Теоретическая механика

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Комсомольск-на-Амуре 2016 Ввение. История науки. 1. Введение Наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел называется механикой. Круг проблем, рассматриваемых в механике, очень велик и с развитием этой науки в ней появился целый ряд самостоятельных областей, связанных с изучением механики твердых деформируемых тел, жидкостей и газов. К этим областям относятся теория упругости, теория пластичности, гидромеханика, аэромеханика, газовая динамика и ряд разделов так называемой прикладной механики, в частности: сопротивление материалов, статика сооружений (строительная механика), теория механизмов и машин, гидравлика, а также многие специальные инженерные дисциплины. Однако во всех этих областях наряду со специфическими для каждой из них закономерностями и методами исследования опираются наряд основных законов или принципов и используют многие понятия и методы, общие для всех областей механики. Рассмотрение этих общих понятий, законов и методов и составляет предмет так называемой теоретической (или общей) механики. Механическим движением называют происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве. Так как состояние покоя есть частный случай механического движения, то в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел. Под механическим взаимодействием понимают те действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация). Примерами механического движения в природе являются движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения и т.п., а в технике – движение различных наземных или водных транспортных средств и летательных аппаратов, движение частей всевозможных машин, механизмов и двигателей, деформация элементов тех или иных конструкций и сооружений, течение жидкости и газов и многое другое. Примерами же механических взаимодействий являются взаимные притяжения материальных тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся (или соударяющихся) тел, воздействия частиц жидкости и газа друг на друга и на движущиеся или покоящиеся в них тела и т.д. Движение материи происходит во времени и пространстве. За пространство, в котором происходит движение тел, принимают «обычное» евклидово трехмерное пространство. Для изучения движения вводят так называемую систему отсчета, понимая под ней совокупность тела отсчета (тела, относительно которого изучается движение других тел) и связанных с ним систем координатных осей и часов. В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тела и что оно одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета (абсолютное время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей, связанных с этим телом. Движение тела происходит в результате действия на движущееся тело сил, вызванных другими телами. При изучении механического движения и равновесия материальных тел знание природы сил необязательно, достаточно знать только их величины. Поэтому в теоретической механике не изучают физическую природу сил, ограничиваясь только рассмотрением связи между силами и движением тела. Теоретическая механика построена на законах И.Ньютона, справедливость которых проверена огромным количеством непосредственных наблюдений, опытной проверкой следствий (зачастую далеких и вовсе не очевидных) из этих законов, а также многовековой практической деятельностью человека. Законы Ньютона справедливы не во всех системах отсчета. В механике постулируется наличие хотя бы одной такой системы (инерциальная система отсчета). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой отсчета (она называется гелиоцентрической или основной инерциальной системой отсчета). В дальнейшем будет показано, что если имеется хотя бы одна инерциальная система отсчета, то их имеется бесчисленное множество (очень часто инерциальные системы отсчета называют неподвижными системами). Во многих задачах за инерциальную систему отсчета принимают систему, связанную с Землей. Ошибки, возникающие при этом, как правило, столь незначительны, что практического значения они не имеют. Но имеются задачи, в которых уже нельзя пренебречь вращением Земли. В этом случае за неподвижную систему отсчета следует принимать введенную гелиоцентрическую систему отсчета. Теоретическая механика является естественной наукой, опирающейся на результаты опыта и наблюдений и использующей математический аппарат при анализе этих результатов. Как во всякой естественной науке, в основе механики лежит опыт, практика, наблюдение. Но наблюдая какое-нибудь явление, мы не можем сразу охватить его во всем многообразии. Поэтому перед исследователем возникает задача выделить в изучаемом явлении главное, определяющее, отвлекаясь (абстрагируясь) от того, что менее существенно второстепенно. В теоретической механике метод абстракции играет очень важную роль. Отвлекаясь при изучении механических движений материальных тел от всего частного, случайного менее существенного, второстепенного и рассматривая только те свойства, которые в данной задаче являются определяющими, мы приходим к рассмотрению различных моделей материальных тел, представляющих ту или иную степень абстракции. Так, например, если отсутствует различие в движениях отдельных точек материального тела или в данной конкретной задаче это различие пренебрежимо мало, то размерами этого тела можно пренебречь, рассматривая его как материальную точку. Такая абстракция приводит к важному понятию теоретической механики – понятию материальной точки, которая отличается от геометрической точки тем, что имеет массу. Материальная точка обладает свойством инертности, как обладает этим свойством тело, и, наконец, она обладает той же способностью взаимодействовать с другими материальными телами, какую имеет тело. Так, например, планеты в их движении вокруг солнца, космические аппараты в их движении относительно небесных тел можно рассматривать в первом приближении как материальные точки. Другим примером абстрагирования от реальных тел является понятие абсолютно твердого тела. Под ним понимается тело, которое сохраняет свою геометрическую форму неизменной, независимо от действий других тел. Конечно, абсолютно твердых тел нет, так как в результате действия сил все материальные тела изменяют свою форму, т.е. деформируются, но во многих случаях деформацией тела можно пренебречь. Например, при расчете полета ракеты мы можем пренебречь небольшими колебаниями отдельных частей ее, так как эти колебания весьма мало скажутся на параметрах ее полета. Но при расчете ракеты на прочность учет этих колебаний обязателен, ибо они могут вызвать разрушение корпуса ракеты. Принимая те или иные гипотезы, следует помнить о пределах их применимости, так как забыв об этом, можно прийти к совершенно неверным выводам. Это происходит тогда, когда условия решаемой задачи уже не удовлетворяют сделанным предположениям и неучитываемые свойства становятся существенными. В курсе при постановке задачи мы всегда будем обращать внимание на те предположения, которые принимаются при рассмотрении данного вопроса. К сожалению, теоретическую механику, изучают и применяют практически лишь инженеры, т.е. знают ориентировочно один из ста человек населения и надо ясно представлять реальную общественную ситуацию: одинаково звучащим словом «теоретический» отражены слишком различающиеся понятия - для подавляющего большинства населения слово «теоретический» имеет широкий диапазон значений, больше с негативным, чем позитивным оттенком. Это нашло отражение в толковых словарях. В [1] читаем: теоретизировать – заниматься теоретическими вопросами, создавать теорию; рассуждать на отвлечённые темы, без пользы для дела; теоретический – не опирающийся на реальность, на практические возможности; теоретичный – отвлечённый, абстрактный, не находящий практического применения. К теоретической механике такие толкования не относятся, а по отношению к её преподавателям и пользователям – обидны, оскорбительны, унизительны. Приходится оправдываться и пояснять, что теоретическая механика – это не уфология с астрологией, не метеорология и даже не физика. Предсказания, основанные на методах теоретической механики, практически достоверны. В высших технических учебных заведениях теоретическая механика делится обычно на три раздела: статику, кинематику и динамику. Эта сложившаяся традиция нашла отражении и в настоящем курсе. В статике изучаются методы преобразования одних совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются условия равновесия, а также определяются возможные положения равновесия. В дальнейшем под равновесием материального тела подразумевается его покой относительно некоторой выбранной системы отсчета, т.е. рассматривается относительное равновесие и покой. В кинематике движение тел рассматривается с чисто геометрической точки зрения, т.е. без учета силовых взаимодействий между телами. Недаром кинематику называют иногда «геометрией движения», включающей, конечно, понятие времени. Основными характеристиками движений в кинематике являются: траектория, пройденный путь, скорость и ускорение движения. В динамике движение тел изучается в связи с силовыми взаимодействиями между телами. Более подробные сведения о задачах статики, кинематики и динамики будут даны в соответствующих разделах курса. Лекция 1. Введение. Основные понятия статики. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы 1. Введение. 2. Элементы векторной алгебры. 3. Основные понятия статики. 4. Аксиомы статики. 5. Связи и их реакции. Изучение этих вопросов необходимо в дальнейшем для изучения центра тяжести, произвольной пространственной системы сил, сил трения скольжения, моментов трения качения, решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов». Введение Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнообразные задачи, связанные с расчетом различных сооружений (зданий, мостов, каналов, плотин и т. п.), с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин, механизмов, двигателей и, в частности, таких объектов, как автомобили, тепловозы, морские и речные суда, самолеты, ракеты, космические корабли и т. п. Несмотря на многообразие всех этих проблем, решения их в определенной части основываются на некоторых общих принципах и имеют общую научную базу. Объясняется это тем, что в названных задачах значительное место занимают вопросы, требующие изучения законов движения или равновесия тех или иных материальных тел. Наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом взаимодействиях между телами называется теоретической механикой. Теоретическая механика представляет собой одну из научных основ современных технических дисциплин. Механикой в широком смысле этого слова называется наука, посвященная решению любых задач, связанных с изучением движения или равновесия тех или иных материальных тел и происходящих при этом взаимодействий между телами. В качестве материальных объектов помимо дискретных тел могут выступать среды – например, жидкость или газ и поля, поэтому круг объектов, изучаемых механикой очень широк. В зависимости от физических свойств этих объектов и их размеров всю механику можно разделить на классическую или ньютонову и неклассическую. Неклассическая механика  это действительно часть физики, в которой исследуются объекты микро- и макромира с учетом пространственно-временной зависимости. Классическая механика имеет дело с объектами, протяженность которых приблизительно и с точностью до нескольких порядков заключена в интервале от 10-10 до 1010 метра. При их изучении свойства пространства и времени можно считать постоянными. Именно такую ньютонову механику мы и будем рассматривать в дальнейшем. В зависимости от особенностей модели реальных объектов классическая механика делится на теоретическую механику  с моделью абсолютно твердого тела и механику сплошной среды с моделью деформируемого тела. Основным методом исследования в механике является гипотетико-дедуктивный. Его суть заключается в выдвижении гипотезы, которая подтверждается или опровергается опытом. Схематически место механики в системе естествознания можно определить так, как показано на рисунке ниже. При этом механика деформируемого тела или механика сплошной среды, образующая ядро этой науки, окружена тремя сегментами, представляющими собой теоретическую механику, неклассическую механику микро- и макромира и прикладную механику, которые примыкают соответственно: к математике, физике и практике в широком смысле этого слова. Под прикладной механикой понимают раздел механики, в котором ее выводы и методы применяют для решения задач проектирования, строительства и эксплуатации сооружений. Этот термин близок к понятиям «техническая» или «строительная» механика. Теоретическая механика представляет собою часть механики, в которой изучаются общие законы движения и взаимодействия материальных тел, т.е. те законы, которые, например, справедливы и для движения Земли вокруг Солнца и для полета ракеты или артиллерийского снаряда и т. п. Под движением в механике мы понимаем механическое движение, т.е. происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве. Механическим взаимодействием между телами называется тот вид взаимодействия, в результате которого происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация). Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия тел, называется в механике силой. Основной задачей теоретической механики является изучение общих законов движения и равновесия материальных тел под действием приложенных к ним сил. По характеру рассматриваемых задач теоретическую механику принято разделять на статику, кинематику и динамику. Статика рассматривает частный случай механического движения, когда оно не зависит от времени – речь идет о рассмотрении равновесия твердого тела, загруженного системой сил и находящегося в состоянии покоя. Кинематика рассматривает внешнюю сторону механического движения независимо от причин, вызвавших его. Это не что иное, как геометрия в четырехмерном пространстве, где время играет роль четвертого измерения. Если известно положение движущейся точки в каждый момент времени, то кинематика позволяет построить ее траекторию и определить такие кинематические параметры, как скорость или ускорение. Динамика исследует общий случай механического движения твердого тела с учетом причин, вызвавших его. Термин «механика» впервые появляется в сочинениях одного из выдающихся философов древности Аристотеля (384—322 до н. э.) и происходит от греческого слова μηχαυή, означающего по современным понятиям «сооружение», «машина», «изобретение» В древние времена, когда запросы производства сводились главным образом к удовлетворению нужд строительной техники, начинает развиваться учение о так называемых простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение о равновесии тел (статика). Обоснование начал статики содержится уже в сочинения одного из великих ученых Архимеда (287 – 212 г. но н. э.). В России на развитие первых исследований по механике большое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя М. В. Ломоносова (1711—1765). Из многочисленных отечественных ученых, внесших значительный вклад в развитие различных областей теоретической механики, прежде всего, должны быть названы: М. В. Остроградский (1801—1861), которому принадлежит ряд важных исследований по аналитическим методам решения задач механики; П. Л. Чебышев (1821—1894), создавший новое направление в исследовании движения механизмов; С. В. Ковалевская (1850—1891), решившая одну из труднейших задач динамики твердого тела; И. В. Мещерский (1859—1935), заложивший основы механики тел переменной массы; К. Э. Циолковский (1857—1935), сделавший ряд фундаментальных открытий в теории реактивного движения; А. Н. Крылов (1863—1945), разработавший теорию корабля и много внесший в развитие теории гироскопических приборов. Выдающееся значение для развития механики имели труды «отца русской авиации» Н. Е. Жуковского (1847—1921) и его ближайшего ученика С. А. Чаплыгина (1869—1942). Характерной чертой в творчестве Н. Е. Жуковского было приложение методов механики к решению актуальных технических задач. Большое влияние идеи Н. Е. Жуковского оказали и на преподавание теоретической механики в высших технических учебных заведениях нашей страны. Стоящая в наши дни перед отечественной наукой и техникой задача непрерывного роста и внедрения в производство новой техники требует дальнейшего повышения качества подготовки инженерных кадров, расширения теоретической базы их знаний. Известную роль в решении этой задачи должно сыграть и изучение одной из научных основ современной техники – теоретической механики. Элементы векторной алгебры В теоретической механике рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие. 1. Понятие вектора. Для определенности рассматриваем прямоугольную декартову систему координат. Вектор - это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением. Операции над векторами. Вектора можно складывать и умножать на число. 𝑎̅ + 𝑏̅ = 𝑐̅ - сумма двух векторов есть вектор α∙𝑎̅ = 𝑏̅ - произведение вектора на действительное число есть вектор 𝑎̅ + 0̅ = 𝑎̅ - существует нулевой вектор Рис.1 В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе. В сумме двух векторов (рис.1,а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора. Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис.1,б) получаем, что суммой нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов. Операции над векторами подчиняются следующим законам (см. рис.2): 𝑎̅ + 𝑏̅ = 𝑏̅ + 𝑎̅ 𝛼 ∙ (𝛽 ∙ 𝑎̅) = (𝛼 ∙ 𝛽) ∙ 𝑎̅ 𝑎̅ + (𝑏̅ + 𝑐̅) + 𝑐̅ = 𝑎̅ + 𝑏 + 𝑐̅ (𝛼 + 𝛽) ∙ 𝑎̅ = 𝛼 ∙ 𝑎̅ + 𝛽 ∙ 𝑎̅ 𝛼 ∙ (𝑎̅ + 𝑏̅) = 𝛼 ∙ 𝑎̅ + 𝛼 ∙ 𝑏̅ Рис.2 0 ∙ 𝑎̅ = 0̅ 2. Правые и левые системы координат. Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую. Рассмотрим декартовы системы координат на плоскости (см. рис. 3). При повороте оси совпадает с осью Oy . Ox правой системы координат на 90о против часовой стрелки она Рис.3 Рис.4 Рассмотрим декартовы системы координат в пространстве (см. рис.4). При повороте оси Ox правой системы координат вокруг оси Oz на 900 против часовой стрелки она совпадает с осью Oy . 3. Длина, проекции и направляющие косинусы вектора. В дальнейшем будем рассматривать правую декартову систему координат. Единичные вектора вдоль осей Ox, Oy и Oz образуют систему единичных (или базисных) векторов. Любой вектор, имеющий начало в точке O, можно представить как сумму 𝑎̅ = 𝑎𝑥 ∙ 𝑖̅ + 𝑎𝑦 ∙ 𝑗̅ + 𝑎𝑧 ∙ 𝑘̅, числа (ax, ay, az) - это проекции вектора 𝑎̅ на оси координат (см. рис.5). Рис.5 Длина (или модуль) вектора 𝑎̅ определяется формулой 𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2 и обозначается a или |𝑎̅|. Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону (см. рис.6). Рис.6 Направляющими косинусами 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾 вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑎𝑦 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑎𝑧 𝑎 Любая точка пространства с координатами (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором 𝑟̅ = 𝑥 ∙ 𝑖̅ + 𝑦 ∙ 𝑗̅ + 𝑧 ∙ 𝑘̅ Координаты (x, y, z) это проекции вектора 𝑟̅ на оси координат. 4. Скалярное произведение двух векторов Имеется два вектора 𝑎̅ и 𝑏̅. 𝑎̅ = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 ), 𝑏̅ = (𝑏𝑥 , 𝑏𝑦 , 𝑏𝑧 ). Рис.7 Результатом скалярного произведения двух векторов 𝑎̅ и 𝑏̅ является скалярная величина (число). Записывается как 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ или (𝑎̅, 𝑏̅). Скалярное произведение двух векторов равно 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = |𝑎̅| ∙ |𝑏̅| ∙ cos(𝛼) Свойства скалярного произведения: 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = 𝑏̅ ∙ 𝑎̅ 𝑎 ̅ ∙ (𝑏̅ + 𝑐̅) = 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 𝑎̅ ∙ 𝑐̅ 𝑎̅ ∙ 𝑎̅ = |𝑎̅|2 ≥ 0 𝑖̅ ∙ 𝑗̅ = 𝑗̅ ∙ 𝑗̅ = 𝑘̅ ∙ 𝑘̅ = 1 𝑖̅ ∙ 𝑗̅ = 𝑖̅ ∙ 𝑘̅ = 0 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = (𝑎𝑥 ∙ 𝑖̅ + 𝑎𝑦 ∙ 𝑗̅ + 𝑎𝑧 ∙ 𝑘̅ ) ∙ (𝑏𝑥 ∙ 𝑖̅ + 𝑏𝑦 ∙ 𝑗̅ + 𝑏𝑧 ∙ 𝑘̅ ) = = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 𝑏𝑧 5. Векторное произведение двух векторов Имеется два вектора 𝑎̅ и 𝑏̅. 𝑎̅ = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 ), 𝑏̅ = (𝑏𝑥 , 𝑏𝑦 , 𝑏𝑧 ). Рис.8 Результатом векторного произведения двух векторов 𝑎̅ и 𝑏̅ является вектор 𝑐̅. Записывается как 𝑎̅ × 𝑏̅ или [𝑎̅, 𝑏̅.]. Векторное произведение двух векторов это вектор𝑐̅, перпендикулярный к обоим этим векторам, и направленный так, чтобы с его конца поворот вектора 𝑎̅ к вектору 𝑏̅ был виден против часовой стрелки. Длина (или модуль) векторного произведения равна |𝑎̅ × 𝑏̅| = |𝑎̅| ∙ |𝑏̅| ∙ sin(𝛼). Свойства векторного произведения: 𝑎̅ × 𝑏̅ = −𝑏̅ × 𝑎̅ 𝑎̅ × (𝑏̅ + 𝑐̅) = 𝑎̅ × 𝑏̅ + 𝑎̅ × 𝑐̅ (𝛼 ∙ 𝑎̅) × 𝑏̅ = 𝛼 ∙ (𝑎̅ × 𝑏̅) 𝑎 ̅ × 𝑎̅ = 0 𝑎̅ ∙ (𝑎̅ × 𝑏̅) = 0 Векторное произведение двух векторов вычисляется через их проекции следующим образом: 𝑖̅ ̅ 𝑐̅ = 𝑎̅ × 𝑏 = |𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑗̅ 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑘̅ 𝑎𝑦 𝑎𝑧 | = | 𝑏𝑦 𝑏𝑧 𝑎𝑧 𝑎𝑧 𝑏𝑧 | ∙ 𝑖̅ + |𝑏𝑧 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑏𝑥 | ∙ 𝑗̅ + |𝑏𝑥 𝑎𝑦 ̅ 𝑏𝑦 | ∙ 𝑘 = = (𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑦 ) ∙ 𝑖̅ + (𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑧 ) ∙ 𝑗̅ + (𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑥 ) ∙ 𝑘̅ 𝑐𝑥 = (𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑦 ) 𝑐𝑦 = (𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑧 ) 𝑐𝑧 = (𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑥 ) Основные понятия статики Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил. Твердое тело. В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не деформируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано. Материальной точкой будет называться абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь. Исследованием движения нетвердых тел – упругих, пластичных, жидких, газообразных, занимаются другие науки (сопротивление материалов, теория упругости, гидродинамика и т.д.). Под равновесием будем понимать состояния покоя тела по отношению к другим материальным телам. Основные понятия: 1. Величина, являющаяся количественной материальных тел, называется в механике силой. мерой механического взаимодействия В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах (Н), килоньютонах (кН). Сила является величиной векторной. Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы (рис.9). Например, будем прикладывать к стулу одну и ту же по модулю силу F. При приложении силы сверху вниз стул остается в состоянии покоя; при положении силы снизу вверх - стул поднимается; изменим направление нагружения, приложим силу горизонтально к спинке стула - стул опрокинется. Так как во всех случаях направление и место приложения силы различны, то и результат действия силы на стул разный, несмотря на то, что модуль силы F во всех случаях одинаков. Рис.9 1.2. Силу, как и другие векторные величины, изображают в виде направленного отрезка со стрелкой на конце, указывающей его направление. Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Понятия «линия действия» и «направление» близки, но не тождественны. Очевидно, что по линии действия можно определить направление с точностью до противоположного. Аналогично связаны понятия «модуль» и «величина» для вектора. В тексте вектор силы обозначается латинскими буквами 𝐹̅ , 𝑅̅ , 𝑃̅ и др., с черточками над ними. Если черточки нет, значит у силы известна только ее численная величина - модуль. Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перенести по линии действия в любую точку тела (конечно – твердого тела). Поэтому вектор силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим. 2. Совокупность сил, действующих на какое-нибудь твердое тело, будем называть системой сил. 3. Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным. 4. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными. Например, если системы сил, изображенных на рис. 9.1, а и рис. 9.1, б, уравновешены, то эти две системы сил будут эквивалентны друг другу. Рис.9.1. Система сил: а – заданная система сил; б – эквивалентная система сил 5. Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю. 6. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая - это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело. Так как система сил F1 и F2 эквивалентна одной силе R (рис. 9.1, б), то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Силы F1 и F2 в свою очередь могут называться составляющими силы R. 7. Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой. 8. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга. 9. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными. Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил. В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равнодействующую сил тяжести его частиц. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела. Аксиомы статики. Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике. Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1 = F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 10). Рис.10 Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может. Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил. Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу. Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела. Рис.11 В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила 𝐹̅ (рис.11). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы 𝐹̅1 и 𝐹̅2 , такие, что 𝐹̅1 = 𝐹̅ , 𝐹̅2 = −𝐹̅ . От этого действие силы 𝐹̅ на тело не изменится. Но силы 𝐹̅ и 𝐹̅2 согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело. Будет действовать только одна сила 𝐹̅1 , равная 𝐹̅ , но приложенная в точке В. Таким образом, вектор, изображающий силу 𝐹̅ , можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим). Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Вектор 𝑅̅, равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах 𝐹̅1 и 𝐹̅2 (рис.12), называется геометрической суммой векторов 𝐹̅1 и 𝐹̅2 : 𝑅̅ = 𝐹̅1 + 𝐹̅2 . Рис.12 3. Величина равнодействующей 𝑅 = √𝐹12 + 𝐹22 + 2𝐹1 𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝛼. Конечно, 𝑅 ≠ 𝐹1 + 𝐹1 . Такое равенство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной прямой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то 𝑅 = √𝐹12 + 𝐹22 . Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке. Аксиома 4 (принцип противодействия). При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие. Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой 𝐹̅ , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой 𝐹̅ = −𝐹̅ (рис. 13). Однако силы 𝐹̅ и 𝐹̅ ′ не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам. Эта аксиома соответствует третьему закону Ньютона: действие всегда равно и противоположно противодействию. При этом необходимо помнить, что в аксиоме 4 рассматривается случай, когда силы приложены к разным телам и в этом случае система сил не является уравновешенной в отличие от случая действия сил в аксиоме 2. Рис.13 Этот принцип утверждает, что в природе не существует односторонних явлений. На рис. 13.1 изображена балка, опирающаяся на стены концами А и В. Для выявления сил действия и противодействия отделим балку от стен. Тогда силы действия балки на стену выражаются силами DA и DB, приложенными к стенам, а силы противодействия - силами RA и RB, приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями. . Рис. 13.1. Опирание балки на опоры: а – схема загружения балки; б – силы действия балки на опоры и противодействия со стороны опор на балку Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым). Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, но не достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным. Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и т. д. Аксиома 6 (аксиома связей). Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей (пояснения к этой аксиоме в следующем параграфе). Приведенные принципы и аксиомы положены в основу методов решения задач статики. Все они широко используются в инженерных расчетах. Связи и их реакции. По определению, тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве, называется свободным (например, воздушный шар в воздухе). Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, будем называть связью. Например, тело лежащее на столе – несвободное тело. Связью его является плоскость стола, которая препятствует перемещению тела вниз. Очень важен так называемый принцип освобождаемости, которым будем пользоваться в дальнейшем. Записывается он так. Любое несвободное тело можно сделать свободным, если связи убрать, а действие их на тело заменить силами, такими, чтобы тело оставалось в равновесии. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем ила иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи. Так у тела, лежащего на столе, связь – стол. Тело несвободное. Сделаем его свободным – стол уберем, а чтобы тело осталось в равновесии, заменим стол силой, направленной вверх и равной, конечно, весу тела. Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Когда связь одновременно препятствует перемещениям тела по нескольким направлениям, направление реакции связи также наперед неизвестно и должно определяться в результате решения рассматриваемой задачи. Если в качестве физического тела рассматривать какой-либо элемент инженерного сооружения (балка, ферма, колонна, плита и т. п.), который передает давление на опоры, то реакции опор (связей) называют опорными реакциями. Реакции связей носят вторичное происхождение, они возникают как противодействие другим силам. Все силы, кроме реакции связей, называют заданными силами. Термин «заданные силы» имеет глубокий смысл. Заданные силы чаще всего являются активными, т.е. силами, которые могут вызвать движение тел, например: сила тяжести, снеговая или ветровые нагрузки и т.п. Учитывая сказанное выше, будем подразделять силы на активные силы и реакции связей. Одна из главных задач статики твердого тела - нахождение реакции связей. Для определения реакции связей необходимо найти величину этой реакции, линию и направление ее действия. Линия действия реакции обычно проходит через точку касания тела и связи. Численное значение реакции определяется расчетом, а направление реакции зависит от вида (конструкции) связи. Для определения направления реакции необходимо установить особенности взаимодействия твердого тела со связями различного вида. Следует иметь в виду, что реакция всегда направлена противоположно направлению возможного перемещения тела при удалении связи. Рассмотрим, как направлены реакции некоторых основных видов связей. 1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис.14,а). Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 14,б), то реакция направлена по нормали к другой поверхности. Если поверхности не гладкие, надо добавить еще одну силу – силу трения 𝐹̅тр , которая ̅ в сторону, противоположную возможному направлена перпендикулярно нормальной реакции 𝑁 скольжению тела. Рис.14 Рис.15 Рис.16 2. Нить (гибкие связи). Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис.15), не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению AM. Поэтому реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити от тела к точке ее подвеса. Если даже заранее можно догадаться, что реакция направлена к телу, все равно ее надо направить от тела. Таково правило. Оно избавляет от лишних и ненужных предположений и, как убедимся далее, помогает установить сжат стержень или растянут. 3. Цилиндрический шарнир (подшипник). Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром; осевая линия болта называется осью шарнира. Тело АВ, прикрепленное шарниром к опоре D (рис.16,а), может поворачиваться как угодно вокруг оси шарнира (в плоскости чертежа); при этом конец А тела не может переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному к оси шарнира. Поэтому реакция R цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т.е. в плоскости Аху. Для силы R в этом случае наперед не известны ни ее модуль R, ни направление (угол 𝛼). 4. Шаровой шарнир и подпятник. Этот вид связи закрепляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. Примерами таких связей служат шаровая пята, с помощью которой прикрепляется фотоаппарат к штативу (рис.16,б) и подшипник с упором (подпятник) (рис. 16,в). Реакция R шарового шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве. Для нее наперед неизвестны ни модуль реакции R, ни углы, образуемые ею с осями х, у, z. Рис.17 5. Стержень. Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень АВ, закрепленный на концах шарнирами (рис.17). Примем, что весом стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Тогда на стержень будут действовать только две силы приложенные в шарнирах А и В. Но если стержень АВ находится в равновесии, то по аксиоме 1 приложенные в точках А и В силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. вдоль оси стержня. Следовательно, нагруженный на концах стержень, весом которого по сравнению с этими нагрузками можно пренебречь, работает ̅ только на растяжение или на сжатие. Если такой стержень является связью, то реакция 𝑁 стержня будет направлена вдоль оси стержня. 6. Подвижная шарнирная опора (рис.17.1). Это устройство представляет собой опорный элемент (подшипник), внутри которого вращается палец (ось) шарнира. Такая опора не препятствует вращению вокруг оси, но препятствует движению тела в любом направлении в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Реакция 𝑅⃗ такой опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры. На схемах эту связь изображают так, как показано на рис. 17.1. Рис.17.1. Шарнирно подвижная опора: а – вид катковой опоры; б – расчетная схема шарнирно-подвижных опор 7. Неподвижная шарнирная опора (рис.18). Реакция R шарнирно-неподвижной опоры расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные составляющие Rx и Ry, соответствующие направлению выбранных осей (рис. 18, а). В строительной механике шарнирно-неподвижную опору изображают в виде двух шарнирных стержней пересекающихся в точке опоры (рис.18, б) или шарнира (рис 18, в). При решении задач будем реакцию 𝑅̅ изображать ее составляющими 𝑅̅𝑦 и 𝑅̅𝑥 по направлениям осей координат. Если мы, решив задачу, найдем 𝑅̅𝑦 и 𝑅̅𝑥 , то тем самым будет определена и реакция 𝑅̅; по модулю R= √𝑅𝑦2 + 𝑅𝑥2 . Рис.18. Шарнирно-неподвижная опора: а – вид шарнирно-неподвижной опоры; б, в – расчетные схемы шарнирно-неподвижных опор Способ закрепления, показанный на рис.18, употребляется для того, чтобы в балке не возникало дополнительных напряжений при изменении ее длины от изменения температуры или от изгиба. 8. Неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка (рис.19, а). Это соединение исключает возможность каких-либо перемещений абсолютного твердого тела. Балка, изображенная на рис.19, а, жестко заделана в стену в точке А. Перемещению ее в вертикальном направлении, препятствует реакция Ry, перемещению в горизонтальном направлении препятствует реакция Rx и повороту вокруг точки А - опорный момент МА. Характерным для данной опоры является наличие опорного момента сил, исключающего вращение тела вокруг любой оси. Схематическое изображение такой опоры в теоретической механике показано на рис. 1.9, б. Если под такую балку где-нибудь в точке В подвести еще одну опору, то балка станет статически неопределимой. С помощью указанных опорных связей сооружения прикрепляются к фундаментам или отдельные элементы соединяются между собой. Рис. 19. Жесткая заделка: а – вид жесткой заделки; б – расчетная схема жесткой заделки При определении реакций связи других конструкций надо установить, разрешает ли она двигаться вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и вращаться вокруг этих осей. Если препятствует какому-либо движению – показать соответствующую силу, если препятствует вращению – пару с соответствующим моментом. Иногда приходится исследовать равновесие нетвердых тел. При этом будем пользоваться предположением, что если это нетвердое тело находится в равновесии под действием сил, то его можно рассматривать как твердое тело, используя все правила и методы статики. Связи, как и другие понятия, встречающиеся в аксиомах, являются абстракциями, весьма условно отражающими свойства реальных объектов. Например, рассмотренная выше гибкая невесомая нить может быть моделью подвесных и вантовых систем, у которых масса погонного метра троса составляет десятки и сотни килограммов. Однако усилия, возникающие в таких тросах, во столько раз больше их собственного веса, что при расчете последним можно пренебречь, считая их невесомыми. Пример 1. На невесомую трехшарнирную арку действует горизонтальная сила 𝐹̅ (рис.20). Определить линию действия реакции 𝑅̅𝐴 (реакции связи в точке А). Решение: Рассмотрим правую часть арки отдельно. В точках В и С приложим силы реакции связей 𝑅̅𝐵 и 𝑅̅𝐶 . Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы 𝑅̅𝐵 и 𝑅̅𝐶 равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны. Таким образом, направление силы 𝑅̅𝐶 нам известно (вдоль линии ВС). Рис.20 Рассмотрим левую часть арки отдельно. В точках А и С приложим силы реакции связей 𝑅̅𝐵 и 𝑅̅𝐶′ . Сила 𝑅̅𝐶′ = −𝑅̅𝐶 , действие равно противодействию. На тело действуют три силы, направления двух сил (𝐹̅ и 𝑅̅𝐶′ .) известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке. Следовательно, сила 𝑅̅𝐴 направлена вдоль линии AD. Пример 2. Однородный стержень закреплен шарнирно в точке А и опирается на гладкий цилиндр. Определить линию действия реакции 𝑅̅𝐴 (реакции связи в точке А). Рис.21 Решение: Так как стержень однородный, то равнодействующая сил тяжести (сила 𝑃̅), действующих на стержень, приложена в его геометрическом центре (точка С). Так как стержень ̅) в точке касания (точка D) направлена опирается на гладкую поверхность, то реакция связи (сила 𝑁 ̅ и 𝑃̅.) по нормали к этой поверхности. На тело действуют три силы, направления двух сил (𝑁 известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке. Следовательно, сила 𝑅̅𝐴 направлена вдоль линии AЕ. Лекция 2. Равновесие системы сил. Пара сил. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы 1. Проекция силы на ось и на плоскость. 2. Геометрический способ сложения сил. 3. Равновесие системы сходящихся сил. 4. Момент силы относительно центра или точки. 5. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. 6. Пара сил. 7. Момент пары. 8. Свойства пар. 9. Сложение пар. 10. Теорема о параллельном переносе силы. 11. Приведение плоской системы сил к данному центру. 12. Условия равновесия произвольной плоской системы сил. 13. Случай параллельных сил. 14. Равновесие плоской системы параллельных сил. 15. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил. 16. Понятие о распределенной нагрузке. 17. Расчет составных систем. Статически определимые и статически неопределимые задачи. 18. Графическое определение опорных реакций. 19. Решение задач. Изучение этих вопросов необходимо в дальнейшем для изучения центра тяжести, произвольной пространственной системы сил, сил трения скольжения, моментов трения качения, решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов». Проекция силы на ось и на плоскость. Перейдем к рассмотрению аналитического (численного) метода решения задач статики. Этот метод основывается на понятии о проекции силы на ось. Как и для всякого другого вектора, проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус если в отрицательном. Из определения следует, что проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу. Этим удобно пользоваться при вычислении проекции силы на ось, не лежащую в одной плоскости с силой. Рис. 1 Обозначать проекцию силы 𝐹̅ на ось Ох будем символом Fx. Тогда для сил, изображенных на рис.1, получим: 𝐹𝑥 = 𝐴𝐵1 = 𝑎𝑏, 𝑄𝑥 = −𝐸𝐷1 = −𝑒𝑑. Но из чертежа видно, что 𝐴𝐵1 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝐸𝐷1 = 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽 = −𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼1 . Следовательно, 𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑄𝑥 = −𝑄𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼1 , т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси - острый, и отрицательной, если этот угол - тупой; если сила перпендикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю. Рис.2 Проекцией силы 𝐹̅ на плоскость Оху называется вектор 𝐹𝑥𝑦 = 𝑂𝐵1 , заключенный между проекциями начала и конца силы 𝐹̅ на эту плоскость (рис. 2). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Оху. По модулю 𝐹𝑥𝑦 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃, где 𝜃 — угол между направлением силы 𝐹̅ и ее проекции 𝐹𝑥𝑦 . В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 2, найдем таким способом, что 𝐹𝑥 = 𝐹𝑥𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝐹𝑦 = 𝐹𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 Геометрический способ сложения сил. Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным вектором этой системы сил. Понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил. Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил 𝐹̅1 , 𝐹̅2 , 𝐹̅3 , … , 𝐹̅𝑛 (рис. 3, a), откладываем от произвольной точки О (рис. 3, б) вектор Oa, изображающий в выбранном масштабе cилу F1, от точки a откладываем вектор ̅̅̅ 𝑎𝑏, изображающий силу F2, от точки b откладываем вектор bc, изображающий силу F3 и т. д.; от конца m предпоследнего вектора откладываем вектор mn, изображающий силу Fn. Соединяя начало первого вектора с концом ̅̅̅̅ = 𝑅̅ , изображающий геометрическую сумму или главный вектор последнего, получаем вектор 𝑂𝑛 слагаемых сил: 𝑅̅ = 𝐹̅1 + 𝐹̅2 + ⋯ + 𝐹̅𝑛 или 𝑅̅ = ∑ 𝐹̅𝑘 . От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление 𝑅̅ не зависят. Легко видеть, что проделанное построение представляет собою результат последовательного применения правила силового треугольника. Рис.3 Фигура, построенная на рис. 3,б, называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником. Таким образом, геометрическая сумма или главный вектор нескольких сил изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного из этих сил (правило силового многоугольника). При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника), а у вектора 𝑅̅ - в сторону противоположную. Равнодействующая сходящихся сил. При изучении статики мы будем последовательно переходить от рассмотрения более простых систем сил к более сложным. Начнем с рассмотрения системы сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называемой центром системы (см. рис. 3, а). По следствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 3, а в точке А). Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, приходим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Следовательно, если силы 𝐹̅1 , 𝐹̅2 , 𝐹̅3 , … , 𝐹̅𝑛 сходятся в точке A (рис. 3, а), то сила, равная главному вектору 𝑅̅, найденному построением силового многоугольника, и приложенная в точке А, будет равнодействующей этой системы сил. Примечания. 1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник  отличный от первого. 2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова. 3. Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил. Равновесие системы сходящихся сил. Из законов механики следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инерции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела. Отсюда получаем два важных вывода: 1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции». 2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил. Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме. 1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая 𝑅̅ сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то 𝑅̅ может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда многоугольник замкнется. Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут. 2. Аналитические условия равновесия. сходящихся сил определяется формулой Аналитически равнодействующая системы 𝑅 = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 + 𝑅𝑧2 . Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно 𝑅𝑥 = 0, 𝑅𝑦 = 0, 𝑅𝑧 = 0, т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам: ∑ 𝐹𝑘𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑘𝑦 = 0, ∑ 𝐹𝑘𝑧 = 0. Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю. Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия ∑ 𝐹𝑘𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑘𝑦 = 0, Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил. Теорема о трех силах. Уравновешенная плоская система трех непараллельных сил является сходящейся. Условие «плоская» в формулировке теоремы не является необходимым  можно убедиться, что любая уравновешенная система трех сил всегда будет плоской. Это следует из условий равновесия произвольной пространственной системы сил, которые будут рассмотрены далее. Пример 1. На рис.4 показаны три силы. Проекции сил 𝐹̅1 и 𝐹̅2 на оси х, у, z очевидны: 𝑋1 = −𝐹1 ; 𝑌1 = 0; 𝑍1 = 0; 𝑋2 = 𝐹2 𝑠𝑖𝑛𝛼; 𝑌2 = 0; 𝑍2 = −𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝛼. 4. Рис.4 А чтобы найти проекцию силы 𝐹̅3 на ось х нужно использовать правило двойного проектирования. Проектируем силу сначала на плоскость хОу, в которой расположена ось (рис.4), получим вектор 𝐹̅𝑥𝑦 , величиной 𝐹𝑥𝑦 = 𝐹3 𝑠𝑖𝑛𝛽, а затем его проектируем на ось х: 𝑋3 = −𝐹𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠𝛾 = −𝐹3 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾. Аналогично действуя, найдём проекцию на ось у: 𝑌3 = −𝐹𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛𝛾 = −𝐹3 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛾. Проекция на ось z находится проще: 𝑍3 = 𝐹3 𝑐𝑜𝑠𝛽. Нетрудно убедиться, что проекции сил на ось V равны: 𝑉1 = 𝐹1 𝑐𝑜𝑠𝛾; 𝑉2 = −𝐹2 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾; 𝑉3 = 𝐹𝑥𝑦 cos(1800 − 2𝛾) = −𝐹3 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛾. При определении этих проекций удобно воспользоваться рис.5, видом сверху на расположение сил и осей. Рис.5 Вернёмся к системе сходящихся сил (рис. 6). Проведём оси координат с началом в точке пересечения линий действия сил, в точке О. ̅𝑖 . Спроектируем это векторное равенство на Мы уже знаем, что равнодействующая сил 𝑅̅ = ∑ 𝐹 ̅ оси. Получим проекции равнодействующей 𝑅 на оси x, y, z: 𝑅𝑥 = ∑ 𝑋𝑖 , 𝑅𝑦 = ∑ 𝑌𝑖 , 𝑅𝑧 = ∑ 𝑍𝑖 . Они равны алгебраическим суммам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействующей, можно определить и величину её как диагональ прямоугольного параллелепипеда 𝑅 = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 + 𝑅𝑧2 или 𝑅 = √(∑ 𝑋𝑖 )2 + (∑ 𝑌𝑖 )2 + (∑ 𝑍𝑖 )2 . Направление вектора 𝑅̅ найдём с помощью направляющих косинусов (рис.6): 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑅𝑥 , 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑅𝑦 , 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑅𝑧 . 𝑅 Рис.6 Пример 2. На шар, вес которого Р, лежащий на горизонтальной плоскости и привязанный к ней нитью АВ, действует сила F (рис.7). Определим реакции связей. Рис.7 Следует сразу заметить, что все задачи статики решаются по одной схеме, в определённом порядке. Продемонстрируем ее на примере решения этой задачи. 1. Надо выбрать (назначить) объект равновесия – тело, равновесие которого следует рассмотреть, чтобы найти неизвестные. В этой задаче, конечно, объект равновесия – шар. 2. Построение расчётной схемы. Расчётная схема – это объект равновесия, изображённый отдельно, свободным телом, без связей, со всеми силами, действующими на него: реакциями и остальными силами. ̅ (рис.7). Кроме них на шар Показываем реакцию нити 𝑆̅ и нормальную реакцию плоскости – 𝑁 ̅ ̅ действуют заданные силы 𝐹 и 𝑃. 3. Надо установить какая получилась система сил и составить соответствующие уравнения равновесия. Здесь получилась система сходящихся сил, расположенных в плоскости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно): ∑ 𝑋𝑖 = 0; −𝐹 + 𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0, ∑ 𝑌𝑖 = 0; −𝑃 + 𝑁 − 𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0. 4. Решаем систему уравнений и находим неизвестные. 𝑆= 𝐹 , 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑁 = 𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑃 = 𝐹𝑡𝑔𝛼 + 𝑃. По условию задачи требовалось найти давление шара на плоскость. А мы нашли реакцию плоскости на шар. Но, по определению следует, что эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз. Пример 3. Тело весом Р прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис.8). Определим усилия в стержнях. Рис.8 В этой задаче объект равновесия – узел С вместе с грузом. Он нарисован отдельно с реак̅̅̅2 , 𝑆 ̅̅̅3 , и весом 𝑃̅. Силы образуют пространственную систему циями, усилиями в стержнях 𝑆̅1 , 𝑆 сходящихся сил. Составляем три уравнения равновесия: ∑ 𝑋𝑖 = 0; 𝑆2 𝑐𝑜𝑠600 − 𝑆3 𝑐𝑜𝑠600 = 0; ∑ 𝑌𝑖 = 0; −𝑆1 − 𝑆2 𝑐𝑜𝑠300 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 − 𝑆3 𝑐𝑜𝑠300 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 = 0; ∑ 𝑍𝑖 = 0; 𝑆2 𝑐𝑜𝑠300 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 + 𝑆3 𝑐𝑜𝑠300 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 = 0. Из первого уравнения следует: S2 = S3. Тогда из третьего: 𝑆2 = 𝑆3 = 𝑃/2𝑐𝑜𝑠300 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 = 2𝑃/√6, а из второго: 𝑆1 = −2𝑆2 𝑐𝑜𝑠300 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 = −𝑃. Когда мы направляли усилие в стержне от узла, от объекта равновесия, предполагали, что стержни работают на растяжение. Усилие в стержне CD получилось отрицательным. Это значит – стержень сжат. Так что знак усилия в стержне указывает как работает стержень: на растяжение или на сжатие. Пример 4. Определить реакции стержней, соединенных шарниром В, если к нему подвешен груз весом Q (рис.9,а). Решение. В соответствии с предложенным выше планом выбираем тело, равновесие которого мы будем рассматривать. Этот выбор, в основном, определяется условиями задачи. Если в этой задаче рассмотреть равновесие подвешенного груза, то мы сумеем найти только силу натяжения нити, которая равна весу тела: T = Q (рис.9,б). Чтобы определить реакции стержней, рассмотрим равновесие точки В. Можно считать, что к ней посредством нити приложена активная сила Q и реакции отброшенных стержней SA и SC (рис.9,в). Решим эту задачу аналитически. Выбирая начало отсчета в точке В, составим уравнения равновесия, которые примут вид: SA cosα + SC cosβ = 0; SA sinα + SC sinβ = Q. Чтобы найти отсюда SC сложим полученные уравнения, умножив предварительно первое из них на sinα, а второе – на cosα: SC (sinαcosβ + cosα sinβ) = Q cosα. Отсюда следует, что SC = Q cosα/sin(α+β), а поскольку α и β в эти уравнения входят симметрично, то SA = Q cosβ/sin(α+β). Для проверки правильности аналитического решения задачи воспользуемся графическим методом. Треугольник, образованный из трех сил: Q, SA и SC должен быть замкнут, поэтому решение сводится к построению треугольника по известной стороне (Q) и направлению двух других сторон (SA и SC). Для этого нужно в масштабе построить вектор Q, а затем из начала и из конца этого вектора провести прямые, параллельные SA и SC до их пересечения (рис.9,г). Измерив длины найденных отрезков и пересчитав в масштабе, можно считать поставленную задачу решенной. Направление полученных векторов определяется из условия замкнутости силового многоугольника, то есть конец последнего вектора должен совпадать с началом первого. Рис.9 Можно, впрочем, определить величину SA и SC и без масштабной линейки, если просто решить построенный треугольник. С этой целью воспользуемся теоремой синусов: 𝑄 𝑆𝐴 𝑆𝑐 = = , 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) 𝑠𝑖𝑛(𝜋⁄2 − 𝛽) 𝑠𝑖𝑛(𝜋⁄2 − 𝛼) откуда, заменяя синус дополнительного угла косинусом, получим: 𝑆𝐴 = 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽 ; 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) 𝑆𝑐 = 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼 . 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) То есть, результат графического решения совпадает с аналитическим, значит задача решена правильно. Пример 5. Центр невесомого идеального блока удерживается при помощи двух стержней, соединенных шарнирно в точке В. Через блок переброшена нить, один конец которой закреплен, а к другому – подвешен груз весом Q (рис.10,а). Определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока. Решение. Рассмотрим равновесие блока В, к которому приложены силы натяжения нитей Т1 и Т2 и реакции отброшенных стержней SA и SС, которые, как и в предыдущем примере мы считаем растянутыми (рис.10,б). Фактически в качестве активной силы выступает вес груза Q, который приложен к блоку с помощью нити, поэтому Т1 = Q. По поводу силы Т2 надо отметить, что идеальным – то есть без трения блоком называется механизм, который меняет направление силы натяжения нити, но не ее величину, поэтому Т1 = Т2 = Q. Пренебрегая размерами блока, получим уравновешенную систему сходящихся сил, приложенных в точке В (рис.10,в). Определим реакции SA и SС аналитически. Отметим, что если в первое из аналитических уравнений равновесия входят оба неизвестных, то в уравнение ΣYi = 0 неизвестная реакция SС не войдет, поэтому имеет смысл начать решение задачи именно с этого уравнения: SAcos30°+ Т2 cos60° Т1 = 0. Подставляя сюда значения тригонометрических функций и Т1 = Т2 = Q, получим: 𝑆𝐴 √3 𝑄 = , 2 2 Откуда 𝑆𝐴 = 𝑄 √3 . 3 Теперь вернемся к уравнению ΣXi = 0:  SAcos60°+ Т2 cos30°+ SС = 0, или 𝑆𝑐 = 𝑆𝐴 √3 −𝑄 . 2 2 Подставив найденное выше значение SA, получим: 𝑆𝑐 = 𝑄 √3 √3 √3 −𝑄 = −𝑄 . 6 2 3 При этом минус в последнем выражении означает, что стержень ВС не растянут, как мы предполагали, а сжат. Для проверки полученного результата решим эту задачу графически. С этой целью от центра О последовательно откладываем в масштабе известные силы Т1 и Т2, затем от начала первого и от конца последнего вектора проводим прямые, параллельные SA и SС до их пересечения (рис.10,г). Рис.10 Нетрудно видеть, что построенный силовой многоугольник имеет ось симметрии и |SA|=|SС|. При этом направление вектора SС на силовом многоугольнике противоположно первоначальному направлению, указанному на чертеже, то есть стержень ВС не растянут, а сжат. Примечания. 1. В системе аналитических уравнений равновесия оси координат не обязательно должны быть взаимно перпендикулярными, поэтому, если в последнем примере выбрать ось Ох, совпадающую по направлению с силой Т2 , мы получим систему уравнений, из которых неизвестные SA и SС находятся независимо одно от другого. 2. Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение можно проверить не только с помощью графического решения, но и аналитически. Впрочем, для системы сходящихся сил изложенный метод решения задач является, по-видимому, оптимальным. Момент силы относительно центра (или точки). Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом. Рассмотрим силу 𝐹̅ , приложенную в точке А твердого тела (рис. 11). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О. Перпендикуляр h, опущенный из центра O на линию действия силы 𝐹̅ , называется плечом силы 𝐹̅ относительно центра О. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть: 1) от модуля силы F и длины плеча h; 2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силу F; 3) от направления поворота к этой плоскости. Рис.11 Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается. Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы 𝐹̅ относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча. Момент силы 𝐹̅ относительно центра О будем обозначать символом m0(F). Следовательно, 𝑚0 (𝐹̅ ) = ±𝐹ℎ. В дальнейшем условимся считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и знак минус, - если по ходу часовой стрелки. Так, для силы 𝐹̅ , изображенной на рис.20,а, момент относительно центра О имеет знак плюс, а для силы, показанной на рис.20,б, - знак минус. Отметим следующие свойства момента силы: 1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия. 2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю). 3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью треугольника ОАВ (рис. 20,б) 𝑚0 (𝐹̅ ) = ±2пл∆𝑂𝐴𝐵 Этот результат следует из того, что 1 1 пл∆𝑂𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 ∙ ℎ = 𝐹ℎ. 2 2 Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. Докажем следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра. Рис.12 Рассмотрим систему сил 𝐹̅1 , ̅̅̅ 𝐹2 , … , 𝐹̅𝑛 , сходящихся в точке А (рис.12). Возьмем произвольный центр О и проведем через него ось Ох, перпендикулярную к прямой ОА; положительное направление оси Ох выбираем так, чтобы знак проекции любой из сил на эту ось совпадал со знаком ее момента относительно центра О. ̅̅̅2 ), Для доказательства теоремы найдем соответствующие выражения моментов m0(𝐹̅1 ), m0(𝐹 … . По формуле 𝑚0 = (𝐹̅1 ) = +2пл. ∆𝑂𝐴𝐵1 . Но, как видно из рисунка, 2пл. ∆𝑂𝐴𝐵1 = 𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝑏 = 𝑂𝐴 ∙ 𝐹1𝑥 , где F1x - проекция силы 𝐹̅1 на ось Ох; следовательно 𝑚0 (̅̅̅ 𝐹1 ) = 𝑂𝐴 ∙ 𝐹1𝑥 . Аналогично вычисляются моменты всех других сил. ̅̅̅2 , … , 𝐹̅𝑛 , через 𝑅̅, где 𝑅̅ = ∑ 𝐹̅𝑘 . Тогда, по теореме о Обозначим равнодействующую сил 𝐹̅1 , 𝐹 проекции суммы сил на ось, получим 𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑘𝑥 . Умножая обе части этого равенства на ОА, найдем: 𝑂𝐴 ∙ 𝑅𝑥 = ∑(𝑂𝐴 ∙ 𝐹𝑘𝑥 ) или, 𝑚0 (𝑅̅ ) = ∑ 𝑚0 (̅̅̅ 𝐹𝑘 ). Пара сил. Момент пары. Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по величине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис.13). Очевидно, 𝐹1 = 𝐹2 , ̅̅̅2 и 𝐹̅1 + ̅̅̅ 𝐹̅1 = −𝐹 𝐹2 = 0. Рис.13 Несмотря на то, что сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары: 𝑚 = 𝐹1 ∙ 𝑎 = 𝐹2 ∙ 𝑎. Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары. Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент её считается положительным (как на рис.13), если по часовой стрелке – отрицательным. Для того, чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором. Вектор момента пары 𝑚 ̅ направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 14). Нетрудно доказать, что вектор момента пары 𝑚 ̅ = 𝑟̅ × 𝐹̅1 – есть вектор этого векторного произведения (рис. 14). И заметим, что он равен вектору момента силы 𝐹̅1 относительно точки А, точки приложения второй силы: ̅𝐴 (𝐹̅1 ). 𝑚 ̅ =𝑀 О точке приложения вектора 𝑚 ̅ будет сказано ниже. Пока приложим его к точке А. Рис.14 Свойства пар 1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил. 2) Найдём сумму моментов сил 𝐹̅1 и 𝐹̅2 оставляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис.15). Рис.15 Покажем радиусы-векторы точек А1 и А2 и вектор 𝑟̅ , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О ̅0 (𝐹̅1 , ̅̅̅ ̅̅̅2 ) = 𝑟̅1 × 𝐹̅1 + 𝑟̅2 × ̅̅̅ 𝑀 𝐹2 ) = ̅̅̅̅ 𝑀0 (𝐹̅1 ) + ̅̅̅̅ 𝑀0 (𝐹 𝐹2 .. ̅0 (𝐹̅1 , ̅̅̅ Но 𝑟̅1 = 𝑟̅2 + 𝑟̅ . Поэтому 𝑀 𝐹2 ) = (𝑟̅2 + 𝑟̅ ) × 𝐹̅1 + 𝑟̅2 × ̅̅̅ 𝐹2 = 𝑟̅2 × (𝐹̅1 + ̅̅̅ 𝐹2 ) + 𝑟̅ × 𝐹̅1 . Но 𝐹̅1 + ̅̅̅ 𝐹2 = 0, а ̅𝑟 × 𝐹̅1 = 𝑚 ̅. Значит ̅̅̅̅ 𝑀0 (𝐹̅1 , ̅̅̅ 𝐹2 ) = 𝑚 ̅. Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары. Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, равный моменту этой пары 𝑚 ̅. Поэтому можно сформулировать ещё два свойства. 3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость. 4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах F1=F2=5 H и плече а = 4 см момент пары m = 20 H∙см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см. При этом момент останется прежним 20 Нсм и действие пары на тело не изменится. Все эти свойства можно объединить и, как следствие, сделать вывод, что пары с одинаковым вектором момента 𝑚 ̅ и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны. Исходя из этого, на расчётных схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом пишут величину момента m (рис.15.1). Или, если это пространственная конструкция, показывают только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит вектор момента пары 𝑚 ̅ – свободный вектор. Такое упрощенное изображение оправдано тем, что пара сил характеризуется моментом, а не ее положением в плоскости. Но если необходимо определять не внешние силы, а внутренние в разных сечениях элемента, как это делается в сопротивлении материалов, то важен знак и место приложения пары сил. F1 А М= F2 Х h2 М= F1 Х h1 h1 F1 О С h1 h2 = 2h1 h2 В F2 =F1 /2 F1 F2 =F1 /2 F2 Рис.15.1. Эквивалентные пары сил . И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары равен вектору момента одной из сил её относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z – есть проекция вектора момента пары 𝑚 ̅ на эту ось: 𝑚𝑧 = 𝑚 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾, где 𝛾 – угол между вектором 𝑚 ̅ и осью z. Сложение пар. Пусть даны две пары с моментами m1 и m2, расположенные в пересекающихся плоскостях (рис.16). Сделаем у пар плечи одинаковыми, равными а = АВ. Тогда модули сил, образующих первую пару, должны быть равны: 𝐹1 = 𝐹1′ = 𝑚1 /𝑎, а образующих вторую пару: 𝐹2 = 𝐹2′ = 𝑚2 /𝑎. ̅̅̅2 . И расположены они в своих плоскостях Эти пары показаны на рис.16, где ̅̅̅ 𝐹1′ = −𝐹̅1 , ̅̅̅ 𝐹2′ = −𝐹 так, что плечи пар совпадают с прямой АВ на линии пересечения плоскостей. Рис.16 Сложив силы, приложенные к точкам А и В, построением параллелограммов, получим их ̅̅̅𝐴̅, то эти силы ̅𝑅̅̅𝐴̅ и ̅̅̅̅ равнодействующие ̅̅̅̅ 𝑅𝐵 = 𝐹̅1 + ̅̅̅ 𝐹2 и ̅𝑅̅̅𝐴̅ = ̅̅̅ 𝐹1′ + ̅̅̅ 𝐹2′ . Так как ̅̅̅̅ 𝑅𝐵 = −𝑅 𝑅𝐵 будут ̅̅̅̅ образовывать пару, момент которой 𝑚 ̅ = 𝑎̅ × 𝑅𝐵 , где 𝑎̅ – радиус-вектор точки В, совпадающий с АВ. Так как 𝑅̅𝐵 = 𝐹̅1 + 𝐹̅2 , то момент полученной пары 𝑚 ̅ = 𝑎̅ × (𝐹̅1 + 𝐹̅2 ) = 𝑎̅ × 𝐹̅1 + 𝑎̅ × 𝐹̅2 = 𝑚 ̅1 + 𝑚 ̅ 2. Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, получится пара сил. Момент её будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар. При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоскостях, получим пару с моментом 𝑚 ̅ = ∑𝑚 ̅𝑖. Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоскости перпендикулярной вектору 𝑚 ̅. Равенство нулю результирующей пары будет означать, что пары, действующие на тело, уравновешиваются. Следовательно, условие равновесия пар ∑𝑚 ̅ 𝑖 =0. Это является необходимым и достаточным условием равновесия систем пар. Если пары расположены в одной плоскости, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно определить как алгебраическую сумму моментов пар. Рис.17 Например, пары, показанные на рис.17, расположены в одной плоскости и моменты их: m1=2 Hсм , m2=5 Hсм, m3=3 Hсм. Пары уравновешиваются, потому что алгебраическая сумма их моментов равна нулю: ∑𝑚 ̅ 𝑖 = 𝑚1 − 𝑚2 + 𝑚3 = 2 − 5 + 3 = 0 Пример 6. Определить опорные реакции рамы, загруженной системой пар (рис.18). Рис.18 Решение. Заменим систему пар, приложенных к раме, результирующей парой по формуле: MR = M1  M2 + M3 = 3  4 + 7 = 6 кНм. Из условия равновесия систем пар ∑ 𝑚 ̅ 𝑖 =0 следует, что активную пару MR , приложенную к раме, может уравновесить только пара сил, образованных опорными реакциями, поэтому линия действия RA должна быть параллельной RВ и MR + M (RA, RВ) = 0, откуда RA = RВ = MR /d , где d = 6cos30°= 3√3 м  плечо пары (RA, RВ). Итак, RA = RВ = 6/(3√3) = (2√3)/3 м. Теорема о параллельном переносе силы. Одной из основных задач, решаемых статикой, является замена одной системы сил другой – эквивалентной ей. Такая процедура позволяет все многообразие систем сил свести к простейшим каноническим системам, классифицировать их и получить уравнения равновесия, необходимые для решения практических задач. Ключевую роль в проведении таких преобразований систем сил играет следующая теорема, называемая Лемма Пуансо. Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью аксиомы параллелограмма сил. Для двух параллельных сил эта задача была решена путем приведения их к сходящимся силам. Очевидно, что аналогичную задачу легко будет решить и для произвольной системы сил, если найти и для них метод приведения к силам, приложенным в одной точке. Ранее мы установили, что вектор силы можно переносить по линии действия в любую точку тела. Попробуем силу 𝐹̅ (рис. 19) перенести в какую-нибудь точку О, не расположенную на линии действия. Рис.19 Приложим к этой точке две уравновешивающиеся силы 𝐹̅ ′ и 𝐹̅ ′′ , параллельные силе 𝐹̅ и равные ей по величине: 𝐹 ′ = 𝐹 ′′ = 𝐹 В результате получим силу 𝐹̅ ′ = 𝐹̅ , приложенную к точке О. То есть мы как бы перенесли заданную силу 𝐹̅ из точки А в точку О, но при этом появилась пара, образованная силами 𝐹̅ и 𝐹̅ ′′ . ̅0 (𝐹̅ ), равен моменту заданной силы 𝐹̅ относительно точки О. Момент этой пары 𝑚 ̅ = 𝑟̅ × 𝐹̅ = 𝑀 Этот процесс замены силы 𝐹̅ равной ей силой 𝐹̅ ′ и парой называется приведением силы к точке О. Точка О называется точкой приведения; сила 𝐹̅ ′ , приложенная к точке приведения, – приведённой силой. Появившаяся пара – присоединённой парой. Приведение плоской системы сил к данному центру. Пусть на твердое тело действует какая-нибудь система сил 𝐹̅1 , 𝐹̅2 , … , 𝐹̅𝑛 , лежащих в одной плоскости. Возьмем в этой плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и, перенесем все силы в центр О (рис. 20, а). В результате на тело будет действовать система сил 𝐹̅1′ = 𝐹̅1 , 𝐹̅2′ = 𝐹̅2 , … , 𝐹̅𝑛′ = 𝐹̅𝑛 приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны: 𝑚1 = 𝑚0 (𝐹̅1 ), 𝑚2 = 𝑚0 (𝐹̅2 ), 𝑚𝑛 = 𝑚0 (𝐹̅𝑛 ) Рис.20 Силы, приложенные в центре О, можно заменить одной силой 𝑅̅, приложенной в том же центре; при этом 𝑅̅ = ∑ 𝐹̅𝑘′ или 𝑅̅ = ∑ 𝐹̅𝑘 Точно так же, по теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой пары 𝑀0 = ∑ 𝑚𝑘 или 𝑀0 = ∑ 𝑚0 (𝐹̅𝑘 ). Величина 𝑅̅, равная геометрической сумме всех сил системы, называется, как известно, главным вектором системы; величину Мо, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра О, будем называть главным моментом системы относительно центра О. В результате мы доказали следующую теорему: всякая плоская система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом М0, равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 20, в). Примечания: 1. Для плоской системы сил под главным моментом системы часто также понимают величину этого момента. 2. Очевидно, что главный вектор R0 не зависит, а главный момент M0 зависит от выбора центра приведения. Частные случаи приведения плоской системы сил. В зависимости от значений главного вектора R0 и главного момента M0 возможны следующие случаи приведения плоской системы сил. 1) R0 =0, M0 =0  система сил находится в равновесии; 2) R0 =0, M0 ≠0  система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения; 3) R0 ≠0, M0 =0  система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R0 , линия действия которой проходит через центр приведения: R = R0 , R~R0 ; 4) R0 ≠ 0, M0 ≠0  система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R0, ее линия действия проходит на расстоянии d = |M0|/ R0 от центра приведения (рис.20, б). Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия: R = 0, M0 = 0. Здесь О - любая точка плоскости. Из этого условия следуют уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, которые можно записать в трех различных формах: 1) Первая форма: ΣMA = 0; ΣX = 0; ΣY = 0. 2) Вторая форма: ΣMA = 0; ΣMB = 0; ΣY = 0, где ось Oy неперпендикулярна отрезку АВ. 3) Третья форма: ΣMA = 0; ΣMB = 0; ΣMС = 0, где точки А, В и С не лежат на одной прямой. Равенства выражают, следующие аналитические условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю. Теорема о трех моментах. Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю. ∑ 𝑀𝐴 (𝐹̅𝑖 ) = 0; ∑ 𝑀𝐵 (𝐹̅𝑖 ) = 0, ∑ 𝑀𝐶 (𝐹̅𝑖 ) = 0. Равновесие плоской системы параллельных сил. В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, мы можем направить ось Ох перпендикулярно к силам, а ось Оу параллельно им (рис. 21). Тогда проекция каждой из сил на Ox будет равна нулю и первое из 3-х равенств обратится в тождество вида 0 = 0. В результате для параллельных сил останется два условия равновесия: ∑ 𝐹𝑘𝑦 = 0, ∑ 𝑚0 (𝐹̅𝑘 ) = 0 . Где ось Оу параллельна силам. Рис.21 Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил. Пусть даны две параллельные силы 𝐹1 и 𝐹2 , направленные в одну сторону и приложенные к точкам 𝐴1 и 𝐴2 (рис.22). Рис.22 Конечно, величина их равнодействующей 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 . Вектор её параллелен силам и направлен в ту же сторону. С помощью теоремы Вариньона найдём точку приложения равнодействующей – точку С. По этой теореме 𝑀𝐶 (𝑅⃗ ) = ∑ 𝑀𝐶 (𝐹𝑖 ). Значит 0 = 𝐹1 ∙ 𝐴1 𝐶 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹2 ∙ 𝐴2 𝐶 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼. Отсюда 𝐴1 𝐶 𝐴2 𝐶 𝐹 = 𝐹2. 1 То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками A1 и A2 на части обратно пропорциональные силам. Если параллельные силы направлены в противоположные стороны (рис.23), то аналогично можно доказать, что равнодействующая по величине будет равна разности сил: 𝑅 = 𝐹2 − 𝐹1 (если 𝐹2 > 𝐹1 ), параллельна им, направлена в сторону большей силы и расположена за большей силой – в 𝐴 𝐶 𝐹 точке С. А расстояния от точки С до точек приложения сил обратно пропорциональны силам: 𝐴1 𝐶 = 𝐹2 2 1 Рис.23 Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей расположена на одной прямой с точками A1 и A2, точками приложения сил, то, при повороте этих сил в одну сторону на одинаковый угол, равнодействующая также повернётся вокруг точки приложения С в том же направлении, и останется параллельной им. Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельных сил. Конечно, если хотя бы одну из сил перенести по своей линии действия в другую точку, то и точка приложения равнодействующей, центр параллельных сил, тоже переместится по линии действия. Следовательно, положение центра параллельных сил зависит от координат точек приложения сил. Центром нескольких параллельных сил, найденный последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку С, радиус-вектор которой определяется формулой 𝑟𝑐 = ∑ 𝐹𝑖 𝑟𝑖 / ∑ 𝐹𝑖 = ∑ 𝐹𝑖 𝑟𝑖 /𝑅 , (1) где 𝑟𝑖 - радиусы-векторы точек приложения сил; 𝑅 = ∑ 𝐹𝑖 – величина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил (знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным). Используя (1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил. Если радиусы-векторы откладывать из начала координат, то проекции радиусов-векторов точек на оси будут равны их координатам. Поэтому, проектируя векторное равенство (1) на оси, получим 𝑥𝑐 = ∑ 𝐹𝑖 𝑥𝑖 ; 𝑅 𝑦𝑐 = ∑ 𝐹𝑖 𝑦𝑖 ; 𝑅 𝑧𝑐 = ∑ 𝐹𝑖 𝑧𝑖 𝑅 где 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 – координаты точек приложения сил. Понятие о распределенной нагрузке. Наряду с рассмотренными выше сосредоточенными силами строительные конструкции и сооружения могут подвергаться воздействию распределенных нагрузок – по объему, по поверхности или вдоль некоторой линии – и определяемых ее интенсивностью. Примером нагрузки, распределенной по площади, является снеговая нагрузка, давление ветра, жидкости или грунта. Интенсивность такой поверхностной нагрузки имеет размерность давления и измеряется в кН/м2 или килопаскалях (кПа = кН/м2). При решении задач очень часто встречается нагрузка, распределенная по длине балки. Интенсивность q такой нагрузки измеряется в кН/м. Рассмотрим балку, загруженную на участке a, b распределенной нагрузкой, интенсивность которой изменяется по закону q= q(x). Для определения опорных реакций такой балки нужно заменить распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной. Это можно сделать по следующему правилу: Рассмотрим частные случаи распределенной нагрузки. а) общий случай распределенной нагрузки (рис.24) Рис.24 q(x) - интенсивность распределенной силы [Н/м], 𝑑𝑅 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 - элементарная сила. l – длина отрезка Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности q(x) эквивалентна сосредоточенной 𝑙 силе 𝑅 = ∫0 𝑞(𝑥)𝑑𝑥 . Сосредоточенная сила прикладывается в точке С (центре параллельных сил) с координатой 𝑙 𝑥𝐶 = ∫ 𝑥𝑞(𝑥)𝑑𝑥 /𝑅 б) постоянная интенсивность распределенной нагрузки (рис.25) Рис.25 𝑙 𝑅 = ∫ 𝑞0 𝑑𝑥 = 𝑞0 ∙ 𝑙 𝑙 ∫ 𝑥𝑞0 𝑑𝑥 = 𝑞0 ∙ 𝑙 2 /2 𝑥𝐶 = 𝑙/2 в) интенсивность распределенной нагрузки, меняющаяся по линейному закону (рис.26) Рис.26 𝑙 𝑅 = ∫ 𝑞0 𝑥𝑑𝑥 = 𝑞0 ∙ 𝑙 2 /2 𝑙 𝑅 = ∫ 𝑞0 𝑥𝑑𝑥 = 𝑞0 ∙ 𝑙 2 /2 𝑥𝐶 = 2 ∙ 𝑙/3 Расчет составных систем. Под составными системами будем понимать конструкции, состоящие из нескольких тел, соединенных друг с другом. Прежде, чем переходить к рассмотрению особенностей расчета таких систем, введем следующее определение. Статически определимыми называются такие задачи и системы статики, для которых число неизвестных реакций связей не превышает максимально допустимого числа уравнений. Если число неизвестных больше числа уравнений, соответствующие задачи и системы называются статически неопределимыми. При этом разность между числом неизвестных и числом уравнений называется степенью статической неопределимости системы. Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных реакций связи. В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных реакций связи. Поясним это на следующих примерах. 1. Пусть центр невесомого идеального блока (пример 4) удерживается при помощи не двух, а трех стержней: АВ, ВС и BD и нужно определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока. С учетом условий задачи мы получим систему сходящихся сил, где для определения трех неизвестных: SA, SC и SD можно составить по-прежнему систему только двух уравнений: ΣX = 0, ΣY=0. Очевидно, поставленная задача и соответствующая ей система будут статически неопределимыми. 2. Балка, жестко защемленная на левом конце и имеющая на правом конце шарнирнонеподвижную опору, загружена произвольной плоской системой сил (рис.27). Для определения опорных реакций можно составить только три уравнения равновесия, куда войдут 5 неизвестных опорных реакций: XA, YA, MA, XB и YB. Поставленная задача будет дважды статически неопределимой. Такую задачу нельзя решить в рамках теоретической механики, предполагая рассматриваемое тело абсолютно твердым. Рис.27 Вернемся к изучению составных систем, типичным представителем которых является трехшарнирная рама (рис. 28,а). Она состоит из двух тел: AC и BC, соединенным ключевым шарниром C. На примере этой рамы рассмотрим два способа определения опорных реакций составных систем. 