, Li+1 = Li + Si , Si+1 = Li ⇒ Li+1 = Li + Li−1 , Si+1 = Li−1 + Si−1 = Si + Si−1 , Li+1 + Si+1 = (Li + Si ) + (Li−1 + Si−1 ) , где Li , Si число длинных и коротких отрезков в периодической ячейке на i-ом шаге. С каждым шагом построения период одномерной структуры возрастает и стремится к бесконечности, а отношение числа длинных отрезков к коротким (в периодической ячейке) стремится к золотому сечению (см. таблицу) 1 Li Si 1 − − 2 3 5 8 13 . . . 1 1 2 1 3 2 51 5 3 8 5 ... ∞ √ 1+ 5 2 В бесконечном пределе мы получаем единственную ячейку (цепочку Фибоначчи) с квазипериодической структурой. То, что отношение Li /Si стремится к золотому сечению следует из знаменитого утверждения: Утверждение 2.5.2 Пусть существует предел limn→∞ Fn Fn−1 отношения двух со- седних чисел Фибоначчи. Тогда этот предел равен золотому сечению √ 1+ 5 Fn lim = =φ n→∞ F 2 n−1 (2.5.28) zol Док-во. Перепишем индуктивное соотношение (2.5.27) для чисел Фибоначчи в виде Fn Fn−2 =1+ Fn−1 Fn−1 Т.к. существует предел limn→∞ Fn Fn−1 (2.5.29) sym2 := φ, который, очевидно удовлетворяет неравен- ству φ > 1, то из (2.5.29) в пределе n → ∞ следует уравнение на φ: φ = 1 + φ−1 , которое имеет единственное решение при условии φ > 1, и это решение совпадает с золотым сечением: √ 1 φ = (1 + 5) 2 • Интересно, что ту же одномерную квазипериодическую структуру можно получить, делая проекцию позиций атомов из двумерной периодической решетки на определенным образом ориентированную ось (см. рисунок) так, чтобы tg(θ) = φ−1 , где θугол между данной осью и осью абсцисс (x) O  z     y     • • • • • • • • • • • •• •  x          • • • • • •• • •• • • • • A AA   • • ••• • •A•A • A • •• • • A A  A A A A A  •• • •A•A • A • AA A•A•• • • • • A  AA A A AA  ••A• A • A AA• A•• • • • • • • • A A A A  A  • • • • • • • • • • A•  • A • A • A  A A  • • • • • • • • • • • • • • Т.к. tg(θ) – иррационален, то ось x может проходить лишь через один узел решетки O. На ось x проецируются только точки, лежащие между двумя линиями y и 52 z, которые параллельны x. Для того, чтобы вдоль оси x получилась квазипериодическая последовательность Фибоначчи коротких S и длинных L отрезков, нужно определенным образом выбрать расстояние между линиями z и y. Аналогичным образом получаются и замощения Пенроуза (и их 3-х мерный аналог замощения Аммана-Маккея). Для получения замощения Пенроуза необходимо спроецировать 5-ти мерную гиперкубическую решетку на специально выбранную двумерную плоскость (подробнее см. [13]). Соответственно, замощения АмманаМаккея получаются проекцией 6-ти мерной гиперкубической решетки на 3-х мерную гиперплоскость. Упражнения 1. Доказать существование предела (2.5.28) √ Fn 1+ 5 lim = =φ. n→∞ F 2 n−1 2. Доказать, что   1 1 1 0 n   = Fn+1 Fn Fn Fn−1   . 3∗ . Доказать соотношение для чисел Фибоначчи (обнаруженное французским астрономом Жан-Доминик Кассини в 1680 г.) Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n . (Указание: Соотношение Кассини доказывается по индукции). 4∗ . Найти производящую функцию чисел Фибоначчи F (z) = формулу Бернулли P∞ n=0 Fn z n и вывести 1 Fn = √ (φn − φ̂n ) , (2.5.30) dbern 5 √ √ где φ = (1 + 5)/2 – золотое сечение, а φ̂ = (1 − 5)/2 – дуальный корень. Решение. Из (2.5.27) с очевидностью следуют соотношения z 1 F (z) − z F (z) − z F (z) = z ⇒ F (z) = =√ 2 1−z−z 5 2 1 1 − 1 − φz 1 − φ̂z ! . Таким образом, разлагая последнюю формулу для F (z), мы приходим к соотношению (2.5.30), опубликованному Дэниэлем Бернулли в 1728 г.. Как точно замечено в книге [4], глядя на эту формулу и вспоминая ее вывод, можно замереть от восторга. 53 Прямым следствием этой формулы и тождества φ − φ̂ = √ 5 является соотноше- n ние Fn+1 = φ Fn + φ̂ из которого мгновенно следует (т.к. |φ̂| < 1) существование знаменитого предела lim n→∞ 2.6 Fn+1 =φ. Fn Лекция 6. Матрицы. Матричные группы и группы линейных преобразований. Группы GL(n), U (n), O(n) и Sp(2n). 1. Матрицы Квадратной комплексной матрицей A размера n × n называется таблица ком- плексных чисел aij ∈ C (i, j = 1, 2, . . . , n):   a11 a12 a13 . . . a1n   a21 a22 a23 . . . a2n   A = ||aij || =   a31 a32 a33 . . . a2n  . .. .. . . .  . . .. . .  .  an1 an2 an3 . . . ann             Мы используем следующие обозначения для комплексных матриц: AT = ||aji ||, A∗ = ||a∗ij ||, A† = (AT )∗ = ||a∗ji ||, I = ||δij || (i, j = 1, 2, . . . , n), A · B = || Pn k=1 aik bkj || , где AT , A∗ , A† и I - транспонированная, комплексно-сопряженная, эрмитово- сопряженная и единичная матрицы, соответственно. Сумма всех диагональных элементов матрицы A: Sp(A) = T r(A) = n X aii , i=1 называется следом матрицы A. Очевидно, что T r(A · B) = T r(B · A). Важной харак- теристикой матрицы A является ее детерминант: det(A) = |aij | = n X (E i1 ,i2 ,...,in ai1 1 ai2 2 · · · ain n ) , (2.6.1) determ i1 ,i2 ,...,in =1 где E i1 ,i2 ,...,in – компоненты антисимметричного тензора n-ого ранга, имеющий nn компонент. Этот тензор называется E- тензором и его компоненты однозначно опре- деляется двумя соотношениями 1. E 1,2,...,n = 1 , 2. E i1 ,i2 ,...,ik ,...,im ,...,in = (−1) E 54 i1 ,i2 ,...,im ,...,ik ,...,in (2.6.2) defeps , (во втором соотношении, в правой части, только два индекса ik и im переставлены местами). Из этих соотношений сразу следует равенство нулю всех компонент, у которых хотя бы 2 индекса совпадают и, если все индексы различны, то имеют место тождества E i1 ,i2 ,...,in = (−1)P (σ) E j1,j2 ,...,jn ⇔ E i1 ,i2 ,...,in = (−1)P (σI ) , где P (σ), P (σI ) четности перестановок σ, σI ∈ Sn  σ=  j1 j2 j3 . . . jn−1 jn  i1 i2 i3 . . . in−1 in ,  σI =  1 2 3 ... n −1 n i1 i2 i3 . . . in−1 in (2.6.3) eeee   , (2.6.4) sigm0 т.е. P (σ) = 0, если перестановка σ четная, и P (σ) = 1, если перестановка σ нечетная. Итак, согласно (2.6.3) все ненулевые компоненты (которых очевидно n! штук) равны ±1 в зависимости от того, является перестановка σI (2.6.4) четной или нечет- ной. Утверждение 2.6.1 Для детерминанта (2.6.1) матрицы A справедливы тождества det(A) E det(A) = 1 n! j1 ,j2 ,...,jn n X n X = i1 ,i2 ,...,in =1 n X E i1 ,i2 ,...,in ai1 j1 ai2 j2 · · · ain jn , (E i1 ,i2 ,...,in ai1 j1 ai2 j2 · · · ain jn E j1 ,j2 ,...,jn ) . (2.6.5) determ1 (2.6.6) determ2 j1 ,j2 ,...,jn =1 i1 ,i2 ,...,in =1 Доказательство. Формула (2.6.5) следует из (2.6.1), а (2.6.6) из (2.6.5). Действительно, легко понять, переставляя индексы jk , что правая часть (2.6.5) пропорциональна E j1,j2 ,...,jn , а коэффициент пропорциональности det(A) следует из (2.6.1), если положить jk = k. Формула (2.6.6) следует из (2.6.5), если последнюю свернуть с E j1 ,j2,...,jn и воспользоваться нормировкой: n X i1 ,i2 ,...,in =1 E i1 ,i2 ,...,in E i1 ,i2 ,...,in = X (−1)P (σI ) (−1)P (σI ) = X 1 = n! . (2.6.7) normE σI ∈Sn σI ∈Sn Формулы (2.6.1), (2.6.5), (2.6.6), определяющие детерминант det(A) с помощью антисимметричного тензора E ≡ ||E i1 ,i2 ,...,in ||, чрезвычайно удобны. Из этого опреде- ления, например, мгновенно следуют соотношения det(AB) = det(A) det(B) , (2.6.8) detAB det(A) = det(AT ) . (2.6.9) dets 55 Кроме того, пользуясь антисимметричным тензором E, можно явно выписать ком- поненты обратной матрицы A−1 = ||(a−1 )ij || (a−1 )j1 i1 = 1 1 det(A) (n − 1)! n X (E i1 ,i2 ,...,in ai2 j2 · · · ain jn E j1,j2 ,...,jn ) . (2.6.10) detam j2 ,...,jn =1 i2 ,...,in =1 Формула (2.6.8) следует из цепочки равенств det(AB) = n X E i1 ,...,in (ab)i1 1 · · · (ab)in n = i1 ,...,in =1 = n X n X E i1 ,...,in (ai1 j1 bj1 1 ) · · · (ain jn bjn n ) = i1 ,...,in =1 j1 ,...,jn =1 n X E i1 ,...,in (ai1 j1 · · · ain jn )(bj1 1 · · · bjn n ) = det(A) E j1 ,...,jn (bj1 1 · · · bjn n ) = j1 ,...,jn =1 i1 ,...,in =1 j1 ,...,jn =1 = det(A) det(B) . Формула (2.6.9) очевидно следует из (2.6.6), a (2.6.10) проверяется с помощью соотношения P −1 i1 (a )j1 i1 ai1 j0 = δj1 j0 , которое справедливо в силу очевидного тождества для частичной свертки антисимметричных тензоров n X (E j0 ,j2 ,...,jn E j1,j2 ,...,jn ) = (n − 1)! δj1 j0 . (2.6.11) pasve j2 ,...,jn =1 Равенства для сверток компонент E- тензора (2.6.7), (2.6.11) можно также полу- чить из общего соотношения E i1 ,i2 ,...,in E j1 ,j2,...,jn = det (∆σI ,σJ ) , где матрица ∆σI ,σJ ≡       δ i1 j 1 δ i1 j 2 δ i2 j 1 δ i2 j 2 .. .. . . δ in j 1 δ in j 2 . . . δ i1 j n . . . δ i2 j n .. . ... . . . δ in j n       (2.6.12) eedet , ! 1 2 3 ... n −1 n . определяется перестановками σI (2.6.4) и σJ = j1 j2 j3 . . . jn−1 jn Соотношение (2.6.12) можно вывести из (2.6.6), если в качестве матрицы A выбрать матрицу ∆σI ,σJ с компонентами amk = (∆σI ,σJ )mk = δ im jk (индексы im , jk определяются перестановками σI и σJ ). Действительно, из (2.6.6) мы получаем 1 det(∆) = n! n X n X ,...,j (j ) (E k1 ,k2 ,...,kn δ (imk 1,...,ikmnn) E m1 ,...,mn ) = 1 m1 ,...,mn =1 k1 ,...,kn =1 56 = −1 1 X 1 X σ σ (1,...,n) (−1)P (σK ) δσIJσKM(1,...,n) (−1)P (σM ) = (−1)P (σK ) (−1)P (σJ σI σK ) = n! σK ,σM n! σK = 1 X (−1)P (σK )+P (σJ )+P (σI )+P (σK ) = (−1)P (σI )+P (σJ ) = E i1 ,i2 ,...,in E j1 ,j2 ,...,jn , n! σK ,...,j (j ) j j j n и мы использовали отображения где δ (imk 1,...,ikmnn) = δ imk 1 δ imk 2 · · · δikm n 1 1 2 σK (1, 2, . . . , n) = (k1 , k2 , . . . , kn ) , σM (1, 2, . . . , n) = (m1 , m2 , . . . , mn ) , эквивалентные перестановкам σK = 1 2 ... n k1 k2 . . . kn ! , σM = 1 2 ... n m1 m2 . . . mn ! . Матрица A называется вырожденной, если det(A) = 0, и невырожденной, если det(A) 6= 0. Операции транспонирования T , комплексного сопряжения ∗ и эрмитова сопряже- ния † матриц удовлетворяют условиям (AT )T = A , (A∗ )∗ = A , (A† )† = A . Такие операции называются инволютивными. Заметим, что (A B)T = B T AT , (A B)∗ = A∗ B ∗ , (A B)† = B † A† , поэтому операции T, † называются анти-инволюциями, а операция ∗ называется инволюцией. Определим функцию exp(A) от матрицы A в виде ряда: exp(A) = Утверждение 2.6.2 Для матрицы A выполняется тождество: det(eA ) = eTr(A) . P∞ 1 n=0 n! An . (2.6.13) expsp Доказательство. Для определенности будем считать, что A – (n × n) матрица. Мы докажем эквивалентное утверждение (aij → taij ) det(etA ) = etTr(A) , (2.6.14) expsp1 где t – параметр. Сначала проверим, что левая часть (2.6.14) удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению ∂t det(etA ) = Tr(A) det(etA ) , 57 (2.6.15) expsp2 что и правая часть (2.6.14). Это уравнение следует из представления для детерминанта (2.6.6). Действительно положим B = etA , ∂t B = AB, тогда из (2.6.6) следует ∂t det(B) = = 1 n! n X j1 ,...,jn =1 i1 ,...,in =1 = n X j1 ,j2 ,...,jn =1 i1 ,i2 ,...,in =1 ∂t (E i1 ,i2 ,...,in bi1 j1 bi2 j2 · · · bin jn E j1,j2 ,...,jn ) =   E i1 ,...,in (ab)i1 j1 bi2 j2 · · · bin jn + . . . + bi1 j1 · · · bin−1 jn−1 (ab)in jn E j1 ,...,jn = n X j1 ,...,jn =1 i1 ,...,in =1 = 1 n! n X j1 ,i1 ,...,in =1   ...jn ...jn + ai2 j2 δij11ij33...i + . . . E j1 ,...,jn E i1 ,...,in ai1 j1 δij22...i n n E i1 ,i2 ...,in (ai1 j1 ) E j1 ,i2 ,...,in det(B) = n! det(B) = (2.6.11) = Tr(A) det(B) , (n − 1)! ...jn где как обычно δij22...i := δij22 · · · δijnn . Теперь можно утверждать, что равенство (2.6.14) n выполняется тождественно, т.к. обе части (2.6.14) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению первого порядка (2.6.15) и имеют одинаковые начальные условия det(etA )|t=0 = 1 = etTr(A) |t=0 . Замечание. Положим B = eA , тогда равенство (2.6.13) представляется в виде (2.6.16) espln det(B) = exp(Tr(ln B)) . Заметим, что для матриц B, которые преобразованием подобия B → V BV −1 = D (с помощью невырожденной матрицы V ) сводятся к диагональной матрице D = diag(d1 , d2 , . . . , dn ), утверждение (2.6.16) становится очевидным, т.к. для левой части имеем det(B) = det(V −1 DV ) = det(D) = d1 · · · dn , а для правой exp(Tr(ln B)) = exp(Tr(V −1 (ln D)V )) = exp(Tr(ln D)) = Y i exp(ln(di )) = d1 · · · dn . Подчеркнем, однако, что далеко не все матрицы приводятся к диагональному виду с помощью преобразования подобия. Тем не менее, любая матрица приводится к жордановой форме, для которой удается провести аналогичные рассуждения. Далее нам понадобятся следующие типы матриц. 1. Матрица S симметрична, если S = ST ; 58 эта матрица обладает зеркальной симметрией Z2 при ее отражении относительно главной диагонали; 2. Матрица A антисимметрична (кососимметрична), если A = −AT ; соответственно мы имеем det(A) = det(−I) det(AT ) = (−1)n det(A), т.е. в нечетномерном случае матрица A всегда вырождена: det(A) = − det(A) = 0; 3. Матрица H эрмитова, если H = H† ; и соответственно det(H) = det(H)∗ , т.е. det(H) ∈ R. 4. Матрица O ортогональна, если O · OT = I ; т.о., мы имеем det(O)2 = 1, или det(O) = ±1. 5. Матрица U унитарна, если U · U† = I ; и det(U) det(U)∗ = 1, т.е. det(U) = eiφ (φ ∈ R); 6. Четно-мерная матрица V называется симплектической, если V ·C ·VT =C , где симплектическая метрика C – некоторая невырожденная антисимметричная матрица C = −C T ; при определенном выборе C мы имеем det(V ) = 1 (см. упраж- нения в конце этой лекции). Приведенные в пунктах 1.) – 6.) соотношения на детерминанты получаются с использованием тождества (2.6.9). Для четно-мерной (2n × 2n) кососимметричной матрицы B = −B T всегда можно определить инвариант Pf(B) = X 1 E i1 i2 i3 i4 ...i2n−1 i2n bi1 i2 bi3 i4 . . . bi2n−1 i2 n , 2n n! i1 ,...,i2n (2.6.17) pfaf который называется Пфаффианом. Утверждение 2.6.3 Для четно-мерной кососимметричной матрицы B выполняется тождество: det(B) = Pf(B)2 . 59 (2.6.18) pfaf1 Доказательство. Будем считать, что (2n × 2n) матрица B невырождена (случай вырожденной матрицы B – тривиален). Очевидно, что, также как и B, матрица B −1 кососимметрична. Используя (2.6.5) и (2.6.17), получаем det(B)Pf(B −1 ) = 1 2n n! = 1 2n n! −1 −1 E i1 i2 ...i2n (bi1 j1 bi2 j2 · · · bi2n j2n )b−1 j1 j2 bj3 j4 · · · bj2n−1 j2n = E i1 i2 ...i2n (bi2 i1 bi4 i3 · · · bi2n i2n−1 ) = (−1)n Pf(B) . Т.о., для доказательства (2.6.18) необходимо проверить тождество Pf(B −1 ) = (−1)n (Pf(B))−1 . (2.6.19) pfaf8 Пусть σk = (k, k + 1) – образующие группы перестановок Sn (см. (2.3.9), (2.3.10)) такие, что σk2 = 1. Рассмотрим элементы Ak (k = 1, . . . , n), которые определяются с помощью рекуррентных соотношений A1 = 1 , Ak+1 = Ak 1 − kσk Ak . k+1 (2.6.20) antisym1 По индукции можно доказать, что (2.6.21) saas σm Ak = Ak σm = −Ak (m < k) , и затем переписать рекуррентное соотношение (2.6.20) в виде: Ak+1 = = 1 k+1  1 (1 k+1 − σk + σk−1 σk − . . . + (−1)k σ1 . . . σk ) Ak =  1 − (k, k + 1) + (k − 1, k + 1)σk−1 − . . . + (−1)k (1, k + 1)σ1 . . . σk−1 Ak = = 1 k+1 (1 − (k, k + 1) − (k − 1, k + 1) − . . . − (1, k + 1)) Ak . (2.6.22) antisym Операторы Ak называются антисимметризаторами и, как следует из (2.6.21), удовлетворяют соотношениям Ak Ar = Ak = Ar Ak (∀r ≤ k). В качестве матричных ана- k логов антисимметризаторов Ak можно выбрать операторы (Ak )ij11ij22...i ...jk , которые опре- деляются с помощью последнего соотношения в (2.6.22), переписанного в матричной форме (см. (2.3.11), (2.3.12)): i i ...i (Ak+1 )j11 j22 ...jk+1 k+1 k X 1 i ...i ...ik ir i1 i2 ...ik ik+1 = (Ak )j1 j2 ...jk δjk+1 − (Ak )j11 ...k+1 jr ...jk δjk+1 k+1 r=1 ! , (2.6.23) pfaf2 и начального условия (A1 )ij11 = δji11 . Для случая, когда индексы i1 , j1 , . . . пробегают m значений (1, 2, . . . , m), из (2.6.23) легко выводится равенство Trk+1 (Ak+1 ) = 60 m−k Ak , k+1 (2.6.24) pfaf5 где Trk обозначает след по индексам ik , jk , а для старшего антисимметризатора m-ого ранга возникает тождество m (Am )ij11ij22...i ...jm = 1 i1 i2 ...im E Ej1 j2 ...jm . m! (2.6.25) pfaf3 j j r+1 Рассмотрим операторы (Kr )irrir+1 = bir ir+1 b−1 jr jr+1 . Согласно (2.6.25), при m = 2n, полу- чаем Tr1...2n (A2n K1 K3 . . . K2n−1 ) = 22n (n!)2 Pf(B −1 )Pf(B) . (2n)! (2.6.26) pfaf4 С другой стороны, пользуясь (2.6.23) и (2.6.24), для свертки из левой части (2.6.26) можно получить рекуррентное соотношение Tr1...2k (A2k K1 K3 . . . K2k−1 ) =  i i ...i (A2k−1 )j11 j22 ...j2k−1 δ i2k − 2k−1 j2k P2k−1 i ...i ...i  1 ir −1 −1 2k 2k−1 r=1 (A2k−1 )j1 ... jr ...j2k−1 δj2k bi1 i2 bj1 j2 · · · bi2k−1 i2k bj2k−1 j2k = (2.6.27) pfaf6 (−2)(n − k + 1) = −Tr1...2k−1 (A2k−1 K1 K3 . . . K2k−3 ) = Tr1...2k−2 (A2k−2 K1 K3 . . . K2k−3 ) 2k − 1 1 2k k где мы также воспользовались антисимметрией тензора (Ak )ij11ij22...i ...jk по перестановке верхних индексов (i1 i2 . . . ik ) (это следует из матричных аналогов тождеств (2.6.21)). Начальное условие для (2.6.27) имеет вид 2n 1 X −1 Tr12 (A2 K1 ) = (bij b−1 ij − bij bji ) = −2n . 2 i,j=1 Тогда, согласно (2.6.27), левая часть (2.6.26) равна Tr1...2n (A2n K1 K3 . . . K2n−1 ) = (−1)n 22n (n!)2 (−1)n 2n n! = . (2n − 1)(2n − 3) · · · 1 (2n)! (2.6.28) pfaf7 Сравнивая (2.6.26) и (2.6.28), получаем (2.6.19). 2. Кольца, поля, векторные пространства, алгебры и тензоры. Определение. 2.6.1 Кольцом K называется множество объектов, на котором заданы 2 операции – сложение ”+” и умножение ”·” объектов. Сложение и умножение удовлетворяют аксиомам: 1. K – абелева группа относительно ”+” с единичным (нулевым) элементом 0; 2. ∀k1 , k2 , k3 ∈ K и специального элемента 1 ∈ K мы имеем k1 · k2 ∈ K , (k1 · k2 ) · k3 = k1 · (k2 · k3 ) , 1 · k1 = k1 · 1 = k1 , (k1 + k2 ) · k3 = k1 · k3 + k2 · k3 , k3 · (k1 + k2 ) = k3 · k1 + k3 · k2 . Кольцо K называется коммутативным, если k1 · k2 = k2 · k1 . 61 Определение. 2.6.2 Коммутативное кольцо K называется полем, если ∀k ∈ K и k 6= 0, существует такой k −1 ∈ K, что k · k −1 = 1. Определение. 2.6.3 Векторным (линейным) пространством V, над числовым по- лем K, называется множество объектов (векторов) ~x, ~y, . . ., которые можно умно- жать на числа α, β, . . . ∈ K и складывать друг с другом, и при этом результат будет снова объектом из V: α~x + β~y = ~z ∈ V . (2.6.29) vect11 Кроме того (V, +) – абелева группа с единичным элементом (нулевым вектором) ~0 ∈ V: ~0 = α~x| (∀~x ∈ V). Требуется также выполнение свойств α=0 (α + β)~x = α~x + β~x , α(~x + ~y ) = α~x + α~y , (αβ)~y = α(β~y) . Определение. 2.6.4 Векторное пространство Vn называется n-мерным, если в Vn существуют n линейно независимых векторов ~ei (i = 1, 2, . . . , n) таких, что ∀~x ∈ Vn имеет место разложение ~x = натами вектора ~x: P i xi~ei . Числа {xi } ∈ K называются коорди- ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , в базисе {~ei }. Если K – поле вещественных (комплексных) чисел, то координаты xi – вещественные (комплексные) числа, а пространство Vn называется веществен- ным (комплексным). Соотношение (2.6.29) в координатах записывается в виде (αx1 + βy1 , αx2 + βy2 , . . . , αxn + βyn ) = (z1 , z2 , . . . , zn ) . При невырожденном линейном преобразовании базиса в пространстве Vn с помо- щью невырожденной матрицы A = ||aij ||: ~ei ′ = n X aij ~ej , (2.6.30) prebas j=1 координаты векторов ~x преобразуются согласно правилам xj = X x′i aij , (2.6.31) pravpr i что следует из цепочки равенств ~x = xj ~ej = x′i~ei ′ = x′i aij ~ej (в дальнейшем, если это не оговорено специально, мы будем придерживаться соглашения, что по повторяющимся индексам идет суммирование). 62 Определение 2.6.5 Алгеброй A над полем K называется линейное (векторное) пространство A над полем K, в котором, кроме сложения векторов из A и умножения их на числа из K, определена операция умножения векторов, т.е. операция m: A ⊗ A → A, которая двум произвольным векторам ~a, ~b ∈ A сопоставляет третий вектор m(~a, ~b) = ~a × ~b ∈ A, причем эта операция умножения удовлетворяет аксиомам дистрибутивности ~a × (α~b + β~c) = α(~a × ~b) + β(~a × ~c) , (α~a + β~b) × ~c = α(~a × ~c) + β(~b × ~c) , (2.6.32) distr где ~a, ~b, ~c ∈ A и α, β ∈ K. Если умножение m удовлетворяет еще и аксиоме ассоциативности: ~a × (~b × ~c) = (~a × ~b) × ~c, то алгебра A называется ассоциативной. Если поле K есть поле вещественных (комплексных) чисел, то алгебра называется вещественной (комплексной). Алгебра A называется n-мерной, если ее векторное пространство n-мерно. Пусть V и V ′ – два векторных пространства над полем K. Определим на множе- стве V ⊗V ′ , состоящем из упорядоченных пар (u⊗u′ ) векторов u ∈ V, u′ ∈ V ′ , и всех их линейных комбинаций с коэффициентами из K структуру векторного пространства над полем K. Т.е., если (u ⊗ u′ ), (v ⊗ v ′ ), . . . ∈ V ⊗ V ′ , то α(u ⊗ u′ ) + β(v ⊗ v ′ ) + . . . ∈ V ⊗ V ′ (∀α, β, . . . ∈ K) , где α(u ⊗ u′ ) = (αu ⊗ u′ ) = (u ⊗ αu′). Причем потребуем для векторов из V ⊗ V ′ выполнения аксиом дистрибутивности (2.6.32) ~a ⊗ (α~b + β~c) = α(~a ⊗ ~b) + β(~a ⊗ ~c) , (α~a + β~b) ⊗ ~c = α(~a ⊗ ~c) + β(~b ⊗ ~c) . Тогда векторное пространство V ⊗ V ′ называется прямым произведением векторных пространств V и V ′ , а (u ⊗ u′) ∈ V ⊗ V ′ называется прямым произведением двух векторов u и u′ . Если вектора ~ei (i = 1, . . . , n) и ~ek ′ (k = 1, . . . , m) образуют базисы, соответственно, в Vn и Vm , то набор пар ~ei ⊗ ~ek ′ образует базис в Vn ⊗ Vm . Рассмотрим объект: T = Ti1 ,...,ik ~ei1 ⊗ . . . ⊗ ~eik ∈ Vn⊗k . (2.6.33) tensor Определение. 2.6.6 Объект T (2.6.33) называется тензором ранга k, если его компоненты Ti1 ,...,ik преобразуются при преобразовании базиса (2.6.30) по правилу: −1 Ti1 ,...,ik → Tj′1 ,...,jk = Ti1 ,...,ik a−1 i1 j1 · · · aik jk . 63 (2.6.34) tensor2 Очевидно, что вектор ~x – тензор первого ранга (сравните (2.6.34) с (2.6.31)), а компоненты E i1 ,i2 ,...,in (2.6.3) образуют инвариантный (если det(a) = 1) тензор n-ого ранга. 3. Матричные группы и группы линейных преобразований. Группы GL, SL, U, O и Sp. Определение. 2.6.7 Группа с невырожденными матрицами в качестве элементов и матричным умножением в качестве группового умножения называется матричной группой. Любая n × n матрица T = ||tij || определяет линейное преобразование в n-мерном векторном пространстве Vn : ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) → ~x ′ = (x′1 , x′2 , . . . , x′n ) : x′j = Pn i=1 xi tij , ~x ′ = ~x T . (2.6.35) preobr Т.о., матричной группе соответствует группа невырожденных линейных преобразований в пространстве Vn (невырожденных линейных отображений Vn → Vn ). Все невырожденные линейные преобразования n-мерного векторного пространства Vn над полем K образуют группу GL(n, K) (группу ”симметрий” пространства Vn , см. определение 2.1.4), где группа GL(n, K) это группа всех невырожденных матриц (n × n) с коэффициентами из K. В дальнейшем мы ограничимся случаями полей K = R, C. Для описания важных подгрупп матричных групп GL(n, K) необходимо снабдить векторное пространство Vn дополнительными структурами, инвариантность которых будет определять эти подгруппы. Такие структуры называются билинейными формами. Определение. 2.6.8 Функция f (~x, ~y ) ∈ C от двух векторов пространства V называется билинейной формой, если f (α~x + β~z , ~y) = αf (~x, ~y ) + βf (~z, ~y ) , f (~x, α~y + β~z ) = αf (~x, ~y ) + βf (~x, ~z ) . Билинейная форма f (~x, ~y ) невырождена, если из условия f (~x, ~y ) = 0, ∀~y ∈ V, следует ~x = 0. Определим на комплексном пространстве Vn три специальные невырожденные билинейные формы – симметричную (~x, ~y ) = (~y , ~x), эрмитову h~x, ~y i = h~y , ~xi∗ и анти- симметричную (~x, C~y ) = −(~y , C~x): (~x, ~y) = n P i,j=1 64 xi gij yj , (2.6.36) 2form1 h~x, ~y i = n P j=1 x∗i gij yj , (2.6.37) 2form3 gij = diag(+1, +1, . . . , +1, −1, . . . , −1) , (~x, C~y) = | } | {z p n X j,k=1 {z n−p } xj Cjk yk (C T = −C) , (2.6.38) 2form2 Т.к. нечетно-мерная антисимметричная матрица C всегда вырождена (соответственно будет вырождена и форма (~x, C~y )), то в случае (2.6.38) мы будем рассматривать только четномерные пространства. Преобразования (2.6.35), оставляющие инвариантными симметричную (~x, ~y ), антисимметричную (~x, C~y ) и эрмитову h~x, ~y i формы, будут реализовываться соответственно (псевдо)ортогональными T = O (OgO T = g), симплектическими T = V (V CV T = C) и (псевдо)унитарными T = U (U † gU = g) матрицами (приставка ”псевдо” отвечает случаю p 6= n в (2.6.37)). Действительно, рассмотрим для приме- ра симплектические преобразования векторов ~x ′ = ~x V , ~y ′ = ~y V . Соответствующее преобразование антисимметричной квадратичной формы имеет вид (~x, C~y ) −→ (~x′ , C~y ′) = = Pn k,m=1 xk Pn (V j,k,m=1 xk Vkj C V T )km ym Cjl ym Vml = = Pn m=1 Pn j,k,m=1 xk T Vkj Cjl Vlm ym = xk Ckm ym = (~x, C~y ) , т.е. в случае преобразований, осуществляемых симплектическими матрицами V : V C V T = C, антисимметричная форма (~x, C~y ) не меняется. Аналогично рассматриваются случаи (псевдо)ортогональных и (псевдо)унитарных преобразований для симметричных и эрмитовых форм, соответственно. Итак, ортогональные, симплектические и унитарные преобразования являются преобразованиями симметрии соответствующих билинейных форм (2.6.36) – (2.6.37). Отсюда следует, что совокупности (псевдо)ортогональных O(p, n − p), симплектиче- ских Sp(n) (n- четное) и (псевдо)унитарных U(p, n−p) матриц должны образовывать группы относительно матричного умножения. Основное групповое свойство следует из того, что два последовательных преобразования из одного и того же класса матриц сохраняют величину соответствующей билинейной формы. Групповые свойства (см. Определение группы) можно проверить непосредственно. Например, если мы имеем две симплектические матрицы V1 и V2 : V2 C V2T = C , V1 C V1T = C , то и их произведение V1 V2 снова будет симплектической матрицей: V1 V2 C (V1 V2 )T = V1 (V2 C V2T )V1T = V1 C V1T = C . 65 В качестве единичного элемента в множестве симплектических матриц выступает единичная матрица I: ICI T = C, и если V - симплектическая матрица: V CV T = C, то V −1 тоже симплектическая матрица: V −1 C(V −1 )T = C. Проверка групповых аксиом для ортогональных и унитарных матриц проводится аналогично. ! a b Пример. Рассмотрим группу симплектических матриц V = в двумерном c d пространстве с симплектической формой, задаваемой матрицей C = вие симплектичности V · C · V T = C принимает вид 0 −1 1 0 ! = a b c d ! 0 −1 1 0 ! a c b d ! = bc − ad ad − bc ! 0 −1 1 0 ! . Усло- ⇒ det(V ) = 1 Т.е., единственное условие, которое следует из симплектичности произвольной 2 × 2 матрицы V , это det(V ) = 1. Но это же условие выделяет подгруппу SL(2) из группы всех невырожденных матриц 2 × 2. Т.о., в двумерном случае, мы установили изоморфизм матричных групп Sp(2) ∼ = SL(2). Все матричные группы O(p, n − p), Sp(2n) и U(p, n − p) имеют бесконечный по- рядок (т.к. мы имеем дело с бесконечным числом матриц соответствующего класса) и являются подгруппами в общей группе GL(n) всех линейных невырожденных преобразований T (2.6.35) в n-мерном векторном пространстве V. Если мы ограни- чимся только специальными матричными преобразованиями T ∈ GL(n), такими что det(T ) = 1, то мы очевидно выделим из группы GL(n) специальную матричную подгруппу SL(n), которая также имеет бесконечный порядок. Аналогично, постулируя дополнительные условия det(O) = 1 и det(U) = 1 для элементов групп O(p, n − p) и U(p, n−p), мы выделяем из этих групп подгруппы, которые обозначаются SO(p, n−p) и SU(p, n − p), соответственно. В конце этого пункта мы докажем важное утверждение об эрмитовых матрицах. Утверждение 2.6.4 Любая эрмитова матрица H = ||hij ||i,j=1,...,n диагонализуема с помощью унитарного преобразования: U † H U = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ) , (2.6.39) hdia где U – унитарная матрица, а λ1 , λ2 , . . . – собственные значения H. Доказательство. У матрицы H имеется хотя бы один собственный вектор ~v (1) = (1) (1) (v1 , v2 , . . . , vn(1) ) с собственным значением λ1 : H~v (1) = λ1~v (1) . Этот вектор всегда можно нормировать так, что: P i (1)∗ (1) vi vi = 1. Введем матрицу U1 = ||uij ||i,j=1,...,n , у 66 (1) которой первый столбец дается координатами собственного вектора ~v (1) : ui1 = vi , а все остальные столбцы формируются из ортонормированных векторов, принадлежащих ортогональному дополнению вектора ~v (1) : P i u∗ij uik = δjk . Последнее утвер- ждение эквивалентно унитарности матрицы U1 . Т.к. H – эрмитова и H~v (1) = λ1~v (1) , то первая строка у матрицы U1† , по построению, определяет дуальный собственный вектор для матрицы H: (~v (1) )† H = λ1 H. Отсюда следует, что  λ 0 ... 0  1  ′ ′  0 h′ 22 h23 . . . h2n   U1† H U1 =   0  .  .  .  h′32 h′33 . . . h′3n . .. .. . . . . .. . h′n2 h′n3 . . . h′nn             , где (n − 1) × (n − 1) матрица H ′ = ||h′ij ||i,j=2,...,n – снова эрмитова. Для матрицы H ′ можно повторить только что изложенную процедуру, т.е. выделить собственное значение λ2 , выделить соответствующий (n − 1)-мерный собственный вектор ~v (2) и получить новую (n−2)×(n−2) эрмитову матрицу H ′′ . И так далее. На каждом шаге, при выделении собственного значения λk , необходимо делать свое унитарное преобразование Uk . В конце концов мы получим (2.6.39), где U = U1 U2 · · · Un – унитарная матрица. Следствие. Любая вещественная симметричная матрица S всегда может быть диагонализована с помощью ортогональной вещественной матрицы O: O T S O = diag(λ1 , λ2 , . . .). Упражнения. 1. Доказать, что, если метрика C (из примера 6.) приводится к  симплектическая  0 −E  блочному виду: C =  T , где E – невырожденная (n × n) матрица, то для E 0   A B , где A, B, C, D соответствующей симплектической (2n × 2n) матрицы V =  C D – (n × n) матрицы (причем D – обратима), мы имеем det(V ) = 1. Решение. Представим матрицу V в виде  V = I BD −1 I   A − BD −1 C D   I D −1 C I   , (считаем, что блок D обратим). Тогда det(V ) = det(A − BD −1 C) det(D), а из условия V CV T = C мы получаем, что AEB T = BE T AT , DE T C T = CED T , E = AED T − BE T C T = (A − BD −1 C)ED T , 67 и, следовательно, det(V ) = det(A − BD −1 C) det(ED T E −1 ) = det(AED T − BD −1 CED T ) det(E −1 ) = 1 . 2.7 Лекция 7. Матричные представления групп. Характер представления. Прямое произведение и прямая сумма представлений. Приводимые и неприводимые представления. Леммы Шура. 1. Матричные представления групп. Точные и неточные представления. Матричное представление T группы G есть гомоморфизм ρ = T : G → Γ группы G на матричную группу Γ. Другими словами представление T группы G определяет матричную группу Γ, на которую гомоморфно отображена группа G. Каждому элементу g группы G поставлена в соответствие матрица T (g) = ||tij (g)||ni,j=1 ∈ Γ (здесь tij (g) – n2 функций на группе G) таким образом, что T (g1 )T (g2 ) = T (g1 g2 ) ←→ P k tik (g1 )tkj (g2 ) T (g −1 ) = (T (g))−1 , T (e) = I . = tij (g1 g2 ) (2.7.1) pred Представление T называется n-мерным если T (g) (∀g ∈ G) являются n × n матри- цами, и эти матрицы определяют линейные преобразования в n-мерном векторном пространстве Vn . Пространство Vn , в котором действует Γ, называется пространством представления. Примеры. 1.) Для любой группы G имеется тривиальное представление T : T (g) = 1 (∀g ∈ G). 2.) Из Теоремы 2.3.4 (Кэли) следует, что у любой конечной группы G порядка N существует N-мерное матричное представление. Такие N-мерные матричные представления T R , T̃ R : G → GL(N) для группы G определяются согласно правилам (2.3.20). Напомним, что представления T (R) , T̃ (R) называются левым и правым регулярным представлением, соответственно. Представление T группы G называется точным, если T (G) = Γ, т.е. имеется взаимно однозначное соответствие между элементами Γ и G (Γ изоморфна G). Представление будет неточным, если более чем один элемент группы G представляется одной и той же матрицей из Γ. 68 Пусть представление T группы G не точное и пусть H = Ker(T ) – ядро гомоморT физма G → Γ. Тогда T будет точным представлением факторгруппы G/H. Пример. Гомоморфное отображение T группы D5 в группу чисел Γ = {1, −1} такое, что T (gm ) = 1 , T (rgm) = −1 (∀gm ∈ C5 ⊂ D5 ) , есть одномерное неточное представление. Действительно, ядро Ker(T ) = C5 – нетривиально, и как мы знаем D5 /C5 = C2 . В тоже время гомоморфизм C2 → Γ = {1, −1}, задаваемый T , есть точное представление группы C2 . 2. Эквивалентные представления. Пусть Vn – n-мерное векторное пространство и линейное преобразование T пере- водит вектор ~x ∈ Vn в вектор ~y ∈ Vn : ~y = ~x · T ⇒ yi = xj Tji , (2.7.2) prT где {xi }, {yj } – координаты векторов ~x, ~y в базисе {~ei }. Сделаем линейное преоб- разование (2.6.30) базиса в пространстве Vn с помощью невырожденной матрицы A = ||aij ||. При этом координаты двух векторов ~x и ~y преобразуются согласно прави- лам (2.6.31): xj = P i x′i aij , yj = P i yi′ aij . Тогда матрица T линейного преобразования (2.7.2), переводящего ~x в ~y , трансформируется в матрицу T̃ = AT A−1 , переводящую эти же вектора, но представленные в новых координатах ′ ′ yj = xi Tij ⇒ yk′ akj = x′k aki Tij ⇒ ym = x′k aki Tij a−1 jm = xk T̃km . Пусть представление T группы G в Γ реализовано матрицами T (g) = ||tij (g)|| ∀g ∈ G. Тогда матрицы (записанные в новой системе координат) t̃ij (g) = aik tkm (g)(a−1)mj ⇔ T̃ (g) = A T (g) A−1 , (2.7.3) podob реализуют новое матричное представление T̃ группы G, которое называется представлением эквивалентным T . Тот факт, что новое представление T̃ снова является гомоморфизмом в матричную группу Γ (т.е. снова является представлением) следует из простого рассуждения: T̃ (g1 )T̃ (g2 ) = AT (g1 )A−1 AT (g2 )A−1 = AT (g1 )T (g2 )A−1 = AT (g1 g2 )A−1 = T̃ (g1 g2 ) . 3. Характер представления. 69 Для эквивалентных представлений T и T̃ мы имеем тождество для следов T r(T̃ (g)) = T r(A T (g) A−1) = T r(T (g)) (∀g ∈ G) . (2.7.4) tsp Определим функцию на группе G, зависящую от T , χT (g) := T r(T (g)) (∀g ∈ G) , которая называется характером представления T . Из (2.7.4) очевидно следует, что для эквивалентных представлений T и Te их характеры совпадают χ = χT . Кроме e T того, элементы g1 и g2 из одного и того же класса сопряженности (т.е. ∃g ∈ G такой, что g1 = gg2g −1 ) имеют одно и тоже значение характера χT (g1 ) = χT (g2 ) и χT (e) = n, где n – размерность представления T , а e – единичный элемент в G. 4. Прямое произведение и прямая сумма представлений. Рассмотрим два матричных представления T (1) и T (2) группы G, одно из которых n-мерное, а второе m- мерное. Для элементов g ∈ G эти представления реа(1) (2) лизуются матрицами T (1) (g) = ||tik (g)||, T (2) (g) = ||tab (g)|| (i, j = 1, . . . , n, a, b = 1, . . . , m). Матрицы T (1) (g), T (2) (g) определяют линейные преобразования векторов ~x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Vn и ~y = (y1 , . . . , ym ) ∈ Vm (1) (2) x′k = xi tik (g) , yb′ = ya tab (g) ⇒ ~x ′ = ~x T (1) (g) , ~y ′ = ~y T (2) (g) . (2.7.5) xy Построим из двух векторов ~x и ~y новый (n × m)-мерный вектор ~z ∈ Vnm (который обозначается ~z = ~x ⊗ ~y и называется прямым произведением векторов ~x, ~y ) с (n × m) координатами (~z )ia = (~x ⊗ ~y )ia = xi · ya =⇒ ~z = (x1~y , x2 ~y , . . . xn ~y ) = (2.7.6) prvect = (x1 y1 , x1 y2 , . . . , x1 ym ; x2 y1 , . . . , x2 ym ; . . . ; xn y1 , . . . , xn ym ) . Матричное преобразование этого n × m-мерного вектора определяется согласно преобразованиям (2.7.5) (1)  (2) x′k · yb′ = xi · ya tik (g) tab (g) ⇒ (~x ⊗ ~y )′kb = (~x ⊗ ~y )ia T (1) (g) ⊗ T (2) (g)  ia,kb Композитная n · m × n · m матрица  T (p) (g) := T (1) (g) ⊗ T (2) (g) = || T (1) (g) ⊗ T (2) (g) 70  ia,kb (1) (2) || = ||tik (g) tab (g)|| , , которая в соответствии с расстановкой координат (2.7.6) записывается в блочном n × n виде  T (p) (g) = (1) (2) (1)  (2)  t11 (g)tab (g), . . . , t1n (g)tab (g)          (1) (2) t21 (g)tab (g), .. . (1)         (1) (2) , t2n (g)tab (g) ... .. . ... (2) (2) tn1 (g)tab (g), . . . , t(1) nn (g)tab (g) определяет новое представление T (p) = T (1) ⊗ T (2) группы G, которое называется прямым произведением представлений T (1) и T (2) . Заметим, что у матрицы T (p) (g) матричные индексы становятся двойными: ia и kb. Свойство гомоморфизма для такого представления следует из гомоморфности отображений T (1) , T (2) и его легко проверить (для простоты вычислений мы пользуемся безиндексной формой записи)     T (p) (g1 ) · T (p) (g2 ) = T (1) (g1 ) ⊗ T (2) (g1 ) · T (1) (g2 ) ⊗ T (2) (g2 ) = = T (1) (g1 )T (1) (g2 ) ⊗ T (2) (g1 )T (2) (g2 ) = T (1) (g1 g2 ) ⊗ T (2) (g1 g2 ) = T (p) (g1 g2 ) Пример. Рассмотрим 2 представления группы C3 – одномерное представление T (1) : T (1) (e) = 1 , T (1) (g1 ) = exp(2πi/3) , T (1) (g2 ) = exp(4πi/3) , (2.7.7) 1mrep и 3-х мерное регулярное представление T (2) = T (R) , которое определяется соотношениями (2.3.20): e · (e, g1 , g2 ) = (e, g1 , g2 ) = (e, g1 , g2 )T (R) (e) , g1 · (e, g1 , g2 ) = (g1 , g2 , e) = (e, g1 , g2 )T (R) (g1 ) , g2 · (e, g1 , g2 ) = (g2 , e, g1 ) = (e, g1 , g2 )T (R) (g2 ) , и дается матрицами   1 0 0  T (R) (e) =  0 1 0 , 0 0 1   0 0 1  T (R) (g1 ) =  1 0 0 , 0 1 0  Новое представление T (p) = T (1) ⊗ T (R) 3-х мерно и имеет вид    2πi   0 1 0  T (R) (g2 ) =  0 0 1 . 1 0 0  4πi (2.7.8) regc3  0 e 3 0 e 3 1 0 0  2πi   4πi    (p) (p) (p)   3 T (e) =  0 1 0  , T (g1 ) =  , T (g ) = 0 e 3  0  2 e  0  . 4πi 2πi 0 0 1 e 3 0 e 3 С другой стороны, из векторов ~x, ~y мы можем построить новый (n + m)-мерный вектор w ~ ∈ Vn+m с (n + m) координатами w ~ = (x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym) и далее 71 рассмотреть матричные (n + m)-мерные преобразования T (s) (g) вектора w, ~ которые проистекают из (2.7.5). Оказывается, что таким образом мы строим новое матричное представление T (s) = T (1) ⊕ T (2) группы G. Матрицы T (s) (g), согласно преобразованиям (2.7.5), будут представляться в виде блочно-диагональной матрицы размера (n + m) × (n + m): T (s)  (g) =  (1) ||tij (g)|| (2) ||tab (g)||    = T (1) (g) T (2) (g)   (2.7.9) pryam . Отображение T (s) группы G в матричную группу Γ(s) , реализованную матрицами (2.7.9), очевидно является гомоморфизмом:  T (s) (g1 )T (s) (g2 ) =   = T (1) (g1 ) T (2) (g1 )   T (1) (g1 g2 ) T (2) (g1 g2 )   T (1) (g2 ) T (2) (g2 )   = = T (s) (g1 g2 ) Матрица T (s) (g) (2.7.9) называется прямой суммой матриц T (1) (g) и T (2) (g) и обозначается T (s) (g) = T (1) (g) ⊕ T (2) (g), а соответствующее новое представление T (s) = T (1) ⊕ T (2) называется прямой суммой представлений. Пример. Рассмотрим 2 представления группы C3 : одномерное представление T (1) (2.7.7) и 3-х мерное регулярное представление (2.7.8). Новое представление T (s) = T (1) ⊕ T (R) – 4-х мерно и имеет вид  1  0 (s) T (e) =  0 1 1   2πi e 3    0 0  , T (s) (g1 ) =   0 0 1 1 1   4πi e 3    0 1  , T (s) (g2 ) =   0 0 1 1   0 . 1 Характеры для прямого произведения T (p) = T (1) ⊗ T (2) и прямой суммы T (s) = T (1) ⊕ T (2) представлений очевидно вычисляются по характерам представлений T (1) и T (2) : χT (p) (g) = χT (1) (g) · χT (2) (g) , χT (s) (g) = χT (1) (g) + χT (2) (g) . 5. Приводимые и неприводимые представления. Заметим, что преобразование подобия (2.7.3) с некоторой фиксированной (n + m) × (n + m) матрицей A, примененное к матрицам T (s) (g) (2.7.9), дает, как мы видели выше, эквивалентное (n + m)-мерное представление, которое, вообще говоря, уже 72 не будет иметь блочно-диагонального вида (2.7.9). Например, перестановка (перенумеровка) строк и столбцов является преобразованием подобия, при этом очевидно блочно-диагональная структура (2.7.9) будет нарушена. С другой стороны, для некоторого заданного матричного представления, мы можем попытаться найти преобразование подобия, которое приводит все матрицы данного представления к блочно-диагональному виду и тем самым разбить это представление в прямую сумму двух представлений. Отметим, что такую обратную процедуру удается сделать не для всех представлений. Тем самым мы приходим к следующему определению: Определение 2.7.1 Представление, которое преобразованием подобия (2.7.3) может быть приведено к блочно диагональному виду (2.7.9), называется вполне приводимым. Если матричное представление группы G преобразованием подобия (2.7.3) приводится к виду  T (g) =  (1) ||tij (g)|| , ||x(g)ib|| (2) , ||tab (g)||    = T (1) (g) , X(g) , T (2) (g)   , X(g) 6= 0 , (2.7.10) pryam1 (т.е. нижний левый9 блок равен нулю), то представление называется приводимым. Если таких преобразований подобия не существует, то представление называется неприводимым. Свойство гомоморфизма: T (g1 )T (g2 ) = T (g1 g2 ) для представления (2.7.10) требует выполнения тождеств   =  T (1) (g1 ) , X(g1 ) , T (2) (g1 )   T (1) (g2 ) , X(g2 ) , T (2) (g2 ) T (1) (g1 )T (1) (g2 ) , T (1) (g1 )X(g2 ) + X(g1 )T (2) (g2 ) ,T (2) (g1 )T (2) (g2 )    =   T (1) (g1 g2 ) (2.7.11) t1t2 = , X(g1 g2 ) ,T (2) (g1 g2 )   Представление (2.7.10) соответствует преобразованиям (n + m)-мерных ”компо- зитных” векторов (~x, ~y) → (~x′ , ~y ′) (где ~x, ~x ′ ∈ Vn и ~y , ~y ′ ∈ Vm ), а само преобразование с матрицами (2.7.10), для координат этих векторов, имеет вид (1) x′i = xj Tji (g) , 9 (2) ya′ = yb Tba (g) + xj Xja (g) . Очевидно, что представление будет приводимым и в случае обнуления только верхнего правого блока, т.к. такое представление эквивалентно представлению (2.7.10) (эти представления связаны специальным преобразованием подобия – перестановкой строк и столбцов). 73 Из вида этого преобразования следует (необходимо положить равными нулю все координаты xi (i = 1, . . . , n)), что подпространство Vm ⊂ Vn+m преобразуется ”само через себя”, т.