Справочник от Автор24
Химия

Конспект лекции
«Семейства точечных групп»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по химии / Семейства точечных групп

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Семейства точечных групп», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Семейства точечных групп». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Семейства точечных групп», текстовый формат

1 Лекция 3 Семейства точечных групп Совокупность всех неэквивалентных элементов симметрии, с помощью которых фигура может быть преобразована сама в себя, образует группу. Точечная группа (вид симметрии, класс симметрии) – это полная совокупность элементов симметрии фигуры. Мы рассмотрели плоскости симметрии, оси симметрии, точки симметрии. В принципе порядок осей симметрии может быть любым, поэтому существует бесчисленное множество точечных групп. Вместе с тем, набор элементов, входящих в группу, должен удовлетворять теоремам из взаимодействия. В результате удается выделить только 7 семейств точечных групп. 1. Семейство вращающегося конуса (семейство n). В это семейство входят те точечные группы, которые содержат только одну поворотную ось. Из дальнейшего будет видно, что эти группы удобно разделить на два ряда – с четным и нечетным порядком оси. 1,3,5,7,..... В пределе оба ряда приведут к группе, содержащей ось . 2,4,6,8,.... Симметрией обладает фигура, которая совмещается сама с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. В качестве примера Такой фигуры можно привести конус. Однако конус имеет еще бесконечное множество плоскостей симметрии, проходящих через ось . Все эти плоскости исчезают, если рассматривать вращающийся конус (или покоящийся). Вращающийся или покоящийся конус имеет заштрихованную поверхность. Поверхность должна иметь структуру – тогда не будет плоскостей. Например, поверхность можно прикрыть тканью с приглаженным ворсом. Примером молекулы, симметрия которой отвечает точечной группе из семейства вращающегося конуса, является молекула бензофенантрена (рисунок 8 в методичке). При идеально плоском строении молекула имела бы две плоскости симметрии – совпадающую с плоскостью чертежа и перпендикулярно к ней, – а также ось 2, проходящую по линии пересечения этих плоскостей. Однако в силу стереографических затруднений молекула бензофенантрена искажается: фенильные кольца на периферии отклоняются в разные стороны от плоскости чертежа ((+) отмечены части молекулы, приподнятые над плоскостью, а (-) – опущенные). В итоге молекула имеет симметрию 2. 2. Семейство скрученного цилиндра (семейство n2 или n22). Если к каждой поворотной оси, входящую в семейство вращающегося конуса, добавить перпендикулярную ось второго порядка – получится еще одно семейство точечных групп. 12,32,52,..... 2. Оба ряда в пределе дают 2. 222,422,622.... Согласно теореме 4, каждая из этих точечных групп содержит кроме оси n-порядка (главная ось) n осей второго порядка (побочные оси), расположенные в перпендикулярной 180 плоскости и образующие между собой углы . n 1 2 Примером фигуры, предельной группе скрученный цилиндр. принадлежащей к 2, может служить В качестве примера покажем расположение элементов симметрии в двух таких группах – с осями 3-го и осями 4-го порядков. Между этими двумя случаями есть принципиальная разница. Если ось нечетная, то все направления, по которым проходят оси 2, во всех отношениях одинаковы. Они преобразуются друг в друга при повороте на угол 120 . 32 Три оси 2 эквивалентны. Если ось четная, то при повороте на угол 90 ось 2`, переходит в другую ось 2`, а ось 2`` - в свою очередь совмещается с осью 2``. Неэквивалентность осей 2` и 2``отражается записью двух осей второго порядка. Оси 2` и 2`` неэквивалентны. Тогда как в случае нечетной оси записывается только одна ось 2-го порядка. Примеры молекул: Трифенилдихлорстибин (рисунок 9а методички, стр. 76). Точечная группа 32. «Трехлопастной пропеллер», его ось – прямая. Плоскость каждого из фенильных колец повернута относительно экваториальной плоскости на угол ~ 45 . При повороте на угол 120 вокруг прямой Cl-Sb-Cl кольца совмещаются друг с другом. Дифенил (рисунок 9б методички, стр. 76). Точечная группа 222. кристаллы имеют плоское строение. Дифенил в газовой фазе – фенильные кольца повернуты относительно связи С-С на некоторый угол. (+) – атомы над плоскостью, (-) – под плоскостью. 3. Семейство неподвижного конуса (семейство nm или nmm). Если к каждой поворотной оси, входящей в семейство вращающегося конуса, добавить плоскость m, проходящую через эту ось, то в каждой точечной группе по теореме 4 возникает n таких плоскостей. 