1 способ. Рассмотрим тело AC, загруженное заданной силой Р, отбросив в соответствии с аксиомой 7 все связи и заменив их соответственно реакциями внешних (XA, YA) и внутренних (XC, YC) связей (рис. 28,б). Аналогично можно рассмотреть равновесие тела BC под действием реакций опоры В  (XB, YB) и реакций в соединительном шарнире C  (XC’, YC’) , где в соответствии с аксиомой 5: XC = XC’, YC = YC’. Для каждого из этих тел можно составить три уравнения равновесия, таким образом, общее число неизвестных: XA, YA , XC =XC’, YC =YC’, XB , YB равняется суммарному числу уравнений, и задача является статически определимой. Напомним, что по условию задачи требовалось определить только 4 опорные реакции, нам же пришлось проделать дополнительную работу, определяя реакции в соединительном шарнире. В этом и заключается недостаток данного способа определения опорных реакций. 2 способ. Рассмотрим равновесие всей рамы АВС, отбросив только внешние связи и заменив их неизвестными опорными реакциями XA, YA, XB , YB . Полученная система состоит из двух тел и не является абсолютно твердым телом, поскольку расстояние между точками А и В может изменяться вследствие взаимного поворота обеих частей относительно шарнира С. Тем не менее можно считать, что совокупность сил, приложенных к раме АВС образует систему, если воспользоваться аксиомой отвердевания (рис.28,в). Рис.28 Итак, для тела АВС можно составить три уравнения равновесия. Например: ΣMA = 0; ΣX = 0; ΣY = 0. В эти три уравнения войдут 4 неизвестных опорных реакции XA, YA, XB и YB . Отметим, что попытка использовать в качестве недостающего уравнения, например такое: ΣMВ = 0 к успеху не приведет, поскольку это уравнение будет линейно зависимым с предыдущими. Для получения линейно независимого четвертого уравнения необходимо рассмотреть равновесие другого тела. В качестве него можно взять одну из частей рамы, например  ВС. При этом нужно составить такое уравнение, которое содержало бы «старые» неизвестные XA, YA, XB , YB и не содержало новых. Например, уравнение: ΣX(ВС) = 0 или подробнее: XС’ + XB = 0 для этих целей не подходит, поскольку содержит «новое» неизвестное XС’, а вот уравнение ΣMС(ВС) = 0 отвечает всем необходимым условиям. Таким образом, искомые опорные реакции можно найти в следующей последовательности: ΣMA = 0; → YB = Р/4; ΣMВ = 0; → YА = Р/4; ΣMС(ВС) = 0; → XB = Р/4; ΣX = 0; → XА = 3Р/4. Для проверки можно использовать уравнение: ΣMС(АС) = 0 или, подробнее: YА∙2 + XА∙2 + Р∙1 = Р/4∙2 3Р/4∙2 + Р∙1 = Р/2  3Р/2 + Р = 0. Отметим, что в это уравнение входят все 4 найденные опорные реакции: XА и YА  в явной форме, а XB и YB  в неявной, поскольку они были использованы при определении двух первых реакций. Графическое определение опорных реакций. Во многих случаях решение задач можно упростить, если вместо уравнений равновесия или в дополнение к ним непосредственно использовать условия равновесия, аксиомы и теоремы статики. Соответствующий подход и получил название графического определения опорных реакций. Прежде чем перейти к рассмотрению графического метода отметим, что, как и для системы сходящихся сил, графически можно решить только те задачи, которые допускают аналитическое решение. При этом графический метод определения опорных реакций удобен при небольшом числе нагрузок. Итак, графический метод определения опорных реакций основан главным образом на использовании:  аксиомы о равновесии системы двух сил;  аксиомы о действии и противодействии;  теоремы о трех силах;  условия равновесия плоской системы сил. При графическом определении реакций составных систем рекомендуется следующая последовательность рассмотрения:  выбрать тело с минимальным числом алгебраических неизвестных реакций связей;  если таких тел два или больше, то начать решение с рассмотрения тела, к которому приложено меньшее число сил;  если таких тел два или больше, то выбрать тело, для которого большее число сил известно по направлению. Лекция 3. Расчет ферм. Трение скольжения и качения. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы 1. Расчет ферм. 2. Понятие о ферме. 3. Аналитический расчет плоских ферм. 4. Графический расчет плоских ферм. 5. Трение. 6. Законы трения скольжения. 7. Реакции шероховатых связей. 8. Угол трения. 9. Равновесие при наличии трения. 10. Трение качения и верчения. 11. Момент силы относительно центра как вектор. 12. Момент пары сил как вектор. 13. Момент силы относительно оси. 14. Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси. 15. Приведение пространственной системы сил к данному центру. 16. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. 17. Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил. Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов». Расчет ферм. Понятие о ферме. Аналитический расчет плоских ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферма называется плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм, без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов n связаны соотношением k=2n-3 Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях. Опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело. Перейдем к определению усилий в стержнях. Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов фермы. Ход расчетов поясним на конкретном примере. Рис.23 Рассмотрим изображенную на рис. 23,а ферму, образованную из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников; действующие на ферму силы параллельны оси х и равны: F1 = F2 = F3 = F = 2. В этой ферме число узлов n = 6, а число стержней k = 9. Следовательно, соотношение выполняется и ферма является жесткой, без лишних стержней. Составляя уравнения равновесия для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как показано на рисунке, и численно равны; XA=3F=6H YA=N=3/2F=3H Переходим к определению усилий в стержнях. Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни — арабскими. Искомые усилия будем обозначать S1 (в стержне 1), S2 (в стержне 2) и т. д. Отрежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями от остальной фермы. Действие отброшенных частей стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям S1, S2, ... Изображаем сразу все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая, все стержни растянутыми (рис. 23, а; изображенную картину надо представлять себе для каждого узла так, как это показано на рис. 23, б для узла III). Если в результате расчета величина усилия в каком-нибудь стержне получится отрицательной, это будет означать, что данный стержень не растянут, а сжат. Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, ни рис. 23 не вводам, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня 1, равны численно S1, вдоль стержня 2 — равны S2 и т. д. Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последовательно уравнения равновесия ∑ 𝐹𝑘𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑘𝑦 = 0. Начинаем с узла 1, где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия. Составляя уравнения равновесия для узла 1, получим F1+S2cos450=0, N+S1+S2sin450=0. Отсюда находим 𝑆2 = −𝐹√2 = −2,82𝐻, 𝑆1 = −𝑁 − 𝑆2 √2 2 =− 𝐹 2 = −1𝐻 Теперь, зная S1, переходим к узлу II. Для него уравнения равновесия дают S3+F2=0, S4-S1=0, откуда S3=-F=-2H, S4=S1=-1H. Определив S4, составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла III, а затем для узла IV. Из этих уравнений находим: 𝑆5 = −𝑆4 √2 = 1,41𝐻, 𝑆6 = 𝑆8 = −3𝐻, 𝑆7 = 0. Наконец, для вычисления S9 составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось By. Получим YA+S9cos450=0 откуда 𝑆9 = −3√2 = −4,23𝐻 Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла VI можно составить как поверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равновесия всей фермы в целом при определении N, ХА, и YА. Окончательные результаты расчета можно свести в таблицу: № стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Усилие в Н -1 -2,82 -2 -1 +1,41 -3 0 -3 -4,23 Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стержни сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой, стержень). Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обнаруживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную к упомянутым двум стержням. Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неизвестных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений. Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилие, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие. Графический расчет плоских ферм. Расчет фермы методом вырезания узлов может производиться графически. Для этого сначала, определяют опорные реакции. Затем, последовательно отсекая от фермы каждый из ее узлов, находят усилия в стержнях, сходящихся в этих узлах, строя соответствующие замкнутые силовые многоугольники. Все построения проводятся в масштабе, который должен быть заранее выбран. Расчет начинают с узла, в котором сходятся два стержня (иначе не удастся определить неизвестные усилия). Рис.24 В качестве примера рассмотрим ферму, изображенную на рис. 24, а. В этой ферме число узлов n = 6, а число стержней k = 9. Следовательно, соотношение выполняется и ферма является жесткой, без лишних стержней. Опорные реакции 𝑅⃗4 и 𝑅⃗5 для рассматриваемой фермы, изображаем наряду с силами 𝐹1 , 𝐹2 и 𝐹3 , как известные. Определение усилий в стержнях начинаем с рассмотрения стержней, сходящихся в узле I (узлы нумеруем римскими цифрами, а стержни - арабскими). Мысленно отрезав от этих стержней остальную часть фермы, отбрасываем ее действие отброшенной части также мысленно заменяем силами 𝑆1 и 𝑆2 , которые должны быть направлены вдоль стержней 1 и 2. Из сходящихся в узле I сил 𝑅⃗5 , 𝑆1 и 𝑆2 строим замкнутый треугольник (рис. 24, б). Для этого изображаем сначала в выбранном масштабе известную силу 𝑅⃗5 , а затем проводим через ее начало и конец прямые, параллельные стержням 1 и 2. Таким путем будут найдены силы 𝑆1 и 𝑆2 , действующие на стержни 1 и 2. Затем рассматриваем равновесие стержней, сходящихся в узле II. Действие на эти стержни отброшенной части фермы мысленно заменяем силами 𝑆1 , 𝑆2 , и 𝑆4 , направленными вдоль соответствующих стержней; при этом сила 𝑆1 нам известна, так как по равенству действия и противодействия 𝑆1 = −𝑆1. Построив из сил, сходящихся в узле II, замкнутый треугольник (начиная с силы 𝑆1 ), найдем величины S3 и S4 (в данном случае S4 = 0). Аналогично находятся усилия в остальных стержнях. Соответствующие силовые многоугольники для всех узлов показаны на рис. 24, б. Последний многоугольник (для узла VI) строится для проверки, так как все входящие в него силы уже найдены. Из построенных многоугольников, зная масштаб, находим величины всех усилий. Знак усилия в каждом стержне определяется следующим образом. Мысленно вырезав узел по сходящимся в нем стержням (например, узел III), прикладываем к обрезам стержней найденные силы (рис. 25); сила, направленная от узла (𝑆5 на рис. 25), растягивает стержень, а сила, направленная к узлу (𝑆3 и 𝑆6 на рис. 25) сжимает его. Рис.25 Согласно принятому условию растягивающим усилиям приписываем знак «+», а сжимающим - знак «-». В рассмотренном примере (pиc. 25) стержни 1, 2, 3, 6, 7, 9 сжаты, а стержни 5, 8 растянуты. Трение. Почему звучит скрипичная струна, когда по ней ведут смычком? Ведь смычок движется, а колебания струны периодические. А как разгоняется автомобиль, и какая сила замедляет его при торможении? Почему автомобиль «заносит» на скользкой дороге? Ответы на все эти и многие другие важные вопросы, связанные с движением тел, дают законы трения. Вы видите, как разнообразно и порой неожиданно проявляется трение в окружающей нас обстановке. Трение принимает участие, и притом весьма существенное, там, где мы о нём даже и не подозреваем. Если бы трение внезапно исчезло из мира, множество обычных явлений протекало бы совершенно иным образом. Очень красочно пишет о роли трения французский физик Гильом: «Всем нам случалось выходить в гололедицу; сколько усилий стоило нам удерживаться от падения, сколько смешных движений приходилось нам проделать, чтобы устоять! Это заставляет нас признать, что обычно земля, по которой мы ходим, обладает драгоценным свойством, благодаря которому мы сохраняем равновесие без особых усилий. Та же мысль возникает у нас, когда мы едем на велосипеде по скользкой мостовой или когда лошадь скользит по асфальту и падает. Изучая подобные явления, мы приходим к открытию тех следствий, к которым приводит трение. Инженеры стремятся по возможности устранить его в машинах – и хорошо делают. В прикладной механике о трении говорится как о крайне нежелательном явлении, и это правильно, - однако лишь в узкой специальной области. Во всех прочих случаях мы должны быть благодарны трению: оно даёт нам возможность ходить, сидеть и работать без опасения, что книги и чернильница упадут на пол, что стол будет скользить, пока не упрётся в угол, а перо выскальзывать из пальцев. Трение представляет настолько распространенное явление, что нам, за редкими исключениями, не приходится призывать его на помощь: оно является к нам само. Трение способствует устойчивости. Плотники выравнивают пол так, что столы и стулья остаются там, куда их поставили. Блюдца, тарелки, стаканы, поставленные на стол, остаются неподвижными без особых забот с нашей стороны, если только дело не происходит на пароходе во время качки. Вообразим, что трение может быть устранено совершенно. Тогда никакие тела, будь они величиною с каменную глыбу или малы, как песчинки, никогда не удержатся одно на другом: всё будет скользить и катиться, пока не окажется на одном уровне. Не будь трения, Земля представляла бы шар без неровностей, подобно жидкому». К этому можно прибавить, что при отсутствии трения гвозди и винты выскальзывали бы из стен, ни одной вещи нельзя было бы удержать в руках, никакой вихрь никогда бы не прекращался, никакой звук не умолкал бы, а звучал бы бесконечным эхом, неослабно отражаясь, например, от стен комнаты. Наглядный урок, убеждающий нас в огромной важности трения, даёт нам всякий раз гололедица. Застигнутые ею на улице, мы оказываемся беспомощными, и всё время рискуем упасть. Вот поучительная выдержка из газеты (декабрь 1927 г.): «Лондон, 21. Вследствие сильной гололедицы уличное и трамвайное движение в Лондоне сильно затруднено. Около 1400 человек поступило в больницы с переломами рук, ног и т. д.». «При столкновении вблизи Гайд-Парка трёх автомобилей и двух трамвайных вагонов машины были уничтожены из-за взрыва бензина…» «Париж, 21. Гололедица в Париже и его пригородах вызвала многочисленные несчастные случаи…» Однако, ничтожное трение на льду может быть успешно использовано технически. Уже обыкновенные сани служат тому примером. Ещё лучше свидетельствуют об этом так называемые ледяные дороги, которые устраивали для вывозки леса с места рубки к железной дороге или к пунктам сплава. На такой дороге, имеющей гладкие ледяные рельсы, две лошади тащат сани, нагруженные 70 тоннами брёвен. Трение покоя, скольжения. Прежде думали, что механизм трения не сложен: поверхность покрыта неровностями и трение есть результат подъёма скользящих частей на эти неровности; но это неправильно, ведь тогда не было бы потерь энергии, а на самом деле энергия на трение тратится. Механизм потерь иной. И здесь крайне неожиданным оказывается, что эмпирически это трение можно приближенно описать простым законом. Сила нужная для того, чтобы преодолевать трение и тащить один предмет по поверхности другого, зависит от силы, направленной по нормали к поверхностям соприкосновения. Поверхность твёрдого тела обычно обладает неровностями. Например, даже у очень хорошо отшлифованных металлов в электронный микроскоп видны «горы» и «впадины» размером в 1001000A. При сжатии тел соприкосновение происходит только в самых высоких местах и площадь реального контакта значительно меньше общей площади соприкасающихся поверхностей. Давление в местах соприкосновения может быть очень большим, и там возникает пластическая деформация. При этом площадь контакта увеличивается, а давление падает. Так продолжается до тех пор, пока давление не достигнет определённого значения, при котором деформация прекращается. Поэтому площадь фактического контакта оказывается пропорциональной сжимающей силе. В месте контакта действуют силы молекулярного сцепления (известно, например, что очень чистые и гладкие металлические поверхности прилипают друг к другу). Эта модель сил сухого трения (так называют трение между твёрдыми телами), по-видимому, близка к реальной ситуации в металлах. Если тело, например, просто лежит на горизонтальной поверхности, то сила трения на него не действует. Трение возникает, если попытаться сдвинуть тело, приложить к нему силу. Пока величина этой силы не превышает определённого значения, тело остаётся в покое и сила трения равна по величине и обратна по направлению приложенной силе. Затем начинается движение. Может показаться удивительным, но именно сила трения покоя разгоняет автомобиль. Ведь при движении автомобиля колеса не проскальзывают относительно дороги, и между шинами и поверхностью дороги возникает сила трения покоя. Как легко видеть, она направлена в сторону движения автомобиля. Величина этой силы не может превосходить максимального значения трения покоя. Поэтому если на скользкой дороге резко нажать на газ, то автомобиль начнет буксовать. А вот если нажать на тормоза, то вращение колёс прекратится, и автомобиль будет скользить по дороге. Сила трения изменит своё направление и начнёт тормозить автомобиль. Сила трения при скольжении твёрдых тел зависит не только от свойств поверхностей и силы давления (это зависимость качественно такая же, как для трения покоя), но и от скорости движения. Часто с увеличением скорости сила трения сначала резко падает, а затем снова начинает возрастать. Эта важная особенность силы трения скольжения как раз и объясняет, почему звучит скрипичная струна. Вначале между смычком и струной нет проскальзывания, и струна захватывается смычком. Когда сила трения покоя достигнет максимального значения, струна сорвется, и дальше она колеблется почти как свободная, затем снова захватывается смычком и т.д. Подобные, но уже вредные колебания могут возникнуть при обработке металла на токарном станке вследствие трения между снимаемой стружкой и резцом. И если смычок натирают канифолью, чтобы сделать зависимость силы трения от скорости более резкой, то при обработке металла приходится действовать наоборот (выбирать специальную форму резца, смазку и т.п.). Так что важно знать законы трения и уметь ими пользоваться. Кроме сухого трения существует ещё так называемое жидкое трение, возникающее при движении твёрдых тел в жидкостях и газах и связанное с их вязкостью. Силы жидкого трения пропорциональны скорости движения и обращаются в нуль, когда тело останавливается. Поэтому в жидкости можно заставить тело двигаться, прикладывая даже очень маленькую силу. Например, тяжелую баржу на воде человек может привести в движение, отталкиваясь то дна шестом, а на земле такой груз ему, конечно, не сдвинуть. Эта важная особенность сил жидкого трения объясняет, например, тот факт, почему автомобиль «заносит» на мокрой дороге. Трение становится жидким, и даже небольшие неровности дороги, создающие боковые силы, приводят к «заносу» автомобиля. Резюмируя вышесказанное можно заключить, что возникновение трения обусловлено, прежде всего, шероховатостью поверхностей, создающей сопротивление перемещению, и наличием сцепления у прижатых друг к другу тел. Изучение всех особенностей явления трения представляет собою довольно сложную физико-механическую проблему, рассмотрение которой выходит за рамки курса теоретической механики. В инженерных расчетах обычно исходят из ряда установленных опытным путем общих закономерностей, которые с достаточной для практики точностью отражают основные особенности явления трения. Эти закономерности, называемые законами трения скольжения при покое (законами Кулона), можно сформулировать следующим образом: 1. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (или сила сцепления), величина которой может принимать любые значения от нуля до значения Fпр, называемого предельной силой трения. 0 < 𝐹̅ < 𝐹̅пр . ̅ (или просто силой трения) называется составляющая силы Силой трения скольжения 𝑭 реакции связи, которая лежит в касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел. Сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующие силы стремятся сдвинуть тело. В теоретической механике предполагается, что между поверхностями соприкасающихся тел нет смазывающего вещества. Сухим трением называется трение, когда между поверхностями соприкасающихся тел нет смазывающего вещества. Будем рассматривать два случая: трения при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью. При покое сила трения зависит только от активных сил. При выбранном направлении касательной в точке соприкосновения поверхностей тел сила трения вычисляется по формуле: 𝐹̅ = − ∑ 𝐹̅𝑟𝑖 Аналогично при выбранном направлении нормали нормальная реакция выражается через заданные силы: ̅ = − ∑ 𝐹̅𝑛𝑖 . 𝑁 При движении одного тела по поверхности другого сила трения является постоянной величиной. 2. Величина предельной силы трения равна произведению статического коэффициента трения на нормальное давление или нормальную реакцию: 𝐹пр = 𝑓0 𝑁. Статический коэффициент трения 𝑓0 — число отвлеченное 0<𝑓0<1; он определяется опытным путем и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния поверхностей (характер обработки, температура, влажность, смазка и т. п.). Считается, что коэффициент трения не зависит от скорости движения. 3. Предельная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Из этого закона следует, что для того чтобы сдвинуть, например кирпич, надо приложить одну и туже, силу, независимо, от того, какой гранью он положен на поверхность, широкой или узкой. Объединяя вместе первый и второй законы, получаем, что при равновесии сила трения покоя (сила сцепления) F ≤ Fпр или F ≤ f0 N. Реакции шероховатых связей. Угол трения. До сих пор при решении задач статики мы пренебрегали трением и считали поверхности связей гладкими, а их реакции направленными по нормалям к этим поверхностям. Реакция реальной ⃗⃗ и (шероховатой) связи будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции N ⃗ . Следовательно, полная реакция R ⃗ будет отклонена от перпендикулярной к ней силы трения F нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы трения от нуля до Fпр сила R будет меняться от N до Rпр, а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некоторого предельного значения φ0 (рис. 26). Рис.26 Наибольший угол φ0 , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения. Из чертежа видно, что 𝑡𝑔φ0 = 𝐹пр /𝑁. Так как Fпр = f0 N, отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения: 𝑡𝑔𝜑0 = 𝑓0 При равновесии полная реакция R, в зависимости от сдвигающих сил, может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равновесие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол φ0 . Конусом трения называют конус, описанный предельной силой реакции шероховатой связи ̅ 𝑅пр вокруг направления нормальной реакции. Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силу Р, образующую угол 𝛼 с нормалью (рис. 27), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Psin𝛼 будет больше Fпр = f0 Pcosα (мы считаем N=Pcos𝛼, пренебрегая весом тела). Но неравенство 𝑃𝑠𝑖𝑛𝛼 > 𝑓0 𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼, в котором 𝑓0 = 𝑡𝑔𝜑0 , выполняется только при 𝑡𝑔𝛼 > 𝑡𝑔𝜑0 , т.е. при 𝛼 > 𝜑0 . Следовательно, никакой силой, образующей с нормалью угол 𝛼, меньший угла трения 𝜑0 , тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или самоторможения тел. Рис.27 Для равновесия твёрдого тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на твёрдое тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину. Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если её линия действия проходит внутри конуса трения. Равновесие при наличии трения. Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения Fпр. При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющими N и Fпр, где 𝐹пр = 𝑓0 𝑁. Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо Fпр величину 𝑓0 𝑁 и, решая полученные уравнения, определяют искомые величины. Пример 1. Рассмотрим тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии (рис.28). Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2a. К телу в точке С, лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила 𝑄̅ и в точке А, лежащей на расстоянии h от основания, горизонтальная сила 𝑃̅. Реакция плоскости основания ̅ и силе трения 𝐹̅ . Линия действия силы 𝑁 ̅ (реакция связи) приводится к нормальной реакции 𝑁 ̅ обозначим x (𝑥 ≤ 𝑎). неизвестна. Расстояние от точки С до линии действия силы 𝑁 Рис.28 Составим три уравнения равновесия: ∑ 𝐹𝑖𝑥 = 0 𝑃−𝐹 =0 ⟹𝐹 =𝑃 ∑ 𝐹𝑖𝑦 = 0 𝑁−𝑄 =0 ⟹𝑁 = 𝑄 ∑ 𝑀𝐵 (𝐹̅ 𝑖 ) = 0 𝑄 ∙ 𝑥 − 𝑃 ∙ ℎ = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑃 ∙ ℎ/𝑄 ≤ 𝑎 Согласно закону Кулона 𝐹 ≤ 𝑓 ∙ 𝑁, т.е. 𝑃 ≤ 𝑓 ∙ 𝑄. ℎ 𝑎 Так как 𝑃 ∙ 𝑄 𝑎, то 𝑃 ≤ ℎ 𝑄 (1) (2) Проанализируем полученные результаты: Будем увеличивать силу 𝑃̅. Если fa/h, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины 𝑎 ∙ 𝑄/h, условие (2) превратится в равенство. Величина x будет равна h. Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет). Пример 2. На какое максимальное расстояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис.29)? Если вес человека – Р, коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной – 𝑓1, между лестницей и полом – 𝑓2. Рис.29 Рассматриваем равновесие лестницы с человеком. Показываем силу 𝑃̅, нормальные реакции ̅𝐴 и 𝑁 ̅𝐵 и добавляем силы трения: 𝐹𝐴 = 𝑓1 ∙ 𝑁𝐴 и 𝐹𝐵 = 𝑓2 𝑁𝐵 . Полагаем, что человек находится на 𝑁 расстоянии 𝑎 = 𝑎𝑚𝑎𝑥 , при большем значении которого начнётся движение лестницы. Составляем уравнения равновесия. ∑ 𝑋𝑖 = 0; 𝑁𝐴 − 𝐹𝐵 = 0; ∑ 𝑌𝑖 = 0; 𝐹𝐴 − 𝑃 + 𝑁𝐵 = 0; ∑ 𝑍𝑖 = 0; −𝐹𝐴 𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑃𝐴 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝐵 𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0. Подставив значения сил трения и решив систему уравнений, получим 𝑎=𝑙 𝑓2 (𝑓 + 𝑡𝑔𝛼). 1 + 𝑓1 ∙ 𝑓2 1 Теперь можно определить и угол под которым надо поставить лестницу, чтоб добраться до стены. Полагая a=l, получим, после преобразований, 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑓2 и 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑓2. Рис.30 Заметим, что если равнодействующая 𝑄̅ всех активных сил (всех кроме реакций) направлена под углом 𝛼 (рис.30), то нормальная реакция 𝑁 = 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼, а сила трения 𝐹тр = 𝑓𝑁 = 𝑓𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼. Для того, чтобы началось скольжение должно выполнятся условие 𝑄𝑠𝑖𝑛𝛼 > 𝑓𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼. или 𝑡𝑔𝛼 > 𝑓. И так как 𝑓 = 𝑡𝑔𝜇, то 𝑡𝑔𝛼 > 𝑡𝑔𝜇. Значит угол 𝛼 должен быть больше угла 𝜇. Следовательно, если сила 𝑄̅ действует внутри угла или конуса трения (𝛼 < 𝜇), то как бы не была велика эта сила, скольжение тела не произойдёт. Такое условие называется условием заклинивания, самоторможения. Мы рассмотрели скольжение твёрдых тел по поверхности. Но нередко встречается скольжение гибких тел по неплоской поверхности. Например, нежелательное проскальзывание в ременной передаче ремня по шкиву, или троса, каната, намотанного на неподвижный цилиндр. Пример 3. Пусть имеется нить, перекинутая через неподвижную цилиндрическую поверхность (рис.31). За счёт сил трения натяжение левого и правого концов этой нити будут различными. Рис.31 Рис.32 Предположим, что нормальная реакция и сила трения распределяются равномерно по дуге контакта нити на цилиндре. Рассмотрим равновесие участка нити длиной 𝑑𝑙 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜑. (рис.32). На левом конце этого участка натяжение 𝑆̅, на правом 𝑆̅ + 𝑑𝑆̅. Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси: 1 1 2 2 ∑ 𝑋𝑖 = 0; −𝑆𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑𝜑) − 𝑑𝐹тр + (𝑆 + 𝑑𝑆) cos ( 𝑑𝜑) = 0; 1 1 2 2 ∑ 𝑌𝑖 = 0; −𝑆𝑠𝑖𝑛 ( 𝑑𝜑) + 𝑑𝑁 − (𝑆 + 𝑑𝑆) sin ( 𝑑𝜑) = 0; 1 1 1 Так как угол 𝑑𝜑 - малая величина, то полагаем sin (2 𝑑𝜑) = 2 𝑑𝜑, cos (2 𝑑𝜑) = 1. С учётом этого из уравнений находим 𝑑𝐹тр = 𝑑𝑆, 𝑑𝑁 = 𝑆𝑑𝜑 и, так как 𝑑𝐹тр = 𝑓𝑑𝑁, имеем 𝑑𝑆 = 𝑓 ∙ 𝑆𝑑𝜑 или 𝑑𝑆 𝑆 𝑆 𝜑 = 𝑓 ∙ 𝑑𝜑. Интегрируя, получим 𝑙𝑛𝑆 |𝑆21 = 𝑓𝜑|0 .. Или 𝑆2 = 𝑒 −𝑓𝜑 . 𝑆1 Этот результат называется формулой Эйлера. Например, если нить перекинута через неподвижный шкив и 𝜑 = 𝜋, а коэффициент трения f=0,2, то отношение натяжений 𝑆2 𝑆1 𝑆2 𝑆1 = 𝑒 −0,2𝜋 = 0,533. А, обернув цилиндр один раз (𝜑 = 2𝜋), = 𝑒 −0,2∙2𝜋 = 0,285, то есть можно удержать груз на другом конце нити силой почти в три раза меньшей веса тела. Трение качения и верчения. Возьмем деревянный цилиндр и положим его на стол так, чтобы он касался стола по образующей. В центры оснований цилиндра вставим концы проволочной вилки и прикрепим к ней снабженный очень чувствительный динамометр. Если тянуть за динамометр, то цилиндр покатится по столу. По показаниям динамометра увидим, что нужна весьма небольшая сила тяги, чтобы сдвинуть с места цилиндр и катить его равномерно дальше, гораздо меньшая, чем при скольжении того же цилиндра, если бы он не вращался и скользил бы по столу. При той же силе давления на стол сила трения качения много меньше силы трения скольжения. Например, при качении стальных колёс по стальным рельсам трение качения примерно в 100 раз меньше, чем трение скольжения. Поэтому в машинах стремятся заменить трение скольжения трением качения, применяя так называемые шариковые или роликовые подшипники. Происхождение трения качения можно наглядно представить себе так. Когда шар или цилиндр катится по поверхности другого тела, он немного вдавливается в поверхность этого тела, а сам немного сжимается. Таким образом, катящееся тело всё время как бы вкатывается на горку. Рис.33 Вместе с тем происходит отрыв участков одной поверхности от другой, а силы сцепления, действующие между этими поверхностями, препятствуют этому. Оба эти явления и вызывают силы трения качения. Чем твёрже поверхности, тем меньше вдавливание и тем меньше трение качения. Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Рис.34 Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса 𝑃̅, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим к оси катка силу 𝑄̅ (рис. 34, а), меньшую Fпр. Тогда в точке А возникает сила трения 𝐹̅ , численно равная Q, которая будет препятствовать скольжению цилиндра по ̅ тоже приложенной в точке А, то она уравновесит плоскости. Если считать нормальную реакцию 𝑁 силу 𝑃̅, а силы 𝑄̅ и 𝐹̅ образуют пару, вызывающую качение цилиндра. При такой схеме качение должно начаться, как видим, под действием любой, сколь угодно малой силы 𝑄̅ . Истинная же картина, как показывает опыт, выглядит иначе. Объясняется это тем, что фактически, вследствие деформаций тел, касание их происходит вдоль некоторой площадки АВ (рис. 34, б). При действии силы 𝑄̅ интенсивность давлений у края А убывает, а у края В возрастает. В ̅ оказывается смещенной в сторону действия силы 𝑄̅ . С увеличением 𝑄̅ это результате реакция 𝑁 смещение растет до некоторой предельной величины k. Таким образом, в предельном положении на ̅, 𝑃̅ ) с каток будут действовать пара (𝑄пр , 𝐹̅ ) с моментом 𝑄пр 𝑅 и уравновешивающая ее пара (𝑁 моментом Nk. Из равенства моментов находим 𝑄пр 𝑅 = 𝑁𝑘 или 𝑄пр = 𝑘𝑁 . 𝑅 Пока 𝑄 < 𝑄пр, каток находится в покое; при 𝑄 > 𝑄пр начинается качение. Входящая в формулу линейная величина k называется коэффициентом трения качения. Измеряют величину k обычно в сантиметрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и определяется опытным путем. Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для вагонного колеса по рельсу k=0,5 мм. Рассмотрим движение ведомого колеса. 𝐿̅ = 0, а 𝑄̅ ≠ 0. Качение колеса начнется, когда выполнится условие QR>M или Q>Mmax/R=kN/R Скольжение колеса начнется, когда выполнится условие Q>Fmax=fN. Обычно отношение 𝑘/𝑅 < 𝑓0 и качение начинается раньше скольжения. Если 𝑘/𝑅 > 𝑓0, то колесо будет скользить по поверхности, без качения. Отношение k/R для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения f0 . Этим объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.). Сопротивление среды. Если твёрдое тело находится внутри жидкости или газа, то вся его поверхность всё время соприкасается с частицами жидкости или газа. При движении тела на него со стороны жидкости или газа действуют силы, направленные навстречу движению. Эти силы называют сопротивлением среды. Как силы трения, сопротивление среды всегда направленно против движения. Сопротивление среды можно рассматривать как один из видов трения. Особенностью сил трения в жидкости или газе является отсутствие трения покоя. Твёрдое тело лежащее на другом твёрдом теле, может быть сдвинуто с места, только если к нему приложена достаточно большая сила, превосходящая наибольшую силу трения покоя. При меньшей силе твёрдое тело с места не сдвинется, сколько бы времени эта сила ни действовала. Картина получается иной, если тело находится в жидкости. В этом случае, чтобы сдвинуть с места тело, достаточно сколь угодно малых сил: хотя и очень медленно, но всё же тело начнёт двигаться. Человек вообще никогда не сдвинет с места голыми руками камень весом в сто тонн. В то же время баржу весом в сто тонн, плавающую на воде, один человек, хотя и очень медленно, но всё же сможет двигать. Однако по мере увеличения скорости сопротивление среды сильно увеличивается, так что, сколько бы времени сила не действовала, она не сможет разогнать тело до большой скорости. Важной характеристикой жидких и газообразных сред является вязкость. Вязкость – свойство текучих тел (жидкостей и газов) сопротивляться перемещению одной их части относительно другой под действием внешних сил. Количественно вязкость определяется величиной касательной силы, которая должна быть приложена к единице площади сдвигаемого слоя, чтобы поддерживать в этом слое ламинарное течение с постоянной скоростью относительно сдвига, равной единице. Вязкость газов и жидкостей, согласно молекулярной кинетической теории, вызвана передачей импульса от молекул более быстро движущегося слоя к молекулам более медленного слоя, которая происходит при перемешивании молекул соседних слоёв вследствие теплового движения. Силы внутреннего трения гораздо меньше сил трения скольжения. Поэтому для уменьшения трения между движущимися частями машин и механизмов используется смазка – слой вязкой жидкости, заполняющий пространство между трущимися поверхностями и оттесняющий их друг от друга. Это приводит к существенному уменьшению нагрева и износа деталей. Вместе с тем следует избегать попадания жидкости между фрикционными муфтами, ремнём и шкивом в ременной передаче, ведущими колесами локомотива и рельсом и т.