е. остается инвариантным подпространством при всех преобразованиях вида (2.7.10), соответствующих разным элементам g группы G. Наличие (или отсутствие) инвариантных подпространств для данного представления является эквивалентным, важным критерием приводимости (или неприводимости) этого представления. Из (2.7.11)) следует, что отображения T (1) : G → GL(n) и T (2) : G → GL(m) гомо- морфны и, следовательно, n- мерные матрицы T (1) (g) и m- мерные матрицы T (2) (g) реализуют представления группы G меньшей размерности чем T (g). Т.о., если матричное представление приводимо, то из него всегда можно выделить представление меньшей размерности. Важно иметь конструктивный критерий приводимости, или неприводимости, представлений. Такой критерий дается леммой Шура. Лемма Шура. 2.7.1 1.) Матрица A 6= 0, коммутирующая со всеми элементами группы G в неприводимом матричном представлении T : T (g)A = AT (g) (∀g ∈ G), кратна единичной матрице, т.е. A = λI (λ 6= 0). 2.) Пусть T (1) : G → GL(n) и T (2) : G → GL(m) – два неэквивалентных неприводи- мых представления группы G в n- и m- мерных векторных пространствах Vn , Vm , и A линейное отображение Vn → Vm такое, что ∀g ∈ G мы имеем T (1) (g)A = AT (2) (g) (если n 6= m, то A представляется прямоугольной m × n матрицей), тогда A = 0. Док-во. 1.) Матрица A 6= 0, коммутирующая со всеми матрицами T (g) (∀g ∈ G), действую- щими в векторном пространстве V, где T (g) неприводимое представление, является невырожденной матрицей. Иначе, пусть ∃ вектора ~x ∈ V такие, что A~x = 0. Очевид- но, что эти вектора образуют линейное подпространство в V, которое мы обозначим Ker(A). Из условия T (g)A = AT (g) следует, что T (g)A~x = AT (g)~x = 0. Т.о., если ~x ∈ Ker(A), то T (g)~x ∈ Ker(A) (∀g ∈ G), т.е. Ker(A) – инвариантное подпростран- ство в V (случай Ker(A) = V, когда подпространство Ker(A) совпадает со всем пространством V, исключается, т.к. в этом случае мы имеем A = 0) и, следовательно, представление T (g) приводимо, что противоречит условиям Леммы. Т.о., мы получили, что у A нет нулевых векторов, т.е. A невырождена и Ker(A) = ∅. Так как A - невырождена, то существует собственное значение λ 6= 0 матрицы A с собственными векторами ~v , образующими подпространство Ker(A − λI) ∈ V. 74 Тогда, из условия T (g)(A − λI)~v = (A − λI)T (g)~v = 0 (∀g ∈ G), следует, что либо Ker(A − λI) – инвариантное подпространство и следовательно представление приводимо (а это противоречит условиям Леммы), либо (A − λI) = 0. Ч.т.д. 2.) Пусть A 6= 0. Так же как и в предыдущем пункте мы доказываем, что Ker(A) – инвариантное пространство в Vn . Аналогично можно показать, что Img(A) образует инвариантное подпространство в Vm . Действительно, ∀~x ∈ Vm и ∀g ∈ G мы имеем AT (2) (g) ~x = T (1) (g)A ~x, т.е. T (2) (g)Img(A) ⊂ Img(A). Из неприводимости представ- лений T (1) и T (2) (и A 6= 0)следует, что Ker(A) = ∅ и Img(A) = Vm и, следовательно, отображение A : Vn → Vm – изоморфизм, т.е. представления T (1) и T (2) эквивалентны, а это противоречит условию Леммы. Следовательно A = 0. • Следствие 1. Из Леммы Шура следует, что если существует ненулевая матрица A 6= λI, такая что T (g) A = A T (g) (∀g ∈ G), т.е. заведомо имеется нетривиальное инвариантное подпространство в пространстве представления T , то представление T приводимо. Следствие 2. Другим следствием Леммы Шура является то, что все неприводимые конечномерные представления абелевой (коммутативной) группы G – одномерны. Действительно для любого представления T такой группы и ∀g, h ∈ G, мы имеем T (g)T (h) = T (h)T (g). Пусть T – неприводимо. При фиксированном h оператор T (h) коммутирует со всеми T (g) и в силу неприводимости T мы имеем (Лемма Шура): T (h) = λ(h)I, где λ(h) скалярная функция, а I единичная матрица. Аналогично, можно зафиксировать любой другой элемент h ∈ G и получить, что T (h) = λ(h)I (∀h ∈ G), а это значит, что любое представление T распадается в прямую сумму одномерных представлений λ(h) и T неприводимо только если оно одномерно. Пример 1. Группа C3 . Регулярное представление T (R) задается матрицами (2.7.8). Соответствующие характеры равны χR (e) = 3 , χR (g1 ) = 0 , χR (g2 ) = 0 . (2.7.12) chiR Т.к. группа C3 абелева, то очевидно существует не единичная матрица, например, любая из матриц TR (g1 ), TR (g2 ) (кроме, естественно, TR (e)), которая коммутирует со всеми матрицами регулярного представления (2.7.8). Т.о., согласно Лемме Шура, представление (2.7.8) приводимо. Действительно, заметим, что собственными векторами матриц (2.7.8) оказываются вектора ~v1 = (1, 1, 1) , ~v2 = (1, q, q 2) , ~v3 = (1, q 2 , q) , 75 (2.7.13) sobv где q := e2πi/3 . Учитывая равенства ~v12 = (~v2 , ~v3 ) = 3, (~v1 , ~v2 ) = (~v1 , ~v3 ) = ~v22 = ~v32 = 0 (которые следуют из тождества q 2 + q + 1 = 0, вытекающего из q 3 − 1 = (q − 1)(q 2 + q + 1) = 0), составим из векторов (2.7.13) строки и столбцы матриц A и A−1 :     1 1 1 1  1 1 1    A =  1 q q 2  , A−1 =  1 q 2 q  . 3 1 q q2 1 q2 q (2.7.14) aaa (R) Тогда Aij Tjk = λi Aik и матрицы (2.7.8), посредством преобразований подобия (2.7.3) с A и A−1 (2.7.14), приводятся к виду    1 0 0   T̃ (R) (e) =  0 1 0  , 0 0 1    1 0 0 1 0 0     T̃ (R) (g1 ) =  0 q 0  , T̃ (R) (g2 ) =  0 q 2 0  . 0 0 q2 0 0 q (2.7.15) regc31 Т.о., регулярное представление (2.7.8) приводимо, т.к. оно приводится к прямой суммой трех одномерных неприводимых представлений: T (R) = I ⊕ Γ ⊕ Γ∗ , (2.7.16) sumpr тривиального представления I(C3 ), т.е. I(gk ) = 1; точного представления Γ(C3 ): T (e) = 1 , T (g1 ) = e2πi/3 = q , T (g2 ) = e4πi/3 = q 2 (q 3 = 1) , (2.7.17) to4 и комплексно сопряженного представления Γ(C3 )∗ : T (e) = 1 , T (g1) = e−2πi/3 = q 2 , T (g2 ) = e−4πi/3 = q . (2.7.18) to4z Для одномерных представлений T имеем T (g) = χT (g) и таблица характеров χT (g) для неприводимых представлений группы C3 строится следующим образом (e) (g1 ) (g2 ) I(C3 ) χI = 1 χI = 1 χI = 1 Γ(C3 ) χΓ = 1 χΓ = q χΓ = q 2 Γ(C3 )∗ χΓ∗ = 1 χΓ∗ = q 2 χΓ∗ = q . T (R) (C3 ) χR = 3 χR = 0 χR = 0 Из первых 3-х строк этой таблицы сразу же следуют значения для характеров регулярного представления T (R) (C3 ) (2.7.12), которые, согласно (2.7.16), равны сумме характеров неприводимых представлений: χR = χI +χΓ +χΓ∗ (см. 4-ую строчку в таблице). Заметим, что в результате прямого произведения представлений I(C3 ), Γ(C3 ) 76 и Γ∗ (C3 ) мы получаем снова неприводимые одномерные представления: I(C3 ) ⊗ Γ(C3 ) = Γ(C3 ) , I(C3 ) ⊗ Γ∗ (C3 ) = Γ∗ (C3 ) , Γ(C3 ) ⊗ Γ(C3 ) = Γ∗ (C3 ) , Γ(C3 ) ⊗ Γ∗ (C3 ) = I(C3 ) , Γ∗ (C3 ) ⊗ Γ∗ (C3 ) = Γ(C3 ) . Это в частности следует из таблицы умножения характеров: χΓ χΓ = χΓ∗ , χΓ χΓ∗ = χI и χΓ∗ χΓ∗ = χΓ . Т.о., мы получаем, что множество неприводимых представлений {I(C3 ), Γ(C3 ), Γ∗ (C3 )} образует абелеву группу C3∗ , изоморфную C3 , в которой в качестве умножения выступает прямое произведение представлений ⊗ (представления Γ(C3 ) и Γ∗ (C3 ) – взаимно обратны по отношению к умножению ⊗, а тривиальное представление I(C3 ) отождествляется с единичным элементом). Группа C3∗ непри- водимых представлений C3 называется дуальной группой к группе C3 . Для абелевых групп дуальная группа всегда изоморфна исходной (замечательный результат Л.С.Понтрягина [34]). Для неабелевых групп это не так. Пример 2. Группа S3 . Построим таблицу характеров для неабелевой группы D3 ∼ = S3 , элементы которой обозначим (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ). Левое регулярное представление T (R) определяется из соотношений g1 · (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ) = (g1 , g2 , e, rg2 , r, rg1 ) = (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ) · T (R) (g1 ) , r · (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ) = (r, rg1 , rg2, e, g1 , g2 ) = (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ) · T (R) (r) , Соответственно, две образующие g1 и r группы D3 в регулярном представлении принимают вид (точки обозначают нули)  T (R) (g1 ) =           0 0 1 . 1 0 0 . 0 1 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 1 0 . 0 0 1 . 1 0 0             , T (R) (r) =            . 1 0 0  . 0 1 0   . 0 0 1    1 0 0 . . .   0 1 0 . . .   0 0 1 . . . . . . . . . (2.7.19) regd3 Мы видим, что матрицы этого представления построены из блоков матриц регулярного представления группы C3 (2.7.8). Зная собственные вектора (2.7.13), мы можем сразу же найти одномерные инвариантные пространства для представления (2.7.19), которые определяются векторами w ~ 1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1) (тривиальное представление T (1) (gk ) = T (1) (rgk ) = 1) и w ~ 2 = (1, 1, 1, −1, −1, −1) (одномерное представление, различающее четные и нечетные перестановки T (2) (gk ) = 1, T (2) (rgk ) = −1). Можно выделить также два двумерных инвариантных пространства, натянутых на вектора w ~ 3± = (1, q, q 2 , ±1, ±q 2 , ±q) = (~v2 , ±~v3 ) , w ~ 4± = (±1, ±q 2 , ±q, 1, q, q 2) = (±~v3 , ~v2 ) ⇒ 77 w ~ 3± T (R) (g1 ) = q w ~ 3± , w ~ 4± T (R) (g1 ) = q −1 w ~ 4± , w ~ 3± T (R) (r) = ± w ~ 4± , т.е., кроме двух одномерных представлений T (1) и T (2) , мы имеем два эквивалентных неприводимых представления T (+) и T (−) (связанных преобразованием подобия с матрицей A = diag(1, −1))  T (±) (g1 ) =  q 0 q −1    T (±) (r) =  , ±1  ±1  , Выбирая матрицу A в виде (в каждой строке стоят координаты векторов w ~ 1, w ~ 2, w ~ 3+ , w ~ 4+ , w ~ 3− , w ~ 4− ):  A=           1 1 1 1 1 q 1 1 q2 1 −1 1 1 −1 q2 1 −1 q 1 q2 q 1 q q2 1 q q 2 −1 −q 2 −q 2 −1 −q −q 1 q q2 после преобразования подобия для матриц (2.7.19) имеем  1 0 .  0 1 .    . AT (R) (g1 )A−1 =   .     . . . . . . . q 0 . . 0 q −1 . . . . . . .  .  .   . . q 0 0 q −1   ,                 ,  1 0 .   0 −1 .    . A T (R) (r) A−1 =   .     . . . . . . . . 0 1 . 1 0 . . . . .  . .  . .         . 0 1 . 1 0 (2.7.20) regd31 Т.е. мы имеем 2 одномерных и 2 эквивалентных двумерных представления. Теперь легко вычислить таблицу характеров для представлений группы D3 ∼ = S3 (1, 1, 1) = e (2, 1) (3, 0) (S3 ) χT (1) = 1 χT (1) = 1 χT (1) = 1 T (2) (S3 ) χT (2) = 1 χT (2) = 1 T (+) (S3 ) χT (+) = 2 χT (2) = −1 T (−) (S3 ) χT (−) = 2 χT (−) = 0 T (R) (S3 ) χR = 6 χR = 0 T . (1) χT (+) = 0 χT (+) = −1 χT (−) = −1 χR = 0 где (1, 1, 1), (2, 1), (3, 0) обозначают классы сопряженности, соответствующие длинам циклов, входящим в перестановки, т.е. тождественная, нечетные (в которые входят r) и циклические (g1 и g2 ) перестановки, соответственно: r= 1 2 3 1 3 2 ! = (1)(23) , g1 = (123) , g2 = (132) . 78 Отметим факт, который мы наблюдаем для группы D3 ∼ = S3 , и который, на самом деле, справедлив для всех конечных групп. А именно, каждое неприводимое m-мерное представление конечной группы входит в регулярное представление ровно m раз. Мы докажем этот факт в следующем подразделе. 6. Элементы теории характеров конечных групп. (ν) Пусть функции Tij (i, j = 1, 2, . . . , Nν ) определяют все неприводимые представления T (ν) конечной группы G (порядка N) в Nν -мерных векторных пространствах Vν (индекс ν перечисляеет неэквивалентные неприводимые представления). Рассмотрим набор матриц Akµ ,jν , Biν ,mµ : (Akµ ,jν )iν ,mµ = 1 X (ν) −1 (µ) T (g ) Tkµ ,mµ (g) = (Biν ,mµ )kµ ,jν . N g∈G iν ,jν Заметим, что ∀h ∈ G мы имеем (Akµ ,jν )iν ,mµ = = 1 N = 1 N P g∈G P g∈G (ν) 1 N P g∈G (µ) (ν)−1 (ν) (2.7.21) fg3 (µ) Tiν ,jν ((g h)−1 ) Tkµ ,mµ (g h) = (µ) (ν) (ν)−1 (µ) (µ) Tiν ,kν (h−1 ) Tkν ,jν (g −1) Tkµ ,jµ (g) Tjµ,mµ (h) = Tiν ,kν (h−1 ) (Akµ ,jν )kν ,jµ Tjµ ,mµ (h) , (2.7.22) hah1 (ν) (µ) 1 P −1 (Biν ,mµ )kµ ,jν = N g∈G Tkµ ,mµ (h g) Tiν ,jν ((h g) ) = (µ) (µ) (ν) (ν) Tkµ ,jµ (h) Tjµ,mµ (g) Tiν ,kν (g −1) Tkν ,jν (h−1 ) = Tkµ ,jµ (h) (Biν ,mµ )jµ ,kν Tkν ,jν (h−1 ) . (2.7.23) hah2 Из формул (2.7.22) и (2.7.23) следует, что матрицы Akµ ,jν , Biν ,mµ сплетают все матрицы неприводимых представлений T (µ) и T (ν) . Следовательно, согласно Лемме Шура, если µ 6= ν, то Akµ ,jν = Biν ,mµ = 0, а если µ = ν, то матрицы Akµ ,jν , Biν ,mµ пропорциональны единичным матрицам. Т.о., мы имеем (Akµ ,jν )iν ,mµ = (Biν ,mµ )kµ ,jν = λδ µν δiν ,mµ δkµ ,jν . или 1 X (ν) −1 (µ) T (g ) Tkµ ,mµ (g) = λδ µν δiν ,mµ δkµ ,jν N g∈G iν ,jν (2.7.24) fg5 где λ – константа, которую можно найти если положить µ = ν, kµ = jν и просуммировать по jν . В результате получаем λ = 1/Nν , где Nν – размерность представления T (ν) . Заметим, что любое представление конечной группы G эквивалентно унитарному. Действительно, пусть hx, yi1 = hy, xi1 – эрмитово скалярное произведение в V (x, y ∈ 79 V ). Тогда, можно доказать, что спаривание hx, yi := 1 X hT (g)x, T (g)yi1 N g∈G (2.7.25) fg6 также является эрмитовым скалярным произведением в V . Ясно, что hx, yi = hT (h)x, T (h)yi (∀h ∈ G) и, следовательно, T – унитарное представление G по отношению к скалярно- му произведению (2.7.25). Т.о., мы можем выбрать базис в пространстве V (ν) так, что Tiν ,jν (g −1) = (Tjν ,iν (g))∗ и представить (2.7.24) в виде соотношения ортогональности 1 X (ν)∗ 1 µν (µ) δ δiν ,mµ δkµ ,jν . Tjν ,iν (g) Tkµ,mµ (g) = N g∈G Nν Используя определение характера представления χν (g) = P Nν i=1 (2.7.26) fg8 (ν) Ti,i (g) мы выводим из (2.7.26) соотношения ортогональности для характеров неприводимых представлений Tν и Tµ : hχν , χµ i = 1 X ∗ χ (g) χµ (g) = δ µν . N g∈G ν (2.7.27) fg10 Пусть χ1 , . . . , χh характеры всех неэквивалентных неприводимых представлений T1 , . . . , Th группы G. Любое представление T конечной группы G можно разложить в прямую сумму T = m1 T1 ⊕. . .⊕mh Th , где mi ≥ 0 – целые числа. В этом случае харак- тер χ представления T равен χ = m1 χ1 + . . . + mh χh , а из условия ортогональности (2.7.27) мы получаем hχ, χν i = mν , hχ, χi = h X m2ν . (2.7.28) fg10a ν=1 Пусть T (R) – регулярное представление конечной группы G: gi gk = N X (R) gm Tmk (gi ) , m=1 (R) где Tmk (gi ) = δm,ki если gi gk = gki . Ясно, что для характера χR регулярного представления мы имеем: χR (e) = N, где N – порядок группы G и χR (g) = 0 ∀g 6= e, т.к. Tmm (g) = 0 для g 6= e. Используя этот факт и первую формулу в (2.7.28), мы можем подсчитать сколько раз каждое неприводимое представление T (ν) содержится в регулярном представлении T (R) : hχR , χν i = 1 X ∗ 1 N χν (e) = Nν , χR (g) χν (g) = N g∈G N т.е. каждое неприводимое Nν -мерное представление T (ν) входит в регулярное представление ровно Nν раз (см. выше обсуждение в конце Примера 2). Следовательно, 80 разложение χR по базису характеров χν имеет вид χR = Ph ν=1 Nν χν . Из этих формул следует соотношение между размерностями Nν неприводимых представлений T (ν) и порядком N группы G: N = χR (1) = h X Nν χν (1) = h X Nν2 . (2.7.29) fg11b ν=1 ν=1 Определение 2.7.2 Функция f на группе G называется центральной, если f (h g h−1 ) = f (g) (∀g, h ∈ G) . Для центральной функции f и некоторого представления T группы G рассмотрим матрицу Amk (f ) = X g∈G f (g)Tmk (g) = Nhf ∗ , Tmk i . (2.7.30) fg11 Утверждение 2.7.2 Если представление T = T (ν) размерности Nν – неприводимо и имеет характер χν , то Amk = λδmk , а константа λ равна: λ= 1 X N ∗ hf , χν i . f (g)χν (g) ≡ Nν g∈G Nν (2.7.31) fg12 Док-во. Делая в сумме (2.7.30) преобразование g → h−1 gh, легко показать, что Trm (h−1 )Amk Tkj (h) = Arj (∀h) и, в соответствии с леммой Шура, мы имеем Amk = λδmk . Вычисляя след от обоих частей этого равенства, мы получаем (2.7.31) и Amk (f ) = X f (g)Tmk (g) = g∈G N ∗ hf , χν iδmk . Nν (2.7.32) fg13 Ч.т.д. • Рассмотрим пространство H всех центральных функций на G. Очевидно характеры {χ1 , . . . , χh } неприводимых представлений принадлежат этому пространству. Утверждение 2.7.3 Характеры {χ1 , . . . , χh } образуют ортонормированный базис в пространстве H. Док-во. В соответствии с (2.7.27), {χ1 , . . . , χh } образуют ортонормированную систему в H. Нам требуется доказать, что эта система полна, т.е. любой элемент f ∈ H ортогональный любому характеру χν должен равняться нулю. Рассмотрим для тако- го элемента f матрицу Amk (f ∗ ) (2.7.30), которая равняется нулю для любого неприводимого представления T в силу равенства (2.7.32). Т.к. любое представление (в том числе и регулярное) конечной группы может быть разложено в прямую сумму 81 неприводимых, то мы заключаем что Amk (f ∗ ) = 0 для регулярного представления. В свою очередь это означает, что (∀gk ∈ G) P = g∈G  f ∗ (g) g gk = PN m=1 ∗ PN m=1 P g∈G Amk (f ) gm = 0 ⇒ f ∗ (g) Tmk (g) gm = P g∈G (2.7.33) gralg ∗ f (g) g = 0 , и, следовательно, f ∗ (g) = 0 или f (g) = 0 (∀g ∈ G). Замечание. Соотношение (2.7.33) следует понимать как соотношение в групповой алгебре группы G. Напомним, что групповая алгебра группы G это векторное пространство натянутое на элементы группы G как на базис, а умножение векторов из этого пространства задается групповым умножением в G. Итак, любая центральная функция f ∈ H может быть разложена в сумму по характерам f (g) = h X (2.7.34) fchi cν χν (g) . ν=1 Напомним, что элементы g и g ′ из группы G называются сопряженными, если существует элемент h ∈ G такой, что g ′ = hgh−1 . Все элементы группы G разбиваются на классы C1 , . . . , Ck сопряженных элементов. Утверждение 2.7.4 Число k всех классов сопряженности группы G равно числу h неэквивалентных неприводимых представлений группы G. Док-во. Рассмотрим центральную функцию f ∈ H, которая постоянна на каждом классе Cm : f (Cm ) = λm . Т.е. функция f определяется k константами: {λ1 , . . . , λk }. Это означает, что размерность пространства H равна k. С другой стороны, согласно Утверждению 2.7.3, размерность H равна числу независимых характеров χ1 , . . . , χh , а это число совпадает с числом неэквивалентных неприводимых представлений группы G. Это доказывает равенство k = h. • Пусть fg′ - функция, равная 1 на классе сопряженности Cg′ элемента g ′ ∈ G и рав- ная 0 на других классах сопряженности. Очевидно, что fg′ – центральная функция, которая может быть разложена в сумму по характерам fg′ = λν = hχν , fg′ i = Ph ν=1 λν χν , где 1 X ∗ c(g ′) ∗ ′ χ (g ) , χν (g) fg′ (g) = N g∈C ′ N ν g и c(g ′) := dim(Cg′ ). Т.о., для функции fg′ от любого g ∈ G мы получаем  h  1 если g ∈ C ′ , c(g ′) X g χ∗ν (g ′) χν (g) = fg′ (g) =  0 если g ∈ N ν=1 / Cg ′ , 82 (2.7.35) fg14 другой тип условия ортогональности для характеров χν (g) (ср. с (2.7.27)). Замечание. Приведенные в этом подпункте результаты из теории характеров конечных групп практически без изменений переносятся на случай компактных групп Ли GLie (группы Ли будут рассматриваться в следующей главе). Это следует из того факта, что инвариантное суммирование по конечной группе (см. формулы (2.7.25), (2.7.30) и т.д.), эквивалентно заменяется на инвариантное интегрирование по компактной группе GLie . Упражнения. 1. Доказать, что дробно линейные преобразования z → z ′ = g(a, b, c, d, z) пара- метра z: az + b ≡ g(a, b, c, d, z) , (a d − b c = 1) , cz + d образуют группу SL(2), где преобразование z ′ = g(a, b, c, d, z) соответствует элементу z → z′ = g ∈ SL(2) следующего вида g= a b c d ! . 2. Построить гомоморфизмы групп T1 : D3 → S3 , T2 : D4 → S4 , учитывая то, что эле- менты групп D3 и D4 можно рассматривать как перестановки вершин треугольника и квадрата, соответственно. Построить соответствующие матричные 3 × 3 и 4 × 4 представления для групп D3 и D4 . 3. Построить таблицу характеров для группы C4 . 83 3 Группы и алгебры Ли В предыдущих лекциях мы в основном изучали конечные группы, т.е. группы с конечным числом элементов. С группами, имеющими бесконечное число элементов, мы столкнулись при изучении матричных групп. В этой главе мы начинаем систематическое изучение групп с бесконечным числом элементов. Более точно мы будем изучать группы, элементы которых можно рассматривать как точки некоторого пространства, причем для точек этого пространства можно определить понятие близости, а для самого пространства определить понятие гладкости. Такие пространства называются гладкими многообразиями (определение многообразия мы дадим ниже), а соответствующие группы называются непрерывными группами Ли. Теория непрерывных групп – важнейшее творение выдающегося норвежского (с английскими корнями) математика XIX века Софуса Ли (1842-1899)10. Главной составной частью теории непрерывных групп был групповой анализ дифференциальных уравнений. 3.1 Лекция 8. Группа вращений O(2) в двумерном пространстве (собственные и несобственные вращения). Группа вращений в двумерном псевдоевклидовом пространстве O(1, 1). Параметризации групп SO(2), SO(1, 1). Рассмотрим группу симметрий O(2) окружности S 1 6 B '$
φ A 1
 &% O Рис. 77 которую можно рассматривать как правильный ”многоугольник” с бесконечным (континуум) числом вершин. Т.о., группу O(2) можно интуитивно рассматривать как специальный предельный случай последовательности групп диэдра: O(2) = n→∞ lim D2n . Группа O(2) состоит из всех поворотов gφ окружности (например, против часовой стрелки; см. рис. 77) на некоторый угол φ и всех отражений окружности относитель10 Краткая биография приведена в Приложении 84 но произвольных осей проходящих через точку O. Для начала рассмотрим подгруппу в O(2), а именно группу всех поворотов окружности (без отражений), которая обозначается SO(2). При этом мы имеем gφ gφ′ = gφ+φ′ , gφ−1 = g−φ , e = g0 , gφ+2π = gφ . (3.1.1) gphi Т.к. gφ gφ′ = gφ+φ′ = gφ′ gφ , то группа SO(2) – абелева (ее также можно рассматривать как специальный предел последовательности циклических групп lim Cn ). Заметим, n→∞ что при поворотах окружности на угол φ некоторая точка окружности A (вершина ”бесконечно-угольника” S 1 ), соответствующая вектору ~x = (x1 , x2 ), переходит в вершину B, соответствующую вектору ~x′ = (x′1 , x′2 ), при этом координаты точки A будут преобразованы в координаты точки B согласно правилу x′1 = x1 cos φ − x2 sin φ , ⇒ (x′1 , x′2 ) = (x1 , x2 ) · T (gφ ), x′2 = x1 sin φ + x2 cos φ , где  T (gφ ) =  cos φ sin φ − sin φ cos φ Правило (3.1.2) следует из рисунка Y x′2 6
 B
x2
1A   φ
θ  O x′1   (3.1.2) xx (3.1.3) tgphi . - x1 т.е. мы имеем (OA = OB = R – радиус окружности) x1 = OA cos θ , x2 = OA sin θ , x′1 = OB cos(θ + φ) = OA(cos θ cos φ − sin θ sin φ) = x1 cos φ − x2 sin φ , x′2 = OB sin(θ + φ) = OA(cos θ sin φ + sin θ cos φ) = x1 sin φ + x2 cos φ , что эквивалентно (3.1.2). Т.о., мы имеем двумерное матричное представление T (3.1.3) для элементов gφ группы вращений SO(2): T (gφ ) T (gφ′ ) = T (gφ+φ′ ) , T (e) = I , T (gφ )−1 = T (g−φ ) . Для представления T , в частности, мы имеем тождество  T (gφ ) T (gφ )T =  cos φ sin φ − sin φ cos φ   cos φ − sin φ sin φ 85 cos φ    = 1 0 0 1   =: I , (3.1.4) oto которое эквивалентно инвариантности квадратичной формы (~x, ~x) = x21 + x22 при преобразованиях (3.1.2) (x′1 )2 + (x′2 )2 = (x1 , x2 )T (gφ )T (gφ ) T x1 x2 ! = x21 + x22 = R2 , (3.1.5) kvf ~ при его повороте на произвольный угол φ. или сохранению длинны R вектора OA Представление T (3.1.3) группы SO(2) – точное и называется определяющим. Для того, чтобы рассмотреть полную группу симметрии окружности необходимо расширить группу SO(2), добавив отражения относительно осей, проходящих через точку O. Очевидно (также как и в случае групп диэдра), что для этого достаточно ограничиться рассмотрением отражения относительно одной из осей, например, относительно оси OY . Отражения r относительно оси OY сводятся к следующей замене ~ координат векторов OA x1 → x′1 = −x1 , x2 → x′2 = x2 и представляются матрицей T (r):  T (r) =  −1 0 1   , T (r)T (r)T = I . (3.1.6) reflo Квадратичная форма (3.1.5) остается инвариантной и при таком преобразовании отражении. Определение 3.1.1 Группа SO(2) называется группой собственных двумерных вращений, а ее расширение O(2) (включающее отражения) называется двумерной ортогональной группой, или двумерной группой несобственных вращений. Заметим, что T (r)T (gφ ) = T (g−φ )T (r), и, следовательно, в отличии от группы собственных вращений SO(2), группа O(2) является неабелевой! Двумерное представление абелевой группы SO(2) является приводимым. Действительно, для комплексных координат z = x1 + ix2 , z̄ = z ∗ = x1 − ix2 , (3.1.7) zzb из формул (3.1.2), следуют преобразования x′1 + ix′2 = x1 (cos φ + i sin φ) + x2 (− sin φ + i cos φ) = (x1 + ix2 ) eiφ ⇒  (z ′ , z̄ ′ ) = (z, z̄) ·  eiφ e−iφ    = (x1 , x2 ) ·  86 1 1 i −i   eiφ e−iφ   (3.1.8) xxi откуда мы получаем искомые преобразования подобия   где 1  1  i −i eiφ e−iφ   1 1 i −i   −1  1 1 i −i −1   =  cos φ sin φ − sin φ cos φ    1 −i 1  . =  2 1 i Т.о., двумерное представление T (gφ ) группы SO(2) есть прямая сумма двух одномерных представлений T1 (gφ ) ⊕ T1∗ (gφ ), где T1 (gφ ) = eiφ . Заметим, что гомоморфизм T1 устанавливает взаимно-однозначное соответствие групп: SO(2) ↔ U(1), т.е. T1 – изоморфизм! Т.к. группа SO(2) имеет бесконечный порядок и коммутативна, то ее регулярное представление бесконечномерно и распадается на бесконечное число одномерных неэквивалентных неприводимых представлений Tn , которые нумеруются целыми числами n: Tn (gφ ) = einφ . (3.1.9) irrepo2 Эти представления можно получить как прямое произведение n представлений T1 . Очевидно, что характеры представлений (3.1.9) равны χn (φ) = einφ . Согласно теории характеров (см. подраздел 6 в Лекции 7) функции χn (φ) = einφ образуют полную систему функций в пространстве всех центральных функций на группе SO(2). Все функции на группе SO(2) периодичны: f (φ) := f (gφ ) = f (φ + 2π), а в силу абелевости SO(2) все такие функции центральны. Т.о., любая периодическая функция f (φ) разлагается в ряд по характерам (см. (2.7.34)) f (φ) = ∞ X cn einφ , n=−∞ который есть не что иное как ряд Фурье. Условие ортонормируемости (известное из теории рядов Фурье) 1 2π Z 2π imφ e 1 ) dφ = 2π inφ ∗ (e Z 2π eimφ e−inφ dφ = δmn , есть не что иное как условие ортогональности (2.7.27) для характеров неприводимых представлений, где интеграл по φ, очевидно, определяет инвариантное суммирование на группе SO(2), с нормированной инвариантной мерой dφ 2π (группа SO(2) действует на периодические функции сдвигами T (gθ )f (φ) = f (φ − θ)). Инфинитезимальный генератор группы SO(2). 87 Рассмотрим непрерывное вращение (3.1.2) вектора с координатами (x1 , x2 ) на угол φ:  (x1 (φ), x2 (φ)) = (x1 cos φ − x2 sin φ, x1 sin φ + x2 cos φ) = (x1 , x2 ) ·  cos φ sin φ   . − sin φ cos φ (3.1.10) xx2 При увеличении φ вектор вращается вокруг начала координат против часовой стрелки. В результате дифференцирования (3.1.10) по φ мы получаем дифференциальные уравнения     0 1 − sin φ cos φ d   = (x1 (φ), x2 (φ))  (x1 (φ), x2 (φ)) = (x1 , x2 ) ·  dφ −1 0 − cos φ − sin φ Преобразования (3.1.10) полностью определяются этими дифференциальными уравнениями и начальными условиями: (x1 (0), x2 (0)) = (x1 , x2 ). Далее мы имеем dn (x1 (φ), x2 (φ)) = (x1 (φ), x2 (φ)) in ⇒ dφn ! dn 1 n T (gφ ) = T (gφ ) i , i := −1 0 dφn (3.1.11) eqiphi и для малых углов φ мы получаем ряд T (gφ ) = I + φ i + ∞ X φ2 2 φ3 3 (φi)k i + i + ... = , 2! 3! k=0 k! (3.1.12) info2 где I - (2 × 2) единичная матрица. Полное решение уравнений (3.1.11) имеет вид  T (gφ ) =  cos φ sin φ − sin φ cos φ   = ei φ . (3.1.13) ephi Т.о. любой элемент группы SO(2) полностью определяется "экспонициированием"оператора i с некоторым коэффициентом φ (φ называется параметром группы). Такой оператор i называется инфинитезимальным генератором группы SO(2), или образующей алгебры Ли для группы SO(2) (алгебры Ли будут подробно обсуждаться в следующей лекции). Из соотношений (3.1.12) и (3.1.13) следует, что генератор i можно определить по формуле d =i, T (gφ ) dφ φ=0 (3.1.14) gen02 имея ввиду, что T (gφ )|φ=0 = T (e) = I. Т.е., инфинитезимальный генератор определяет поведение элементов группы вблизи единичного элемента. 88 Равенство (3.1.13) можно переписать в виде:   cos φ sin φ − sin φ cos φ   = I cos φ + i sin φ = eiφ , и интерпретировать его как матричный аналог тождество Эйлера eiφ = cos φ + i sin φ (в котором мнимая единица i заменена на матрицу i). Заметим, что соотношение ортогональности (3.1.4) становится элементарным с учетом свойства антисимметричности генератора i: T i = 0 1 −1 0 !T = 0 −1 1 0 ! = −i . и экспоненциального представления (3.1.13). Действительно, мы имеем  T (gφ )T (gφ )T = eφi eφi T T = eφ i eφ i = eφ i e−φ i = I . Замечание. Все сказанное выше можно обобщить следующим образом. Если gφ – преобразование, зависящее от одного параметра φ, удовлетворяющее gφ+φ′ = gφ gφ′ и имеющее разложение gφ = 1 + φX + O(φ2 ), то преобразования gφ представимы в виде gφ = exp(φX) и оперетор X называется инфинитезимальным генератором однопараметрического преобразования gφ . Пример. Рассмотрим произвольную антисимметричную 3 × 3 матрицу         3 0 φ1 −φ2 0 10 0 0 −1 0 0 0 X         A(φi ) =  −φ1 0 φ3  = φ1 −1 0 0  + φ2  0 0 0  + φ3  0 0 1  =: φ i Si i=1 φ2 −φ3 0 0 00 10 0 0 −1 0 где три матрицы Si образуют базис в линейном пространстве антисимметричных матриц A. Рассмотрим трех-параметрическую матрицу T (gφ1 ,φ2 ,φ3 ) = e(φ1 t1 +φ2 t2 +φ3 t3 ) = eA(φi ) . Эта матрица является ортогональной  T (gφ1 ,φ2 ,φ3 )T (gφ1 ,φ2 ,φ3 )T = eA(φi ) eA(φi ) T T = eA(φi ) eA(φi ) = eA(φi ) e−A(φi ) = I , более того det(T (gφ1 ,φ2 ,φ3 )) = 1, т.к. TrA(φi ) = 0 и, следовательно, T (gφ1 ,φ2 ,φ3 ) ∈ SO(3), а матрицы Si называются инфинитезимальными генераторами группы SO(3). Некомпактная группа SO(1, 1). Аналогично можно рассмотреть группу O(1, 1) - двумерный аналог группы Лоренца. 89 Преобразования группы O(1, 1) в двумерном пространстве сохраняют квадратичную форму x21 − x22 = (x1 + x2 )(x1 − x2 ) . (3.1.15) form11 Соответствующие преобразования координат (x1 , x2 ) можно получить, если выделить комбинации x± = (x1 ± x2 ), аналогичные координатам (x1 ± ix2 ) для груп- пы SO(2) в евклидовом случае. При этом преобразования x± , сохраняющие форму (3.1.15), очевидно имеют вид одного из следующих 4-х типов I.) x+ → (x1 + x2 )′ = eφ (x1 + x2 ) , x− → (x1 − x2 )′ = e−φ (x1 − x2 ) , P T.) x+ → (x1 + x2 )′ = −eφ (x1 + x2 ) , x− → (x1 − x2 )′ = −e−φ (x1 − x2 ) , P.) x+ → (x1 + x2 )′ = eφ (x1 − x2 ) , x− → (x1 − x2 )′ = e−φ (x1 + x2 ) , T.) x+ → (x1 + x2 )′ = −eφ (x1 − x2 ) , x− → (x1 − x2 )′ = −e−φ (x1 + x2 ) . (3.1.16) boost Эти типы соответствуют связным компонентам единичного преобразования I, пространственного отражения P , инверсии времени T и полного отражения P T :  I = 1 0 0 1    , P = 1 0 −1    , T = −1 0 1    , PT = −1 −1   , (мы интерпретируем x1 и x2 как временную и пространственную компоненты, соответственно). Рассмотрим тип I.) этих преобразований (которые называются собственными ортохронными; см. ниже лекции о группе Лоренца). Из этого типа следуют преобразования координат (x1 , x2 ) (ср. с (3.1.2)) вида x′1 = x1 chφ + x2 shφ , x′2 = x1 shφ + x2 chφ , где chφ = eφ +e−φ 2 и shφ =  ⇒ (x′1 , x′2 ) = (x1 , x2 ) ·  eφ −e−φ 2 chφ shφ shφ chφ   = (x1 , x2 ) · T (gφ ) , (3.1.17) xx11 – гиперболический косинус и синус, соответственно. Для функций chφ, shφ мы имеем тождество ch2 φ − sh2 φ = 1. Воспользуемся парамет- ризацией −v/c 1 , shφ = q , x1 = ct , x2 = x . chφ = q 2 2 1 − v /c 1 − v 2 /c2 Тогда (3.1.17) эквивалентны преобразованиям Лоренца x−vt t − v x/c2 x′ = q , t′ = q . 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 90 Из тождества ch2 φ − sh2 φ = 1 также следует условие   chφ shφ shφ chφ  1  0 −1   chφ shφ shφ chφ необходимое для сохранения квадратичной формы T   =  ~x2 = x21 − x22 = xi η ij xj = xi xi , ||η ij || =  1   0 −1 1 0 −1   Здесь мы записали квадратичную форму в более удобном виде ~x (3.1.18) kvf1 . 2 = x1 x1 + x2 x2 , с помощью ковариантных, координат с верхними индексами xi = η ij xj (x1 = x1 , x2 = −x2 ). Координаты с нижними индексами (см. ниже лекцию о группе Лорен- ца) мы будем называть контрвариантными. Т.о., с помощью матрицы (метрического тензора) η ij и ее обратной матрицы ηij , мы можем поднимать и опускать индексы у координат векторов. Теперь преобразования контрвариантных векторов определяются следующим образом ′ xi = η ij Tjk ηkm xm = (T −1 )im xm ⇔ ′ x1 ′ x2 !  1 0   chφ shφ = shφ chφ 0 −1 ! 1   1  x x2 0 −1 ! = chφ −shφ −shφ chφ ! x1 x2 ! (3.1.19) cvv1 . Группа SO(1, 1) некомпактна, т.к. ее многообразие (0, +∞), задаваемое областью значений функции eφ , является некомпактным. Бесконечномерные представления групп O(2), O(1, 1). Двумерные поля. 1. Скалярные поля. Рассмотрим пространство F двумерных функций f (x1 , x2 ) , отображающих точки двумерной плоскости в вещественные (или комплексные) числа. Это пространство функций является бесконечномерным. Действие (3.1.10) группы SO(2) на координаты двумерной плоскости индуцирует действие группы SO(2) на пространстве функций F по правилу f (x1 , x2 ) → f ′ (x1 , x2 ), где преобразованная функция имеет вид f ′ (x1 , x2 ) = ĝφ · f (x1 , x2 ) = f (x′′1 , x′′2 ) = f (x1 , x2 , φ) , (3.1.20) tranf и определяется преобразованиями координат (x1 , x2 ) → (x′′1 , x′′2 ) согласно (3.1.10): (x′′1 , x′′2 ) := (x1 (−φ), x2 (−φ)) = (x1 , x2 )T (g−φ ) = = (x1 , x2 ) cos φ − sin φ sin φ cos φ ! (3.1.21) xmp = (x1 cos φ + x2 sin φ, −x1 sin φ + x2 cos φ) . 91 Иными словами, преобразованная функция (поле), вычисленное в преобразованной точке, дает то же самое значение, что и первоначальное поле, вычисленное в исходной точке: f ′ (x′1 , x′2 ) = f (x1 , x2 ), где (x′1 , x′2 ) = (x1 (φ), x2 (φ)). Вещественные (комплексные) функции f (x1 , x2 ), преобразующиеся по такому правилу, называются вещественными (комплексными) скалярными полями. Т.к. пространство функций F бесконечномерно, то (3.1.20) определяет бесконечномерное представление группы SO(2). Инфинитезимальная форма преобразования (3.1.20) имеет вид   f (x1 , x2 , φ) = 1 − φ · L12 + φ2 . . . f (x1 , x2 ) , где L12 = x1 ∂x2 − x2 ∂x1 (∂xi := ∂ ), ∂xi и следует из равенства ∂ f (x1 , x2 , φ) = −L12 f (x1 , x2 , φ) . ∂φ (3.1.22) inff Оператор L12 есть представление инфинитезимального генератора i группы SO(2) на бесконечномерном пространстве функций F . Уравнение (3.1.22) вытекает из формул ∂x1 f ′ = (cos φ ∂x′′1 − sin φ ∂x′′2 )f (x′′1 , x′′2 ) , ∂x2 f ′ = (sin φ ∂x′′1 + cos φ ∂x′′2 )f (x′′1 , x′′2 ) , ∂φ f ′ = (3.1.23) trd   ∂x′′α ∂f ′ ′′ − (x1 cos φ + x2 sin φ)∂x′′ f (x′′1 , x′′2 ) . = (−x sin φ + x cos φ)∂ 1 2 x 2 1 ∂φ ∂x′′α Решение дифф. уравнения (3.1.22) можно записать в виде ĝφ · f (x1 , x2 ) = f (x1 , x2 , φ) = exp (−φ L12 ) · f (x1 , x2 ) , где оператор ĝφ = exp (−φ L12 ) определяет бесконечномерное представление группы SO(2) на пространстве F . Использование комплексных координат (3.1.7) значительно упрощает рассмотрение представлений группы SO(2). Для этих координат мы получаем ∂x1 = ∂z + ∂z̄ , ∂x2 = i(∂z − ∂z̄ ) , L12 = i (z ∂z − z̄ ∂z̄ ) , и уравнение (3.1.22) переписывается в виде ∂φ f (z, z̄, φ) = −i (z ∂z − z̄ ∂z̄ ) f (z, z̄, φ) ⇒ 92 ⇒ f (z, z̄, φ) = e−iφ(z ∂z −z̄ ∂z̄ ) f (z, z̄, 0) = f (e−iφ z , eiφ z̄, 0) , где f (z, z̄, φ) := f (x1 , x2 , φ). В частности мы видим, что голоморфные поля f (z) образуют инвариантные подпространства. Мономы вида z n−k z̄ n (∀n) также образуют инвариантные одномерные подпространства и преобразуются по правилу (z n−k z̄ n ) → eikφ (z n−k z̄ n ). В полярных координатах x1 = r sin θ , (3.1.24) polyar x2 = r cos θ , эти мономы имеют вид (z n−k z̄ n ) = r 2n−k e−ikθ и поле f (x1 , x2 ) разлагается в ряд по неприводимым представлениям SO(2): f (r sin θ, r cos θ) = ∞ X fn (r) einθ . (3.1.25) frphi n=−∞ Пусть теперь поле f (z, z̄) – решение двумерного уравнения Клейна - Гордона   4 ∂z ∂z̄ + m2 f (z, z̄) = 0 ,  4 ∂z ∂z̄ = ∂x21 + ∂x22  , (3.1.26) lapl где m некоторая константа, независящая от (z, z̄). Если f (z, z̄) – решение уравнения (3.1.26), то и преобразованное поле f (z, z̄, φ) (3.1.20) есть решение уравнения (3.1.26), т.к. при преобразованиях координат (3.1.21) мы имеем ∂z → eiφ ∂z , ∂z̄ → e−iφ ∂z̄ и, сле- довательно, лапласиан ∂z ∂z̄ инвариантен относительно таких преобразований. Т.е. решения уравнения (3.1.26) образуют инвариантное подпространство в бесконечномерном постранстве функций F и, т.о., определяеют подпредставление группы SO(2) в F . Это подпредставление нумеруется числом m. Уравнение (3.1.26) можно записать в полярных координатах (3.1.24)  ∂x21 + ∂x22 2 +m    1 1 f (x1 , x2 ) = 2 (r∂r )2 + 2 ∂φ2 + m2 f (r sin φ, r cos φ) = 0 , (3.1.27) laplpol r r где мы воспользовались равенством (3.1.22) (которое можно переписать в виде xj ∂i )2 = 2∂φ2 ) и 1 (xi ∂j 2 P ij (xi ∂j − − xj ∂i )2 = (xi ∂j )2 − xi ∂j xj ∂i = xi ∂i + x2i ∂j2 − xi (xj ∂j )∂i − d xi ∂i = = x2i ∂j2 + (2 − d)xi ∂i − (xi ∂i )2 = r 2 ∂j2 + (2 − d)r∂r − (r∂r )2 , где предполагается суммирование по повторяющимся индексам, r 2 = x2i , r∂r = xi ∂i и d = 2- размерность пространства. Пользуясь разложением (3.1.25) поля f (x1 , x2 ) в ряд по неприводимым представлениям SO(2), мы сводим (3.1.27) к решению спектральной задачи ! n2 1 2 (r∂ ) − + m2 fn (r) = 0 . r r2 r2 93 Для задания действия полной группы O(2) на функции f (x1 , x2 ) ∈ F нам необхо- димо определить действие на f (x1 , x2 ) оператора отражения r̂ ∈ O(2). В соответствии с представлением (3.1.6) мы имеем (3.1.28) reflof r̂ · f (x1 , x2 ) = f ((x1 , x2 )T (r̂)) = f (−x1 , x2 ) . Оператор r̂, вместе с единичным оператором, образует абелеву группу C2 , неприводимые представления которой – одномерны. Из соотношения r̂ 2 = 1 следует, что одномерные неприводимые представления оператора r̂ можно реализовать следующим образом r̂ · f± (x1 , x2 ) = f± (−x1 , x2 ) = ±f± (x1 , x2 ) , где функции f+ (x1 , x2 ) и f− (x1 , x2 ) называются скалярными и псевдоскалярными полями, соответственно. 2. Векторные двумерные поля. Т.к. функции f ′ в формулах (3.1.23) произвольны, то из этих формул мы в частности получаем закон преобразования вектора ∂i := ∂xi при преобразовании координат (3.1.21) (x1 , x2 ) → (x′′1 , x′′2 ) ∂1 ∂2 ! → ∂1′′ ∂2′′ ! = cos φ sin φ − sin φ cos φ ! ∂1 ∂2 ! = T (gφ ) ∂1 ∂2 ! (3.1.29) dmp Преобразование (3.1.29) сразу же следует из (3.1.21) если учесть инвариантность коммутационных соотношений [∂i , xj ] = δij = [∂i′′ , x′′j ]. Рассмотрим теперь двух-компонентное поле A1 (x1 , x2 ) A2 (x1 , x2 ) ! ∂1 f (x1 , x2 ) ∂2 f (x1 , x2 ) := ! (3.1.30) vectf , построенное из поля f (x1 , x2 ), которое преобразуется по правилу (3.1.20) при действии группы SO(2). Пользуясь (3.1.20) и (3.1.29) мы можем найти соответствующие преобразования двух-компонентного поля (3.1.30) A1 (x1 , x2 ) A2 (x1 , x2 ) = cos φ − sin φ sin φ cos φ ! ! → A′1 (x1 , x2 ) A′2 (x1 , x2 ) ∂1′′ f (x′′1 , x′′2 ) ∂2′′ f (x′′1 , x′′2 ) ! ! = ∂1 f (x′′1 , x′′2 ) ∂2 f (x′′1 , x′′2 ) cos φ − sin φ sin φ cos φ = ! ! = A1 (x′′1 , x′′2 ) A2 (x′′1 , x′′2 ) ! (3.1.31) tranvectf Т.о., преобразованное поле A′i , вычисленное в преобразованной точке, дает первоначальное поле, вычисленное в исходной точке, но преобразованное по векторному 94 закону: (A′1 (x′1 , x′2 ), A′2 (x′1 , x′2 )) = (A1 (x1 , x2 ), A2 (x1 , x2 )) cos φ sin φ − sin φ cos φ ! . (3.1.32) vectrf Двух-компонентное поле Ai (x1 , x2 ) (не обязательно представимое в виде (3.1.30)), которое трансформируется при преобразованиях группы SO(2) согласно правилу (3.1.32), называется векторным полем. Инвариантное подпространство в пространстве таких векторных полей выделяется уравнением ∂i (∂i Aj − ∂j Ai ) = 0 . Заметим, что это уравнение обладает т.н. калибровочной симметрией Ai (x1 , x2 ) → Ai (x1 , x2 ) + ∂i α(x1 , x2 ), где α(x1 , x2 ) – произвольная не сингулярная функция. Если задано некоторое векторное поле Ai (x1 , x2 ), то можно определить тензорное поле 2-ого ранга Aij (x1 , x2 ) = ∂i Aj − ∂j Ai , и так далее – антисимметричное поле n-ого ранга Ai1 ...in (x1 , x2 ) строится из антисимметричного поля n − 1-ого ранга Ai1 ...in−1 (x1 , x2 ) как антисимметризованная по индексам (i1 . . . in ) комбинация выражений ∂i1 Ai2 ...in (x1 , x2 ). 3. Бесконечномерные представления группы O(1, 1). Производные ∂ i := ∂ ∂xi удовлетворяют коммутационным соотношениям [xi , ∂ j ] = δij , ~ соответствующее поэтому преобразование координат ∂ i контрвариантного вектора ∂, преобразованию (3.1.17), имеет вид ∂1 ∂2 ! → ′ ∂1 ′ ∂2 ! = chφ −shφ −shφ chφ ! ∂1 ∂2 ! =T −1 1 (gφ ) ∂ 2 ∂ ! (3.1.33) dmp1 Уравнение Клейна - Гордона (3.1.26), выделяющее инвариантные подпространства для некомпактной группы SO(1, 1), переписывается в виде  где ∂± =    ∂x21 − ∂x22 + m2 f (x1 , x2 ) = 4 ∂+ ∂− + m2 f (x1 , x2 ) = 0 , (3.1.34) lapl0 ∂ . ∂x± В квантовой механике компоненты вектора энергии-импульса (p1 , p2 ) являют- ся операторами, которые не коммутируют с координатами x1 , x2 , а удовлетворяют коммутационным соотношениям [xi , pj ] = ih̄gij (i, j = 1, 2), где h̄ некоторая константа (постоянная Планка), а gij = diag(1, −1) определяет квадратичную форму 95 x21 − x22 = xi g ij xj . Т.о., мы можем реализовать компоненты вектора энергии-импульса в виде дифференциальных операторов (p1 , p2 ) = (−ih̄∂x1 , −ih̄∂x2 ), pi = gij pj , а уравнение Клейна - Гордона (3.1.26) переписать в виде   1 − − 2 m2 f (x1 , x2 ) = 0 . h̄ Решениями этого уравнения являются плоские волны p21 p22 (3.1.35) lapl1 f (x1 , x2 |k1 , k2 ) = f0 (k1 , k2 ) exp(i(x1 k1 + x2 k2 )) =: f0 (~k) exp(i~k~x) , (3.1.36) solkg f0 называется амплитудой плоской волны. Если интерпретировать компоненту p1 как энергию, то уравнение (3.1.35) имеет существенный недостаток. А именно, т.