Теория числовых систем

Лекции 1-3 Введение. Аксиоматический метод Многие понятия и идеи, возникшие при изучении числовых систем, породили новые направления в науке и сыграли важную роль в развитии математики и ее приложений. Теория числовых систем лежит в основе математического образования учителей математики. Основными числовыми системами являются:  арифметика натуральных чисел;  кольцо целых чисел;  поле рациональных чисел;  поле вещественных чисел;  поле комплексных чисел;  алгебра кватернионов. В основу изучения числовых систем положен аксиоматический метод. Аксиоматические теории делятся на два вида: «Содержательные аксиоматические теории» (САТ), где правила вывода доказательств не указаны и «Формальные аксиоматические теории» (ФАТ), где указаны правила вывода доказательств. Все числовые системы в данном курсе будем рассматривать как САТ. Аксиомы натурального ряда Итальянский математик Дж. Пеано дал аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Существуют различные аксиоматики системы натуральных чисел, которые в честь «первопроходца» называют системами аксиом Пеано. Мы рассмотрим одну из них. Интуитивное представление натуральных чисел связано с мощностью конечного множества или порядковым номером элемента множества. ● Система Пеано (система натуральных чисел) – это множество N, на котором определена унарная операция «´» («следует за») и выполняются следующие условия (аксиомы): P1. 0  N  a  N a  0 ; P2. a, b  N a  b  a  b ; P3. Аксиома индукции: A  N  0  A  a  N a  A  a  A  A  N . ◄Интуитивным примером системы Пеано является множество элементов из черточек и нуля:   N  0 ,|,||,|||,   , где последующий элемент получается из предыдущего добавлением черточки и 0 |,|||, ► В качестве обоснования системы Пеано принимают следующую аксиому существования: существует по крайней мере одна система Пеано (см. интуитивный пример). Одной из основных целей в дальнейшем является доказательство единственности (с точностью до изоморфизма) системы Пеано. Покажем, что для единственности системы Пеано каждая из аксиом является существенной. Случай 1. Система  _  _  N , ,0   удовлетворяет аксиомам Р1 и Р2, но не удовлетворяет Р3. _ _ _ _ _  N  0, 0  1, 1  2,    a, a,   Тогда множество   _ удовлетворяет аксиомам Р1 и Р2, но не удовлетворяет _ _  A  0, 0,   Р3 для множества  . Случай 2. Система  _ _  N , , 0    удовлетворяет аксиомам Р1 и Р3, но не удовлетворяет Р2. _  _ _ _ _ _ N  0, 0  1, 1  1 Тогда конечное множество   удовлетворяет аксиомам Р1 иР3, но не удовлетворяет _ _ Р2, т.к. 1  0 и Случай 3. _ _ 0  1. Система  _ _  N , , 0    удовлетворяет аксиомам Р2 и Р3, но не удовлетворяет Р1. _ _ Тогда множество N  0 удовлетворяет аксиомам Р2 и Р3 и отличается от основного примера. Таким образом, для единственности системы Пеано каждая из аксиом является существенной. Основные свойства Теорема 2.1. a  N a   a  . ■ Пусть A  n  N | n  n. Для доказательства теоремы достаточно показать, что A=N. Имеем 0  A , так как по аксиоме Р1: 0  0 . Предположим, что n  A , т.е. n  n . Покажем, что n  A . Предположим противное: n  A , т.е. n  n . Тогда по аксиоме Р2: n  n , что противоречит предположению индукции. Получили противоречие, следовательно, n  A . По аксиоме Р3: A=N. ■  Теорема 2.2. a  N a  0  ! b  N Док-во самостоятельно. a  b  b  a  . 3. Сложение на множестве натуральных чисел ● Сложением на множестве натуральных чисел называется S : N2  N , отображение   a b, S a, b обозначается рекурсивные равенства: и которое выполняются S1. n  N n  0  n  ;  n  m  n  m   n, m  N S2.  . Обычно обозначают: 0  1, 1  2, 2  3, 3  4, 4  5,       ◄ 3  2  3  1  3  1  3  0   3  0   4  5 . ► Свойства 1S. a  N 0  a  a  a  0  a  . ■ Доказательство формулы проведем индукцией по а. В силу S1 достаточно доказать, что a  N 0  a  a  . A  n  N | 0  n  n. Для доказательства Пусть теоремы достаточно показать, что A=N. 0  A , так как 0+0=0 по S1. Предположим, что n  A , т.е. 0  n  n . Имеем П .И .  Тогда 0  n  0  n   n  n  A . По аксиоме Р3: A=N. S2   2S. a ,b  N a  b  a   b . 3S. Неразложимость нуля. a ,b  N a  0  b  0  a  b  0 . ■ Законы сложения 1. Закон сокращения. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁|(𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 ) → 𝑎 = 𝑏. 2. Закон коммутативности. ∀𝒂, 𝒃 ∈ 𝑵 (𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂). 3. Закон ассоциативности. a ,b,c  N : a  b  c  a  b  c . 