2 3 1m,3m,5m,7m,....... 2mm,4mm,6mm,8mm,.... но принято mm2. m. Оба ряда дают в пределе m. Как и предыдущих семействах, здесь имеет место эквивалентность плоскостей, проходящих через ось нечетного порядка, и неэквивалентность в случае оси четного порядка. NH3 BrF5 3m и другие пирамиды 4mm nm HOCl H2O mm2 1m n для четных n). m Если в семействе вращающегося конуса поворотную ось заменить инверсионной осью, то получим семейство, включающее в себя не два, а четыре ряда точечных групп. 2l 1.......... .......... . 1, 3, 5,7,...... 4. Семейство вращающегося цилиндра (семейство n, 4l 2.......... .......... .. 2(1 / m),6 (3 / m),1 0(5 / m)......... /m 4l.......... .......... ......... 4(2 / m),8 (4 / m),12(6 / m)....... Особенности рассматриваемых рядов вытекают из свойств инверсионных осей. I ряд. Нечетные оси содержат поворотную ось n-го порядка + центр симметрии n n 1. Четные ряды делятся на две группы: n II ряд 4l+2. нет центра симметрии, но есть плоскость, n m 2 перпендикулярная направлению главной оси. 3 4 III ряд 4l. 4n эти оси не содержат ни центра симметрии, ни плоскости. IV ряд 2/m, 4/m, 6/m - имеет центр симметрии и перпендикулярную плоскость, т.к. любая ось четного порядка содержит в себе ось 2-го порядка. Из теоремы 3 и следствия вытекает присутствие центра симметрии. Наличие перпендикулярной плоскости (m ) говорит о присутствии инверсионной оси 2-го порядка ( 2 ), совпадающей с направлением главной оси. Например, Н3ВО3. 3 Молекула плоская, имеет 6. m Среди органических молекул часто встречается точечная группа 2/m. 2/m порождает центр симметрии 1 . 5. Семейство неподвижного цилиндра. Если к каждой из точечных групп предыдущего семейства добавить плоскость n симметрии m, проходящую через ось, получаются группы вида n m, n m2, n 2m, mm . m Получается четыре ряда точечных групп. 2 n 2l 1.......... 1 m( ),3 m, 5 m,......... .. m n 4l 2.......... . 2 m2(mm 2),6 m2,1 0 m2,....... n m 4l.......... ....... 42m,8 2m,122m,......... ....... m 2 4 6 mm, mm, mm,....... m m m Рассмотрим каждый из этих рядов. I ряд. Входят точечные группы, содержащие инверсионную ось нечетного порядка n, где n = 2l + 1. Говоря о свойствах инверсионных осей, мы отмечали, что инверсионная ось нечетного порядка содержит в себе поворотную ось того же порядка. Тогда, по теореме 4 каждая из точечных групп первого ряда содержит столько плоскостей симметрии, каков порядок главной оси. Кроме того, по теореме 5 из-за наличия инверсионной оси 180 появляются поворотные оси 2-го порядка, расположенные под углом к осям 2 n (нормалям к плоскостям). Их тоже будет n. Появление осей 2-го порядка можно объяснить наличием центра симметрии на плоскости, порождающей оси 2, перпендикулярные плоскостям. .......... .......... ....... 4 5 Например, 3 m . Для точечных групп первого ряда характерно следующее: оси 2 проходят между плоскостями симметрии. II ряд. Входят точечные группы, содержащие инверсионные оси четного порядка n, где n = 4l + 2. Инверсионные оси четного порядка содержат в себе поворотные оси с вдвое меньшим порядком (n/2). Тогда, по теореме 4 каждая из точечных групп второго ряда содержит n/2 плоскостей симметрии, проходящих через главную ось. Кроме того, в точечной группе второго ряда имеется плоскость симметрии, перпендикулярная главной оси. В соответствие с теоремой 2, ее частным случаем, когда имеются две взаимно перпендикулярных плоскости, то по линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей проходит ось 2-го порядка. Всего таких осей будет n/2. Например, молекула CH2Cl2. Точечная группа 2m2 . Эта точечная группа нам уже встречалась в семействе неподвижного конуса и обозначалась 2mm. Чаще ее обозначают mm2. Имеющуюся инверсионную ось 2-го порядка ( 2 ) mm2 изображаем как плоскость. Также имеется плоскость m, проходящая через ось 2 . По теореме 2 – линия пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей есть поворотная ось 2-го порядка (2). Ориентация элементов симметрии на данном рисунке соответствует более обычному обозначению mm2, если отдается предпочтение, чтобы выделить особое направление – направление оси 2. особое направление принято совмещать с координатной осью z. Однако возможна и другая ориентация: 2mm (ось 2 проходит вдоль оси x). Молекула SbCl5. Точечная группа 6m2 . В этом случае можно применить теорему 5 и все плоскости и оси 2 совпадут на проекции. Для точечных групп второго ряда характерно совпадение на проекции плоскостей и осей 2-го порядка. 