Теория автоматического управления

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Математическая модель объекта управления (MM OУ) (1) , – вектор состояния; – вектор управлений; – вектор выходных (измеряемых) переменных; – вектор внешних возмущений (неизвестные детерминированные ограниченные в некоторой норме функции времени); , , – вещественные матрицы с постоянными известными элементами. Задача стабилизации: Задача регулирования: Задача слежения: Основные типы обратной связи 1) – весь вектор состояния измеряется (статическая обратная связь по состоянию); 2) или – динамическая обратная связь по состоянию; 3) – статическая обратная связь по выходу; 4) – комбинированное управление – вектор состояний; – вектор управлений; • весь вектор состояний измеряется; • внешние возмущения отсутствуют ; • элементы матриц постоянны и известны. Задача 1. Синтез статической обратной связи по состоянию , обеспечивающей асимптотическую устойчивость замкнутой системы : Этапы решения I этап. Анализ разрешимости задачи, т.е. исследование ММ ОУ на предмет управляемости (стабилизируемости). В случае отрицательного ответа требуется аппаратная доработка (ввод дополнительных управлений или перекрестных связей). II этап. Если система управляема (стабилизируема), то с учетом технологии процесса и цели управления вырабатываются требования к показателями качества переходных и установившихся процессов регулируемых переменных. III этап. Синтез обратной связи, т.е. выбор функциональной зависимости из допустимого множества и ее параметров. Управляемость. Критерий управляемости Определение управляемости (на физическом уровне). Система называется управляемой, если ее можно перевести из произвольного начального состояния в любое другое за конечное время с помощью допустимого управления. Матрица управляемости системы имеет вид: , , , , Ранговый критерий управляемости (Рудольф Калман). Система управляема тогда и только тогда, когда матрица управляемости имеет максимальный ранг n: . При этом пару называют управляемой, – область управляемости. Если , то система частично управляема. Модальное управление Статическая линейная обратная связь: , – матрица коэффициентов усиления Если система управляема, ее параметры известны, то в замкнутой системе можно обеспечить желаемое расположение корней характеристического уравнения , – единичная матрица. Множество всех собственных чисел матрицы называется ее спектром: Устойчивая (гурвицева) матрица: все собственные значения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости: . Задача модального управления – выбор : – заданный спектр , и . Заданный спектр обуславливает определенные корневые показатели качества переходных процессов, которым должна удовлетворять проектируемая система в процессе стабилизации. (минимальное из расстояний до мнимой оси) – запас устойчивости, (максимальное расстояние до мнимой оси) – быстрота протекания процесса; (максимальное относительное значение ) – колебательность. Прямой метод решения задачи модального управления – выбор : С ростом возникают вычислительные трудности («проклятье размерности»). В управляемых системах со скалярным управлением существует единственная матрица , обеспечивающая заданный спектр матрицы замкнутой системы. В системах с векторным управлением матрица имеет бесконечное множество реализаций. Основная проблема при синтезе модального управления: . Система называется элементарной, если и . В элементарной системе (, ) задача имеет прямое решение: . Для системы вводится невырожденное линейное преобразование , , , , , преобразования подобия , , и – подобные матрицы Преобразованная система:() 1. Инвариантность свойства управляемости к невырожденным линейным преобразованиям: ранги матриц управляемости исходной и преобразованной систем равны: 2. Инвариантность корней характеристического уравнения к невырожденным линейным преобразованиям: характеристические полиномы (и, следовательно, спектры) матриц исходной и преобразованной системы равны: , т.е. . , . Каноническая форма управляемости. Критерий стабилизируемости Для частично управляемых систем , вводится каноническая форма управляемости – управляемое подпространство, пара управляема, Невырожденное линейное преобразование , столбцы – линейно независимых столбцов матрицы управляемости , столбцы формируются из нулей и единиц так, чтобы . Если система управляема, то она стабилизируема , обратное неверно. Критерий стабилизируемости. Для того чтобы линейная стационарная частично управляемая система была стабилизируема, необходимо и достаточно, чтобы матрица в канонической форме управляемости была устойчива. Управляемая Форма Луенбергера (Devid Luenberger) Решение задачи модального на основе перехода к УФЛ : – эталонный полином Выбор коэффициентов обратной связи . Закон управления в терминах исходной системы: , Домашнее задание № 1 Синтез модального управления в линейной стационарной системе со скалярным управлением на основе перехода к управляемой форме Луенбергера Для системы , , , выполнить следующие расчеты: 1) проверить критерий управляемости; 2) составить характеристический полином матрицы и получить представление исходной системы в управляемой форме Луенбергера; 3) для заданного спектра составить эталонный характеристический полином; сформировать обратную связь в терминах канонической системы; 4) найти матрицу перехода к управляемой форме Луенбергера; 5) формализовать закон управления в терминах исходной системы; сделать проверку. Провести моделирование в среде MATLAB–SIMULINK. Представить: 6) структурную схему замкнутой системы в терминах MATLAB–SIMULINK; 7) графики , , для расчетного случая. Численный пример , , , 1. Проверяем выполнение критерия управляемости. 1.1. Вычислим компоненты матрицы управляемости и составим ее: , , . 1.2. (). Вывод: система управляема, может быть приведена к управляемой форме Луенбергера. 2. Составим характеристический полином матрицы А: (разложение по третьему столбцу) , , , . Представление исходной системы в форме Луенбергера: 3. Заданный спектр: , т.е. , , . Эталонный полином По другому (расширенная теорема Виета): , , Желаемый вид замкнутой системы: Обратная связь в терминах канонической системы: , , . , , , . 