к. (3.1.35) квадратично по p1 , то это уравнение наряду с решениями обладающими положительной энергией k1 = E > 0, должны иметь решения с отрицательной энергией k1 = −E < 0. Решение этой проблемы заключается в том, что необходимо найти релятивистское уравнение первого порядка по импульсам (производным), и при этом описывающее свободную частицу (т.е. из уравнения первого порядка по pi должно следовать уравнение (3.1.35)). Таковым является уравнение Дирака в 2-ом случае, которое мы будем искать в виде m ) ψ(~x) = 0 , (3.1.37) dir2 h̄ где γ i – некоторые объекты, такие, что умножение (3.1.37) слева на (γ i pi − m ) должно h̄ (γ i pi + приводить к (3.1.35). Т.о. имеем m 1 m2 m i )(γ pi + ) = (γ i γ j + γ j γ i )pi pj − 2 h̄ h̄ 2 h̄ i и следовательно γ являются некоммутирующими операторами, которые должны (γ i pi − удовлетворять соотношениям: i j j i ij ij ||g || = γ γ +γ γ =g , 1 0 0 −1 ! . Например мы можем выбрать представление для γ i в виде двумерных матриц Паули 1 γ = 0 1 1 0 ! 2 , γ = 0 −1 1 0 ! , при этом ψ(x1 , x2 ) становится двухкомпонентным объектом ψ = Дирака (3.1.37) принимает вид m ψ + (p1 − p2 )ψ2 = 0 , h̄ 1 m ψ + (p1 + p2 )ψ2 = 0 h̄ 1 , m ψ + (p1 + p2 )ψ1 = 0 ⇒ h̄ 2 m ψ + (p1 − p2 )ψ1 = 0 , h̄ 2 96 ψ1 ψ2 ! и уравнение Пусть ψ1 = R d2 kei(x1 k1 −x2 k2 ) ψ(~k), тогда 2 ψ2 = − h̄m ψ1 = h̄3 m2 R d2 kei(x1 k1 −x2 k2 ) (k1 + k2 )ψ(~k) R 2 i(x k −x k ) 2 d ke 1 1 2 2 (k − k 2 )ψ(~k) 1 2 Для моментов свободных частиц с массами ma в двумерном прострастве мы имеем (p1a )2 − (p2a )2 = m2a . Удобно вместо моментов пользоваться быстротами θa p1a = ma chθa , p2a = ma shθa . Двух частичная S-матрица становится функцией разности быстрот двух сталкивающихся частиц θab = θa − θb , и эта разность тесно связана с инвариантом sab в s-канале sab = (pa + pb )2 = m2a + m2b + 2ma mb chθab . Упражнения. 1. Вывести равенство ei φ = I cos φ + i sin φ, пользуясь определением матрицы ei φ и разложениями функций sin и cos в ряды Тейлора. 2. Пусть b – параметр, λ(b), f (b) – функции от b, а матрицы  g(b) = λ(b)  1 f (b) 1   , образуют однопараметрическую группу Ли: g(b1 )g(b2 ) = g(b1 + b2 ). Доказать, что функции λ(b), f (b) имеют вид: λ(b) = bx и f (b) = y ln(b), где x, y ∈ C – фиксированные константы. Данная группа обобщает группу масштабных преобразований. 3.2 Лекция 9. Многообразия. Непрерывные группы Ли. Компактные и некомпактные группы. Общее определение алгебр Ли. Непрерывные группы Ли. Группа O(2) дает нам пример группы бесконечного порядка, для множества элементов которой заданы геометрические свойства, такие как близость ее элементов. Например, близость элемента gφ ∈ SO(2) к единичному элементу определяется формулами (3.1.12), (3.1.14). Более того, элементы группы O(2) могут рассматриваться как точки некоторого гладкого пространства, в котором можно ввести координаты (параметры группы), можно дифференцировать функции на этом пространстве и 97 т.д. Действительно, пространство элементов группы SO(2) параметризуется углом φ ∈ [0, 2π] (см. (3.1.1)) и гомеоморфно окружности S 1 – компактному гладкому пространству. Пространство группы O(2) более сложное, оно состоит из двух несвязных друг с другом компонент, т.е. двух окружностей S 1 , одна из которых получается непрерывными преобразованиями из единичного элемента I · eφi (0 ≤ φ ≤ 2π) (это пространство группы SO(2), т.к. eφi ∈ SO(2)), а вторая получается непрерывными преобразованиями из оператора отражения T (r) (3.1.6): T (r)·eφi. Непрерывными пре- образованиями (с помощью умножения на элементы из SO(2)) мы не можем перейти из одной компоненты в другую, т.к. T (r) ∈ / SO(2). Непрерывная однопараметрическая группа SO(2) определялась соотношениями (3.1.1). В частности произведение двух элементов gφ , gψ (с параметрами φ и ψ) равнялось элементу gχ , где χ = φ + ψ. В случае общей непрерывной группы G ее элементы ~ могут параметризоваться некоторым набором координат {φ1 , φ2 , . . . , φN } =: φ, ~ g(φ) при этом основное групповое свойство записывается в виде   ~ g(ψ) ~ =g χ ~ ψ ~) , g(φ) ~ (φ, (3.2.1) ggg ~ ψ) ~ определяет непрерывную группу G. Т.к. имеется свобода где вектор-функция χ ~ (φ, ~ ~ = I. Если ков выборе параметров, то удобно их зафиксировать так, чтобы g(φ)| φ=0 ~ ψ) ~ (i = 1, . . . N) вектора χ ординаты χi (φ, ~ , задающего произведение двух элементов, ~ и ψ, ~ оказываются дифференцируемыми функциями от координат сомножителей φ то группа G называется группой Ли. C другой стороны раз элементы группы G параметризуются N- координатами, то множество элементов группы G может рассматриваться как N- мерное пространство (каждому элементу G соответствует точка некоторого N- мерного пространства), а ~ ψ) ~ гарантирует нам то, что это пространство дифференцируемость функций χ ~ (φ, является гладким (по крайней мере локально, это следует из группового свойства ~ или ψ). ~ Т.о., мы приходим к следующему определению: (3.2.1) при малых φ Определение 3.2.1 Группа бесконечного порядка, множество элементов которой образует гладкое (дифференцируемое) многообразие, называется группой Ли. Это определение требует введения понятия многообразия. Строгая формулировка понятия многообразия была дана в работах К.Ф. Гаусса11 , который занимался исследованиями в области геодезии и картографии земной поверхности. Поэтому, прежде 11 Краткая биография приведена в Приложении. 98 чем дать математическое определение многообразия, обсудим проблему картографии земной поверхности. Все способы построения карт для поверхности земного шара сводятся к одной процедуре: к проекции отдельных участков выпуклой земной поверхности на плоскость. Очевидно, что целиком сферическую поверхность спроецировать на плоскость невозможно. Более того, при проекции больших участков земной поверхности неизбежно возникают искажения. Чем меньше участки земной поверхности, тем больше они похожи на плоские куски и, соответственно, меньше искажения на плоских картах, отображающих отдельные участки. Один из способов разрезать сферу на участки, близкие к плоским, заключается в том, что мы разрезаем ее по двум меридианам, а затем получившиеся "дольки"режем по параллелям на куски "прямоугольной формы". Эти куски уже можно, достаточно точно, отобразить на плоскость, чтобы получить набор соответствующих карт. Для того, чтобы путешествовать, имея на руках набор таких карт (этот набор называется атласом), на большие растояния (которые не покрываются одной картой), необходимо иметь некоторое перекрытие имеющихся карт B


-C

A Рис. Атлас, необходимый для путешествия A → B → C Такое перекрытие позволяет узнать в каком месте мы, покидая местность, соответствующую первоначальной карте, привязываемся к следующей карте. С математической точки зрения (для общности) это означает, что мы должны иметь перекрывающиеся карты, которые соответствуют открытым подмножествам исследуемого пространства. В конце концов, весь сложный объект (например, сфера) получается склейкой (сшивкой) более простых объектов (однозначно отображающихся на участки плоскости – карты) по их общей части. Эта идея (представление сложного пространства как склейки большого числа простых пространств, ”подобных” плоским) лежит в основе изучения большого числа геометрических объектов, которые называются многообразиями. В определенном смысле мы уже встречались с процедурой склейки, когда в лекции 4 обсуждали теорему Эйлера. Двумерные поверхности мы аппроксимировали объектами, которые получались склейкой плоских многоугольников по их ребрам; в результате мы полу- 99 чали негладкие ”многообразия” с особенностями, располагающимися на ребрах и в вершинах. В общем случае поверхность M такова, что ее локальные куски U (α) ⊂ M одно- значно отображаются в ”плоские” m- мерные области V (α) (размерность V (α) и определяет размерность M) некоторого m- мерного евклидова пространства, а в качестве локальных координат точек в U (α) можно выбрать прообразы координат соответствующих точек в V (α) . Далее, пользуясь возможностью определения локальных координат, можно определить на перекрывающихся кусках U (α) ∩U (β) 6= ∅ функции перехода от одних координат к другим и выяснить – являются ли эти функции дифференцируемыми (гладкими), что дает возможность определить гладко ли сшиваются разные куски U (α) и, следовательно, ввести понятие гладкого или дифференцируемого многообразия. Теперь мы готовы дать строгое определение гладкого многообразия. Определение 3.2.2 Дифференцируемым (гладким) m- мерным многообразием называется множество точек M, снабженное структурой, называемой "атласом т.е. множество M покрыто совокупностью своих открытых подмножеств U (α) , называемых "локальными картами так что M = ∪α U (α) . Причем: 1. Установлено взаимно-однозначное отображение φ(α) : U (α) → V (α) , где V (α) – неко- торая открытая область евклидова пространства Rm с координатами {y1 , . . . , ym }. (α) Это отображение определяет на множестве U (α) набор функций xk : U (α) → R, (α) называемых локальными координатами любой точки P ∈ U (α) : xk (P ) = yk (φ(α) (P )) (k = 1, . . . , , m). 2. Одна и та же точка P множества M может принадлежать различным локальным картам P ∈ U (α) ∩ U (β) . В пересечении локальных карт U (α) ∩ U (β) действуют (α) (β) уже две системы локальных координат {xk }, {xk }. Требуется, чтобы каждая из указанных систем локальных координат во всех таких пересечениях U (α) ∩ U (β) гладко (т.е. соответствующие функции должны быть бесконечное число раз дифференцируемы) выражалась одна через другую и обратно (α)  −1 (β)  xk = yk φ(α) φ(β) (x1 , . . . , x(β) m ) . Наконец функции перехода из одной координатной системы в другую должны быть невырожденными (α) det( ∂xk (β) ∂xj ) 6= 0 . Простейшие примеры многообразий (какого-либо числа измерений, скажем m) это поверхности M, вложенные в n- мерное евклидово пространство Rn большего 100 числа измерений n > m. Поверхность M можно задавать в Rn с помощью набора независимых уравнений fA (x1 , . . . , xn ) = 0 , (A = 1, 2, . . . , n − m) , где {xi } – координаты в Rn . Т.к. число уравнений равно n − m, то мы можем использовать их для определения n − m координат xi через оставшиеся m – независимых. Т.о., n−m уравнений в Rn в общем случае задает m- мерную поверхность. Например, единичная сфера S 3 задается в R4 одним уравнением: x21 + x22 + x23 + x24 − 1 = 0. Примеры многообразий некоторых групп Ли. 1. Групповое многообразие группы всех трансляций в Rn совпадает с самим пространством Rn . 2. Группа, которая обозначается GL(n, R) (или GL(n, C)), n × n матриц A = ||aij || с детерминантом, не равным 0, над полем вещественных R (или комплексных C) чисел представляет собой n2 - мерное (или 2n2 - мерное в комплексном случае) вещественное пространство с координатами {aij } (или {Re(aij ), Im(aij )}) за исключением поверхности det(A) = 0. 3. Группа вещественных (комплексных) матриц с детерминантом равным 1, обозначается SL(n, R) (или SL(n, C)) задается одним уравнением det(A) = 1. Это уравнение определяет (n2 − 1)- мерную вещественную (комплексную) гиперповерхность в n2 - мерном вещественном (комплексном) пространстве. 4. Группа вещественных ортогональных матриц O ∈ O(n) и соответствующее мно- гообразие задается системой уравнений O · O T = I, где I – единичная матрица (т.к. матрица O · O T – симметрична, то число независимых уравнений равно n(n + 1)/2). 2 Размерность этого вещественного подмногообразия в Rn равна n(n − 1)/2. 5. Группа унитарных матриц U ∈ U(n) задается системой уравнений U · U † = I (т.к. матрица U · U † – эрмитова, то число независимых вещественных уравнений равно 2 · n(n − 1)/2 + n). Соответствующее многообразие имеет вещественную размерность n2 . 6. Группа специальных унитарных матриц U ∈ SU(n) задается системой уравнений U · U † = I, det(U) = 1. Соответствующее многообразие имеет вещественную размерность n2 − 1. 7. Упражнение. Написать вид уравнений, определяющих многообразие симплектических групп. 101 Определение 3.2.3 Группа Ли называется компактной (некомпактной) если соответствующее многообразие группы компактно (некомпактно). Напомним, что множество M называется компактным, если из любого покрытия M открытыми множествами можно всегда выделить конечное подпокрытие. Определение 3.2.4 Две одномерные кривые, лежащие в некотором многообразии M, называются гомотопными если они могут быть переведены друг в друга с помощью непрерывных преобразований. Если все замкнутые кривые в M гомотопны друг другу, то такое многообразие M называется 1-связным или просто связным. Если в M существует m замкнутых кривых, которые негомотопны, то такое многообразие называется m- связным. Примеры. 1. Многообразие состоящее из двух непересекающихся шаров в R3 является несвязным. Каждый из шаров представляет собой односвязные многообразия. 2. Шар в R3 , у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной сферы, является двух-связным многообразием. 3. Окружность S 1 бесконечно-связна, т.к. замкнутая кривая, которая k раз оборачивается вокруг окружности, не может быть непрерывно деформирована в кривую, оборачивающуюся вокруг окружности n 6= k раз. Общее определение алгебр Ли. Определение обычной алгебры приведено выше, см. Определение 2.6.5. Дадим теперь определение алгебры Ли для некоторой группы Ли G. Пусть G – ~ = {φ1 , . . . , φN }. Т.е. G является NN-параметрическая группа Ли c параметрами φ ~ ∈ G. Пусть параметры {φi } выбраны так, что мерным гладким многообразием и g(φ) g(φ1 . . . , φN )|φ=0 = e, где e – единичный элемент группы G. Определим образующие ~ группы G по формуле (сравните с (3.1.14), (3.3.17)) ∂φi g(φ1, . . . , φN ) ~ φ=0 = Ŝi , (3.2.2) genLi (вообще говоря частную производную от элементов группы G можно определить только на групповой алгебре группы G, то есть на векторном пространстве, натянутом на групповые элементы как на базис). Другими словами вблизи единичного ~ = 0) мы имеем разложение элемента (около точки φ g(φ1, . . . , φN ) = e + φi Ŝi + φi φj Ŝij + φi φj φk Ŝijk + . . . , 102 (3.2.3) gsss где операторы Ŝi , Ŝij , . . . не зависят от φi и кроме того их можно выбрать симметричными по перестановке индексов: Ŝij = Ŝji , . . .. Рассмотрим групповое свой~ ψ) ~ определяет группу G и удовлетворяет уравнениям ство (3.2.1), где функция χ ~ (φ, ~ 0) = φ ~=χ ~ из которых следует разложение для χ χ ~ (φ, ~ (0, φ), ~ ψ) ~ = φi + ψ i + f i φk ψ j + . . . , χi (φ, kj (3.2.4) chi0 i где fkj – некоторые константы. Перепишем соотношение (3.2.1) вблизи единичного элемента с учетом (3.2.4) и с точностью до 2-ого порядка малости по φ и ψ (e + φi Ŝi + φi φj Ŝij + . . .)(e + ψ i Ŝi + ψ i ψ j Ŝij + . . .) = (e + χi Ŝi + χi χj Ŝij + . . .) = i k j φ ψ + . . .)Ŝi + (φi + ψ i + . . .)(φj + ψ j + . . .)Ŝij + . . . , = e + (φi + ψ i + fkj или e + φi Ŝi + ψ i Ŝi + φi ψ j Ŝi Ŝj + φi φj Ŝij + ψ i ψ j Ŝij + . . . = i k j = e + (φi + ψ i + fkj φ ψ + . . .)Ŝi + (φi φj + 2φi ψ j + ψ i ψ j + . . .)Ŝij + . . . . Сравнивая члены второго порядка, мы получаем условие на элементы Ŝi , Ŝij φi ψ j Ŝi Ŝj = fijk φi ψ j Ŝk + 2φi ψ j Ŝij ⇒ Ŝi Ŝj = fijk Ŝk + 2Ŝij . (3.2.5) s-ss Это условие, с учетом симметрии Ŝij = Ŝji , переписывается в виде Ŝj Ŝi = fjik Ŝk + 2Ŝij . Вычитая последнее равенство из (3.2.5), мы выводим структурные соотношения для образующих Ŝi : [Ŝi , Ŝj ] = tkij Ŝk , (3.2.6) li где константы tkij = fijk − fjik , обладающие симметрией tkij = −tkji , называются структурными константами. Заметим, что согласно (3.2.5) оператор Ŝij выражается через образующие Ŝi . Более того можно показать, что при определенном выборе параметров все операторы Ŝi , Ŝijk , . . ., возникающие в разложении (3.2.3) выражаются только через образующие Ŝi . Т.о., любой элемент группы Ли, представимый в виде ряда (3.2.3), определяется только набором операторов Ŝi . Рассмотрим теперь линейное пространство L над полем чисел K, которое натянуто на Ŝi , как на базисные векторы, т.е. φi Ŝi ∈ L ∀φi ∈ K. Это пространство замечательно тем, что мы можем определить в нем умножение векторов согласно правилу (3.2.6). При этом мы можем забыть, что умножение [, ] есть коммутатор, потребовав лишь выполнения соответствующего набора аксиом для такого умножения. Итак, мы приходим к определению: 103 Определение 3.2.5 Алгеброй Ли называется линейное (векторное) пространство L, элементы которого можно умножать друг на друга с помощью операции [, ] : L ⊗ L → L согласно правилу [Ŝi , Ŝj ] = tkij Ŝk , где Ŝi (i = 1, . . . , l) – базисные векторы в пространстве L (образующие алгебры Ли), а константы tkij ∈ C называются структурными константами алгебры Ли в базисе Ŝi . Умножение [, ] удовлетворя- ет следующим аксиомам: 1.) умножение антисимметрично [Ŝi , Ŝj ] = −[Ŝj , Ŝi ] , (3.2.7) anti [Ŝi , αŜj + β Ŝk ] = α[Ŝi , Ŝj ] + β[Ŝi , Ŝk ] (α, β ∈ C) , (3.2.8) bilin 2.) билинейно 3.) удовлетворяет тождеству [[Ŝi , Ŝj ], Ŝk ] + [[Ŝk , Ŝi ], Ŝj ] + [[Ŝj , Ŝk ], Ŝi ] = 0 , (3.2.9) jacob которое называется тождеством Якоби. В соответствии с (3.2.7) и (3.2.9), структурные константы tkij (явный вид которых зависит от выбора базиса Ŝi в пространстве L) удовлетворяют тождествам n m n m n tkij = −tkji , tm ij tmk + tki tmj + tjk tmi = 0 . (3.2.10) jactt Заметим, что в общем случае алгебра Ли не ассоциативна: [[Ŝi , Ŝj ], Ŝk ] 6= [Ŝi , [Ŝj , Ŝk ]]. Вместо условия ассоциативности имеется тождество Якоби (3.2.9). Напомним, что мы пришли к Определению 3.2.5 алгебры Ли рассматривая ассоциативную алгебру, в которой элементы Ŝi (задающие базис в L) можно было умножать друг на друга (см. например (3.2.5)). Т.е. элементы Ŝi образовывали еще и бесконечно-мерную ассоциативную алгебру U(L) с базисом {e, Ŝi , Ŝi Ŝj , Ŝi Ŝj Ŝk , . . .} (i ≤ j ≤ k ≤ . . .) так, что операция [, ] реализовывалась как коммутатор в алгеб- ре U(L) (см. (3.2.6)), т.е., [a, b] = ab − ba (∀a, b ∈ U(L)). Антисимметрия (3.2.7), билинейность (3.2.8) и тождество Якоби (3.2.9) для коммутатора [, ] выполняются автоматически. Определение 3.2.6 С любой алгеброй Ли L можно связать бесконечно-мерную ассоциативную алгебру U(L), которая называется обертывающей алгеброй алгебры Ли L. 104 Определение 3.2.7 Линейный гомоморфизм алгебры U(L) в алгебру матриц на- зывается (матричным) представлением обертывающей алгебры Ли U(L). Примеры. 1. Матрица i (3.1.12) является единственной образующей абелевой группы SO(2). 2. Рассмотрим произвольный элемент g группы SL(2, C) близкий к единичному 1 0 0 1 i g(φ ) = ! φ1 φ2 φ3 φ4 + ! 1 + φ1 φ2 3 φ 1 + φ4 + ... = ! (3.2.11) gsl2 + ... , где параметры φi ∈ C - малы. Условие 1 = det(g) = 1 + (φ1 + φ4 ) + . . . дает связь φ4 = −φ1 , т.е. группа SL(2, C) имеет только три независимых комплексных параметра. Согласно (3.2.2) положим 2 H = ∂φ1 g(φi ) ~ φ=0 , e+ = ∂φ2 g(φi ) ~ φ=0 , e− = ∂φ3 g(φi ) ~ φ=0 , где три бесследовые матрицы  e+ =  0 1 0 0   ,  e− =  0 0 1 0   , образуют базис в алгебре Ли группы SL(2, C).   1 0 1  , H=  2 0 −1 (3.2.12) li1 3. У любой алгебры Ли L имеется матричное представление ρ = ad: ad(Ŝi )kj = tkij , (3.2.13) adrep где tkij – структурные константы алгебры Ли L. Действительно, нетрудно проверить, что структурное соотношение (3.2.6) в этом представлении эквивалентно тождеству Якоби для структурных констант tkij (второе соотношение в (3.2.10)), что доказывает гомоморфность отображения ad (3.2.13). Представление ad (3.2.13) называется присоединенным. Очевидно, что размерность присоединенного представления L равна размерности алгебры Ли L. Пользуясь присоединенным представлением (3.2.13),   в алгебре Ли L можно ввести метрику gij = Tr ad(Ŝi )ad(Ŝj ) = tkim tm jk , которая называется метрикой Киллинга. Итак, с каждой группой Ли G связана своя алгебра Ли L – алгебра инфините~ и правые Gg(ψ) ~ инфинизимальных образующих (3.2.2). Рассматривая левые g(ψ)G ~ → 0) сдвиги на группе G, мы приходим к заключению, что алгебра тезимальные (ψ Ли задает векторные поля на группе Ли: ~ i g(φ) ~ = Lji (φ) ~ Ŝj , ∂i g(φ)g ~ −1(φ) ~ = Rij (φ) ~ Ŝj , g −1 (φ)∂ 105 и определяет локальные свойства соответствующей группы Ли. Отметим, однако, что многообразия могут иметь одинаковые локальные свойства, но отличаться с глобальной точки зрения. Например, из одной и той же полоски бумаги можно склеить лист Мебиуса, или обычное кольцо, которые локально совпадают, но глобально представляют собой совершенно разные многообразия. Отсюда следует, что с одной и той же алгеброй Ли могут быть связаны разные группы Ли, многообразия которых отличаются глобальными свойствами. C формальной точки зрения (оставляя в стороне вопросы сходимости) ряд (3.2.3) может быть просуммирован   g(φi ) = exp φi Ŝi = ∞ X k=0  φi Ŝi k! k (3.2.14) group , и множество экспоненциальных преобразований (3.2.14) должно образовывать группу Ли. То, что множество элементов (3.2.14) действительно образует группу следует из тождества Кэмпбелла–Хаусдорфа eX eY = e(X+Y )+(1/2) [X,Y ]+(1/12) [X−Y,[X,Y ]]+... (3.2.15) cemb где X, Y некоммутирующие операторы. Т.к. в правой части (3.2.15), в показателе экспоненты, появляются только коммутаторы (относительно которых алгебра Ли замкнута (3.2.6)), то для произведения элементов (3.2.14) мы формально имеем групповое свойство (3.2.1)      exp φi Ŝi exp ψ i Ŝi = exp χi (φk , ψ m ) Ŝi  где функции χi (φk , ψ m ) = φi + ψ i + 12 tijk φj ψ k + . . . выводятся из (3.2.15) (ср. с (3.2.4)) и определяют структуру группы Ли в окрестности единичного элемента. Замечание. Следует отметить, что не каждый элемент группы Ли (даже из связной компоненты единичного элемента) может быть представлен в виде одной экспоненты от элемента алгебры Ли. Например, элемент группы SL(2, C)   −1 λ −1   , λ 6= 0, λ ∈ C , (3.2.16) 11lam не может быть представлен в виде одной экспоненты от элемента алгебры Ли sl(2) Φ = φ1 H + φ2 e+ + φ3 e− (φi ∈ C) , 106 (3.2.17) 12lam где образующие e± , H заданы в (3.2.12). Действительно, exp(Φ) – верхне-треугольна, только если φ3 = 0. Далее, матрица Φ (3.2.17), а соответственно и exp(Φ), при φ1 6= 0 диагонализуема, в то время как матрица (3.2.16) не диагонализуема. Поэтому, кроме φ3 = 0, мы имеем еще φ1 = 0. Наконец, матрица exp(φ2 e+ ) не может равняться (3.2.16), т.к. у нее на диагонали стоят +1, а не −1. Формула Кэмпбелла–Хаусдорфа По индукции проверяется следующее тождество, справедливое для двух произвольных операторов x и y: xa y = a X k=0 где Пусть f (u) = Df = ∞ X P∞ d | . dt t=0 cn = = ∞ X n−1 X k=0 x̂k .y k=0 k  x̂k .y xa−k , (3.2.18) (3.2.19) Тогда для f (X(t)): a n−1−a x yx  ( n−1 ∞ X X n−1 X  cn n=0   и X(t) операторно-значная функция, X(0) = x, X ′ (0) = y; n a=0 n=0 a x̂.y := xy − yx . n=0 cn u положим D =  a=k ∞ X n=k+1   a k = )  n k+1 где f (k) – k-я производная. ∞ X n=0 cn n−1 a XX a=0 k=0 x̂k .y xn−1−k =   a k ∞ X n=0   cn xn−1−k =   x̂k .y cn n−1 X k=0 ∞ X xn−1−k   n k+1   x̂k .y xn−1−k (3.2.20) 1 x̂k .y f (k+1) (x) , (k + 1)! k=0 Для f (u) = eu получаем: Df = где γ(u) = ∞ X 1 x̂k .y ex = γ(x̂).y ex , (k + 1)! k=0 (3.2.21) eu −1 . u Применим к etx ey = eF (tx,y) : так как d tx y e e dt = xetx ey d y)). γ(F (tx, d F (tx, y) eF (tx,y) = xetx ey , dt Таким образом, γ(F̂ ). dtd F = x, то есть, Поэтому F (x, y) = y + Z d F dt 1 .x. γ(F̂ ) 1 1 = d y)) γ(F (tx, 107 (3.2.22) .x dt , (3.2.23) так как F (0, y) = y; имеем 1 Поэтому d y)) γ(F (tx, 1 γ(u) = = u , eu −1 откуда ∞ X (−1)m−1 tx̂ ŷ log(etx̂ eŷ ) = (e e − 1)m−1 . etx̂ eŷ − 1 m m=1 F (x, y) = y + Z ∞ 1 X (−1)m−1 tx̂ ŷ (e e − 1)m−1 .x dt . m m=1 Интегрирование от 0 до 1 это замена tµ на F (x, y) = y + Qx 1 , µ+1 o (−1)m−1 x̂ ŷ (e e − 1)m−1 .x m m=1 Qx {f (x, y)} := (3.2.25) и мы получаем окончательно ∞ nX где (3.2.24) 1 . degx f (x, y) (3.2.26) cha (3.2.27) Упражнения 1. Доказать, что размерности вещественных многообразий групп GL(n, R), SL(n, R), O(n, R), U(n) и SU(n) соответственно равны: n2 , n2 − 1, n(n − 1)/2, n2 и n2 − 1. 2. Вывести определяющие соотношения [e− , e+ ] =? , [H, e± ] =? для образующих (3.2.12) алгебры Ли sl(2) группы SL(2, C) и доказать, что элемент J 2 = 12 (e+ e− + e− e+ ) + H 2 – централен для sl(2). 3. Найти представление элемента g ∈ SL(2, C) (3.2.16) в виде произведения двух экспонент от элементов алгебры Ли sl(2). 4. Вывести начало (3.2.15) ряда Кэмпбелла-Хаусдорфа из (3.2.26). 3.3 Лекция 10. Группа вращений в трехмерном пространстве O(3). Параметризации группы SO(3). Алгебра Ли группы SO(3). В предыдущих лекциях мы рассматривали группы инвариантности T, W, P правильных многогранников (тетраэдра, куба и икосаэдра), которые очевидно можно вписать в двумерную сферу S 2 , вложенную в трехмерное евклидово пространство R3 . В этой лекции мы будем изучать бесконечномерную группу инвариантности двумерной сферы. Эта группа называется группой вращения O(3) в трехмерном пространстве R3 и состоит из всевозможных вращений вокруг центра сферы O, а также из всевозможных отражений относительно плоскостей, проходящих через точку O. Подгруппа, 108 включающая только вращения (без отражений), называется группой собственных вращений в трехмерном пространстве SO(3). Зададим в R3 систему координат с началом в точке O. Тогда точки на сфере S 2 радиуса R имеют координаты (x1 , x2 , x3 ), которые удовлетворяют уравнениям x21 + x22 + x23 = R2 . (3.3.1) xxr Отметим, что точки сферы S 2 удобно также параметризовать с помощью двух сферических координат (θ, φ): x1 = R cos θ cos φ , x2 = R cos θ sin φ , x3 = R sin θ , (0 ≤ φ ≤ 2π, − π π ≤θ≤ ). 2 2 (3.3.2) sfercor Преобразования симметрии сферы, заданной соотношением (3.3.1), соответствуют преобразованиям координат xi → x′i = xj Aji , (3.3.3) o3tr при которых квадратичная форма (3.3.1) остается неизменной (точки сферы переходят снова в точки сферы) 2 2 2 x′1 + x′2 + x′3 = x21 + x22 + x23 = R2 . (3.3.4) sfera3 Напомним (см. пункт 2, в Лекции 6), что из уравнения (3.3.4) следует условие ортогональности на матрицы A преобразований (3.3.3): (x′i )2 = xj Aji xk Aki = xj xj ⇒ Aji Aki = δjk ⇒ A AT = I , (3.3.5) uslort где I – 3 ×3 единичная матрица. Т.о., любая 3 ×3 ортогональная матрица A является представлением некоторого элемента группы вращений O(3). Из условия AAT = I следует, что det A = ±1 (см. Лекцию 6). Преобразования с det A = +1 образуют подгруппу в O(3). Действительно, для всех ортогональных матриц A1 , A2 таких, что det(A1 ) = +1 = det(A2 ), мы имеем det(A1 A2 ) = det(A1 ) det(A2 ) = +1 и, следовательно, матрица A1 ·A2 также принадлежит этой подгруппе. Эта подгруппа и есть группа собственных вращений SO(3). Компонента группы O(3), состоящая из несобственных вращений A, таких что det A = −1, обозначается O− (3). Все такие элементы могут быть построены как (−I) · SO(3) и мы имеем O(3) = SO(3) ∪ (−I) · SO(3). Параметризации группы SO(3). Группу SO(3) собственных вращений удобно параметризовать следующим образом. Любое вращение в 3-х мерном пространстве можно представить как вращение 109 на определенный угол ψ ∈ [−π, π] вокруг некоторой оси, направление которой за- дается единичным вектором ~n ∈ R3 . Т.о., каждому вращению из SO(3) мы можем сопоставить вектор ψ · ~n, направление которого задается осью вращения, а длина вектора равна ψ. В такой параметризации многообразие группы это шар в R3 с радиусом π, причем диаметрально противоположные точки граничной сферы этого шара должны быть отождествлены, т.к. повороты вокруг оси ~n на углы π и −π тождественны. Очевидно, что такое трехмерное многообразие двух-связно (имеется два типа неэквивалентных замкнутых контуров – обычные контура внутри шара и контура, которые соединяют диаметрально противоположные точки на граничной сфере). Направление ~n = (n1 , n2 , n3 ) можно задать с помощью двух сферических углов (см. (3.3.2)) n1 = cos θ cos φ , (3.3.6) napr n2 = cos θ sin φ , n3 = sin θ . Рассмотрим вращения из группы SO(3), которые близки к тождественному вращению. Для таких вращений 3 × 3 матрицу A, задающую преобразования (3.3.3), можно представить в виде A = I + ψ a + ψ 2 . . . ⇔ Aij = δij + ψaij + ψ 2 . . . (i, j = 1, 2, 3) , (3.3.7) infinit где параметр ψ будем считать малым по сравнению с 1: |ψ| << 1. При этом величину ψ 2 мы считаем пренебрежимо малой по сравнению с ψ. Преобразования (3.3.3) с матрицами (3.3.7), близкими к единичной, называются инфинитезимальными. Условие ортогональности (3.3.5) для матрицы (3.3.7) принимает вид I = (I + ψa + ψ 2 . . .)(I + ψa + ψ 2 . . .)T = I + ψ(a + aT ) + ψ 2 . . . , что в приближении |ψ| << 1 дает условие a + aT = 0. Т.о., матрица ||aij ||, задающая инфинитезимальные преобразования SO(3), должна быть антисимметричной   a12 −a31  ||aij || =   −a12 a23  = a12 S3 + a31 S2 + a23 S1 , a31 −a23 где a12 , a31 , a23 – произвольные параметры и   0 0 0   S1 =  0 0 1  , 0 −1 0     0 0 −1 0 1 0     S2 =  0 0 0  , S3 =  −1 0 0  . 1 0 0 0 0 0 (3.3.8) tro11 В случае малого поворота вокруг оси ~n (3.3.6) эта матрица должна выражаться через углы (θ, φ), задающие ось ~n. Повороты вокруг выделенных осей ~n: ~e1 = (1, 0, 0), 110 ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1), что соответствует поворотам в плоскостях (x2 , x3 ), (x3 , x1 ), (x1 , x2 ), осуществляются матрицами S1 , S2 , S3 . Это следует из явного вида матриц S1 , S2 , S3 и вида генератора двумерного поворота (3.1.12). Поэтому естественно предположить, что матрица ||aij || равна (3.3.9) tro33 ||aij || = n1 S1 + n2 S2 + n3 S3 = cos θ cos φ S1 + cos θ sin φ S2 + sin θ S3 . Другими словами, при φ = 0 = θ поворот осуществляется вокруг оси x1 , при φ = π/2, θ = 0 поворот осуществляется вокруг оси x2 (здесь поворот против часовой стрелки в плоскости (x1 , x3 ), как не трудно увидеть, осуществляется именно матрицей S2 , с "неправильным"расположением ±1), при φ = 0, θ = π/2 поворот осуществляется вокруг оси x3 . Это же представление (3.3.9) можно обосновать рассматривая следующий рисунок: x3 6 H H



θ    φ HH   ) x  ~n - x2 1 Согласно этому рисунку, вектор ~n (который определяется сферическими углами φ и θ) можно получить двумя последовательными поворотами единичного вектора ~e1 , направленного вдоль оси x1 : сначала поворот на угол −θ вокруг оси x2 , а затем на угол φ вокруг оси x3 12 . Определим матрицы T (gi (θ)) = exp (θSi ) полных двумерных поворотов против часовой стрелки на угол θ вокруг осей xi . Матрицы Si заданы в (3.3.8) и, согласно (3.1.13), для полных поворотов Ti (θ) ≡ T (gi (θ)) мы получаем       1 0 cθ 0 −sθ cθ sθ 0       T1 (θ) =  0 cθ sθ  , T2 (θ) =  0 1 0  , T3 (θ) =  −sθ cθ 0  , (3.3.10) t123 0 −sθ cθ sθ 0 cθ 0 1 где sθ = sin θ, cθ = cos θ. Тогда мы имеем  12   cθ 0 sθ cφ sφ 0    ~e1 T2 (−θ) T3 (φ) = (1, 0, 0)  0 1 0   −sφ cφ 0  = −sθ 0 cθ 0 1 Часто это преобразование получают сначала поворотом на угол φ вокруг x3 , а затем на угол −θ вокруг повернутой на угол φ оси x′2 , но такой способ нам не удобен, т.к. требует использование явного вид матрицы инфинитезимального поворота S2′ вокруг оси x′2 111 = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ) , что совпадает с вектором ~n (3.3.6). Соответственно вектор ~n переводится в вектор ~e1 согласно обратному преобразованию: ~e1 = ~n T3 (−φ) T2 (θ). Произведем теперь поворот вокруг оси ~e1 на угол ψ, а затем вернем вектор ~e1 на его первоначальное место ~n. Тем самым, производя перевод ~n в ~e1 , поворот на угол ψ вокруг ~e1 , возврат ~e1 в ~n, мы получим матрицу поворота на угол ψ вокруг оси ~n: −1 T~n (ψ) = T(θ,φ) T1 (ψ) T(θ,φ)   T(θ,φ) := T2 (−θ) T3 (φ) . (3.3.11) tvn Заметим, что поворот на угол ψ вокруг оси ~n можно свести к повороту на угол ψ вокруг любой другой оси: ~e2 или ~e3 . Тогда, вместо формулы (3.3.11), мы будем иметь T~n (ψ) = T (g1 (θ)g3 (φ))−1 T (g2 (ψ)) T (g1 (θ)g3 (φ)) , T~n (ψ) = T (g2(π/2 − θ)g3 (φ))−1 T (g3 (ψ)) T (g2(π/2 − θ)g3 (φ)) . (3.3.12) tvn2 (3.3.13) tvn3 Рассмотрим инфинитезимальную форму преобразования (3.3.11), т.е. поворот вокруг ~n на угол ψ, который мал. Из (3.3.10) следует, что T1 (ψ) = I + ψ S1 + ψ 2 . . . . (3.3.14) tg1 Подставим в (3.3.11) разложение (3.3.14) и учтем формулы (3.3.10). Тогда для матрицы (3.3.11) мы получаем −1 S1 T(θ,φ) + ψ 2 . . . = T~n (ψ) = I + ψ T(θ,φ)   sθ −sφ cθ   = I + ψ  −sθ cφ cθ  + ψ 2 . . . = I + ψ (ni Si ) + ψ 2 . . . , sφ cθ −cφ cθ (3.3.15) tst что согласуется с (3.3.9). Найдем теперь явный вид матрицы T~n (ψ), задающей поворот на произвольный (не обязательно малый) угол ψ вокруг оси ~n. Из очевидной (см. (3.3.14)) формулы −1 S1 T(θ,φ) = (ni Si ) (см. (3.3.15)), ∂ψk T1 (ψ) = S1k T1 (ψ) (k = 1, 2, . . .) и равенства T(θ,φ) следуют дифференциальные уравнения  −1 −1 ∂ψk T~n (ψ) = T(θ,φ) ∂ψk T1 (ψ) T(θ,φ) = T(θ,φ) S1k T(θ,φ)   −1 T(θ,φ) T1 (ψ) T(θ,φ) = (ni Si )k T~n (ψ) . В качестве решения этих уравнений мы имеем экспоненциальное представление для элементов группы SO(3) T~n (ψ) = exp (ψ (ni Si )) = exp (φi Si ) =: T (g(φ1, φ2 , φ3 )) , 112 (φi := ψni ) , (3.3.16) ephis где φi – параметры, а Si – образующие (генераторы) группы SO(3). Заметим, что также как и в случае группы SO(2) (см. формулу (3.1.14)) генераторы группы SO(3) определяются согласно (3.2.2), т.е. с помощью дифференцирования произвольного элемента группы вблизи единичного элемента. Действительно, из (3.3.16) следует, что T (g(φ1, φ2 , φ3 ))|φi =0 = I и (3.3.17) gen03 ∂φi T (g(φ1, φ2 , φ3 ))|φ=0 = Si . ~ Кроме параметризации (3.3.16) имеется другая удобная параметризация элементов группы SO(3) c помощью углов Эйлера. Как мы видели, некоторую фиксированную точку ~x0 двумерной единичной сферы S 2 можно перевести в любую другую точку ~n ∈ S 2 с помощью двух однопараметрических преобразований. Возьмем, например ~x0 = ~e3 . Тогда в качестве этих двух преобразований необходимо выбрать вращения: T2 (θ′ ) (θ′ = π/2 − θ, т.е. мы меняем правило отсчета угла θ) и T3 (φ). В результа- те получаем: ~n = ~x0 T2 (θ′ )T3 (φ). Отметим, однако, что преобразование T2 (θ′ )T3 (φ) не есть общее вращение в 3-х мерном пространстве. Действительно, мы можем умножить T2 (θ′ )T3 (φ) слева на любое преобразование T , оставляющее выбранный вектор ~x0 = ~e3 на месте. Очевидно, что такое преобразование есть произвольное вращение вокруг 3-ей оси: T = T3 (ψ) и хотя этот фактор не важен для вращения фиксированного вектора ~x0 = ~e3 , для произвольного вращения любого другого вектора этот фактор необходим. Т.о., произведение T3 (ψ)T2 (θ′ )T3 (φ) = g(ψ, θ′, φ) задает практически любое вращение в 3-х мерном пространстве. Другими словами почти каждый элемент g(ψ, θ′, φ) ∈ SO(3) можно представить в виде     cos ψ sin ψ 0 cos θ′ 0 − sin θ′ cos φ sin φ 0     ′ g(ψ, θ , φ) =  − sin ψ cos ψ 0   0   − sin φ cos φ 0  , 1 1 sin θ′ 0 cos θ′ 1 (3.3.18) ugeil где три параметра (ψ, θ′ , φ) называются углами Эйлера. Алгебра Ли группы SO(3). Вернемся теперь к обсуждению операторов Si (3.3.8), (3.3.17). Легко получить следующие соотношения: [S1 , S2 ] = −S3 , (цикл 1 → 2 → 3) ⇒ [Si , Sj ] = −ǫijk Sk , (3.3.19) sss где ǫijk компоненты полностью антисимметричного тензора третьего ранга (см. (2.6.2)). Очевидно, что коммутаторы (3.3.19) удовлетворяют всем аксиомам (3.2.7), (3.2.8), 113 (3.2.9) умножения в алгебре Ли. Векторное пространство, натянутое на базисные элементы Si (i = 1, 2, 3), т.е. векторное пространство всех антисимметричных 3 × 3 матриц вида a = ai Si (здесь ai – вещественные или комплексные параметры) с опера- цией умножения в виде коммутатора (3.3.19), называется алгеброй Ли группы SO(3). 3.4 Лекция 11. Унитарная группа SU (2) и ее алгебра Ли. Универсальная накрывающая группа для группы SO(3). В предыдущей лекции мы показали, что группа SO(3) локально тождественна группе SU(2). Конечномерные представления группы SO(3) могут быть построены из конечномерных представлений SU(2). Поэтому в этой лекции мы сконцентрируемся на изучении группы SU(2) и ее представлений. Отождествление SO(3) и SU(2) производится с помощью формулы (3.4.16), которая каждому элементу (3.3.16) группы SO(3) сопоставляет два элемента ±U из унитарной группы SU(2). Ниже мы опишем это отождествление более точно, предъ- явив явный вид матрицы U соответствующей элементу (3.3.16). Группа SU(2) состоит из 2 × 2 унитарных матриц α β γ δ U= ! , которые удовлетворяют условиям det(U) = 1 ⇒ αδ − γβ = 1 и U † = U −1 : α∗ γ ∗ β ∗ δ∗ ! = δ −β −γ α ! ⇒ δ = α∗ , γ = −β ∗ . Отсюда следует, что произвольную 2 × 2 матрицу U из SU(2) можно представить в виде U= α β −β ∗ α∗ ! , α, β ∈ C, |α|2 + |β|2 = 1 . (3.4.1) msu2 Т.о., каждый элемент SU(2) однозначно определяется парой комплексных чисел α, β, которые удовлетворяют соотношеню |α|2 + |β|2 = 1. Это соотношение, если мы пред- ставим α = x1 + ix2 и β = x3 + ix4 (xi ∈ R), переписывается в виде x21 + . . . + x24 = 1 и следовательно многообразие группы SU(2) гомеоморфно трехмерной сфере S 3 , которая вложена в четырех-мерное пространство. Это многообразие является односвязным (все сферы S n (n > 1) односвязны). Гипотеза Пуанкаре. Всякое односвязное замкнутое 3-х мерное многообразие гомеоморфно 3-х мерной сфере. 114 Эта гипотеза была сформулирована в начале 20-ого века, а доказана лишь недавно российским математиком Г. Перельманом. Алгебра Ли группы SU(2). Рассмотрим инфинитезимальное унитарное преобразование U = I + ψ A + ψ 2 . . ., где ψ бесконечно-малый вещественный параметр, а 2 × 2 матрица a b c d A= ! , определяется из условия унитарности I = (I + ψ A + ψ 2 . . .)(I + ψ A† + ψ 2 . . .) ⇒ A + A† = 0 , и требования det(U) = 1: 1 + ψa ψb ψc 1 + ψd 2 1 = det(I + ψ A + ψ . . .) = det ! + ψ 2 . . . = 1 + ψ(a + d) + ψ 2 . . . , т.е. a + d = 0. Отсюда следует, что A – антиэрмитова бесследовая матрица, которую можно представить в виде произведения эрмитовой матрицы (3.4.13) на мнимую единицу 1 A=i 2 n3 n1 − in2 n1 + in2 −n3 ! 1 = i (n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3 ) . 2 (3.4.2) lisu2r Здесь фактор 1/2 выделен для того, чтобы преобразования (3.4.16) воспроизводили преобразования координат трехмерных векторов, осуществляемое с помощью матрицы (3.3.11). Т.о., экспоненциальное представление для унитарной 2 × 2 матрицы, являющейся элементом группы SU(2), имеет вид     σi U = exp i ψ(ni ) = exp i ψ(ni S̄i ) , 2 где мы ввели в рассмотрение перенормированные матрицы Паули S̄i = (3.4.3) usu2 1 σ 2 i и, без ограничения общности, можем считать вектор (n1 , n2 , n3 ) – единичным. Напомним, что матрицы σi удовлетворяют соотношениям σi σj = δij + iǫijk σk , (3.4.4) usu25 (ni σi )2 = ~n 2 = 1 ⇒ (ni σi )2k = 1 , (ni σi )2k+1 = (ni σi ) . (3.4.5) usu26 из которых следуют равенства 115 Тогда, разлагая экспоненту (3.4.3) в ряд Тейлора, мы получаем матричное представление U(ψ, ~n) = ∞ P (−1)k k=0 = cos   ψ 2 + i (ni σi ) sin   ψ 2  2k ψ 2 + i (ni σi )  ∞ P (−1)k k=0  2k+1 ψ 2 =  cos ψ2 + in3 sin ψ2 , (n2 + in1 ) sin ψ2  , = −(n2 − in1 ) sin ψ2 , cos ψ2 − in3 sin ψ2 (3.4.6) usu27 которое согласуется с (3.4.1). В параметризации углов Эйлера (3.3.18) элементы группы SU(2) записываются в виде   ψ   φ 0   cos 2θ , sin θ2   ei 2 , 0  ei 2 , U = U(ψ, ~e3 ) U(θ, ~e2 ) U(φ, ~e3 ) =  = φ θ θ −i ψ −i 0, e 2 0, e 2 − sin 2 , cos 2  = cos   − sin θ 2 что также согласуется с (3.4.1). θ 2 1 ei 2 (ψ+φ) ,  1 ei 2 (φ−ψ) ,   θ  2 cos θ2 sin 1 ei 2 (ψ−φ) 1 e−i 2 (ψ+φ)   (3.4.7) usu28 , Матрицы σi удовлетворяют коммутационным соотношениям (см. (3.4.4)) [σi , σj ] = 2iǫijk σk , которые в перенормированном базисе S̄i = 12 σi переписываются в виде (3.4.8) spin111 [S̄i , S̄j ] = iǫijk S̄k . Если в алгебре so(3) (3.3.19) мы сделаем замену Sj → −iSj , т.е. рассмотрим эрмитовы генераторы       0 0 0 0 0 i 0 −i 0       S1 =  0 0 −i  , S2 =  0 0 0  , S3 =  i 0 0  0 i 0 −i 0 0 0 0 0 (3.4.9) spin33 то коммутационные соотношения этих генераторов совпадают с (3.4.8). Отметим, что в базисе, в котором матрица S3 диагональна, мы имеем вместо (3.4.9) представление:       1 0 0 1  0 1 0  i  0 −1 0    S1 = √  1 0 1  , S2 = √  1 0 −1  , S3 =  0 0 0  . 2 0 1 0 2 0 1 0 0 −1 (3.4.10) spin333 Т.о., 2 × 2 матрицы S̄i = 12 σi и 3 × 3 матрицы Si (3.4.10) можно рассматривать как разные матричные представления ρ2,3 : S̄i = ρ2 (Ŝi ), Si = ρ3 (Ŝi ) одной и той же алгебры Ли с образующими Ŝi (i = 1, 2, 3) и определяющими соотношениями [Ŝi , Ŝj ] = iǫijk Ŝk , 116 (3.4.11) spin а матрицы U(ψ) (3.4.3) и T~n (ψ) (3.3.16) можно рассматривать как соответствующие представления U(ψ) = ρ2 (Û(ψ)) и T~n (ψ) = ρ3 (Û (ψ)), для ”универсального” элемента группы SU(2):   (3.4.12) usu21 Û(ψ) = exp i ψ(ni Ŝi ) . Имеется еще одно, одномерное, представление ρ1 (Ŝi ) = 0 алгебры Ли (3.4.11), которое называется тривиальным. Подчеркнем, что хотя алгебры Ли (3.4.11) групп SO(3) и SU(2) совпадают, что говорит об одинаковых локальных свойствах этих групп, глобально эти группы не совпадают. Действительно, в конце предыдущей лекции мы показали, что группа SU(2) дважды накрывает группу SO(3). Кроме того, многообразие SU(2) – односвязно, а многообразие SO(3) – двухсвязно. Универсальная накрывающая группы SO(3). Произвольная эрмитова 2 × 2 матрица X † = X, с условием Tr(X) = 0, записыва- ется в виде: X := ! x3 x1 − ix2 x1 + ix2 −x3 (3.4.13) ermit = x1 σ1 + x2 σ2 + x3 σ3 где xi ∈ R и в качестве базиса в пространстве всех таких матриц мы выбирали три бесследовые эрмитовы матрицы σ1 = 0 1 1 0 ! , 0 −i i 0 σ2 = ! , 1 0 0 −1 σ3 = ! , которые называются матрицами Паули. Эти матрицы σi играют важнейшую роль в теории спина в квантовой механике. Заметим, что каждой матрице X однозначно ставится в соответствие 3-х мерный вектор ~x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , причем имеют место соотношения x21 + x22 + x23 = − det(X) и 2 X = (x21 + x22 + x23 ) 1 0 0 1 ! . (3.4.14) x2 Рассмотрим линейное преобразование в пространстве бесследовых эрмитовых матриц X: X → X′ = V X U , (3.4.15) trX осуществляемое с помощью двух 2 × 2 невырожденных матриц V, U. Матрицы V, U должны быть такими, чтобы преобразованная матрица X ′ снова была бесследова и эрмитова: Tr(X ′ ) = 0, X ′ † = X ′ . Т.