6m2 III ряд. Входят точечные группы, содержащие инверсионные оси четного порядка n, где n = 4l. Здесь так же, как и для второго ряда, присутствуют n/2 плоскостей и n/2 побочных осей 2-го порядка (по теореме 5). Плоскость, перпендикулярная главной оси, в этом случае отсутствует. Точечная группа 42m . Если ось x направлена традиционно, то это 4m2 . Если ось x направлена вдоль оси 2-го порядка, то это 42m . 4m2 42m Для точечных групп третьего ряда характерно то, что оси 2-го порядка проходят на проекции между плоскостями симметрии. 5 6 IV ряд. Рассмотрим сразу на примерах. 2 mm или mmm (молекула нафталина, стр. m 77 рис. 12 методички) 4 mm m Молекула SF6 6 mm (молекула бензола) m Для точечных групп IV ряда семейства неподвижного цилиндра характерно следующее: оси 2-го порядка совпадают с вертикальными плоскостями на проекции. Рассмотренные пять семейств точечных групп относятся по симметрии к низшей и средней категориям. Прежде чем, дать определение категории напомню, что оси n и n , для которых n 3 , называются осями высшего порядка. Напомню, что точечные группы, не содержащие осей высшего порядка, объединяются в низшую категорию. Всего существует 8 таких точечных групп: 1, 1 , 2, m, 2/m, 222, mm2, mmm. Точечные группы, содержащие одну ось высшего порядка принадлежат к средней категории. Таких точечных групп существует бесчисленное множество. Точечные группы, содержащие несколько осей высшего порядка, принадлежат к высшей категории. Таких групп всего девять: 23, 432, 25, , m3, 4 3m, m3m, m5, m . Семейства высшей категории. 6. Семейство шара с вращающимися точками поверхности (в одном направлении) Названия семейств даются по фигуре, симметрия которой описывается предельной точечной группой семейства, т.е. получаемой в пределе. Формально такой фигуры, как шар с вращающимися точками поверхности не существует. Однако ее можно себе представить, если только совершать все возможные повороты вокруг всех возможных осей. 6 7 Точечные группы этого семейства не содержат плоскостей симметрии, только набор осей. точечная группа 23,432,25........ вращения. Рассмотрим примеры. 23 - пример фигуры пентагонтритетраэдр Эта фигура содержит три взаимно перпендикулярных оси 2-го порядка, которые удобно направить вдоль координатных осей. Кроме того, присутствуют четыре оси 3-го порядка, проходящие по объемным диагоналям. 432 – фигура пентагонтриоктаэдр (по три пятиугольника на каждой грани) Вдоль координатных осей проходят оси 4го порядка. Оси 3-го порядка располагаются по объемным диагоналям. По теореме 4 возникают оси 2-го порядка, проходящие по диагоналям координатных плоскостей (ось 4-го порядка уже содержит в себе ось 2-го порядка). 25 – фигура футбольный мяч Эта точечная группа содержит шесть осей 5-го порядка, девять осей 3-го порядка, пятнадцать осей 2-го порядка. В кристаллах не встречается. Мы уже говорили, что в кристаллах оси 5-го порядка, а также оси, порядок которых выше 6, вообще не встречаются. Эта точечная группа содержит шесть осей 5-го порядка, девять осей 3-го порядка, пятнадцать осей 2-го порядка. В кристаллах не встречается. Мы уже говорили, что в кристаллах оси 5-го порядка, а также оси, порядок которых выше 6, вообще не встречаются. Всякое расположение хотя бы двух осей высшего порядка с ориентацией, не встречающейся в группах 23, 432 и 25 приводит к группе . 7. Семейство шара. К элементам симметрии точечных групп предыдущего семейства добавим плоскости симметрии. 7 8 Если к группе 23 добавить координатную плоскость, то поучим группу m3. m3 Если к группе 23 добавить плоскость симметрии, перпендикулярную диагоналям координатных плоскостей, возникает группа 43m . Диагональные плоскости появляются по теореме 4. При этом на месте осей 2-го порядка в соответствии с теоремой 3 появляются инверсионные оси 4 . Пример такой фигуры – тетраэдр. 43m Если к группе 432 добавить координатную плоскость симметрии и плоскость симметрии, перпендикулярную диагоналям координатных плоскостей, и применяя теорему 4, то появляется группа m3m. (стр. 77 рис. 11 методички). Пример такой фигуры – куб. Пример фигуры с симметрией m5 – пентагондодекаэдр (12 пятиугольников), икосаэдр (20 треугольников). Такая группа наиболее характерна для живой природы. m3m m5 Добавление плоскостей симметрии к любой из точечных групп предыдущего семейства в какой-либо иной ориентации приводит к возникновению бесчисленного 8 9 m , m относящаяся к симметрии шара. Ее называют полной ортогональной группой. Эта точечная группа содержит в себе всевозможные повороты и повороты с инверсией вокруг всех возможных осей. Все точечные группы симметрии всех семейств являются множества осей высшего порядка. В итоге получается предельная группа подгруппами точечных групп m . 9