п., ибо во всех этих случаях именно сила трения служит для передачи движения. С увеличением температуры вязкость газов возрастает, а жидкостей (за некоторым исключением) резко падает. Это связано с различиями в характере движения молекул в жидкости и газе. При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько возрастает, что они теряют характерную для них способность течь, превращаясь в аморфные твёрдые тела. Сопротивление воздуха. При движении твёрдого тела в воздухе на тело действует сила сопротивления воздуха, направленная противоположно движению тела. Такая же сила возникает, если на неподвижное тело набегает пучок воздуха; она направлена, конечно, по движению потока. Сила сопротивления вызывается, во-первых, трением воздуха о поверхность тела и, вовторых, изменением движения потока, вызванным телом. В воздушном потоке, изменённом присутствием тела, давление на передней стороне тела растёт, а на задней – понижается по сравнению с давлением в невозмущенном потоке. Таким образом, создаётся разность давлений, тормозящая движущееся тело или увлекающая тело, погруженное в поток. Движение воздуха позади тела принимает беспорядочный вихревой характер. Сила сопротивления зависит от скорости потока, от размеров и формы тела. Рис.35 Для всех тел, изображенных на рисунке, сопротивление движению одинаково, несмотря на весьма разные размеры тел. «Обтекаемое» тело почти не нарушает правильности потока; поэтому давление на заднюю часть тела лишь немного понижено по сравнению с передней частью и сопротивление не велико. Различные обтекатели, устанавливаемые на выдающихся частях самолёта, как раз имеют своим назначением устранять завихрения потока выступающими частями конструкции. Вообще же конструкторы стремятся оставлять на поверхности возможно меньшее количество выдающихся частей и неровностей, могущих создавать завихрения. Влияние сопротивления воздуха сильно сказывается и для наземных средств передвижения: с увеличением скорости автомобилей на преодоление сопротивления воздуха затрачивается всё большая часть мощности мотора. Поэтому современным автомобилям также придают по возможности обтекаемую форму. Для уменьшения трения при сверхзвуковой скорости нужно заострять переднюю часть движущегося тела, в то время как при меньших скоростях наибольшее значение имеет «обтекаемость». Сопротивление воды. При движении тел в воде также возникаю силы сопротивления, направленные противоположно движению тела. Если тело движется под водой, то сопротивление теми же обстоятельствами, что и при движении в воздухе: трение воды о поверхность тела и изменением потока, создающим дополнительное сопротивление. Быстро плавающие рыбы и китообразные имеют «обтекаемую форму тела, уменьшающую сопротивление воды при их движении. Обтекаемую форму придают и подводным лодкам. Вследствие большой плотности воды по сравнению с плотностью воздуха, сопротивление движению данного тела в воде много больше сопротивления в воздухе при той же скорости движения. Для обычных судов, идущих на поверхности воды, есть ещё дополнительное волновое сопротивление: от идущего судна на поверхности воды расходятся волны, на создание которых непроизводительно затрачивается часть работы судовой машины. Рис.36 Для уменьшения волнового сопротивления, которое для быстроходных судов может составлять 3/4 полного сопротивления, корпусу судна придают специальную форму. Нос судна в подводной части иногда делают «бульбообразной» формы; при этом образование волн на поверхности воды уменьшается, а значит, уменьшается и сопротивление. Момент силы относительно центра как вектор. Чтобы перейти к решению задач статики для системы сил, как угодно расположенных в пространстве, оказывается необходимым несколько уточнить и расширить ряд введенных ранее понятий. Начнем с понятия о моменте силы. Рис.37 1. Изображение момента вектором. Момент силы F̅ относительно центра О (см. рис. 37) как характеристика ее вращательного эффекта определяется следующими тремя элементами: 1) модулем момента, равным произведению модуля силы на плечо, т. е. Fh; 2) плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию действия силы F̅ и центр О; 3) направлением поворота в этой плоскости. Когда все силы и центр О лежат в одной плоскости, необходимость задавать каждый раз плоскость поворота ОАВ отпадает, и момент можно определять как скалярную алгебраическую величину, равную ±Fh, где знак указывает направление поворота. Но в случае сил, произвольно расположенных в пространстве, плоскости поворота у разных сил будут разными и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости в пространстве можно задать, задав отрезок (вектор), перпендикулярный к этой плоскости. Если одновременно модуль этого вектора выбрать равным модулю момента силы и условиться направлять этот вектор так, чтобы его направление определяло направление поворота силы, то такой вектор полностью определит все три элемента, характеризующие момент данной силы относительно центра О. Поэтому в общем случае момент m0 (F̅) силы F̅ относительно центра О (рис. 37) будем ̅ 0 , равным по модулю (в выбранном масштабе) изображать приложенным в центре О вектором M произведению модуля силы F̅ на плечо h и перпендикулярным к плоскости ОАВ, проходящей через ̅ 0 будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, центр О и силу F̅. Направлять вектор M ̅ 0 будет одновременно виден происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор M характеризовать модуль момента, плоскость поворота ОАВ, разную для разных сил, и направление ̅ 0 определяет положение центра момента. поворота в этой плоскости. Точка приложения вектора M 2. Выражение момента силы с помощью векторного произведения. Рассмотрим векторное ̅̅̅̅ × 𝐹̅ | = 2пл∆𝑂𝐴𝐵 = 𝑀0 , так произведение ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 × 𝐹̅ векторов ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 и 𝐹̅ (рис. 37). По определению, |𝑂𝐴 ̅̅̅̅ × 𝐹̅ ) перпендикулярно к ̅ 0 тоже равен 2 пл. ∆𝑂𝐴𝐵. Направлен вектор (𝑂𝐴 как модуль вектора M плоскости ОАВ, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 с 𝐹̅ (если их отложить от одной ̅ 0 . Следовательно, векторы точки) видно против хода часовой стрелки, т. е., так же, как вектор M ̅̅̅̅ × 𝐹̅ ) и M ̅ 0 совпадают и по модулю и по направлению и, как легко проверить, по размерности, т. (𝑂𝐴 е. оба эти вектора изображают одну и ту же величину. Отсюда ̅ 0 = ̅̅̅̅ ̅ 0 = 𝑟̅ 𝑥 𝐹̅ , M 𝑂𝐴 𝑥 𝐹̅ или M ̅̅̅̅ называется радиусом-вектором точки А относительно центра О. где вектор 𝑟̅ = 𝑂𝐴 Таким образом, момент силы F̅ относительно центра О равен векторному произведению ̅̅̅̅, соединяющего центр О с точкой приложения силы А, на саму силу. Этим вырадиуса вектора 𝑟̅ = 𝑂𝐴 ражением момента силы бывает удобно пользоваться при доказательстве некоторых теорем. Момент пары сил как вектор. Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмотрении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каждой из пар необходимо будет задать все эти три элемента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствующим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т или М, модуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 38). Рис. 38 Как известно модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е. 𝑚 ̅ =𝑚 ̅ 𝐵 (𝐹̅ ); по направлению же векторы этих моментов совпадают. ′ ̅̅̅ ̅ Следовательно 𝑚 ̅ =𝑚 ̅ 𝐵 (𝐹 ) = 𝑚 ̅𝐴 𝐹 . Момент силы относительно оси. Чтобы перейти к решению задач статики для случая произвольной пространственной системы сил, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси. Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рис. 39). Рис.39 Пусть на это тело действует сила 𝐹̅ , приложенная в точке А. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную оси z, и разложим силу 𝐹̅ на составляющие: 𝐹̅𝑧 , параллельную оси z, и 𝐹̅𝑥𝑦 , лежащую в плоскости ху (𝐹̅𝑥𝑦 является одновременно проекцией силы 𝐹̅ на плоскости ху). Сила 𝐹̅𝑧 , направленная параллельно оси z, очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стремится сдвинуть тело вдоль оси z). Весь вращательный эффект, создаваемый силой 𝐹̅ , будет совпадать с вращательным эффектом ее составляющей 𝐹̅𝑥𝑦 . Отсюда заключаем, что 𝑚𝑧 (𝐹̅ ) = 𝑚𝑧 (𝐹̅𝑥𝑦 ), где символ 𝑚𝑥𝑦 (𝐹̅ ) обозначает момент силы 𝐹̅ относительно оси z. Для силы же 𝐹̅𝑥𝑦 , лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси z, вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы 𝐹̅𝑥𝑦 относительно точки О, в которой ось z пересекается с плоскостью xу. Следовательно, 𝑚𝑧 (𝐹̅𝑥𝑦 ) = 𝑚0 (𝐹̅𝑥𝑦 ) или, согласно предыдущему равенству, 𝑚𝑧 (𝐹̅ ) = 𝑚0 (𝐹̅𝑥𝑦 ) = ±𝐹𝑥𝑦 ℎ. В результате приходим к следующему определению: моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью. Рис.40 4. Момент будем считать положительным, если с положительного конца оси z поворот, который сила 𝐹̅𝑥𝑦 , стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Из чертежа (рис.40) видно, что при вычислении момента плоскость ху можно проводить через любую точку оcи z. Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 40) надо: 1) провести плоскость ху, перпендикулярную к оси z (в любом месте); 2) спроектировать силу 𝐹̅ на эту плоскость и вычислить величину 𝐹̅𝑥𝑦 ; 3) опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на направление 𝐹̅𝑥𝑦 и найти его длину h; 4) вычислить произведение 𝐹𝑥𝑦 ℎ ; 5) определить знак момента. При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи: 1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как Fxy=0). 2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как h = 0). Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости. 3) Если сила перпендикулярна к оси, то ее момент относительно оси равен произведению модуля силы на расстояние между силой и осью. Пример 4. Определим моменты сил 𝐹̅1 , 𝐹̅2 и 𝐹̅3 относительно осей (рис.41). Рис.41 Моменты силы 𝐹̅1 находятся просто: Mx(𝐹̅1 )=−𝐹1 ∙ 𝑎; My(𝐹̅1 )=0; Mz(𝐹̅1 )=𝐹1 ∙ 𝑏. Моменты сил 𝐹̅2 и 𝐹̅3 - посложнее. В тех случаях, когда вектор силы направлен под углом к осям, полезно разложить вектор силы на составляющие параллельные осям и, затем, находить сумму моментов этих составляющих. Так моменты силы 𝐹̅2 : 𝑀𝑥 (𝐹̅2 ) = 𝑀𝑥 (𝐹̅2𝑥 ) + 𝑀𝑥 (𝐹̅2𝑧 ) = 0 − 𝐹2𝑧 ∙ 𝑐 = −𝐹2 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐; 𝑀𝑦 (𝐹̅2 ) = 𝑀𝑦 (𝐹̅2𝑥 ) = 𝐹2 ∙ 𝑎 = 𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑎; 𝑀𝑧 (𝐹̅2 ) = −𝐹2𝑥 ∙ 𝑐 = −𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐. И силы 𝐹̅3 : 𝑀𝑥 (𝐹̅3 ) = 𝐹3𝑧 ∙ 𝑐 = 𝐹3 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑐; 𝑀𝑦 (𝐹̅3 ) = −𝐹3𝑧 ∙ 𝑏 = −𝐹3 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑏; 𝑀𝑧 (𝐹̅3 ) = 0 (линия действия силы 𝐹̅3 пересекает ось z). Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси. Пусть на тело действует приложенная в точке А сила 𝐹̅ (рис. 42). Проведем какую-нибудь ось z и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы 𝐹̅ относительно центра О будет изображаться ̅ 0 перпендикулярным плоскости ОАВ, причем по модулю 𝑀0 = 𝐹ℎ = 2пл∆ОАВ. вектором M Рис.42 Проведем теперь через любую точку O1 на оси z плоскость ху, перпендикулярную к оси; ̅̅̅̅ проектируя силу 𝐹̅ на эту плоскость, найдем 𝑚𝑧 = (𝐹̅ ) = 𝑚01 (𝐹 𝑥𝑦 ) = 2пл∆𝑂1 𝐴1 𝐵1 . Но треугольник О1А1В1 представляет собою проекцию треугольника ОАВ на плоскость ху. Угол между плоскостями этих треугольников равен углу между перпендикулярами к плоскостям, т. е. равен 𝛾. Тогда, по известной геометрической формуле, ∆𝑂1 𝐴1 𝐵1 = пл∆𝑂𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝛾. Умножая обе части этого равенства на 2 и замечая, что удвоенные пощади треугольников ̅ 0 , найдем окончательно: 𝑚𝑧 (𝐹̅ ) = 𝑀0 𝑐𝑜𝑠𝛾. О1А1В1 и ОАВ равны соответственно 𝑚𝑧 (𝐹̅ ) и M ̅0 = 𝑚 Так как произведение 𝑀0 𝑐𝑜𝑠𝛾 дает проекцию вектора 𝑀 ̅ 0 (𝐹̅ ) на ось z, то равенство можно еще представить в виде 𝑚𝑧 (𝐹̅ ) = 𝑀𝑧 или 𝑚𝑧 (𝐹̅ ) = |𝑚 ̅ 0 (𝐹̅ )|𝑧 . В результате мы доказали, что между моментом силы относительно оси и ее моментом относительно какого-нибудь центра, лежащего на этой оси, существует следующая зависимость: момент силы F̅ относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси. Приведение пространственной системы сил к данному центру. Полученные выше результаты позволяют решить задачу о приведении любой системы сил к данному центру. Эта задача, решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы F̅ из точки А (рис. 43, а) в точку О прикладываем в точке О силы F̅′ = F̅ и F̅′ = −F̅. Тогда сила F̅′ = F̅ окажется приложенной в точке О ̅ ) с моментом m и к ней будет присоединена пара (F̅′ , F ̅ , что можно показать еще так, как на рис. 43, б. При этом m ̅ =m ̅ 0 (F̅). Рис.43 Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил F̅1, F̅2 ,…, F̅n (рис. 44, а). Выберем произвольную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил F̅1 = F̅1 , F̅2 = F̅2 , … , F̅n = F̅𝑛 . приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны 𝑚 ̅1 = 𝑚 ̅ 0 (F̅1 ), 𝑚 ̅2 = 𝑚 ̅ 0 (𝐹̅2 ), … , 𝑚 ̅𝑛 = 𝑚 ̅ 0 (F̅n ), ̅ , приложенной в той же точке. При этом Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R ′ ̅̅̅ ̅ R = ∑ Fk или, ̅ = ∑ ̅̅̅ R 𝐹𝑘 . Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сложить векторы моментов этих ̅ 0 = ∑ ̅̅̅̅ пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой M mk или, ̅ 0 = ∑ ̅̅̅̅(F M m0 ̅ k ). ̅ , равная геометрической сумме всех сил, Как и в случае плоской системы, величина R ̅ 0 , равная геометрической сумме моментов всех называется главным вектором системы; величина M сил относительно центра О, называется главным моментом системы относительно этого центра. Рис.44 Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на ̅, абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом ̅ 0 , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 44, б). M ̅иM ̅ 0 обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат. Векторы R ̅ 0 на оси координат будем Выражения для Rx, Ry, Rz нам известны. Проекции вектора M ̅̅̅ обозначать Mx, My, Mz. По теореме о проекциях суммы векторов на ось будет 𝑀𝑥 = ∑ |𝑚0 (𝐹 𝑘 )|𝑥 или, ̅̅̅ 𝑀𝑥 = ∑ 𝑚𝑥 (𝐹𝑘 ). Аналогично находятся величины My и Mz. ̅0 Окончательно для определения проекций главного вектора 𝑅̅ и главного момента M получаем формулы: 𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑘𝑥 , 𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑘𝑦 , 𝑅𝑧 = ∑ 𝐹𝑘𝑧 . 𝑀𝑥 = ∑ 𝑚𝑥 (̅̅̅ 𝐹𝑘 ), 𝑀𝑦 = ∑ 𝑚𝑦 (̅̅̅ 𝐹𝑘 ), 𝑀𝑧 = ∑ 𝑚𝑧 (̅̅̅ 𝐹𝑘 ). При этом главный вектор пространственной системы сил: R0 = ΣPi отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен: 𝑅0 = √(Σ𝑋𝑖 )2 + (Σ𝑌𝑖 )2 + (Σ𝑍𝑖 )2 . Главный момент пространственной системы сил: M0 = ΣM0(Pi)  это вектор, модуль которого находится аналогично: 𝑀0 = √(𝑀𝑥 )2 + (𝑀𝑦 )2 + (𝑀𝑧 )2 , где Mx , My , Mz  суммы моментов всех сил системы относительно соответствующих осей. В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил: 1) R0 = 0, M0 = 0  система сил находится в равновесии; 2) R0 = 0, M0 ≠0  система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения; 3) R0 ≠0, M0 = 0  система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R0 , линия действия которой проходит через центр приведения: R = R0, R~R0 ; 4) R0 ≠0, M0 ≠0 и R0 ⊥ M0  система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R0 , ее линия действия проходит на расстоянии d = |M0|/ R0 от центра приведения. 5) R0 ≠ 0, M0 ≠0 и главный вектор R0 неперпендикулярен главному моменту M0  система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме. При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе. Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений. Примечание. Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона. Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси). Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Произвольную пространственную систему сил, как и плоскую, можно привести к какому̅ 0 . Рассуждая так, нибудь центру О и заменить одной результирующей силой 𝑅̅ и парой с моментом M что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и Mо ̅ 0 могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на = 0. Но векторы 𝑅̅ и M оси координат, т. е. когда Rx = Ry = Rz = 0 и Mx= My = Mz = 0 или, когда действующие силы удовлетворяют условиям ΣXi = 0; ΣMx (Pi) = 0; ΣYi = 0; ΣMy (Pi) = 0; ΣZi = 0; ΣMz (Pi) = 0. Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю. В частных случаях системы сходящихся или параллельных сил эти уравнения будут линейно зависимы, и только три уравнения из шести будут линейно независимыми. Например, уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oz, имеют вид: ΣZi = 0; ΣMx (Pi) = 0; ΣMy (Pi) = 0. Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил. Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины. Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил). Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат. В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси. В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона. Пример 5. Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС. На краю рамы находится груз весом Р. Определим реакции шарнира и усилие в стержне. Рис.45 Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом. Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р. Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости. Желательно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неизвестной силе. Рекомендуется составлять уравнения моментов относительно трёх точек, точек пересечения линий действия неизвестных сил. В нашей задаче это точка А, где приложены неизвестные 𝑋̅𝐴 и 𝑌̅𝐴 ; точка С, где пересекаются линии действия неизвестных сил 𝑌̅𝐴 и 𝑆̅; точка D – точка пересечения линий действия сил 𝑋̅𝐴 и 𝑆̅. Составим уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС). И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное замечание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекомендуется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу 𝑆̅ на две: ̅̅̅ 𝑆𝑥 и ̅̅̅ 𝑆𝑦 (рис.37) такие, что модули их 𝑆𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝛼, 𝑆𝑦 = 𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼. Составляем уравнения: ∑ 𝑌𝑖 = 0; ∑ 𝑀𝐴𝑖 = 0; −𝑃𝑎 − 𝑆𝑦 𝑎 + 𝑆𝑥 𝑏 = 0; ∑ 𝑀𝐶𝑖 = 0; 𝑋𝐴 ∙ 𝐴𝐶 − 𝑃𝑎 = 0. Из второго уравнения находим 𝑌𝐴 − 𝑃 − 𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0; 𝑆 = −𝑃 𝑎 . 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼 Из третьего 𝑋𝐴 = 𝑃 𝑎 𝑎 =𝑃 . 𝐴𝐶 𝑏 + 𝑎𝑐𝑡𝑔𝑎 И из первого 𝑌𝐴 = 𝑃 + 𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑃(1 − 𝑎 ) 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼 Так как получилось S<0, то стержень ВС будет сжат. Пример 6. Прямоугольная полка весом Р удерживается в горизонтальном положении двумя стержнями СЕ и СD, прикреплёнными к стене в точке Е. Стержни одинаковой длины, AB=2a, EO=a. Определим усилия в стержнях и реакции петель А и В. Рис.46 Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчётную схему (рис.46). Реакции петель принято показывать двумя силами перпендикулярными оси петли: 𝑌̅𝐴 , 𝑍𝐴̅ и 𝑌̅𝐵 , 𝑍̅𝐵 . Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Можем составить 6 уравнений. Неизвестных - тоже шесть. Какие уравнения составлять – надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в них было поменьше неизвестных. Составим такие уравнения: (1) ∑ 𝑋𝑖 = 0; −𝑆1 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 + 𝑆2 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 = 0; (2) ∑ 𝑀𝑢𝑖 = 0; −𝑍𝐴 ∙ 𝑎 − 𝑍𝐵 ∙ 𝑎 + 𝑃 ∙ 0,5𝑎 = 0; (3) ∑ 𝑀𝑧𝑖 = 0; (4) ∑ 𝑀𝑥𝑖 = 0; (5) ∑ 𝑌𝑖 = 0; 𝑌𝐴 ∙ 𝑎 − 𝑌𝐵 ∙ 𝑎 = 0; 𝑆1 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑎 + 𝑆2 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑎 − 𝑃 ∙ 0,5𝑎 = 0; 𝑌𝐴 + 𝑌𝐵 − 𝑆1 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 − 𝑆2 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 = 0; (6) ∑ 𝑀𝑦𝑖 = 0; −𝑍𝐴 ∙ 𝑎 + 𝑍𝐵 ∙ 𝑎 − 𝑆1 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑎 + 𝑆2 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑎 = 0. Из уравнения (1) получим: S1=S2. Тогда из (4): 𝑆1 = 𝑆2 = 1 𝑃 . 4 𝑠𝑖𝑛𝛼 1 Из (3): YA=YB и, по (5), 2𝑌𝐴 = 2𝑆1 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠450. Значит 𝑌𝐴 = 𝑌𝐵 = 4 𝑃𝑐𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠450 . Из уравнения (6), т.к. S1=S2, следует ZA=ZB. Тогда по (2) ZA=ZB=P/4. 𝐸𝑂 Из треугольника ∆𝑂𝐸𝐶, где 𝐸𝐶 = √𝑂𝐶 2 + 𝑂𝐸 2 = √(𝑎√2)2 + 𝑎2 = 𝑎√3, следует 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝐸𝐶 = 𝑎 𝑎√3 = 1 , √3 𝑂𝐶 𝑎√2 √3 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐸𝐶 = 𝑎 2 = √3 , 𝑐𝑡𝑔𝛼 = √2. Поэтому 𝑆1 = 𝑆2 = 0,25√3𝑃, YA=YB=0,25P, ZA=ZB0,25P. Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и посмотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций: ∑ 𝑍𝑖 = 𝑍𝐴 + 𝑍𝐵 − 𝑃 + 𝑆1 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑆2 𝑠𝑖𝑛𝛼 = = 0,25𝑃 + 0,25𝑃 − 𝑃 + 0,25√3 ∙ 1 √3 + 0,25√3 ∙ Задача решена правильно. Лекция 4. Центр тяжести. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы 1. Центр тяжести твердого тела. 2. Координаты центров тяжести неоднородных тел. 1 √3 = 0. 3. Координаты центров тяжести однородных тел. 4. Способы определения координат центров тяжести. 5. Центры тяжести некоторых однородных тел. Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов». Приведение параллельных сил. После того как было рассмотрено приведение к центру плоской системы и произвольной пространственной системы сил, мы опять возвращаемся к рассмотрению частного случая системы параллельных сил. Приведение двух параллельных сил. В ходе рассмотрения такой системы сил возможны три следующих случая приведения. 1. Система двух коллинеарных сил. Рассмотрим систему двух параллельных и направленных в одну сторону сил P и Q, приложенных в точках А и В. Будем считать, что силы перпендикулярны к этому отрезку (рис.1,а). Выберем в качестве центра приведения точку С, принадлежащую отрезку АВ и удовлетворяющую условию: АС/СВ = Q/P. (1) Главный вектор системы RC = P + Q по модулю равен сумме этих сил: RC = P + Q. Главный момент относительно центра С с учетом (1) равен нулю: MC = P∙АС  Q∙СВ = 0. Таким образом, в результате приведения мы получили: RC ≠ 0, MC = 0. Это означает, что главный вектор эквивалентен равнодействующей, проходящей через центр приведения, то есть: Равнодействующая коллинеарных сил равна по модулю их сумме, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внутренним образом. Отметим, что положение точки С не изменится, если силы Р и Q повернуть на угол α. Точка С, обладающая таким свойством называется центром параллельных сил. 2. Система двух антиколлинеарных и не равных по модулю сил. Пусть силы P и Q , приложенные в точках А и В, параллельны, направлены в противоположные стороны и по модулю не равны (рис.1,б). Выберем в качестве центра приведения точку С, удовлетворяющую по-прежнему соотношению (1) и лежащую на той же прямой, но за пределами отрезка АВ. Главный вектор этой системы RC = P + Q по модулю теперь будет равен разности модулей векторов: RC = Q  P. Главный момент относительно центра С по-прежнему равен нулю: MC = P∙АС  Q∙СВ = 0, поэтому Равнодействующая антиколлинеарных и не равных по модулю сил равна их разности, направлена в сторону большей силы, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внешним образом. Рис.1 3. Система двух антиколлинеарных и равных по модулю сил. Возьмем за исходный предыдущий случай приведения. Зафиксируем силу Р, а силу Q устремим по модулю к силе Р. Тогда при Q → Р в формуле (1) отношение АС/СВ → 1. Это означает, что АС → СВ , то есть расстояние АС →∞. При этом модуль главного вектора RC → 0, а модуль главного момента не зависит от положения центра приведения и остается равным первоначальному значению: MC = P∙АС  Q∙СВ = P∙(АС  СВ) = P∙АB. Итак, в пределе мы получили систему сил, для которой RC = 0, MC ≠0, а центр приведения удален в бесконечность, которую нельзя заменить равнодействующей. В этой системе нетрудно узнать пару сил, поэтому пара сил равнодействующей не имеет. Центр системы параллельных сил. Рассмотрим систему n сил Pi, приложенных в точках Ai (xi, yi, zi) и параллельных оси Ov c ортом l (рис.2). Если заранее исключить случай системы, эквивалентной паре сил, нетрудно на основании предыдущего параграфа доказать существование ее равнодействующей R. Определим координаты центра C(xc, yc, zc) параллельных сил, то есть координаты точки приложения равнодействующей этой системы. Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой: M0 (R) = ΣM0 (Pi). Рис.2 Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, поэтому: М0(R) = rc×R = ΣМ0i (Pi) = Σ(ri×Pi). Учитывая, что R = Rv∙l, а Pi = Pvi∙l и воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим: rc×Rv∙l = Σ(ri ×Pvi∙l), rc∙Rv×l = Σ(ri∙Pvi×l) = Σ(ri∙Pvi)×l, или: [rcRv  Σ(ri Pvi )]×l = 0. Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что равнодействующая R = ΣPi , отсюда получим: rc = (ΣPi ri)/(ΣPi). Проектируя последнее векторное равенство на оси координат, получим искомое выражение координат центра параллельных сил: xc = (ΣPi xi)/( ΣPi); yc = (ΣPi yi)/( ΣPi); (2) zc = (ΣPi zi)/( ΣPi). Центр тяжести тел. Координаты центров тяжести однородного тела. Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит. Если разбить тело на элементарные части объемом ∆Vi , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆Pi, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.3), и к ней применимы все выводы предыдущей главы. Рис.3 Определение. Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела. Напомним, что удельным весом элементарной части тела называется отношение ее веса ∆Pi к объему ∆Vi: γi = ∆Pi/∆Vi. Для однородного тела эта величина является постоянной: γi = γ = P/V. Подставляя в (2) ∆Pi = γi ∙∆Vi вместо Pi, учитывая последнее замечание и сокращая числитель и знаменатель на , получим выражения координат центра тяжести однородного тела: xc = (Σ∆Vi∙xi)/(Σ∆Vi); yc = (Σ∆Vi∙yi)/(Σ∆Vi); (3) zc = (Σ∆Vi∙zi)/(Σ∆Vi). При определении центра тяжести полезны несколько теорем. 1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости. Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 можно отыскать точку с координатами 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , −𝑧𝑖 . И координата 𝑧𝐶 по (3), будет равна нулю, т.к. в сумме Σ𝑃𝑖 𝑧𝑖 все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии. 2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси. Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 можно отыскать точку с координатами −𝑥𝑖 , −𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 и координаты 𝑥𝐶 и 𝑦𝐶 , вычисленные по формулам (3), окажутся равными нулю. Аналогично доказывается и третья теорема. 3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке. И ещё несколько замечаний. Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (3) Pi – определять как вес соответствующей части и 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 – как координаты её центра тяжести. Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его 𝑃𝑖 = 𝑉𝑖 ∙ 𝛾, где 𝛾- удельный вес материала, из которого сделано тело, а Vi - объём этой части тела. И формулы (3) примут более удобный вид. Например, 𝑥𝐶 = ∑ 𝑃𝑖 𝑥𝑖 /𝑃 = ∑ 𝑉𝑖 ∙ 𝛾 ∙ 𝑥𝑖 /𝑉 ∙ 𝛾 = ∑ 𝑉𝑖 𝑥𝑖 /𝑉. И аналогично, 𝑦𝐶 = ∑ 𝑉𝑖 𝑦𝑖 /𝑉, 𝑧𝐶 = ∑ 𝑉𝑖 𝑧𝑖 /𝑉, где 𝑉 = ∑ 𝑉𝑖 - объём всего тела. Третье замечание. Пусть тело имеет вид тонкой пластинки площадью F и толщиной t, лежащей в плоскости Oxy. Подставляя в (3) ∆Vi = t∙∆Fi, получим координаты центра тяжести однородной пластинки: xc = (Σ∆Fi∙xi) / (Σ∆Fi); yc = (Σ∆Fi∙yi) / (Σ∆Fi). zc = (Σ∆Fi∙zi) / (Σ∆Fi). тела. где 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 – координаты центра тяжести отдельных пластин; 𝐹 = ∑ 𝐹𝑖 – общая площадь Четвёртое замечание. Для тела в виде тонкого криволинейного стержня длиной L с площадью поперечного сечения a элементарный объем ∆Vi = a∙∆Li, поэтому координаты центра тяжести тонкого криволинейного стержня будут равны: xc = (Σ∆Li∙xi)/(Σ∆Li); yc = (Σ∆Li∙yi)/(Σ∆Li); (4) zc = (Σ∆Li∙zi)/(Σ∆Li). где 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 – координаты центра тяжести i-го участка; 𝐿 = ∑ ∆𝐿𝑖 . Отметим, что согласно определению центр тяжести - это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца). Примечание. В этом разделе курса мы не делаем разницы между силой притяжения, силой тяжести и весом тела. В действительности сила тяжести представляет собой разность между силой притяжения Земли и центробежной силой, вызванной ее вращением. Координаты центров тяжести неоднородных тел. Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела (рис.4) в выбранной системе отсчета определяются следующим образом: Рис.4 𝑥𝐶 = ∫ 𝑥 ∙ 𝛾𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜏/ ∫ 𝛾𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜏 ; 𝑉 𝑉 𝑦𝐶 = ∫ 𝑦 ∙ 𝛾𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜏/ ∫ 𝛾𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜏 ; 𝑉 𝑉 𝑧𝐶 = ∫ 𝑧 ∙ 𝛾𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜏/ ∫ 𝛾𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜏 𝑉 𝑉 где 𝛾𝑇 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) - вес единицы объема тела (удельный вес) ∫𝑉 𝛾𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜏 - вес всего тела. Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность (рис.5), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом: Рис.5 𝑥𝐶 = ∫ 𝑥 ∙ 𝛾𝑆 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜎/ ∫ 𝛾𝑆 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜎 ; 𝑆 𝑆 𝑦𝐶 = ∫ 𝑦 ∙ 𝛾𝑆 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜎/ ∫ 𝛾𝑆 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜎 ; 𝑆 𝑆 𝑧𝐶 = ∫ 𝑧 ∙ 𝛾𝑆 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜎/ ∫ 𝛾𝑆 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜎 𝑆 𝑆 где 𝛾𝑆 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) - вес единицы площади тела, ∫𝑆 𝛾𝑆 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜎 - вес всего тела. Если твердое тело представляет собой неоднородную линию (рис.6), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом: Рис.6 𝑥𝐶 = ∫ 𝑥 ∙ 𝛾𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑙/ ∫ 𝛾𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑙 ; 𝐿 𝐿 𝑦𝐶 = ∫ 𝑦 ∙ 𝛾𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑙/ ∫ 𝛾𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑙 ; 𝐿 𝐿 𝑧𝐶 = ∫ 𝑧 ∙ 𝛾𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑙/ ∫ 𝛾𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑙 𝐿 где 𝛾𝐿 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) - вес единицы длины тела, 𝐿 ∫𝐿 𝛾𝑆 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑙 - вес всего тела. Способы определения координат центра тяжести. Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел. 1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии. Рис.7 2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны. Рис.8 𝐶1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑆1 𝐶2 (𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑆2 𝑥𝐶 = (𝑥1 ∙ 𝑆1 + 𝑥2 ∙ 𝑆2 )/𝑆1 + 𝑆2 𝑦𝐶 = (𝑦1 ∙ 𝑆1 + 𝑦2 ∙ 𝑆2 )/𝑆1 + 𝑆2 S=S1+S2. 3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S1 и площади вырезанной части S2 . Рис.9 𝐶1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑆1 𝐶2 (𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑆2 𝑥𝐶 = (𝑥1 ∙ 𝑆1 − 𝑥2 ∙ 𝑆2 )/(𝑆1 − 𝑆2 ) 𝑦𝐶 = (𝑦1 ∙ 𝑆1 − 𝑦2 ∙ 𝑆2 )/(𝑆1 − 𝑆2 ) S=S1-S2. 4. Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы. Центры тяжести некоторых однородных тел. 1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом 𝐴𝑂𝐵 = 2𝛼. В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10). Рис.10 1 Найдем координату 𝑥𝐶 по формуле 𝑥𝐶 = 𝐿 ∫(𝐿) 𝑥𝑑𝑙 . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною 𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜑, положение которого определяется углом 𝜑. Координата х элемента ММ’ будет 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑. Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим: 𝐵 𝛼 1 𝑅2 2𝑅 2 𝑥𝐶 = ∫ 𝑥𝑑𝑙 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑑𝜑 = sin 𝛼, 𝐿 𝐿 𝐿 𝐴 −𝛼 где L - длина дуги АВ, равная R = 2α. Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном xC = Rsinα/α , где угол α измеряется в радианах. 2) Центр тяжести площади треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy, координаты вершин которого известны: Ai (xi,yi), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А1А2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А3 М3 (рис.11). Рис.11 Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А2А3, можно убедиться, что он должен лежать на медиане А1М1. Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны. В частности, для медианы А1М1 получим, учитывая, что координаты точки М1  это среднее арифметическое координат вершин А2 и А3 : xc = x1 + (2/3)∙(xМ1  x1) = x1 + (2/3)∙[(x2 + x3)/2x1] = (x1+ x2 +x3)/3. Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин: xc =(1/3)Σxi ; yc =(1/3)Σyi. 3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) . Очевидно, что yc = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле: 𝑥𝑐 = 1 ∫ 𝑥𝑑𝐹 . 𝐹 (5) 𝐹 Рис.12 Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом dφ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным Rdφ и высотой R. Площадь такого треугольника dF=(1/2)R2∙dφ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR2, получим: 𝛼 𝛼 −𝛼 −𝛼 1 2 1 2 𝑅 𝑥𝑐 = ∫ 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑅 𝑑𝜑 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑑𝜑 = 𝛼𝑅 2 3 2 3𝛼 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 +𝛼 𝑅 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝛼 = [𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑠𝑖𝑛(−𝛼)] = . | 3𝛼 −𝛼 3𝛼 3𝛼 (6) С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга. Подставляя в (2) α = π/2, получим: xc = (4R)/(3π) ≅ 0,4R . Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13. Рис.13 Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их: 𝑥1 = 5 см; у1 = 5 см; 𝑧1 = 2,5 см; 𝑥2 = 2,5 см; у2 = 7,5 см; 𝑧2 = 6 см. Объёмы их: 𝑉1 = 5 ∙ 10 ∙ 10 = 500 см3 ; 𝑉2 = 5 ∙ 5 ∙ 2 = 50 см3 . Поэтому координаты центра тяжести тела 𝑥𝐶 = ∑ 𝑉𝑖 𝑥𝑖 500 ∙ 2,5 + 50 ∙ 6 = = 4,77 см; 𝑉 500 + 50 𝑦𝐶 = ∑ 𝑉𝑖 𝑦𝑖 500 ∙ 5 + 50 ∙ 7,5 = = 5,23 см 𝑉 550 𝑧𝐶 = ∑ 𝑉𝑖 𝑧𝑖 500 ∙ 2,5 + 50 ∙ 6 = = 2,82 см 𝑉 550 5. Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14). Рис.14 Координаты центров тяжести: 𝑥1 = 20 см, 𝑥2 = 7,5 см, у1 = 0, 𝑧1 = 2,5 см, у2 = 2,5 см, 𝑧2 =0. Площади: 𝑆1 = 5 ∙ 10 = 50 см2 , 𝑆2 = 5 ∙ 15 = 75 см2 . Поэтому: 𝑥𝐶 = ∑ 𝑆𝑖 𝑥𝑖 50 ∙ 20 + 75 ∙ 7,5 = = 12,5 см; 𝑆 50 + 75 𝑦𝐶 = ∑ 𝑆𝑖 𝑦𝑖 50 ∙ 0 + 75 ∙ 2,5 = = 1,5 см 𝑆 125 𝑧𝐶 = ∑ 𝑆𝑖 𝑧𝑖 50 ∙ 2,5 = = 1,0 см 𝑆 125 Пример 3. У квадратного листа 20 × 20см вырезано квадратное отверстие 5 × 5 см (рис.15). Найдем центр тяжести листа. Рис.15 В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием: 𝑥𝐶 = ∑ 𝑆𝑖 𝑥𝑖 /𝑆 = 𝑆1 ∙ 𝑥1 − 𝑆2 ∙ 𝑥2 20 ∙ 20 ∙ 10 − 5 ∙ 5 ∙ 12,5 = = 9,83 см, 𝑆1 − 𝑆2 400 − 25 координата 𝑦𝐶 = 𝑥𝐶 = 9,83 см, так как тело имеет ось симметрии (диагональ). Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков одинаковой длины l. Рис.16 Координаты центров тяжести участков: 𝑥1 = 0, 𝑦1 = 0,5𝑙, 𝑧1 = 𝑙; 𝑥2 = 0,5𝑙, 𝑦2 = 𝑙, 𝑧2 = 𝑙, ; 𝑥3 = 𝑙, 𝑦3 = 𝑙, 𝑧3 = 0,5𝑙. Поэтому координаты центра тяжести всей скобки: 𝑥𝐶 = ∑ 𝑙𝑖 𝑥𝑖 𝑙 ∙ 0 + 𝑙 ∙ 0,5𝑙 + 𝑙 ∙ 𝑙 = = 0,5𝑙; 𝐿 3𝑙 𝑦𝐶 = ∑ 𝑙𝑖 𝑦𝑖 𝑙 ∙ 0,5𝑙 + 𝑙 ∙ 𝑙 + 𝑙 ∙ 𝑙 = = 0,83𝑙, 𝐿 3𝑙 𝑧𝐶 = ∑ 𝑙𝑖 𝑧𝑖 𝑙 ∙ 𝑙 + 𝑙 ∙ 𝑙 + 𝑙 ∙ 0,5𝑙 = = 0,83𝑙. 𝐿 3𝑙 Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17). Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес  связаны соотношением: γ= ρg , где g  ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем. Рис.17 Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня. Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим: 𝑥𝑐 = ∑6𝑖=1 𝐿𝑖 𝑥𝑖 ; ∑6𝑖=1 𝐿𝑖 𝑦𝑐 = ∑6𝑖=1 𝐿𝑖 𝑦𝑖 , ∑6𝑖=1 𝐿𝑖 где Li длина i-го стержня фермы, а xi, yi  координаты его центра тяжести. Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней. Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней. Первая группа состоит из первого стержня, для нее L1 = 4 м, x1 = 0 м, y1= 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L2 = 20 м, x2= 3 м, y2= 2 м. Координаты центра тяжести фермы находим по формуле: xc = (L1∙x1 + L2∙x2)/(L1+ L2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м; yc = (L1∙y1 + L2∙y2)/(L1+ L2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м. Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С1 и С2 и делит отрезок С1С2 в отношении: С1С/СС2 = (xc  x1)/(x2  xc) = L2 / L1 = 2,5/0,5 Лекция 5. Кинематика точки и твердого тела. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Краткие сведения по истории развития кинематики. 2. Кинематика точки. Введение в кинематику. 3. Способы задания движения точки. 4. Вектор скорости точки. 5. Вектор ускорения точки. 6. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения точки. 7. Определение ускорения в полярных координатах. 8. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения точки. Касательное и нормальное ускорение точки. 9. Некоторые частные случаи движения точки. Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики движения материальной точки, динамики относительного движения точки, динамики вращательного движения точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин». Краткие сведения по истории развития кинематики Кинематика, как специальный раздел теоретической механики, возникла позднее статики и динамики, а именно, в начале второй половины XIX в. Появление первых исследований по кинематике связано с изобретением огнестрельного оружия. В первую очередь внимание исследователей привлекали вопросы определения траектории полета снаряда, уточнение понятий о неравномерном и криволинейном движении точки. Леонардо да Винчи (1452— 1519) первый экспериментально изучал вопрос о свободном вертикальном падении тяжелого тела. Однако лишь благодаря трудам Г. Галилея (1564—1642) развитие механики тесно связывается с запросами техники того времени. Галилею принадлежит введение понятия об ускорении и доказательство того, что траекторией движения снаряда, брошенного в пустоте под некоторым углом к горизонту, является парабола. Законы, найденные Галилеем, были развиты в исследованиях Э. Торричелли (1608—1647), установившем формулу пропорциональности скорости падения тела корню квадратному из высоты падения. Обобщение понятия ускорения на случай криволинейного движения было получено X. Гюйгенсом (1629—1695), который первым обратил внимание на возможность разложения ускорения при криволинейном движении на касательное и нормальное. Однако строгое доказательство этого было дано Л. Эйлером (1707— 1783). Кинематические законы движения планет были установлены И. Кеплером (1571—1630). Эти законы легли в основу закона всемирного тяготения, открытого Ньютоном. Л. Эйлеру принадлежат основополагающие исследования по кинематике точки в случае естественного способа задания движения, по кинематике вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Он создал широко применяемый метод кинематического описания движения твердого тела с помощью трех углов, называемых углами Эйлера. Развитие кинематики системы обязано трудам Ж. Лагранжа (1736-1813). Однако только бурный рост машиностроения в XIX в. повлек за собой расцвет кинематики как науки. По предложению Ж. Ампера в 1851 г. кинематика выделилась в особый раздел теоретической механики. Появляется ряд глубоких исследований по кинематике твердого тела французских ученых М. Шаля (1793— 1886), Л. Пуансо, Г. Кориолиса (1792—1843). П. Л. Чебышев (1821—1894) создал в России научную школу по кинематике механизмов. Богатое научное наследие по кинематике механизмов Чебышева разрабатывается советскими учеными, среди которых, в первую очередь, следует отметить Н. И. Мерцалова (1860—1948), И. И. Артоболевского, А. П. Котельникова (1865—1940), Д. С. Зернова, Л. В. Асура (1878—1920), Я. Л. Геронимуса и др. «Отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921) принадлежат первоклассные работы по теоретической механике, в том числе и по кинематике, в которых широко внедрены геометрические методы доказательств различных теорем. Ряд замечательных исследований по кинематике принадлежит профессору Одесского университета В. Н. Лигнину (1846—1900), возглавлявшему на Украине научное направление исследований по кинематике. Кинематика точки. Введение в кинематику. Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил. В кинематике изучают зависимости между пространственно-временными характеристиками механического движения. Поэтому кинематику называют также геометрией движения. Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени. Обычно кинематику подразделяют на две части — кинематику точки и кинематику твердого тела. Механическое движение - это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени. Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. Тело отсчета - тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел. Система отсчета - это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1). Рис.1 Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны). Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство. Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t. В теоретической механике при измерении пространства за основную единицу длины принимают метр (м), а за основную единицу времени — секунду (с). Время предполагается одинаковым в любых системах отсчета (системах координат) и не зависимым от движения этих систем относительно друг друга. Время обозначается буквой и рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина, принимаемая в качестве аргумента. При измерении времени в кинематике различают такие понятия, как промежуток времени, момент времени, начальный момент времени. Промежутком времени называется время, протекающее между двумя физическими явлениями. Моментом времени называют границу между двумя смежными промежутками времени. Начальным моментом называется время, с которого начинают отсчет времени. Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано). Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) - значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение. Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора 𝑟 или с помощью координат. Радиус-вектор 𝑟 точки М - направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой М (рис. 2). Координата х точки М - это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось Ох. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (х), двумя (х, у) и тремя (х, у, z) числами - координатами (рис. 2.1). Рис.2 Рис.2.1 Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно. Основной задачей кинематики точки является изучение законов движения точки. Зависимость между произвольными положениями движущейся точки в пространстве и времени определяет закон ее движения. Закон движения точки считают известным, если можно определить положение точки в пространстве в произвольный момент времени. Положение точки рассматривается по отношению к выбранной системе координат. Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки. В дальнейшем под словом "тело" будем понимать "материальная точка". Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. На практике форму траектории задают с помощью математических формул (у=f(х) — уравнение траектории) или изображают на рисунке. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободно падающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей. В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s> 0. Перемещение ∆𝑟 тела за определенный промежуток времени - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка М0) и конечное (точка М) положение тела (см. рис. 2): ∆𝑟 = 𝑟 − 𝑟0, где 𝑟 и 𝑟0 — радиус-векторы тела в эти моменты времени. Проекция перемещения на ось Ох: ∆rx =∆х = х-х0, где x0 и x - координаты тела в начальный и конечный моменты времени. Модуль перемещения не может быть больше пути: |∆𝑟|≤s. Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется. Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t: 𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝑟0 + ∆𝑟 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑟𝑥 {𝑦 = 𝑦 + ∆𝑟 𝑦 Способы задания движения точки Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный. 1. Векторный способ задания движения точки. Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор 𝑟, проведенный из начала координат О в точку М (рис. 3). Рис.3 При движении точки М вектор 𝑟 будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, 𝑟 является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t: 𝑟 = 𝑟(𝑡). Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор 𝑟 и найти положение движущейся точки. Геометрическое место концов вектора 𝑟, т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки. 2. Координатный способ задания движения точки. Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.3), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t. Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения. Разложим вектор 𝑟 на составляющие по осям координат: 𝑟 = 𝑟𝑥 𝑖 + 𝑟𝑦 𝑗 + 𝑟𝑧 𝑘⃗ , осей. где rx, ry, rz - проекции вектора на оси; 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ – единичные векторы направленные по осям, орты Так как начало 𝑟 вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому 𝑟 = 𝑥 ∙ 𝑖 + 𝑦 ∙ 𝑗 + 𝑧 ∙ 𝑘⃗ . Если движение точки задано в полярных координатах r=r(t), φ = φ(t), где r — полярный радиус, φ — угол между полярной осью и полярным радиусом, то данные уравнения выражают уравнение траектории точки. Исключив параметр t, получим r = r(φ). Пример 1. Движение точки задано уравнениями 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑡, { 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑡. Рис.4 Чтобы исключить время, параметр t, найдём из первого уравнения sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем возведём в квадрат и сложим. Так как sin22t+cos22t=1, получим уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.4). 𝑥2 22 𝑦2 + 32 = 1. Это Начальное положение точки M0 (при t=0) определяется координатами x0=0, y0=3 см. Через 1 сек. точка будет в положении M1 с координатами x1=2sin2=2∙0,91=1,82 см, y1=2cos2=3∙(-0,42)= -1,25 см. Примечание. Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам. 3. Естественный способ задания движения точки. Рис.5 Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси). Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M1, М2,... . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t). Уравнение выражает закон движения точки М вдоль траектории. Функция s= f(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой. За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Cледует помнить, что уравнение s=f(t) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории. Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда, когда функция s = f(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М1 в М2. Положению точки в М1 соответствует время t1, а положению точки в М2 - время t2. Разложим промежуток времени t2- t1 на весьма малые промежутки времени ∆t1 (i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение в одном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим ∆si. Пройденной точкой путь σ будет положительной величиной: t2 n σ = lim ∑ |∆si | = ∫ |ds| n→∞ i=1 t1 Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле 𝑡2 𝜎 = ∫ √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑡, 𝑡1 так как 𝑑𝜎 = |𝑑𝑠| = √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 , где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt. Следовательно, 𝑑𝜎 = |𝑑𝑠| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑡, Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6). Рис.6 В начале движения, при t=0 s=OM0=s0=3 см. Положение точки M0 называется начальным положением. При t=1 с, s=OM1=5 см. Конечно, за 1 сек. точка прошла расстояние M0M1=2 см. Так что s – это не путь пройденный точкой, а расстояние от начала отсчёта до точки. Вектор скорости точки Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий. Скорость - мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной. Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с. Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным. Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t, (1) где v – постоянный вектор. Вектор v называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет. Из соотношения (1) видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени. Из (1) имеем 𝑣= ∆𝑟 . ∆𝑡 Направление вектора v указано на рис. 6.1. Рис.6.1 При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-вектором 𝑟, а в момент t1 приходит в положение M1 определяемое вектором 𝑟1 (рис.7). Тогда перемещение точки за промежуток времени ∆t=t1-t определяется вектором ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀1 который будем называть вектором перемещения точки. Из треугольника ОММ1 видно, что 𝑟 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀1 = 𝑟1 ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = 𝑟1 − 𝑟 = ∆𝑟. следовательно, 𝑀𝑀 Рис. 7 Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени ∆t: 𝑣ср = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀1 /∆𝑡 = ∆𝑟/∆𝑡. Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость vср при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: 𝑣 = lim (𝑣ср ) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑟 ∆𝑡→0 ∆𝑡 , 𝑣= 𝑑𝑟 . 𝑑𝑡 Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиусавектора точки по времени. Так как предельным направлением секущей ММ1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Определение скорости точки при координатном способе задания движения Вектор скорости точки 𝑣 = 𝑑𝑟 , 𝑑𝑡 учитывая, что rx=x, ry=y, rz=z, найдем: 𝑣𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 , 𝑣𝑦 = , 𝑣𝑧 = . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы α, β, γ, которые вектор v образует с координатными осями) по формулам 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 ; 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑣𝑦 𝑣𝑥 𝑣𝑧 , 𝑐𝑜𝑠𝛽 = , 𝑐𝑜𝑠𝛾 = . 𝑣 𝑣 𝑣 Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени. Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам наперед известна. Определение скорости точки при естественном способе задания движения Величину скорости можно определить как предел (∆r – длина хорды ММ1): ∆𝑟 ∆𝑟 ∆𝑠 ∆𝑟 ∆𝑠 = lim ∙ = lim ∙ lim , ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑠 ∆𝑡→0 ∆𝑠 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑣 = lim где ∆s – длина дуги ММ1. Первый предел равен единице, второй предел – производная ds/dt. Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения: 𝑣= 𝑑𝑠 = 𝑠̇ . 𝑑𝑡 Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении Вектор ускорения точки Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени. м с В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате ( 2 ). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v, а в момент t1 приходит в положение M1 и имеет скорость v1 (рис. 8). Рис.8 Тогда за промежуток времени ∆t=t1-t скорость точки получает приращение ∆𝑣 = 𝑣1 − 𝑣 . Для построения вектора ∆𝑣 отложим от точки М вектор, равный v1, и построим параллелограмм, в котором диагональю будет 𝑣1 , a одной из сторон 𝑣 . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор ∆𝑣. Заметим, что вектор ∆𝑣 всегда направлен в сторону вогнутости траектории. Отношение приращения вектора скорости ∆𝑣 к соответствующему промежутку времени ∆t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени: 𝑎ср = ∆𝑣 /∆𝑡. Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор ∆𝑣, т.е. направлен в сторону вогнутости траектории. Ускорением точки в данный момент времени t называется векторная величина 𝑎, к которой стремится среднее ускорение 𝑎ср при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени. Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v постоянна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равномерному движению. Найдем, как располагается вектор 𝑎 по отношению к траектории точки. При прямолинейном движении вектор 𝑎 направлен вдоль прямой, по которой движется точка. При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 9, а) векторы 𝑎 и 𝑣0 сонаправлены (𝑎 ↑↑ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 ) и проекция ускорения на направление движения положительна. При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 9, б) направления векторов 𝑎 и ⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 противоположны (𝑎 ↑↓ ⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 ) и проекция ускорения на направление движения отрицательна. Рис.9 Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения 𝑎, так же как и вектор 𝑎ср, лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор 𝑎ср направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке M1 (рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения 𝑎 лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Определение ускорения при координатном способе задания движения Вектор ускорения точки 𝑎 = 𝑎𝑥 = ⃗ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 в проекции на оси получаем: 𝑑𝑣𝑥 𝑑2 𝑥 = 2, 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑦 = 𝑑𝑣𝑦 𝑑2 𝑦 = 2, 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑧 = 𝑑𝑣𝑧 𝑑2 𝑧 = 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Или 𝑎𝑥 = 𝑣̇𝑥 = 𝑥̈ , 𝑎𝑦 = 𝑣̇𝑦 = 𝑦̈ , 𝑎𝑧 = 𝑣̇𝑧 = 𝑧̈ , т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул 𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2 ; 𝑐𝑜𝑠𝛼1 = 𝑎𝑥 , 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽1 = 𝑎𝑦 , 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛾1 = 𝑎𝑧 , 𝑎 где α1, β1, γ1 - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями. Пример 3. Движение точки задано уравнениями x=2t, y=3-4t2. Из первого уравнения t=x/2. Подставив во второе, получим уравнение траектории: y=3-x2 Это уравнение параболы. В начале движения, при t=0, точка находилась на самом верху, в положении M0 (x0=0, y0=3 см). А, например, при t =0,5 c она будет в положении M с координатами x1=1 см; y1=2 см. Проекции скорости на оси vx=𝑥̇ =2см∙с-1, При t =0,5 c, vx=2см∙с-1, vy=𝑦̇ =-8t см∙с-1. vy=-4 см∙с-1. И модуль скорости 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 = √22 + 42 = 4,47 см ∙ с−1 . Составляющие скорости по осям и вектор её показаны в масштабе на рис. 10. Рис.10 Проекции ускорения ax=𝑥̈ =0, ay=𝑦̈ =-8 см∙с-2. Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрицательна, то вектор ускорения направлен вертикально вниз, и величина его постоянна, не зависит от времени. Определение ускорения в полярных координатах Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах r= r(t); φ= φ(t). Декартовы координаты выражаются через полярные по формулам х= r∙соsφ, у= r∙sinφ. Найдем проекции ar и aφ ускорение a точки на радиальное (r) и трансверсальное (φ) направление (рис.10.1) Для ax и ay имеем выражение ax=arcosφ - aφsinφ, ay=arsinφ + aφcosφ C другой стороны, ax=x=rcosφ – 2rφsinφ – rcosφ ∙φ2 – rsinφ ∙φ, ay=y=rsinφ + 2rφcosφ - rsinφ ∙φ2 + rcosφ ∙φ. Рис.10.1 Таким образом, получим ar=r – rφ2, aφ=2rφ + rφ. Модуль ускорения 2 = √(𝑟 − 𝑟𝜑 2 )2 + (2𝑟𝜑 + 𝑟𝜑)2 . 𝑎 = √𝑎𝑟2 + 𝑎𝜑 Обозначая через θ угол, образованный ускорением с положительным радиальным направлением, определим направление ускорения a точки по формуле 𝑡𝑔𝜃 = 𝑎𝜑 2𝑟𝜑 + 𝑟𝜑 = . 𝑎𝑟 𝑟 − 𝑟𝜑2 Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки При естественном способе задания движения вектор 𝑎 определяют по его проекциям на оси Mτnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.11). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными (естественными) осями), направлены следующим образом: ось Mτ - вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Mn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль Mn, лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mb - бинормалью. Естественные оси – это подвижные оси, связанные с движущейся точкой М и образующие правую прямоугольную систему координат. Плоскость, проходящая через обе нормали (главную нормаль n и бинормаль b), называется нормальной плоскостью. Координатная плоскость, проходящая через касательную нормаль n, называется соприкасающейся плоскостью. Соприкасающуюся плоскость в некоторой точке М кривой можно определить также, как предельное положение плоскости, проходящей через касательную в точке М и любую точку кривой М1, когда последняя стремится в пределе к совпадению с точкой М. При движении точки по траектории направления естественных осей непрерывно изменяются. Рис.11 Было показано, что ускорение точки 𝑎 лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости Mτn; следовательно, проекция вектора 𝑎 на бинормаль равна нулю (a=0). Вычислим проекции 𝑎, на две другие оси. Пусть в момент времени t точка находится в положении М и имеет скорость v, a в момент t1=t+∆t приходит в положение М1 и имеет скорость v1. Тогда по определению ∆𝑣 𝑣1 − 𝑣 = lim . ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑎 = lim Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси Mτ и Mn, проведенные в точке М (рис.11). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим: 𝑣1𝜏 − 𝑣𝜏 , ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑎𝜏 = lim 𝑣1𝑛 − 𝑣𝑛 . ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑎𝑛 = lim Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М1 оси 𝑀𝜏′ , 𝑀𝑛′ , параллельные Mτ, Mn, и обозначим угол между направлением вектора 𝑣1 и касательной Mτ через ∆φ. Этот угол между касательными к кривой в точках М и М1 называется углом смежности. Напомним, что предел отношения угла смежности ∆φ к длине дуги MM1=∆s определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны ρ в точке М. Таким образом, ∆𝜑 1 =𝑘= . ∆𝑠→0 ∆𝑠 𝜌 lim Обращаясь теперь к чертежу (рис.11), находим, что проекции векторов 𝑣 и 𝑣1 на оси Mτ, Mn, будут равны: 𝑣𝜏 = 𝑣, { 𝑣1𝜏 = 𝑣1 𝑐𝑜𝑠∆𝜑, 𝑣𝑛 = 0 𝑣1𝑛 = 𝑣1 𝑠𝑖𝑛∆𝜑, где v и v1 - численные величины скорости точки в моменты t и t1. Следовательно, 𝑣1 𝑐𝑜𝑠∆𝜑 − 𝑣 , ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑎𝜏 = lim 𝑎𝑛 = lim (𝑣1 ∆𝑡→0 𝑠𝑖𝑛∆𝜑 ). ∆𝑡 Заметим что при ∆t→0 точка М1 неограниченно приближается к М и одновременно ∆𝜑 → 0, ∆𝑠 → 0, 𝑣1 → 𝑣. Тогда, учитывая, что в пределе lim∆𝜑→0 (𝑐𝑜𝑠∆𝜑) = 1, получим для aτ выражение 𝑣1 − 𝑣 𝑑𝑣 = . ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝜏 = lim Правую часть выражения an преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на ∆φ∆s. Тогда будем иметь 𝑎𝑛 = lim (𝑣1 ∆𝑡→0 𝑠𝑖𝑛∆𝜑 ∆𝜑 ∆𝑠 𝑣2 )= , ∆𝜑 ∆𝑠 ∆𝑡 𝑝 так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при ∆t→0 равны: 𝑙𝑖𝑚𝑣1 = 𝑣, 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑛∆𝜑 = 1, ∆𝜑 𝑙𝑖𝑚 ∆𝜑 1 = , ∆𝑠 𝑝 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑠 𝑑𝑠 = = 𝑣. ∆𝑡 𝑑𝑡 Окончательно получаем: 𝑎𝜏 = 𝑑𝑣 𝑑2 𝑠 = ; 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑎𝑛 = 𝑣2 . 𝑝 Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю (ab=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинематики точки. Рис.12 Отложим вдоль касательной Mτ и главной нормали Mn векторы 𝑎𝜏 и 𝑎𝑛 , численно равные aτ и an (рис. 12). Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая 𝑎𝑛 будет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a всегда положительна), а составляющая 𝑎𝜏 может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Mτ в зависимости от знака проекции aτ (см. рис.12, а и б). Вектор ускорения точки 𝑎 изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих 𝑎𝜏 и 𝑎𝑛 . Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю: 𝑎 = √𝑎𝜏2 + 𝑎𝑛2 = √( 𝑑𝑣 2 𝑣2 ) + ( ). 𝑑𝑡 𝜌 Относительность движения. Сложение скоростей Как отмечалось выше, для описания движения тела необходимо выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат. В качестве тела отсчета может выступать любое тело. В разных системах отсчета будут различны вид траектории, значения скорости, перемещения и других величин. В этом и заключается относительность движения. Например, человек идет по палубе парохода со скоростью 𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 относительно парохода. Пароход движется поступательно со скоростью ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 относительно берега. Найдем скорость 𝑣 человека относительно берега. Свяжем неподвижную систему отсчета (хОу) с Землей, а подвижную (х'О'у') — с пароходом. Рис.13 Из рис.13 видно, что перемещение ∆𝑟 = ∆𝑟⃗⃗⃗1 + ∆𝑟⃗⃗⃗2 ⇒ ∆𝑟 ≠ ∆𝑟⃗⃗⃗1 (1) где ∆𝑟⃗⃗⃗1 — перемещение человека относительно парохода, ∆𝑟⃗⃗⃗2 — перемещение парохода относительно берега, ∆𝑟 — перемещение человека относительно берега. Таким образом, если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею в каждом из движений. В этом состоит установленный экспериментально принцип независимости движений. Разделив уравнение (1) на промежуток времени, за который произошли перемещения человека и парохода, получим закон сложения скоростей: 𝑣=𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 Скорость 𝑣 тела относительно неподвижной системы отсчета равна геометрической сумме скорости 𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 тела относительно подвижной системы отсчета и скорости ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Закон сложения скоростей справедлив и для неравномерного движения, только в этом случае 𝑣, 𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 и ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 - мгновенные скорости. Этот закон был установлен Г. Галилеем. Он справедлив только для движений со скоростями, намного меньшими скорости света с = 3∙108 (м/с). Такие скорости в физике называют нерелятивистскими. Некоторые частные случаи движения точки. Пользуясь полученными результатами, рассмотрим некоторые частные случаи движения точки. Равномерное прямолинейное движение Равномерное прямолинейное движение - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения, т. е. это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью: 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 — уравнение скорости, 𝑎 = 0 — уравнение ускорения. Пусть в момент времени t0=0 координата тела х0, в момент t - х (рис. 14). Рис.14 Тогда за промежуток времени Δt=t-t0=t координата X тела изменилась на величину ∆х = х - х0. Следовательно, проекция скорости тела 𝑣𝑥 = 𝑥−𝑥0 𝑡 ,следовательно, x=x0+vxt- кинематическое уравнение равномерного движения (уравнение зависимости координаты от времени). Проекция перемещения ∆rx=х-х0 ∆rx=vxt - уравнение перемещения. При равномерном прямолинейном движении направление скорости не изменяется, поэтому путь 𝑠 = |∆𝑟𝑥 |. Следовательно, 𝑠 = |𝑣𝑥 |𝑡 — уравнение пути. Зависимость кинематических величин от времени можно изобразить графически. Изобразим графики скорости, перемещения, пути и координаты для трех тел: 1, 2, 3 (рис. 15). Рис.15 Тела 1, 2 движутся в положительном направлении оси Ох, причем 𝑣2 > 𝑣1 ; тело 3 движется в направлении, противоположном оси Ох; их начальные координаты соответственно 𝑥01 , 𝑥02 , 𝑥03. Графики скорости представлены на рис.16. Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна пути s (модулю перемещения), пройденному телом 1 за время t1. На рис.17 даны графики перемещения ∆𝑟𝑥 = 𝑓(𝑡), на рис.18 - графики пути s=f(t). Рис.16 Рис.17 Рис.18 Наклон графика ∆𝑟𝑥 = 𝑓(𝑡), к оси времени зависит от модуля скорости: 𝑡𝑔𝛼 = 𝑣𝑥 . Графики движения (зависимости координаты от времени) изображены на рис.19. Рис.19 С помощью графика движения можно определить: 1) координаты тела в любой момент времени; 2) путь, пройденный телом за некоторый промежуток времени; 3) время, за которое пройден какой-то путь; 4) кратчайшее расстояние между телами в любой момент времени; 5) момент и место встречи тел и др. Равноускоренное прямолинейное движение Равноускоренное прямолинейное движение - это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т. е. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением. 𝑎=сonst — уравнение ускорения. По определению ускорения 𝑎 = ⃗ ∆𝑣 ∆𝑡 . Пусть в момент времени t0 скорость тела равна ⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 , в момент времени t - 𝑣 . Тогда за промежуток времени ∆t=t-t0=t скорость изменилась на ∆𝑣 = 𝑣 − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 . Следовательно, ускорение 𝑎= ⃗ −𝑣 ⃗⃗⃗⃗0 𝑣 𝑡 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 + 𝑎𝑡 — уравнение скорости. Или в проекциях: 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡. Эти зависимости кинематических величин от времени изобразим графически для трех тел (рис.20). Рис.20 рис.22. Графики ускорения 𝑎𝑥 = 𝑓(𝑡) представлены на рис.21, а графики скорости 𝑣𝑥 = 𝑓(𝑡) - на Для нахождения перемещения воспользуемся графиком скорости (рис.23). Для малого промежутка времени ∆t изменением величины скорости можно пренебречь и скорость можно считать постоянной. Тогда перемещение за промежуток времени ∆t будет равно площади узкой густо заштрихованной полоски. Мысленно разбив все время движения тела на малые промежутки времени и найдя перемещение за каждый отдельный промежуток времени, суммируем эти перемещения. Модуль проекции перемещения за промежуток времени ∆t=t-t0=t в пределе численно равен площади заштрихованной трапеции. Рис.21 Следовательно, ∆𝑟𝑥 = Рис.22 (𝑣0𝑥 +𝑣𝑥 )𝑡 2 Рис.23 (2) Подставив значение 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡 в (2), получим: ∆𝑟𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑡 + ∆𝑟 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑥 𝑡 2 2 𝑎⃗ 𝑡 2 2 — уравнение перемещения в проекциях; — уравнение перемещения в векторном виде. Учитывая, что х=х0+∆rх, имеем: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡 + 𝑎𝑥 𝑡 2 2 — кинематическое уравнение равноускоренного движения. Его векторный вид: 𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝑟0 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 𝑡 + 𝑎⃗ 𝑡 2 2 Исключая из уравнений скорости и перемещения время t, получим: ∆𝑟𝑥 = 2 𝑣𝑥2 −𝑣0𝑥 2𝑎𝑥 2 ⇒ 𝑣𝑥 = √𝑣0𝑥 + 2𝑎𝑥 ∆𝑟𝑥 . Сравнивая выражение (2) с формулой ∆𝑟𝑥 = 〈𝑣〉𝑥 𝑡, найдем: 〈𝑣〉𝑥 = 𝑣0𝑥 +𝑣𝑥 2 - проекция средней скорости при равноускоренном движении. Графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения (рис.24). Рис.24 Равномерное криволинейное движение Равномерным называется такое криволинейное движение точки, в котором численная величина скорости все время остается постоянной: v=const. Тогда 𝑎𝜏 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 0 и все ускорение точки равно одному только нормальному: 𝑎 = 𝑎𝑛 = 𝑣2 . 𝜌 Вектор ускорения 𝑎 направлен при этом все время по нормали к траектории точки. Так как в данном случае ускорение появляется только за счет изменения направления скорости, то отсюда заключаем, что нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Найдем закон равномерного криволинейного движения. Из формулы 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑣 имеем ds=vdt. Пусть в начальный момент (t=0) точка находится от начала отсчета на расстоянии s0. Тогда, беря от левой и правой части равенства определенные интегралы в соответствующих пределах, получим 𝑠 𝑡 ∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣𝑑𝑡 𝑠0 или 𝑠 − 𝑠0 = 𝑣𝑡, так как v=const. Окончательно находим закон равномерного криволинейного движения в виде s=s0+vt. Если s0=0, то s даст путь, пройденный точкой за время t. Следовательно, при равномерном движении путь, пройденный точкой, расчет пропорционального времени, а скорость движения равна отношению пути ко времени s=vt, v=s/t. Равнопеременное криволинейное движение. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной: aτ=const. Найдем закон этого движения, считая, что при t=0: s=s0, а v=v0, где v0 - начальная скорость точки. Согласно формуле 𝑑𝑣 𝑎𝜏 = 𝑑𝑡 имеем dv=aτdt. Так как aτ=const, то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим: v=v0+aτt. Формулу представим в виде 𝑑𝑠 = 𝑣0 + 𝑎𝜏 𝑡 или 𝑑𝑠 = 𝑣0 𝑑𝑡 + 𝑎𝜏 𝑡𝑑𝑡. 𝑑𝑡 Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝜏 𝑡2 . 2 Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает - замедленным. Свободное падение тел. Ускорение свободного падения Свободное падение - это движение тела под действием только силы тяжести. На тело, падающее в воздухе, кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха, следовательно, такое движение не является свободным падением. Свободное падение — это падение тел в вакууме. Ускорение 𝑔, которое сообщает телу сила тяжести, называют ускорением свободного падения. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость свободно падающего тела за единицу времени. Ускорение свободного падения 𝑔 направлено вертикально вниз. Галилео Галилей установил (закон Галилея): все тела падают на поверхность Земли под действием земного притяжения при отсутствии сил сопротивления с одинаковым ускорением, т.е. ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Убедиться в этом можно, используя трубку Ньютона или стробоскопический метод. Трубка Ньютона представляет собой стеклянную трубку длиной около 1 м, один конец которой запаян, а другой снабжен краном (рис. 25). Рис.25 Поместим в трубку три разных предмета, например дробинку, пробку и птичье перо. Затем быстро перевернем трубку. Все три тела упадут на дно трубки, но в разное время: сначала дробинка, затем пробка и, наконец, перо. Но так падают тела в том случае, когда в трубке есть воздух (рис. 25, а). Стоит только воздух откачать насосом и снова перевернуть трубку, мы увидим, что все три тела упадут одновременно (рис. 25, б). В земных условиях g зависит от географической широты местности. Наибольшее значение оно имеет на полюсе g=9,81 м/с2, наименьшее — на экваторе g=9,75 м/с2. Причины этого: 1) суточное вращение Земли вокруг своей оси; 2) отклонение формы Земли от сферической; 3) неоднородное распределение плотности земных пород. Ускорение свободного падения зависит от высоты h тела над поверхностью планеты. Его, если пренебречь вращением планеты, можно рассчитать по формуле: 𝑔ℎ = 𝐺𝑀 (𝑅 + ℎ)2 где G — гравитационная постоянная, М — масса планеты, R — радиус планеты. Как следует из последней формулы, с увеличением высоты подъема тела над поверхностью планеты ускорение свободного падения уменьшается. Если пренебречь вращением планеты, то на поверхности планеты радиусом R 𝐺𝑀 (𝑅)2 𝑔= Для небольших высот (g<> или <<ускорение тела>> для этих движений теряют смысл. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги. Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором 𝑟, проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 6). Рис.6 За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение ∆𝑟, равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l. Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ. Угол выражают в радианах. Скорость 𝑣 движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени ∆t, за который эта дуга пройдена: 𝑣= 𝑙 ∆𝑡 Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью: 𝜔= ∆𝜑 ∆𝑡 рад ). с В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду ( При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ω=const; v=const. Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора 𝑟 и угол φ, который он составляет с осью Ох (угловая координата). Если в начальный момент времени t0=0 угловая координата равна φ0, а в момент времени t она равна φ, то угол поворота ∆φ радиуса-вектора за время ∆t=t-t0 равен ∆φ=φ-φ0. Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности: φ=φ0+ωt Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t. 1 Учитывая, что ∆𝜑 = 𝑅, получаем: 𝜔= 𝑙 𝑣 = ⇒ 𝑅∆𝑡 𝑅 𝑣 = 𝜔𝑅— формула связи между линейнойи угловой скоростью. Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения: ∆𝑡 , 𝑁 где N – число оборотов, совершенных телом за время Δt. 𝑇= За время ∆t=Т тело проходит путь l=2πR. Следовательно, 𝑣= 2𝜋𝑅 2𝜋 ; 𝜔= 𝑇 𝑇 Величина ϑ, обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения: 𝜗= 1 𝑁 = 𝑇 ∆𝑡 Следовательно, 𝑣 = 2𝜋𝜗𝑅; 𝜔 = 2𝜋𝜗. Ускорение при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью (центростремительное ускорение) При равномерном вращении по окружности модуль скорости движения тела не изменяется, но направление скорости изменяется непрерывно. Следовательно, данное движение - движение с ускорением. Оно характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Рис.7 По определению среднего ускорения 〈𝑎〉 = ⃗ ∆𝑣 . ∆𝑡 Треугольники ОАВ и ВСD — равнобедренные (рис. 7). Углы при вершинах — одинаковые (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Отсюда следует, что ∆ОАВ подобен ΔВСD. Из подобия |∆𝑣 ⃗| 𝑣 = |∆𝑟| 𝑅 => |∆𝑣 | = 𝑣|∆𝑟| 𝑅 𝑣 |∆𝑟| 𝑅 ∆𝑡 Тогда 〈𝑎〉 = ∙ Мгновенное ускорение 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚 〈𝑎〉 = ∆𝑡→0 |∆𝑟| 𝑣 2 𝑣 𝑙𝑖𝑚 = 𝑅 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑅 β — угол между ⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 и ∆𝑣 (〈𝑎〉) —внешний по отношению к ΔВСD: 𝛽 = ∆𝜑 + 180 − ∆𝜑 ∆𝜑 = 90 + 2 2 При ∆t→0 угол ∆φ→0 и, следовательно, β→90°. Перпендикуляром к касательной к окружности является радиус. Следовательно, 𝑎 направлено по радиусу к центру и поэтому называется центростремительным ускорением: 𝑎= 𝑣2 𝑅 Модуль 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, направление 𝑎 непрерывно изменяется (рис. 8). Поэтому данное движение не является равноускоренным. Рис.8 Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси используются те же величины, что и для описания движения материальной точки по окружности. Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.9). Промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси, — период вращения. Величина, обратная периоду, — частота вращения. Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения. Так как расстояния между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплоскость - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 9). Рис.9 Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол φ будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т.е. φ=f(t). Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Если за промежуток времени ∆t=t1-t тело совершает поворот на угол ∆φ=φ1-φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет 𝜔ср = ∆𝜑 . ∆𝑡 В пределе при ∆t→0 найдем, что 𝜔= 𝑑𝜑 𝑑𝑡 или ω=𝜑̇ . Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0. Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с-1), так как радиан - величина безразмерная. Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора 𝜔 ⃗ , модуль которого равен |𝜔 ⃗|и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.10). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси. Рис.10 Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения: 𝑣 = 𝜔𝑅 = 2𝜋𝜗𝑅 = 2𝜋 𝑅 𝑇 При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, а нормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения: 𝑎𝑛 = 𝑣2 4π2 = 𝜔2 𝑅 = 4𝜋 2 𝜗 2 𝑅 = 2 R 𝑅 T Вектор ⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑛 направлен по радиусу траектории точки к оси вращения. Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени ∆t=t1-t угловая скорость тела изменяется на величину ∆ω=ω1-ω, то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет 𝜀ср = ∆𝜑 . ∆𝑡 В пределе при ∆t→0 найдем, 𝜀= 𝑑𝜑 𝑑2 𝜑 = 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 или 𝜀 = 𝜔̇ = 𝜔̈ . Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени. Размерность углового ускорения 1/T2 (1/время2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с2 или, что то же, 1/с2 (с-2). Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные. Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора ε, направленного вдоль оси вращения. При этом 𝜀= 𝑑𝜔 ⃗ . 𝑑𝑡 Направление ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно и (рис.10,а), противоположно ω при замедленном вращении (рис.10,б). Равномерное и равнопеременное вращения Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (ω=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы 𝜔= 𝑑𝜑 𝑑𝑡 имеем dφ=ωdt. Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол φ=φ0, и беря интегралы слева от φ0 до φ, а справа от 0 до t, получим окончательно φ=φ0+ωt. Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда φ0=0 φ=ωt и ω=φ/t. В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и ω 1/с. При одном обороте тело повернется на угол 2π, а при n оборотах на 2πn; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что ω=π∙n/30≈0,1n. Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε=const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол φ=φ0, а угловая скорость ω=ω0 (ω0 - начальная угловая скорость). Из формулы 𝜀 = 𝑑𝜔/𝑑𝑡 имеем dω=ε∙dt. Интегрируя левую часть в пределах от ω0 до ω, а правую - в пределах от 0 до t, найдем ω=ω0+εt, dφ/dt=ω0+εt или dφ=ω0dt+εtdt. Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения 𝜑 = 𝜑0 + 𝜔0 𝑡 + 𝜀𝑡 2 /2. Если величины ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек. 1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, т.е 𝑣= 𝑑𝑠 𝑑𝜑 =ℎ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 или 𝑣 = ℎ𝜔. Скорость 𝑣 в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М. Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точкой перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М. окружности или Так как для всех точек тела  имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Рис.11 Рис. 12 2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами 𝑎𝜏 = 𝑑𝑣 , 𝑑𝑡 𝑎𝑛 = 𝑣2 . 𝜌 В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения aτ и an, получим: 𝑎𝜏 = ℎ 𝑑𝜔 , 𝑑𝑡 𝑎𝑛 = ℎ 2 𝜔2 ℎ или окончательно: 𝑎𝜏 = ℎ𝜀, 𝑎𝑛 = ℎ𝜔2 . Касательная составляющая ускорения aτ направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая an всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет 𝑎 = √𝑎𝜏2 + 𝑎𝑛2 или 𝑎 = ℎ√𝜀 2 + 𝜔 4 . Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле 𝑡𝑔𝜇 = 𝑎𝜏 /𝑎𝑛 . Подставляя сюда значения aτ и an, получаем 𝑡𝑔𝜇 = 𝜀/𝜔2 . Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14. Рис.13 Рис.14 3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор 𝑟 точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле |𝑣| = |𝜔|ℎ = |𝜔|𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 или |𝑣| = |𝜔 ⃗ × 𝑟|. Таким образом, модуль векторного произведения 𝜔 ⃗ × 𝑟 равен модулю скорости точки М. Направления векторов 𝜔 ⃗ × 𝑟 и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно, 𝑣 = 𝜔 ⃗ × 𝑟 - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Пример 1. Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, что φ=0,5sin2t. Длина OM=l=1м. (рис. 15). Рис.15 5. Решение. Маятник вращается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость 𝜔 = 𝜑̇ = 𝑐𝑜𝑠2𝑡 с−1 угловое ускорение 𝜀 = 𝜑̈ = 2𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝑐 −2 . Например, при t=1 с, φ=0,5sin2=0,45 рад≅26°; ω=cos2=-0,42 c-1 (вращение по часовой стрелке); ε=-2sin2=-1,82 c-2 (угловое ускорение направлено также по часовой стрелке). Вращение в этом положении ускоренное. Скорость точки M: vM=lω=1∙0,42=0,42 м∙с-1 (определяется модуль скорости). Направлен вектор скорости соответственно направлению угловой скорости – в сторону вращения. Нормальное ускорение an=lω2=1∙0,422=0,176 м∙с-2, касательное ускорение aτ=lε=1∙1,82=1,82 м∙с . (Определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор 𝑎𝜏 вниз, как указывает угловое ускорение). -2 Величина полного ускорения точки 𝑎𝑀 = √𝑎𝑛2 + 𝑎𝜏2 = 1,828 м ∙ с−2 . Вращение тела вокруг неподвижной точки Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям. Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов. 1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой. Положение тела определяется тремя углами. Используются различные системы углов. Например, корабельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными являются углы Эйлера: Ψ (пси), 𝜃(тета), φ (фи). Положение тела определяется следующим образом. Назначаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси x,y,z. Начало которых берётся в неподвижной точке O тела (рис. 16). Вторая система, оси x1, y1, z1, связывается с телом. Поэтому положение тела будет определяться как положение этих осей относительно неподвижных. Рис.16 Когда углы Эйлера равны нулю, подвижные оси совпадают с неподвижными. Чтобы определить положение тела, соответствующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачиваем на угол Ψ вокруг оси z. При этом оси x1 и y1 отойдут от осей x и y в горизонтальной плоскости и ось x1 займёт положение OK (рис.16). Затем тело вращаем вокруг нового положения оси x1 (прямой OK) на угол θ. Ось z1 отойдёт от оси z на этот угол θ, а ось y1 приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси z1 на угол φ. Ось x1 отойдёт от положения OK в наклонной плоскости, перпендикулярной оси z1. Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не показано). Линия пересечения неподвижной плоскости xOy и подвижной x1Oy1, прямая OK, называется линией узлов. Угол Ψ называется углом прецессии, угол θ – углом нутации, угол φ – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов. При движении тела углы Эйлера изменяются по определённым законам Ψ=Ψ(t); θ=θ(t); φ=φ(t) которые называются уравнениями вращения. На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.17). Ось волчка z1 описывает конус вокруг неподвижной оси z. Это вращение определяется углом Ψ (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации θ. А вращение волчка вокруг своей оси z1, определяемое углом φ – собственное вращение. Рис.17 2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения. Проведём в теле сферическую поверхность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке O (рис.18). Рис.18 Покажем у тела какие-нибудь две точки A и B, расположенные на этой сфере. Соединим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое положение. Точки, а значит и дуга, займут положение A1 и B1. Соединим точки A и A1, B и B1 дугами большого радиуса AA1 и BB1. Посередине этих дуг проведём им перпендикулярные дуги и найдём их точку пересечения P1. Соединим эту точку P1 с точками A, B, A1, B1. Получим два сферических треугольника ∆ABP1 и ∆A1B1P1, расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (AB=A1B1, а AP1=A1P1 и BP1=B1P1 – как дуги равноудалённые от перпендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину P1, то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой OP1. Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку O. Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера. Конечно, такое перемещение не является истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положения в другое каким-то другим, наверное более сложным путём. Но, если время ∆t такого перехода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при ∆t→0 можно предположить, что для данного момента времени тело поворачивается вокруг некоторой оси Р, проходящей через неподвижную точку O, вращаясь вокруг неё с угловой скоростью 𝜔 ⃗ . Конечно, для каждого другого момента времени эта ось расположена иначе. Поэтому ось P называют мгновенной осью вращения, а угловую скорость 𝜔 ⃗ – мгновенной угловой скоростью, вектор которой направлен по оси. 3) Скорость точек тела. По теореме Даламбера-Эйлера за малое время ∆t движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси OP1 с некоторой угловой скоростью 𝜔 ⃗ ср (рис.19). Рис.19 Тогда скорость точки M: 𝑣ср = 𝜔 ⃗ ср × 𝑟. В пределе, при ∆t→0, угловая скорость 𝜔 ⃗ ср будет приближаться к мгновенной угловой скорости 𝜔 ⃗ , направленной по мгновенной оси вращения P, а скорость точки 𝑣ср - к истинному значению: 𝑣 = lim 𝑣ср = lim (𝜔 ⃗ ср × 𝑟) = lim 𝜔 ⃗ ср × lim 𝑟 = 𝜔 ⃗ × 𝑟. ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор 𝜔 ⃗ , в нашем случае – по мгновенной оси вращения P. Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси P. Величина скорости v=h∙ω (рис.19). Определение скоростей точек тела значительно упрощается, если известна мгновенная ось вращения P. Иногда её можно найти, если удастся обнаружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме O, скорость которой в данный момент равна нулю, и провести ось P из неподвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое место точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени. Пример 2. Водило OA=a, вращаясь вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью ω0, заставляет диск радиуса R кататься по горизонтальной плоскости (рис.20). Рис.20 Если представить диск как основание конуса с вершиной в неподвижной точке O, то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки O. Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости 𝜔 ⃗ будет направлен по этой оси. Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z. Поэтому её скорость vA=aω0 (рис.20). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси P и направление вектора 𝜔 ⃗ . Величина угловой скорости 𝜔 = 𝑣𝐴 ℎ (h – расстояние от A до оси P). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси P. Так, например, скорость точки B: vB=2h∙ω. Так как h=R∙cosα и 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑎 √𝑎 2 +𝑅2 , 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑅 √𝑎 2 +𝑅2 , то 𝜔 = 𝑣𝐴 ℎ = 𝑎𝜔0 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼 1 𝑅 = 𝜔0 √𝑎2 + 𝑅 2 и vB=2aω0. 4) Ускорение точек тела. Сначала определим угловое ускорение тела 𝜀 = ⃗⃗⃗ 𝑑𝜔 . 𝑑𝑡 При движении тела вектор угловой скорости 𝜔 ⃗ изменяется и по величине, и по направлению. Точка, расположенная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью 𝑢 ⃗ (рис.21). Рис.21 Если рассматривать вектор 𝜔 ⃗ как радиус-вектор этой точки, то 𝑢 ⃗ = ⃗⃗⃗ 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 𝜀. Итак. Угловое ускорение тела можно определить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости: 𝑢 ⃗ = 𝜀. Этот результат называется теоремой Резаля. Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки M тела 𝑎= 𝑑𝑣 𝑑 𝑑𝜔 ⃗ 𝑑𝑟 = (𝜔 ⃗ × 𝑟) = ×𝑟+𝜔 ⃗ × =𝜀×𝑟+𝜔 ⃗ × 𝑣, 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 есть сумма двух векторов. Первый вектор 𝑎1 = 𝜀 × 𝑟. Модуль его a1=εr∙sinα1=ε∙h1, где h1 – расстояние от точки M до вектора 𝜀 . Направлен он перпендикулярно 𝜀 и 𝑟. Но таким же способом определяется касательное ускорение. Поэтому первую составляющую ускорения определяют как касательное ускорение, предполагая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с вектором 𝜀 . И обозначается этот вектор ускорения так 𝑎𝜏𝜀 = 𝜀 × 𝑟. Второй вектор 𝑎2 = 𝜔 ⃗ × 𝑣 . Модуль его a2=ωv∙cosα2, но α2=90°, т.к. векторы 𝜔 ⃗ и 𝑣 перпендикулярны друг другу. Рис.22 Значит a2=ωv=ωh2ω=h2ω2, где h2 – расстояние от точки М до мгновенной оси P, до вектора 𝜔 ⃗. Направлен вектор 𝑎2 перпендикулярно 𝜔 ⃗ и 𝑣 , т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси P, или вектора 𝜔 ⃗ . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так: ⃗⃗⃗ 𝑛𝜔 = 𝜔 𝑊 ⃗ × 𝑣. Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений: 𝑎 = 𝑎𝜏𝜀 + 𝑎𝑛𝜔 . Этот результат называется теоремой Ривальса. Заметим, что в общем случае векторы 𝜔 ⃗ и 𝜀 не совпадают и угол между 𝑎𝜏𝜀 и 𝑎𝑛𝜔 не равен 90°, векторы не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси. Пример 3. Продолжим исследование движения диска (пример 2). Модуль угловой скорости 𝜔= 𝑣𝐴 ℎ = 𝑎 𝜔 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼 0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Значит вектор 𝜔 ⃗ вместе с осью P, которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус. Точка М на конце вектора 𝜔 ⃗ движется по окружности радиуса r=ω∙cosα с угловой скоростью ω0. Поэтому угловое ускорение 𝑎 диска 𝜀 = 𝑢𝑀 = 𝜔𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝜔0 = 𝑅 𝜔02 . Откладывается вектор 𝜀 из неподвижной точки О. Направлен он, как скорость 𝑢 ⃗ 𝑀, перпендикулярно водилу OA, параллельно оси х (рис. 23). Рис.23 Найдём ускорение точки В. 𝑎 Ускорение 𝑎𝜏𝜀 = 𝑂𝐵 ∙ 𝜀 = 𝑅 √𝑎2 + 𝑅 2 ∙ 𝜔02 . Направлен вектор 𝑎𝜏𝜀 перпендикулярно OB и расположен в плоскости zO1y. 𝑣2 𝑎 2 𝜔2 𝑎 Ускорение 𝑎𝑛𝜔 = 𝐵𝐶 ∙ 𝜔2 = 2ℎ𝜔2 = 2ℎ ℎ𝐴2 = 2 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2 𝑅 √𝑎2 + 𝑅 2 ∙ 𝜔02 . Вектор 𝑎𝑛𝜔 направлен по BC, перпендикулярно мгновенной оси P. Модуль вектора 𝑎𝐵 найдём с помощью проекций на оси x, y, z: 𝑎𝐵𝑥 = 0, 𝑎 𝑎𝐵𝑦 = −𝑎𝜏𝜀 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑎𝑛𝜔 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −3 √𝑎2 + 𝑅 2 ∙ 𝜔02 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −3𝑎𝜔02 , 𝑅 𝑎 𝑎2 𝑎𝐵𝑧 = 𝑎𝜏𝜀 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑎𝑛𝜔 𝑐𝑜𝑠𝛼 = − √𝑎2 + 𝑅 2 ∙ 𝜔02 𝑐𝑜𝑠𝛼 = − 𝜔02 , 𝑅 𝑅 Значит 2 2 2 𝑎𝐵 = √𝑎𝐵𝑥 + 𝑎𝐵𝑦 + 𝑎𝐵𝑧 = 𝑎𝜔02 √9 + 𝑎2 . 𝑅2 Пример 4. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса. Дано: ω=20 рад/с , N=10 об. Найти: ε-? Решение. При равномерном вращательном движении имеют место следующие два уравнения: φ=φо+ωоt+εt2/2 и ω= ωо+εt. По условию ωо=0, тогда эти уравнения примут вид: φ=εt2/2 и ω = εt. Решая их и учитывая, что φ=2πN, получим окончательно ε=ω2/4πN=3,2 рад/с. Пример 5. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14 рад/с2 (рис.24). Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) тангенциальное ускорение, 4) нормальное ускорение, 5) полное ускорение и 6) угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. Дано: R= 0,1 м, ε=3,14 рад/с2 Найти: ω-? v -? aτ -? a -? an a  at   Рис.24 Решение. 1) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость ω = ωо+εt. По условию ωо=0, тогда ω = εt, т.е. ω растет пропорционально времени. К концу первой секунды ω=3,14 рад/с. 2) Так как v=ωR, то линейная скорость также пропорционально времени. К концу первой секунды v = 3,14 м/с. 3) Тангенциальное ускорение aτ=𝜀R не зависит от времени t. В нашем случае aτ=0,314 м/с2. 4) Нормальное ускорение an=ω2R=ε2t2R, т.е. нормальное ускорение растет пропорционально квадрату времени: при t=1 c an=0,986м/с2. 5) Полное ускорение растет со временем по закону: 𝑎 = √𝑎𝜏2 + 𝑎𝑛2 = 𝑎𝜏 √1 + 𝜀 2 𝑡 4 . При t=1 c a=1,03 м/с2. 6) Имеем 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑎𝜏 𝑎 = 1 √1+𝜀2 𝑡 4 , где α - угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент времени, т.е. при t=0, a =aτ - полное ускорение направлено по касательной. При t=∞ a = an (так как aτ=const и an пропорционально времени), т.е. при t=∞ полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sinα=aτ/an=0,314/1,03=0,305, т.е. α=17о46’. Пример 6. Колесо вращается равноускоренно с угловым ускорением ε= 3 рад/с2. Определить, какой угловой скорости достигнет тело после t=3 с своего вращения? Сколько оборотов N оно при этом совершит? Решение. Если тело вращается равноускоренно, то его движение описывает следующая система уравнений 𝜀𝑡 2 2 𝜔 = 𝜔0 + 𝜀𝑡 { 𝜑 = 𝜔0 𝑡 + В начальный момент тело покоилось, значит, ω0=0. Тогда 𝜀𝑡 2 2 𝜔 = 𝜀𝑡. {𝜑 = Следовательно, ω=εt=3∙3=9 рад/с. Количество оборотов 𝑁= 𝜑 𝜀𝑡 2 3 ∙ 32 = = = 2,15 оборота. 2𝜋 4𝜋 4𝜋 Пример 7. Вентилятор вращался с частотой n0=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения до остановки вентилятора? С каким угловым ускорением ε он двигался? Решение. Равнозамедленное движение вентилятора описывается следующей системой уравнений 𝜀𝑡 2 2 2𝜋𝑛 = 2𝜋𝑛0 − 𝜀𝑡 {2𝜋𝑁 = 2𝜋𝑛0 𝑡 − Поскольку вентилятор остановился, то его конечная частота n=0. Тогда выразим 𝑡 = 2𝜋𝑛0 𝜀 из второго уравнения и, подставив его в первое уравнение, а также учитывая, что n0=900 об/мин = 15 об/с, получим 𝜀= 𝜋𝑛02 𝜋 ∙ 152 = = 9,42 рад/с2 . 𝑁 75 Время движения равно 𝑡= 2𝜋𝑛0 2𝜋 ∙ 15 = = 10 с. 𝜀 9,42 Пример 8. Точка вращается по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением aτ=5 см/с2. Через какое время после начала вращения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального? Решение. Угловая скорость точки при равноускоренном движении может быть найдена из соотношения ω=ω0+εt. Так как ω0=0, то ω=εt. Нормальное ускорение an=ω2R=(εt)2R. Тангенциальное 2 2𝑅 ускорение aτ=εR. По условию задачи an=2aτ, тогда (εt)2R=2εR, следовательно, εt2=2 и 𝑡 = √𝜀 = √ 𝑎 = 𝜏 2∙0,2 √ 0,05 = 2,83 𝑐. Пример 9. Точка движется по окружности радиусом R=2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s(t)=Ct3, где С = 0,1 см/с3. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в тот момент, когда линейная скорость точки v= 0,3 м/с. Решение. Зависимость пути от времени позволяет найти зависимости от времени скорости и тангенциального ускорения. 𝑣= 𝑑𝑠 = 3𝐶𝑡 2 , 𝑑𝑡 𝑎𝜏 = 𝑑𝑣 = 6𝐶𝑡. 𝑑𝑡 Отсюда, 𝑡=√ 𝑣 0,3 =√ = 10 с. 3𝐶 3 ∙ 0,1 ∙ 10−2 Тогда тангенциальное ускорение aτ=6∙Ct=6∙0,1∙10-2∙10=0,06 м/с2. Нормальное ускорение 𝑎𝑛 = 𝑣2 0,32 = = 4,5 м/с2 . 𝑅 2 ∙ 10−2 Пример 10. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная скорость точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение aτ = 1 м/с2. Для момента времени t = 2 с определить: а) длину пути, пройденного точкой, б) модуль перемещения; в) линейную и угловую скорости; г) нормальное, полное и угловое ускорения. Рис.25 Решение. Уравнение зависимости пути, пройденного точкой, от времени имеет вид 𝑠(𝑡) = 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝜏 𝑡 2 2 (м). Это позволяет найти длину пути 𝑠 = 3 ∙ 2 + 1∙22 2 = 8 м. Если учесть, что за один оборот точка проходит путь, равный длине окружности s1=2πR=8π м, то можно найти угловое перемещение точки из пропорции 2𝜋 𝜑 = 8𝜋 , 8 φ=2 (рад) = 114,70. Тогда модуль перемещения может быть найден по теореме косинусов как хорда, стягивающая этот угол φ. |𝑟| = √2𝑅 2 − 2𝑅2 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑅√2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜑) = 4√2(1 + 0,418) = 6,73 м. Линейная скорость точки v=v0+aτt=3+1∙2=5 м/с. Угловая скорость ω=vR=5∙4=20 рад/с. Нормальное ускорение 𝑎𝑛 = 𝑣 2 52 = = 6,25 м/с2 . 𝑅 4 Полное ускорение 𝑎 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝜏 . Модуль полного ускорения 𝑎 = √𝑎𝑛2 + 𝑎𝜏2 = √6,252 + 12 = 6,33 м/с2 . Угловое ускорение 𝜀= 𝑎𝜏 1 = = 0,25 рад/с2 . 𝑅 4 Пример 11. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, проходит закругленное шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер тормозит машину, сообщая ей ускорение 0,3 м/с 2. Найти нормальное и полное ускорения автомобиля на повороте. Найти угол между вектором полного ускорения автомобиля на повороте и вектором его скорости. Каковы угловые скорость и ускорение автомобиля в момент вхождения машины в поворот? Рис.26 Решение. Зная скорость автомобиля v=36 км/ч =10 м/с, найдем его нормальное ускорение 𝑎𝑛 = 𝑣 2 102 = = 0,5 м/с2 . 𝑅 200 Полное ускорение автомобиля 𝑎 = √𝑎𝑛2 + 𝑎𝜏2 = √0,52 + 0,32 = 0,58 м/с2 . Угловое ускорение 𝜀= 𝑎𝜏 0,3 = = 1,5 ∙ 10−3 рад/с2 . 𝑅 200 Угловая скорость 𝜔= 𝑣 10 = = 0,05 рад/с. 𝑅 200 Поскольку движение автомобиля замедленное, то векторы скорости и тангенциального ускорения направлены в противоположные стороны, поэтому вектор скорости и вектор полного ускорения образуют тупой угол φ. Для нахождения этого угла определим вначале угол α, дополняющий искомый угол до 1800. 𝑡𝑔𝛼 = 𝑎𝑛 0,5 = = 1,67 ⇒ 𝛼 = 59° ⇒ 𝜑 = 180° − 𝛼 = 121°. 𝑎𝜏 0,3 Пример 12. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v2, точки, лежащей на расстоянии r =5 cм ближе к оси колеса. Дано: v2=2,5v1, r=R-5 Рис.27 Решение. 1) У точек находящихся на колесе и лежащих на радиусе, будут одинаковы угловые скорости. Используем связь угловой и линейной скоростей: 𝜔1 = 𝑣1 𝑅 и 𝜔2 = 𝑣2 𝑅−𝑙 т.к. ω1=ω2, приравниваем правые части уравнений: 𝑣1 𝑣2 𝑅 𝑣1 = ⇒ = = 2,5 𝑅 𝑅 − 𝑙 𝑅 − 𝑙 𝑣2 Решим уравнение относительно R: 𝑅 = 2,5; 𝑅−𝑙 𝑅 = 2,5 ∙ (𝑅 − 5); 1,5𝑅 = 12,5; 𝑅 = 2,5𝑅 − 12,5; 𝑅 ≈ 8,33. Ответ: Радиус вращающегося колеса равен 8,33 см. Пример 13. На рис.28 показаны направления вращения гироскопа (волчка) и указано, увеличивается или уменьшается угловая скорость. Укажите номер рисунка, на котором правильно указано направление углового ускорения.     увеличивается  уменьшается 2 1  уменьшается   увеличивается 3 4 Рис.28 Решение. Псевдовектор угловой скорости связан с направлением вращения правилом буравчика (правого винта). На рис.28.1 и рис.28.3 он направлен вверх, на рис.28.2 и рис.28.4 вниз. При возрастании угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения совпадают с вектором угловой скорости (рисунки 1 и 4). При уменьшении угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения противоположны вектору угловой скорости (рис.28.2 и рис.28.3). Следовательно, на всех рисунках направление углового ускорения указано правильно. Пример 14. Опишите движение вращающегося твердого тела в случаях, когда угловая скорость изменяется согласно графикам 1 и 2, изображенным на рис.29.  1 t 2 Рис.29 Решение. Начнем с того, что вращение бывает в двух направлениях - по часовой стрелке и против. С направлением вращения связан псевдовектор угла поворота и угловой скорости. Пусть положительным будем считать направление вращения по часовой стрелке. Для движения 1 угловая скорость возрастает, но угловое ускорение ε=dω/dt (производная) уменьшается, оставаясь положительным. Следовательно, это движение является ускоренным по часовой стрелке с уменьшающимся по величине ускорением. Для движения 2 угловая скорость уменьшается, затем достигает в точке пересечения с осью абсцисс нуля, а далее становится отрицательной и возрастает по модулю. Угловое ускорение (вспомните геометрический смысл производной) отрицательно и уменьшается по модулю. Таким образом, сначала точка двигалась по часовой стрелке замедленно с уменьшающимся по модулю угловым ускорением, остановилась и стала вращаться ускоренно с уменьшающимся по модулю ускорением (оба вектора - и угловая скорость, и угловое ускорение направлены в одну сторону). Пример 15. Скорость точки, движущейся по кривой, уменьшается по модулю. На каком рисунке, показанных на рис.30 правильно показан вектор полного ускорения? a v v a 1 v v a a 2 3 4 Рис.30 Решение. При движении по криволинейной траектории скорость изменяется по величине и направлению. Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называется тангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна (как на рис.30.1) Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории (как на рис. 30.3) Вектор полного ускорения 𝑎 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝜏 правильно изображен на рис.30.2. Пример 16. Угловая скорость точки, движущейся по окружности, изменяется по графику, изображенному на рис.31. Как изменяется со временем угол между векторами ускорения и скорости?  t Рис.31 Решение. Согласно графику угловая скорость линейно возрастает. Угловое ускорение по определению равно производной угловой скорости по времени ε=dω/dt. Производная линейной функции постоянна, поэтому угловое ускорение не изменяется. Запишем выражения, связывающие составляющие ускорения с угловыми величинами: 𝑎𝜏 = 𝜀𝑅, 𝑎𝑛 = 𝜔2 𝑅. Следовательно, тангенциальное ускорение не изменяется по величине в процессе движения, а нормальное ускорение возрастает. Построим векторы скорости, нормального, тангенциального и полного ускорений. Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Направление вектора ускорения рассматривалось ранее. a v  an a Рис.32 Из рис.32 видно, что угол α между векторами скорости и ускорения возрастает. Пример 17. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент времени t = 0 скорость точки равна v0. Найти скорость и ускорение точки как функцию времени. Решение. Установим уравнения, связывающие аn и аτ. По условию задачи модули нормального и тангенциального ускорений совпадают: |an|=|aτ|. Нормальное ускорение всегда положительно. При замедленном движении приращение скорости отрицательно. С учетом этих замечаний система уравнений принимает вид аn=-аτ, (1) 𝑎𝑛 = 𝑎𝜏 = 𝑣2 , 𝑅 (2) 𝑑𝑣 . 𝑑𝑡 (3) Подставляя (2) и (3) в (1), приходим к уравнению с разделяющимися переменными: − 𝑑𝑣 𝑣 2 = . 𝑑𝑡 𝑅 Разделяя переменные v и t, получаем 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =− . 2 𝑣 𝑅 Интегрируем в пределах от t = 0, v = v0 до t и v(t) 𝑣 𝑡 𝑑𝑣 1 ∫ 2 = − ∫ 𝑑𝑡, 𝑣 𝑅 𝑣0 в результате имеем: 1 1 𝑡 − =− . 𝑣0 𝑣(𝑡) 𝑅 Из этого соотношения находим искомую зависимость скорости от времени 𝑣(𝑡) = 𝑣0 𝑣 . 1 + 𝑅0 𝑡 Подставляем v(t) в формулу (2) 𝑎𝑛 = 𝑣2 = 𝑅 𝑣02 . 𝑣0 2 𝑅 (1 + 𝑡) 𝑅 Учитывая, что an=-aτ и 𝑎 = √𝑎𝑛2 + 𝑎𝜏2 = 𝑎𝑛 √2, получаем зависимость полного ускорения от времени: 𝑎(𝑡) = 𝑣02 √2 . 𝑣0 2 𝑅 (1 + 𝑅 𝑡) Пример 18. Материальная точка движется по окружности радиуса R так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением φ=αt3. Найти полное ускорение точки как функцию времени. Решение. Решим задачу двумя способами. 1 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу. 𝜔= 𝑑𝜑 , 𝑑𝑡 𝜀= 𝑑𝜔 , 𝑑𝑡 𝑎𝑛 = 𝜔2 𝑅, 𝑎𝜏 = 𝜀𝑅, 𝑎 = √𝑎𝑛2 + 𝑎𝜏2 . Выполним указанные в формулах математические действия. 𝜔= 𝑑(𝛼𝑡 3 ) = 3𝛼𝑡 2 , 𝑑𝑡 𝜀 = 6𝛼𝑡, 𝑎𝑛 = (3𝛼𝑡 2 )2 𝑅, 𝑎𝜏 = 6𝛼𝑡𝑅, 𝑎 = √(9𝛼 2 𝑡 4 𝑅)2 + (6𝛼𝑡𝑅)2 . 2 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу. 𝑠 = 𝑅𝜑, 𝑣= 𝑑𝑠 , 𝑑𝑡 𝑎𝑛 = 𝑣2 , 𝑅 𝑎𝜏 = 𝑑𝑣 , 𝑑𝑡 𝑎 = √𝑎𝑛2 + 𝑎𝜏2 . Выполним указанные в формулах математические действия. 𝑠 = 𝑅𝛼𝑡 3 , 𝑣 = 3𝛼𝑅𝑡 2 , 𝑎𝑛 = (3𝛼𝑅𝑡 2 )2 = (3𝛼𝑡 2 )2 𝑅, 𝑅 𝑎𝜏 = 𝑎 = √(9𝛼 2 𝑡 4 𝑅)2 + (6𝛼𝑡𝑅)2 . 𝑑(3𝛼𝑡 2 𝑅) = 6𝛼𝑡𝑅, 𝑑𝑡 Лекция 7. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Плоскопараллельное движение твердого тела. 2. Уравнения плоскопараллельного движения. 3. Разложение движения на поступательное и вращательное. 4. Определение скоростей точек плоской фигуры. 5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела. 6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. 7. Решение задач на определение скорости. 8. План скоростей. 9. Определение ускорений точек плоской фигуры. 10. Решение задач на ускорения. 11. Мгновенный центр ускорений. Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин». Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Рис.28 Рис.29 Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy, параллельной плоскости П (рис.29). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ’, перпендикулярной течению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно. Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху. Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты xA и yA точки А и угол 𝜑, который отрезок АВ образует с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом. При движении фигуры величины xA и yA и 𝜑 будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости 𝑥𝐴 = 𝑓1 (𝑡), 𝑦𝐴 = 𝑓2 (𝑡), 𝜑 = 𝑓3 (𝑡). Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при 𝜑=const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при 𝑥𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝑦𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса 𝑣пост = ⃗ 𝐴 , 𝑎пост = 𝑎𝑎 , а также угловая скорость 𝜔 и угловое ускорение 𝜀 вращательного движения вокруг 𝑉 полюса. Определение скоростей точек плоской фигуры Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью 𝑣𝐴 полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений. В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - вектор, определяюрадиусом-вектором 𝑟 = 𝑟𝐴 + 𝑟 ′ (рис.30), где 𝑟𝐴 - радиус-вектор полюса А, 𝑟 ′ = 𝐴𝑀 щий положение точки М относительно осей 𝐴𝑥𝑦 ′ , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А). Тогда ′ 𝑑𝑟 𝑑𝑟𝐴 𝑑𝑟 𝑣𝑀 = = + . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑟 ′ 𝑑𝑟 В полученном равенстве величина 𝑑𝑡𝐴 = 𝑣𝐴 есть скорость полюса А; величина же 𝑑𝑡 равна скорости 𝑣𝑀𝐴 , которую точка М получает при 𝑟𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, т.е. относительно осей 𝐴𝑥 ′ 𝑦 ′ , или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что 𝑣𝑀 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝑀𝐴 . Скорость 𝑣𝑀𝐴 , которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А: 𝑣𝑀𝐴 = 𝜔𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑣𝑀𝐴 ⊥ 𝑀𝐴 где ω - угловая скорость фигуры. Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости 𝑣𝑀 находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.31). Рис.30 Рис.31 Теорема о проекциях скоростей двух точек тела Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, движущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых методов определения скоростей точек фигуры (или тела). Рис.32 Один из таких методов дает теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.32), получаем 𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵𝐴 . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор 𝑣𝐵𝐴 перпендикулярен АВ, находим и теорема доказана. 𝑣𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑣𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼, Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей. Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости 𝑣𝐴 и 𝑣𝐵 , не параллельные друг другу (рис.33). Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору 𝑣𝐴 и Вb к вектору 𝑣𝐵 , и будет мгновенным центром скоростей так как 𝑣𝑃 = 0. В самом деле, если допустить, что 𝑣𝑃 = 0, то по теореме о проекциях скоростей вектор 𝑣𝑃 должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как 𝑣𝐴 ⊥ 𝐴𝑃) и ВР (так как 𝑣𝐵 ⊥ 𝐵𝑃), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю. Рис.33 Если теперь в момент времени t взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет 𝑣𝐴 = 𝑣 ⃗𝑃+𝑣 ⃗ 𝑃𝐴 = 𝑣 ⃗ 𝑃𝐴 , так как 𝑣𝑃 = 0. Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом 𝑣𝐴 = 𝜔𝑃𝐴 (𝑣 ⃗ 𝐴 ⊥ 𝑃𝐴); 𝑣𝐵 = 𝜔𝑃𝐵 (𝑣 ⃗ 𝐵 ⊥ 𝑃𝐵) и т. д. Из равенств, следует еще, что 𝑣𝐴 𝑃𝐴 𝑣 𝐵 = 𝑃𝐵 точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от МЦС. Полученные результаты приводят к следующим выводам. 1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей 𝑣𝐴 и 𝑣𝐵 каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям). 2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, восставив из точек А и В перпендикуляры к 𝑣𝐴 и 𝑣𝐵 , построим мгновенный центр скоростей Р и по направлению 𝑣𝐴 определим направление поворота фигуры. После этого, зная 𝑣𝐴 , найдем скорость 𝑣𝑀 любой точки М плоской фигуры. Направлен вектор 𝑣𝑀 перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры. 3. Угловая скорость 𝜔 плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р: 𝜔 = 𝑣𝐵 /𝑃𝐵. Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей. а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис.34), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (𝑣𝑃 = 0), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу. б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна 𝑣𝐴 (рис.35,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны 𝑣𝐴 . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что 𝑣𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑣𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼 т. е. 𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рассматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступательным). Угловая скорость 𝜔 тела в этот момент времени, как видно равна нулю. Рис.34 Рис.35 в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна 𝑣𝐴 , то мгновенный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис. 35,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей 𝑣𝐵 и 𝑣𝐴 . г) Если известны вектор скорости 𝑣𝐵 какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость𝜔, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к 𝑣𝐵 (рис.35,б), можно найти как 𝐵𝑃 = 𝑣𝐵 /𝜔. Решение задач на определение скорости. Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик по данным задачи и следует начинать решение. Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость. Пример 8. Тело, имеющее форму катушки, катится своим средним цилиндром по неподвижной плоскости так, что 𝑥𝐶 = 3𝑡 (см). Радиусы цилиндров: R = 4 см и r = 2 см (рис.36). . Рис.36 Определим скорости точек А,В и С. Мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью. Скорость полюса С . 𝑣𝐶 = 𝑥̇ 𝐶 = 3 см ∙ с−1 . Угловая скорость катушки 𝜔= 𝑣𝐶 𝑣𝐶 3 = = = 1,5 𝑐 −1 . 𝐶𝐶𝑣 𝑟 2 Скорости точек А и В направлены перпендикулярно отрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей: 𝑣𝐴 = 𝐴𝐶𝑣 ∙ 𝜔 = √𝑟 2 + 𝑅 2 ∙ 𝜔 = 6,71 /𝑐м ∙ с−1 . 𝑣𝐵 = 𝐵𝐶𝑣 ∙ 𝜔 = (𝑅 + 𝑟) ∙ 𝜔 = 9,0 /𝑐м ∙ с−1 . Пример 9. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле 𝛼 скорость 𝑣𝐵 = 𝑢. Длина стержня AB=l. Определим скорость конца А и угловую скорость стержня. Рис.37 Нетрудно определить направление вектора скорости точки А, скользящей по вертикальной ⃗𝐴 и 𝑉 ⃗ 𝐵 (рис. 37). прямой. Тогда 𝐶𝑣 находится на пересечении перпендикуляров к 𝑉 Угловая скорость 𝜔 = 𝑉𝐵 𝐵𝐶𝑉 = 𝑢 . 𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑢 Скорость точки А: 𝑉𝐴 = 𝐴𝐶𝑉 ∙ 𝜔 = 𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑢𝑐𝑡𝑔𝛼. А скорость центра стержня С, например, направлена перпендикулярно 𝐶𝐶𝑉 и равна: 𝑙 𝑢 𝑉𝐶 = 𝐶𝐶𝑉 𝜔 = 2 𝜔 = 2𝑠𝑖𝑛𝛼. План скоростей. Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.38). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединить их концы прямыми, то получится ⃗ 𝐴 , 𝑜𝑐 ⃗ 𝐶 , ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐵 ). картинка, которая называется планом скоростей. (На рисунке 𝑜𝑎 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑉 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑉 𝑜𝑏 = 𝑉 Рис.38 Свойства плана скоростей. а) Стороны треугольников на плане скоростей перпендикулярны соответствующим прямым на плоскости тела. ⃗𝐵 = 𝑉 ⃗𝐴 + 𝑉 ⃗ 𝐵𝐴 . Но на плане скоростей 𝑉 ⃗ 𝐵 = ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐴 = 𝑜𝑎 ⃗ 𝐵𝐴 = ⃗⃗⃗⃗ Действительно, 𝑉 𝑜𝑏, 𝑉 ⃗⃗⃗⃗ . Значит 𝑉 𝑎𝑏 ⃗ причём 𝑉𝐵𝐴 перпендикулярна АВ, поэтому и 𝑎𝑏 ⊥ 𝐴𝐵. Точно так же 𝑏𝑐 ⊥ 𝐵𝐶 и 𝑎𝑐 ⊥ 𝐴𝐶. б) Стороны плоскости тела. плана скоростей пропорциональны соответствующим отрезкам прямых на Так как 𝑉𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 ∙ 𝜔 = 𝑎𝑏, 𝑉𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 ∙ 𝜔 = 𝑏𝑐, 𝑉𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 ∙ 𝜔 = 𝑎𝑐, то отсюда и следует, что стороны плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела. Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительно её на 90˚ по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом. Пример 10. На рисунке 39 в масштабе изображён механизм. Известна угловая скорость 𝜔0 звена ОА. Рис.39 Чтобы построить план скоростей должна быть известна скорость какой-нибудь одной точки и хотя бы направление вектора скорости другой. В нашем примере можно определить скорость ⃗ 𝐴. точки А: 𝑉𝐴 = 𝑂𝐴 ∙ 𝜔0 и направление её вектора 𝑉 Рис.40 ⃗ 𝐴 Известно направление вектора Откладываем (рис. 40) из точки о в масштабе 𝑜𝑎 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑉 скорости ползуна В – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I по ⃗ 𝐵 , на которой должна находиться точка b, определяющая скорость этой направлению скорости 𝑉 точки В. Так как стороны плана скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям механизма, то из точки а проводим прямую перпендикулярно АВ до пересечения с прямой I. Точка ⃗ 𝐵 . По второму свойству плана пересечения определит точку b, а значит и скорость точки В: ⃗⃗⃗⃗ 𝑜𝑏 = 𝑉 скоростей его стороны подобны звеньям механизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна ⃗𝐶 делить аb пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости 𝑜𝑐 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑉 (если с соединить с точкой О). Скорость точки Е равна нулю, поэтому точка е на плане скоростей совпадает с точкой О. Далее. Должно быть 𝑐𝑑 ⊥ 𝐶𝐷 и 𝑑𝑒 ⊥ 𝐷𝐸. Проводим эти прямые, находим их точку ⃗ 𝐷 = ⃗⃗⃗⃗ пересечения d. Отрезок оd определит вектор скорости 𝑉 𝑜𝑑 . Определение ускорений точек плоской фигуры Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оxy (см.рис.30) определяется радиусомвектором 𝑟 = 𝑟𝐴 + 𝑟 ′ где 𝑟 ′ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀. Тогда 𝑎𝑀 = 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 = 𝑑2 𝑟𝐴 𝑑𝑡2 + 𝑑2 𝑟 ′ 𝑑𝑡2 . В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение 𝑎𝐴 полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение 𝑎𝐴𝑀 , которое точка м получает при вращении фигуры вокруг полюса A. следовательно, 𝑎𝑀 = 𝑎𝐴 + 𝑎𝐴𝑀 . Значение 𝑎𝐴𝑀 , как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как 𝑎𝑀𝐴 = 𝑀𝐴√𝜀 2 + 𝜔 2 , 𝑡𝑔𝜇 = 𝜀/𝜔2 . где 𝜔 и 𝜀 - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а 𝜇 - угол между вектором 𝑎𝑀𝐴 и отрезком МА (рис.41). Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения 𝑎𝑀 , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23). Однако вычисление a⃗M с помощью параллелограмма, изображенного на рис.23, усложняет расчет, так как предварительно надо будет находить значение угла μ, а затем - угла между векторами a⃗MA И a⃗A , Поэтому при решении задач удобнее вектор a⃗MA заменять его касательной (a⃗τMA ) и нормальной (a⃗nMA ) составляющими и представить в виде a⃗M = a⃗A + a⃗τMA + a⃗nMA . 𝜏 При этом вектор 𝑎𝑀𝐴 направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор a⃗nMA всегда направлен от точки М к полюсу А (рис.42). Численно же 𝜏 𝑛 𝑎𝑀𝐴 = 𝐴𝑀𝜀, 𝑎𝑀𝐴 = 𝐴𝑀𝜔2 . Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательной 𝑎𝐴𝜏 и нормальной 𝑎𝐴𝑛 составляющих, тогда 𝑛 𝜏 𝑛 𝑎𝑀 = 𝑎𝐴𝜏 + 𝑎 ⃗ 𝐴 + 𝑎𝑀𝐴 + 𝑎𝑀𝐴 . Рис.41 Рис.42 Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траектория известна, то 𝑎𝑀 можно 𝑛 𝜏 заменить суммой 𝑎𝑀 +𝑎 ⃗ 𝑀. Решение задач на определение ускорения Ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент времени можно найти, если ⃗ 𝐴 и ускорения 𝑎𝐴 какой-нибудь точки А этой фигуры в данный известны: 1) векторы скорости 𝑉 момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фигуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры достаточно знать положение мгновенного центра скоростей. Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс. План решения (если заданы скорость и ускорение одной точки плоской фигуры и направления скорости и ускорения другой точки фигуры): 1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры. 2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры. 3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения. 4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения. 5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению. 6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений. При решении задач можно применять «теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела»: «Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на угол 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝜔2 /|𝜀|) в сторону углового ускорения, равны». Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, так и по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические размеры тела не известны), не известны 𝜔 и 𝜀 – соответственно проекции векторов угловой скорости и углового ускорения этого тела на ось, перпендикулярную плоскости движения, не известны скорости точек этого тела. Известны еще 3 способа определения ускорений точек плоской фигуры: 1) Способ основан на дифференцировании дважды по времени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела. 2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже). 3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела. 30. Пример 11. Диск катится без скольжения по прямой. Центр его С имеет скорость 𝑉𝐶 и ускорение 𝑎𝐶 (рис. 43). Найдем ускорение точки А. Рис.43 Угловую скорость находим с помощью мгновенного центра скоростей: 𝜔= 𝑉𝐶 𝑉𝐶 = . 𝐶𝐶𝑉 𝑅 Угловое ускорение при таком движении можно найти как производную от угловой скорости. Имея в виду, что 𝐶𝐶𝑉 = 𝑅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, а точка С движется по прямой, получим 𝜀= 𝑑𝜔 𝑑 𝑉𝐶 1 𝑑𝑉𝐶 𝑎𝐶 = = = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶𝐶𝑉 𝑅 𝑑𝑡 𝑅 𝜏 𝑛 Если С – полюс, то 𝑎𝐴 = 𝑎𝐶 + 𝑎𝐴𝐶 + 𝑎𝐴𝐶 , где 𝑛 𝑎𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 ∙ 𝜔2 = 𝑅 𝜏 𝑎𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 ∙ 𝜀 = 𝑅 𝑎𝐶 𝑅 𝑉𝐶2 𝑉𝐶2 = 𝑅2 𝑅 = 𝑎𝐶 . Величину ускорения найдём с помощью проекций на оси х и у: 𝑛 𝑎𝐴𝑥 = 𝑎𝐴𝐶 + 𝑎𝐶 = 𝑉𝐶2 𝜏 + 𝑎𝐶 , 𝑎𝐴𝑦 = 𝑎𝐴𝐶 = 𝑎𝐶 𝑅 1 2 2 Тогда 𝑎𝐴 = √𝑎𝐴𝑥 + 𝑎𝐴𝑦 = 𝑅 √(𝑉𝐶2 + 𝑅𝑎𝐶 )2 + 𝑅 2 𝑎𝐶2 . Ускорение мгновенного центра скоростей 𝐶𝑉 : 𝑎𝐶𝑉 = 𝑎𝐶 + 𝑎𝐶𝑛𝑉 𝐶 + 𝑎𝐶𝜏 𝑉 𝐶 , где 𝑎𝐶𝑛𝑉𝐶 = 𝑅𝜔2 = 𝑉𝐶2 𝑅 ; 𝑎𝐶𝜏 𝑉𝐶 = 𝑅𝜀 = 𝑎𝐶 . И, так как 𝑎𝐶𝜏 𝑉 𝐶 = −𝑎𝐶 , ускорение 𝑎𝐶𝑉 = 𝑎𝐶𝑛𝑉 𝐶 и 𝑎𝐶𝑉 = 𝑉𝐶2 /𝑅 ≠ 0. Таким образом, ускорение мгновенного центра скоростей не равно нулю. Пример 12. Вернёмся к примеру 9 (рис. 44). Рис.44 ⃗𝐵 = 𝑢 Найдём ускорение точки А, полагая 𝑉 ⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 т.е. 𝑎𝐵 = 0 Имеем: 𝜏 𝑛 𝑎𝐴 = 𝑎𝐵 + 𝑎𝐴𝐵 + 𝑎𝐴𝐵 , (1) 𝑢2 𝑛 𝜏 𝜏 Где 𝑎𝐴𝐵 = 𝑙𝜔2 = 𝑙𝑠𝑖𝑛2 𝛼 ; 𝑎𝐴𝐵 = 𝑙𝜀, но направление вектора 𝑎𝐴𝐵 неизвестно, неизвестно и угловое ускорение 𝜀. 𝜏 Предположим, что вектор 𝑎𝐴𝐵 направлен перпендикулярно АВ, влево. Ускорение 𝑎𝐴 , конечно, направлено по траектории прямолинейного движения точки А, предположим вниз. Спроектируем векторное равенство (1) на оси х и у, получим: 𝑛 𝜏 𝑛 0 = 𝑎𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑎𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛𝛼 и −𝑎𝐴 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −𝑎𝐴𝐵 . Из второго уравнения сразу находим ускорение точки А 𝑎𝐴 = Положительное значение правильно. 𝑛 𝑎𝐴𝐵 𝑢2 = . 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑙𝑠𝑖𝑛3 𝛼 𝑎𝐴 указывает на то, что направление вектора 𝑎𝐴 выбрано 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑢2 𝜏 𝑛 Из первого уравнения можно найти ускорение 𝑎𝐴𝐵 = 𝑎𝐴𝐵 = 𝑙𝑠𝑖𝑛3 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 и угловое 𝑠𝑖𝑛𝛼 ускорение 𝜀 = 𝜏 𝑎𝐴𝐵 𝑙 = 𝑢2 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑙𝑠𝑖𝑛3 𝛼 𝜏 (направления 𝑎𝐴𝐵 и 𝜀 также угаданы верно). Мгновенный центр ускорений. При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение 𝑎𝐴 какой-нибудь точки А фигуры и величины 𝜔 и 𝜀, следующим путем: 1) находим значение угла 𝜇, из формулы 𝑡𝑔𝜇 = 𝜀/𝜔2 ; 2) от точки А под углом 𝜇, к вектору 𝑎𝐴 проводим прямую АЕ (рис.45); при этом прямая АЕ должна быть отклонена от 𝑎𝐴 в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения 𝜀; 3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный 𝐴𝑄 = 𝑎𝐴 /√𝜀 2 + 𝜔 4 . Рис.45 Построенная таким путем точка Q и будет мгновенным центром ускорений. В самом деле, известно что 𝑎𝑄 = 𝑎𝐴 + 𝑎𝑄𝐴 , где численно 𝑎𝐴𝑄 = √𝜀 2 + 𝜔 4 . Подставляя сюда значение AQ находим, что 𝑎𝐴𝑄 = 𝑎𝐴 . Кроме того, вектор 𝑎𝑄𝐴 должен образовывать с линией AQ угол 𝜇, следовательно, вектор 𝑎𝑄𝐴 параллелен 𝑎𝐴 , но направлен в противоположную сторону. Поэтому 𝑎𝑄𝐴 = −𝑎𝐴 и 𝑎𝑄 = 0. Если точку Q выбрать за полюс, то так как 𝑎𝑄 = 0, ускорение любой точки М тела, будет 𝑎𝑀 = 𝑎𝑄 + 𝑎𝑀𝑄 = 𝑎𝑀𝑄 . При этом численно 𝑎𝑀 = 𝑀𝑄 √𝜀2 + 𝜔4 . Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом 𝑎𝑀 𝑎𝐴 = = ⋯ = √𝜀2 + 𝜔4 , 𝑀𝑄 𝐴𝑄 т.е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис.46. Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгновенного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис.47), причем скорость его центра С постоянна (𝑉𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), то мгновенный центр скоростей находится в точке Р (𝑉𝑃 = 0), но при этом, как было показано 𝑎𝑃 ≠ 0; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений. Рис.46 Рис.47 Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она движется равномерно и прямолинейно и 𝑎𝐶 = 0. Центры скоростей и ускорений совпадают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси. Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач. Лекция 8. Сложное движение точки и тела В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Сложное движение точки. 2. Относительное, переносное и абсолютное движения. 3. Теорема сложения скоростей. 4. Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса. 5. Сложное движение твердого тела. 6. Цилиндрические зубчатые передачи. 7. Сложение поступательного и вращательного движений. 8. Винтовое движение. Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин». Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютное движения. До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют составным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Рис.1 Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижно системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета O1x1y1z1, которую называем основной или условно неподвижной (рис.1). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным. Введем следующие определения. 1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям Oxyz), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью (обозначается 𝑣̅𝑟 ), a ускорение относительным ускорением (обозначается 𝑎𝑟 ). Из определения следует, что при вычислении 𝑣𝑟 и 𝑎𝑟 можно движение осей Oxyz во внимание не принимать (рассматривать их как неподвижные). 2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе O1x1y1z1, является для точки М переносным движением. Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается 𝑣𝑒 ), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается 𝑎𝑒 ). Таким образом, 𝑣̅пер = 𝑣̅𝑚 , 𝑎̅пер = 𝑎̅𝑚 . Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М. 3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета O1x1y1z1, называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью (обозначается 𝑣𝑎б) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается 𝑎𝑎б ). В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара. При исследовании сложного движения точки полезно применять «Правило остановки». Для того, чтобы неподвижный наблюдатель увидел относительное движение точки, надо остановить переносное движение. Тогда будет происходить только относительное движение. Относительное движение станет абсолютным. И наоборот, если остановить относительное движение, переносное станет абсолютным и неподвижный наблюдатель увидит только это переносное движение. В последнем случае, при определении переносного движения точки, обнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движение точки зависит от того в какой момент будет остановлено относительное движение, от того, где точка находится на среде в этот момент. Так как, вообще говоря, все точки среды движутся по-разному. Поэтому логичнее определять переносное движение точки как абсолютное движение той точки среды, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка. Teopeмa сложения скоростей. Пусть некоторая точка М совершает движение по отношению к системе отсчета Oxyz, которая сама движется произвольным образом по отношению к неподвижной системе отсчета O1x1y1z1, (рис.2). Конечно, абсолютное движение точки М определяется уравнениями 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑧 = 𝑧(𝑡). Относительное движение – в движущихся осях уравнениями 𝑥1 = 𝑥1 (𝑡), 𝑦1 = 𝑦1 (𝑡), 𝑧1 = 𝑧1 (𝑡). Уравнений, определяющих переносное движение точки, не может быть вообще. Так как, по определению, переносное движение точки М – это движение относительно неподвижных осей той точки системы O1x1y1z1, с которой совпадает точка в данный момент. Но все точки подвижной системы движутся по-разному. Положение подвижной системы отсчета может быть также определено, если задать положение точки О радиусом-вектором 𝑟0 , проведенным из начала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ подвижных осей Оx, Oy, Oz. Рис.2 Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения со скоростью 𝑣0 точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, походящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью 𝜔 ⃗ 𝑒 . Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектора 𝑟0 и направления единичных векторов 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ изменяются. Если векторы 𝑟0 , 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено. Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета можно определить радиусом-вектором 𝜌𝑀 𝜌𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ , где координаты x, y, z точки М изменяются с течением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета. Если радиус-вектор 𝜌𝑀 задан в функции времени, то относительное движение точки М, т.е. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано. Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета O1x1y1z1, может быть определено радиусом-вектором 𝑟𝑀 . Из рис.2 видно, что 𝑟𝑀 = 𝑟0 + 𝜌𝑀 = 𝑟0 + 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗. (1) Если относительные координаты x,y,z точки М и векторы 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точки М, т.е. движение этой точки по отношению к неподвижной системе отсчета, также надо считать заданным. Скорость составного движения точки М, или абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора 𝑟𝑀 точки M по времени t 𝑣𝑎 = 𝑑𝑟𝑀 /𝑑𝑡. Поэтому, дифференцируя равенство (1) по времени t, получим 𝑑𝑟0 𝑑𝑖 𝑑𝑗 𝑑𝑘⃗ +𝑥 +𝑦 +𝑧 + 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ . (2) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы по следующему признаку. К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координат x,y,z, а ко второй - те слагаемые, которые содержат производные от векторов 𝑟0 , 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ , т.е. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения 𝑣𝑎 = подвижной системы отсчета 𝑣𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ ; 𝑣𝑒 = 𝑟0 𝑥 (3) 𝑑𝑖 𝑑𝑗 𝑑𝑘⃗ +𝑦 +𝑧 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (4) Каждая из групп слагаемых, обозначенных через 𝑣𝑟 и 𝑣 ⃗ 𝑒 , представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростей 𝑣𝑟 и 𝑣𝑒 . Скорость 𝑣𝑟 , как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координаты x,y,z точки М, но векторы 𝑟0 , 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ остаются постоянными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Итак, скорость 𝑣𝑟 представляет собой относительную скорость точки М. Скорость 𝑣 ⃗ 𝑒 вычисляется так, как будто бы точка М не двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные x,y,z в равенство (4) не входят. Поэтому скорость 𝑣𝑒 представляет собой переносную скорость точки М. Итак, 𝑣𝑎 = 𝑣𝑒 . +𝑣𝑟 . (5) Это равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки. Пример 1. Колечко М движется по вращающемуся стержню (рис.3) так, что OM=s=3t2 (см) и 𝜑 = 2𝑡 (рад). Рис.3 Ранее было установлено, что траектория относительного движения – прямая линия, совпадающая со стержнем, и движение это определяется уравнением s=s(t). Траектория переносного движения точки М в момент времени t – окружность радиуса OM=s. Поэтому относительная скорость 𝑣𝑟 = 𝑠̇ = 6𝑡 см ∙ 𝑐 −1. И направлена по касательной к траектории вдоль стержня (рис.3). Переносная скорость колечка, как при вращении вокруг оси, 𝑣𝑒 = 𝑂𝑀 ∙ 𝜔 = 𝑠𝜑̇ = 3𝑡 2 ∙ 2 = 6𝑡 2 см ∙ с−1 . Направлен вектор этой скорости по касательной к траектории переносного движения, перпендикулярно стержню. Абсолютная скорость колечка 𝑣𝑀 = 𝑣𝑒 + 𝑣𝑟 . Величина ее, т.к. 𝑣𝑒 ⊥ 𝑣𝑟 . 𝑣𝑀 = √𝑣𝑒2 + 𝑣𝑟2 = 6𝑡√1 + 𝑡 2 см ∙ с−1. Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса. Ускорение составного движения точки М, или абсолютное ускорение этой точки, равно, очевидно, производной от абсолютной скорости точки М по времени t 𝑎𝑎 = 𝑑𝑣𝑎 /𝑑𝑡 Поэтому, дифференцируя равенство по времени, получим 𝑎𝑎 = 𝑟̅0̈ + 𝑥 𝑑2 𝑖̅ 𝑑2 𝑗̅ 𝑑2 𝑘̅ 𝑑𝑖̅ 𝑑𝑗̅ 𝑑𝑘̅ + 𝑦 + 𝑧 + 𝑥̈ 𝑖 ̅ + 𝑦̈ 𝑖 ̅ + 𝑧̈ 𝑖 ̅ + 2(𝑥̇ + 𝑦̇ + 𝑧̇ ). 2 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Разделим слагаемые правой части этого равенства на три группы. К первой группе отнесем слагаемые, содержащие только производные от относительных координат x,y и z, но не содержащие производные от векторов 𝑟0 , 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ : 𝑎𝑟 = 𝑥̈ 𝑖 + 𝑦̈ 𝑗 + 𝑧̈ 𝑘⃗ . Ко второй группе отнесем слагаемые, которые содержат только производные от векторов ̅ 𝑟̅0 , 𝑖,̅ 𝑗̅, 𝑘 , но не содержащие производных от относительных координат x,y,z: 𝑎𝑒 = 𝑟̅0̈ + 𝑥 𝑑2 𝑖̅ 𝑑2 𝑗̅ 𝑑2 𝑘̅ + 𝑦 + 𝑧 . 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Осталась еще одна группа слагаемых, которые не могли быть отнесены ни к первой, ни ко второй, так как они содержат производные от всех переменных x, y, z, 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗. Обозначим эту группу слагаемых через 𝑎𝑘 : 𝑎𝑘 = 2(𝑥̇ 𝑑𝑖 𝑑𝑗 𝑑𝑘⃗ + 𝑦̇ + 𝑧̇ ). 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Каждая из выделенных групп представляет собой, по крайней мере по размерности, некоторое ускорение. Выясним физический смысл всех трех ускорений: 𝑎𝑟 , 𝑎𝑒 , 𝑎𝑘 . Ускорение 𝑎𝑟 , как это видно из равенства, вычисляется так, как если бы относительные координаты x,y,z изменялись с течением времени, а векторы 𝑟0 , 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ оставались неизменными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы покоилась, а точка М двигалась. Поэтому ускорение 𝑎𝑟 представляет собой относительное ускорение точки М. Так как ускорение (и скорость) относительного движения вычисляется в предположении, что подвижная система отсчета находится а покое, то для определения относительного ускорения (и скорости) можно пользоваться всеми правилами, изложенными ранее в кинематике точки. Ускорение 𝑎𝑒 , как это видно из равенства, вычисляется в предположении, что сама точка М покоится по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz (x =const, y =const, z =const) и перемещается вместе с этой системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета O1x1y1z1. Поэтому ускорение 𝑎𝑒 представляет собой переносное ускорение точки М. Третья группа слагаемых определяет ускорение 𝑎𝑘 , которое не может быть отнесено не к относительному ускорению 𝑎𝑟 , так как содержит в своем выражении производные ⃗ 𝑑𝑖 𝑑𝑗 𝑑𝑘 , , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 не к переносному ускорению 𝑎𝑒 , так как содержит в своем выражении производные 𝑥̇ , 𝑦̇ , 𝑧̇ . Преобразуем правую часть равенства, припомнив, что 𝑑𝑖 =𝜔 ⃗ 𝑒 × 𝑖; 𝑑𝑡 𝑑𝑗 =𝜔 ⃗ 𝑒 × 𝑗; 𝑑𝑡 𝑑𝑘⃗ =𝜔 ⃗ 𝑒 × 𝑘⃗ . 𝑑𝑡 Подставляя эти значения производных в равенства, получим 𝑎𝑘 = 2(𝜔 ⃗ 𝑒 × 𝑥𝑖 + 𝜔 ̅𝑒 × 𝑥𝑗 + 𝜔 ̅𝑒 × 𝑥𝑘⃗ ) или 𝑎𝑘 = 2𝜔 ⃗ 𝑒 × (𝑥𝑖 + 𝑥𝑗̅ + 𝑥𝑘⃗ ). Здесь вектор 𝑥𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑥𝑘⃗ есть относительная скорость 𝑣𝑟 точки М, поэтому 𝑎𝑘 = 2𝜔 ⃗ 𝑒 × 𝑣𝑟 . Ускорение 𝑎𝑘 называют ускорением Кориолиса. Ввиду того, что ускорение Кориолиса появляется в случае вращения подвижной системы отсчета, его называют еще поворотным ускорением. С физической точки зрения появление поворотного ускорения точки объясняется взаимным влиянием переносного и относительного движений. Итак, ускорение Кориолиса точки равно по модулю и направлению удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Равенство, которое теперь можно сокращенно записать в виде 𝑎𝑎 = 𝑎𝑒 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑘 . представляет теорему сложения ускорений в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений. Эту теорему часто называют теоремой Кориолиса. Из формулы следует, что модуль поворотного ускорения будет 𝑎𝑘 = 2𝜔𝑒 𝑣𝑟 𝑠𝑖𝑛𝛼 где 𝛼 - угол между вектором 𝜔 ⃗ 𝑒 и вектором 𝑣𝑟 . Чтобы определить направление поворотного ускорения 𝑎𝑘 , нужно мысленно перенести вектор 𝜔 ⃗ 𝑒 в точку М и руководствоваться правилом векторной алгебры. Согласно этому правилу, вектор 𝑎̅ нужно направлять перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами 𝜔 ⃗ 𝑒 и 𝑣𝑟 , и так, чтобы, смотря с конца вектора 𝑎, наблюдатель мог видеть кратчайший поворот от 𝜔 ⃗ 𝑒 к 𝑣𝑟 происходящим против движения часовой стрелки. Для определения направления 𝑎𝑘 можно также пользоваться следующим правилом Н. Е. Жуковского: чтобы получить направление поворотного ускорения 𝑎𝑘 , достаточно составляющую 𝑣1 относительной скорости 𝑣𝑟 точки М, перпендикулярную к вектору 𝜔 ⃗ 𝑒 , повернуть (в плоскости, перпендикулярной к вектору 𝜔 ⃗ 𝑒 ) на прямой угол вокруг точки М в направлении переносного вращения (рис.4). Рис.4 Если переносное движение подвижной системы отсчета есть поступательное движение, то 𝜔 ⃗ 𝑒 =0 и поэтому поворотное ускорение a точки также равно нулю. Поворотное ускорение равно, очевидно, нулю и в том случае, когда 𝜔 ⃗ 𝑒 в данный момент времени обращается в нуль. Кроме того, поворотное ускорение точки может, очевидно, обращаться в нуль, если: а) вектор относительной скорости 𝑣𝑟 точки параллелен вектору угловой скорости 𝜔 ⃗𝑒 переносного вращения, т.е. относительное движение точки происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения; б) точка не имеет движения относительно подвижной системы отсчета или относительная скорость 𝑣𝑟 точки в данный момент времени равна нулю (𝑣𝑟 = 0). Пример 2. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z. По поверхности его движется точка М (рис. 5). Конечно, скорость этого движения точки – относительная скорость 𝑣𝑟 , а скорость вращения тела – угловая скорость переносного движения 𝜔 ⃗ 𝑒. ⃗⃗⃗ 𝐶 = 2𝜔 Ускорение Кориолиса 𝑊 ⃗ 𝑒 × 𝑣𝑟 , направлено перпендикулярно этим двум векторам, по правилу направления вектора векторного произведения. Так, как показано на рис. 5. Рис.5 Нетрудно сформулировать более удобное правило определения направления вектора 𝑎𝑐 : нужно спроектировать вектор относительной скорости 𝑣𝑟 на плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и затем повернуть эту проекцию на 90 градусов в плоскости по направлению переносного вращения. Конечное положение проекции вектора 𝑣𝑟 укажет направление кориолисова ускорения. (Это правило было предложено Н.Е. Жуковским). Пример 3. (Вернемся к примеру 1). Найдем абсолютное ускорение колечка М: 𝑎𝑀 = 𝑎𝑒 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑐 . (6) Переносное ускорение при движении колечка по окружности радиусом OM=s: 𝑎𝑒 = 𝑎𝑡𝑛 + 𝑎𝑒𝜏 , где 𝑎𝑒𝜏 = 𝑠𝜀𝑒 = 𝑠 ∙ 𝜑̈ = 0. Значит 𝑎𝑒 = 𝑎𝑒𝑛 (рис.6). Рис.6 Относительное ускорение 𝑊𝑟 = 𝑠̈ = 6 см ∙ с−2. Ускорение Кориолиса 𝑎𝑐 = 2𝜔𝑒 𝑣𝑟 𝑠𝑖𝑛900 = 2 ∙ 2 ∙ 6𝑡 = 24𝑡 см ∙ с−2 . Вектор 𝑎̅𝑐 направлен перпендикулярно стержню в сторону вращения (по правилу Жуковского). Величину абсолютного ускорения колечка М найдем с помощью проекций на подвижные оси x1 и y1 проектируя равенство (6) на оси, получим: 𝑎𝑥1 = 𝑎𝑟 − 𝑎𝑒 = 6 − 12𝑡 −2 = 6(1 − 2𝑡 −2 ), 𝑎𝑦1 = 𝑎𝑐 = 24𝑡. Тогда 𝑎𝑀 = √(𝑎𝑥1 )2 + (𝑎𝑦1 )2 = 5√(1 − 2𝑡 2 )2 + 16𝑡 2 см ∙ с−2 . Сложное движение твердого тела. Так же как при сложном движении точки нередко и движение тела можно рассматривать как сумму нескольких движений. Например, состоящее из двух поступательных движений или поступательного движения и вращения в округ оси. Часто встречаются движения, состоящие из двух вращений вокруг осей или поступательного движения и вращения вокруг точки. Исследование движения точек принадлежащих телу, совершающему сложное движение, можно проводить методами, изложенными выше и никаких особых трудностей не вызывает. Но анализ сложного движения тела, состоящего из нескольких вращений, обнаруживает некоторые особенности, которые следует рассмотреть специально. 1. Сложение вращений тела вокруг двух осей На рис. 7 изображено тело, которое совершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, неподвижной оси. Естественно, первое вращение следует 1. назвать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозначить 𝑧𝑟 и 𝑧𝑒 . Рис.7 Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О. (Еcли тело имеет больший размер, то его точка, совпадающая с О, все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения и относительного вращения изображается векторами 𝜔 ⃗𝑒 и𝜔 ⃗ 𝑟, отложенными из неподвижной точки О, точки пересечения осей, по соответствующим осям. Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором 𝑟̅ (рис.7). Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной: 𝑣𝑀 = 𝑣𝑟 + 𝑣𝑒 . Но относительное движение точки (используя правило остановки), есть вращение с угловой скоростью 𝜔 ⃗ 𝑟 вокруг оси 𝑧𝑟 , определяется радиусом-вектором 𝑟. Поэтому, 𝑣𝑟 = 𝜔 ⃗𝑟× 𝑟. Переносное движение точки в данный момент времени, опять используя правило остановки, тоже есть вращение, но вокруг оси 𝑧𝑒 с угловой скоростью 𝜔 ⃗ 𝑒 и будет определяться тем же радиусом-вектором 𝑟. Поэтому и переносная скорость r. Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О, при сферическом движении, определяется аналогично 𝑣𝑀 = 𝜔 ⃗ × 𝑟, где 𝜔 ⃗ - абсолютная угловая скорость, направленная по мгновенной оси вращения Р. По формуле сложения скоростей получим: 𝜔 ⃗ ×𝑟 =𝜔 ⃗𝑟×𝑟+𝜔 ⃗ × 𝑟 или 𝜔 ⃗ × 𝑟 = (𝜔 ⃗𝑟+ 𝜔 ⃗ 𝑒 ) × 𝑟. Отсюда 𝜔 ⃗ =𝜔 ⃗𝑒+𝜔 ⃗𝑟 То есть мгновенная угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения, есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P, направленная по вектору 𝜔 ⃗ , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах 𝜔 ⃗𝑒 и𝜔 ⃗ 𝑟 (рис.7). Частные случаи: 1. Оси вращения 𝒛𝒆 и 𝒛𝒓 параллельны, направления вращений одинаковы (рис. 8). Рис.8 Так как векторы 𝜔 ⃗𝑒 и 𝜔 ⃗ 𝑟 параллельны и направлены в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей 𝜔 = 𝜔𝑒 + 𝜔𝑟 и вектор ее направлен в туже сторону. Мгновенная ось вращения Р делит расстояние между осями на части обратно пропорциональные 𝜔𝑒 и 𝜔𝑟 : 𝑎1 𝑎2 𝜔 = 𝜔𝑟 . (аналогично равнодействующей параллельных сил). 𝑒 В этом частном случае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей 𝐶𝑣 находится на оси Р. 2. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны (рис.9). Рис.9 В этом случае 𝜔 = 𝜔𝑟 − 𝜔𝑒 (при 𝜔𝑟 > 𝜔𝑒 ). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что 𝑎1 𝑎2 𝜔 = 𝜔𝑟 (опять по аналогии определения равнодействующей параллельных сил). 𝑒 3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны. Угловая скорость абсолютного движения 𝜔 = 0 и, следовательно, тело совершает поступательное движение. Этот случай называется парой вращений, по аналогии с парой сил. Пример 4. Диск радиусом R вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью 𝜔1 , а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью 𝜔1 (рис.10). Рис.10 Горизонтальная ось – это ось относительного вращения 𝑧𝑟 ; вертикальная ось – ось переносного вращения 𝑧𝑒 . Соответственно угловые скорости 𝜔𝑟 = 𝜔1 , 𝜔𝑒 = 𝜔2 векторы их направлены по осям 𝑧𝑟 и 𝑧𝑒 . Абсолютная угловая скорость 𝜔 ⃗ =𝜔 ⃗𝑒+𝜔 ⃗ 𝑟 , а величина ее, так как 𝜔 ⃗𝑒⊥𝜔 ⃗ 𝑟, 𝜔 = √𝜔12 + 𝜔22 . Скорость точки А, например, можно найти или как сумму переносной и относительной скоростей: 𝑣𝐴 = 𝑣𝑒 + 𝑣𝑒 , где 𝑣𝑒 = 𝑅𝜔𝑒 = 𝑅𝜔2 , 𝑣𝑟 = 𝑅𝜔𝑟 = 𝑅𝜔1 и 𝑣𝐴 = √𝑣𝑒2 + 𝑣𝑟2 = 𝑅√𝜔22 + 𝜔12 , или как при абсолютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р, 𝑣𝐴 = 𝑅𝜔 = 𝑅√𝜔22 + 𝜔12 . Вектор скорости 𝑣𝐴 будет расположен в плоскости перпендикулярной вектору 𝜔 ⃗ и оси Р. Пример 5. Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси О с угловой скоростью 𝜔0 . Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и заставит вращаться колесо 3. Найдем угловую скорость 𝜔3 , этого колеса. Радиусы колес R1, R2, R3 (рис.11). Рис.11 Колесо 3 участвует в двух движениях. Вращаться вместе с водилом вокруг оси О и относительно оси O1. Ось О будет переносной осью, ось O1 – относительной. Переносная угловая скорость колеса 3 – это угловая скорость водила 𝜔𝑒 = 𝜔0 , направленная по часовой стрелке, как 𝜔0 . Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью 𝜔0 (рис. 12), а колесо 3 – вращающимся с относительной угловой скоростью 𝜔𝑟 , против часовой стрелки. Так как 𝜔0 𝜔𝑟 = 𝑅2 ; 𝑅1 𝜔𝑟 𝜔2 = 𝑅2 , 𝑅3 то 𝜔𝑟 = 𝑅1 𝜔 . 𝑅3 0 Оси вращения 𝑅 параллельны, направления вращений противоположны. Поэтому 𝜔3 = 𝜔𝑟 − 𝜔𝑒 = (𝑅1 − 1)𝜔0 и 3 направлена так же как 𝜔𝑟 , против часовой стрелки. В частности, если R3=R1, то 𝜔𝑟 = 𝜔𝑒 и 𝜔3 = 0. Колесо 3 будет двигаться поступательно. Рис.12 .7. Исследование движения других подобных конструкций дифференциальных редукторов, передач) ведется аналогичным способом. (планетарных и Переносной угловой скоростью является угловая скорость водила (рамки, крестовины и т.п.), а чтобы определить относительную скорость какого-либо колеса, нужно водило остановить, а неподвижное колесо заставить вращаться с угловой скоростью водила, но в противоположную сторону. Угловые ускорения тела в абсолютном движении можно искать как производную 𝜀 = ⃗⃗⃗ 𝑑𝜔 , 𝑑𝑡 где 𝜔 ⃗ =𝜔 ⃗𝑒+𝜔 ⃗ 𝑟 . Покажем (рис.13) единичные векторы 𝑘⃗𝑒 и 𝑘⃗𝑟 (орты осей 𝑧𝑒 и 𝑧𝑟 ), а векторы угловых скоростей запишем так: 𝜔 ⃗ 𝑒 = 𝜔𝑒 ∙ 𝑘⃗𝑒 , 𝜔 ⃗ 𝑟 = 𝜔𝑟 ∙ 𝑘⃗𝑟 . Тогда 𝜔 ⃗ = 𝜔𝑒 ∙ 𝑘⃗𝑒 + 𝜔𝑟 ∙ 𝑘⃗3 и угловое ускорение, при 𝑘⃗𝑒 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜀= 𝑑𝜔 ⃗ 𝑑𝜔𝑒 𝑑𝜔𝑟 𝑑𝑘⃗𝑟 = ∙ 𝑘⃗𝑒 + ∙ 𝑘⃗𝑟 + 𝜔𝑟 ∙ . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Здесь 𝑑𝜔𝑒 𝑑𝜔𝑟 𝑑𝑘⃗𝑟 = 𝜀𝑒 , = 𝜀𝑟 и =𝜔 ⃗ 𝑒 × 𝑘⃗𝑟 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Поэтому 𝜀 = 𝜀𝑒 𝑘⃗𝑒 + 𝜀𝑟 𝑘⃗𝑟 + 𝜔𝑟 (𝜔 ⃗ 𝑒 × 𝑘⃗𝑟 ) или 𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑟 + 𝜔 ⃗𝑒×𝜔 ⃗ 𝑟 и 𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑟 + 𝜀∗ , где 𝜀𝑒 – угловое ускорение переносного вращения; 𝜀𝑟 – угловое ускорение относительного вращения; 𝜀∗ = 𝜔 ⃗𝑒×𝜔 ⃗ 𝑟 – добавочное угловое ускорение, которое определяет изменение относительной угловой скорости 𝜔 ⃗ 𝑟 при переносном движении. Направлен этот вектор перпендикулярно осям 𝑧𝑒 и 𝑧𝑟 , как скорость конца вектора 𝜔 ⃗ 𝑟 . Модуль добавочного углового ускорения 𝜀∗ = 𝜔𝑒 ∙ 𝜔𝑟 𝑠𝑖𝑛𝛼, где 𝛼 - угол между осями. Конечно, если оси вращения параллельны, это угловое ускорение 𝜀∗ будет равно нулю, так как 𝛼 = 0. Рис.13 2. Общий случай движения тела Произвольное движение тела – это общий случай движения. Его можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранным полюсом С и вращения вокруг этого полюса. Первое движение определяется уравнениями движения полюса, точки С: 𝑥𝐶 = 𝑥𝐶 (𝑡), 𝑦𝐶 = 𝑦𝐶 (𝑡), 𝑧𝐶 = 𝑧𝐶 (𝑡). А второе движение – уравнениями вращения вокруг точки С с помощью углов Эйлера: 𝜓 = 𝜓(𝑡), 𝜃 = 𝜃(𝑡), 𝜑 = 𝜑(𝑡). Скорости и ускорения точек тела в общем случае, при произвольном движении, определяются такими же методами, как при сложном движении точки (см. раздел выше). 3. Цилиндрические зубчатые передачи. Рассмотрим основные виды этих передач. 1. Рядовой назовем передачу, в которой все оси колес, находящихся в последовательном зацеплении, неподвижны. При этом одно из колес (например, колесо 1 на рис.14) является ведущим, а остальные ведомыми. Рис.14 В случае внешнего (рис.14,а) или внутреннего (рис.14,б) зацепления двух колес имеем |𝜔1 |𝑟1 = |𝜔2 |𝑟2 , так как скорость точки сцепления А у обоих колес одинакова. Учитывая, что число z зубцов сцепленных колес пропорционально их радиусам, а вращения колес происходят при внутреннем зацеплении в одну сторону, а при внешнем в разные, получаем (𝜔1/ 𝜔2 )внеш = −𝑟2 /𝑟1 = −𝑧2 /𝑧1 ; (𝜔1/ 𝜔2 )внут = 𝑟2 /𝑟1 = 𝑧2 /𝑧1 . При внешнем зацеплении трех колес (рис.14, в) найдем, что 𝜔1/ 𝜔2 = −𝑟2 /𝑟1 , 𝜔2/ 𝜔3 = −𝑟3 /𝑟2 и 𝜔1/ 𝜔3 = 𝑟3 /𝑟2 = 𝑧3 /𝑧1 . Следовательно, отношение угловых скоростей крайних шестерен в этой передаче обратно пропорционально их радиусам (числу зубцов) и не зависит от радиусов промежуточных (паразитных) шестерен. Из полученных результатов следует, что при рядовом сцеплении шестерен 𝜔1 /𝜔𝑛 = (−1)𝑘 𝑟𝑛 /𝑟1 = (−1)𝑘 𝑧𝑛 /𝑧1 . где k - число внешних зацеплений (в случае, изображенном на рис.14,а имеется одно внешнее зацепление; на рис.61, в - два внешних зацепления, на рис.14,б внешних зацеплений нет). Передаточным числом данной зубчатой передачи называется величина 𝑖1𝑛 , дающая отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого: 𝑖1𝑛 =𝜔1 /𝜔𝑛 . 2. Планетарной называется передача (рис.15), в которой шестерня 1 неподвижна, а оси остальных шестерен, находящихся в последовательном зацеплении, укреплены на кривошипе АВ, вращающемся вокруг оси неподвижной шестерни. Рис.15 3. Дифференциальной называется передача, изображенная на рис. 62, если в ней шестерня 1 не является неподвижной и может вращаться вокруг своей оси А независимо от кривошипа АВ. Расчет планетарных и дифференциальных передач можно производить, сообщив мысленно всей неподвижной плоскости Ах1y1 вращение с угловой скоростью - 𝜔𝐴𝐵 , равной по модулю и противоположной по направлению угловой скорости кривошипа АВ (метод остановки или метод Виллиса). Тогда кривошип в этом сложном движении будет неподвижен, а любая шестерня радиуса 𝑟𝑘 будет иметь угловую скорость ω ̃ k = ωk − ωAB , где 𝜔𝑘 - абсолютная угловая скорость этой шестерни по отношению к осям Ах1y1 (рис.15). При этом оси всех шестерен будут неподвижны и зависимость между ω ̃ k можно будет определить, приравнивая скорости точек сцепления. Расчет планетарных и дифференциальных передач можно также производить с помощью мгновенных центров скоростей. 4. Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение. Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоростью 𝜔 ⃗ и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси Аа (рис.16), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта. Когда векторы v и 𝜔 ⃗ направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения 𝜔 винт будет правым; если в разные стороны, - левым. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины v и 𝜔 ⃗ постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получаем в этом случае 𝑣𝑇 = ℎ и 𝜔𝑇 = 2𝜋, откуда h=2πv/ω. Рис.16 При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии r , слагается из поступательной скорости v и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна 𝜔𝑟. Следовательно, 𝑣𝑀 = √𝑣 2 + 𝜔 2 𝑟 2 . Направлена скорость 𝑣𝑀 по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии, обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом 𝛼(𝑡𝑔𝛼 = ℎ/2𝜋𝑟). Методические рекомендации по решению задач Рассматривается а) сложное движение одного тела, б) относительное движение нескольких тел. Требуется установить соотношения между скоростями (линейными и угловыми), а также ускорениями (линейными и угловыми), при сложном или относительном движении тел. Можно предложить следующий алгоритм решения: 1) Изобразить (или при наличии некоторого опыта представить) тело или систему тел в двух состояниях. 2) Из рисунка найти связь между перемещениями - линейными и угловыми. 3) Продифференцировать полученное соотношение по времени и учесть определения скорости и ускорения (линейных и угловых). Пример 6. На клин с углом наклона  положен брусок. Под действием силы тяжести брусок опускается со скоростью vб. Найти скорость клина.  Рис.17 Решение. 1) Под действием силы тяжести брусок движется вниз, вытесняя клин и заставляя его перемещаться вправо. Изобразим систему тел в двух состояниях (рис.18). sк  sб  Рис.18 2) Обозначим перемещение клина sк, а перемещение бруска sб. Из рисунка легко найти связь между ними: 𝑠б = 𝑠к ∙ 𝑡𝑔𝛼. 3) Продифференцируем полученное соотношение по времени 𝑑𝑠б 𝑑𝑠к = 𝑡𝑔𝛼 𝑑𝑡 𝑑𝑡 и учтем определение скорости 𝑣б = 𝑑𝑠б , 𝑑𝑡 𝑣𝑘 = 𝑑𝑠к . 𝑑𝑡 В результате получим уравнения кинематической связи 𝑣б = 𝑣к ∙ 𝑡𝑔𝛼. Пример 7. На горизонтальной плоскости находится катушка, на которую намотана нить (рис.19). Радиус намотанного слоя ниток равен r, наибольший радиус катушки равен R. Свободный конец нити перемещают с ускорением aK. Найти ускорение центра масс катушки aC и угловое ускорение ε, если катушка движется без проскальзывания. К С аК r R Рис.19 Решение. Решим задачу в соответствии с приведенным алгоритмом. 1. Изобразим катушку в двух состояниях. sК sC В sн В   С М К sн К А С sC А sC Рис.20 2. Из рисунка найдем связь между перемещениями. Пусть центр масс С переместился на расстояние sC. При этом точка А заняла нижнее положение, а радиус, соединяющий точки А и С повернулся на угол φ. При отсутствии проскальзывания длина дуги АМ равна перемещению центра масс. Учитывая связь между длиной дуги и углом φ, опирающимся на эту дугу, получаем 𝑠𝐶 = 𝐴𝑀 = 𝜑𝑅. Найдем перемещение конца нити К. При повороте катушки на угол φ точка В заняла верхнее положение, в результате чего свободная часть нити увеличилась на длину дуги sн = φ∙r. Следовательно, перемещение конца нити происходит, во-первых, за счет перемещения самой катушки, во-вторых, за счет увеличения свободного участка нити: 𝑠𝐾 = 𝑠𝐶 + 𝑠н = 𝜑𝑅 + 𝜑𝑟 = 𝜑(𝑅 + 𝑟). 3. Дважды продифференцируем полученные соотношения по времени: 𝑑2 𝑠𝐶 𝑑2 𝜑 = 2 𝑅, 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑2 𝑠𝐾 𝑑2 𝜑 = 2 (𝑅 + 𝑟) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 и учтем определения ускорения 𝑎𝐶 = 𝑑2 𝑠𝐶 , 𝑑𝑡 2 𝑎𝐾 = 𝑑2 𝑠𝐾 𝑑2 𝜑 , 𝜀 = . 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 В результате получим уравнения кинематической связи в виде 𝑎𝐶 = 𝜀𝑅, 𝑎𝐾 = 𝜀(𝑅 + 𝑟). Из этих соотношений выразим искомые величины через данные условия задачи: 𝑎𝐶 = 𝑎𝐾 𝑅 , 𝑅+𝑟 𝜀= 𝑎𝐾 . 𝑅+𝑟 Лекция 9. Динамика точки. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Динамика точки. 2. Основные понятия и определения. 3. Законы динамики. 4. Силы в природе. 5. Силы трения. 6. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки. 7. Методические указания по решению задач. 8. Дифференциальные уравнения движения точи. 9. Движение точки, брошенной под углом к горизонту в однородном поле тяжести. 10. Относительное движение материальной точки. 11. Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел. 12. Общие теоремы динамики точки. 13. Количество движения (импульс). 14. Импульс силы. 15. Теорема об изменении количества движения (импульса) точки. Изучение данных вопросов необходимо для динамики движения центра масс механической системы, динамики вращательного движения твердого тела, кинетического момента механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин». Динамика точки. Основные понятия и определения. В разделе кинематики исследовалось движение тел без учета причин, обеспечивающих это движение. Рассматривалось движение, заданное каким-либо способом и определялись траектории, скорости и ускорения точек этого тела. В разделе динамики решается более сложная и важная задача. Определяется движение тела под действием сил приложенных к нему, с учетом внешних и внутренних условий, влияющих на это движение, включая самих материальных тел. Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил. Понятие о силе, как о величине, характеризующей меру механического взаимодействия материальных тел, было введено в статике. Но при этом в статике мы, по существу, считали все силы постоянными. Между тем, на движущееся тело наряду с постоянными силами (постоянной, например, можно считать силу тяжести) действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются. Сила – векторная физическая величина, характеризующая действие одного тела на другое, в результате чего у тела изменяется скорость, то есть появляется ускорение, или происходит деформация тела, либо имеет место и то, и другое. В том случае, когда тело при взаимодействии получает ускорение, говорят о динамическом проявлении сил. В том случае, когда тело при взаимодействии деформируется, говорят о статическом проявлении сил. 