е. матрицу X ′ опять можно разложить по базису матриц Паули: X′ = x′3 x′1 − ix′2 x′1 + ix′2 −x′3 ! 117 = x′1 σ1 + x′2 σ2 + x′3 σ3 , и мы снова имеем взаимно-однозначное соответствие X ′ ↔ ~x ′ = (x′1 , x′2 , x′3 ) ∈ R3 . Кроме того потребуем, чтобы при преобразовании (3.4.15) сохранялся квадрат матрицы X: (X ′ )2 = X 2 . В этом случае, согласно (3.4.14), линейное преобразование (3.4.15) реализует ортогональное преобразование в R3 : xi → x′i . Найдем условия, которые необходимо наложить на матрицы V, U, чтобы выше- указанные требования на преобразования (3.4.15) выполнялись. Из (3.4.15) мы получаем, что (здесь выбираются матрицы X 2 6= 0) V X = X ′ U −1 ⇒ X ′ (V X)X = X ′ (X ′ U −1 )X ⇒ X ′ V = U −1 X ⇒ ⇒ X ′ = U −1 XV −1 ⇒ XUV = (UV )−1 X , где при получении последнего равенства мы воспользовались первым равенством. Из равенства XUV = (UV )−1 X с учетом произвольности бесследовой эрмитовой матрицы X (3.4.13) следует условие UV = ±I ⇒ V = ±U −1 Т.к. преобразование (3.4.15) вектора ~x = (x1 , x2 , x3 ) c условием V = −U −1 определяет преобразование из связной компоненты O− (3), включающей отражение ~x → −~x, то мы ограничимся только случаем V = +U −1 , который соответствует собственным вращениям из SO(3). Т.о., при учете условия (3.4.14), преобразование (3.4.15) сводится к преобразованию подобия X → X ′ = U −1 X U , (3.4.16) utr Из условия X ′ † = X ′ мы получаем [UU † , X] = 0 и, т.к. X - произвольная матрица вида (3.4.13), мы заключаем, что UU † = αI, где α – произвольный вещественный параметр. Заметим, что преобразование (3.4.16) не меняется при растяжении U → λU. Это дает нам право, при α > 0, нормировать U так, чтобы det(U) = 1 и UU † = I, т.е. U ∈ SU(2) (при α < 0 возникает случай UU † = −I, который мы отбрасываем, т.к. при этом (3.4.16) описывает несобственное вращение). Напомним, что x′i 2 = x2i . Это равенство, впрочем, следует и из тождеств 2 det(X ′ ) = det(U −1 X U) = det(X) ⇒ x′i = x2i . Т.о., преобразования (3.4.16) c U ∈ SU(2), рассматриваемые как линейные преоб- разования координат (x1 , x2 , x3 ) трехмерного вектора ~x, сохраняют длину вектора ~x, не включают в себя отражения (т.к. лежат в связной компоненте единицы), и следовательно соответствуют преобразованиям из группы SO(3). Это соответствие 118 определяет отображение между группами SU(2) и SO(3). Данное отображение есть гомоморфизм группы SU(2) в группу SO(3), т.к. два разных элемента ±U группы SU(2) соответствуют одному и тому же элементу из SO(3). В этом случае говорят, что группа SU(2) дважды накрывает группу SO(3). Т.к. ядро данного гомоморфизма состоит из двух элементов ±I ∈ SU(2), образующих инвариантную подгруппу C2 = Z2 ⊂ SU(2), то точное соответствие между группами SU(2) и SO(3) выража- ется тождеством SU(2)/Z2 = SO(3). Заметим, что группа SU(2) – односвязна (это замечание обсуждалось в начале этой Лекции) и она дважды накрывает двухсвязную группу SO(3). Указанный факт оказывается следствием более общего утверждения о том, что любая n-связная группа накрывается некоторой односвязной группой ровно n раз. Можно показать, что для любой многосвязной группы Ли G существует такая просто связная группа Ḡ, которая может быть гомоморфно отображена на G. Эта просто связная группа Ḡ носит название универсальной накрывающей группы G. В этом случае группа Ḡ содержит такую инвариантную дискретную подгруппу ∆, что Ḡ/∆ изоморфна G. Группы Ḡ и G локально изоморфны и имеют одну и ту же алгебру Ли, хотя различаются своими глобальными свойствами. Пусть группа G m-связна. Ее универсальная накрывающая группа Ḡ просто связна и m раз накрывает группу G. Поэтому каждому элементу G соответствует m различных элементов ее универсальной накрывающей Ḡ. Точное неприводимое представление группы Ḡ тогда дает нам m-значное представление группы G (см. [14]). Трехмерная алгебра Ли с определяющими соотношениями (3.4.11) называется алгеброй Ли su(2) группы Ли SU(2) или алгеброй квантового спина. Три образующие Ŝi (три компоненты вектора спина) являются операторами. Квадрат длинны оператора вектора спина J 2 = Ŝi2 , который в силу определяющих соотношений (3.4.11) коммутирует со всеми образующими su(2): [J 2 , Ŝj ] = 0, называется квадратичным оператором Казимира алгебры su(2). Согласно Лемме Шура (см. Лекции 5,6) такой оператор должен быть пропорционален единичной матрице в любом неприводимом представлении su(2). Для двух представлений ρ2,3 оператор J 2 равен, как нетрудно увидеть, для двумерного случая ρ2 (J 2 ) = 1 1 ( 2 2 + 1)1 = 3 1, 4 2 и для трехмерного случая ρ3 (J ) = 1(1 + 1)1 = 213 , где 1n – n-мерные единичные матрицы. Т.е. мы 2 имеем ρ2j+1 (J 2 ) = j(j + 1)12j+1 для j = 1/2, j = 1. Число j называется спином и характеризует длину вектора спина. Собственные значения компоненты Ŝ3 (проекции вектора спина на третью ось) соответственно равны: для двумерного случая 119 Spec(S̄3 ) = (1/2, −1/2) (спин j = 1/2) и для трех-мерного случая Spec(S3 ) = (1, 0, −1) (спин j = 1). Эти собственные значения соответствуют собственным ортонормированным векторам: (1, 0), (0, 1) для двумерного случая и 1 1 v1 = (1, i, 0), v2 = (0, 0, 1), v3 = (i, 1, 0), hvi∗ , vj i = δij , 2 2 для 3-х мерного случая. Упражнения. 1.) Доказать, что линейное преобразование X → X ′ = −U −1 X U , где U ∈ SU(2), X = xi σi и X ′ = x′i σi определяет несобственное ортогональное преобразование xi → x′i = xj Oji , т.е. O T O = I и det(O) = −1. 3.5 Лекция 11а. Связь алгебр Ли su(2) и sl(2). Алгебра Ли sl(2) и ее конечномерные представления. Конечномерные представления групп Ли SL(2) и SU (2). Алгебра Ли sl(2) и ее конечномерные представления. Покажем, что на самом деле для алгебры su(2) существует целый набор конечномерных представлений ρ2j+1 , каждое из которых характеризуются значением спина j и имеет размерность (2j + 1). При этом спин j может принимать только неотрицательные целые и полуцелые значения j = 0, 12 , 1, 32 , 2, . . .. Кроме того для каждого такого конечномерного представления, характеризуемого значением j, матрица проекции квантового вектора-спина на третью ось ρ2j+1 (Ŝ3 ) имеет собственные значения m = (j, j − 1, j − 2, . . . , 1 − j, j) . Для начала заметим, что алгебра Ли su(2) является вещественной формой ал- гебры sl(2) над полем комплексных чисел (другими словами, любая бесследовая 2 × 2 - матрица может быть представлена в виде разложения по матрицам Паули (3.4.13), где координаты xi не обязаны быть вещественными числами). Конечномер- ные представления у этих алгебр совпадают. Более удобно изучать алгебру sl(2), поэтому в дальнейшем мы сконцентрируемся на рассмотрении представлений именно этой алгебры. Стандартный базис для алгебры sl(2) выбирается следующим образом e± = Ŝ1 ±iŜ2 , H = Ŝ3 (этот базис называется базисом Картана для алгебры Ли sl(2)). Тогда определяющие соотношения (3.4.11) принимают вид [e+ , e− ] = 2H , [H, e± ] = ± e± ⇔ H e± = e± (H ± 1) . 120 (3.5.17) li2 Для двумерного (определяющего) представления ρ2 мы имеем ρ2 (e± ) = 12 (σ1 ± iσ2 ), ρ2 (H) = 21 σ3 , где соответствующие матрицы даны в (3.2.12). Напомним, что оператор 1 J 2 = Ŝi2 = (e− e+ + e+ e− ) + H 2 = e− e+ + H(H + 1) , 2 (3.5.18) kaz коммутирует со всеми образующими алгебры sl(2): [J 2 , e± ] = 0 = [J 2 , H] и называется квадратичным оператором Казимира для алгебры sl(2). Пусть некоторое векторное пространство V является пространством представле- ния ρ алгебры sl(2). Пространство V можно разложить в прямую сумму подпро- странств Vλ , нумеруемых собственными значениями λ образующей H.13 Т.е. V = ⊕λ Vλ , где подпространства Vλ определяются следующим образом Vλ = {v ∈ V| H · v = λ v} . Ясно, что если v ∈ Vλ , т.е. Hv = λv, то e± v ∈ Vλ±1 : He± v = e± (H ± 1)v = (λ ± 1)e± v . Вообще говоря данную процедуру построения из v новых собственных векторов оператора H: ek− v ∈ Vλ−k , en+ v ∈ Vλ+n (k, n-целые неотрицательные числа) можно про- должать бесконечно. При этом порождается бесконечномерное представление sl(2). Для получения конечномерных представлений эта процедура должна обрываться, n+1 т.е. мы должны иметь условия ek+1 − v = 0 = e+ v при каких-то фиксированных k, n. Эти условия определяют размерность представления и, как мы увидим ниже, однозначно фиксируют значение оператора Казимира (3.5.18). Определение 3.5.1 Пусть существует такое Vλ 6= 0, что Vλ+1 = 0, т.е. e+ v = 0 для всех ненулевых векторов v ∈ Vλ . Такие вектора v ∈ Vλ называются старшими векторами с весом λ (или векторами со старшим весом λ). Пусть V неприводимое пространство представления sl(2) со старшим вектором v0 ∈ V. Т.е. мы имеем v−1 := e+ v0 = 0 . (3.5.19) lie33 Будем порождать новые вектора, действуя на старший вектор ("вакуум") v0 "понижающими"операторами e− : vk := (1/k!) ek− v0 . Тогда легко проверить следующие 13 В дальнейшем, где это не будет вызывать путаницы, мы, для упрощения формул, будем писать e± , H вместо ρ(e± ), ρ(H). 121 формулы (a) H vk = (1/k!) H ek− v0 = (1/k!) ek− (H − k) v0 = (λ − k) vk , (3.5.20) li3 (b) e− vk = (1/k!) ek+1 − v0 = (k + 1) vk+1 , (c) e+ vk = (1/k!) e+ ek− v0 = (2λ − k + 1) vk−1 (k ≥ 0). Формулы (a) и (b) очевидны. Формула (с) получается действием на v0 левой и правой частей цепочки равенств: k−1 k−1 k−1 k−2 e+ ek− = (2H + e− e+ ) e− = 2 e− (H − k + 1) + 2 e− (H − k + 2) + e2− e+ e− = k−1 k−1 = . . . = 2 e− (k H − (1 + 2 + . . . + k − 1)) + ek− e+ = k e− (2 H − k + 1) + ek− e+ . (3.5.21) li3a Из (3.5.20)(a) следует, что все vk 6= 0 имеют различные собственные значения и, т.о., являются линейно независимыми. Линейная независимость собственных векторов некоторого оператора H с различными собственными значениями доказывается "от противного". Пусть имеется собственный вектор v: Hv = νv с собственным значением ν 6= νk , где Hvk = νk vk и такой, что v = подействуем им на уравнение v = Q k (ν − νk )v, и следовательно v ≡ 0. P k P k vk . Организуем оператор Q k (H − νk ) и vk . Правая часть обнуляется, а левая равна Пусть V конечномерное пространство dim V < ∞, которое порождается из v0 действием всех образующих sl(2). Тогда существует такое наименьшее целое число n ≥ 0, для которого vn 6= 0, но vn+1 = 0 и, следовательно, vn+k = 0 ∀k ≥ 1. Т.о., в качестве базиса в V можно выбрать вектора (v0 , v1 , . . . , vn ) с собственными значениями H: (λ, λ − 1, λ − 2, . . . , λ − n) и мы соответственно имеем V = Vλ ⊕ Vλ−1 ⊕ . . . ⊕ Vλ−n ⇒ dimV = n + 1 . (3.5.22) razl Рассмотрим формулу (3.5.20) (c) для k = n+1: e+ vn+1 = (2λ−n) vn . Т.к. vn+1 = 0, vn 6= 0, то мы заключаем, что λ = n 2 ≡ 21 (dim V − 1). С другой стороны, если λ = n2 , то e+ vn+1 = 0 (вектор vn+1 выступает как новый вакуум) и мы можем положить vn+1 = 0 без каких-либо противоречий. Т.о., разложение (3.5.22) имеет вид V = V n2 ⊕ V n2 −1 ⊕ . . . ⊕ V− n2 , (3.5.23) razlo т.е. базисные вектора vk можно выбрать так, что их веса (собственные значения оператора H на собственных векторах vk ) пробегают значения n n n n Spec(H) = ( , − 1, . . . , 1 − , − ) . 2 2 2 2 Т.о. мы доказали следующее утверждение. 122 Утверждение 3.5.1 Вес старшего вектора v0 , т.е. его собственное значение λ: Hv0 = λv0 , для конечномерного неприводимого представления sl(2) является неотрицательным полуцелым числом λ = n 2 ≥ 0, а само представление является 2λ + 1- мерным и называется представлением со старшим весом λ. Матричное представление алгебры sl(2) со старшим весом λ задается на пространстве V (3.5.23) формулами (3.5.20). Т.к. оператор J 2 (3.5.18) коммутирует со всеми образующими sl(2), то на всех векторах этого представления оператор J 2 имеет одно и то же собственное значение   1 n n J v0 = (e− e+ + e− e+ ) + H 2 v0 = (λ + λ2 )v0 = ( + 1)v0 2 2 2 2 Легко понять, что построенные конечномерные представления алгебры sl(2) одновременно являются и представлениями алгебры su(2). В этом случае старший вес λ = n 2 =: j называется спином и характеризует 2j + 1 мерное неприводимое пред- ставление алгебры su(2) (и, соответственно, группы SU(2)). Базисные вектора |j, mi в этом представлении характеризуются двумя числами: спином j (характеристика представления) и весами m, собственными значениями оператора H = S3 ("проекции"спина на третью ось), где m = (j, j − 1, . . . , 1 − j, −j) перечисляет все базисные вектора данного представления. Пример построения конечномерного модуля со старшим весом на основе дифференциальной реализации алгебры Ли для группы SL(2). Реализация алгебры Ли sl(2) с помощью дифференциальных операторов. Рассмотрим определяющее матричное представление (3.2.12) для алгебры Ли sl(2). Подействуем матрицами (3.2.11) (инфинитезимальными элементами группы SL(2)) справа на вектор-строку (s, t) (где s, t – произвольные переменные). В результате получаем вариации вектор-строки δ(s, t) = (δs, δt): (s, t) → (s, t)g(φi ) = (s, t) + δ(s, t) + . . . =   = (s, t) + φ1 δH (s, t) + φ2 δe+ (s, t) + φ3 δe+ (s, t) + . . . , где δe+ (s, t) := (s, t)e+ = (0, s) =: ê+ · (s, t) , δe− (s, t) := (s, t)e− = (t, 0) =: ê− · (s, t) , (3.5.24) pre1 δH (s, t) := (s, t)H = 12 (s, −t) =: Ĥ · (s, t) , и мы определили дифференциальные операторы ê+ = s ∂t , ê− = t ∂s , 123 Ĥ = 1 (s∂s − t∂t ) , 2 (3.5.25) pre которые, как легко проверить, образуют ту же алгебру Ли (3.5.17), что и матрицы (3.2.12). ! Рассмотрим теперь сопряженный к u = (s, t) вектор-столбец ū = s̄ и опредеt̄ лим его преобразования (вариации) так, чтобы они, одновременно с преобразованиями (3.5.24), оставляли инвариантным скалярное произведение ! s̄ t̄ (s, t) = (ss̄ + tt̄) = uα ūα (α = 1, 2) . Соответствующие вариации вектор-столбца v̄ имеют вид δe+ s̄ t̄ ! = 0 −1 0 0 ! s̄ t̄ δH ! = ē+ · s̄ t̄ s̄ t̄ ! 1 = 2 ! s̄ t̄ , δe− −1 0 0 1 ! s̄ t̄ ! ! = 0 0 −1 0 = H̄ · s̄ t̄ ! ! s̄ t̄ ! = ē− · s̄ t̄ , ! , (3.5.26) sopre1 где операторы ē+ = −t̄ ∂s̄ , ē− = −s̄ ∂t̄ , 2 H̄ = [ē+ , ē− ] = t̄ ∂t̄ − s̄ ∂s̄ , (3.5.27) sopre также образуют алгебру (3.5.17). Действительно, из (3.5.24) и (3.5.26) мы имеем искомую инвариантность (∀n): δe± (ss̄ + tt̄)n = (ê± + ē± )(ss̄ + tt̄)n = 0 , δH (ss̄ + tt̄)n = (Ĥ + H̄)(ss̄ + tt̄)n = 0 . (3.5.28) sstt Заметим, что преобразования (3.5.26) можно получить из (3.5.24) если отождествить s̄ = t , t̄ = −s ⇔ ūα = ǫαβ uβ , (3.5.29) otojd где ǫαβ - антисимметричный тензор 2-ого ранга (2.6.3). Построение для (3.5.25) конечномерного модуля со старшим весом. Рассмотрим представление (3.5.25) для образующих алгебры sl(2), которые действуют в бесконечно-мерном пространстве F функций f (s, t). Выберем старший вектор v такой, что ê+ v = 0 , Ĥ v = j v ⇒ v = s2j , (3.5.30) stvtj где j некоторый параметер. Породим из этого вектора с помощью понижающего оператора ê− башню векторов ê− v = 2j s2j−1 t ⇒ ê2− v = 2j (2j − 1) s2j−2 t ⇒ . . . ⇒ êk− v = 2j (2j − 1) · · · (2j − k + 1) s2j−k tk . 124 (3.5.31) stvtj1 Если j – неотрицательное полуцелое число, то при k = 2j + 1 эта башня оборвется ê2j+1 v = 0. Т.о., из старшего вектора v (3.5.30) мы получаем 2j +1 базисных векторов − (−j ≤ m ≤ j) Tmj = 1 sj+m tj−m =: |j, mi . ((j + m)!(j − m)!)1/2 (3.5.32) tjm неприводимого (т.к. все эти вектора можно получить друг из друга последовательным действием операторов ê± , что указывает на отсутствие инвариантных подпро- странств в пространстве, натянутом на (3.5.32)) представления алгебры Ли для группы SL(2) (SU(2)). Пространство этого представления состоит из однородных полиномов от двух переменных (s, t) степени 2j и образует конечно-мерное подпространство в пространстве функций f (s, t). Нормировочный множитель в (3.5.32) выбран так, чтобы векторы (3.5.32) образовывали ортонормированный базис по отношению к скалярному произведению   T (s, t) , T̃ (s, t) = T (∂s , ∂t ) · T̃ (s, t) s=t=0 . Заметим, что все вектора (3.5.32) являются собственными векторами для оператора Ĥ (3.5.25) Ĥ Tmj = m Tmj ⇒ Ĥ |j, mi = m |j, mi . (3.5.33) stvtj31 Кроме того из явных формул для образующих (3.5.25), с учетом выбранной номировки (3.5.32), мы получаем формулы ê+ Tmj = q j (j + m + 1)(j − m) Tm+1 , ê+ |j, mi = ê− |j, mi = которые легко обобщаются êk+ êk− ê− Tmj = q q q j (j − m + 1)(j + m) Tm−1 =⇒ (j + m + 1)(j − m) |j, m + 1i , (3.5.34) stvtj3 (j − m + 1)(j + m) |j, m − 1i , |j, mi = |j, mi = r r (j+m+k)!(j−m)! (j+m)!(j−m−k)! |j, m + ki , (j−m+k)!(j+m)! (j−m)!(j+m−k)! |j, m − ki , (3.5.35) stvtj33 и старший вектор в обозначениях (3.5.32) имеет вид v = Tjj = |j, ji ê+ |j, ji = 0 . (3.5.36) stvtj2 Пользуясь соотношениями (3.5.33), (3.5.34), можно стандартным способом построить (2j + 1)-мерные матричные представления для образующих Ĥ, ê± алгебры Ли sl(2). 125 Для нескольких первых значений j = 1/2, 1, . . . мы имеем 1/2 1/2 1.) j = 1/2 (m = ±1/2) ⇒ T−1/2 = t , T1/2 = s , √ √ 1 2.) j = 1 (m = −1, 0, 1) ⇒ T−1 = t2 / 2 , T01 = s t , T11 = s2 / 2 , . . . Из формул (3.5.27) следует, что базис в пространстве сопряженного представления также реализуется однородными мономами типа (3.5.32) j Tm (−1)j+m s̄j−m t̄j+m =: hj, m| . = ((j + m)!(j − m)!)1/2 (3.5.37) stjm j При отождествлении (3.5.29) мы имеем T m = Tmj . Отметим, что разложение (с помощью формулы бинома Ньютона) инварианта (ss̄ + tt̄)2j (3.5.28), где j неотрицательное полуцелое число, имеет вид (ss̄ + tt̄)2j = 2j P k=0 = j P m=−j Ck2j (ss̄)k (tt̄)2j−k = (2j)! (ss̄)j+m (tt̄)j−m (j+m)!(j−m)! = (2j)! j P m=−j j (3.5.38) sstt1 (−1)j−m T −m Tmj , что оправдывает выбор нормировок в (3.5.37) и название представления (3.5.27) в j пространстве с базисом T m = hj, m| – сопряженным представлением по отношению к представлению (3.5.25), которое действует в пространстве с базисом (3.5.32). Конечномерные представления групп Ли SL(2) и SU(2). Соотношения (3.5.24) являются инфинитезимальной формой преобразования вектора (s, t)   A 1 A12  (s, t) → (s , t ) = (s, t)  11 = (sA11 + tA21 , sA12 + tA22 ) , 2 A2 A2 ′ ′ (3.5.39) usu31 с помощью унимодулярных матриц ||Aβα || (det(A) = 1, Aβα ∈ C), которые по определению образуют группу SL(2, C). Другими словами, преобразование (3.5.39) есть результат действия дифференциального оператора exp(φ0 Ĥ +φ+ ê− +φ− ê+ ) на вектор (s, t) (по крайней мере в окрестности единичного преобразования):   (s, t) → (s′ , t′ ) = exp φ0 Ĥ + φ+ ê− + φ− ê+ (s, t) , где матричные коэффициенты Aji выражаются как некоторые функции от параметров {φ0 , φ± }. Далее, т.к. {Ĥ, ê± }– дифференциальные операторы 1-ого порядка, то преобразование произвольной функции f (s, t) имеет вид:   exp φ0 Ĥ + φ+ ê− + φ− ê+ f (s, t) = f (s′ , t′ ) , 126 (3.5.40) usu31a где (s′ , t′ ) определены в (3.5.39). Очевидно, что однородный полином по переменным s, t степени n, после преобразований (3.5.39), (3.5.40) останется однородным полиномом степени n. Поэтому (n+1) мономов {sn , sn−1 t, sn−2 t2 , . . . , tn } образуют (n + 1)- мерное пространство неприводи- мого представления группы SL(2, C). Пусть n = 2j и рассмотрим базисный моном Tmj (s, t) (3.5.32) степени 2j. Согласно (3.5.39) моном Tmj (s, t) преобразуется в полином степени 2j: Tmj (s, t) → Tmj (s, t) ◦ A = Tmj (s′ , t′ ) = = j+m P j−m P k=0 k ′ =0 √ (j+m)!(j−m)! k!k ′ !(j+m−k)!(j−m−k ′ )! (sA11 + tA21 )j+m (sA12 + tA22 )j−m q (j + m)!(j − m)!) ′ ′ = ′ (3.5.41) usu32 ′ · (A11 )j+m−k (A12 )j−m−k (A21 )k (A22 )k tk+k s2j−k−k , (3.5.42) usu33 где мы воспользовались формулой бинома. Теперь мы можем выразить (3.5.42) в виде линейной комбинации базисных мономов Tmj ′ (m′ = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j). Действительно, мы можем опустить пределы суммирования, так как биномиальные коэффициенты равны нулю вне пределов суммирования. Если положить m′ = j −k − k ′ , то m′ должно пробегать все целочисленные значения для целых j и все полуцелые значения для полуцелых j. Выражая функции от s и t в (3.5.42) через мономы Tmj ′ , мы получаем Tmj (s, t) ◦ A = X m′ (j) Dmm′ (Aαβ ) Tmj ′ (s, t) , (3.5.43) usu34 где коэффициенты √ P (j+m)!(j−m)!(j+m′ )!(j−m′ )! ′ ′ (j) Dmm′ (Aαβ ) = k!(j−k−m′)!(j+m−k)!(k−m+m′ )! · (A11 )j+m−k (A12 )k−m+m (A21 )k (A22 )j−k−m k (3.5.44) usu35 в правой части (3.5.43) образуют (2j + 1) × (2j + 1) матрицы преобразований, соот- ветствующие элементам A ∈ SL(2, C), в (2j + 1)- мерном неприводимом представле- нии (неприводимость следует из неприводимости этого представления для алгебры Ли sl(2), см. предыдущий раздел). Это представление группы SL(2, C) не является унитарным, в чем можно убедиться непосредственно, заметив, что скалярное произведение j X Tmj (Tmj )∗ = m=−j j X m=−j 1 (|s|2 + |t|2 )2j |s|2(j+m) |t|2(j−m) = (j + m)!(j − m)! (2j)! (3.5.45) usu36 не сохраняется при некоторых преобразованиях SL(2, C) (т.к. не сохраняется форма (|s|2 + |t|2 )). 127 Заметим теперь, что вся схема построения конечномерных неприводимых представлений для группы SL(2, C), изложенная выше (см. формулы (3.5.39) – (3.5.44)), может быть, почти без изменений, применена для случая группы SU(2) – вещественной формы группы SL(2, C). Для этого необходимо вместо матрицы A (3.5.39) использовать унитарную матрицу U (3.4.1). В этом случае формулы (3.5.43) и (3.5.44) принимают вид Tmj (s, t) ◦ U = (j) Dmm′ (α, β) = P (−1) k k √ X m′ (j) Dmm′ (α, β) Tmj ′ (s, t) , (3.5.46) usu37 ′ ′ (j+m)!(j−m)!(j+m′ )!(j−m′ )! αj+m−k β k−m+m (β ∗ )k (α∗ )j−k−m k!(j−k−m′ )!(j+m−k)!(k−m+m′ )! . (3.5.47) usu38 В параметризации (3.4.6) α = (ctg(ψ/2) + in3 ) sin(ψ/2), β = (n2 + in1 ) sin(ψ/2) коэффициенты (3.5.47) записываются как √  ∗ k P (j+m)!(j−m)!(j+m′ )!(j−m′ )! (j) nn Dmm′ (ψ, ~n) = (−1)k k!(j−k−m′)!(j+m−k)!(k−m+m′ )! ññ ∗ k n = (n2 + in1 ) , ñ = ctg(ψ/2) + in3 , а в параметризации углов Эйлера (3.4.7): α = cos имеем (j) Dmm′ (ψ, φ, θ) = P k ′ ñj+m (ñ∗ )j−m nm−m′ sin2j (ψ/2) , (3.5.48) usu39 1 n n∗ + ñ ñ∗ = , 2 sin (ψ/2)   θ 2 1 ei 2 (ψ+φ) , β = sin   θ 2 1 ei 2 (ψ−φ) мы √  2k−m+m′ ′ (j+m)!(j−m)!(j+m′ )!(j−m′ )! cos2j ( 2θ ) eim ψ+imφ (−1)k k!(j−k−m′)!(j+m−k)!(k−m+m′ )! tg( θ2 ) (3.5.49) usu40 Функции (3.5.49) называются D-функциями Вигнера. Отметим, что конечномерные представления (3.5.46), (3.5.47) группы SU(2) являются унитарными X m (j) (j) ∗ Dmm′ Dmm′′ = δm′ m′′ , так как скалярное произведение (3.5.45) очевидно инвариантно (в силу инвариантности квадратичной формы (|s|2 + |t|2 )) относительно преобразований (3.5.46). Упражнения. 1. Пользуясь формулами (3.5.20) построить четырехмерное (j = 3/2) представление со старшим весом для алгебры su(2) и найти соответствующие эрмитовы матрицы Si для оператора вектора спина. 2. Доказать, что дифференциальные операторы H = −z ∂ ∆ − , ∂z 2 e− = −z 2 128 ∂ − ∆z , ∂z e+ = ∂ , ∂z (3.5.50) sl24 (где ∆ – константа) образуют базис алгебры Ли sl(2). Вычислить оператор Казимира J 2 для этого представления алгебры Ли sl(2). 3. Для реализации (3.5.50) алгебры Ли sl(2) найти старший вектор v0 , который удовлетворяет соотношениям ∆ v0 , e+ v0 = 0 . 2 Построить представления для sl(2) (3.5.50) со старшим весом. Показать, что если H v0 = − ∆ = −2j (j ∈ Z+ /2 – полуцелое положительное число), то e2j+1 v0 ∼ v2j+1 = 0 и мы − получаем (2j +1)- мерное представление в пространстве полиномов с базисом vn ∼ z n (n = 0, 1, . . . , 2j). Если ∆ 6= −2j, то мы получаем бесконечномерное представление в пространстве рядов с базисом vn ∼ z n (n = 0, 1, . . . , ∞). 4. Рассмотрим две абелевы подгруппы B± ⊂ SL(2) с элементами + b (α) = 1 α 0 1 ! ∈ B+ , − b (α) = 1 0 α 1 ! ∈ B− . Доказать соотношение "звезда-треугольник" b+ (α1 ) b− ( α12 ) b+ (α3 ) = b− ( ᾱ13 ) b+ (ᾱ2 ) b− ( ᾱ11 ) , где параметры {αi } и {ᾱi } связаны соотношениями ᾱ1 ᾱ2 ᾱ3 , (3.5.51) mapzt ᾱ1 + ᾱ2 + ᾱ3 которые известны как преобразования "звезда-треугольник"для сопротивлений в ᾱ1 α1 = ᾱ2 α2 = ᾱ3 α3 = α1 α3 + α2 α3 + α1 α2 = элетрических цепях: u 2 , I2 6 u 2 , I2 α2 u 1 , I1 α1 - 6 • u α3  ⇔ u 3 , I3
A
A ᾱ3


AAA ᾱ1 AAA




I- AA 
 -
u 1 , I1 ᾱ2 u 3 , I3 где ui - потенциалы, Ii - токи, а αi , ᾱi - сопротивления. 3.6 Лекция 12. Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2) и его разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Коэффициенты Клебша Гордана. Разложение Клебша-Гордана. 129 Пусть представления T (1) и T (2) группы G неприводимы, а соответствующие пространства представлений мы обозначим V1 и V2 . Тогда прямое произведение T (1) ⊗T (2) в общем случае приводимо. Рассмотрим простейший случай полной приводимости. Тогда T (1) ⊗ T (2) разложимо в прямую сумму по всем неприводимым представлени- ям T (α) группы G, которые действуют в пространствах представлений Vα . Другими словами, существует такая матрица C, с помощью которой T (1) ⊗ T (2) приводится к блочно-диагональному виду   C T (1) ⊗ T (2) C −1 = ⊕α mα T (α) ⇒ Ĉ(V1 ⊗ V2 ) = ⊕α mα Vα (3.6.1) klgo где mα кратность вхождения неприводимых представлений, эквивалентных T (α) , в тензорное произведение T (1) ⊗ T (2) , Ĉ – оператор переводящий соответствующие про- странства представлений друг в друга. Матричные элементы оператора Ĉ называются коэффициентами Клебша-Гордана а формула (3.6.1) называется разложением (или рядом) Клебша-Гордана. Проблема построения ряда Клебша-Гордана в теории представлений групп является одной из самых сложных задач, решение которой известно только для некоторого класса групп и определенных типов представлений. Будем изучать проблему построения ряда Клебша-Гордана для конечномерных представлений группы SU(2). Эти представления, как мы видели, определяются конечномерными представлениями алгебры Ли этой группы или конечномерными представлениями алгебры Ли sl(2). Ниже мы рассмотрим отдельно несколько подходов к решению проблемы построения ряда Клебша-Гордана для конечномерных представлений группы SU(2). Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки. Подход 1. Прежде всего мы обсудим метод нахождения кратностей mα в разложении (3.6.1) для случая конечномерных неприводимых представлений группы SU(2). Пусть мы имеем два неприводимых представления T j1 , T j2 группы SU(2) (или, что то же самое для алгебры (3.5.25)), которые действуют в пространствах с базисными векторами Tmj = |j, mi (3.5.32) c j = j1 и j = j2 , и которые реализуются в виде 2j1 + 1 и 2j2 + 1- мерных матриц, соответственно. Первое соотношение в (3.6.1) можно переписать в виде C(T j1 ⊗ T j2 )C −1 = ⊕j mj T j , 130 (3.6.2) tt-t из которого следует соотношение для характеров χ(j) (ψ) элементов Û (ψ) (3.4.12) группы SU(2): χ(j1 ) (ψ) · χ(j2 ) (ψ) = ⊕j mj χj (ψ) , (3.6.3) chit где  (j) j  χ (ψ) = Tr2j+1 T (Û(ψ)) = j X m=−j hj, m|T j (Û (ψ))|j, mi , (3.6.4) chit2 а угол поворота ψ характеризует класс сопряженности элементов группы SU(2). Действительно, преобразованиями подобия (3.3.13) элемент Û (ψ) (3.4.12) (поворот на угол ψ вокруг любой оси ~n) сводится к повороту на угол ψ вокруг фиксированной оси e3 . Заметим теперь, что векторы базиса |j, mi (m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j) пред- ставления T j выбираются так, что генератор поворота Ĥ вокруг e3 – диагонален в этом базисе и, соответственно, вектора |j, mi преобразуются по одномерным непри- водимым представлениям t(m) (ψ) := eimψ (3.1.9) подгруппы SO(2) поворотов вокруг оси e3 . При этом мы получаем: T j (exp(iψ Ĥ)) = ⊕jm=−j t(m) . Другими словами, любой элемент группы SU(2) в (2j + 1)-мерном представлении, соответствующий повороту на угол ψ можно привести к диагональному виду: diag{e−ijψ , . . . , ei(j−1)ψ , eijψ }. Поль- зуясь этими фактами мы можем вычислить характер (3.6.4) представления T j для любого поворота на угол ψ: χ(j) (ψ) = j X m=−j eimψ = eiψ(j+1/2) − e−iψ(j+1/2) sin(ψ(j + 1/2)) = . iψ/2 −iψ/2 e −e sin(ψ/2) (3.6.5) chip Учитывая (3.6.5) мы перепишем левую часть (3.6.3) в виде sin(ψ(j1 + 21 )) sin(ψ(j2 + 21 )) sin(ψ(j1 + j2 + 21 )) sin(ψ/2) + sin(ψ(j1 )) sin(ψ(j2 )) = sin(ψ/2) sin(ψ/2) sin2 (ψ/2) или 1 1 χ(j1 ) (ψ) · χ(j2 ) (ψ) = χ(j1 +j2 ) (ψ) + χ(j1 − 2 ) (ψ) · χ(j2 − 2 ) (ψ) Применяя эту формулу ко второму слагаемому в ее правой части, получаем далее χj1 (ψ) · χj2 (ψ) = χ(j1 +j2 ) (ψ) + χ(j1 +j2 −1) (ψ) + χ(j1 −1) (ψ) · χ(j2 −1) (ψ) и т.д. до тех пор пока мы не получим (после (2j2 − 2) шагов, если j1 ≥ j2 ) в этом слагаемом множитель χ(0) (ψ) = 1 χ(j1 ) (ψ) · χ(j2 ) (ψ) = χ(j1 +j2 ) (ψ) + χ(j1 +j2 −1) (ψ) + . . . + χ(j1 −j2 ) (ψ) . Сравнивая этот результат (см. например [20]) с соотношением (3.6.3), получаем, что mj = 1 для |j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2 и mj = 0 для других j. Этот факт можно также 131 проверить путем подсчета размерностей соответствующих пространств в формуле (3.6.2), что эквивалентно проверке тождества: (2j1 + 1)(2j2 + 1) = j1X +j2 (2j + 1) . j=|j1 −j2 | Подход 2. Теперь мы займемся вычислением коэффициентов Клебша-Гордана (матричных элементов оператора Ĉ) в разложении (3.6.1) для случая группы SU(2) (алгебры su(2)). Пусть мы имеем два представления в пространствах с базисами Tmj (j = j1 , j2 ) (3.5.32), которые являются мономами от переменных (s1 , t1 ) и (s2 , t2 ), соответственно. Легко проверить, применяя вариации (3.5.24), что для таких представлений инвариантной однородной функцией является комбинация (s1 t2 − s2 t1 )n : ( 2 X i=1 si ∂ti )(s1 t2 − s2 t1 )n = ( 2 X i=1 ti ∂si )(s1 t2 − s2 t1 )n = (Ĥ1 + Ĥ2 )(s1 t2 − s2 t1 )n = 0 . При этом аналог инвариантной свертки (3.5.38) имеет вид 2j (s1 t2 − s2 t1 ) = (2j)! j X m=−j j (−1)j−m T−m (s2 , t2 ) Tmj (s1 , t1 ) . (3.6.6) sstt2 Рассмотрим еще одно сопряженное представление (3.5.37), реализованное на переменных (s̄3 , t̄3 ). Тогда для всех этих трех представлений можно построить инвариант I, зависящий от 6 переменных I = (s1 t2 − s2 t1 )n (s1 s̄3 + t1 t̄3 )n2 (s2 s̄3 + t2 t̄3 )n1 , (3.6.7) confinv такой, что (1) (2) (3) (ê± + ê± + ē± )I = 0 , (Ĥ (1) + Ĥ (2) + H̄ (3) )I = 0 . (3.6.8) cfteq Разложение инварианта I в ряд по переменным (si , ti , s̄3 , t̄3 ) дает (Ckn – биномиальные коэффициенты) I= = X (−)k Ckn Ckn11 Ckn22 (s1 t2 )n−k (s2 t1 )k (s1 s̄3 )n2 −k2 (t1 t̄3 )k2 (s2 s̄3 )n1 −k1 (t2 t̄3 )k1 = k,k1 ,k2 X 2 −k−k2 k+k2 t1 ) (s2n1 −k1 +k t2n−k+k1 ) (s̄3n1+n2 −k1 −k2 t̄3k1 +k2 ) . (−)k Ckn Ckn11 Ckn22 (sn+n 1 k,k1 ,k2 (3.6.9) confinv2 Для выделения в (3.6.9) базисных векторов (3.5.32) и (3.5.37) положим 2j = n1 + n2 , 2j1 = n + n2 , 2j2 = n + n1 , что эквивалентно n = j1 + j2 − j , n1 = j + j2 − j1 , n2 = j + j1 − j2 , 132 (3.6.10) confjjj и сделаем замену переменных суммирования (k1,2 → m1,2 ) k + k2 = j1 − m1 ⇒ 0 ≤ j1 − m1 ≤ n + n2 ⇒ −j1 ≤ m1 ≤ j1 , n − k + k1 = j2 − m2 ⇒ 0 ≤ j2 − m2 ≤ n + n1 ⇒ −j2 ≤ m2 ≤ j2 , k1 + k2 = j − m ⇒ m = m1 + m2 . Т.к. в этих формулах фигурируют только 2 композиции: k̃1 = k1 − k = j2 − m2 − n = j − j1 − m2 и k̃2 = k2 + k = j1 − m1 изначальных переменных суммирования, то (3.6.9) переписывается в виде I= ji X mi =−ji X k (−) k = D(j1 , j2 , j) где ! 2 −n 1 −n Ckn Cj2j2 −n−m Cj2j1 −m 2 +k 1 −k ji X mi =−ji (sj11 +m1 tj11 −m1 ) (sj22 +m2 tj22 −m2 ) (s̄3j+m t̄3j−m ) = j hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mi (−1)j−m Tmj11 Tmj22 T̄−m , (3.6.11) ttbart D(j1 , j2 , j3 ) = (j2 + j3 − j1 )!(j1 + j3 − j2 )!(j2 + j1 − j3 )! , m = m1 + m2 и символы [18] hj1 m1 , j2 m2 |j mi = = P P (−) k k √ (j1 +m1 )!(j1 −m1 )!(j2 +m2 )!(j2 −m2 )!(j+m)!(j−m)! (j1 −m1 −k)!(j1 −n+m1 +k)!(j2 +m2 −k)!(j2 −n−m2 +k)!k!(n−k)! √ (j1 +m1 )!(j1 −m1 )!(j2 +m2 )!(j2 −m2 )!(j+m)!(j−m)! k (−) , k (j1 −m1 −k)!(j−j2 +m1 +k)!(j2 +m2 −k)!(j−j1 −m2 +k)!k!(j1 +j2 −j−k)! = (3.6.12) kgk называются коэффициентами Клебша-Гордана (ККГ). Дробь в правой части (3.6.12) обращается в ноль, если одно из чисел в знаменателе, скажем, (j1 − m1 − k) и т.д. становится отрицательным (кроме того имеется соглашение (0)! = 1). Сравнивая инвариант (3.6.11) с инвариантной сверткой (3.5.38), можно сделать вывод о том, что справедливо соотношение Tmj = µ(j1 , j2 , j) X m1 ,m2 Tmj11 Tmj22 hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mi , m1 +m2 =m или в других обозначениях |j, mi = µ(j1 , j2 , j) X m1 ,m2 m1 +m2 =m |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i hj1 m1 , j2 m2 |j mi , (3.6.13) kgk4 где нормировочный множитель µ(j1 , j2 , j) может быть выбран произвольным (например, µ(j1 , j2 , j) = 1) в зависимости от нормировки ККГ. Если вектора |ji mi i 133 образуют орто-нормированную систему, то исходя из соотношения (3.6.13), можно получить следующее выражение для ККГ (µ(j1 , j2 , j) = 1) (hj1 m1 | ⊗ hj2 , m2 |)|j1 j2 ; jmi = hj1 m1 , j2 m2 |jmi . (3.6.14) kgk6 Здесь для вектора связанного базиса |jmi из формулы (3.6.13) мы использовали обозначение |j1 j2 ; jmi. Заметим, что ККГ (3.6.12) образуют матрицу обратную к коэффициентам, воз- никающим в разложении Клебша-Гордана |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i = j1X +j2 j=|j1 −j2 | |j1 j2 ; j mi hj m|j1 m1 , j2 m2 i , (3.6.15) kgk5 где m = m1 + m2 . Замечание 1. С учетом условия (3.6.10) и отождествления t̄3 = −s3 , s̄3 = t3 (3.5.29), запишем инвариант (3.6.7) в симметричном виде (j3 := j) (−1)j2 −j1 −j3 I = (s1 t2 − s2 t1 )j1 +j2 −j3 (s3 t1 − s1 t3 )j3 +j1 −j2 (s2 t3 − s3 t2 )j3 +j2 −j1 = (3.6.16) confinv4 = X k1 ,k2 ,k3 3 Y (−) ki i=1 X Cknii ! q (ji + mi )!(ji − mi )! Tmj11 (s1 t1 )Tmj22 (s2 t2 )Tmj33 (s3 t3 ) =    j1 j2 j3  T j1 (s1 t1 )T j2 (s2 t2 )T j3 (s3 t3 ) , = m1 m2 m3 m1 m2 m3 m1 ,m2 ,m3 где (3.6.17) confinv5 n1 = j2 + j3 − j1 , n2 = j1 + j3 − j2 , n3 = j2 + j1 − j3 , m1 = k2 + j2 − k3 − j3 , m2 = k3 + j3 − k1 − j1 , m3 = k1 + j1 − k2 − j2 .   j j j Коэффициенты  1 2 3  в формуле (3.6.17) называются 3-j символами Вигнера m1 m2 m3 и по определению они отличны от нуля только если m1 + m2 + m3 = 0. Очевидно, что 3-j символы связаны простыми соотношениями с ККГ (3.6.11), (3.6.12)    j1 j2 j3  = δm +m +m ,0 D(j1 , j2 , j3 ) (−1)j2 −j1 +m3 hj1 , m1 ; j2 , m2 |j3 , −m3 i . 1 2 3 m1 m2 m3 (3.6.18) 3jkkg Т.к. выражение (3.6.16) не меняется при любой перестановке трех индексов {1, 2, 3}, то аналогичной симметрией обладает и 3-j символ (3.6.17)        j1 j2 j3   j2 j1 j3   j1 j3 j2  = = . m1 m2 m3 m2 m1 m3 m1 m3 m2 134 (3.6.19) 3jinv Замечание 2. С помощью однородных координат zi = si /ti симметричная форма (3.6.16) для инварианта I переписывается в виде j1 +j2 −j3 1 2j2 2j3 I = t2j (z1 − z3 )j3 +j1 −j2 (z2 − z3 )j3 +j2 −j1 , 1 t2 t3 (z1 − z2 ) а уравнения инвариантности (3.6.8) в этих координатах выглядят следующим образом 3 X i=1 ∂zi I = 0 , 3  X i=1 zi ti ∂ti − zi2 ∂zi  I=0, 3  X i=1 1 zi ∂zi − ti ∂ti 2  I =0. (3.6.20) cfteq1 При этом выражения типа −1 1 2j2 2j3 G(z1 , z2 , z3 ) = C(j1 , j2 , j3 ) (t2j = 1 t2 t3 ) I = (z1 − z2 )j1 +j2 −j3 C(j1 , j2 , j3 ) , (z1 − z3 )j3 +j1 −j2 (z2 − z3 )j3 +j2 −j1 соответствует выражениям для 3- точечных функций Грина G(z1 , z2 , z3 ) = hφ∆1 (z1 )φ∆2 (z2 )φ∆3 (z3 )i в 2-мерных конформных теориях поля, где ∆a = 2ja называются конформными размерностями полей, а константы C(j1 , j2 , j3 ) несут нетривиальную информацию об операторных разложениях в теории. Отметим, что 3-х точечные функции G(z1 , z2 , z3 ) удовлетворяют тождествам Уорда, вытекающим из (3.6.20), 3 X ∂zi G = 0 , i=1 3  X i=1  zi ∆i + zi2 ∂zi G = 0 , 3  X zi ∂zi + i=1 ∆i 2  G=0, (3.6.21) cfteq2 (сравните дифференциальные операторы в (3.6.21) с операторами в (3.5.50)). Подход 3. Рассмотрим бесконечно-мерную алгебру U(su(2)), порождаемую образующими алгебры спинов (Sx , Sy , Sz ), которые удовлетворяют соотношениям (см. (3.4.11)) [Sα , Sβ ] ≡ Sα Sβ − Sβ Sα = i Eαβγ Sγ (α, β, γ = 1, 2, 3) , (3.6.22) oprs где S1 = Sx , S2 = Sy , S3 = Sz . Т.е., рассмотрим ассоциативную алгебру всех полиномов от генераторов Sα с добавлением единичного элемента. Можно показать что в качестве базиса в алгебре U(su(2)) можно выбрать элементы 1, S1 , S2 , S3 , Sα Sβ (α ≥ β), Sα1 Sα2 Sα3 (α1 ≥ α2 ≥ α3 ), . . . , Sα1 Sα2 · · · Sαm (α1 ≥ α2 ≥ . . . ≥ αm ), . . . . 135 В соответствии с Определением 3.2.6, алгебра U(su(2)) называется обертывающей алгеброй алгебры Ли su(2), или обертывающей алгеброй спинов. Рассмотрим специальное отображение ∆: U(su(2)) → U(su(2)) ⊗ U(su(2)) такое, что (3.6.23) comult ∆Sα = Sα ⊗ 1 + 1 ⊗ Sα . Непосредственно можно проверить, что отображение ∆ ”уважает” определяющие соотношения (3.6.22), т.е., [∆(Sα ), ∆(Sβ )] = i Eαβγ ∆(Sγ ) , и, следовательно, определяет гомоморфизм ∆: U(su(2)) → U(su(2)) ⊗ U(su(2)). Это значит, что ∆(ab) = ∆(a)∆(b) ∀a, b ∈ U(su(2)). Отображение ∆ (3.6.23) также удовлетворяет условию коассоциативности (3.6.24) comultas (∆ ⊗ 1)∆ = (1 ⊗ ∆)∆ . Определение 3.6.1 Пусть A – ассоциативная алгебра. Гомоморфное отображе- ние ∆: A → A ⊗ A, которое удовлетворяет условию коассоциативности (3.6.24), называется коумножением. Рассмотрим определяющее представление алгебры su(2) (группы SU(2)) и выберем базис в соответствующем 2-мерном пространстве представления следующим образом | ↑ i := 1 ! , | ↓ i := 1 ! (3.6.25) compos0 Стрелки здесь соответствуют направлениям вектора спина по отношению к оси z (вверх и вниз) в зависимости от знака собственного значения m = ±1/2 операто- ра Sz , взятого в определяющем представлении Sz = 1/2σ3 . Далее мы пользуемся следующими обозначениями для композитных состояний ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! | ↑↑ i = 1 ⊗ 1 , | ↓↑ i = 0 ⊗ 1 , | ↑↓ i = 1 ⊗ 0 , | ↓↓ i = 0 ⊗ 0 , 1 1 1 1 | ↑↑↑ i = ! 1 ⊗ 1 ⊗ 1 , | ↓↑↓ i = ! ! ! 0 ⊗ 1 ⊗ 0 , | ↓↑↑ i = 1 1 ! (3.6.26) compos1 0 ⊗ 1 ⊗ 1 , . . . (3.6.27) compos2 1 и т.д. Действие операторов компонент вектора спина Sx , Sy , Sz (здесь, и в дальнейшем, мы будем считать, что операторы Sα берутся в определяющем представлении) на 136 композитные состояния (3.6.26), (3.6.27) определяются коумножением (3.6.23) для образующих алгебры Ли su(2). Оператор (3.6.23) действует на состояние (v ⊗ u), где v, u – 2-мерные вектора, следующим образом (∆Sα )(v ⊗ u) = (Sα ⊗ 1 + 1 ⊗ Sα )(v ⊗ u) = (Sα v) ⊗ u + v ⊗ (Sα u) . (3.6.28) comuv Итак, для состояний (3.6.26) мы используем (3.6.23). Далее, для определения действия операторов Sα на состояния (3.6.27), представляющих собой композицию трех двумерных векторов, мы пользуемся формулой ∆2 Sα = (∆ ⊗ 1)∆Sα = (1 ⊗ ∆)∆Sα = (3.6.29) comult1 = Sα ⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ Sα ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ Sα , а для прямого произведения n состояний со спином 1/2 (2-мерных векторов) мы должны пользоваться коумножением в n-ой степени n ∆ (Sα ) = n X Sα(k) , k=1 где Sα(k) = 1⊗(k−1) ⊗ Sα ⊗ 1⊗(n−k) . Однозначность определения ∆n (см., например, (3.6.29)) следует из коассоциативности (3.6.24)) отображения ∆. Заметим, что правила (3.6.23), (3.6.28) являются ни чем иным как квантовомеханическим правилом суммирования спинов, которое определяет представление T для образующих Sα (операторов компонент спина) алгебры Ли su(2) на пространстве прямых произведений двух векторов vj1 и uj2 (композиций двух состояний с произвольными спинами j1 и j2 ) из пространств неприводимых представлений T j1 и T j2 алгебры su(2). В этом случае мы имеем T (Sα ) (vj1 ⊗ uj2 ) = (T j1 (Sα )vj1 ) ⊗ uj2 + vj1 ⊗ (T j2 (Sα )uj2 ) . (3.6.30) comuvtt Применим это правило к состояниям (3.6.26), (3.6.27). Тогда собственные значения m оператора Sz (вернее его представления T (Sz )) на состояниях (3.6.26) равны 1, 0, 0, −1, а на состояниях (3.6.27) равны 3/2, −1/2, 1/2, . . ., соответственно. Если мы рассмотрим прямое произведение n 2-мерных векторов (3.6.25), то мы по- лучим пространство V n представления SU(2) размерности 2n . Для выделения непри- водимых компонент из V n мы будем пользоваться следующей процедурой. Введем повышающие и понижающие операторы (аналоги образующих e± (3.5.17) в алгебре Ли sl(2))  S + = Sx + iSy =   0 1 , 0 0  S − = Sx − iSy =  137  0 0 , 1 0 [S + , S − ] = 2 Sz , [Sz , S ± ] = ±S ± , где Sz – аналог образующей H (3.5.17). Заметим, что S + | ↑i = 0 , S − | ↑i = | ↓i , S + | ↓i = | ↑i , (3.6.31) spsm S − | ↓i = 0 . Рассмотрим 4-мерное пространство V 2 с базисом (3.6.26), вектора которого могут быть представлены в виде башни (в соответствии с их проекцией m на ось z) | ↑↑ i m=1 | ↓↓ i m = −1 (3.6.32) 4dimir | ↑↓ i , | ↓↑ i m = 0 и выберем в качестве вектора со ”старшим весом” состояние | ↑↑ i с максимальной проэкцией m = 1 (действительно, это состояние зануляется првышающим операто- ром ∆(S+ ) (см. (3.5.19)). Затем, для того чтобы породить из этого вектора все пространство неприводимого представления, мы действуем на него понижающим оператором ∆S− и мы имеем в соответствии с (3.6.23), (3.6.31) ∆S− · | ↑↑ i = | ↓↑ i + | ↑↓ i, (∆S− )2 · | ↑↑ i = 2| ↓↓ i, (∆S− )3 · | ↑↑ i = 0 . Т.