4. Закон трихотомии. a ,b  N выполняется точно одно из условий: 𝑎 = 𝑏 ∨ ∃𝑢 ≠ 0 (𝑎 + 𝑢 = 𝑏) ∨ ∃𝑣 ≠ 0 (𝑎 = 𝑏 + 𝑣 ). ■ Покажем сначала, что выполняется не более одного из условий. Если выполняется a  b  u  0 a  u  b , то 𝑎 + 𝑢 = 𝑎 → 𝑢 = 0 , что противоречит предположению. Аналогично доказывается, что невозможно a  b  v  0 a  b  v  . одновременное выполнение Предположим, a  u  bu  0  a  b  vv  0 , тогда b  v  u  b  v  u  b  v  u  0 . Следовательно, 3 по свойству 3 имеем: u  0 и v  0 , что противоречит условию. Теперь докажем, что выполняется одно из условий. Для этого зафиксируем a  N и будем доказывать формулу индукцией по b. Пусть A  n  N | a  n  u  0 : a  u  n  v  0 : a  n  v  , Для доказательства теоремы достаточно показать, что А = N. Имеем 0  A , так как если а=0, то выполняется первое условие; если a  0 , то по свойству 1: а=0+а и выполняется условие три, где n=0 и v=a . Предположим, что n  A , т.е. выполняется одно из условий a  n  u  0 | a  u  n   v  0 | a  n  v  . Покажем, что n  A . Возможны три случая. Случай 1. Пусть а=n, тогда n'=(n+0)'=n+0'. Полагаем v  0 , получаем n  a  v , где v  0 . По аксиоме Р1 следует, что выполняется третье условие, следовательно, n  A . Случай 2. Пусть u  0 | a  u  n , тогда (а + и)'= а + и'= n', где u  0 . Следовательно, выполняется второе условие, значит n  A . Случай 3. Пусть v  0 | a  n  v . По теореме 2: св 2 c  N | v  c  a  n  c  n  c . Если с=0, то выполняется первое условие. Если c  0 , то выполняется третье условие. Следовательно, n  A . По аксиоме РЗ: А = N. Т.к. а произвольное, то формула верна. ■ 5. a ,b  N b  0  a  a  b . 4. Умножение на множестве натуральных чисел ● Умножением на множестве натуральных чисел 2 называется отображение р : N  N , причем p(a,b)=a·b и выполняются рекурсивные равенства: ρ1. n  N : n  0  0 ; ρ2. : n , m  N : n  m  n  m  n · ◄ 3  2  3  1'  3  1  3  (3  0' )  3  3  0  3  3  6 . ► Свойства 1р. a  N : 0  a  0 . ■ Будем доказывать формулу индукцией по а. Пусть A  n  N | 0  n  0 . Для доказательства теоремы достаточно показать, что А = N. 1p Имеем 0  A , так как 0  0  0 . Предположим, что n  A , т.е. 0  n  0 . Тогда n  A . Действительно, p2 П .И . S1 0  n  0  n  0  0  0  0 .По аксиоме РЗ: А = N. 2р. a  N : a  0  a  0  a  a · Замечание. В дальнейшем будем полагать, что 0'= 1. Зр. a ,b  N a  0  b  0  a  b  0 , т.е. делителей нуля не существует. Теорема 4.1. (законы умножения). Умножение натуральных чисел удовлетворяет следующим законам: 1. Умножение дистрибутивно относительно сложения: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 (𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐 ) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐 ∧ (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑐 + 𝑏 ∙ с); 2. Закон коммутативности: a ,b  N a  b  b  a  ; 3. Закон ассоциативности: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 ((𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐 )); 4. Закон сокращения: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 (𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑏 ⋅ 𝑐 ∧ 𝑐 ≠ 0 → 𝑎 = 𝑏). 5. Отношение порядка ● Бинарным отношением на множестве М называется произвольное (но фиксированное) подмножество a ,b  ρ , то будем ρ  M  M  a ,b| a ,b  M . Если обозначать a ρ b и говорить: «элемент а находится в отношении ρ с элементом b». ● Бинарное отношение ρ на множестве М называется: 1) рефлексивным, если 𝑥𝜌𝑥 для любого xM ; 2) антирефлексивным, если ¬𝑥𝜌𝑥 для любого x  M ; 3) транзитивным, если для любых x , y , z  M из x ρ y и y ρ z следует x ρ z ; 4) антисимметричным, если для любых 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 из x ρ y и y ρ x следует x  y ; 5) симметричным, если для любых x , y  M из x ρ y следует y ρ x ; 6) связным, если для любых x, y  M из x  y следует x ρ y или y ρ x . ● Бинарное отношение ρ на множестве М называется отношением порядка, если ρ транзитивно и антисимметрично, а множество М с заданным на нем отношением порядка ρ называется упорядоченным множеством, обозначается M , ρ  . ● Отношение порядка ρ на множестве М называется отношением линейного порядка, если ρ связно. ● Множество М с заданным на нем отношением линейного порядка называется линейно упорядоченным множеством или цепью. ● Отношение порядка ρ на множестве М называется строгим, если оно антирефлексивно (обозначают <); нестрогим, если оно рефлексивно (обозначают  ). ● Элемент а упорядоченного множества M ,   называется минимальным [максимальным], когда для любого x  M : если x  a , то x  a [для любого x  M если x  a , то x  a ]. aM ● Элемент называется наименьшим [наибольшим], когда для любого x  M : a  x [для любого x  M : a  x ]. Заметим, если линейно упорядоченное множество М имеет наименьший элемент, то он является минимальным. M ,   ● Линейное упорядоченное множество называется вполне упорядоченным множеством, если любое непустое его подмножество имеет наименьший элемент. Определим на множестве N бинарное отношение «  » («меньше или равно») следующим образом. ● Говорят, что натуральное число n «меньше или равно» натуральному числу m, если существует натуральное число k такое, что n+k=m и записывают n  m. Замечание. Инверсное отношение «  » называется отношением «больше или равно». ● Если, a  b и a  b , то говорят, что а «строго меньше» b и записывают a