4. Находим матрицу перехода к УФЛ. Первый способ. Определим компоненты вектора . Решаем СЛАУ: , , : , , . , , . Второй способ. Ищем обратную матрицу где с учетом имеем , . , . Проверка: . 5. Закон управления в терминах исходной системы: , т.е. . Проверка. Составим характеристическое уравнение замкнутой исходной системы с синтезированным управлением: , . Разложим определитель по первой строке: , что отвечает заданному спектру , . УРА! Структурная схема замкнутой системы ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СИСТЕМЫ ММ ОУ , , – известные матрицы. Система называется элементарной, если и , здесь в замкнутой системе можно обеспечить не только заданный спектр, но и заданную матрицу собственных движений Частный случай: и , . , . Общий случай: и (избыток исполнительных устройств): , , – псевдообратная матрица матрицы . СПРАВКА Для , матрица служит псевдообратной, если . Псевдообратная матрица существует, если матрица полного ранга. Если столбцы матрицы линейно независимы, т.е. и , то , где – симметрическая матрица неполного ранга, . Наш случай: если строки матрицы линейно независимы, т.е. и , то , где – симметрическая матрица, . . Уткин В.И., Янг К.Д. Методы построения плоскостей разрыва в многомерных системах с переменной структурой // Автоматика и телемеханика. 1978. №10. С. 72-77. ММ ОУ , , – известные матрицы , , , , РФ – Регулярная Форма относительно управления где , . Если пара управляема, то пара тоже управляема, в верхней подсистеме – фиктивное (виртуальное) управление, нижняя подсистема элементарная, пара очевидно управляема Процедура декомпозиционного синтеза модального управления на основе РФ 1. Получение РФ с выделением элементарной подсистемы. Суть преобразования ММ ОУ к РФ: группировка базисных строк и обнуление линейно зависимых строк матрицы . 1.1. Перестановка (при необходимости) и группировка базисных строк , , , : – матрица перестановок, в каждой строке нули и одна единица, единицы всех строк в разных столбцах. Местоположение единицы (ij): после перестановок на месте координаты будет находиться координата . В преобразовании подобия матрица меняет местами строки, а – соответствующие столбцы. Если матрица перестановок симметрическая, то .Если перестановки строк не требуется, то . Если , то РФ получена, переходим к пункту 2. Если , то переходим к пункту 1.2. 1.2. Обнуление (линейно зависимые строки матрицы ) с помощью невырожденной замены переменных , , , РФ получена. Матрица перехода: , Выбор аннулирующей матрицы : , Частный случай : : Общий случай , . 2. Проверка критерия управляемости на основе РФ Нижняя система элементарная, пара очевидно управляемая, в верхней подсистеме полагается фиктивным управлением для . Если исходная система управляема (стабилизируема), то и верхняя подсистема РФ размерности управляема (стабилизируема) относительно фиктивного управления . Для пары составляем матрицу управляемости , : 1) если , то РФ совпадает с канонической формой управляемости, если , то система стабилизируема; 2) если , то верхняя подсистема частично управляема, ее нужно привести к канонической форме управляемости относительно фиктивного управления и проверить критерий стабилизируемости; 3) если , то верхняя подсистема управляема. Если верхняя подсистема стабилизируема, то управление формируется только для управляемой части. Если верхняя подсистема не стабилизируема, то процедура заканчивается, требуется аппаратная доработка системы. 3. Декомпозиционный синтез модального управления в терминах РФ. Если пара управляема, то задача синтеза модального управления декомпозируется на последовательно решаемые подзадачи меньшей размерности. 3.1. Синтез фиктивного управления. В верхней подсистеме размерности с помощью назначаются собственных чисел. : , , Если , то верхняя подсистема элементарная. В общем случае неэлементарная задача синтеза (в зависимости от размерности) решается либо путем приравнивания ХП замкнутой подсистемы и эталонного полинома, либо путем перехода к управляемой форме Лунбергера (при ) или системе децентрализованного управления (при ). В нижней элементарной подсистеме размерности нужно обеспечить локальную связь с помощью истинного управления, т.е. решить задачу стабилизации невязки (отклонения между реальными и выбранными фиктивными управлениями) и назначить собственных чисел. 3.2. Ввод невязок , , , , , , Замкнутая система: Нам нужны только матрицы нижней подсистемы, полное преобразование подобия можно не выполнять: 3.3. Синтез истинного управления. В нижней элементарной подсистеме размерности назначаются заданных собственных чисел с помощью истинного управления , – заданная матрица собственных движений, , если , , , если Замкнутая система в невязках , ХП . 4. Формализация закона управления в терминах исходной системы: , Домашнее задание № 2 Синтез модального управления на основе регулярной формы относительно управления Для системы (1) с полными измерениями выполнить следующие расчеты: 1) получить регулярную форму относительно управления; 2) на основе регулярной формы проверить критерий управляемости; 3) синтезировать закон модального управления в терминах регулярной формы, обеспечивающий заданный спектр замкнутой системы; 4) формализовать закон управления в терминах исходной системы; сделать проверку (сравнить с полученным в ДЗ1). Численный пример: , . 1. Процедура приведения к РФ. 1.1. Перестановка и группировка базисных строк . , меняем местами вторую и третью строки: , , (аннулирующее преобразование выполнять не надо), сразу получим РФ: РФ Акция благотворительности Вариант 1 – без перестановок: , , , , . Вариант 2 – переставить местами строки 1 и 3: , , , , 2. Проверка критерия управляемости на основе РФ , . 3. Синтез. 3.1. Синтез фиктивного управления. В верхней подсистеме размерности с помощью назначаются 2 числа из заданного спектра , . Эта задача не элементарная, ее можно решить прямым методом: , , . 3.2. Ввод невязок , , , . , , . 3.3. Синтез истинного управления , . 4. Закон управления в терминах исходной системы: , УРА!!! Результат должен совпасть с результатом, полученным в ДЗ1!