о., 3 базисных вектора | ↑↑ i m = 1, (∆S − ) · | ↑↑ i = | ↓↑ i + | ↑↓ i − 2 (∆S ) · | ↑↑ i = 2| ↓↓ i m=0, (3.6.33) 3dimirr m = −1 определяют инвариантное 3-х мерное подпространство в 4-х мерном пространстве V 2 . Это неприводимое представление соответствует спину j = 1, что следует из вы- числения собственных значений j(j + 1) оператора Казимира J2 =  1 + − S S + S − S + + Sz2 , 2 (3.6.34) cassp1 на векторах (3.6.33). Например для вектора со старшим весом из (3.6.33) мы имеем ∆(J 2 )| ↑↑ i =   1 ∆(S + )∆(S − ) + ∆(Sz )∆(Sz ) | ↑↑ i = 2| ↑↑ i 2 Отметим, что оператор (3.6.34) имеет одно и тоже собственное значение j(j + 1) на всех векторах неприводимого представления со спином j, так как он коммутирует со всеми операторами алгебры спинов (в том числе и с понижающими операторами S − ). Т.о., для неприводимого представления (3.6.33), мы имеем значение спина j = 1. 138 Итак, мы выделили из 4-мерного пространства (3.6.32) 3-мерное неприводимое подпространство (3.6.33). Остается 1-мерное подпространство в V 2 (очевидно с проэкцией спина m = 0), которое также должно быть инвариантным подпространством и которое можно снова выделить из V 2 , налагая условие старшего веса на произвольное состояние с проэкцией спина m = 0 ∆S + · (a1 | ↓↑ i + a2 | ↑↓ i) = 0 . Как нетрудно увидеть это условие эквивалентно требованию a1 = −a2 . Т.о. мы имеем последний базисный вектор в V 2 (в дополнение к 3-м векторам (3.6.33)), соответству- ющий 1-мерному НП, (3.6.35) 1dimirr (| ↓↑ i − | ↑↓ i) . То, что этот вектор действительно образует 1-мерное инвариантное подпространство следует из того факта, что ∆S − и ∆Sz также равны нулю на этом векторе. Заметим, что состояния (3.6.33) являются симметричными комбинациями произведений 2-векторов (3.6.26), в то время как (3.6.35) – антисимметричен. Теперь общая процедура выделения неприводимых подпространств из V n может быть описана следующим образом. Рассмотрим башню из базисных векторов в V n | ↑↑ . . . ↑i | {z n } m = n/2 | ↓↑ . . . ↑i , | ↑↓↑ . . . ↑i . . . , | ↑↑ . . . ↑↓i | {z n } | {z n } ............................................ | {z n } m = n/2 − 1 ....... | ↑↓ . . . ↓i , | ↓↑↓ . . . ↓i . . . , | ↓↓ . . . ↓↑i m = −n/2 + 1 | ↓↓ . . . ↓i m = −n/2 | | {z n {z n } } | {z n | } {z n } Возьмем вектор со старшим весом | ↑↑ . . . ↑i с m = n/2, в котором все спины направ| {z } n лены вверх. Это означает, что оператор + ∆n (S + ) = S ⊗ 1 {z ⊗ . . . ⊗ 1} + |1 ⊗ S + ⊗ {z 1 ⊗ . . . ⊗ 1} + . . . + |1 ⊗ · · ·{z1 ⊗ S +} ≡ | n n n (3.6.36) dnsp ≡ S1+ + S2+ + . . . + Sn+ . (в последней строке мы использовали краткие обозначения) равен нулю на этом 139 векторе. Подействуем на | ↑↑ . . . ↑i понижающим оператором | {z n } − 1 ⊗ . . . ⊗ 1} + . . . + |1 ⊗ · · ·{z1 ⊗ S −} ≡ ∆n (S − ) = S ⊗ 1 {z ⊗ . . . ⊗ 1} + |1 ⊗ S − ⊗ {z | n n n (3.6.37) dnsm ≡ S1− + S2− + . . . + Sn− , в результате чего получаем вектор как симметричную линейную комбинации векторов с m = n/2 − 1, и т.д. После действия (∆n (S − ))k мы получаем симметричный вектор с m = n/2 − k. Процедура остановится на шаге k = n. Затем, мы берем произвольный оставшийся вектор в V n с проекцией спина на ось z равной m = n/2 − 1 (собственный вектор оператора Sz с собственным значением (n/2 − 1)): |n/2 − 1, n/2 − 1i = a1 | ↓↑ . . . ↑ i + a2 | ↑↓↑ . . . ↑ i + . . . + an | ↑ . . . ↑↓ i и налагаем на него условие старшего веса ∆n (S + )|n/2 − 1, n/2 − 1i = 0 , где ∆n (S + ) определено в (3.6.36). Это условие, в силу (3.6.31), дает a1 +a2 +. . .+an = 0 и, т.о., фиксирует параметры ai в определении вектора | n2 − 1, n2 − 1i. В частности мы можем выбрать a1 = −a2 ai = 0 (∀i > 2) или a2 = −a3 a1 , ai = 0 (∀i > 2) и т.д.. В результате мы получаем n − 1 различных независимых векторов со старшим весом m = n/2 − 1 и спином j = n/2 − 1. Все эти старшие вектора порождают идентич- ные n − 1-размерные НП. Действительно, как мы видели выше, антисимметричную комбинацию ↓↑ − ↑↓ можно рассматривать как скаляр и в результате получить     1 1   − √ Sk− − Sk+1 | ↑ .... ↑i = √ | ↑ .... ↑↓ ↑ ....i − | ↑ .... ↑↓ ↑ ....i = | ↑ .... ↑i . | {z } | {z } | {z } 2 2 | {z } n k k+1 n−2 (3.6.38) norm33 Далее, мы действуем на вектор | ↑ .... ↑i понижающими операторами (∆n−2 (S − ))k | {z } n−2 k = 1, . . . , n − 2 с спомощью (3.6.31), и затем порождаем инвариантное n − 1-мерное пространство со спином j = n/2 − 1. Далее, мы выделяем вектор со старшим весом в пространстве V n с проэкцией m = n/2 − 2 и действуя понижающими операторами порождаем n − 2-мерное инвариантное подпространство со спином j = (n/2 − 2), и т.д. 140 Т.о., в пространстве произведений n 2-мерных пространств со спином 1/2 мы получаем инвариантные подпространства со спинами j = n/2, n/2 − 1, . . . , 1/2 или 0, в зависимости от того является число n четным или нечетным. Размерность этих пространств, как мы знаем, равна 2j + 1. Эта процедура также показывает, что наиболее удобные обозначения для базисных векторов есть |j, mi, где j - обозначает полный спин и соответсвует собств. значению j(j + 1) оператора J 2 (3.6.34), и, следователь- но, фиксирует НП, а индекс m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j перечисляет базис в НП с фиксированным спином j. Введем нормированные базисные состояния (см. (3.5.35))  |j, mi = aj,m ∆2j (S − ) j−m (3.6.39) nsost |j, ji , − где |j, ji = | ↑ . . . ↑i, ∆2j (S − ) = (S1− + . . . + S2j ) и aj,m = | {z } 2j  1/2 (j+m)! . (j−m)! (2j)! Сопряженные к (3.6.39) состояния hj, m| такие, что hj, m′ |j, mi = δmm′ , определяются по формулам  hj, m| = aj,m hj, j| ∆2j (S + ) j−m (3.6.40) nsosts , где вектор hj, j| равен прямому произведению 2j транспонированных векторов | ↑ iT = (1, 0) и мы учли эрмитово сопряжение для образующих алгебры su(2): (S ± )† = S ∓ , Sz† = Sz . (3.6.41) herms Рассмотрим произведение двух базисных векторов для неприводимых представлений со спинами j1 и j2 |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i = − j1 −m1 − − = aj1 ,m1 aj2 ,m2 (S1− + . . . + S2j ) (S2j + . . . + S2j )j2 −m2 | ↑ . . . ↑i . 1 1 +1 1 +2j2 (3.6.42) nsost2 | {z } 2j1 +2j2 Затем, разложение типа (сравните с (3.6.15)) − j1 −m1 − − aj1 ,m1 aj2 ,m2 (S1− + . . . + S2j ) (S2j + . . . + S2j )j2 −m2 | ↑ . . . ↑i = 1 1 +1 1 +2j2 | {z } 2j1 +2j2 = j1P +j2 j3 =|j1 −j2 | − j3 −m3 aj3 ,m3 (S1− + . . . + S2j ) | ↑ . . . ↑i hj3 m3 |j1 m1 ; j2 m2 i , 3 | {z } 2j3 где m3 = m1 +m2 , определяет для группы SU(2) коэффициенты КГ hj3 m3 |j1 m1 ; j2 m2 i, обратные к коэффициентам (3.6.12). 141 Пример. Рассмотрим произведение |1, 0i ⊗ |1, 1i = a1,0 (S1− + S2− )| ↑↑i ⊗ | ↑↑i = a1,0 (S1− + S2− )| ↑↑↑↑i = = a1,0   1 1 1 − (S1 + S2− + S3− + S4− ) + (S1− − S3− ) + (S2− − S4− ) | ↑↑↑↑i = 2 2 2     √ √ = a1,0 2a12,1 |2, 1i + 2 |1, 1i = √12 2√1 3 |2, 1i + 2 |1, 1i , где мы приняли во внимание нормировку векторов (см., например, (3.6.38)). В результате мы получили h2, 1|1, 0; 1, 1i = 1 √ 2 6 и h1, 1|1, 0; 1, 1i = 1. Следует отметить, что данный способ позволяет получить ККГ только для малых спинов j1 , j2 и его трудно использовать для вычисления общих формул. Поэтому мы изложим в конце этого подраздела более конструктивный метод вычисления ККГ для алгебры Ли su(2), основанный на использовании коумножения (3.6.23), (3.6.30) (правила сложения спинов). Рассмотрим следующую цепочку равенств     hj1 m1 | ⊗ hj2 m2 | T j (S ± ) |jmi = hj1 m1 | ⊗ hj2 m2 | T (S ± ) |jmi =  = T (S ∓ ) |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i  j1 ∓ †  |jmi = [T j1 (S ∓ ) + T j2 (S ∓ )] |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i = T (S ) |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i †  j2 ∓ |jmi + |j1 m1 i ⊗ T (S )|j2 m2 i † † |jmi = (3.6.43) racah1 |jmi , где мы учли правило эрмитова сопряжения (3.6.41) и правило сложения спинов (3.6.30). Сравнивая первую и последнюю часть (3.6.43), воспользуемся формулами (3.5.34) и определением ККГ (3.6.14). В результате получаем рекурентное соотношение = q q q (j ± m + 1)(j ∓ m) hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, m ± 1i = (j1 ∓ m1 + 1)(j1 ± m1 ) hj1 , m1 ∓ 1; j2 , m2 | j, mi+ (3.6.44) racah2 + (j2 ∓ m2 + 1)(j2 ± m2 ) hj1 , m1 ; j2 , m2 ∓ 1| j, mi . Подставляя в (3.6.43) вместо операторов S ± оператор Sz , мы получаем условие (m1 + m2 − m)hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mi = 0 , откуда следует, что ККГ hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mi отличен от нуля только если m = m1 + m2 . Рассмотрим теперь (3.6.44) с верхним знаком и положим m = j. Тогда левая часть (3.6.44) исчезает и мы получаем набор соотношений, с пощью которых находим ККГ 142 hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, ji c точностью до общего фактора, определяемого нормировкой и соглашением, что hj1 , j1 ; j2 , j − j1 |j, ji реален и положителен. Выбирая теперь ниж- ний знак в (3.6.44), мы выражаем hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, m − 1i через hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mi и, следовательно, пользуясь лестничной процедурой, находим все ККГ, начиная с m = j. Замечание. Метод нахождения ККГ, изложенный в конце этого подраздела, вероятно, является наилучшим методом, допускающим обобщение на случай других алгебр Ли G, отличных от su(2). При этом необходимо иметь аналоги формул (3.5.34), где в качестве повышающих (понижающих) операторов должны выступать образующие G, соответствующие корневым векторам. Подход 4. Теперь мы обсудим еще один способ явного вычисления коэффициентов КлебшаГордана – так называемый метод экстремального проектора. Экстремальный проектор для случая алгебры Ли sl(2) был введен в работах П.-О. Лёвдина и Дж. Шапиро [26]. Для алгебр sl(N) и остальных простых алгебр Ли экстремальные проекторы были построены и изучены в работах Р.М.Ашеровой, В.Н.Толстова и Ю.Ф.Смирнова14 (см., например, [27], [28] и ссылки, приведенные там). Утверждение 3.6.1 Для обертывающей алгебры U(sl(2)) алгебры Ли sl(2) (3.5.17) рассмотрим оператор P , заданный как формальный ряд P = ∞ X k=0 где (2 H+k+1)! (2H+1)! ek− ek+ ∞ X (−1)k (2 H + 1)! (−1)k (2 H + 1)! k k ≡ e e , k! (2H + k + 1)! k=0 k! (2H + k + 1)! − + (3.6.45) prtol := (2H + k + 1) · (2H + k) · · · (2 H + 2). Тогда оператор (3.6.45) удовле- творяет соотношениям e+ P = 0 = P e− , (3.6.46) pro2 (P )2 = P . (3.6.47) pro3 и является проектором Доказательство. Рассмотрим формальный ряд P := ∞ X k=0 14 ek− ek+ Xk (H) , (3.6.48) prtol1 Один из авторов (АПИ) имел удовольствие слушать курс лекций проф. Ю.Ф.Смирнова по тео- рии групп в Московском университете. Естественно, что Ю.Ф.Смирнов излагал способ вычисления коэффициентов Клебша-Гордана, основанный на использовании экстремального проектора. 143 где Xk (H) – функции от H. Соотношения (3.6.46), с учетом тождества (3.5.21), приводят к следующим уравнениям на коэффициенты Xk (H): k (2 H + k + 1) Xk (H) + Xk−1 (H) = 0 , которые решаются в виде Xk (H) = X0 (H) (−1)k (−1)k (2 H + 1)! ≡ X0 (H) , k! (2H + k + 1) · · · (2 H + 2) k! (2H + k + 1)! (3.6.49) solxn Q.E.D. и из условия (P )2 = P мы имеем X0 (H) = 1. Из равенств (3.6.46), с учетом (3.5.34) и (3.5.36), следует, что для любого представления T j мы имеем (3.6.50) prok3 P |j, mi = δm,j |j, ji , и это означает, что проектор P (3.6.45) проецирует любое состояние P m cm |j, mi, в пространстве неприводимого представления T j , на старший вектор cj |j, ji. С дру- гой стороны действие проектора P (3.6.45) на любой вектор |mi из пространства приводимого представления L T j: j≥m H|mi = m|mi ⇒ |mi := X j≥m c̃j |j, mi , вырезает состояние P |mi = c̃j |j, jiδj,m. Замечание. Пользуясь автоморфизмом e+ ↔ e− , H → −H алгебры sl(2) (3.5.17) мы можем переписать (3.6.45) и (3.6.46) в следующем виде ′ P := ∞ X k=0 (−1)k (−2 H + 1)! k k e e , k! (−2H + k + 1)! + − (P ′)2 = P ′ , e− P ′ = 0 = P ′ e+ , (3.6.51) prtols (3.6.52) pros2 и, т.о., определить проектор P ′ на ”низшее” состояние: P ′ |j, mi = δm,−j |j, −ji. Учитывая формулы (3.5.21) и (3.6.46) мы получаем k−1 k−1 ek+ ek− P = k(2H − k + 1)e+ e− P = . . . = k!(2H − k + 1) · · · (2H) P = k!(2H)! P . (2H − k)! (3.6.53) prok2 Пользуясь этими соотношениями легко показать, что операторы Pk = C(H, k) ek− P ek+ , 144 (3.6.54) prok где C(H, k) = (2H+k)! , k!(2H+2k)! также являются проекторами Pk2 = Pk . Действительно, из (3.6.53) и очевидного равенства [H, P ] = 0, следует тождество ek− P ek+ ek− P ek+ = ek− P k!(2H)! 1 k!(2H)! P ek+ = ek− P ek+ = ek− P ek+ , (2H − k)! (2H − k)! C(H, k) которое эквивалентно Pk2 = Pk . Подействуем проектором Pk на состояние |j, mi. В результате получаем Pk |j, mi = C(H, k) ek− P ek+ |j, mi = C(m, k) ek− P ek+ |j, mi = δk,j−m |j, j − ki , (3.6.55) prok4 где мы учли равенства: ek+ |j, mi ∼ |j, m + ki (k ≤ j − m) , j−m e+ |j, mi = q 1 C(m,j−m) |j, ji , ek+ |j, mi = 0 (k > j − m) , j−m e− |j, ji = C(m, j − m) = (j+m)! (2j)!(j−m)! , q 1 C(m,j−m) |j, mi , (3.6.56) prok4a (см. (3.5.34),(3.5.36)). Формула (3.6.55) обобщает (3.6.50) и показывает, что Pj−m – проектор на состояние |j, mi. Обобщим все введенные выше проекторы. Для этого рассмотрим операторы (ср. с (3.6.54)) Pk,m = q C(H, k) ek− P em + q C(H, m) , (3.6.57) prok5 ′ Для операторов (3.6.57) имеем Pn,k Pk′ ,m = 0 если k 6= k ′ (это следует из P ek+ ek− P = 0 (k 6= k ′ ) в силу (3.6.46)), а при k = k ′ Pn,k Pk,m = = Т.о., окончательно имеем q C(H, n) en− P ek+ C(H, k) ek− P em + q C(H, n) en− P em + q q C(H, m) = C(H, m) = Pn,m . Pn,k Pk′,m = δk,k′ Pn,m , (3.6.58) prok6 и, соответственно, легко получить, что действие таких операторов на любое состояние имеет вид = q Pn,k |j, mi = q C(H, n) en− P ek+ q C(H, k) |j, mi = C(m, k) C(m − n + k, n) en− P ek+ |j, mi = δm+k,j |j, j − ni . (3.6.59) prok7 Для того, чтобы вычислить ККГ по формуле (3.6.14), выразим вектор связанного базиса |j1 j2 ; jmi как результат действия "проектора"(3.6.57) на вектор несвязанного базиса. Согласно (3.6.59) получаем |j1 j2 ; jmi = 1 ∆(Pj−m,j−m′1 −m′2 ) |j1 m′1 i ⊗ |j2 m′2 i , Q 145 (3.6.60) prok8 где Q - нормировочная константа и ∆ - коумножение (3.6.23) ∆(e± ) = e± ⊗ 1 + 1 ⊗ e± , ∆(H) = H ⊗ 1 + 1 ⊗ H . Т.о., из (3.6.14) мы получаем hj1 m1 , j2 m2 |j1 j2 ; jmi = 1 hj1 m1 |hj2 m2 |∆(Pj−m,j−m′1−m′2 ) |j1 m′1 i|j2 m′2 i , Q (3.6.61) prok9 здесь и в дальнейшем мы, для упрощения формул, опускаем знак ⊗ прямого произ- ведения состояний. Т.к. проекции m′1 и m′2 в (3.6.60), (3.6.61) можно выбрать любыми (с единственным условием m′1 + m′2 ≤ j), то для простоты мы выберем m′1 = j1 и m′2 = j − j1 . Тогда проектор в (3.6.60), (3.6.61) упрощается и (3.6.60) переписывается в виде 1 ∆(Pj−m,0 ) |j1 j1 i|j2 j − j1 i , Q после чего нормировочный множитель определяется по формуле (3.6.62) prok10 |j1 j2 ; jmi = Q2 = hj1 j1 |hj2 j − j1 | ∆(P ) |j1 j1 i|j2 j − j1 i , (3.6.63) prok11 где мы учли равенство P0,j−m Pj−m,0 = P (3.6.58), а общее выражение для ККГ можно записать в виде hj1 m1 , j2 m2 |j1 j2 ; jmi = hj1 m1 |hj2 m2 |∆(Pj−m,0) |j1 j1 i|j2 j − j1 i . hj1 j1 |hj2 j − j1 | ∆(P ) |j1 j1 i|j2 j − j1 i1/2 (3.6.64) prok12 Вычислим явные выражения для ККГ (3.6.64). Сначала вычислим числитель, пользуясь формулами (3.5.35), (3.5.36) и тем фактом, что ∆ – гомоморфизм, а также тем, что в правой "обкладке"фигурирует старший вектор |j1 j1 i: ∆(Pj−m,0 ) |j1 j1 i|j2 j − j1 i = = q = = r C(m, j − m) ∆(e− )j−m q C(m, j − (j+m)! (2j)!(j−m)! ∞ P k=0 q C(H, j − m) ∆(e− )j−m ∆(P )|j1 j1 i|j2 j − j1 i = ∞ P (−1)k (2j+1)! k!(2j+k+1)! ∆(e− )k ∆(e+ )k |j1 j1 i|j2 j − j1 i = k=0 ∞ P (−1)k (2j+1)! m) ∆(e− )j−m k!(2j+k+1)! k=0 (−1)k (2j+1)! k!(2j+k+1)! r ∆(e− )k |j1 j1 i(ek+ |j2 j − j1 i) = (j2 +j−j1 +k)!(j2 +j1 −j)! ∆(e− )k+j−m|j1 j1 i|j2 (j2 −j+j1 −k)!(j2 −j1 +j)! j − j1 + ki . Т.о., для вычисления числителя в (3.6.64) необходимо, пользуясь равенством m = m1 + m2 , формулой бинома Ньютона и ортогональностью базисных векторов 146 hj1 m1 |er− |j1 j1 i ∼ δr,j1−m1 , вычислить свертку hj1 m1 |hj2 m2 |∆(e− )k+j−m|j1 j1 i|j2 j − j1 + ki = = hj1 m1 |hj2 m2 | = Cjj−m+k 1 −m1 = j−m+k P r r=0   k+j−m−r |j1 j1 i|j2 j − j1 + ki Crj−m+k er− ⊗ e− (2j1 )!(j1 −m1 )! hj2 m2 | (j1 +m1 )! (j−m+k)! (j1 −m1 )!(j−j1 −m2 +k)! r   2 −j1 |j2 j − j1 + ki ek+j−m − (2j1 )!(j1 −m1 )! (j1 +m1 )! r (j2 +j−j1 +k)!(j2 −m2 )! (j2 −j+j1 −k)!(j2 +m2 )! . Т.о., окончательно мы получаем (ср. с формулой (5.13) в [28]) = (2j + 1) r hj1 m1 |hj2 m2 |∆(Pj−m,0 ) |j1 j1 i|j2 j − j1 i = (2j)!(j+m)!(j2 +j1 −j)!(j2 −m2 )!(2j1 )! (j−m)!(j2 −j1 +j)!(j2 +m2 )!(j1 −m1 )!(j1 +m1 )! P k=0 (j−m+k)!(j2 +j−j1 +k)! (−1)k k!(2j+k+1)! (j−j1 −m2 +k)!(j2 −j+j1 −k)! (3.6.65) nomin Положим в этой формуле m1 = j1 , m2 = j − j1 и, соответственно, m = m1 + m2 = j. В результате получаем выражение hj1 j1 |hj2 j − j1 |∆(P ) |j1 j1 i|j2 j − j1 i = (2j+1)!(j2 +j1 −j)! (j2 −j1 +j)! j1 +j P2 −j (−1)k (j2 +j−j1 +k)! k!(2j+k+1)! (j2 −j+j1 −k)! k=0 , (3.6.66) nomin2 которое определяет нормировочную константу Q (3.6.63). Эту константу можно вычислить непосредственно другим способом. Из определения P (3.6.45) мы получаем для правой части (3.6.63) выражение hj1 j1 |hj2 j − j1 |∆(P ) |j1 j1 i|j2 j − j1 i = hj2 j − j1 |Pj |j2 j − j1 i = = (j+j2 −j1 )! hj j |ej2 +j1 −j (2j2 )!(j1 +j2 −j)! 2 2 + Pj ej−2 +j1 −j |j2 j2 i = (j+j2 −j1 )! (2j2 )!(j1 +j2 −j)! X(j2 , j, j2 + j1 − j) , (3.6.67) nomin3 где мы использовали обозначения Pj = ∞  P (−1)k (2 j+1)! k=0 k! (2j+k+1)!  ek− ek+ , m X(j2 , j, m) = hj2 j2 |em + Pj e− |j2 j2 i . (3.6.68) nomin3a Из соотношений (3.5.17), (3.5.21) следует тождество e+ Pj = = ∞ P k=0 ∞ P k=0 (−1)k (2 j+1)! k! (2j+k+1)!   k−1 k e− (2 H − k + 1) + ek− e+ ek+ = (−1)k (2 j+1)! (2j−2H+2) k k+1 e− e+ k! (2j+k+2)! = (2j−2H+2) Pj+1/2 (2j+2) (3.6.69) nomin4 e+ . Рассмотрим теперь функцию X(j2 , j, m) (3.6.68), для которой получим разностное 147 уравнение m m−1 (2j−2H+2) Pj+1/2 e+ em X(j2 , j, m) = hj2 j2 |em − |j2 j2 i = + Pj e− |j2 j2 i = hj2 j2 |e+ (2j+2) = (2j−2j2 +2m) (2j+2)   hj2 j2 |em−1 Pj+1/2 mem−1 (2H − m + 1) + em + − − e+ |j2 j2 i = = (2j−2j2 +2m)(2j2 −m+1)m (2j+2) X(j2 , j + 21 , m − 1) (3.6.70) nomin5 где мы воспользовались тождествами (3.6.69), (3.5.21). Т.к., X(j2 , j, 0) = 1 (∀j > j2 ), то полученное разностное уравнение (3.6.70) легко решается итерациями X(j2 , j, m) = (2j−2j2 +2m)(2j2 −m+1)m (2j+2) = · (2j−2j2 +2m−1)(2j2 −m+2)(m−1) (2j+3) · · · X(j2 , j + (2j−2j2 +2m)! (2j2 )! m! (2j+1)! (2j−2j2 +m)! (2j2 −m)! (2j+m+1)! m , 0) 2 = (3.6.71) nomin6 Подставляя это выражение в (3.6.67) мы получаем окончательно (2j1 )! (2j+1)! (j−j2 +j1 )! (j+j2 +j1 +1)! Q2 = hj1 j1 |hj2 j − j1 |∆(P ) |j1 j1 i|j2 j − j1 i = (3.6.72) nomin3b , и сравнивая это выражение с (3.6.66) мы получаем известное выражение для факториальной суммы j1 +j P2 −j k=0 (j2 +j−j1 +k)! (−1)k k!(2j+k+1)! (j2 −j+j1 −k)! = (2j1 )! (j2 −j1 +j)! (j−j2 +j1 )! (j+j2 +j1 +1)!(j2 +j1 −j)! . Наконец, подставляя (3.6.65) и (3.6.72) в (3.6.64), мы выводим окончательное выражение для ККГ (ср. с формулой (2.84) в [29]) = r hj1 m1 , j2 m2 |j1 j2 ; jmi = hj1 m1 |hj2 m2 |∆(Pj−m,0 ) |j1 j1 i|j2 j−j1 i hj1 j1 |hj2 j−j1 | ∆(P ) |j1 j1 i|j2 j−j1 i1/2 (2j+1)(j−j2 +j1 )! (j+j2 +j1 +1)!(j+m)!(j2 +j1 −j)!(j2 −m2 )! (j−m)!(j2 −j1 +j)!(j2 +m2 )!(j1 −m1 )!(j1 +m1 )! j1 +j P2 −j k=0 = (−1)k (j−m+k)!(j2 +j−j1 +k)! k!(2j+k+1)! (j−j1 −m2 +k)!(j2 −j+j1 −k)! . (3.6.73) prok14 Выражения для ККГ (3.6.12) и (3.6.73) на первый взгляд не совпадают, однако могут быть приведены друг к другу. Введем новые обозначения для ККГ " j1 j2 j3 m1 m2 m3 # (3.6.74) prok15 = hj1 m1 , j2 m2 |j1 j2 ; j3 − m3 i Символы (3.6.74) (сравните с 3j-символами (3.6.18)) обладают замечательными свойствами симметрии. 1. Они не меняются при четной перестановке столбцов " j1 j2 j3 m1 m2 m3 # = " j3 j1 j2 m3 m1 m2 148 # = " j2 j3 j1 m2 m3 m1 # ; 2. Они приобретают фазовый множитель (−1)j1 +j2 +j3 при нечетной перестановке столбцов; 3. Они приобретают фазовый множитель (−1)j1 +j2 +j3 при изменении знаков всех проекций на противоположные mi → −mi (m1 + m2 + m3 = 0). В качестве примера приведем таблицу для ККГ hj1 , m1 ; 21 , m2 |j1 , 21 ; jmi: j m2 = 1/2 j1 + 1 2 j1 − 1 2  −  (j1 +m+1/2) 1/2 (2j1 +1)   (j1 −m+1/2) 1/2 (2j1 +1)   m2 = −1/2  (j1 −m+1/2) 1/2 (2j1 +1)  (j1 +m+1/2) 1/2 (2j1 +1) Подход 5. Тензорные операторы и 3n-j символы. Определим неприводимый тензорный оператор T̂ j , имеющий 2j + 1 компоненту T̂mj (−j ≤ m ≤ j) и преобразующийся при действии алгебры Ли su(2), как и компоненты Tmj векторов (3.5.32) (аналоги сферических гармоник Yj,m(θ, φ)), согласно соотноше- ниям (3.5.33), (3.5.34) h h i ê± , T̂mj = i H, T̂mj = m T̂mj , (3.6.75) prtop1 q (3.6.76) prtop2 j (j ± m + 1)(j ∓ m) T̂m±1 , Так же как и в случае состояний Tmj = |j, mi мы можем устраивать различные тензорные произведения операторов T̂mj . Например, можно записать аналог разложений Клебша-Гордана (3.6.13) и (3.6.15) в виде j X̂m = X m1 ,m2 m1 +m2 =m j2 T̂mj11 Ûm = 2 j2 T̂mj11 Ûm hj1 m1 , j2 m2 |j1 j2 ; j mi , 2 j1X +j2 j=|j1 −j2 | j X̂m hj1 j2 ; j m|j1 m1 , j2 m2 i . (3.6.77) kgk43 (3.6.78) kgk53 Если мы положим в (3.6.77) j1 = j2 и m = 0, j = 0, то, возникающий оператор X̂00 q (−j) 2j + 1 X̂00 = X m j j (−1)m T̂mj Û−m = (T̂mj , Û−m ), (3.6.79) kgk44 естественно интерпретировать как скалярное произведение двух тензорных операторов. Примером этой формулы в представлении сферических гармоник служит теорема сложения Pj (cos w12 ) = 4π X (−1)m Yj,m(θ1 , φ1 ) Yj,−m(θ2 , φ2 ) , 2j + 1 m 149 где cos w12 = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos(φ1 − φ2 ). Подействуем на соотношения (3.6.75) и (3.6.76) состояниями hj3 m3 | и |j1 m1 i слева и справа, соответственно. В результате получаем уравнения hj3 m3 | h (m3 − m1 )hj3 m3 |T̂mj |j1 m1 i = m hj3 m3 |T̂mj |j1 m1 i , ê± , T̂mj i |j1 m1 i = q (j ± m + 1)(j ∓ j m) hj3 m3 |T̂m±1 |j1 (3.6.80) prtop3 m1 i . Первое из этих уравнений дает правило отбора: hj3 m3 |T̂mj |j1 m1 i = 6 0 , только если m3 − m1 = m , (3.6.81) prtop4 а второе, в силу соотношений h i hj3 m3 | ê± , T̂mj |j1 m1 i = q q (j3 ∓ m3 + 1)(j3 ± m3 )hj3 m3 ∓ 1|T̂mj |j1 m1 i− (j1 ± m1 + 1)(j1 ∓ m1 )hj3 m3 |T̂mj |j1 m1 ± 1i , (см. (3.5.34)), сводится к уравнениям (3.6.44) при отождествлении hj3 m3 |T̂mj22 |j1 m1 i = A(j1 , j2 , j3 ) · hj1 m1 ; j2 m2 |j1 , j2 ; j3 m3 i , (3.6.82) ten-kkg где коэффициент A(j1 , j2 , j3 ) не зависит от m1 , m2 и m3 . Заметим теперь, что матричные элементы тензорных операторов (3.6.82), как и ККГ (3.6.12) и 3-j символы (3.6.18) можно рассматривать как тензоры 3-его ранга с индексами m1 , m2 , m3 , которые пробегают значения mk = (−jk , −jk + 1, . . . , jk − 1, jk ) и соответствуют представлениям алгебры su(2) со спинами j1 , j2 , j3 . Очевидно, что такие тензоры можно сворачивать друг с другом по индексам, соответствующим одному и тому же представлению (со спином j) и при этом получать тензоры другого ранга, в том числе и скалярные величины. Отметим, что правило свертки тензоров определяется формулой (3.5.28), в которой из двух тензоров первого ранга получается скалярная величина или формулой (3.6.17), в которой задана скалярная свертка тензора 3-его ранга (3-j символа) и 3-х тензоров первого ранга. Следуя этим правилам, мы можем рассмотреть инвариантную свертку 2-х матриц тензорных операторов X m3 ,m4 hj3 m3 |T̂mj11 |j4 m4 ihj4 m4 |T̂mj22 |j3 m3 i = C(j1 , j2 , j3 , j4 )δm1 ,−m2 , (3.6.83) 6-j1a где правая часть следует из правил отбора (3.6.81) для матриц тензорных операторов. Далее рассмотрим инвариантную свертку 3-х матриц тензорных операторов X m4 ,m5 ,m6 hj6 m6 |T̂mj11 |j4 m4 ihj4 m4 |T̂mj22 |j5 m5 ihj5 m5 |T̂mj33 |j6 m6 i , 150 (3.6.84) 6-j1 которая ведет себя как тензор 3-его ранга типа Tmj11 Tmj22 Tmj33 . Вспоминая, что свертка (3.6.17) такого тензора с 3-j символом задает скалярную величину, мы можем определить скаляр    j1 j2 j3  hj6 m6 |T̂ j1 |j4 m4 ihj4 m4 |T̂ j2 |j5 m5 ihj5 m5 |T̂ j3 |j6 m6 i = m1 m2 m3 m1 ,...,m6 m1 m2 m3 P  j = B(j1 , j2 , j3 )    (3.6.85) 6-j2 j2 j3 , j5 j6 j4  1 где при определенном  выборенормировочных коэффициентов B(j1 , j2 , j3 ), A(j4 , j1 , j6 ), . . . j j j  1 2 3 скалярный объект равен (см. например [30]))  j5 j6 j4   j 1 P  j5   j2 j3 = ∆(j1 , j2 , j3 )∆(j1 , j6 , j4 )∆(j5 , j2 , j3 )∆(j5 , j6 , j3 ) j6 j4  −1 (3.6.86) 6-j3 k (k+1)! [(k−j1 −j2 −j3 )!(k−j1 −j6 −j4 )!(k−j5 −j2 −j3 )!(k−j5 −j6 −j3 )!] k (−1) (j1 +j2 +j5 +j6 −k)!(j1 +j3 +j5 +j4 −k)!(j1 +j2 +j5 +j6 −k)!(j2 +j3 +j6 +j4 −k)! . и называется 6-j символом, т.к. зависит от 6 спинов j1 , . . . , j6 . В этих формулах ∆(j1 , j2 , j3 ) = (j1 + j2 − j3 )!(j1 + j3 − j2 )!(j3 + j2 − j1 )! (j1 + j2 + j3 + 1)! !1/2 и называется треугольным коэффициентом. Т.к. матричные коэффициенты (3.6.82) тензорных операторов T̂mj связаны с 3-j символами   j j2 j3  hj3 m3 |T̂mj32 |j1 m1 i ∼  1 , −m1 −m2 m3 то левую часть скаляра (3.6.85) можно представить как свертку по всем mi четырех 3-j символов. Далее мы можем сворачивать большее число 3-j символов и в некоторых случаях получать новые нетривиальные скалярные объекты. Заметим, что при таких скалярных свертках должно выполняться соотношение 3V = 2E, где V – число 3-j символов, а E число спинов j1 , j2 , . . .. Это значит, что V – четное число, а E = 3n – делится на 3. Т.о., мы можем получать различные скалярные инварианты, зависящие от 3n спинов и, соответственно, обозначаемые как 3n − j символы. Для сверток 3-j символов удобно пользоваться диаграммной техникой [30] 151 6  j1 m1  j3 m3 • 6  j1 m1 j j j =  1 2 3 ; m1 m2 m3 j2 m2 - j m1 j m2 - • j3 m3 = j2 m2  j j j3  =  1 2 ; m1 m2 −m3 δm1 ,−m2 Рис. 3.5.1 где в качестве 3-j символа (коэффициента Вигнера) мы берем перенормированное выражение [30]   ∆(j1 , j2 , j) q j   j1 j2 = (−1)j−2j1 −j+m δm1 +m2 ,m (2j + 1)!hj1 m1 ; j2 m2 |j1 , j2 ; j mi (j)1/2 m1 m2 −m где hj1 m1 ; j2 m2 |j1 , j2 ; j mi определены в (3.6.12). Линии у 3j-символов можно ориен- тировать по разному при этом изменяется знак у соответствующей проекции m, как показано на Рис. 3.5.1. Пользуясь данной диаграмной техникой 6j-символ (3.6.86) можно представить в виде Be e   B e / j1  j4B e] j6 B e  j3- BMB  e PP B P qP P j2 PPPBB j5  j   1 j2 j3  j5 j6 j4  = Рис. 3.5.2 откуда сразу же следует симметрия 6j-символа, присущая тетраэдру (см. Лекцию 4.). Важность 6j-символа определяется тем, что он является коэффициентом при условии ассоциативности в тензорной алгебре представлений su(2). Т.е. мы имеем следующее соотношение между тензорами 4-ого ранга. j6  j3 j1 -  - - j5 j2 =  j   1 j2 j3 ·  j5 j6 j4  j1 j6  - j4 -  - j5 j2 Рис. 3.5.3 Если взять диаграмму для тензора из правой части Рис. 3.5.3, повернуть все стрелки в этой диаграмме в противоположную сторону и соответствующий дуальный тензор свернуть с тензорами в обоих частях Рис. 3.5.3, то в левой части возникнет инвариант, соответствующий тетраэдру на Рис. 3.5.2, а в правой части, с учетом правила (3.6.83), 152  будет стоять 6-j символ, умноженный на тривиальный инвариант. 3.7 Лекция 13. Унитарная группа SU (N ) и ее алгебра Ли. Базис Картана. Конструкция Йордана-Швингера для образующих алгебр Ли. Матрицы Гелл-Манна. Кварки и SU (3) симметрия. Массовые формулы. 1. Алгебра Ли группы SU(N). Рассмотрим унитарное преобразование U ∈ SU(N), т.е. линейное преобразование комплексного N-мерного вектора (x1 , x2 , . . . xN ): xi → Uij xj , сохраняющее квадра- тичную форму (2.6.37), т.е. U U † = I (I единичная N × N матрица), и такое, что det(U) = 1. Представим матрицу U в инфинитезимальной форме U = I + ψ A + ψ2 . . . , где ψ – бесконечно-малый вещественный параметр, и A – N × N матрица. Свойства матрицы A следуют из условия унитарности матрицы U: I = (I + ψ A + ψ 2 . . .)(I + ψ A† + ψ 2 . . .) ⇒ A + A† = 0 , и требования унимодулярности матрицы U: det(U) = 1, 1 = det(I + ψ A + ψ 2 . . .) = 1 + ψ Tr(A) + ψ 2 . . . ⇒ Tr(A) = 0 . (3.7.1) det11 Т.о., A – антиэрмитова бесследовая матрица, которую можно представить в виде произведения бесследовой эрмитовой матрицы на мнимую единицу. Очевидно, что произвольная эрмитова бесследовая комплексная N × N- матрица имеет вид:  h1 x12 − iy 12 x13 − iy 13  12 12  x + iy h2 x23 − iy 23  13 13 23 23  x + iy x + iy h3  . . ..  .. .. .  N1 N1 N2 N2 x + iy x + iy ... где hi , xij , y ij ∈ R и 1 N N P PN i=1  . . . x1N − iy 1N  . . . x2N − iy 2N  N X  X 3N 3N  . . . x − iy  = h̃i Hi + (xij Sij + y ij Tij ). .. ..  i=1 i m − k) , (3.7.9) glNN [Eij , Fkm ] = δjm Fik − δik Fmj (j − i < m − k) , [Eij , Fkm ] = δjm δik (Hi − Hj ) (j − i = m − k) . Т.е. мы выделили базис в алгебре Ли sl(N) такой, что генераторы Hi образуют коммутирующую подалгебру, а совокупности генераторов {Hi , Eij } и {Hi , Fij } определя- ют подалгебры Ли в sl(N). Данный базиc {Hi , Eij , Fij } (i < j) в алгебре Ли sl(N) называется базисом Картана. Коммутативная подалгебра Ли, образованная элемен- тами Hi (i = 1, . . . , N − 1), называется подалгеброй Картана. Образующие Hi подал- гебры Картана называются элементами Картана, а образующие Eij и Fij называются положительными и отрицательными корнями, соответственно. Подалгебры Ли образованные только элементами Eij или только Fij называются положительной или отрицательной подалгеброй Бореля в алгебре sl(N), соответственно. 2. Конструкция Йордана-Швингера для образующих алгебр Ли. Для начала обсудим конструкцию Йордана-Швингера для алгебр sl(N) и su(N). Введем алгебру N- мерного осциллятора, которая задается 2N образующими ai и aei (i = 1, . . . , N), удовлетворяющими каноническим коммутационным соотношениям [aei , aj ] = δij , [ai , aj ] = 0 , 155 [aei , aej ] = 0 . (3.7.10) osc1 Тогда образующие Hi , Eij , Fij алгебры Ли sl(N) можно реализовать в виде Hi = ai aei − 1 X aj aej , Eij = ai aej (i > j) , Fij = aj aei (i > j) . N j (3.7.11) osc2 Действительно, легко проверить, что операторы (3.7.11) удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.7.9). Конструкция (3.7.11), в которой образующие алгебры Ли sl(N) представляются в виде квадратичных комбинаций осцилляторов, называется конструкцией Йордана-Швингера. В качестве примера рассмотрим конструкцию (3.7.11) для алгебры Ли sl(2). Алгебру осцилляторов (3.7.10) реализуем следующим образом (a1 , a2 ) = (s, t) , (ae1 , ae2 ) = (∂s , ∂t ) . Тогда формулы (3.7.11) дают уже известную нам реализацию (3.5.25). Пусть в (3.7.10) aei = a†i , тогда образующие для алгебры Ли su(N) в конструкции Йордана- Швингера (в силу их эрмитовости (3.7.4)) имеют вид Hi = ai a†i − Sij = 12 (ai a†j + aj a†i ) (i > j) , 1 N P j aj a†j , Tij = 2i (ai a†j − aj a†i ) (i > j) . (3.7.12) osc3 Антисимметричные операторы 1 Lij = (ai aej − aj aei ) , 2 (3.7.13) algso1 образуют подалгебру Ли в алгебре с генераторами (3.7.11), которая как нетрудно проверить является алгеброй Ли для ортогональной группы SO(N). С другой стороны все квадратичные по осцилляторам операторы Aij = ai aj , число которых равно A′ij = ai aej , A′′ij = aei aej (∀i, j = 1, . . . , N) , N 2 + N(N + 1) = 2N 2 + N = 2N(2N + 1) , 2 также образуют алгебру Ли. Эта алгебра Ли включает алгебру sl(N) (3.7.11) как подалгебру и образует алгебру Ли для группы Sp(2N). Действие операторов Aij , A′ij , A′′ij на 2N- мерный вектор (a1 , . . . , aN , ae1 , . . . , aeN ) сохраняет симплектическую структуру (3.7.10). 156 Теперь рассмотрим псевдоунитарную группу U(p, q), т.е. группу всех линейных преобразований комплексного p+q- мерного пространства, сохраняющих квадратичную форму (ср. с (2.6.37)) h~x|~xip,q = p X x∗i xi i=1 q X − x∗p+k xp+k = p+q X x∗m g mr xr , m,r=1 k=1 где мы использовали метрику g mr = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1). Тогда операторы | {z p } | {z q A = i Anr xr ∂ n = i Akr xr ∂k , } (3.7.14) gsupq где A∗ mk g mr − g km Amr = 0 (или A∗ rk = Akr ), генерируют вариации δxm = Amr xr такие, что δh~x|~xip,q = 0. Операторы (3.7.14) можно разложить по образующим i i 1 A = (Akr xr ∂k + Ark xk ∂r ) = Re(Akr ) (xr ∂k + xk ∂r ) − ℑm(Akr ) (xr ∂k − xk ∂r ) , 2 2 2 которые определяют алгебру Ли группы U(p, q). 3. Алгебра Ли группы SU(3). Матрицы Гелл-Манна. Рассмотрим случай группы SU(3). Выпишем явный вид 8 матриц генераторов Hi , Sij , Tij для алгебры Ли группы SU(3). Для образующих Hi и их независимых ли√ √ нейных комбинаций λ3 = H1 −H2 , λ8 = 3 (H1 + H2 ) = − 3 H3 мы имеем матричные представления   2 3  H1 =  0 − 31 0  , 0 0 − 31      −1 0 0   3 2 H2 =  0 3 0  , 0 0 − 13   −1 0 0   3 H3 =  0 − 13 0  , 0 23  1 0 0 1 1 0 0    λ3 =  0 −1 0  , λ8 = √  0 1 0  , 3 0 0 −2 0 0 0 а для недиагональных образующих Sij Tij матричные представления имеют вид S12 T12   0 1 0   =  1 0 0  =: λ1 , 0 0 0   0 −i 0   =  i 0 0  =: λ2 , 0 0 0 S13 T13         0 0 1 0 0 0     =  0 0 0  =: λ4 , S23 =  0 0 1  =: λ6 , 1 0 0 0 1 0 0 0 −i   =  0 0 0  =: λ5 , i 0 0 157 T23 0 0 0   =  0 0 −i  =: λ7 . 0 i 0 Пользуясь этими представлениями мы получаем коммутационные соотношения для образующих алгебры Ли su(3): [S12 , S13 ] = i T23 , [S12 , S23 ] = i T13 , [S13 , S23 ] = i T12 , [T12 , T13 ] = i T23 , [T12 , T23 ] = −i T13 , [T13 , T23 ] = i T12 , [S12 , T12 ] = 2i (H1 − H2 ) , [S12 , T13 ] = −i S23 , [S12 , T23 ] = −i S13 , [S13 , T13 ] = 2i (H1 − H3 ) , [S13 , T12 ] = −i S23 , [S13 , T23 ] = i S12 , (3.7.15) commst [S23 , T23 ] = 2i (H2 − H3 ) , [S23 , T12 ] = i S13 , [S23 , T13 ] = i S12 , [H1 , S12 ] = −iT12 , [H1 , S13 ] = −iT13 , [H1 , T12 ] = −iS12 , [H1 , T13 ] = −iS13 , [H3 , S13 ] = , [H3 , S23 ] = , [H3 , T13 ] = , [H3 , T23 ] = , (оставшиеся коммутаторы равны нулю). Матрицы λi называются матрицами ГеллМанна. Их нормировка выбрана так, что Tr(λi λj ) = 2δij и они удовлетворяют соотношениям [λi , λj ] = 2 i fijk λk , [λi , λj ]+ ≡ λi λj + λj λi = 34 δij + 2 dijk λk ⇒ (3.7.16) commgel λi λj = 23 δij + i fijk λk + dijk λk , fijk = 1 Tr ([λi , 4i λj ]λk ) , dijk = 41 Tr ([λi , λj ]+ λk ) , dijk + i fijk = 12 Tr (λi λj λk ) , (3.7.17) symfd где fijk - структурные константы алгебры Ли su(3), которые легко восстанавливаются из (3.7.15). Константы fijk – полностью антисимметричны по перестановкам индексов i, j, k, а константы dijk – полностью симметричны по перестановкам индексов i, j, k, что следует из (3.7.17). 3. Конечномерные представления групп SU(N). Диаграммы Юнга. Конечномерные представления группы SU(N) можно строить занимаясь прямым произведением определяющих представлений. При разложении этих произведений в прямую сумму по неприводимым представлениям мы получаем неприводимые представления, которые классифицируются с помощью диаграмм Юнга λ (2.3.16) с k рядами по λi клеток (i = 1, 2, . . . , k) в каждом ряду (λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λk ). Число клеток в диаграмме обозначается как |λ| = k P i=1 λi . Действительно, каждой диаграмме Юнга λ, с числом клеток |λ|, сопоставляется тензор ранга |λ|, определенным обра~с зом симметризованный. Т.е. диаграмма с одной клеткой соответствует вектору ψ координатами (ψ1 , . . . , ψN ) в пространстве VN определяющего представления группы 158 SU(N): ψi → Uij ψj U ∈ SU(N) . Двум возможным диаграммам с двумя клетками , сопоставляются, соответ- ственно, симметричный ψijs и антисимметричный ψija тензоры второго ранга: 1 ψija = (ψij − ψij ) , 2 1 ψijs = (ψij + ψij ) , 2 (3.7.18) simasim которые преобразуются по правилу s,a ψijs,a → Uik Ujm ψkm U ∈ SU(N) , и т.д. Размерность представления группы SU(N), которое соответствует диаграмме λ (число независимых компонент определенным образом симметризованного тензора ранга |λ|), определяется формулой Вейля (или формулой крюков) dim(λ) = Y (N + m − n) , hn,m n,m∈λ (3.7.19) weylhk где произведение берется по всем клеткам диаграммы с координатами (n, m) (n координата по вертикали, m – координата по горизонтали) и hn,m – длина крюка, соответствующего клетке (n, m) (т.е. число клеток справа и снизу от клетки (n, m), включая и саму клетку (n, m)). 4. Кварки и SU(3) симметрия. Массовые формулы. В физике элементарных частиц, при рассмотрении унитарной симметрии SU(3), координатам вектора ψi = (ψ1 , ψ2 , ψ3 ) в пространстве определяющего представления SU(3) сопоставляются три кварка (u, d, s). Т.е. кварки преобразуются по пред¯ s̄) сопоставляются координаты антиставлению i группы SU(3). Антикваркам (ū, d, a симметричного тензора ψ̄ j = E jik ψik (3.7.18) и они преобразуются по сопряженному i группы SU(3). Мезоны – это связанные состояния кварков и представлению k антикварков и их поля преобразуются по неприводимым представлениям, возника- ющим при прямом произведении кваркового и антикваркового представлений  1 1 ψj ψ̄ k = δjk (ψi ψ̄ i ) + ψj ψ̄ k − δjk (ψi ψ̄ i ) 3 3 или в терминах диаграмм Юнга: ⊗ = 159 ⊕  , (3.7.20) meson где в правой части первая диаграмма соответствует мезонному синглету (ψi ψ̄ i ) (размерность этого представления очевидно = 1), а вторая диаграмма соответствует ме  зонному октету Mjk = ψj ψ̄ k − 31 δjk (ψi ψ̄ i ) (размерность этого представления = 8, т.к. размерность всего представления в левой части равна 3 × 3 = 9). Бесследовая матрица Mjk сопоставляется октету псевдоскалярных мезонов следующим образом Mjk =        π0 √ 2 + √η 6 π−  π+ π + −√ 2 K− K+  √η 6 − √2η6 K̄ 0   (3.7.21) meson1 K0    Квадратичный по элементам матрицы (3.7.21) (по мезонным полям) SU(3)-инвариант имеет вид Mjk Mkj и, соответственно, инвариантный массовый член в мезонном лагранжиане был бы L = m2M 2 Mjk Mkj . Т.к. симметрия между u, d кварками, с одной стороны, и s кварком, с другой стороны, нарушена, то массовый член, учитывающий это нарушение, должен иметь вид m2M 2 Mjk Mkj + δM (Mj3 M3j ) . 2 Подставляя сюда матрицу (3.7.21) мы получаем L′ = L + δL = L′ = m2M 2 m2M 2 m2M +( 2 =     2 K + K − + K̄ 0 K 0 + 64 η 2 = 2(π + π − + K + K − + K̄ 0 K 0 ) + η 2 + π 02 + δM (π + π − + π − π + ) + + (3.7.22) meson2 2 δM 2  m2M 2 − π 02 +  ) K + K − + K K + + K̄ 0 K 0 + K 0 K̄ 0 + ( m2M 2 + 2 4δM 6 ) η2 . (3.7.23) meson3 Т.о., мы имеем следующие значения для масс мезонов 2 4δM , (3.7.24) meson4 3 откуда вытекает соотношение 3m2η + m2π = 4m2K , которое выполняется с хорошей m2π = m2M , 2 m2K = m2M + δM , m2η = m2M + точностью (mπ = 135 − 140Mev, mK = 494 − 498Mev, mη = 547, 5Mev). Барионы – это связанные состояния трех кварков и их поля преобразуются по неприводимым представлениям, возникающим при прямом произведении трех кварковых представлений ⊗ ⊗ =( ⊕ )⊗ = ⊕2 ⊕ где в правой части первая диаграмма соответствует барионному синглету, вторая диаграмма соответствует двум барионным октетам (размерность этих представлений = 8), а последняя диаграмма соответствует барионному декуплету (размерность 160 представления = 10, т.к. в левой части размерность представления равна 33 = 27 и мы имеем 27 − 1 − 2 × 8 = 10). Все эти размерности также легко получить вос- пользовавшись формулой (3.7.19). Для барионов, состоящих из кварков u, d, s также можно получить массовые формулы, аналогичные (3.7.24), которые выполняются с хорошей точностью. Попытки получить удовлетворительные массовые формулы для адронов (мезонов и барионов), построенных также и из кварков c, b, t, не увенчались успехом. Это связано с тем, что кварки c, b, t гораздо более массивны чем кварки u, d, s и говорить об SU(6) симметрии (и ее нарушении) с точки зрения классификации адронов по их массам, не вполне корректно. Тем не менее идея о том, что все адроны конструируются только из 6 кварков u, d, s, c, b, t (т.е. все мезоны это связанные состояния кварков и антикварков, а барионы – связанные состояния 3-х кварков) не подвергается сомнению. Упражнения. ∂ 1. Доказать, что операторы Ln = z n+1 ∂z (z ∈ C, n- целое число) образуют алгебру Ли c определяющими соотношениями [Ln , Lm ] = (m − n)Ln+m . Какая группа Ли соответствует этой алгебре? 3.8 Лекция 14. Метод индуцированных представлений. Унитарные представления некомпактных групп SL(N, C). 1. Индуцированные представления. Изложим эту концепцию, следуя лекциям [10]. Пусть задана группа G и в ней подгруппа K. Пусть задано некоторое представление ρ: k → ρ(k) (k ∈ K) подгруппы K в пространстве L. Рассмотрим набор F вектор-функций f (g) на группе G со значениями в L, удовлетворяющий следующим условиям: 1. F – линейное пространство по отношению к сложению функций и умножинию их на числа; 2. f (k g) = ρ(k) f (g) (∀k ∈ K, ∀g ∈ G), т.е. пространство F является пространством представления ρ для подгруппы K; 3. пространство F инвариантно по отношению к правым сдвигам, т.е. если f (g) ∈ F , то f (g g0 ) ∈ F . Зададим оператор Tg0 в F формулой Tg0 f (g) = f (g g0 ) , 161 g0 ∈ G (3.8.1) indrep Тогда соответствие g → Tg есть представление. Действительно Tg1 Tg2 f (g) = Tg1 f (g g2 ) = f (g g1 g2 ) = T(g1 g2 ) f (g) , т.к. в силу 3.) новая функция f ′ (g) = f (g g2 ) ∈ F и, следовательно, Tg1 f ′ (g) = f ′ (g g1 ) = f (g g1 g2 ) . Определенное формулой (3.8.1) представление g → Tg группы G называется индуцированным представлением при помощи представления k → ρ(k) подгруппы K. 2. Применение метода индуцированных представлений к группе SL(N, C). В качестве группы G (из предыдущего раздела 1.) выберем группу G = SL(N, C) и рассмотрим ее подгруппу K, состоящую и всех элементов k ∈ SL(N, C) вида k=         k11 k12 k13 0 k22 k23 0 k33 .. .. .. . . . ... ... ... .. . ... k1N k2N k3N .. . kN N         . В качестве представления ρ подгруппы K выберем одномерное представление, задаваемое непрерывной комплекснозначной функцией α(k) на K так, что α(I) = 1 , (3.8.2) naim1 α(k1 k2 ) = α(k1)α(k2 ) ∀k1 , k2 ∈ K . (3.8.3) naim2 Тогда условие 2 из предыдущего подраздела 1. перепишется в виде f (k g) = α(k) f (g) . (3.8.4) naim3 Т.