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Химия

Семейства точечных групп

Лекция 4 Символика точечных групп Существует несколько систем обозначения точечных групп: Браве, Шенфлиса и международная. Однако наиболее широкое при...

Химия

Симметрия кристаллических структур

Лекция 5 Симметрия кристаллических структур До сих пор мы обсуждали структуры конечных фигур (молекул, кристаллов) и все возможные сочетания элементов...

Химия

Физические свойства кристаллов

Лекция 16 Физические свойства кристаллов Изучением структуры и физических свойств твердых тел занимается физика твердого тела. Она устанавливает завис...

Теория вероятностей

Генеральная совокупность и выборка. Эмпирическая функция распределения, гистограмма и полигон частот)

Генеральная совокупность и выборка. Эмпирическая функция распределения, гистограмма и полигон частот) Математическая статистика – это раздел математик...

Микропроцессорная техника

Система команд микроконтроллеров семейства AVR.

Черноморское Высшее Военно-Морское училище имени П.С. Нахимова Дисциплина «Информационно-управляющие технологии» Лекция № 25 ТЕМА: СИСТЕМА КОМАНД МИКР...

Естествознание

Естествознание. Проблемы изучения микромира в естествознании ХХ века.Современное понимание структурных уровней микромира

НССУЗ НП «Региональный финансово-экономический техникум» ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ (Вторая лекция) __________________________________ http://rfet.ru © РФЭТ © Все...

Материаловедение

Координатные системы. Категории. Сингонии. Простые формы низшей и средней категории

ЛЕКЦИЯ 5 Координатные системы. Категории. Сингонии. Простые формы низшей и средней категории Работая с кристаллами, исследователи обратили внимание на...

Химия

СЭП в кристаллических структурах

Лекция 8 СЭП в кристаллических структурах СЭП – совокупность точек, которые преобразуются друг в друга операциями симметрии данной пространственной гр...

Высшая математика

Обработка и анализ данных с интервальной неопределенностью

Тема X-1. Обработка и анализ данных с интервальной неопределённостью. А.Н. Баженов Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого a_ba...

Автор лекции

А.Н. Баженов

Авторы

Микропроцессорная техника

Специальное программное обеспечение микроконтроллеров

Черноморское Высшее Военно-Морское училище имени П.С. Нахимова Дисциплина «Цифровые устройства и микропроцессоры» Лекция № 26 ТЕМА: СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРОГРА...

Смотреть все