о., в рассматриваемом случае пространство F состоит из числовых (т.к. L – одномерно) комплекснозначных функций f (g), удовлетворяющим условиям 1.), 2.) и 3.) из предыдущего подраздела 1. Пользуясь условиями (3.8.2) и (3.8.3), нетрудно показать, что α(k) зависит только от диагональных элементов kii (i = 1, . . . , N), один из которых можно исключить согласно условию det(k) = 1. Действительно, т.к. представление ρ одномерно, то α(k)α(k1) = α(k1)α(k) и, следовательно, α(k1−1 kk1 ) = α(k) (∀k1 ∈ K). Т.о., α(k) является функцией классов сопряженности группы K и зависит только от спектра верхнетреугольной матрицы k, т.е. от ее диагональных элементов. 162 Далее, в силу соотношения (3.8.3) мы имеем α(k11 , k22 , . . . , kN N ) = α(k11 , 1, . . . , 1) · α(1, k22, 1, . . . , 1) · · · α(1, . . . , 1, kN N ) , т.е. α(k11 , . . . , kN N ) является мультипликативной функцией своих аргументов и потому −mN −m2 α(k11 , . . . , kN N ) = |k22 |m2 +σ2 k22 . . . |kN N |mN +σN kN N = σ2 = |k22 | · · · |kN N | σN exp −i N P j=2 mj arg(kjj ) ! (3.8.5) naim4 . где мы учли равенство k11 = (k22 · · · kN N )−1 (в силу условия det(k) = 1) и, как мы увидим ниже, mj – целые, а σj – комплексные числа. Оказывается, что описанная конструкция представления для подгруппы K ⊂ SL(N, C) приводит к неприводимым бесконечномерным индуцированным представлениям (3.8.1) группы G = SL(N, C). Более того, данная конструкция индуцированных представлений является по существу естественным перенесением на случай бесконечномерных представлений метода старших весов Картана-Вейля в теории конечномерных представлений. Действительно, для вектора старшего веса v0 данного конечномерного представления Tg′ группы SL(N, C) и элемента k ∈ K мы имеем Tk v0 = α(k) v0 , где α(k) удовлетворяет условиям (3.8.2), (3.8.3) и определяет старший вес представления Tg′ . 3. Треугольное разложение элементов группы SL(N, C). Обозначим через Z совокупность всех нижних треугольных матриц z с единицами на диагонали z=         1 z21 1 z31 z32 1 .. .. .. . . . zN 1 zN 2 zN 3 ... ... ... .. . ... .. . 1         . Нетрудно убедиться в том, что Z – подгруппа в SL(N, C). Имеет место следующее утверждение: Теорема 3.8.1 Почти любую матрицу g из SL(N, C) можно однозначно представить в виде произведения двух треугольных матриц g = kz , k∈K, 163 z∈Z. (3.8.6) naim5 Смысл слова "почти"мы уточним ниже. Доказательство. Рассмотрим систему N(N + 1)/2 линейных уравнений k ′ g ∈ Z: N X q=p ′ kpq gqr = δpr (p ≤ r) , (3.8.7) naim6 относительно N(N + 1)/2 элементов матрицы k ′ ∈ K, где g фиксированный элемент группы SL(N, C). Эти уравнения можно записать явно как ′ ′ ′ (kpp , kpp+1 , . . . , kpN ) ! p p + 1 ... N p p + 1 ... N где символом p1 p2 . . . pm q1 q2 . . . qm p1 < p2 < · · · < pm , = (1, 0, . . . , 0) , (3.8.8) naim7 ! q1 < q2 < · · · < qm обозначен минор составленный из элементов матрицы g, которые стоят на пересечении строк с номерами (p1 , p2 , . . . , pm ) и столбцов с номерами (q1 , q2 , . . . , qm ). Уравнения (3.8.8) могут быть решены, если соответствующие определители p p+ 1 ... N p p+ 1 ... N det ! 6= 0 (p = 1, . . . , N) . Поэтому термин "почти"означает, что исключением являются лишь те матрицы g ∈ SL(N, C), для которых хотя бы один из этих детерминантов равен нулю. Полагая далее z = k ′ g и k = (k ′ )−1 однозначно находим: zpq = kpq = 1 ... N det pq pp + + 1 ... N ! 1 ... N det pp pp + + 1 ... N ! det p q + 1 . . . N q q + 1 ... N ! 1 ... N det qq qq + + 1 ... N ! p>q. (3.8.9) naim8 , p≤q; (3.8.10) naim9 , Т.о., мы приходим к требуемому равенству g = k z (3.8.6), где матрицы k и z определены в (3.8.9), (3.8.10). Разложение (3.8.6) будем называть треугольным разложением матрицы g. Из треугольного разложения и условия 2.) раздела 1. мы заключаем, что при f (g) ∈ F , g = kz f (g) = f (k z) = α(k) f (z) . 164 (3.8.11) naim10 Поскольку функция α(k) фиксирована, функции f (g) ∈ F можно заменить их суже- ниями f (z) на Z и рассматривать пространство F как пространство функций f (z) на Z. Действительно, найдем формулу для оператора Tg0 при этой реализации про- странства F . Пользуясь треугольным разложением, положим g = kz , g g0 = k ′′ zg0 , (3.8.12) naim11 где k, k ′′ ∈ K и z, zg0 ∈ Z. Тогда Tg0 f (g) = f (gg0) = f (k ′′ zg0 ) = α(k ′′ ) f (zg0 ) (3.8.13) naim12 и, используя (3.8.11), мы получаем (3.8.14) naim13 Tg0 f (g) = α(k) Tg0 f (z) . Из уравнений (3.8.13) и (3.8.14) следует, что Tg0 f (z) = α−1 (k) α(k ′′ ) f (zg0 ) = α(k ′ ) f (zg0 ) . (3.8.15) naim14 где k ′ = k −1 k ′′ . С другой стороны, пользуясь формулами (3.8.12) мы получаем k z g0 = k ′′ zg0 ⇒ z g0 = k ′ zg0 . (3.8.16) naim15 Окончательно формулы (3.8.15) и (3.8.16) можно переписать (упрощая обозначения) так, что представление в пространстве функций f (z) на группе Z имеет вид (3.8.17) naim16 Tg f (z) = α(k) f (zg ) , где k и zg определяются из соотношения z g = k zg . В качестве примера рассмотрим случай N = 2. Тогда zg = kzg запишется так 1 0 z21 1 ! g11 g12 g21 g22 ! k11 k12 0 k22 = где ′ = (zg )21 = z21 ! 1 0 ′ z21 1 ! , g11 z21 + g21 g12 z21 + g22 k11 = (g12 z21 + g22 )−1 , k12 = g12 , k22 = g12 z21 + g22 , (3.8.18) naim17 (3.8.19) naim18 и представление группы SL(2) дается формулой (3.8.17): ′ Tg f (z21 ) = α(k11 ) f (z21 ). 165 (3.8.20) naim19 4 Группы Лоренца и Пуанкаре и их представления. 4.1 Лекция 15. Пространство Минковского M. Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты. Алгебра Ли для группы Пуанкаре. 1. Пространство Минковского M. Рассмотрим n мерное вещественное векторное (линейное) пространство Vn в котором задано скалярное произведение векторов (~a, ~b) ∈ R ∀~a, ~b ∈ Vn : (~a, ~b) = (~b, ~a) , (~a, α~b + β~c) = α(~a, ~b) + β(~a, ~c) , (т.е. (~a, ~b) является билинейной формой на Vn ). Пусть в пространстве Vn существует базис {~ei }, (i = 1, . . . , n) такой, что симмет- ричная матрица (~ei , ~ej ) = gij диагональна gij = diag(g1 , g2 , . . . , gn ), т.е. в Vn можно выбрать ортогональный базис. Матрица gij называется метрикой в пространстве Vn . С помощью растяжения базисных векторов ~ej → λj ~ej мы всегда можем свести чис- ла gi к двум значениям gi = ±1. Если все gi = +1, то пространство Vn называется евклидовым, если в наборе {gj } встречаются как +1 так и −1, то Vn называется псевдоевклидовым. Для каждого вектора ~x ∈ Vn можно найти его координаты xj ∈ R в базисе (~ei ), т.е. построить его разложение по этому базису ~x = xj ~ej , где числа xj (с верхними индексами) называются контрвариантными координатами. Числа xj = (~x, ~ej ) = xk gkj , (4.1.1) cocon (с нижними индексами) называются ковариантными координатами. Соотношение, обратное к (4.1.1), имеет вид xk = xj (g −1 )jk = xj g kj , (4.1.2) cocon2 где мы ввели обозначение для обратной матрицы (g −1 )jk = g kj . Т.о., с помощью матриц (метрик) gjk и g kj можно опускать и поднимать индексы у координат векторов. Пространство Минковского M это вещественное четырехмерное псевдоевклидово пространство V4 , в котором существует псевдо-ортонормированный базис (~e0 , ~e1 , ~e2 , ~e3 ) такой, что (~ei , ~ej ) = 0 (i 6= j) , (~e0 , ~e0 ) = 1 , (~e1 , ~e1 ) = (~e2 , ~e2 ) = (~e3 , ~e3 ) = −1 . 166 Матрица gij = (~ei , ~ej ) ||gij || =         1 0 −1  0   −1 называется метрикой пространства Минковского.    0   (4.1.3) metmink −1 Группа Лоренца. Рассмотрим линейное преобразование базиса в пространстве M ~ej ′ = Λj k ~ek (4.1.4) preob при этом метрика будет преобразовываться согласно правилу gij′ = (~ei ′ , ~ej ′ ) = Λi k Λj n (~ek , ~en ) = Λi k Λj n gkn . (4.1.5) preob1 Отметим, что у матрицы Λi k мы будем различать не только верхний и нижний индексы, но и левый (i) и правый (k) индексы. Определение 4.1.1 Преобразованиями Лоренца называются такие линейные преобразования (с помощью матриц Λj i ) базиса (4.1.4) в пространстве Минковского M, что они оставляют метрику gij инвариантной. Т.е., согласно (4.1.5), матрицы преобразований Λj i должны удовлетворять условиям: gij = Λi k gkn Λj n . (4.1.6) preob2 Заметим, что (4.1.6) (g = ΛgΛT ) переписывается в виде g −1 = ΛT g −1Λ: g ij = Λki g kn Λnj . (4.1.7) preob2g Рассмотрим вектор ~x = xj ~ej ∈ M с координатами xj ∈ R. В преобразованном базисе (4.1.4) координаты этого вектора будут преобразовываться согласно правилу ~x = xk~ek = x̃j ~ej ′ = x̃j Λj k~ek ⇒ xk = x̃j Λj k ⇒ x̃j = xi (Λ−1 )i j = xi gim Λkm g kj . (4.1.8) preob3 Последнее равенство следует из тождеств (4.1.6): (Λ−1 )i j = gim Λkm g kj . Преобразования (4.1.8) сохраняют скалярный квадрат (~x, ~x) = xi gij xj вектора ~x: xi gij xj = x̃k Λki gij Λnj x̃n = x̃k gkn x̃n . 167 Докажем, что преобразования Лоренца образуют группу. 1). Групповое свойство. Рассмотрим два последовательных преобразования Лоренца: преобразование (4.1.4) с матрицей Λj k и преобразование ~ej ′′ = Λ̃j k~ek ′ : gij = ˜ j = Λ̃ k Λ j также будет оставлять метрику Λ̃ k g Λ̃ n . Очевидно, что матрица Λ̃ i kn i j i k ˜ j является преобраgij инвариантной и следовательно преобразование с матрицей Λ̃ i зованием Лоренца. 2.) Единичный элемент. Преобразование Λj i = δji принадлежит множеству преобразований Лоренца (т.к. сохраняет метрику) и является тождественным (единичным). 3.) Обратный элемент. Для каждого преобразования Λj i обратное преобразование (Λ−1 )j i также является преобразованием Лоренца. Действительно (Λ−1 )ni gij (Λ−1 )mj = gnk Λr k g ri gij gmf Λs f g sj = gnk Λr k g rs gmf Λs f = gnk Λr k (Λ−1 )mr = gnm Выполнение этих трех условий доказывает, что преобразования Лоренца образуют группу L, которая называется группой Лоренца. Условия инвариантности (4.1.6) в многомерном случае, когда метрика gij есть диагональная (p+q)×(p+q) матрица с p диагональными элементами равными +1 и q диагональными элементами равными −1, определяет преобразования Λ, образующие группу O(p, q). Из вида метрики (4.1.3) для пространства Минковского следует, что группу Лоренца L можно обозначить как O(1, 3). Представим соотношение (4.1.6) в виде gij = Λi0 Λj0 − Λi1 Λj1 − Λi2 Λj2 − Λi3 Λj3 и рассмотрим i = j = 0 компоненту этого соотношения (Λ00 )2 = 1 + 3 X (Λ0 i )2 . (4.1.9) sublo i=1 Отсюда следует, что либо Λ00 ≥ 1, либо Λ00 ≤ −1. С другой стороны соотношение (4.1.6) записывается в виде g = ΛgΛT и, вычисляя детерминант от обоих частей, мы получаем det(Λ) = ±1. Т.о., мы имеем 4 возможности (класса) Λ00 ≥ 1 , det(Λ) = 1 , L↑+ Λ00 ≥ 1 , det(Λ) = −1 , L↑− Λ00 ≤ −1 , L↓+ Λ00 ≤ −1 , det(Λ) = −1 , det(Λ) = 1 , L↓− (4.1.10) clasy Подмножество L+ = L↑+ ∪ L↓+ образует подгруппу в L, которая называется собственной группой Лоренца и обозначается как SO(1, 3). Преобразования из множества L↑ = L↑+ ∪ L↑− называются ортохронными и также образуют подгруппу, т.е., мы 168 имеем (Λ̃Λ)00 = Λ̃0 0 Λ00 + Λ̃0 i Λi 0 ≥ 1 если Λ̃0 ≥ 1 и Λ00 ≥ 1. Действительно, длины q 0 3-векторов Λi 0 и Λ̃0 i равны q (Λ00 )2 − 1 и (Λ̃00 )2 − 1 (см. (4.1.9) и соотношение (4.1.7) для i, j = 0). Отсюда следует неравенство q (Λ00 )2 q − 1 (Λ̃00 )2 − 1 ≥ |Λ̃0 i Λi 0 | , и мы получаем (Λ̃Λ)00 = Λ̃0 0 Λ0 0 + Λ̃0i Λi 0 ≥ Λ̃0 0 Λ0 0 −  где последнее неравенство следует из Λ̃0 Λ0 торое эквивалентно q (Λ00 )2 − 1 − q (Λ̃00 )2 − 1 q q (Λ00 )2 − 1 (Λ̃00 )2 − 1 ≥ 1 , 2 2  ≥ 1+ q (Λ00 )2 q −1 (Λ̃00 )2 2 −1 , ко- ≥ 0. Собственные ортохронные преобразования L↑+ образуют подгруппу в подгруппе L+ (и в подгруппе L↑ ). Важными примерами преобразований Лоренца (4.1.8) для классов (4.1.10) являются: 1.) тождественное преобразование: I x = x; 2.) пространственное отражение: P (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (x0 , −x1 , −x2 , −x3 ); 3.) обращение времени: T (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (−x0 , x1 , x2 , x3 ); 4.) полное отражение в пр-ве Минковского : P T (xi ) = (−xi ) , (i = 0, 1, 2, 3); I ∈ L↑+ , P ∈ L↑− , T ∈ L↓− , P T ∈ L↓+ . Полная группа Лоренца L состоит из 4-х смежных классов: L = L↑+ + P L↑+ + T L↑+ + P T L↑+ . Преобразования из каждого из этих 4-х классов образуют связные множества, т.е. могут быть переведены друг в друга непрерывным изменением. Сама группа L несвязна и состоит из четырех, перечисленных выше, компонент. Рассмотрим преобразования Лоренца, которые сохраняют две из пространственных координат (например, x2 , x3 ) и нетривиально действующие в плоскости векторов ~e0 , ~e1 . В этом случае матрица Λ имеет вид  Λ=        Λ00 Λ01 0 0    Λ10 Λ11 0 0    0 0 1 0   0 1 и мы сводим изучение группы Лоренца к изучению двумерной группы O(1, 1), которая сохраняет форму (3.1.15), и включает в себя преобразования 4-х типов (3.1.16). 169 Эти преобразования можно свести к следующим преобразованиям координат x0 , x1 : x̃0 = chφ x0 + shφ x1 , x̃1 = shφ x0 + chφ x1 , (L↑+ ) x̃0 = −chφ x0 − shφ x1 , x̃1 = −shφ x0 − chφ x1 , x̃0 = chφ x0 − shφ x1 , x̃1 = shφ x0 − chφ x1 , x̃0 = −chφ x0 + shφ x1 , x̃1 = −shφ x0 + chφ x1 , (L↓+ ) (L↑− ) (L↓− ) Для преобразований первого класса воспользуемся параметризацией 1 −v/c chφ = q , shφ = q , x0 = ct , x1 = x , 2 2 2 2 1 − v /c 1 − v /c где c - фундаментальная константа, имеющая размерность скорости, и которая называется скоростью света. Тогда приходим к известным формулам для преобразований Лоренца t − v x/c2 x−vt , t̃ = q , x̃ = q 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 Это собственное ортохронное преобразование называется лоренцевским бустом (происходит от английского слова ”boost” – сдвиг) в плоскости (~e0 , ~e1 ). Пусть Λ ∈ L↑+ – произвольное собственное ортохронное преобразование Лоренца. Тогда Λ можно всегда (см. [22]) однозначно разложить в произведение буста B и собственного вращения R в трехмерном пространстве Λ = B R. Группа Пуанкаре. Группа Лоренца была определена как группа всех преобразований пространства Минковского M, которые оставляют инвариантной метрику gnm (т.е., не меняют длины интервалов) и оставляют неподвижной фиксированную точку O начала системы координат. Если не требовать, от рассматриваемых преобразова- ний, неподвижности какой-либо точки O, а ограничиться только требованием сохранения интервалов, то мы приходим к преобразованиям, которые образуют группу Пуанкаре. По отношению к действию этой группы, пространство Минковского однородно (т.е. все точки M равноправны), что соответствует равноправию событий в теории относительности. Чтобы описать преобразования этой группы мы рассмотрим наряду с лоренцевскими вращениями (4.1.8) сдвиги всех векторов в M на постоянные вектора, т.е. рассмотрим преобразования n m xm → x̃m = Λm nx +a . (4.1.11) puanc То, что эти преобразования сохраняют интервалы, следует из равенств r k r n n m k r k r n m n (ỹ m − x̃m )(ỹm − x̃m ) = (Λm n y − Λn x )gmk (Λr y − Λr x ) = (y − x )Λn gmk Λr (y − x ) = 170 = (y n − xn )gnr (y r − xr ) = (y n − xn )(yn − xn ) . Для преобразований (4.1.11) можно ввести обозначение (Λ, a). Два последовательn m ˜ m = Λ̃m ных преобразования (4.1.11) и x̃ приводят к закону композиции этих n x̃ + ã преобразований (4.1.12) compos (Λ̃, ã) (Λ, a) = (Λ̃Λ, Λ̃a + ã) , где (Λ̃Λ)kn = Λ̃km Λm n . Преобразования (4.1.11) образуют группу P, которая называется группой Пуанкаре. Обратный и единичный E элементы представимы в виде (Λ, a)−1 = (Λ−1 , −Λ−1 a) , E = (I, 0) , где I – единичная матрица и 0 – нулевой вектор. Отметим, что закон композиции (4.1.12) можно записать в матричном виде. Введем для этого блочную матрицу   am Λm n 1   тогда закон композиции (4.1.12) представляется в виде   Λ̃m ãm n 1   Λnk an 1    = m n m n Λ̃m n Λk Λ̃n a + ã 1   Поэтому группу Пуанкаре еще называют неоднородной группой Лоренца и обозначают IO(3, 1) (inhomogeneous orthogonal). Группа Лоренца L и абелева группа T сдвигов (трансляций) xm → xm + am являются подгруппами в группе Пуанкаре P. Алгебра Ли для группы Пуанкаре. Рассмотрим сначала инфинитезимальные преобразования Лоренца (4.1.8) с матрицами Λnm = δnm + ωnm + . . . xk = x̃k + x̃n ωnk + . . . (4.1.13) preob5 где мы считаем элементы ωnm – малыми величинами (т.е. рассматриваем преобразования Лоренца вблизи единичного элемента). Из условий инвариантности метрики (4.1.6) при таких преобразованиях следует, что ωi k gkj + gik ωj k = 0 ⇒ ωij + ωji = 0 , (4.1.14) preob7 где мы определили ωij = ωi k gkj . Теперь преобразования (4.1.13), с учетом условия (4.1.14), можно переписать в виде xk → x̃k = xn (Λ−1 )nk = xn (δnk − ωnk + . . .) = 171 (4.1.15) preob6 1 = xk − xn ωnk + . . . = xk − ωnm xn ∂m xk + . . . = (1 − ωnm M nm )xk + . . . , 2 где мы определили операторы (ср. с (3.7.13)) M nm = (xn ∂ m − xm ∂ n ) и использовали обозначения ∂m = ∂ , ∂xm (4.1.16) lilo ∂ m = g mn ∂n . Число независимых операто- ров (4.1.16) (в силу их антисимметрии M mn = −M nm ) в 4-х мерном случае (n, m = 0, 1, 2, 3) равно 6, и эти операторы образуют алгебру Ли с определяющими соотношениями [M nm , M kl ] = g mk M nl − g ln M km − g nk M ml + g lmM kn , (4.1.17) lilo2 которые следуют из явного вида (4.1.16). Действительно, [xn ∂ m − xm ∂ n , xk ∂ l ] − (k ↔ l) = g mk xn ∂ l − g ln xk ∂ m − g nk xm ∂ l + g ml xk ∂ n − (k ↔ l) = = g mk (xn ∂ l − xl ∂ n ) − g ln (xk ∂ m − xm ∂ k ) − g nk (xm ∂ l − xl ∂ m ) + g ml (xk ∂ n − xn ∂ k ) , что эквивалентно (4.1.17). Шести-мерная алгебра Ли c образующими M mn и определяющими соотношениями (4.1.17), в случае метрики gnm = diag(1, −1, −1, −1), назы- вается алгеброй Ли группы Лоренца. Формулы (4.1.13) – (4.1.17) справедливы и для общего случая (p + q)-мерных псевдоевклидовых групп вращения SO(p, q), для которых метрика имеет вид gnm = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1) , | {z p } | {z q } и для которых размерность (число независимых образующих, т.е. число антисимметричных (p + q)-мерных матриц M nm ) алгебры Ли (4.1.17) равна (p+q)(p+q−1) . 2 Определяющее представление для образующих M nm группы SO(p, q) можно получить, действуя операторами (4.1.16) на компоненты xm (m = 0, . . . , p + q − 1) M nm · xk = xn g mk − xm g nk = (g mk δ nj − g nk δ mj )xj , т.е. мы имеем M nm · xk = (M nm )kj xj , где (M nm )kj = (g mk δ nj − g nk δ mj ) , (n, m, k, j = 0, . . . , p + q − 1) . (4.1.18) deflor Вспомним теперь, что в группу Пуанкаре входят, кроме лоренцевских вращений, еще и преобразования сдвигов: xm → x̃m = xm + am . Эти преобразования перепи- сываются в виде xm → x̃m = (1 + an ∂n )xm , следовательно образующие сдвигов Pn в 172 группе Пуанкаре можно представить в виде операторов дифференцирования Pn = ∂n . Определяющие соотношения для этих образующих (4-х, в случае группы Пуанкаре, и (p + q) в случае общей неоднородной группы ISO(p, q)) легко вычисляются [P n , P m ] = 0 , [P n , M km ] = g kn P m − g mn P k , (4.1.19) genP где P m = g mn Pn . Т.о., мы нашли все 10 образующих {M mn , P n } алгебры Ли группы Пуанкаре c определяющими соотношениями (4.1.17) и (4.1.19). Дополнение. Конформная алгебра пространства R(p−1,q−1) . Пусть q + p > 4, т.е. размерность пространства R(p−1,q−1) больше 2 и в этом пространстве действует группа ISO(p − 1, q − 1) – аналог группы Пуанкаре. Если расширить алгебру группы ISO(p−1, q −1) (с образующими {Mmn , Pm = ∂m } и определяющими соотношениями (4.1.17), (4.1.19)) добавив генераторы D = xm Pm , Km = 2 xm D − (xm xm ) Pm , (4.1.20) DK с коммутационными соотношениями [D, Pm ] = −Pm , [D, Km ] = Km , [Pn , Km ] = 2 (gnm D + Mmn ) , [D, Mnm ] = 0 , [Kn , Km ] = 0 , (4.1.21) confalg [Kn , Mkm ] = gmn Kk − gkn Km , то в результате получается алгебра Ли (с образующими {Mmn , Pm , Km , D}) груп- пы Conf(R(p−1,q−1) ) всех конформных преобразований псевдоевклидова пространства R(p−1,q−1) . Размерность расширенной алгебры очевидно равна (p+q)(p+q−1) , 2 как и у ал- гебры Ли группы SO(p, q). Покажем, что эта расширенная алгебра с дополнительными образующими (4.1.20) и (4.1.21) изоморфна алгебре Ли группы SO(p, q). Действительно, генераторы Lij группы SO(p, q) могут быть выбраны в виде Lab := xa ∂b − xb ∂a = −Lba и мы имеем [Lab , Lcd ] = gbc Lad + gda Lbc + gca Ldb + gbd Lca , где a, b, c, d = 0, 1, . . . , p + q − 1. В частности можно получить, что [L0j , L0k ] = g00 Lkj , [L0j , L1k ] = gjk L10 [L1j , L1k ] = g11 Lkj , [L1j , L0k ] = gjk L01 (∀k, j = 2, . . . , p + q − 1) 173 Пусть g00 = −g11 (это означает, что gij для i, j = 2, . . . , p + q − 1 является метрикой пространства R(p−1,q−1) ), тогда для ǫ2 = 1 мы имеем [L0j + ǫL1j , L0k + ǫL1k ] = g00 Lkj + ǫgjk (L01 + L10 ) + ǫ2 g11 Lkj = 0 , [L01 , L0k + ǫL1k ] = −g00 L1k + ǫg11 L0k = ǫg11 (L0k + ǫL1k ) (∀k, j = 2, . . . , p + q − 1) . Выбирая g11 = 1, ǫ = ±1, можно отождествить L+ k := L0k + L1k = Pk с (p + k − 2)импульсом, L− k := L0k − L1k = Kk со специальными конформными генераторами, Lij с генераторами группы SO(p − 1, q − 1) и L01 = D с дилатонным генератором. Т.о., мы имеем SO(p, q) = Conf(R(p−1,q−1) ). В заключении заметим, что ± xi L± k − xk Li = (x0 ± x1 )Lik ⇒ xi Pk − xk Pi = (x0 + x1 ) · Lik , т.е. истинный импульс равен 1 P . (x0 +x1 ) k Упражнения. 1. Пусть Λ ∈ L↑+ – произвольное собственное ортохронное преобразование Лоренца. Доказать, что Λ однозначно разлагается в произведение буста B и собственного вра- щения R в трехмерном пространстве Λ = B R. 2. Доказать, что оператор J 2 = M mn Mmn (квадратичный оператор Казимира) является центральным элементом для алгебры Ли (4.1.17) группы SO(p, q), т.е. [J 2 , M kl ] = 0 (∀k, l). 3. Доказать, что подгруппа трансляций T является инвариантной подгруппой в группе Пуанкаре P и фактор группа P/T изоморфна группе Лоренца L. 4.2 Лекция 16. Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры. Твисторы. Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Рассмотрим унимодулярные комплексные матрицы (A11 , A12 , A21 , A22 ∈ C)  A= A11 A12 A21 A22   , A11 A22 − A21 A21 = 1 . 174 (4.2.1) uni2 Эти матрицы образуют группу SL(2, C) относительно матричного умножения, т.к. произведение двух унимодулярных матриц дает снова матрицу с det = 1, а обратная  A−1 =  A22 −A21 −A12 A11   (4.2.2) uni2m , и единичная матрицы также являются унимодулярными. Каждому 4-вектору с координатами (x0 , x1 , x2 , x3 ) мы сопоставим 2 × 2 эрмитову матрицу  X = xm σm =  x0 + x3 x1 + ix2 где мы использовали 4 матрицы σm  σ0 =  1 0 0 1    , σ1 =  0 1 1 0    , σ2 =  x1 − ix2 x0 − x3 0 −i i     (4.2.3) Xx ,  , σ3 =  1 0 −1   , (4.2.4) sigm которые образуют базис в пространстве эрмитовых 2 ×2 матриц. Соответствие xm ↔ X взаимно однозначно, т.к. имеется обратная формула 1 xm = Tr(Xσm ) , 2 (4.2.5) xX которая следует из равенства 21 Tr(σn σm ) = δnm . Отметим однако, что эта формула не совсем корректна, т.к. связывает объекты с нижним и верхним лоренцевским индексами. Эта кажущаяся неточность будет разрешена в следующем подпункте "Спиноры". Рассмотрим линейное преобразование матрицы X, оставляющее ее эрмитовой: X → X̃ = A X A† = x̃m σm (∀A ∈ SL(2, C)) . (4.2.6) prelo2 Заметим, что это преобразование сохраняет детерминант матрицы X: det(X̃) = det(A X A† ) = | det(A)|2 det(X) = det(X) . Т.к. det(X) = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 = xm xm , то линейное преобразование xm → x̃m (4.2.6) сохраняет длины интервалов в пространстве Минковского (xm xm = x̃m x̃m ), и следовательно является преобразованием Лоренца. Отметим, что две матрицы ±A обслуживают одно и то же преобразование Лорен- ца, т.е. группа SL(2, C) дважды накрывает группу Лоренца. Отметим также, что у группы SL(2, C) имеется 3 комплексных параметра (т.е. 6 вещественных параметров) и т.о. размерности многообразий групп Лоренца и SL(2, C) совпадают. 175 Спиноры. Группа матриц SL(2, C) естественно действует в пространстве двухкомпонентных ! векторов ξ = ξ1 , которые представляют собой пару комплексных чисел ξ1 и ξ2 . ξ2 Такое действие имеет вид ξα → ξα′ = Aαβ ξβ , ξ′ = A ξ . (4.2.7) spin1 Определение 4.2.1 Вектора ξ в двумерном комплексном пространстве C2 с действием на них группы SL(2, C) (4.2.7) называются ковариантными спинорами (или просто спинорами). Т.о., пространство ковариантных спиноров является пространством определяющего представления группы SL(2, C). Определим спинор с верхним индексом η α и его преобразование так, чтобы свертка η α ξα была инвариантна при преобразованиях (4.2.7). Соответствующее преобразование спинора η α имеет вид α T η α → η ′ = η β (A−1 )βα , η ′ = ηA−1 ⇒ η ′ = (A−1 )T η T . (4.2.8) spin2 Спинор с верхним индексом η β , который преобразуется по правилу (4.2.8), будем называть контрвариантным. Заметим теперь, что матрицы A ∈ SL(2, C) (4.2.1) и (A−1 )T (матрица A−1 определена в (4.2.2)) связаны между собой преобразованиями (A−1 )T = E A E −1 ⇒ (A−1 )βα = E αγ Aγ δ Eδβ , E = ||E αβ || = 0 1 −1 0 ! , E −1 = ||Eαβ || = 0 −1 1 0 ! , E αβ Eβγ = δγα . (4.2.9) aat (4.2.10) metr Для простоты мы не будем указывать знак степени "−1"у элементов Eβγ (с нижними индексами) обратной матрицы E −1 . На самом деле соотношение (4.2.9) есть следствие условия det(A) = 1 (см. (2.6.5)): E γδ Aγα Aδ β = E αβ , Aγ α Aδ β Eαβ = Eγδ . Из соотношения (4.2.9) следует, что контрвариантный спинор η α и ковариантный спинор ξα преобразуются (см. (4.2.7), (4.2.8)) по эквивалентным представлениям группы SL(2, C). Т.о., мы всегда спинор с верхним индексом можем перевести в спинор с нижним индексом (и наоборот) воспользовавшись матрицами E, E −1 : ηα = −η β Eβα = Eαβ η β , ξ α = E αβ ξβ = −ξβ E βα . 176 (4.2.11) metr1 Действительно, легко проверить, что Eαβ η β преобразуется как спинор с нижним ин- дексом, если η β преобразуется согласно (4.2.8): β Eαβ η ′ = −η γ (A−1 )γ β Eβα = −Aαδ Eγδ η γ = Aαδ Eδγ η γ , при этом инвариантная (относительно преобразований группы SL(2, C)) билинейная форма η α ξα оказывается кососимметричной η α ξα = η α Eαβ ξ β = −ηα E αβ ξβ = −ξ α ηα . Каждой матрице A ∈ SL(2, C) можно сопоставить комплексно сопряженную мат- рицу A∗ ∈ SL(2, C) с помощью которой, как следует из (4.2.7), преобразуется ком- плексно сопряженный спинор ξα∗ ξ ∗ → ξ ∗ ′ = A∗ ξ ∗ ,  A∗ = ||A∗ αβ || =  A∗ 11 A∗ 12 A∗ 21 A∗ 22   ξ ∗ ′α = A∗ αβ ξ ∗ β , (4.2.12) spin3 , A∗ 11 A∗ 22 − A∗ 12 A∗ 21 = 1 . (4.2.13) uni4 Отображение ρ: A → A∗ очевидно является гомоморфизмом SL(2, C) → SL(2, C) и, т.о., отображение ρ определяет представление группы SL(2, C), которое называется комплексно сопряженным. Докажем, что это комплексно сопряженное представление не является эквивалентным определяющему представлению (4.2.1). Для этого надо показать, что для всех матриц A (4.2.1) и их комплексно сопряженных матриц A∗ (4.2.13) не существует фиксированной матрицы V такой, что A∗ = V A V −1 . Действительно, если бы такая матрица V существовала, то мы всегда имели бы равенство Tr(A) = Tr(A∗ ), что в действительности реализуется не для всех матриц A ∈ SL(2, C). Отметим, что для унитарных матриц U (3.4.1) мы очевидно имеем Tr(U) = Tr(U ∗ ). Более того, из условия унитарности и требования det(U) = 1 мы имеем U ∗ = (U −1 )T = EUE −1, и следовательно для группы SU(2) определяющее и комплексно сопряженные представления эквивалентны. В вычислениях удобно индексы у сопряженного представления SL(2, C) отличать от индексов у обычного спинорного представления (дабы не было соблазна их свернуть друг с другом), поэтому индексы сопряженного представления отмечаются точкой. Например, для комплексно сопряженного спинора ξα∗ ≡ ξα̇ формулы (4.2.12) и (4.2.13) переписываются в виде ξ ∗ → ξ ∗′ = A∗ ξ ∗ , ξα̇′ = A∗ α̇β̇ ξβ̇ = ξβ̇ A† 177 β̇ α̇ , (4.2.14) spin5  A∗ = ||A∗ α̇β̇ || =  A∗ 1̇1̇ A∗ 1̇2̇ A∗ 2̇1̇ A∗ 2̇2̇   . (4.2.15) uni5 Контравариантные сопряженные спиноры имеют верхний пунктирный индекс и преобразуются по правилу α̇ α̇ ξ α̇ → ξ ′ = ξ β̇ (A∗ )−1 β̇ , а метрические матрицы имеют такой же вид как и в (4.2.10), (4.2.11) ηα̇ = −η β̇ Eβ̇α̇ = Eα̇β̇ η β̇ , ||E α̇β̇ || ≡ 0 1 −1 0 ! , ||Eα̇β̇ || ≡ ξ α̇ = E α̇β̇ ξβ̇ = −ξβ̇ E β̇ α̇ . (4.2.16) metr2 0 −1 1 0 (4.2.17) metr3 ! , E α̇β̇ Eβ̇γ̇ = δγ̇α̇ . Рассмотрим теперь матрицу X (4.2.3). В силу закона преобразования (4.2.6) и формул (4.2.7), (4.2.14) элементы матрицы X необходимо обозначать Xαβ̇ . Т.к. матрица X построена из матриц σm , то элементы этих матриц также необходимо обозначать как (σm )αβ̇ . Теперь ясно, почему формула (4.2.5) некорректна – две матрицы (σm )αβ̇ невозможно умножить друг на друга напрямую ковариантным образом. Для того, чтобы умножать σ-матрицы ковариантно введем набор ”сопряженных” σматриц α̇α σ̃m = E α̇β̇ E αβ (σm )β β̇ , σ̃m = (σ0 , −σ1 , −σ2 , −σ3 ) , σ̃ m = σ̃n g nm = (σ0 , σ1 , σ2 , σ3 ) . (4.2.18) sopsi fα̇α = E α̇β̇ E αβ X , с помощью Рассмотрим соответствующую сопряженную матрицу X β β̇ которой мы можем устраивать ковариантные произведения fα̇α = X fα̇α X = xm x . Xαα̇ X αα̇ m (4.2.19) XtX Теперь соотношение xm ↔ X (4.2.5) записывается корректной формулой 1 xm = Tr(X σ̃ m ) , 2 (4.2.20) xXX в обоих частях которой стоят объекты с верхними векторными индексами. Пользуясь формулой (4.2.20), преобразование (4.2.6) можно переписать в виде стандартного преобразования Лоренца (4.1.8) 1 1 x̃m = Tr(X̃ σ̃ m ) = Tr(Axn σn A† σ̃ m ) = xn (Λ−1 )m n , 2 2 1 † m (Λ−1 )m n = Tr(Aσn A σ̃ ) . 2 178 (4.2.21) LA Симметричные (по векторным индексам) комбинации матриц σm (4.2.4) и σ̃m (4.2.18) удовлетворяют соотношениям (σm σ̃n + σn σ̃m )αβ = 2 gnm δαβ , (σ̃m σn + σ̃n σm )α̇β̇ = 2 gnm δβ̇α̇ , (4.2.22) ssg и мы имеем Tr(σn σ̃m ) = 2 gnm , Tr(σ̃m σn σ̃k σl ) = 2(gnm gkl − gnl gkm + gnk glm ) , (4.2.23) mnkl где первое тождество очевидно, а второе доказывается стандартно Tr(σ̃m σn σ̃k σl ) = Tr(σn σ̃k σl σ̃m ) = Tr(σn σ̃k (2glm − σm σ̃l )) = (4.2.24) proo = 4gnk glm − Tr(σn (2gkm − σ̃m σk )σ̃l ) = 4gnk glm − 4gnl gkm + 4gnm gkl − Tr(σm σ̃n σk σ̃l ) . Введем матрицы σnm и σ̃nm антисимметричные по векторным индексам n, m 1 (σnm )αβ = − (σn σ̃m − σm σ̃n )αβ , 4 1 (σ̃nm )α̇β̇ = − (σ̃n σm − σ̃m σn )α̇β̇ . 4 (4.2.25) snm2 Эти матрицы обладают свойством симметрии (σnm )αβ Eβγ = (σnm )γβ Eβα , Eα̇γ̇ (σ̃nm )γ̇β̇ = Eβ̇ γ̇ (σ̃nm )γ̇α̇ . (4.2.26) snm3 Заметим, что (i, j, k = 1, 2, 3) i σij = Eijk σk = σ̃ij , 2 1 σ0i = σi = −σ̃0i , 2 (4.2.27) snm5 где Eijk – антисимметричный тензор 3-его ранга. Пусть параметры ω nm = −ω mn ∈ R образуют антисимметричную 4 × 4 матрицу, тогда i (ω nm σnm )αβ = (ω 0i σi + Eijk ω jk σi )αβ = (z i σi )αβ , 2 где мы определили 3 комплексных числа i z i = ω 0i + Eijk ω jk . 2 (4.2.28) zo по 6-и вещественным параметрам ω nm = −ω mn . Т.к. матрицы σi (i = 1, 2, 3) образуют базис в алгебре Ли для группы SL(2, C) (напомним, что алгебру Ли группы SL(2, C) образуют все двумерные комплексные матрицы a такие, что T r(a) = 0), то мы можем записать инфинитезимальное преобразования A, A† ∈ SL(2, C) в виде 1 Aαβ = δαβ − (ω nmσnm )αβ + . . . , 2 1 (A† )α̇β̇ = δ α̇β̇ + (ω nmσ̃nm )α̇β̇ + . . . . 2 179 (4.2.29) SLor1 Подставляя это представление в (4.2.21), мы получаем 1 1 † m m [Tr(σkl σn σ̃ m ) − Tr(σn σ̃kl σ̃ m )] ω kl + . . . = (Λ−1 )m n = Tr(Aσn A σ̃ ) = δn − 2 4 1 [Tr(σk σ̃l σn σ̃ m ) − Tr(σn σ̃k σl σ̃ m )] ω kl + . . . = δnm − gnk ω km + . . . , 8 где мы использовали тождества (4.2.23). Сравнивая это соотношение с инфинитези= δnm + мальным преобразованием Лоренца (4.1.15), мы устанавливаем точное соответствие элементов группы SL(2, C) и элементов собственной ортохронной группы Лоренца: 1 m m ± (1 + ω nm σnm + . . .)αβ = ±Aαβ −→ Λm n = (δn + ωn + . . .) , 2 (4.2.30) SLor где ωnm = gnk ω km. Замечание. Почти все элементы A ∈ SL(2, C) представимы в экспоненциальной форме A = exp(z i σi ) (z 1 , z 2 , z 3 ∈ C) , (4.2.31) exp5 где σi – матрицы Паули. Экспоненциальная форма (4.2.31) покрывает SL(2, C) почти полностью за исключением комплексной двумерной поверхности в SL(2, C), состоящей из элементов [23] −1 − ab a2 −b2 −1 + ab ! =B −1 1 0 −1 ! B −1 , B ∈ SL(2, C) . (4.2.32) exp6 Это следует из того факта, что матрица (4.2.32) недиагонализуема и имеет два совпадающих собственных значения, равных −1, а матрица z i σi либо диагонализуема, либо, т.к. Tr(z i σi ) = 0, приводится к виду z i σi → 0 u 0 0 ! ⇒ A = exp(z i σi ) → 1 eu 0 1 ! . Заметим, что если A ∈ SL(2, C), то либо A либо −A имеют экспоненциальную форму (4.2.31). Матрицы Дирака. Дираковские спиноры, биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры. Составим из двух спиноров ξα и η α̇ (= η α∗ ) (α, α̇ = 1, 2) четырехкомпонентный спинор  Ψ= ξα η α̇ 180   . (4.2.33) dirspin Такой би-спинор называется дираковским спинором. На него (согласно расстановке спинорных индексов) естественным образом действуют 4 × 4 матрицы γm , имеющие блочную структуру γm = 0 σm σ̃m 0 ! (4.2.34) dirg Эти матрицы называются дираковскими гамма-матрицами и удовлетворяют определяющему соотношению алгебры Клиффорда: γm γn + γn γm = 2 gmn I4 , I4 = δαβ 0 0 δ α̇β̇ ! . (4.2.35) clcl Согласно (4.2.29), (4.2.30) преобразования Лоренца действуют на дираковский спинор следующим образом ! 1 nm Ψ→ A −1 † Ψ ≡ U Ψ ⇒ δΨ = ω 0 (A ) 2 σnm 0 0 σ̃nm ! 1 Ψ = ω nm Σnm Ψ , (4.2.36) SLor2 2 где Σnm 1 = − (γn γm − γm γn ) = 4 σnm 0 0 σ̃nm ! . (4.2.37) SLor23 Контрвариантный к (4.2.33) дираковский спинор имеет вид Ψ = (η α , ξα̇ ) (4.2.38) dirspin1 и, как следствие (4.2.33), (4.2.34), мы имеем Ψ = Ψ† γ0 , где Ψ† = (ξα̇ , η α )15 . Т.о., контрвариантный дираковский спинор Ψ (4.2.38) оказывается обычным дираковски сопряженным спинором к спинору Ψ. Инвариантная, относительно преобразований (4.2.36), форма имеет вид (Ψ Ψ) = η α ξα + ξα̇ η α̇ = Ψ† γ0 Ψ . (4.2.39) invfo Т.е. преобразование (4.2.36) оказывается инфинитезимальной формой некоторого унитарного преобразования Ψ → UΨ, сохраняющего метрику, реализованную мат- рицей γ0 , U † γ0 U = γ0 ⇒ U ∈ Spin(1, 3) , и матрицы Σnm – образуют базис в алгебре Ли группы Spin(1, 3), о которой мы будем говорить в следующей Лекции. Т.к. γ02 = I4 , то у матрицы γ0 имеются собственные 15 Следует отметить, что в определении Ψ матрица γ0 (которая играет роль метрики) только фор- мально совпадает с матрицей Дирака (4.2.34), но имеет другую расстановку точечных и бесточечных индексов. 181 значения ±1 и,! с помощью преобразования эквивалентности, ее можно привести к виду I 0 , где I обозначает (2 × 2) единичную матрицу. Отсюда следует, что 0 −I Spin(1, 3) ⊂ SU(2, 2). Введем в рассмотрение еще одну гамма-матрицу γ5 = −iγ0 γ1 γ2 γ3 = Iα β 0 −I α̇β̇ ! γ52 = I4 , γ5 γm + γm γ5 = 0 . , (4.2.40) dirg5 Используя матрицу γ5 мы можем определить 2 проектора 1 PR = (I4 − γ5 ) . 2 1 PL = (I4 + γ5 ) , 2 (4.2.41) prLR которые удовлетворяют соотношениям PL PR = PR PL = 0 , PL2 = PL , PR2 = PR Действие проекторов PR , PL на дираковский спинор расщепляет его на два би-спинора  Ψ L = PL Ψ =  ξα    , Ψ R = PR Ψ =  η α̇   (4.2.42) weil , которые преобразуются при преобразованиях Лоренца как обычные дираковские спиноры (4.2.36), что следует из соотношений [Σmn , γ5 ] = 0, [Σmn , PR,L ] = 0. Спиноры (4.2.42) являются дираковской формой двухкомпонентных вейлевских спиноров ξα , η α̇ и иногда именно эти спиноры ΨL,R называют вейлевскими. На основе дираковского сопряженния спинора Ψ (4.2.38) можно определить еще одно преобразование над Ψ, которое снова приводит к определению ковариантного спинора, преобразующегося согласно (4.2.36) T  ΨC = C γ 0 Ψ∗ = C Ψ =   ηα  ξ α̇ ,  C= Eαβ E α̇β̇ Этот спинор называется зарядово сопряженным к спинору Ψ.   . (4.2.43) charge Рассмотрим дираковский спинор (4.2.33) в частном случае, когда ξα = ηα . Очевидно, что такой 4-х компонентный спинор  ΨM =  ηα η α̇   , (4.2.44) major1 определяется только двумя комплексными числами ηα и преобразуется как дираковский спинор (4.2.36). Спинор ΨM называется майорановским. Замечательным свойством майорановского спинора (4.2.44) является то, что он удовлетворяет тождеству ΨM = C γ0 Ψ∗M = (ΨM )C , 182 т.е. майорановский спинор ΨM равен своему зарядово сопряженному спинору. Заметим, что вейлевские спиноры (4.2.42) могут совпадать с майорановскими (4.2.44) только если они нулевые. Этот факт будет отмечен ниже в лекции о многомерных спинорах, где будет показано, что ненулевые майорано-вейлевские спиноры могут быть определены только в пространствах с размерностью D = 2 mod(8). Дополнение. Твисторы. Рассмотрим комплексный спинор Za и его комплексносопряженный спинор Zȧ∗ (a = 1, 2, 3, 4)  Za =  которые образуют определяющее λα µ α̇ 16   ,  Zȧ∗ =  λ̄α̇ µ̄α   (4.2.45) twistor , и сопряженное к нему представления группы SU(2, 2): Za → Za′ = Aab Zb , Zȧ∗ → Z ∗′ȧ = Āȧḃ Zḃ∗ (A ∈ SU(2, 2) , Ā = A∗ ) . Контрвариантный спинор Z̄ a преобразуется по правилу Z̄ a → (Z̄ ′ )a = Z̄ b (A−1 )ba . Этот спинор имеет вид Z̄ a = (µ̄α , −λ̄α̇ ) , Z̄ a = Zȧ∗ g ȧa . и строится из Zȧ∗ (4.2.45) с помощью инвариантной, относительно преобразований SU(2, 2), метрики g ȧa  g ȧa =  δ αβ −δβ̇α̇   , Āȧḃ g ȧa Aab = g ḃb . Т.о. инвариантная форма (ср. с (4.2.39)) для спиноров Z̄ a , Za равна (Z̄ a Za ) = µ̄α λα − λ̄α̇ µα̇ . 16 (4.2.46) spns Следует различать определяющее (стандартное) и фундаметальное представления. Представле- ние группы (или алгебры) Ли называется фундаментальным, если оно неприводимо и его старший вес является фундаментальным весом. Фундаментальные веса ω1 , ω2 , . . . , ωn , это веса которые определяют базис Λ∗ дуальный к набору простых кокорней Hα1 , . . . , Hαn . Например, фундаментальными представлениями специальной линейной группы SL(N ) являются внешние степени стандартного представления. 183 Пусть спиноры Za и Z̄ a удовлетворяют каноническим SU(2, 2)- инвариантным коммутационным соотношениям [Z̄ a , Zb ] = i δba ⇒ [µ̄α , λβ ] = i δβα , [µα̇ , λ̄β̇ ] = i δβ̇α̇ . (4.2.47) comzz Тогда генераторы алгебры Ли группы SU(2, 2) ∼ SO(2, 4) можно реализовать, как квадратичные комбинации осцилляторов (4.2.47), следующим образом (ср. с (3.7.14)) 1 Pαα̇ = λα λ̄α̇ , K α̇α = µα̇ µ̄α , Mαβ = λ(α µ̄β) , M̄α̇β̇ = µ(α̇ λ̄β̇) , D = (λα µ̄α + µα̇ λ̄α̇ ) . 2 (4.2.48) gsu22 Отсюда в частности следует равенство K m Km = 0. Рассмотрим релятивистскую безмассовую частицу, состояние которой описывается точкой в фазовом пространстве с координатами {xm , pm } (двигающуюся в про- странстве M с 4-мя координатами xm и 4-импульсом pm , pm pm = 0). Определение 4.2.2 Фундаментальное представление Za (4.2.45) группы SU(2, 2) называется твистором, если имеется следующая связь между спинорами (4.2.45) и координатами {xm , pm } Pαα̇ = λα λ̄α̇ , µα̇ = X α̇β λβ , µ̄α = λ̄β̇ X β̇α , (4.2.49) twtr где мы определили Pαα̇ = pm σαmα̇ , α̇α X α̇α = xm σem . (4.2.50) mXP Связь (4.2.49) называется твисторным преобразованием. Учитывая уравнения (4.2.49) и (4.2.50), мы можем переписать образующие (4.2.48) в терминах координат {xm , pm } P = P = pm σ m , D = 21 (pm xk + xk pm ) Tr(σ m σek ) = (p x) + (x p) , K + 4ih̄ X = xm pn xk σem σ n σek + 4ih̄ X = xm (xk pn − ih̄δnk )σem σ n σek + 4ih̄ X = = 12 xm xk pn (σem σn σek + σek σn σem ) = 12 xm xk pn ((2gmn − σen σm )σek + (2gkn − σen σk )σem ) = = 12 xm xk pn (2gmn σek + 2gkn σem − 2gmk σen ) = (2 xn (x p) − (x2 ) pn ) σen , Mαβ = Pαβ̇ X β̇γ Eγβ + Pβ β̇ X β̇γ Eγα = pm xk [(σm σek E)αβ + (σm σek E)βα ] = = −2pm xk [(σmk E)αβ + (σmk E)βα] = 2 (pk xm − pm xk ) (σmk )αγ Eγβ , M̄α̇β̇ = Eα̇γ̇ X γ̇β Pβ β̇ + Eβ̇γ̇ X γ̇β Pβ α̇ = 2 (xk pm − xm pk ) Eα̇γ̇ (σemk )γ̇β̇ , n где мы воспользовались сотношениями (4.2.22), (4.2.25), (4.2.26), [xm , pn ] = ih̄δm . Т.о., действительно алгебра (4.2.48) связана с конформной алгеброй so(2, 4) (см. (4.1.16), (4.1.20)). 184 В заключении отметим, что инвариант (Z̄ a Za ) (4.2.46) связан со спиральностью безмассовой частицы, т.к. где матрица Wαα̇ = W m (σm )αα̇ 1 Wαα̇ = (Z̄ a Za ) Pαα̇ , (4.2.51) plubi 2 и Wm – координаты вектора Паули-Любанского 1 Wm = Emnkr M̂ nk P̂ r . 2 (4.2.52) plub Упражнения. 1. Доказать, что операторы σnm образуют алгебру Ли [σnm , σkl ] = −gnl σmk + gnk σml − gmk σnl + gml σnk , которая совпадает с алгеброй Ли группы Лоренца (4.1.17). 2. Доказать, что для четырехмерных матриц γm (4.2.34), образующих алгебру Клифорда (4.2.35), выполняются тождества (указание, см. (4.2.24)) Tr(γm γn ) = 4gmn , Tr(γm γn γk ) = 0 , Tr(γm γn γk γl ) = 4(gmn gkl − gmk gnl + gml gnk ) . 3. Доказать, что если матрица X = xm σm (4.2.3) представима в виде Xαα̇ = ξα ξα̇ , X† = X , (4.2.53) twist то соответствующий 4-вектор с координатами {xm } лежит на световом конусе xm xm = 0. Доказать формулу xm = ξα̇ (σ̃ m )α̇α ξα и расписать ее явно для всех компонент xm (m = 0, 1, 2, 3) через компоненты спиноров ξα , ξα̇ . 4.3 Лекция 17. D- мерная алгебра Клиффорда ClD и ее представления. Группы Spin(D). Алгебра Клиффорда Cl(D−1,1) и ее представления. Группы Spin(D − 1, 1). Алгебра Клиффорда ClD и ее представления. Группы Spin(D). Рассмотрим алгебру Клиффорда ClD для D-мерного евклидова пространства: Γm Γn + Γn Γn = 2δmn (4.3.1) cl1 где m, n = 1, 2, . . . , D. Эта алгебра является конечномерной. Пусть пространство является четномерным D = 2ν (как мы увидим ниже случай нечетномерной алгебры Cl2ν+1 получается из Cl2ν добавлением одного генератора ΓD+1 , который является 185 аналогом матрицы γ5 для 4-х мерного случая, см. ниже). Построим для алгебры (4.3.1) базис, который очевидно должен состоять из единичного элемента 1, самих D образующих Γm и всех возможных антисимметричных комбинаций образующих Γm ΓA = {1, Γm , Γmn , Γmnk , Γm1 m2 m3 m4 , . . . , Γm1 ...mD−1 ∼ Γm ΓD+1 , ΓD+1 } , (4.3.2) clbas где Γm1 ...mk – антисимметричная (для дальнейшего удобства нормированная некоторым образом) комбинация произведения k образующих Γm , например 1 Γmn = (Γm Γn − Γn Γm ) , 4 ΓD+1 = (−i)ν Γ1 Γ2 · · · ΓD . Используя определяющие соотношения (4.3.1), набор образующих (4.3.2), после соответствующей перенормировки, можно представить в виде ΓA = {I, Γm1 , Γm1 Γm2 , Γm1 Γm2 Γm3 , Γm1 Γm2 Γm3 Γm4 , . . . , Γ1 Γ2 · · · ΓD } (4.3.3) clbas2 где в каждом мономе индексы упорядочены согласно правилу: 0 ≤ m1 < m2 < m3 < . . . ≤ D − 1 (т.е. мономы упорядочены лексикографически). Теперь вычислим размерность алгебры (4.3.1). Число элементов типа Γm1 ...mk равно числу сочетаний k элементов из D, т.е. мы получаем17 dim{Γm1 ...mk } = CkD = D! . k!(D − k)! Т.о. полная размерность D-мерной алгебры Клиффорда ΓD равна dim(ClD ) = D X D! = 2D . k!(D − k)! k=0 Это значит, что если бы мы строили матричное представление для ClD , в кото- ром все базисные элементы (4.3.2) были бы независимы, то такое минимальное матричное представление реализовывалось бы 2D/2 -мерными матрицами 2D/2 × 2D/2 = 2ν × 2ν . Раз представление такой размерности минимально, то оно автоматически будет неприводимым. 17 Действительно, в качестве первого индекса m1 можно взять любой индекс из D ин- дексов 1, . . . , D, в качестве второго m2 – любой из оставшихся D − 1 индексов, и так далее. На последнее место – mk остается D − k + 1 возможных индексов. Т.о. мы имеем D(D − 1) · · · (D − k + 1) возможностей расставить D индексов на k местах. Учитывая лексикографическое упорядочение k индексов, мы должны поделить число всех их перестановок k!. 186 D! (D−k)! на число Построим явно это 2D/2 -мерное неприводимое представление алгебры (4.3.1). Для этого разобьем все множество образующих {Γm } на 2 группы, скажем на группы с четными и нечетными индексами, и рассмотрим следующий набор операторов {zα , z α } (α = 1, . . . , D/2 = ν) 1 zα = (Γ2α−1 + i Γ2α ) , 2 1 z α = (Γ2α−1 − i Γ2α ) . 2 (4.3.4) closc Эти операторы, в силу соотношений (4.3.1), образуют D/2-мерную алгебру фермионных осцилляторов [zα , zβ ]+ = 0 , [z α , z β ]+ = 0 (∀α, β) , (4.3.5) cl3 [zα , z β ]+ = δαβ . Займемся построением представления ρ для алгебры (4.3.5). Наиболее естественный способ – это построение пространства Фока для алгебры (4.3.5), когда операторы zα мы рассматриваем как операторы уничтожения, а z α – как операторы рождения. Пусть |0i – вакуумный вектор, т.е. zα |0i = 0 (∀α = 1, . . . , ν) , тогда все пространство представления Фока для алгебры (4.3.5) порождается векторами (k = 0, 1, . . . , ν): (4.3.6) fock |α1 , . . . , αk i = z α1 · · · z αk |0i (1 ≤ α1 < α2 < . . . < αk ≤ ν) Число таких независимых векторов вычисляется также как и размерность алгебры Клиффорда и в результате это число равно 2ν = 2D/2 , что совпадает с размерностью, указанной выше, для минимального точного матричного представления алгебры Клиффорда Cl2ν . Определение 4.3.1 Вектора в пространстве Фока (4.3.6) называются D = 2νмерными спинорами. В случае ν = 1 представление для (4.3.5) двумерно, т.к. в качестве базисных элементов мы имеем v1 = |0i, v2 = z |0i. Далее zv1 = 0 , zv2 = v1 , zv1 = v2 , zv2 = 0 , т.е. в базисе v1 , v2 мы имеем матричное представление: zvi = vk ρki (z) ,  zvi = vk ρki (z) ⇒ ρ(z) =  187 0 1 0 0   ,  ρ(z) =  0 0 1 0   , (в дальнейшем для простоты мы не будем писать знак гомоморфизма ρ). Соответствующие двумерные гамма-матрицы имеют вид (4.3.7) cld2 Γ1 = σ1 , Γ2 = σ2 , Γ3 = (−i)Γ1 Γ2 = σ3 , где Γ3 = σ3 является двумерным аналогом γ5 -матрицы, а 3 матрицы Паули (σ1 , σ2 , σ3 ) являются 3-х мерными гамма-матрицами. Для произвольного числа ν это представление обобщается следующим образом  0 1  0 0 zα = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · σ3 ⊗  | ! {z α−1 } z α = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · σ3 ⊗  | {z α−1 ! } 0 0 1 0  ⊗ 1···⊗1 | {z } , (4.3.8) 4 ⊗1···⊗ 1 | {z } , (4.3.9) 5 ν−α  ν−α где σ3 = 1 0 , 1 = 1 0 . Данное представление, как и ожидалось, является 2D/2 0 −1 0 1 мерным. Пользуясь условием (4.3.4), гамма-матрицы могут быть выражены через матрицы zα , z α и соответственно записываются в виде Γ2α−1 α−1 Γ2α ! = zα + z α = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · σ3 ⊗ 0 1 ⊗ |1 · ·{z · ⊗ 1} , | {z } 1 0 (4.3.10) cl7 ν−α ! · ⊗ 1} . ⊗ σ3{z⊗ · · · σ3} ⊗ 0 −i ⊗ 1| · ·{z = i(z α − zα ) = σ |3 i 0 α−1 (4.3.11) cl8 ν−α Это 2ν -мерное представление неприводимо; все другие 2ν -мерные представления получаются из него преобразованиями эквивалентности (включая всевозможные перестановки Γ-матриц?). Заметим, что в этом представлении Γ-матрицы унитарны Γ†n Γn = 1, т.к. Γ†n = Γn . Кроме того мы имеем Γ∗2α−1 = ΓT2α−1 = Γ2α−1 , Γ∗2α = ΓT2α = −Γ2α , что можно записать единым образом Γ∗m = ΓTm = (−)m+1 Γm . Аналог 4-х мерной матрицы Γ5 (4.2.40) имеет вид (ν = D/2) ΓD+1 = (−i)ν Γ1 · · · ΓD = (−i)ν (Γ1 Γ2 )(Γ3 Γ4 ) · · · (ΓD−1 ΓD ) = Qν α=1 ((−i)Γ2α−1 Γ2α ) = = (σ3 ⊗ 1 ⊗ · · ·) (1 ⊗ σ3 ⊗ 1 · · ·) · · · (1 ⊗ · · · ⊗ σ3 ) = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · ⊗ σ3 , Γ2D+1 | =1, {z [ΓD+1 , Γm ]+ = 0 (∀m = 1, . . . , D) . 188 ν } (4.3.12) g5 Рассмотрим теперь алгебру Клиффорда (4.3.1) в нечетномерном случае D = 2ν + e в 1. В этом случае мы можем предъявить нетривиальный центральный элемент Γ Cl2ν+1 : e = Γ ···Γ Γ Γ 1 2ν 2ν+1 , e 2 = (−1)ν = eiπν . Γ T.о., неприводимые представления Cl2ν+1 характеризуются двумя возможными соб- e ±eiπν/2 . Причем, т.к. Γ2 ственными значениями оператора Γ: 2ν+1 = 1, мы имеем в соответствующем представлении Γ± 2ν+1 = ∓ exp( iπν ) Γ1 · · · Γ2ν , 2 (4.3.13) g5d т.е. последний генератор Γ± 2ν+1 строится как произведение предыдущих Γm (m = 1, . . . , 2ν) . Следовательно, неприводимые представления для нечетномерной алгебры Cl2ν+1 получается из неприводимого представления для Cl2ν добавлением еще одной образующей (4.3.12), (4.3.13), а размерности этих представлений совпадают для D = 2ν и D = 2ν + 1 и равны 2[D/2] , где [D/2] – целая часть числа D/2. Т.к. для нечетномерного случая D = 2ν + 1 мы имеем равенство 2D = (2ν )2 + (2ν )2 , то, согласно формуле (2.7.29), мы имеем в этом случае 2 неэквивалентных представления алгебры ClD одинаковой размерности 2ν , которые отличаются знаком у последней образующей Γ2ν+1 (4.3.13). Напомним, что в четном числе измерений D = 2ν все 2ν - мерные представления алгебры Клиффорда эквивалентны, т.к. аналог формулы (2.7.29) имеет вид 2D = (2ν )2 и, следовательно, имеется всего лишь одно неприводимое неэквивалентное представление размерности 2ν . В частности эквивалентность представлений ρ(Γm ) и ±ρ(Γm )∗ обслуживается специальными (2ν × 2ν )- матрицами C, C ′ : ! ! ! ! ! ! C = 0 −i ⊗ 0 1 ⊗ 0 −i ⊗ 0 1 · · · = σ2 ⊗σ1 ⊗σ2 ⊗σ1 ⊗· · · , C 2 = 1 , (4.3.14) cl9 i 0 1 0 i 0 1 0 ! ! C = 0 1 ⊗ 0 −i ⊗ 0 1 ⊗ 0 −i · · · = σ1 ⊗σ2 ⊗σ1 ⊗σ2 ⊗· · · , (C ′ )2 = 1 , (4.3.15) cl10 1 0 i 0 1 0 i 0 которые, как легко проверить, удовлетворяют соотношениям ′ C ′ C = (−1)ν C C ′ = (−1)k (i)ν ΓD+1 (ν = 2k, 2k + 1) . Матрицы C, C ′ связаны с гамма-матрицами (4.3.10), (4.3.11) следующим образом Γ2 Γ4 · · · Γ2ν =    (i)k σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ1 ⊗ . . . ⊗ σ2 = (i)k C ′ , ν = 2k; (i)k σ2 ⊗ σ1 ⊗ σ2 ⊗ . . . ⊗ σ2 = (i)k C , 189 ν = 2k + 1; Γ1 Γ3 · · · Γ2ν−1 =    (−i)k σ2 ⊗ σ1 ⊗ σ2 ⊗ . . . ⊗ σ1 = (−i)k C , ν = 2k; (−i)k σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ1 ⊗ . . . ⊗ σ1 = (−i)k C ′ , ν = 2k + 1. Утверждение 4.3.1 Для представления (4.3.10), (4.3.11), (4.3.14) алгебры Cl2ν мы имеем следующие соотношения − C Γm C = C ′ Γm C ′ = (−)m+1 Γm = Γ∗m = ΓTm , (4.3.16) cl11 C ΓD+1 C = C ′ ΓD+1 C ′ = (−1)ν ΓD+1 . (4.3.17) cl12 Доказательство. Действительно, рассмотрим равенства (4.3.16) для случая матрицы C (для случая матрицы C ′ рассуждения аналогичны). При коммутировании матрицы Γ2α−1 c C мы имеем два возможных случая. Когда фактор σ1 из Γ2α−1 попадает 1.) на фактор σ1 из C (в этом случае σ1 из Γ2α−1 при проносе через C знак не меняет) и 2.) на фактор σ2 из C (в этом случае σ1 из Γ2α−1 при проносе через C знак меняет). В первом случае число σ3 в Γ2α−1 нечетно, а во втором случае четно. T.o., в обоих случаях мы имеем Γ2α−1 C = −C Γ2α−1 . Аналогично рассуждая, мы получаем Γ2α C = C Γ2α , что и доказывает (4.3.16) в случае матрицы C. Соотношения (4.3.17) очевидны. Отметим, что если ρ′ (Γm ) – любое 2ν -мерное матричное представление алгебры ClD , то и ρ′ (Γm )∗ , ρ′ (Γm )T , ρ′ (Γm )† (включая все перестановки матриц ρ′ (Γ1 ), . . . , ρ′ (ΓD+1 )) также определяют матричные представления ClD , причем все эти представления эк- вивалентны. В частности для представления (4.3.10), (4.3.11) это следует из (4.3.16). Определим элементы Γmn = 41 (Γm Γn − Γn Γm ). Элементы Γmn удовлетворяют ком- мутационным соотношениям для алгебры Ли группы SO(D) (в соотношениях (4.1.17) необходимо заменить gmn → δmn ) [Γnm , Γkl ] = δmk Γnl − δln Γkm − δnk Γml + δlm Γkn . (4.3.18) lilo6 Действительно, это соотношение следует из тождеств [Γnm , Γk ] = δmk Γn − δnk Γm , Γn Γl = 2 Γnl + δnl , (4.3.19) cl33 которые легко проверяются с помощью (4.3.1). Пусть X = xm Γm = X † , тогда X 2 = x2 I. Рассмотрим преобразования c помощью унитарных матриц A: X → X ′ = A X A−1 = A X A† X ′ = X ′ 190 † (4.3.20) prspin такие, что если X = xm Γm , то X ′ снова представима в виде X ′ = x′ m Γm . В этом случае мы имеем x2 = x′ 2 . Такие преобразования образуют группу, которая называется Spin(D) и очевидно дважды накрывает SO(D) (±A обслуживают одно и тоже линейное преобразование координат xm , определяющих матрицу X). Рассмотрим совокупность матриц вида A = exp(ω mn Γmn ) , (4.3.21) prspin1 где ω mn = −ω mn – вещественные параметры. В силу эрмитовости Γ-матриц мы имеем Γ†mn = −Γmn и следовательно A† = A−1 , т.е. A– унитарные матрицы. С другой стороны соотношения (4.3.19) гарантируют, что в результате преобразований (4.3.20) c матрицами (4.3.21) будет выполняться свойство X ′ = x′ m Γm . Следовательно матрицы (4.3.21) принадлежат группе Spin(D). Т.к. алгебра (4.3.18) совпадает с алгеброй (4.1.17) (для gmn = δmn ), то группа Spin(D) локально изоморфна группе SO(D). Замечание. Имеется другой индуктивный способ построения представлений алгебры Клиффорда (4.3.1), который приводит к представлениям, отличающимся от (4.3.10), (4.3.11). Этот способ заключается в том, что если задано 2ν -мерное представление алгебры Cl2ν с образующими {Γ1 , . . . , Γ2ν }, то образующие {Γ′1 , . . . , Γ′2ν+2 } алгебры Cl2ν+2 могут быть реализованы в виде 2ν+1 -мерных матриц следующим образом Γ′m = τ2 ⊗ Γm (m = 1, . . . , 2ν) , Γ′2ν+1 = τ2 ⊗ ΓD+1 , Γ′2ν+2 = τ1 ⊗ I2ν , (4.3.22) cldn где I2ν – 2ν -мерная единичная матрица, а операторы τi образуют 2-мерную алгебру Клиффорда τi τj + τj τi = 2δij (i, j = 1, 2) , (например, τ1 = σ1 , τ2 = σ2 , где σ1,2 – матрицы Паули). Если в качестве представления исходной алгебры Клиффорда для ν = 1 мы выберем эрмитово представление (4.3.7), то в результате для всех ν мы получаем по индукции эрмитово представление (4.3.22) (Γ′m )† = Γ′m . С точностью до перестановки образующих и умножения некоторых из них на i (псевдо-евклидов случай) это представление (для ν = 1) эквивалентно представлению 4-х мерной алгебры Клиффорда, приведенному в (4.2.34). Алгебра Клиффорда Cl(D−1,1) . Спинорная группа Spin(D − 1, 1). Перейдем к рассмотрению псевдоевклидовой метрики gmn = diag(+, −, . . . , −). Для этого введем матрицы γ0 = Γ1 , γk = iΓk+1 (k = 1, . . . , D − 1) , 191 (4.3.23) Gaga для которых имеем γm γn + γn γm = 2gmn (m, n = 0, . . . , D − 1) , ∗ γm = (−)m gmm γm = (−)m γ0 γm γ0 , † γm = gmm γm = γ0 γm γ0 , T γm = (−)m γm , −C γm C = C ′ γm C ′ = (−)m γm , (4.3.24) clg (4.3.25) 12 (m = 0, 1, . . . , D − 1) . (4.3.26) 13 Т.о. из соотношений (4.3.25), (4.3.26) мы имеем равенства T γm = −C γm C = C ′ γm C ′ , ∗ γm = −Bγm B −1 , B = Cγ0 . (4.3.27) 13a (4.3.28) 14 Из соотношения (4.3.28) и его комплексно сопряженного аналога легко вывести равенство γm = B ∗ Bγm (B ∗ B)−1 откуда следует, что B ∗ B = BB ∗ = ǫ1 , (4.3.29) mc1 (т.к. представление γm неприводимо). Константа ǫ является вещественной и масштабным преобразованием матрицы B может быть приведена к ǫ = ±1. Отметим, что в представлении (4.3.10), (4.3.11), (4.3.14) мы имеем B = C Γ1 = (−i)σ3 ⊗ σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ1 ⊗ . . . , B B ∗ = (−1)k+1 1 ⇒ ǫ = (−1)k+1 , (4.3.30) mc где k определяется из соотношений ν = 2k − 1, 2k. Группа Spin(D − 1, 1) определяется также как и группа Spin(D) (см. (4.3.21)) а именно как множество матриц вида 1 A = exp( ω mn γmn ) , 2 (4.3.31) prspin10 где ω mn = −ω mn – вещественные параметры, совпадающие с параметрами группы Лоренца, а образующие Γmn алгебры Ли группы Spin(D − 1, 1) имеют вид 1 γmn = (γm γn − γn γm ) , 4 (4.3.32) prspin11 и удовлетворяют соотношениям [γnm , γkl ] = gmk γnl − gln γkm − gnk γml + glm γkn , (4.3.33) ggmn которые следуют из тождеств [γnm , γk ] = gmk γn − gnk γm , γn γl = 2 γnl + gnl . 192 (4.3.34) cl331 † В силу свойств (4.3.26) эрмитова сопряжения γ-матриц мы имеем γmn = −γ0 Γmn γ0 и следовательно условие унитарности для матриц A (4.3.31) переписывается в виде A† γ0 A = Aγ0 A† = γ0 ⇒ A−1 = γ0 A† γ0 . (4.3.35) unit31 Т.е., 2D/2 × 2D/2 - мерные матрицы A принадлежат некомпактной унитарной группе SU(2D/2−1 , 2D/2−1 ). Доказать! С другой стороны соотношения (4.3.34) гарантируют, что в результате преобразований X ′ → AXA−1 , (4.3.36) dmersp c матрицами (4.3.31), где X = xm γm , будет выполняться свойство X ′ = x′ m γm , где автоматически мы получим инвариантность x′ m gmn x′ n = xm gmn xn . Следовательно матрицы (4.3.31) принадлежат группе, которая обозначается Spin(D −1, 1) и которая (в силу преобразования (4.3.36)) дважды накрывает группу SO(D−1, 1). Т.к. алгебры Ли (4.1.17) и (4.3.33) совпадают, то группы SO(D − 1, 1) и Spin(D − 1, 1) локально изоморфны. Пользуясь соотношением (4.3.35) мы определим дираковское сопряжение ψ для многомерных спиноров. Инфинитезимальные преобразования спиноров ψ при лоренцевских вращениях, определяемых матрицами (4.3.31), (ωmn = −ωnm ∈ R) имеют вид 1 δψ = ω mn γmn ψ , γmn = (γm γn − γn γm )/4 , 2 † γmn = −γ0 γmn γ0 , (4.3.37) 20 (4.3.38) 20a что соответствует преобразованиям γ-матриц δγk = −[ω mn γmn , γk ] = ωk m γm . (4.3.39) 20b Ком. соотношения для генераторов γmn (4.3.37) были вычислены в (4.3.33) (ср. с формулой (4.3.18)). Из (4.3.37) следует, что сопряженный по Дираку спинор ψ = ψ † γ0 преобразуется в виде δψ = ψ(−ω mn Lmn ) (4.3.40) 21 и соответственно величины типа ψ(γm . . .)ψ преобразуются как тензоры, а преобразования ψ → exp(ω mn Lmn )ψ являются унитарным по отношению к скалярному произведению ψ 1 ψ2 = ψ1† γ0 ψ2 , что следует из (4.3.35) и (4.3.38). 193 4.4 Лекция 18. Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии. Ковариантность уравнения Дирака. Если спинорное поле ψ(x) удовлетворяет уравнению Дирака (M –масса частицы) ((i∂m − eAm )γ m − M) ψ = 0 , (4.4.1) 15 (согласованному с выбором метрики gmn = (+, −, . . . , −)) то спинорное поле ψC = B −1 ψ ∗ (4.4.2) positr (эта формула, как нетрудно увидеть, эквивалентна (4.2.43) c точностью до замены B → −B; полная эквивалентность достигается при замене спиноров ψ → iψ) соответ- ствует античастице и подчиняется уравнению Дирака (4.4.1), в котором e заменено на −e. Действительно, после комплексного сопряжения уравнения (4.4.1) и умножения его слева на B −1 , с учетом (4.3.28), мы получаем B −1 ((−i∂m − eAm )γ ∗ m − M) ψ ∗ = ((i∂m + eAm )γ m − M) B −1 ψ ∗ = 0 . (4.4.3) 15C Спинор ψC называется зарядово-сопряженным спинором, а матрица C- матрицей зарядового сопряжения (т.к. с ее помощью определяется зарядово-сопряженный спинор ψC = −C ψ̄ T , ср. с (4.4.2)). Уравнение (4.4.1), описывающее частицу со спином, было открыто П.Дираком. Он же заметил, что если у нас есть решение (4.4.1), описывающий частицу с зарядом e, то с помощью преобразования (4.4.2) доказывается существование нетривиального решения уравнения (4.4.3), описывающего античастицу с зарядом −e. На основании этого наблюдения Дирак предположил, что у каждой спиновой частицы должен быть партнер, соответствующий античастице с противоположным зарядом. Например для электрона должна обязательно существовать античастица – позитрон. Вскоре эта, предсказанная им теоретически, частица была найдена экспериментально. По определению майорановский спинор (мы ввели эти спиноры при D = 4 выше в (4.2.44)) описывает частицы совпадающие со своими античастицами ψ = ψC , т.е. ψ = B −1 ψ ∗ , (4.4.4) major (при этом из (4.4.1) и (4.4.3) следует e = 0). Из уравнения (4.4.4)) и его комплексно сопряженного аналога легко выводится соотношение ψ = BB ∗ ψ = ǫψ, которое означает, что для существования майорановских спиноров необходимо иметь BB ∗ = +1, 194 или ǫ = +1. Вычислим ǫ для матрицы B (4.3.28). Имеем γ0∗ = γ0 = γ0T , Cγ0 = −γ0 C , C ∗ = (−)k C = C T (ν = 2k − 1, 2k) , (4.4.5) 16 откуда сразу следует, что BB ∗ = (−)k Cγ0 Cγ0 = (−)k+1 = ǫ (сравните с (4.3.30)). Т.о. ǫ = +1 если k нечетно k = 2l + 1 (l = 0, 1, . . .) и соответственно D = 2ν = 2 + 8l, 4 + 8l. Во всех остальных четномерных случаях (D = 0, 6 mod(8)) имеем ǫ = −1. Заметим, что параметр ǫ можно записать в виде   √ π ǫ = − 2 cos (D + 1) . 4 Замечание 1. Имеют место равенства B T = ǫB , BB † = 1 . (4.4.6) BB Действительно, пользуясь (4.3.25), (4.3.26), (4.3.27), (4.3.30) и (4.4.5), мы получаем T T · · · γm C T = (−)k+p C γmp · · · γm1 = (C γm1 · · · γmp )T = γm p 1 = ǫ (−)p−1 (−) (p−1)p 2 C γm1 · · · γmp = ǫ (−) (p−1)(p−2) 2 (4.4.7) CG C γm1 · · · γmp , где m1 < m2 < .... < mp . В частности мы имеем (Cγm )T = ǫCγm , откуда с учетом определения матрицы B (4.3.28) мы получаем первое равенство из (4.4.6) B T = (C γ0 )T = ǫ C γ0 = ǫ B . Пользуясь этим равенством и (4.3.29) мы легко выводим второе равенство из (4.4.6). Замечание 2. При преобразовании подобия для образующих алгебры Клиф′ форда γm = Uγm U −1 матрица B, согласно (4.3.28), преобразуется по правилу B ′ = U ∗ BU −1 . Условие приведения матрицы B к единице U ∗ B = U (чисто мнимое представление для γm и вещественность майорановских спиноров ψ ∗ = Bψ = ψ, см. (4.4.4)) самосогласовано лишь в случае, когда ǫ = +1. Очевидно, что матрица U определена с точностью до домножения слева на произвольную невырожденную вещественную матрицу R: U → RU. Разлагая матрицу B на мнимую и действи- тельную части B = B1 + iB2 , где B1,2 вещественны и симметричны (ǫ = +1), из условия унитарности (4.4.6) получаем [B1 , B2 ] = 0. Т.о. B1,2 могут быть одновременно диагонализованы ортогональным преобразованием O и соответственно получить B = diag(eiβ1 , eiβ2 , . . .). Выбирая затем U ′ = diag(eiβ1 /2 , eiβ2 /2 , . . .) мы приводим B к единичному виду с помощью матрицы U = U ′ O. 195 Найдем явный вид преобразования U. Для этого заметим, что матрица B в размерностях d = 2, 4 mod(8) имеет явный вид  B= −i 0   0 1 0 −1   0 1 −i 0  i где блоки B ′ равны  B′ =   Для матриц B1 =  1 ⊗ ⊗  1 0  ⊗ B′ ⊗   ⊗ 1 0   0 1   0 1  ⊗ B′ 1 0 1 −1 0   (4.4.8) 17 ⊗··· , B ′ (B ′ )∗ = 1 . , (4.4.9) 18  и B2 =   существуют соответствующие матри0 i 1 0 цы U1,2 , которые приводят их к единичному виду:  U1 = R ·  eiπ/4 e−iπ/4    U2 =  , a a∗ d∗ d   a, d ∈ C . , Т.о. для приведения к единичному виду матрицы B ′ необходимо найти матрицу U3 , соответствующую матрице  B3 =  0 −1 1   ⊗ 1 −1 0   = Эта матрица имеет блочный вид  U3 =  A B C D    , B = A∗  0 −1 1           0 0 −1 0 1 1 0    0    0   −1 0 0  , D = C∗  . 0 −1 1   , Интересно получить, используя явный вид для матрицы U, явные чисто мнимые представления для матриц γm (в силу уравнения (4.3.28) для B = 1). Теперь мы более подробно обсудим свойства спиноров в четномерных пространствах. Определим майорановское сопряжение ψ (M ) ≡ ψ T C. Легко проверить, что при ло- ренцевых поворотах спинор ψ (M ) преобразуется также как и ψ (4.3.40). Если спинор ψ удовлетворяет условию майорановости (4.4.4), то дираковское сопряжение переходит в майорановское сопряжение: ψ = ψ † γ0 = ψ T B T γ0 = −ψ T γ0 Cγ0 = ψ T C 196 (4.4.10) mct Другими словами условие майорановости можно представить в виде ψ = ψ (M ) . Аналогично (4.3.12) определим γD+1 = (i)ν+1 γ0 · · · γD−1 = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · ⊗ σ3 , 2 γD+1 =1, ∗ γD+1 = (−) ν+1 BγD+1 B −1 , (4.4.11) G5 γD+1 γm + γm γD+1 = 0 . С помощью матрицы γD+1 определяются вейлевские спиноры (γD+1 + 1)ψ = 0 (γD+1 − 1)ψ = 0 . (4.4.12) weyl Для майорановских спиноров (4.4.4) из этих условий следует ∗ 0 = (γD+1 ± 1)ψ ∗ = ((−)ν+1 BγD+1 B −1 ± 1)ψ ∗ = B((−)ν+1 γD+1 ± 1)ψ Т.о., при ψ 6= 0, условия (4.4.12) совместны с условием майорановости (4.4.4) только для случая нечетных ν или (D = 2 mod(4)). Так как майорановские спиноры суще- ствуют только при (D = 2, 4 mod(8)), мы заключаем, что ненулевые майорано- вейлевские спиноры могут быть определены только для D = 2, 10, 18, 26, . . . = 2 mod(8). Добавление 1. Ковариантность уравнения Дирака. A. Прежде всего уравнение Дирака (4.4.1) должно быть ковариантно по отношению к преобразованиям группы Лоренца (Пуанкаре). Пусть координаты пространства Минковского преобразуются по правилам (4.1.15) xn → x̃n = xm (Λ−1 )mn . Тогда пре- образованное уравнение Дирака, в силу его ковариантности, должно иметь вид   γ m (i∂˜m − eÃm (x̃)) − M ψ̃(x̃) = 0 , (4.4.13) 15L (γ-матрицы не преобразуются). Преобразования полей должны быть такими, чтобы это уравнение было эквивалентно (4.4.1). Форма коммутационных соотношений [∂˜m , x̃n ] = δ n диктует преобразование ∂˜m = Λ n ∂n . Т.к. производная ∇m = (i∂˜m − m m eÃm (x̃)) должна трансформироваться ковариантно, то мы имеем (i∂˜m − eÃm (x̃)) = Λmn (i∂n − e An (x)) (4.4.14) dop3a и соответствующее преобразование калибровочного поля Am имеет вид Ãm (x̃) = Λmn An (x) . (4.4.15) dop3 (γ m Λmn (i∂n − e An (x)) − M) ψ̃(x̃) = 0 , (4.4.16) 15Lb Подставим (4.4.14) в (4.4.13) 197 и пусть существует оператор S такой, что Sγ n S −1 = γ m Λmn , (4.4.17) dop4s т.е. (4.4.16) переписывается в виде S (γ n (i∂n − e An (x)) − M) S −1 ψ̃(x̃) = 0 . (4.4.18) 15La Инфинитезимальная форма соотношения (4.4.17) для S = 1 + T + . . . эквивалентна условию [T, γ n ] = γ m ωmn = γm ω mn = −ω nm γm Произвол в определении T фиксируется равенством [γ n , T − T ′ ] = 0 и, т.к. пред- ставление γ n неприводимо, то T − T ′ = const · I, т.е. T определяется с точностью до прибавления матрицы, которая пропорциональна единичной матрице. Фиксируем этот произвол требованием Tr(T ) = 0 (det(S) = 1). Тогда из (4.3.39), т.к. Tr(γmn ) = 0, следует, что T = 21 ω mn γmn и S = exp( 21 ω mn γmn ) ∈ Spin(D − 1, 1) (см. (4.3.31)), а соот- ношение (4.4.17) переписывается в виде 1 1 γ m Λmn = exp( ω mn γmn )γ n exp(− ω mn γmn ) . 2 2 (4.4.19) dop4 Теперь, учитывая (4.4.19), для ковариантности уравнения (4.4.13) мы должны потребовать следующее правило преобразования спинорных полей 1 exp(− ω mn γmn )ψ̃(x̃) = ψ(x) . 2 (4.4.20) dop5 Формулу (4.4.20) можно переписать в виде (см. (4.1.15), (4.2.36)) ψ̃(x) = exp( 12 ω mn γmn )ψ(xm Λmn ) = (1 + 21 ω mn γmn + ...)ψ(xn + xm ωmn + ...) = = (1 + 21 ω mn γmn + xm ωmn ∂n + ...)ψ(x) = (1 + 12 ω mn γmn + 21 ω mn Mmn + . . .)ψ(x) . (4.4.21) dop6 Т.о., полными генераторами преобразования Лоренца на спинорных полях являются операторы 1 (tot) Mmn = Mmn + γmn = (xm ∂n − xn ∂m ) + (γm γn − γn γm ) 4 (4.4.22) Mtot Вспоминая определяющие соотношения для Mmn (4.1.17) и γmn (4.3.33) и очевидные (tot) условия [Mmn , γkl ] = 0, мы получаем, что полный угловой момент Mmn удовлетво- ряет тем же коммутационным правилам (4.1.17). 198 Резюмируя все вышесказанное, можно утверждать, что уравнение Дирака (4.4.1) ковариантно относительно преобразований (4.1.15), (4.4.15) и (4.4.20) при условии выполнения тождеств (4.4.17). B. Уравнение Дирака (4.4.1) обладает еще одной, чрезвычайно важной, симметрией. А именно, оно ковариантно относительно преобразований полей (координаты точки x пространства Минковского не преобразуются) ψ(x) → ψ̃(x) = exp(i e α(x)) ψ(x) , Am (x) → Ãm = Am (x) − ∂m α(x) , (4.4.23) gauge1 где α(x) – скалярные вещественные функции на пространстве Минковского. Эти преобразования симметрии уравнения Дирака называется калибровочными преобразованиями, а функции α(x) – параметрами калибровочного преобразования. Заметим, что преобразования (4.4.23), в каждой точке xm , образуют абелеву группу U(1). Поэтому векторные поля Am еще называются абелевыми калибровочными полями, а сами преобразования – абелевыми калибровочными преобразованиями. Калибровочные преобразования – локальны, т.к. параметры преобразований α(x) зависят от точки пространства-времени. Отметим, что преобразование вектора электро-магнитного поля Am (4.4.23) (абелева калибровочного поля) можно записать в виде преобразования ковариантной производной ∇m = i∂m − e Am (x): ∇m → (i∂m − e Ãm (x)) = ei e α(x) (i∂m − e Am (x))e−i e α(x) , (4.4.24) gauge2 после чего калибровочная инвариантность тензора напряженности электро- магнитного поля Fmn = [∇m , ∇n ] становится очевидной. Запись калибровочного преобра- зования в виде преобразования ковариантной производной (4.4.24) удобна тем, что позволяет сформулировать неабелево обобщение калибровочных преобразований ∇m → f ∇m = U(x) ∇m U −1 (x) , (4.4.25) gauge3 где ∇m = (i∂m − e Aam (x)Ta ), Ta – образующие неабелевой группы Ли G, а U(x) ∈ G. Добавление 2. Тождества Фирца. Вычислим след Tr от произвольного произведения γ-матриц, удовлетворяющих алгебре Cl(p,q) с произвольной метрикой gmn (4.3.24). Прежде всего след от произведения нечетного числа γ-матриц равен нулю. Действительно, пусть mi 6= D + 1 (∀i): Tr(γm1 · · · γm2k+1 ) = Tr(γD+1γD+1 γm1 · · · γm2k+1 ) = Tr(γD+1γm1 · · · γm2k+1 γD+1 ) = = −Tr(γD+1 γD+1γm1 · · · γm2k+1 ) = −Tr(γm1 · · · γm2k+1 ) = 0 . 199 Здесь мы воспользовались циклическим свойством следа, а затем последней формулой в (4.4.11). Кроме того мы имеем Tr(γD+1 ) = 0, т.к. для четного D = 2ν справедливо Tr(γD+1 ) = Tr(γ0 γ1 · · · γD−1) = Tr(γ1 · · · γD−1 γ0 ) = −Tr(γ0 γ1 · · · γD−1 ) = 0 . Если мы определим γD+1 так, что gD+1,D+1 = 1, то соотношения (4.3.24) применимы для всех матриц γ0 , . . . , γD−1, γD+1 и этот набор матриц очевидно определяет представление алгебры Клиффорда в D + 1 = 2ν + 1 измерениях. Теперь легко (см. (4.2.24)) вычислить следы от любого произведения четного числа гамма-матриц γm (m = 0, 1, . . . , D − 1, D + 1) Tr(γm γn ) = 2ν gmn , Tr(γm γn γk γl ) = 2ν (gmn gkl − gmk gnl + gml gnk ) , или Tr(γ1 γ2 γ3 γ4 γ5 γ6 ) = 2ν [(g12 g34 − g13 g24 + g14 g23 )g56 − . . .] где индексы 1, 2, 3, . . . обозначают m1 , m2 , m3 , . . ., т.е. γ3 := γm3 , g34 := gm3 m4 и т.д. Рассмотрим набор из 2D матриц (4.3.3) с учетом замены матриц по правилу (4.3.23). Этот набор образует полную систему матриц в линейном пространстве (2ν × 2ν ) матриц. Введем набор матриц ΓA с верхним индексом ΓA = {I, γ m1 , γ m2 γ m1 , γ m3 γ m2 γ m1 , γ m4 γ m3 γ m2 γ m1 , . . .} (0 ≤ m1 < m2 < m3 < . . . ≤ D − 1) нормированный таким образом, что 1 Tr(ΓB ΓA ) = δAB , 2ν n1 n2 nk где δABkk = δm δ · · · δm для мономов одинаковой степени k: 1 m2 k ΓB k = (γ nk γ nk−1 . . . γ n1 ) , ΓAk = (γm1 γm2 . . . γmk ) (4.4.26) ggA и δABlk = 0 в случае мономов разной степени k 6= l. Теперь для любой (2ν ×2ν ) матрицы Γ мы имеем Γ= X C A ΓA , A CA = 1 X 1 A Γ) ⇒ Γ = Tr(Γ Tr(ΓA Γ)ΓA , 2ν 2ν A и т.к. матрица Γ произвольна, то мы получаем условие полноты δkj δil = 1 X A 1 X A ) (Γ ) ⇒ P = (Γ (Γ )1 (ΓA )2 , kl A ij 12 2ν A 2ν A 200 (4.4.27) ident10 где P12 – матрица перестановки (P12 )kl,ij = δkj δil, а индексы 1, 2 – номера векторных пространств, в которых действуют соответствующие матрицы. Из условия (4.4.27) следуют тождества (γ m )kj (γm )il = = 1 X m A (γ Γ )kl (γm ΓA )ij = 2ν A 1 X A 1 X m A m (Γ ) (γ Γ γ ) = (γ Γ γm )kl (ΓA )ij , kl m A ij 2ν A 2ν A (4.4.28) ident12 представляющие собой перезапись, с учетом (4.4.27), очевидных равенств (γ m )1 (γm )2 P12 = (γm )2 P12 (γ m )2 = (γ m )1 P12 (γm )1 . (4.4.29) ident11 Сворачивая тождества (4.4.27), (4.4.28) со спинорами, мы получаем D-мерные тождества Фирца (Ψ1 Ψ2 )(Ψ3 Ψ4 ) = (Ψ1 γ m Ψ2 )(Ψ3 γm Ψ4 ) = = (−1)g X (Ψ1 ΓA Ψ4 )(Ψ3 ΓA Ψ2 ) , 2ν A (−1)g X (Ψ1 γ m ΓA Ψ4 )(Ψ3 γm ΓA Ψ2 ) = 2ν A (4.4.30) fi1 (4.4.31) fi2 (−1)g X (−1)g X m A Ψ )(Ψ Γ γ Γ γ Ψ ) = (Ψ (Ψ1 γ m ΓA γm Ψ4 )(Ψ3 ΓA Ψ2 ) , 4 1 3 m A 2 2ν A 2ν A где g = 0 для коммутирующих и g = 1 для антикоммутирующих спиноров. Предложение 4.4.1 Имеет место тождество D−1 X m=0 γm ΓAk γ m = (−1)k (D − 2k) ΓAk , (4.4.32) pred?? где выражения ΓAk определены в (4.4.26). Доказательство. Действительно мы имеем (0 ≤ m1 < m2 < m3 < . . . ≤ D − 1) D−1 X γ m ΓA k γ m = m=0 X γm (γm1 γm2 . . . γmk )γ m + X γm (γm1 γm2 . . . γmk )γ m = m=m1 ,...,mk m6=m1 ,...,mk = (−1)k (D − k) ΓAk + γm1 (γm1 γm2 . . . γmk )γ m1 + . . . + γmk (γm1 γm2 . . . γmk )γ mk = (во всех слагаемых пронесем γ mn справа на лево до γmn и затем воспользуемся тождеством γmn γ mn = 1) = (−1)k (D − k) ΓAk + (−1)k−1 γm1 . . . γmk + (−1)k−2 γm2 (γm1 γm3 . . . γmk ) + . . . + +(−1) γmk−1 (γm1 γm2 . . . γmk−2 γmk ) + γmk (γm1 γm2 . . . γmk−1 ) = = (−1)k (D − k) ΓAk + k (−1)k−1 γm1 . . . γmk . Q.E.D. 201 Используя соотношение (4.4.32), мы можем переписать (4.4.28) в виде (γ m )kj (γm )il = D X 1 X (−1)k (D − 2k) (ΓAk )kl (ΓAk )ij , ν 2 k=0 Ak (4.4.33) ident14 и таким образом упростить тождества Фирца (4.4.31). Дальнейшее упрощение этих тождеств достигается при рассмотрении различных случаев конкретных типов спиноров. 1. Случай вейлевских спиноров. Пусть спиноры ΨK в (4.4.30), (4.4.31) (K = 1, . . . , 4) являются вейлевскими, т.е. удовлетворяют одному из соотношений (4.4.12). В этом случае ΨK (1 ± γD+1 ) = 0, если (1 ∓ γD+1 )ΨK = 0 (∀K), и, следовательно, для всех четных p мы имеем ΨK γm1 γm2 . . . γmp ΨK ′ = 0 (∀p = 2n) , где mi = 0, . . . , D − 1. 2. Случай майорановских спиноров. В этом случае ǫ = +1, и пользуясь соотношениями (4.4.7), (4.4.10), мы имеем ΨK γ(m1 ,...,mp ) ΨK ′ = ΨTK C γ(m1 ,...,mp ) ΨK ′ = (4.4.34) slmajo = (−1)g ΨTK ′ (C γ(m1 ,...,mp ) )T ΨK = (−1) (p−1)(p−2) g+ 2 ΨK ′ γ(m1 ,...,mp ) ΨK где m1 < m2 < . . . < mp и g = 0 или g = 1 в зависимости от того являются ли спиноры коммутирующими или антикоммутирующими. Соотношение (4.4.34) удобно переписать в виде двух тождеств ΨK γ(m1 ,...,mp ) ΨK ′ = (−1)g ΨK ′ γ(m1 ,...,mp ) ΨK (p = 4k + 1, 4k + 2) , ΨK γ(m1 ,...,mp ) ΨK ′ = (−1)g+1 ΨK ′ γ(m1 ,...,mp ) ΨK (p = 4k, 4k + 3) . 4.5 Лекция 19. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре. Представления группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Индуцированные представления. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре. Вектор Паули-Любанскогои и операторы Казимира группы Пуанкаре. В этой лекции мы следуем изложению, представленному в книгах [23], [22], [24]. 202 Напомним, что алгебра Пуанкаре P задается генераторами P m , M mn , (m, n = 0, ..., 3), c определяющими соотношениями (4.1.17), (4.1.19). Определим генераторы P̂ m , M̂ mn : P̂m = −iPm , M̂mn = −i Mmn , † так, чтобы они были эрмитовыми операторами P̂m = P̂m† , M̂mn = M̂mn . При этом определяющие соотношения (4.1.17), (4.1.19) перепишутся в виде [P̂n , P̂m ] = 0 , [P̂n , M̂km ] = i (gmn P̂k − gkn P̂m ) , (4.5.1) genP2 [M̂nm , M̂kl ] = i(g nk M̂ ml − g mk M̂ nl + g ml M̂ nk − g nl M̂ mk ) , (4.5.2) genP3 Эта алгебра имеет два оператора Казимира P 2, W 2 , которые коммутируют со всеми образующими P̂ m , M̂ mn и, т.о., определяют центр в обертывающей алгебре P: 1 P 2 = P̂m P̂ m , W 2 = Wm W m = (M̂ nk M̂nk )(P 2 ) − (M̂ nk P̂k )(M̂nr P̂ r ) , 2 (4.5.3) centP где Wm – компоненты вектора Паули-Любанского (4.2.52) 1 Wm = Emnkr M̂ nk P̂ r . 2 (4.5.4) genPPL Используя (4.5.1), (4.5.2) и (4.5.4), можно вывести соотношения Wm P̂ m = 0 , [Wm , P̂n ] = 0 , (4.5.5) genP4 [M̂mn , Wk ] = i(gmk Wn − gnk Wm ) , (4.5.6) genP5 [Wm , Wn ] = i Emnkr W k P̂ r , (4.5.7) genP6 с помощью которых легко доказывается центральность оператора W 2 (центральность P̂ 2 очевидна). Соотношения (4.5.5) очевидны. Соотношение (4.5.6) по форме совпадает с соотношением для [M̂mn , P̂k ] (4.5.1), что естественно, т.к. и P̂k и Wk – векторы и действие на них образующих M̂mn группы Лоренца должно совпадать 1 1 δω P̂k = [ω mn M̂mn , P̂k ] = iωk n P̂n ⇔ δω Wk = [ω mn M̂mn , Wk ] = iωk n Wn . 2 2 (4.5.8) genP7 Прямое доказательство (4.5.6) требует некоторых усилий: [M̂ mn ,   1 1 Ekhpr M̂ hp P̂ r ] = Ekhpr [M̂ mn , M̂ hp ]P̂ r + M̂ hp [M̂ mn , P̂ r ] = 2 2   i = Ekhpr (g mh M̂ np − g nhM̂ mp + g np M̂ mh − g mp M̂ nh )P̂ r + M̂ hp (g mr P̂ n − g nr P̂ m ) , 2 203 т.е. мы имеем [M̂mn , Wk ] =  i (2Ekmpr M̂n p + 2Ekpnr M̂mp )P̂ r + M̂ hp (EkhpmP̂n − EkhpnP̂m ) . 2 (4.5.9) ME Теперь свернем равенство (4.5.9) с произвольными параметрами ω mn = −ω nm : ω mn [M̂mn , Wk ] =  i 2(ω mn Ekmpr + ω mp Eknmr )M̂ np P̂ r + 2ω mn M̂ rp EkrpmP̂ n = 2 и учтем в правой части свойство инвариантности тензора Eknpr относительно преобразований Лоренца: δ(Eknpr ) = ω mn Ekmpr + ω mp Eknmr + ω mr Eknpm + ω mk Emnpr = 0 =  i −2(ω mr Eknpm + ω mk Emnpr )M̂ np P̂ r + 2ω mn M̂ rp EkrpmP̂ n = −iω mk Emnpr M̂ np P̂ r = 2 = −iω mn gnk Emqpr M̂ qp P̂ r = iω mn (gmk Wn − gnk Wm ) , что и доказывает (4.5.6). Соотношение (4.5.7) и центральность W 2 теперь легко доказывается с помощью второго соотношения (4.5.5) и (4.5.6). Представления группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Индуцированные представления. В квантовой теории поля образующие P̂k идентифицируются с операторами энергииимпульса, а образующие M̂nm – с операторами полного углового момента. Т.о. оператор Казимира P̂ 2 (4.5.3) совпадает с оператором квадрата массы. Мы будем характеризовать неприводимые представления алгебры Ли группы Пуанкаре так, что все состояния (вектора) в этом представлении будут являться собственными векторами оператора P̂ 2 c некоторым фиксированным собств. значением m2 ≥ 0. Вектора (поля) |Ψi с разными значениями m2 будут принадлежать разным неприводимым представлениям (ядро оператора (P̂ 2 − m2 I) – очевидно неприводимо). С физиче- ской точки зрения естественно ограничиться рассмотрением только представлений с положительной энергией hΨ|P̂0 |Ψi > 0 для любого ненулевого состояния |Ψi. Второй оператор Казимира W 2 описывает спин состояний, соответствующих век- торам неприводимого представления алгебры Ли группы Пуанкаре. Для того, чтобы прояснить это утверждение мы рассмотрим важное понятие подгруппы стабильности группы Пуанкаре (или малой группы Вигнера). Действие элемента g ≡ g(ak , ω mn ) из собственной группы Пуанкаре на вектор |Ψi можно определить с помощью экспоненциального отображения  1 U(g) |Ψi = exp −i(ak P̂k + ω mn M̂mn ) 2 204  |Ψi , (4.5.10) unop где параметры ak определяют сдвиг координат xk → xk + ak , а параметры ω mn – лоренцевские вращения координат xk → Λkn xn = (exp ω)kn xn и соответственно операторов импульса (см. (4.5.8)) P̂k → U(g) P̂k U(g)−1 = P̂n (Λ−1 )nk = P̂n (exp(−ω))nk . (4.5.11) LaOm В пространстве неприводимого представления группы Пуанкаре с заданной массой m и фиксированным собственным значением W 2 рассмотрим подпространство состояний |qi ∈ Vq с определенным 4-х импульсом qk (4.5.12) genP8 P̂k |qi = qk |qi , таким, что qk q k = m2 (4.5.13) genP8a q0 > 0 . Определим подгруппу Hq в группе Пуанкаре P как набор элементов g ∈ P таких, что действие g на 4-вектор c координатами qk оставляет этот вектор неизменным (ста- бильным). Другими словами подгруппа Hq это набор таких преобразований g ∈ P, что соответствующие операторы U(g) оставляют подпространство Vq инвариантным. Подгруппу Hq мы будем называть подгруппой стабильности для Vq . Рассмотрим условие стабильности более детально. В соответствии с (4.5.11) и (4.5.12) мы получаем, что P̂n (Λ−1)nk U(g) |qi = U(g)P̂k U(g)−1 U(g) |qi = qk U(g) |qi , т.е. |q ′i = U(g) |qi, где qk′ = qn Λnk = qn (exp(ω))nk . (4.5.14) genP9a Требование стабильности qk′ = qk приводит к условию qn ω nk = 0, общее решение которого может быть записано в виде ωmn = Emnkr q k nr где nr – координаты произвольного вектора. Т.о. элементы подгруппы стабильности Hq могут быть записаны в виде  1 U(gq ) = exp −i(ak P̂k + Emnkr q k nr M̂ mn ) 2  (∀gq ∈ Hq ) . (4.5.15) genP9 Т.к. операторы P̂k и Wr коммутируют друг с другом, то действие элементов U(gq ) на вектора |qi пространства Vq эквивалентны действию   1 exp −i(a P̂k + Emnkr q k nr M̂ mn ) |qi = exp(−i α) exp(−inr Wr ) |qi , 2 k 205 (4.5.16) genP99 где α = ak q k и мы воспользовались равенствами X s |qi = X s−1(α + nr Wr )|qi = X s−2 (ak + 21 Emnkr nr M̂ mn )(α + nr Wr )P̂ k |qi = = X s−2(α + nr Wr )2 |qi = . . . = (α + nr Wr )s |qi , X ≡ (ak P̂k + 12 Emnkr q k nr M̂ mn ) . Т.е. операторы (4.5.15), при ограничении их действия на Vq , выражаются через вектора Паули-Любанского exp(−i α) exp(−inr Wr ) . (4.5.17) genP10 Вспоминая коммутационные соотношения (4.5.7), мы заключаем, что координаты вектора Паули- Любанского образуют алгебру Ли при ограничении на пространство Vq , причем эта алгебра Ли (и соответствующая группа Ли Gm ) зависит от того рассматриваем мы массивный случай qk q k = m2 > 0 или безмассовый случай qk q k = m2 = 0 (ниже мы рассматриваем эти случаи более детально). Фазовый множитель exp(−i α) соответствует группе U(1), т.е. Hq = Gm ⊗ U(1). Все вектора из Vq описывают состояния частиц с одним и тем же 4-импульсом q и одинаковым полным спином (собственным значением W 2 ). Следовательно, с физиче- ской точки зрения, два любых линейно независимых состояния |1i, |2i ∈ Vq должны соответствовать различной поляризации спина (различной проекции спина) и должны переводиться друг в друга с помощью преобразований из Hq (представление Hq на Vq неприводимо). Более того для конечного квантового спина, спектр его поля- ризаций (проекций) конечен. Т.о., для физически мотивированных неприводимых представлений группы Пуанкаре действие подгруппы Hq на Vq неприводимо, а все подпространства Vq – конечномерны. Все множество элементов группы Пуанкаре P (многообразие группы P) рассла- ивается на множество правых (левых) смежных классов по отношению к подгруппе Hq . Пространство всех таких смежных классов называется однородным пространством и обозначается P/Hq . Ясно, что точки P/Hq могут быть запараметризованы преобразованиями Лоренца Λ[p], переводящими 4-импульс q в 4-импульс p, лежащий на той же массовой поверхности (4.5.12). Согласно (4.5.14) мы имеем pk = qn (Λ[p])nk . Соответствующий унитарный оператор U(Λ[p], 0) (4.5.10) (здесь 0 соответствует тривиальному сдвигу) переводит пространство Vq в пространство Vp . В массивном случае выберем тестовый импульс q в виде q n = (m, 0, 0, 0), тогда удобный кандидат на роль 206 Λ[p] имеет вид  Λ[p] =          pj /m p0 /m pi /m δ ij + pi pj m(m+p0 )         , (p0 , p1 , p2 , p3 ) = (m, 0, 0, 0) Λ[p]T , Λ[p]T gΛ[p] = g , √ где i, j = 1, 2, 3, p = (p0 , ~p), p0 = m2 + p~2 . В безмассовом случае мы выберем тестовый импульс в виде q n = (E, 0, 0, E) и соответствующее семейство преобразований Лоренца Λ[p] может быть выбрано в виде  Λ′ [p] =         p0 (1 2E + α) pi (1 2E − α) ni (p) mi (p) p0 (1 2E − α) pi (1 2E + α)          , (p0 , p1 , p2 , p3 ) = (E, 0, 0, E) Λ′ [p]T , (Λ′ [p])T gΛ′ [p] = g , где p0 = √ p~2 , α = E 2 /~p2 и 3-вектора ni , mi – такие, что набор {~n, m, ~ p~/p0 } образует ортонормальный базис в 3-х мерном пространстве. Теперь мы кратко изложим схему построения унитарных неприводимых представлений группы Пуанкаре. 1) Зафиксируем тестовый импульс q m , лежащий на массовой поверхности (4.5.13). При этом мы имеем все конечномерные унитарные представления Tq подгруппы Hq ⊂ P, которая действует на пространство Vq и состоит из элементов вида (4.5.15), (4.5.17). Рассмотрим вектора |q, σ, m2 i такие, что P̂ n |q, σ, m2 i = q n |q, σ, m2 i , P 2 |q, σ, m2 i = m2 |q, σ, m2 i , W 2 |q, σ, m2 i = s(s + 1) |q, σ, m2 i , где собственное значение оператора W 2 обозначено s(s + 1), а σ пробегает конечное число значений спиновых проекций; например, собственных значений одной из компонент вектора W k . Эти вектора образуют базис в пространстве Vq . T.о., ∀Λ ∈ Hq мы имеем |q, σ, m2 i → Tσσ′ (Λ)|q, σ ′, m2 i (4.5.18) genP13 2.) С каждой точкой p 6= q, лежащей на той же массовой поверхности, мы можем связать свое конечномерное пространство Vp со своим базисом |p, σ, m2 i. Определим 207 гильбертово пространство H как формальную сумму H = ⊕p Vp , где базисные вектора |p, σ, m2 i нормируются по правилу hp, σ, m2 |p′ , σ ′ , m2 i = p0 δσσ′ δ(~p − p~ ′ ) . (4.5.19) genP11 Такая нормировка эквивалентна скалярному произведению: hΨ|Φi = ∼ P R σ P R σ d3 ~ p p0 hΨ|p, σ, m2 ihp, σ, m2 |Φi ∼ P R d3 ~ p p0 σ R Ψ∗σ (~p)Φσ (~p) ∼ d3~x (Φ∗σ (x) ∂ 0 Φσ (x) − ∂ 0 Φ∗σ (x) Φσ (x)) ∼ d3~xρ0 (x) , релятивистских полей Φσ (x) = R d3 p ~ hp, σ, m2 |Φi eipx p0 ∼ R d3 p ~ Φσ (~p) eipx , p0 (4.5.20) genP12 лежащих на мас- совой поверхности (∂ 2 + m2 )Φσ (x) = 0; ρ (x) – плотность электрического заряда. Появление δ- функции и δ- символов в (4.5.19) оправдано стандартным рассуждением об ортогональности собственных векторов Ψσ , Ψσ′ эрмитова оператора A = A† с различными собственными значениями σ 6= σ ′ , т.е. σ ′ (Ψσ , Ψσ′ ) = (Ψσ , AΨσ′ ) = (Ψσ A† , Ψσ′ ) = (AΨσ , Ψσ′ ) = σ(Ψσ , Ψσ′ ) ⇒ (σ ′ − σ)(Ψσ , Ψσ′ ) = 0, и если σ 6= σ ′ , то (Ψσ , Ψσ′ ) = 0. Множитель p0 необходим для Лоренц-ковариантности скалярного произведения, которое связано с интегралом по плотности ρ0 (x) заряда комплексного поля Φ (4.5.20). 3.) Для заданного семейства преобразований Лоренца Λ[p], которые параметризуют однородное пространство P/Hq , мы имеем унитарные преобразования U(Λ[p], 0) (здесь 0 - соответствует тривиальным сдвигам), которые связывают базисы пространств Vq и Vp : |p, σ, m2 i = U(Λ[p], 0) |q, σ, m2 i . 4.) Для каждого преобразования Лоренца (Λ, 0) мы имеем18 U(Λ, 0) |p, σ, m2 i = U(Λ, 0) U(Λ[p], 0) |q, σ, m2i = = U(Λ · Λ[p], 0) |q, σ, m2i = U(Λ[p′ ], 0) U(Λ[p′ ]−1 ΛΛ[p], 0)|q, σ, m2i , (4.5.21) genP14 где (p′ )n = (Λpn ) = pk Λkn . Заметим, что Λ[p′ ]−1 ΛΛ[p] ∈ Hq , поэтому действие опе- ратора U(Λ[p′ ]−1 ΛΛ[p], 0) на подпространство Vq дается требованием 1) и формулой 18 В (4.5.21) нетрудно распознать формулу левого действия группы G на однородное пространство G/H левых смежных классов группы G по подгруппе H. Действительно, для произвольной точки g ′ ∈ G/H и ∀g ∈ G мы имеем преобразование g ′ → g ′′ ∈ G/H согласно правилу g · g ′ = g ′′ · h, где h ∈ H. 208 (4.5.18). Прямая проверка показывает, что (4.5.21) определяет унитарное представление группы Пуанкаре. Описанный выше метод это метод индуцированных представлений Вигнера (см. ниже Дополнение к этой Лекции), примененный к группе Пуанкаре. Теперь мы отдельно рассмотрим два случая: массивный и безмассовый. Массивные неприводимые представления группы Пуанкаре Согласно представленной выше схеме нам необходимо описать все унитарные неприводимые конечномерные представления Tq малой подгруппы Hq в случае, когда тестовый импульс q можно выбрать в виде q k = (m, 0, 0, 0) (m > 0). Т.к. q k σk = mσ0 , то преобразования A (4.2.6) этой подгруппы должны удовлетворять соотношениям   m m    =A m m   A† откуда следует, что все элементы Hq реализуются унитарными 2-мерными матрицами A: AA† = I и, т.о., группа Hq совпадает с SU(2). При ограничении действия операторов Wm = 1 E M̂ nk P̂ r 2 mnkr (4.5.4) на подпро- странство Vq (q k = (m, 0, 0, 0)) мы получаем следующие значения компонент W0 = 0 , Wj = mSj (j = 1, 2, 3) , (4.5.22) genP15 где мы определили операторы 1 spin (i, j, k = 1, 2, 3) , Si = Eijk M̂jk 2 spin (M̂jk – спиновая часть образующих M̂jk ; орбитальная часть (xj P̂k −xk P̂j ) оператора M̂jk не дает вклада в вектор Паули-Любанского) которые удовлетворяют коммута- ционным соотношениям [Si , Sj ] = i Eijk Sk . (4.5.23) genP16 Алгебра Ли (4.5.23) совпадает с алгеброй Ли (3.4.11) для группы SU(2) (и как алгебра Ли над полем комплексных чисел совпадает с алгеброй sl(2) (3.5.17)). Все конечномерные неприводимые представления этой алгебры были построены и изучены в Лекции 11. Напомним, что эти представления характеризуются условием S12 + S22 + S32 = s(s + 1) I (4.5.24) genP17 где возможные значения s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . определяют размерность представления 2s + 1. Используя (4.5.22), (4.5.24), мы получаем соотношение W k Wk = −m2 s(s + 1)I , 209 которое определяет спектр спинового оператора в унитарном представлении группы Пуанкаре. Число s называется спином. Т.е. в массивном случае неприводимые представления группы Пуанкаре классифицируются массой m и спином s (значениями двух операторов Казимира P̂ 2 и W 2 ). Безмассовые неприводимые представления группы Пуанкаре В этом случае для векторов представления |q k i, которые диагонализуют операторы P̂ k , мы имеем P̂ k P̂k |q k i = q k qk |q k i = 0 . Для верхней половины светового конуса q k qk = 0, q 0 > 0 мы выберем тестовый импульс в виде q k = (E, 0, 0, E) E > 0 . (4.5.25) genP18 Проанализируем соответствующую подгруппу Hq , преобразования из которой оставляют вектор (4.5.25) инвариантным. Т.к. q k σk = Eσ0 + Eσ3 , то преобразования A (4.2.6) этой подгруппы должны удовлетворять соотношениям   2E 0    =A 2E 0   A† откуда следует, что элементы A ∈ SL(2, C) образующие группу Hq (где q заданы в (4.5.25)) имеют вид  A= eiφ w e−iφ   (w = w0 + iw1 ∈ C, w0 , w1 ∈ R) , (4.5.26) genP19 и могут быть переписаны в инфинитезимальной форме A = 1 + i2φM 12 + w0 R1 + w1 R2 , где матрицы M 12   1 1 0  =  , 2 0 −1  R1 =  0 1 0 0 образуют алгебру Ли движения плоскости [R1 , R2 ] = 0 ,   [M 12 , R1 ] = −iR2 ,  , R2 =  0 i 0 0   [M 12 , R2 ] = iR1 . (4.5.27) genP19b (4.5.28) genP19a Чтобы прояснить глобальную структуру этой группы положим w = ze−iφ , тогда   eiφ1 z1 e−iφ1 e−iφ1   eiφ2 z2 e−iφ2 e−iφ2    = 210 ei(φ1 +φ2 ) e−i(φ1 +φ2 ) (e2iφ1 z2 + z1 ) e−i(φ1 +φ2 )   , т.е. группа Hq , в безмассовом случае, совпадает с двулистным (±A) накрытием группы движений плоскости. Группа Hq содержит две подгруппы, состоящие из матриц  A1 =  1 z 0 1   ,  A2 =  eiφ e−iφ   (4.5.29) genP20 и любой элемент A (4.5.26) есть произведение A = A1 A2 , т.е. элемент (4.5.26) соответствует двумерным вращениям на угол φ и двумерным сдвигам на комплексное число z. Подгруппа, порождаемая сдвигами A1 (4.5.29) некомпактна и все ее нетривиальные унитарные представления бесконечомерны. Действительно, оператор Казимира (R1 )2 + (R2 )2 для алгебры (4.5.28) в любом унитарном неприводимом представлении этой подгруппы (т.е. когда Rα = (Rα )† ) имеет вид (R1 )2 + (R2 )2 = µ2 I (µ2 ≥ 0). Для µ2 > 0 базис |ri в пространстве представления может быть выбран в виде Rα |ri = r α |ri, где точки ~r лежат на окружности радиуса µ и, следователь- но, спектр операторов Rα непрерывен, а представление бесконечномерно. Т.к. мы требуем, исходя из физических соображений (см. выше), чтобы представления подгруппы стабильности были конечномерными, то мы выберем для этой подгруппы тривиальное одномерное представление A1 = 1 (µ = 0). Подгруппа SO(2), порождаемая элементами A2 , компактна и абелева. Поэтому все ее неприводимые унитарные представления ρn одномерны и имеют вид (см. Лекции 7,8) ρn :   eiφ −iφ e   = e(2iφM 12 ) → einφ (n = 0, ±1, ±2, . . .) . (4.5.30) genP21 Здесь числа n должны быть целыми т.к., в следствии однозначности представлений (4.5.30), при сдвиге φ → φ + 2π в левой части (4.5.30) мы должны получать в правой части (4.5.30) сдвиги фаз на целые кратные 2π. Из (4.5.30), вспоминая определение генератора M 12 (4.5.27), следует, что спектр M 12 равен (0, ±1/2, ±1, ±3/2, . . .). Займемся теперь изучением подгруппы Hq в безмассовом случае с несколько иной точки зрения. Как мы показали ранее подгруппа Hq , при ее действии на подпространство Vq , представляется элементами вида (4.5.16), которые в свою очередь генериру- ются компонентами Wk вектора Паули-Любанского. При действии на Vq компоненты Wm принимают вид Wm = 21 Emnkr M̂ nk q r Wk = E {M̂ 12 , M̂ 32 + M̂ 20 , M̂ 13 + M̂ 01 , −M̂ 12 } = E {M̂ 12 , R̂1 , R̂2 , −M̂ 12 } . Из соотношений (4.5.7) следует, что операторы M̂ 12 , R̂1 = M̂ 32 + M̂ 20 , 211 R̂2 = M̂ 13 + M̂ 01 , (4.5.31) genP22 образуют алгебру Ли группы движений плоскости (4.5.28) [R̂1 , R̂2 ] = 0 , [M̂ 12 , R̂1 ] = −i R̂2 , [M̂ 12 , R̂2 ] = i R̂1 . (4.5.32) genP23 Из (4.5.31) следует, что W 2 = −(R̂1 )2 − (R̂2 )2 ⇒ Spec(W 2 ) = −µ2 (µ ∈ R) . (4.5.33) genP31 Т.е. собственное значение оператора Казимира W 2 , взятое со знаком минус, равно квадрату длинны 2-мерного вектора трансляции, т.е. равно −µ2 ≤ 0, где µ – любое неотрицательное вещественное число (см. обсуждение этого случая чуть выше). Вспоминая аргументы о необходимости выбора тривиального представления для подгруппы трансляций в Hq , мы требуем, чтобы R̂α |qi = 0 (∀|qi ∈ Vq , α = 1, 2) ⇒ W1 = W2 = 0 , (4.5.34) genP24 и, исходя из (4.5.33), мы имеем W2 = 0 . (4.5.35) genP30 Теперь из уравнения (4.5.16) мы видим, что Hq действует на Vq как произведение U(1) фактора и элемента абелевой группы, которая генерируется оператором M̂ 12 . Т.к. неприводимые представления абелевой группы одномерны, то соответствующее пространство представления включает только одно нетривиальное состояние |q, λi ∈ Vq , для которого мы имеем M̂ 12 |q, λi = λ|q, λi , (4.5.36) genP34 где λ = n/2 = 0, ±1/2, ±1, ±3/2, . . . (см. (4.5.30)). Квантовое число λ называется спиральностью. Из соотношений (4.5.31), (4.5.34), (4.5.36) следует, что в системе, когда тестовый импульс q выбран в виде (4.5.25), выполняется равенство Wk |q, λi = λ Pk |q, λi . (4.5.37) Wlam Т.к. это соотношение записано в ковариантном виде, то оно справедливо и для любого другого выбора тестового импульса q и следовательно мы имеем точное операторное равенство Wk = λ P̂k , (4.5.38) genP33 а спиральность λ является Пуанкаре-инвариантной характеристикой безмассовых частиц. Заметим, что равенство (4.5.38) следует из (4.5.35) и очевидного тождества 212 Wn P̂ n = 0, а в твисторном описании безмассовых частиц это равенство получается автоматически (см. (4.2.51)). Т.о., все безмассовые неприводимые представления группы Пуанкаре (в случае выполнения условий (4.5.34), (4.5.35)) характеризуются значениями спиральности λ. Из определения (4.5.4) вектора Wn и формулы (4.5.38), для временной компоненты k = 0, следует, что λ – собственное значение оператора спиральности λ̂ = 1 E M̂ spin 2 abc bc где Sa = ~ ~ P̂ S , P̂ 0 (4.5.39) genP35 spin (a, b, c = 1, 2, 3) и M̂bc – спиновая часть образующих M̂bc (орбитальная часть (xb Pc − xc Pb ) оператора M̂bc не дает вклада в вектор Паулиspin Любанского). Т.к. здесь M̂bc – образующие компактной подгруппы SO(3) в группе Лоренца, то мы, согласно изложенной выше процедуре, можем использовать для spin M̂bc (соответственно для Sa ) конечномерные эрмитовы представления (для остальspin spin ных образующих группы Лоренца M̂b0 = −M̂0b этого сделать нельзя). Пример 1. Безмассовые спинорные поля. Спиральность безмассовых спинорных полей можно получить рассматривая безмассовое свободное уравнение Дирака i∂m γ m ψ(x) = 0. Из этого уравнения, в представлении (4.2.34), (4.2.40) для γ-матриц Дирака, следуют соотношения  ~ P~ ~σ P~ S 1 ψ = ∓ψ ⇒ ψ± = ∓ ψ± ± ± P P 2 P = q P~ 2  (4.5.40) opspir , ~ = 1 ~σ , ψ± – 2-х компонентные вейлевские спиноры где спин S 2  а оператор ~P ~ S P0  1  ψ+  = (1 + γ5 )ψ , 2    0  1 = (1 − γ5 )ψ , 2 ψ− есть оператор спиральности (см. [25] и формулу (4.5.39)). Для того чтобы связать определение спиральности λ (4.5.37) – (4.5.39) с формулами (4.5.40), мы вычислим временную компоненту вектора Паули-Любанского (4.5.4) tot tot для случая спинорных генераторов M̂mn = −iMmn , где Mmn определены в (4.4.22), а спиновая часть определяется в (4.2.37), (4.2.27). В этом случае, получаем   σk 0 1  . W0 = P̂k  2 0 σk (4.5.41) Wn Тогда уравнение (4.5.37) с учетом (4.5.40) записывается в виде  W0  ψ+ ψ−    = P0  ~P ~ S P0 ~P ~ S P0   ψ+ ψ−   213  = P0  −1/2 +1/2   ψ+ ψ−   . Итак, в случае спинорного поля, мы имеем две возможности для значений спиральности ± 12 (каждое из которых соответствует разным неприводимым представлениям группы Пуанкаре). Пример 2. Безмассовые векторные поля. Рассмотрим уравнения для безмассовых векторных полей (уравнения Максвелла в пустоте) ∂ m (∂m An (x) − ∂n Am (x)) = 0 . (4.5.42) maxw Эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований (4.4.23) An (x) → An (x) + ∂n c(x), где функция c(x) – параметр преобразования. Общее решение (4.5.42) удобно искать в импульсном представлении, что также естественно и с точки зрения изучения неприводимых представлений группы Пуанкаре, для которых диагонализуются операторы импульса P̂m . В результате (4.5.42) и соответствующее калибровочное преобразование переписываются в виде k m km An (k) − k m kn Am (k) = 0 ⇒ k 2 An − kn (k, A) = 0 , Am (k) → Am (k) + km c(k) , (4.5.43) maxw1 (4.5.44) maxw2 где k 2 = k m km и (k, A) = k m Am (k). Для случая k 2 6= 0 мы получаем решение (4.5.43) в виде Am (k) = km c(k) (c(k) – произвольная функция), что соответствует чистому калибровочному преобразованию. Т.о., для случая k 2 6= 0, уравнения (4.5.43) не имеют нетривиальных решений. Пусть теперь k 2 = 0, тогда уравнение (4.5.43) дает условие четырех-мерной поперечности (k m Am ) = 0. Это условие оставляет 3 компоненты у вектора Am независимыми, другими словами имеется 3 линейно независимых вектора, ортогональных (в 4-х мерном смысле) к k m . Один из них сам km , два других – eαm (α = 1, 2) – можно выбрать чисто пространственными и ортогональными (в 3-х мерном смысле) 3-вектору ~k и друг другу eα0 = 0 , eαa ka = 0 , eαa eβa = δ αβ (a = 1, 2, 3) . (4.5.45) maxw3 Итак, при k 2 = 0 общее решение (4.5.43) имеет вид Am (k) = km c(k) + eαm bα (k) , (4.5.46) maxw4 где c(k) и bα (k) – произвольные функции от ~k поскольку k02 = ~k 2 , причем продольная компонента km c(k) соответствует калибровочному преобразованию (4.5.44). Два вектора eαm обычно выбирают в соответствии с возможными спиральностями λ безмассового векторного поля. 214 Чтобы разобраться с возможными спиральностями λ векторного поля, рассмотрим временную компоненту вектора Паули-Любанского (4.5.4), соответствующую spin векторному (определяющему) представлению (4.1.18) образующих M̂mn , 1 i (W0 )rj = E0snm P̂ s (M̂ nm )rj = E0snm P̂ s (g mr δjn − g nr δjm ) = i E0snm P̂ s g mr δjn . 2 2 Тогда нулевая компонента равенства (4.5.37), для случая векторного поля Am (k), записывается следующим образом (W0 )rj Aj (k) = λ P̂0 Ar (k) ⇒ i E0snm k s An (k) = λ Am (k) . k0 (4.5.47) maxw8 Это равенство можно рассматривать как линейное уравнение на вектор-потенциал Am (k), у которого имеется две нулевые моды (λ = 0) – временной фотон A0m (k) = || (a(k), 0, 0, 0) и продольный фотон Am (k) = km c(k), где a(k), c(k) – произвольные функции. Сворачивая (4.5.47) с k m , или полагая в (4.5.47) m = 0, мы получаем 2 соотношения: 0 = λ (k, A), 0 = λ A0 , которые при λ 6= 0 приводят к ограничениям на компоненты Am – к условию поперечности (k, A) = 0 и условию A0 = 0. Т.о., для выделения мод векторного поля (4.5.46), которые соответствуют ненулевым спиральностям λ, достаточно рассмотреть пространственную проекцию уравнений (4.5.47) i Eacb k a Ac (k) = λ k0 Ab (k) ⇒ λ̂bc Ac (k) = λ Ab (k) , λ̂bc = i Ebac ka . k0 (4.5.48) maxw5 Т.е. задача о нахождении спиральности λ для безмассового векторного поля свелась к задаче о спектре 3 × 3 матрицы λ̂bc (4.5.48). Т.к. (λ̂2 )bd =  1 ~ 2 k δ − k k , bd b d k02 (4.5.49) maxw7 то, как легко проверить, при условии k02 = ~k 2 матрица λ̂ удовлетворяет характеристическому уравнению λ̂3 − λ̂ = 0 , (4.5.50) maxw6 и, следовательно, у матрицы λ̂ имеется 3 собственных значения: λ = 0, ±1. Оче- видно, что спиральность λ = 0 соответствует собственному вектору Aa ∼ ka , т.е. продольному фотону, отвечающему нефизической калибровочной степени свободы (см. (4.5.46)). Согласно тождеству (4.5.50) компоненты Am , соответствующие спиральностям λ = ±1, выделяются с помощью проекторов 1 Π± = λ̂(λ̂ ∓ 1) , 2 λ̂ Π± = ± Π± , 215 Π2± = Π± , которые с учетом (4.5.49) можно представить в явном виде (Π± )bd =  1 ~ 2 k δ − k k ∓ i k E k . bd b d bad a 2k02 Спиральности λ = ±1 соответствуют компонентам ± A± a (k) = (Π± )ab Ab (k) = ea b∓ (k) . Выберем систему координат, в которой km = (E, 0, 0, −E) (4.5.25). Тогда для компо- ± нент A± a (k), b± (k) и векторов em получаем выражения A+ a (k) = 1 1 ((A1 − iA2 ), i(A1 − iA2 ), 0) , A− ((A1 + iA2 ), −i(A1 + iA2 ), 0) . a (k) = 2 2 1 b± (k) = (A1 ± iA2 ) , e± m = (0, 1, ±i, 0) . 2 Итак, унитарные представления группы Пуанкаре распадаются на 3 класса: 1. Массивные представления. Собственное значение оператора P̂ 2 = m2 есть действительное положительное число. При этом собственное значение оператора W 2 = −m2 s(s+1), где s – спин, принимающий целые и полуцелые значения s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . .. Т.о., данные представления характеризуются массой m > 0 и спином s. Состояния внутри представления различаются собственными значениями одной из компонент вектора 1 Wk m (4.5.22), например, 3-ей компоненты спина S3 = (−s, −s+1, . . . , s−1, s), а также непрерывными собственными значениями операторов P̂m . Эти состояния соответствуют частицам с массой m > 0, спином s, трехмерным импульсом p~ и проекцией спина S3 (2s + 1 состояний). 2. Безмассовые представления с дискретным спином. Собственное значение оператора P̂ 2 равно нулю, что соответствует частице с нулевой массой m. При этом собственное значение W 2 также равно нулю, т.к. операторы Wn и P̂n пропорциональны друг другу Wn = λP̂n . Коэффициент пропорциональности λ называется спиральностью и равен ±s, где s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . – спин представления. Т.о., данные представления характеризуются массой m = 0 и спином s. Состояния внутри пред- ставления различаются значением спиральности λ = ±s и непрерывным импульсом p~. Примерами частиц из данной категории служат: безмассовые нейтрино со спи- ральностью ±1/2, фотон со спином 1 и 2-мя состояниями со спиральностью ±1 и гравитон с двумя состояниями поляризации ±2. 3. Безмассовые представления с непрерывным спином. Собственное значение опе- ратора P̂ 2 равно нулю, но при этом собственное значение оператора W 2 = −µ2 < 0 216 непрерывно, см. (4.5.33). Этот тип представления описывает частицу с нулевой массой покоя и с бесконечным числом состояний поляризации, характеризуемой непрерывной переменной µ. Такие частицы, по-видимому, в природе не реализуются. Существуют также тахионные представления с P̂ 2 < 0, но мы такие представления не рассматривали. 4.6 Лекция 20. Скрытые симметрии SO(4) и SO(3, 1) в квантовомеханической модели атома водорода. Изложение этой лекции основано на обсуждении, представленном в [17], стр. 319. Гамильтониан для электрона (с зарядом e и массой m0 ), который движется в поле ядра атома с зарядом −Ze (для водорода Z = 1), имеет вид H= p~ 2 Ze2 − , 2m0 r где r 2 = ~x 2 и координаты векторов ~x и ~p образуют алгебру Гейзенберга (4.6.1) heis [xk , pj ] = iδkj . Рассмотрим вектор Рунге - Ленца   1 ~ × ~p − p~ × L ~ , ~ (0) = ~x + L A r 2Zm0 e2 где Lk = Ekmn xm pn = (~x × p~)k . Непосредственно можно проверить, что координаты ~ (0) коммутируют с Гамильтонианом [A(0) , H] = 0, и, таким образом, опревектора A m деляют нетривиальные интегралы движения электрона в поле ядра атома. В. Паули был первым, кто осознал роль наблюдаемой Рунге - Ленца. ~ (0) и Гамильтониан H Выберем систему единиц, в которой вектор Рунге - Ленца A принимают вид   ~ (0) = ~x + 1 L ~ × p~ − p~ × L ~ , A r 2 H = p~ 2 − 2 . r (4.6.2) alg01 ~ (0) в виде Полезно переписать A h i ~ 2 , ~p . ~ (0) = ~x + i L A r 2 Заметим также, что ~ (0) )2 = H(L ~ 2 + 1) + 1 . (A 217 (4.6.3) alg111 Из коммутационных соотношений (4.6.1) следует замкнутая алгебра для операторов H, Lk , A(0) n (0) [Lk , Lm ] = iEkmn Ln , [Lk , A(0) m ] = iEkmn An , (0) ~ = [H, A ~ (0) ] = 0 . [A , A(0) ] = −iEkmn Ln H , [H, L] k (4.6.4) alg1 m (0) (4.6.5) alg11 Lk Ak = 0 , Хотя Гамильтониан H эрмитов, он не является положительно определенным, т.к. имеет как положительные, так и отрицательные и нулевые собственные значения E: HΨ = EΨ . Выделим подпространства волновых функций Ψ для E < 0, E = 0, E > 0 и отнорми~ (0) , на соответствующих подпространствах, следующим образом руем оператор A ~ := A          ~ (0) (−H)−1/2 E < 0 , A ~ (0) E = 0 , A ~ (0) (H)−1/2 E > 0 . A Алгебру (4.6.4) можно теперь привести к виду [Lk , Lm ] = iEkmn Ln , [Lk , Am ] = iEkmn An , ~ = [H, A] ~ =0, [Ak , Am ] = iǫEkmn Ln , [H, L] (4.6.6) alg2 где ǫ = 1, 0, −1 для областей E < 0, E = 0, E > 0, соответственно. Далее, соотношения (4.6.5), (4.6.3) принимают вид ~2 + L ~ 2 + 1) H = −1 ǫ = ±1 , (ǫA ~ 2 + 1) + 1 = A ~2 ǫ = 0 , H (L ~ ·A ~=0. L (4.6.7) alg31 Рассмотрим теперь три алгебры Ли (4.6.6), которые соответствуют трем значениям ǫ = +1, 0, −1. 1. Для ǫ = +1 (E < 0, сферическая геометрия) коммутационные соотношения (4.6.6) имеют стандартный вид для алгебры Ли компактной группы SO(4). Действительно, соотношения (4.6.6) при ǫ = +1 могут быть приведены, с помощью замены базиса в алгебре 1 1 (2) (Li + Ai ) , Ji = (Li − Ai ) , 2 2 к известному виду алгебры Ли для группы SU(2) ⊗ SU(2) = SO(4): (1) Ji (1) (1) = (1) [Ji , Jj ] = iEijk Jk , (2) (2) (2) (1) (2) [Ji , Jj ] = iEijk Jk , [Ji , Jj ] = 0 . 218 (4.6.8) alg7 (4.6.9) alg8 (1) Заметим, что в силу тождества Li Ai = 0 инвариантные операторы Казимира (Ji )2 , (2) (Ji )2 тождественно равны 1 (1) (2) (Ji )2 = (Ji )2 = (L2i + A2i ) , 4 (4.6.10) alg4 а гамильтониан, в силу первого равенства из (4.6.7), равен H=− 1 (1) 4(Ji )2 +1 =− 1 (2) 4(Ji )2 +1 (4.6.11) alg5 . Теперь мы можем воспользоваться результатами теории конечномерных представлений для группы SU(2) (см. Лекцию 11, пункт 3.4) для получения собственных (1) (2) значений E оператора H (4.6.2) в случае E < 0. Поскольку операторы Ji , Ji митовы, собственными значениями операторов Казимира (1) (Ji )2 и (2) (Ji )2 эр- являются j1 (j1 + 1) и j2 (j2 + 1), соответственно, а равенство (4.6.10) допускает только решение j1 = j2 = j. Т.о., собственные значения гамильтониана (4.6.11) для E < 0 имеют вид E=− 1 , (2j + 1)2 (4.6.12) alg6 где j = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . (какие из этих значений j реализуются в действительности еще нужно установить). Полученные выше результаты (4.6.8) – (4.6.12) соответствуют связанным состояниям атома водорода. Целое число n = 2j + 1 в формуле (4.6.12) отождествляется с главным квантовым числом спектра связанных состояний. 2. Для ǫ = −1 (E > 0, гиперболическая геометрия) коммутационные соотношения (4.6.6) имеют стандартный вид алгебры Ли для группы Лоренца SO(1, 3). Отметим, что операторы Li образуют алгебру Ли для группы SO(3) ⊂ SO(1, 3). В этом слу- чае собственные значения и собственные функции могут быть получены заменой главного квантового числа n(= 2j + 1) в рассмотренном выше дискретном случае на величину ±iη, где η – произвольное вещественное число (0 < η < ∞). В этом случае важно иметь ввиду, что каждому значению энергии E > 0 соответствует бесконечное множество состояний, образованное мультиплетами волновых функций, различающимися значениями ℓ = 0, 1, 2, . . . орбитального углового момента. 3. Для ǫ = 0 (E = 0, параболическая геометрия) соотношения (4.6.6) показывают, что компоненты вектора Рунге - Ленца Ai образуют коммутативную подалгебру и являются векторными операторами по отношению к {Li } (т.е. {Ai , Li } образуют алгебру Ли для евклидовой группы в 3-х измерениях). Радиальные собственные функции получаются пределом η → ∞ от радиальных функций в гиперболическом случае. Для 219 ǫ = 0 (E = 0) снова находим бесконечное множество состояний, соответствующих разным орбитальным угловым моментам ℓ = 0, 1, 2, . . .. 220 5 Приложение Леонард Эйлер (1707 – 1783) Леонард Эйлер (L. Euler) - один из величайших математиков XVIII стол., род. в 1707 г., в Базеле. Отец его, Павел Э., был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике, приобретенные под руководством Якова Бернулли. Отец предназначал своего сына к духовной карьере, но сам интересуясь математикой, преподавал ее и сыну, надеясь, что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия. По окончании домашнего обучения молодой Э. был отправлен отцом в Базель для изучения философии, где однако находил время для занятия математикой. Профессор Иоанн Бернулли очень скоро обратил внимание на Э. и нашел в нем необыкновенный талант. В 1725 г. Николай и Даниил Бернулли (сыновья И. Бернулли) были приглашены в члены петербургской академии наук, недавно основанной императрицей Екатериной I во исполнение намерений Петра Великого. Уезжая, молодые Бернулли обещали Э. известить его, если найдется и для него подходящее занятие в России. В 1727 г. Э. отправился в Петербург, где, по рекомендации академиков Германна и Даниила Бернулли, был назначен адъюнктом академии по математике и немедленно деятельно и прилежно стал работать, представляя академии исследования по разным вопросам прикладной математики. В 1733 г. он был сделан академиком на место, оставшееся свободным после отъезда друга его Даниила Бернулли за границу. Обладая громадным талантом, Э. вместе с тем обладал необыкновенным трудолюбием; соединением этих двух качеств и объясняется многочисленность и полезность его трудов. В 1740 г., по кончине императрицы Анны Иоанновны, началось регентство Бирона. В это жестокое для России время Э. получил приглашение от Фридриха Великого переехать в Берлин. Фридрих Великий, вполне оценивший гениальный талант и обширные познания великого геометра, давал ему поручения чисто инженерного характера; так, в 1749г. он поручил ему осмотреть канал Фуно между Гавелем и Одером и указать необходимые исправления в недостатках этого водного пути; далее поручено было исправить водоснабжение в Сан-Суси. По поводу этого появилось немало статей по гидравлике, написанных Э. в разное время. Биографы Э. утверждают, что он очень желал вернуться в Poccию. В 1766 г. он получил через посла в Берлине, князя Долгорукого, приглашение имп. Екатерины II вернуться в академию наук на всяких условиях, каких бы Э. ни пожелал. Несмотря на уговоры остаться в Германии, делавшиеся со стороны особ королевского дома, он принял приглашение, и в июне 1766 г. прибыл 221 в Петербург. Почти сразу, по прибытии в Петербург, он подвергся тяжкой болезни, после которой потерял зрение левого глаза вследствие образования катаракты. Благодаря услугам окружающих его лиц и сыновей его, Э., не смотря на потерю зрения, при своих гениальных способностях и замечательной памяти, диктовал свои дальнейшие мемуары и издавал отдельные свои книги. С 1769 по 1783 г. Э. написал около 380 статей и сочинений. Неутомимость и настойчивость в научных исследованиях Э. были таковы, что в 1773 г., когда сгорел его дом и погибло почти все имущество его семейства, он и после этого несчастия продолжал диктовать свои исследования. Вскоре после пожара искусный окулист, барон Вентцель, произвел операцию снятия катаракты, но Э. не выдержал надлежащего времени без чтения и ослеп окончательно. В 1783 г. Э. скончался от инсульта. Похоронен в Петербурге на Смоленском кладбище. К.Ф. Гаусс (1777 – 1855) К.Ф. Гаусс (Carl-Friedrich Gauss) - знаменитый немецкий математик. Род. 23 апреля 1777 года в Брауншвейге и с раннего возраста обнаружил выдающиеся математические способности. Рассказывают, что, будучи трех лет, Гаусс решал числовые задачи и любил чертить геометрические фигуры. Юный вычислитель был представлен герцогу Карлу Вильгельму Фердинанду Брауншвейгскому и нашел в нем покровителя, принявшего живое участие в его воспитании. В 1784 г. Гаусс поступил в начальную школу в Брауншвейге, а в 1789 г. в коллегию того же города. В 1794 г. Гаусс поступил в Геттингенский университет, где занимался под руководством профессора Кестнера. Еще не достигнув 25-ти лет, Гаусс выступил с знаменитым трактатом по теории чисел: "Disquisitionesarithmeticae"(1801). По богатству материала, ряду прекрасных открытий, разнообразию и остроумию доказательств это сочинение до сих пор считается основным при изучении теории чисел. Продолжая занятия теорией чисел, а также другими отраслями математического анализа, Гаусс публикует ряд солидных работ по астрономии. В 1807 году Гаусс получает приглашение в с. Петербургскую академию наук, но, по настоянию Ольберса, отказывается и 9 июня этого года назначается директором обсерватории Гҷтингена и профессором университета того же города. В этих двух должностях Гаусс оставался до конца своей долгой и трудовой жизни. С этого времени Гаусс посвящает большую часть своего времени астрономическим работам, продолжая впрочем заниматься также различными частями анализа. Из астрономических работ выделяется "Theoria motus corporum 222 coelestium мемуар, заключающий массу ценных замечаний для вычисления элементов планетных и кометных орбит. Трактуя вопросы теоретической астрономии и небесной механики в ряде замечательных работ, Гаусс не забывает и о практической астрономии. В дальнейшем, кроме математики, астрономии и небесной механики, интересовался земным магнетизмом. Под конец своей плодотворной деятельности, в 1846- 1847 гг. Гаусс занимался геодезией и картографией и издал по этому предмету два мемуара. Умер 23 февраля 1855 г. В К.Ф. Гауссе мы видим человека с универсальными математическими способностями; им затрагивались почти все главные отрасли чистой и прикладной математики, причем всюду девизом автора было: раnса sedmatura (немного, но зрело); он оставил неопубликованными много работ, считая их не достаточно обработанными. Софус Ли (1842 – 1899) Софус Ли (Lie, Marius Sophus) родился 17 декабря 1842 в Норфьордейде (Норвегия). Отец Софуса Ли – Иохан Герман Ли был лютеранским священником (Lutheran minister). В семье было шестеро детей и Софус был младшим из них. Сначала С. Ли посещал школу в г. Мосс (порт на восточном побережье фьëрда Осло). В 1857 г. поступил в частную Латинскую школу (Nissen’s Private Latin School) в Кристиании (с 1925 г. – город Осло). Находясь в этой школе, готовился к военной карьере, но, не имея достаточно хорошего зрения, в конце-концов решил поступать в Университет г. Кристиании. В Университете С. Ли изучал широкий набор курсов и, по-видимому, определился с выбором математики, как основного своего занятия, только к 1867 году. В течении 1868 года он изучал работы Плюккера и Понселе и в 1869 г. опубликовал (за счет своих средств) короткую научную статью, основанную на идеях, которые разрабатывал еще в 1867 году. В конце 1869 г. С. Ли поехал в Пруссию, где посетил Гëттинген и Берлин. В Берлине он встречался с Кронеккером, Куммером и Вейерштрассом. Но наиболее важным для С. Ли было то, что он встретил в Берлине Феликса Клейна, который был учеником Плюккера (а С. Ли всегда говорил, что считает своим учителем Плюккера, хотя и никогда с ним не виделся). В Берлине С. Ли окончательно убедился в собственных математических способностях и правильности выбора профессии математика. Весной 1870 г. С. Ли и Ф. Клейн вместе находились в Париже. С. Ли начал разрабатывать идеи, которые позже нашли отражение в его работах по группам преобразований. Он начал обсуждать с Ф. Клейном эти идеи по теории групп и геометрии, 223 и позже это сотрудничество вылилось в публикацию нескольких совместных статей. Эта совместная работа несомненно повлияла на формулировку некоторых положений в Эрлангенской программе Ф. Клейна. В Париже С. Ли открыл т.н. контактные преобразования, позволяющие устанавливать взаимно однозначное соответствие между совокупностью сфер и совокупностью прямых. Столь плодотворное пребывание в Париже было прервано Франко-Пруссой войной, которая началась 19 июля (14 июля канцлер Пруссии Бисмарк отправил телеграмму, которая привела в ярость французское правительство, после чего Франция объявила войну Пруссии). Ф.Клейн, будучи прусским гражданином, был вынужден срочно вернуться в Берлин, а С. Ли в августе решил переехать в Италию, однако был задержан в Фонтенбло как германский шпион. Его математические заметки были приняты за зашифрованные послания сверх секретных сведений. Только после вмешательства Дарбу, С. Ли был освобожден из тюрьмы и смог продолжить свой путь в Италию откуда, через Германию, он вернулся в Норвегию. В 1871 году С. Ли становится ассистентом в Университете Кристиании и одновременно преподает в частной Латинской школе, в которой учился сам. Вскоре он заканчивает свою диссертацию ”О классах геометрических преобразований” (написанную по норвежски) и получает за эту работу степень Ph.D. в университете Кристиании (Осло) в 1872. С 1872 г. он профессор университета в Кристиании. С 1873 по 1881 годы Силов и Ли готовят издание полного собрания работ знаменитого норвежского математика Абеля. Зимой 1873-74 Софус Ли начинает систематически развивать свою теорию групп непрерывных преобразований (которые позже получили название групп Ли). В 1886 году, когда Ф.Клейн оставил свою кафедру в Лейпциге, на эту кафедру был назначен С. Ли. Будучи в Лейпциге С. Ли, совместно с Ф. Энгелем, написал свой главный труд "Theorie der Transformationsgruppen"(3 тома, 1888-93). В 1878 году С. Ли стал почëтным членом Лондонского математического общества и членом Лондонского королевского общества. В 1896 избран иностранным членкорреспондентом Петербургской АН. С. Ли работал в Лейпциге до 1896 года. В конце 1880х годов С.Ли неожиданно разрывает свои отношения со своим соавтором Фридрихом Энгелем. А в 1892 году рушится его долголетняя дружба с Ф. Клейном. Годом позже С. Ли публично атакует Ф. Клейна, заявив: – я не ученик Клейна, и он не мой ученик, хотя последнее могло бы быть ближе к истине. В математическом сообществе начинают поговаривать о его психическом нездоро224 вье. В 1898 году Ли возвращается в Кристианию, где занимает пост, специально созданный для него. 18 февраля 1899 года, в Кристиании, он умирает от pernicious anaemia. Большую часть жизни С. Ли посвятил созданию теории групп и изучению ее приложений к другим областям математики, в особенности к теории дифференциальных уравнений. Он создал теорию непрерывных групп, которая называется теорией групп Ли. Эта теория оказала глубокое влияние на развитие оснований геометрии, топологии и теоретической физики. Список литературы [1] Г. Вейль, Симметрия, Наука, Москва (1968); Едиториал УРСС, 2003 [2] Ф. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, Наука, Москва (1989). [3] М. Гарднер, От мозаик Пенроуза к надежным шифрам, Мир, Москва (1993). [4] Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташик, Конкретная математика (основание информатики), Мир, Москва (1998). [5] П.И.Голод, А.У.Климык, Математические основы теории симметрии, Издательство - Регулярная и хаотическая динамика, (2001). [6] И. Гроссман, В. Магнус, Группы и их графы, Издательство: Мир, (1971). [7] М.Хамермеш, Теория групп и ее применение к физическим проблемам, Издательство: Едиториал УРСС, 2002. [8] Ж.П. Серр, Линейные представления конечных групп, Мир, Москва, 1970. [9] Н.Н. Боголюбов, Теория симметрии элементарных частиц, в книге ”Физика высоких энергий и теория элементарных частиц”, Издательство: Наукова думка, Киев (1967). [10] М.А.Наймарк, Унитарные представления некомпактных групп, в книге ”Физика высоких энергий и теория элементарных частиц”, Издательство: Наукова думка, Киев (1967). 225 [11] И.Р. Шафаревич, Основные понятия алгебры, ”Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск (1999). [12] Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко . Современная геометрия, Наука, Москва (1979). [13] С.П. Новиков, И.Т. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля, Издательство МЦНМО, Москва (2005). [14] F. Gürsey, Introduction to Theory of Groups, in ”Relativity, Groups and Topology”, eds. C. De Witt, B. De Witt, New York - London, 1964; (имеется русский перевод, Ф. Гюрши, Введение в теорию групп, в сборнике статей ”Теория групп и элементарные частицы”, под. ред. Д.Иваненко, Мир, Москва (1967)). [15] А.А.Славнов, Л.Д.Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, Наука, Москва (1988). [16] R.Brauer and H.Weil, Amer.Journ.Math., 57 (1935) 425; (имеется русский перевод в книге П.Дирак Спиноры в гильбертовом пространстве, Мир, Москва (1978)). [17] Л. Биденхарн, Дж. Лаук, Угловой момент в квантовой физике, т. 1,2, Москва, Мир (1984). [18] Б.Л. Ван дер Варден, Метод теории групп в квантовой механике, Библиотека ”Физика. Математические методы”, Том V, Ижевск: Издательский дом ”Удмуртский Университет” (1999). [19] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, ”Теоретическая физика, т. III”. Квантовая механика (нерелятивистская теория), Наука, Москва (1989). [20] Дж.Эллиот, П.Добер. Симметрия в физике. Т.1,Т.2 Москва, Мир (1983). [21] Л.Б. Окунь, Физика элементарных частиц, Наука, Москва (1988). [22] Ю.Б.Румер, А.И.Фет, Теория групп и квантованные поля, Наука, Москва (1977). [23] I.L. Buchbinder and S.M. Kuzenko, Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity, Or a walk Through Superspace, IOP, Bristol and Philadelphia, (1995) pp. 656. 226 [24] Ю.В. Новожилов, Введение в теорию элементарных частиц, Наука, Москва (1972). [25] С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, Изд. иностранной лит., Москва (1963). [26] P.-O. Löwdin, Rev. Mod. Phys. 36 (1964) 966; J. Shapiro, Matrix Representation of the Angular Momentum Projection Operator, Journal of Math. Phys., v.6, No.11 (1965) 1680 - 1691. [27] V.N. Tolstoy, Fortieth Anniversary of Extremal Projectior Method for Lie Symmetries, Contemporary Mathematics (Proc. of Conference on "Non-commutative Geometry in Mathematical Physics Karshtad, July 2004), math-ph/0412087. [28] Ю.Ф. Смирнов, В.Н. Толстой и Ю.И. Харитонов, Метод проекционных операторов и q-аналог квантовой теории углового момента. Коэффициенты КлебшаГордана и неприводимые тензорные операторы, Ядерная физика, т.53, вып.4 (1991) 959. [29] Д.Т. Свиридов, Ю.Ф. Смирнов, Теория оптических спектров ионов переходных металлов. Москва, Наука, 1977. [30] А.П. Юцис, И.Б.Левинсон, В.В. Ванагас, Математический аппарат теории момента количества движения. Академия наук Литовской ССР, Институт физики и математики, Публикация No.3, Вильнюс (1960). [31] V. Bargman, E.P. Wigner, Group Theoretical Discussion of Relativistic Wave Equations, Proc. Nat. Acad. Sci. (USA), vol. 34, No.5 (1948) 211. [32] Н.Бурбаки, Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса; группы, порожденные отражениями; системы корней. Главы IV, V, VI. Москва, Мир (1972). [33] J.E.Hamphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics 9. Springer-Verlag (1994) (Дж.Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, 2003). [34] Л.С.Понтрягин, Непрерывные группы. Москва, Наука (1973). [35] М.А.Наймарк, Теория представлений групп. Москва, Наука (1973). 227 [36] G.Racah, Group Theory and Spectroscopy. Lectures delivered at the Institute for Advanced Study, Princeton, 1951. Preprint CERN 61-8 (1961). [37] Е.Б.Дынкин, Классификация простых групп Ли. Математический сборник, т.18(60), No.3 (1946) 45. [38] Г.Вейль, Теория представлений непрерывных полупростых групп при помощи линейных преобразований. В книге "Избранные труды. Математика, теоретическая физика стр.100. Москва, Наука (1984). [39] Е. Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, Издательство - ИО НФМИ (2000) (Серия - Шедевры мировой физико - математической литературы). [40] Д.П.Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, Москва, Наука (1970). [41] М.М.Постников, Группы и алгебры Ли. Лекции по геометрии, семестр V., Москва, Наука (1982). Дополнительная литература 1. В. Кац, Бесконечномерные алгебры Ли, Москва, Мир, 1993 2. Брайс С. ДеВитт, Динамическая теория групп и полей, Москва, Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, 1987 3. А.А. Кириллов, Элементы теории представлений, Наука, 1978 4. Е. Вигнер. ”Этюды о симметрии”, (сборник научных заметок), 1971 5. Г.Вейль, Теория групп и квантовая механика, Наука, 1986 6. А.Барут, Р.Рончка, Теория представлений групп и ее приложения, тома I,II, Мир, Москва, 1980 7. Ж.П. Серр, "Алгебры Ли и группы Ли Мир, Москва, 1969 8. Н.Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений, Наука, 1965 9. Г.Вейль, Классические группы, их инварианты и представления, Изд. УРСС, 2004. 10. И.М.Гельфанд, Р.А.Минлос, З.Я.Шапиро. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения, 1958 11. В.Д. Ляховский, А.А. Болохов, Группы Симметрии и элементарные частицы, изд. УРСС, 2002 12. Ю.Б.Румер, А.И.Фет, Теория унитарной симметрии, Наука, 1970 13. А.Н. Лезнов, М.В. Савельев, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем, Москва, Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, 1984 228 14. А.М. Переломов, Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, R & C, 2002 15. Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, 1986 16. Н.Бурбаки, Группы и алгебры Ли,(Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли), Мир, Москва, 1976 17. Н.Бурбаки, Группы и алгебры Ли,(группы Кокстера и системы Титса, группы порожденные отражениями, системы корней), Мир, Москва, 1972 18. Н.Бурбаки, Группы и алгебры Ли,(Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли), Мир, Москва, 1978 19. Н.Бурбаки, Группы и алгебры Ли,(Компактные вещественные группы Ли), Мир, Москва, 1986 20. Э.Б.Винберг, А.Л.Онищик, Основы теории групп Ли, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, том 20 (Группы Ли и алгебры Ли - 1), 1988 21. А.А. Кириллов, Лекции по методу орбит, Новосибирск, Научная книга, 2002 22. Э.Пресли, Г.Сигал, Группы петель, Москва, Мир, 1990 23. Ф.А.Березин. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными, Наука, 1983 24. С. Хелгассон, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, Мир, 1964 25. К. Кассель, Квантовые группы, 1999 26. Ф.И. Федоров, Группа Лоренца, Наука, 1979. 27. Л. Шварц, Математические методы для физических наук, Мир, 1965. 229