𝐹 – векторная величина. Как показывает опыт, переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, от положения тела и от его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата; от положения тела зависит сила упругости пружины; от скорости движения зависят силы сопротивления среды (воды, воздуха). К понятию об инертности тел мы приходим, сравнивая результаты действия одной и той же силы на разные материальные тела. Опыт показывает, что если одну и ту же силу приложить к двум разным, свободным от других воздействий покоящимся телам, то в общем случае по истечении одного и того же промежутка времени эти тела пройдут разные расстояния и будут иметь разные скорости. Инертность и представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Если, например, при действии одинаковых сил изменение скорости первого тела происходит медленнее, чем второго, то говорят, что первое тело является более инертным, и наоборот. Количественной мерой инертности данного тела является физическая величина, называемая массой тела. В механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела. За единицу массы принят эталон – сплав платины и иридия, хранящийся в палате мер и весов в Париже: [m]=кг. Масса–величина аддитивная 𝑚сист = ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 и скалярная. В общем случае движение тела зависит не только от его суммарной массы и приложенных сил; характер движения может еще зависеть от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц (т.е. от распределения масс). Чтобы при первоначальном изучении динамики иметь возможность отвлечься от учета влияния формы тел (распределения масс), вводится понятие о материальной точке. Под материальной точкой понимают материальное тело столь малых размеров, что различием в движении отдельных его точек можно пренебречь и положение которого можно определить координатами одной из его точек. Практически данное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела при его движении, очень велики по сравнению с размерами самого тела. Кроме того, как будет показано в динамике системы поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела. Наконец, материальными точками можно считать частицы, на которые мы будем мысленно разбивать любое тело при определении тех или иных его динамических характеристик. Точку будем называть изолированной, если на точку не оказывается никакого влияния, никакого действия со стороны других тел и среды, в которой точка движется. Конечно, трудно привести пример подобного состояния. Но представить такое можно. При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рассматривать как совокупность материальных точек. Поэтому при изучении динамики выделяют два основных раздела: "Динамика материальной точки" и "Динамика материальной системы", из которых первый предваряет второй. Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково. Законы динамики В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений над движением тел и проверенные обширной общественноисторической практикой человечества. Систематически эти законы были впервые изложены И. Ньютоном. Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: существуют такие системы отсчета, относительно которых тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела или действие этих тел компенсировано. или в другой формулировке если сумма действующих на тело сил равна нулю, то тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции. Закон инерции отражает одно из основных свойств материи - пребывать неизменно в движении и устанавливает для материальных тел эквивалентность состояний покоя и движения по инерции. Из него следует, что если F=0, то точка покоится или движется с постоянной по модулю и направлению скоростью (𝑣 =const); ускорение точки при этом равно нулю: 𝑎 = 0); если же движение точки не является равномерным и прямолинейным, то на точку действует сила. Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета (иногда ее условно называют неподвижной). По данным опыта для нашей Солнечной системы инерциальной является система отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей. Системы отсчета, в которых не выполняется первый закон Ньютона, называются неинерциальными. Неинерциальными будут системы, движущиеся с ускорением, или вращающиеся. Второй закон (основной закон динамики) гласит: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы (рис.1). Рис.1 Математически этот закон выражается векторным равенством 𝑚𝑎 = 𝐹 . При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость ma = F. Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса которой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот. Известно, что вес тела и ускорение его свободного падения пустоте существенно зависят от места земной поверхности. В данной точке земли ускорение свободного падения всех тел одинаково и обозначается буквой g. Экспериментально установлено, что отношение веса Р тела к ускорению его свободного падения g есть постоянная величина, не зависящая от места наблюдения. Это отношение m = P/g также определяет массу тела. Таким образом, различают тяжелую массу m1 = P/g и инертную массу m2 = F/a. В классической механике считается, что m1=m2=m. Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействующей 𝑅⃗, равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид 𝑚𝑎 = 𝑅⃗ или 𝑚𝑎 = ∑ 𝐹𝐾 . Существует и более формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равно действующей на нее силе: 𝐹 = 𝑑𝑝/𝑑𝑡. Данное выражение называется уравнением движения материальной точки. В общем случае сила, действующая на тело, изменяется со временем и по величине, и по направлению. Но в течение элементарного промежутка времени dt мы можем считать, что 𝐹 =const. Векторная величина 𝑑𝑝, равная 𝑑𝑝 = 𝐹 𝑑𝑡, называется элементарным импульсом (силы). Второй закон Ньютона в дифференциальной форме: 𝑛 𝑑𝑣 𝑚 = ∑ 𝐹𝑖 , 𝑑𝑡 𝑖=1 в проекциях на оси: 𝑚 𝑑𝑣𝑥 = ∑ 𝐹𝑖𝑥 ; 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑣𝑦 = ∑ 𝐹𝑖𝑦 ; 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑣𝑧 = ∑ 𝐹𝑖𝑧 . 𝑑𝑡 Из второго закона также получим размерность силы: 1Н=1 кг∙1 м/с2. Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны (рис.2). Рис.2 Заметим, что силы взаимодействия между свободными материальными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы. Проведём небольшой эксперимент. Попробуем перемещать тяжёлое тело по некоторой криволинейной траектории. Сразу обнаружим, что тело сопротивляется изменению направления движения, изменению скорости. Возникает сила со стороны тела, противодействующая силе 𝐹 , той, которую мы прикладываем к нему. Эту силу, с которой материальная точка сопротивляется изменению своего движения, будем называть силой инерции этой точки - 𝐹 ин. По третьему закону она равна и противоположна действующей на точку силе 𝐹 , 𝐹 ин = −𝐹 . Но на основании второй аксиомы 𝐹 = 𝑚𝑎. Поэтому 𝐹 ин = 𝑚𝑎. Итак, сила инерции материальной точки по величине равна произведению её массы на ускорение Fин=ma. И направлена эта сила инерции в сторону противоположную вектору ускорения. Например, при движении точки по кривой линии ускорение 𝑎 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝜏 . Поэтому сила инерции 𝐹 ин = −𝑚𝑎 = −𝑚𝑎𝑛 − 𝑚𝑎𝜏 = 𝐹𝑛ин + 𝐹𝜏ин. То есть её можно находить как сумму двух сил: нормальной силы инерции и касательной силы инерции. Рис.3 Причём 𝐹𝑛ин = 𝑚 𝑣2 𝑑𝑣 , 𝐹𝜏ин = 𝑚 . 𝜌 𝑑𝑡 Необходимо заметить, что сила инерции материальной точки, как сила противодействия, приложена не к точке, а к тому телу, которое изменяет её движение. Это очень важно помнить. Третий закон динамики, как устанавливающий характер взаимодействия материальных частиц, играет большую роль в динамике системы. Четвертый закон (закон независимого действия сил). При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил. 𝑚 ∙ 𝑎𝑖 = 𝐹𝑖 ; 𝑎 = ∑ 𝑎𝑖 𝑖 Законы Ньютона в классической механике применимы для описания движения: а) макротел; б) для тел постоянной массы; в) при скоростях, значительно меньших скорости света. Силы в природе. В природе существует много разных видов сил: тяготения, тяжести, Лоренца, Ампера, взаимодействия неподвижных зарядов и т.д., но все они в конечном счете сводятся к небольшому числу фундаментальных (основных) взаимодействий. Современная физика считает, что существует в природе лишь четыре вида сил или четыре вида взаимодействий: 1) гравитационное взаимодействие (осуществляется через гравитационные поля); 2) электромагнитное взаимодействие (осуществляется через электромагнитные поля); 3) ядерное (или сильное) (обеспечивает связь частиц в ядре); 4) слабое (отвечает за процессы распада элементарных частиц). В рамках классической механики имеют дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с упругими силами и силами трения. Гравитационные силы (силы тяготения) – это силы притяжения, которые подчиняются закону всемирного тяготения. Сила тяжести – сила, с которой тело притягивается Землей. Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением 𝑔, называемым ускорением свободного падения. По второму закону Ньютона, на всякое тело действует сила: 𝐹 = 𝑚𝑔, называемая силой тяжести. Вес – сила, с которой тело, притягиваясь к Земле, действует на подвес или опору. Сила тяжести 𝑚𝑔 равна весу только в том случае, когда опора или подвес неподвижны относительно Земли. По модулю вес 𝑃⃗ может быть как больше, так и меньше силы тяжести 𝐹 . Эти силы приложены к разным телам: 𝑚𝑔 – приложена к самому телу, 𝑃⃗ – к подвесу или опоре, ограничивающим свободное движение тела в поле земного тяготения. В случае ускоренного движения опоры (например, лифта, везущего груз) уравнение движения (с учетом того, что сила реакции опоры равна по величине весу, но имеет ⃗ ): 𝑚𝑔 − 𝑃⃗ = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑃⃗ = 𝑚(𝑔 − 𝑎). Если движение происходит противоположный знак 𝑃⃗ = −𝑁 вверх P=m(g+a), вниз: P=m(g-a). При свободном падении тела его вес равен нулю, т.е. оно находится в состоянии невесомости. Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией. Упругая (квазиупругая) сила пропорциональна смещению частицы из положения равновесия и направлена к положению равновесия: 𝐹 = −𝑘𝑟. Силы трения являются одним из проявлений контактного взаимодействия тел, в частности сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого: 𝐹тр.ск. = 𝜇ск 𝑁 и направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого. Упругие силы и силы трения определяются характером взаимодействия между молекулами вещества, которое имеет электромагнитное происхождение, следовательно они по своей природе имеют электромагнитные происхождения. Гравитационные и электромагнитные силы являются фундаментальными – их нельзя свести к другим, более простым силам. Упругие силы и силы трения не являются фундаментальными. Фундаментальные взаимодействия отличаются простотой и точностью законов. Силы трения. Трение является одним из проявлений контактного взаимодействия тел. Трение различают двух видов: внешнее и внутреннее. Силы внешнего трения возникают на поверхности контакта двух тел. Внутреннее трение – это тангенциальное взаимодействие между слоями одного и того же тела. Если сила трения возникает при движении твердого тела в жидкой или газообразной среде, то ее относят к силам внутреннего трения. Трение между поверхностями твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки или смазки называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким или жидким. Рассмотрим сухое трение. Различают три его вида: трение покоя, трение скольжения и трение качения. а) Сила трения покоя – это сила, действующая между соприкасающимися телами, находящимися в состоянии покоя, равная по величине и противоположно направленная силе, понуждающей тело к движению. До возникновения скольжения сила трения покоя может иметь любое направление и принимать любое значение от нуля до некоторого максимального, при котором возникает 𝑚𝑎𝑥 скольжение: 0 ≤ 𝐹тр пок ≤ 𝐹тр пок . Силу трения покоя, равную по модулю внешней силе, при которой начинается скольжение данного тела по поверхности другого, называют максимальной силой трения покоя. Французские физики Г.Амонтон и Ш.Кулон установили, что: максимальная сила трения покоя пропорциональна силе реакции опоры (нормального давления) и не зависит от площади соприкосновения трущихся тел 𝑚𝑎𝑥 𝐹тр пок = 𝜇𝑁, где μ – коэффициент трения покоя, зависит от физической природы соприкасающихся тел и обработки их поверхностей, 𝑚𝑎𝑥 б) Трение скольжения. Если к телу приложить внешнюю силу, превышающую |𝐹тр пок |, то тело начинает скользить. Сила трения продолжает существовать и называется силой трения скольжения. Силы трения скольжения действуют вдоль поверхности контакта двух тел. Они приложены к обеим трущимся поверхностям в соответствии с третьим законом Ньютона. Модуль силы трения скольжения зависит от материала тел, состояния поверхностей и от относительной скорости движения тел (см. рис.4). Уменьшение силы трения скольжения при малых скоростях объясняется тем, что при движении тела, имеющиеся на его поверхности микроскопические выступы не успевают так глубоко западать в углубления поверхности другого тела, как при покое. Деформируются только «верхушки» выступов. Увеличение силы трения скольжения при больших скоростях связано с разрушением выступов и их размельчением. У грубо обработанной поверхности основную роль в возникновении сил трения покоя и скольжения играют зацепления неровностей, а при тщательной обработке – молекулярное или атомное сцепление. При специальной обработке поверхностей сила трения скольжения может практически не зависеть от скорости. Fтр F трmaxпок v Рис. 10.1. Рис.4 Силы трения скольжения также зависят от нормального давления на поверхность соприкосновения. При постоянной скорости движения: 𝐹тр.ск. = 𝜇ск 𝑁. (1) Коэффициент трения скольжения μск зависит от материала тел, состояния поверхностей и от относительной скорости движения тел. В первом приближении можно считать μск равным коэффициенту трения покоя μ (μск =μ). Для определения μ положим тело на наклонную плоскость и начнем увеличивать угол наклона α. Из (1) μ=F/N. При определенном значении α тело начинает движение вниз. Тело приходит в движение, когда (рис.5) F=Fтр и F=mgsinα; N=mgcosα, тогда: 𝜇= 𝐹 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 = = 𝑡𝑔𝛼 𝑁 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла α0, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.  N1  F   Fтр  mg  N Рис.10.2 Рис.5 в) Трение качения. При качении тела по поверхности другого возникает особая сила – сила трения качения, которая препятствует качению тела. Сила терния качения при тех же материалах соприкасаемых тел всегда меньше силы терния скольжения. Этим пользуются на практике, заменяя подшипники скольжения шариковыми или роликовыми подшипниками. Кулон опытным путем установил для катящегося цилиндра радиуса R: 𝑁 𝐹𝐾 = 𝜇𝐾 , 𝑅 где μК – коэффициент трения качения, величина которого уменьшается с увеличением твердости материала и шероховатости его поверхности. Для катящегося обода 𝐹𝐾 = 𝜇𝐾 𝑁 . 2𝑅 На тело, движущееся в вязкой (жидкой или газообразной) среде, действует сила жидкого трения, тормозящая его движение. Сила жидкого трения вместе со скоростью обращается в нуль. При небольших скоростях она растет пропорционально скорости: 𝐹ж.тр. = −𝑘1 𝑣 (2) Коэффициент k1 зависит от формы и размеров тела, характера его поверхности, а также от свойства среды, называемого вязкостью. При увеличении скорости линейная зависимость постепенно переходит в квадратичную: 𝐹ж.тр. = −𝑘2 𝑣 2 (3) k2 также зависит от формы тела, от площади лобового сопротивления, от вязкости жидкости (ею пренебрегают). Границы области, в которой происходит переход от закона (2) к закону (3), зависят от тех же факторов, от которых зависит коэффициент k1. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки. Для свободной материальной точки задачами динамики являются следующие: 1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики); 2) зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая или основная задача динамики). Решаются обе эти задачи с помощью уравнений, выражающих основной закон динамики, так как эти уравнения связывают ускорение 𝑎 т.е. величину, характеризующую движение точки, и действующие на нее силы. В технике часто приходится сталкиваться с изучением несвободного движения точки, т.е. со случаями, когда точка, благодаря наложенным на нее связям, вынуждена двигаться по заданной неподвижной поверхности или кривой. Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена. Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями. Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, которое называется уравнением связи. f(x,y,z)=0 Если точка вынуждена двигаться по некоторой линии, то уравнениями связи являются уравнения этой лини. 𝑓1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, 𝑓2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Таким образом, движение несвободной материальной точки зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий, но так же от имеющихся связей. При этом значения начальных параметров должны удовлетворять уравнениям связей. Связи бывают двухсторонние или удерживающие и односторонние или неудерживающие. Связь называется двухсторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве на которых должна находится точка. Пример. Материальная точка подвешена на стержне длины l (рис.6). Уравнение связи имеет вид: x2+y2+z2=l2 Рис.6 Связь называется односторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме неравенств. Односторонняя связь препятствует перемещению точки лишь в одном направлении и допускает ее перемещение в других направлениях. Пример. Материальная точка подвешена на нити длины l (рис.7). Уравнение связи имеет вид: x2+y2+z2≤l2 Рис.7 В случаях несвободного движения точки, как и в статике, будем при решении задач исходить из аксиомы связей (принцип освобождаемости от связей), согласно которой всякую несвободную материальную точку можно рассматривать как свободную, отбросив связь и ⃗ . Тогда основной закон динамики для несвободного заменив ее действие реакцией этой связи ⃗𝑵 движения точки примет вид: ⃗, 𝑚𝑎 = ∑ 𝐹𝑘𝑎 + 𝑁 где 𝐹𝑘𝑎 -действующие на точку активные силы. Пусть на точку действует несколько сил. Составим для неё основное уравнение динамики: 𝑚𝑎 = ∑ 𝐹𝑖 . Перенесём все члены в одну сторону уравнения и запишем так: ∑ 𝐹𝑖 − 𝑚𝑎 = 0 или ∑ 𝐹𝑖 + 𝐹𝑖ин = 0. Это уравнение напоминает условие равновесия сходящихся сил. Поэтому можно сделать вывод, что, если к движущейся материальной точке приложить её силу инерции, то точка будет находиться в равновесии. (Вспомним, что на самом деле сила инерции не приложена к материальной точке и точка не находится в равновесии.) Отсюда следует метод решения таких задач, который называется методом кинетостатики: Если к силам, действующим на точку, добавить ее силу инерции, то задачу можно решать методами статики, составлением уравнений равновесия. Первая задача динамики для несвободного движения будет обычно сводиться к тому, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи. Лекция 10. Работа. Мощность. Теорема об изменении кинетической энергии точки. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Работа силы. 2. Консервативные силы. 2. Мощность. 3. Примеры вычисления работы. 4. Потенциальная энергия 5. Кинетическая энергия 6. Теорема об изменении кинетической энергии точки. 7. Теорема моментов. Изучение данных вопросов необходимо для динамики движения центра масс механической системы, динамики вращательного движения твердого тела, кинетического момента механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин». Работа силы. Мощность. Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы. Рис.1 При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки. Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds. Элементарной работой силы 𝐹 (рис.1) называется скалярная величина: 𝑑𝐴 = 𝐹𝜏 𝑑𝑠, где 𝐹𝜏 - проекция силы 𝐹 на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а ds- бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной. Данное определение соответствует понятию о работе, как о характеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу 𝐹 на составляющие 𝐹𝜏 и 𝐹𝑛 , то изменять модуль скорости точки будет только составляющая 𝐹𝜏 , сообщающая точке касательное ускорение. Составляющая же 𝐹𝑛 или изменяет направление вектора скорости v (сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном движение изменяет давление на связь. На модуль скорости составляющая 𝐹𝑛 влиять не будет, т.е., как говорят, сила 𝐹𝑛 «не будет производить работу». Замечая, что 𝐹𝜏 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼, получаем: 𝑑𝐴 = 𝐹𝑑𝑠𝑐𝑜𝑠𝛼. (1) Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение ds или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения. Если угол 𝛼 острый, то работа положительна. В частности, при 𝛼 = 0 элементарная работа dA=Fds. Если угол 𝛼 тупой, то работа отрицательна. В частности, при 𝛼 = 1800 элементарная работа dA=-Fds. Если угол 𝛼 = 900 , т.е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю. Положительную силу F (α> 90°) называют движущей, а отрицательную (α> 90°) – силой сопротивления. Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу 𝐹 на составляющие 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 , 𝐹𝑧 по направлениям координатных осей (рис.2; сама сила 𝐹 на чертеже не показана). Рис.2 Элементарное перемещение 𝑀𝑀′ = 𝑑𝑠 слагается из перемещений dx, dy, dz вдоль координатных осей, где x, y, z - координаты точки М. Тогда работу силы 𝐹 на перемещении ds можно вычислить как сумму работ её составляющих 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 , 𝐹𝑧 на перемещениях dx, dy, dz. Но на перемещении dx совершает работу только составляющая 𝐹𝑥 , причем её работа равна Fxdx. Работа на перемещениях dy и dz вычисляется аналогично. Окончательно находим: dA=Fxdx+Fydy+Fzdz. Формула дает аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М0М1 вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна: 𝑀1 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = ∫ 𝐹𝜏 𝑑𝑠 𝑀0 или 𝑀1 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = ∫ (𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧). 𝑀0 Следовательно, работа силы на любом перемещении М0М1 равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М0 и М1. Графически площадь под всей кривой М0 и М1 и будет искомой работой. Рис.3 Если величина 𝐹𝜏 постоянна (𝐹𝜏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), то и обозначая перемещение М0М1 через 𝑠1 получим: 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = 𝐹𝜏 𝑠1. Такой случай может иметь место, когда действующая сила постоянна по модулю и направлению (F= const), а точка, к которой приложена сила, движется прямолинейно (рис.3). В этом случае 𝐹𝜏 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и работа силы 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = 𝐹𝑠1 𝑐𝑜𝑠𝛼 . Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж= 1 Н∙М). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на 1 м пути. Консервативные силы. Силы, действующие на тело, могут быть консервативными и неконсервативными. Сила называется консервативной или потенциальной, если работа, совершаемая этой силой при перемещении материальной точки из одного положения в другое, не зависит от вида траектории (формы пути) и определяется только начальным и конечным положениями тела (рис.3.1): А1В2 = А1С2 = А12. Рис.3.1 В случае, если тело движется в обратном направлении А12= –А21, т.е. изменение направления движения по траектории на противоположное вызывает изменение знака работы. Следовательно, при движении материальной точки по замкнутой траектории работа консервативной силы равна нулю (например, поднятие и опускание груза): ∮ 𝐹𝑙 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐴1𝐵2 + 𝐴2𝐶1 = 0. (1) 𝐿 Консервативными силами являются силы гравитационного взаимодействия, силы упругости, электростатические силы. Силы, не удовлетворяющие условию (1), называются неконсервативными. К неконсервативным силам относят силы трения и сопротивления. Поле, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным. Мощность. Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность 𝐴 𝑊= , 𝑡 где t - время, в течение которого произведена работа A. В общем случае 𝑊= 𝑑𝐴 𝐹𝜏 𝑑𝑠 = = 𝐹𝜏 𝑉. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость движения. Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 вт=1 дж/сек). В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила, равная 75 кГм/сек или 736 вт. Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час (1 квт-ч = 3,6∙106 дж ≈367100 кГм). Из равенства 𝑊 = 𝐹𝜏 𝑉 видно, что у двигателя, имеющего данную мощность W, сила тяги 𝐹𝜏 будет тем больше, чем меньше скорость движения V. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать большую силу тяги. Примеры вычисления работы. Рассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можно непосредственно пользоваться при решении задач. 1) Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести 𝑃⃗, перемещается из положения М0 (x0, у0, z0) в положение M1 (х1, у1, z1). Выберем оси координат так, чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх (рис.4). Рис.4 Тогда Рx=0, Рy=0, Pz= -Р. Подставляя эти значения и учитывая переменную интегрирования z: 𝑀1 𝑧1 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = ∫ (−𝑃)𝑑𝑧 = −𝑃 ∫ 𝑑𝑧 = 𝑃(𝑧0 − 𝑧1 ). 𝑀0 𝑧0 Если точка M0 выше М1, то 𝑧0 − 𝑧1 = ℎ, где h-величина вертикального перемещения точки; Если же точка M0 ниже точки M1 то 𝑧0 − 𝑧1 = −(𝑧1 − 𝑧0 ) = −ℎ. Окончательно получаем: 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = ±𝑃ℎ. Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной. Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными. 2) Работа силы упругости. Рассмотрим груз М, лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис.5,а). Отметим на плоскости точкой О положение, занимаемое концом пружины, когда она не напряжена (𝐴𝑂 = 𝑙0 - длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения О, удлинив пружину до величины l, то на груз будет действовать сила упругости пружины F, направленная к точке О. Рис.5 По закону Гука величина этой силы пропорциональна удлинению пружины ∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙1 . Так как в нашем случае ∆𝑙 = 𝑥, то по модулю 𝐹 = 𝑐|∆𝑙| = 𝑐|𝑥|. Коэффициент с называется коэффициентом жесткости пружины. В технике обычно измеряют величину с в H/см, полагая коэффициент с численно равным силе, которую надо приложить к пружине, чтобы растянуть ее на 1 см. Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения 𝑀0 (𝑥0 ) в положение 𝑀1 (𝑥1 ). Так как в данном случае Fx=-F=-cx, Fy=Fz=0, то получим: 𝑀1 𝑥1 𝑐 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = ∫ (−𝑐𝑥)𝑑𝑥 = −𝑐 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = (𝑥02 − 𝑥12 ). 2 𝑀0 𝑥0 (Этот же результат можно получить по графику зависимости F от х (рис.20, б), вычисляя площадь 𝜎 заштрихованной на чертеже трапеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле 𝑥0 представляет собою начальное удлинение пружины ∆𝑙нач , а 𝑥1 конечное удлинение пружины ∆𝑙кон. Следовательно, 𝑐 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = [(∆𝑙нач )2 − (∆𝑙кон )2 ], 2 т.е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины. Работа будет положительной, когда |∆𝑙нач | > |∆𝑙кон |, т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательной, когда |∆𝑙нач | < |∆𝑙кон |, т.е. конец пружины удаляется от равновесия положения. Можно доказать, что формула остается справедливой и в случае, когда перемещение точки М не является прямолинейным. Таким образом, оказывается, что работа силы F зависит только от значений ∆𝑙нач и ∆𝑙кон и не зависит от вида траектории точки М. Следовательно, сила упругости также является потенциальной. Рис.6 3) Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис.6) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю fN, где f ⃗ -нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения коэффициент трения, а 𝑁 противоположно перемещению точки. Следовательно, Fтр=-fN и по формуле 𝑀1 𝑀1 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = − ∫ 𝐹𝑚𝑝 𝑑𝑠 = − ∫ 𝑓𝑁𝑑𝑥 . 𝑀0 𝑀0 Если величина силы трения постоянна, то 𝐴(𝑀0 𝑀1 ) = −𝐹𝑚𝑝 𝑠, где s-длина дуги кривой М0М1 по которой перемещается точка. Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Величина этой работы зависит от длины дуги М0М1 . Следовательно, сила трения является силой непотенциальной. 4) Работа силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. В этом случае (рис.7) точка приложения силы 𝐹 движется по окружности радиуса r. Элементарная работа, по (1), 𝑑𝐴 = 𝐹𝑑𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼, где 𝑑𝑠 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜑. Рис.7 Поэтому 𝑑𝐴 = 𝐹𝑟 ∙ 𝑑𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼. Но 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐹𝜏 ∙ 𝑟 = 𝑀𝑧 (𝐹 ). Это нетрудно установить, разложив силу на три составляющие (рис. 7). (Моменты сил 𝐹𝑏 и 𝐹𝑛 равны нулю). Значит, 𝑑𝐴 = 𝑀𝑧 (𝐹 ) ∙ 𝑑𝜑 (2) В частности, если момент силы относительно оси 𝑀𝑧 (𝐹 ) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, работа силы при повороте тела на угол 𝜑 равна 𝐴 = ±𝑀𝑧 (𝐹 ) ∙ 𝜑. (3) Знак работы определяется знаками момента силы и угла поворота. Если они одинаковы, работа положительная. Из формулы (3) следует и правило определения работы пары сил. Если пара с моментом m расположена в плоскости перпендикулярной оси вращения тела, то ее работа при повороте тела на угол 𝜑 𝐴 = ±𝑚𝜑. (4) Если же пара сил действует в плоскости не перпендикулярной оси вращения, то ее надо заменить двумя парами. Одну расположить в плоскости перпендикулярной оси, другую – в плоскости параллельной оси. Моменты их определяются разложением вектора момента 𝑚 ⃗⃗ по соответствующим направлениям: 𝑚 ⃗⃗ = 𝑚 ⃗⃗ 1 + 𝑚 ⃗⃗ 2 . Конечно работу будет совершать только первая пара с моментом 𝑚1 = 𝑚 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾, где 𝛾 – угол между вектором 𝑚 ⃗⃗ и осью вращения z, 𝐴 = ±𝑚𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾. (5) Энергия. Мерой поступательного движения является импульс тела, но эта характеристика не универсальная. Универсальной количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи является энергия. Формы энергии: механическая, тепловая, электрическая, ядерная, внутренняя и др. Энергия из одной формы может переходить в другую. Энергия механической системы количественно характеризует ее с точки зрения возможных количественных и качественных превращений движения. Эти превращения обусловлены взаимодействием тел системы между собой и с внешними телами. Таким образом, движение и энергия неразрывно связаны между собой, а т.к. движение является неотъемлемой частью материи, то всякое тело обладает какой-либо энергией. Кинетической энергией тела называют энергию, являющуюся мерой его механического движения и определяемую работой, которую надо совершить, чтобы вызвать это движение. ⃗, Если под действием силы 𝐹 тело из состояния покоя приходит в движение со скоростью 𝑉 то будет совершаться работа, и энергия тела возрастает на величину затраченной работы: 𝑑𝐴 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟, где 𝑑𝑟 - перемещение; dA – элементарная работа. С учетом скалярной записи второго закона Ньютона: 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 𝑑𝑉 , 𝑑𝑡 Получим 𝑑𝐴 = 𝑚𝑉 ∙ 𝑑𝑉. А так как совершаемая работа равна приращению энергии, то 𝑑𝐴 = 𝑑𝑊𝐾 = 𝑚𝑉 ∙ 𝑑𝑉. Полная энергия находится путем интегрирования, при изменении скорости от 0 до некоторого значения V: 𝑉 𝑊𝐾 = ∫ 𝑚𝑉 ∙ 𝑑𝑉 = 𝑚𝑉 2 . 2 Кинетическая энергия всегда положительна. Кинетическая энергия системы материальных точек равна алгебраической сумме кинетических энергий всех материальных точек системы. Кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения. Кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета, т.к. в различных инерциальных системах отсчета скорость неодинакова. Потенциальная энергия – часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел, действующих друг на друга. Часть пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует сила, зависящая от места положения точки, называется силовым полем. Причем, эта сила определяется с помощью силовой функции u = u(x, y, z). Если она не зависит от времени, то такое поле называется стационарным. Если во всех точках она одинакова, то поле – однородное. Если же проекции силы на декартовы оси есть частные производные от силовой функции по соответствующим координатам 𝑋= 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 , 𝑌= , 𝑍= , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (6) то такое поле называется потенциальным. Если работа зависит от траектории, то силы называются диссипативными (сила трения). Вычислим работу силы потенциального поля при перемещении точки из положения М1 в положение М2. (рис. 8). Рис.8 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 Элементарная работа, 𝑑𝐴 = 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = 𝜕𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 ∙ 𝑑𝑦 + 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑧 = 𝑑𝑢 Это есть полный дифференциал силовой функции. Работа на конечном перемещении 𝑢2 𝐴 = ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢2 − 𝑢1 (7) 𝑢1 где u2 и u1 – значения силовой функции в точках М2 и М1. Следовательно, работа силы потенциального поля не зависит от траектории движения точки, а определяется лишь значениями силовой функции в начальном и конечном положениях точки. Естественно, если точка вернется в начальное положение, работа силы 𝐹 будет равна нулю. Работа окажется равной нулю и при переходе в другую точку М3, если там значение силовой функции будет такое же, как и в начальном положении. Нетрудно догадаться, что точки с одинаковыми значениями силовой функции будут образовывать целую поверхность. И что силовое поле – это слоеное пространство, состоящее из таких поверхностей (рис. 8). Эти поверхности называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями. Уравнения их: u(x, y, z)=C (C – постоянная, равная значению u в точках этой поверхности). А силовую функцию называют, соответственно, потенциалом поля. Конечно, эквипотенциальные поверхности не пересекаются. Иначе существовали бы точки поля с неопределенным потенциалом. Поскольку, при перемещении точки по эквипотенциальной поверхности работа силы 𝐹 равна нулю, то вектор силы перпендикулярен поверхности. Выберем среди этих поверхностей какую-нибудь одну и назовем ее нулевой поверхностью (положим у нее u=u0). Работа, которую совершит сила 𝐹 при переходе точки из определенного места М на нулевую поверхность, называют потенциальной энергией точки в этом определенном месте М: 𝑊П = 𝐴 = 𝑢0 − 𝑢. (8) Если тело находится в потенциальном поле сил, то оно будет обладать потенциальной энергией. Потенциальную энергию тела, связанного с нулевым уровнем системы отсчета, принимают нулевой, а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня. По (8) силовая функция 𝑢 = 𝑢0 − 𝑊П . Поэтому проекции силы на декартовы оси, по (6), так как 𝑢0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑋= 𝜕𝑊П 𝜕𝑊П 𝜕𝑊П , 𝑌= , 𝑍= 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑊П 𝜕𝑥 и вектор силы 𝐹 = − ( ∙𝑖+ 𝜕𝑊П 𝜕𝑦 ∙𝑗+ 𝜕𝑊П 𝜕𝑧 (9) ∙ 𝑘⃗ ) = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑊П . Рассмотрим несколько потенциальных полей. 1) Поле силы тяжести. Вблизи поверхности Земли сила тяжести во всех точках одинакова 𝐹 = 𝑃⃗, равна весу тела. Значит, это силовое поле однородное. Так как при перемещении точки в горизонтальной плоскости работа силы равна нулю, то эквипотенциальными поверхностями будут горизонтальные плоскости (рис. 9), а уравнения их: u = z = C. Рис.9 Если нулевой поверхностью назначить плоскость xOy, то потенциальная энергия точки в положении М будет равна работе силы тяжести: WП=A=Ph=mgh. это энергия тела, поднятого над Землей на высоту h. Так как начало отсчета выбирается произвольно, то WП может в общем случае принимать и отрицательные значения (например, WП на дне шахты). 2) Поле упругой силы. При деформации упругого тела, например пружины, появляется сила. То есть около этого тела возникает силовое поле, силы которого пропорциональны деформации тела и направлены в сторону недеформированного состояния. У пружины – в точку М0, где находится конец недеформированной пружины (рис. 10). Рис.10 Если перемещать конец пружины так, чтобы длина ее не изменялась, то работа упругой силы 𝐹 будет равна нулю. Значит эквипотенциальными поверхностями являются сферические поверхности с центром в точке О. Назначим нулевой поверхностью сферу, проходящую через точку М0, через конец недеформированной пружины. Тогда потенциальная энергия пружины в положении М: WП=A=0,5kx2. При таком выборе нулевой поверхности потенциальная энергия всегда будет положительной (WП>0), и в растянутом, и в сжатом состоянии. Полная механическая энергия системы равна энергии механического движения и энергия взаимодействия: 𝑊пол = 𝑊К + 𝑊П = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (10) Полная механическая энергия тела при его перемещении вдоль любой траектории в потенциальном поле остается постоянной. Пример 1. Рассмотрим свободное падение камня массой m, брошенного в поле гравитации Земли из точки 1 в точку 2 (рис. 11). Рис.11 Элементарная работа, совершаемая силой тяжести при перемещении камня, равна: 𝑑𝐴 = 𝐹гр ∙ 𝑑𝑟 = 𝐹гр 𝑑𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐹гр ∙ 𝑑ℎ. Полная работа на участке 1–2 находится как 2 ℎ2 𝐴 = ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝐹гр ∙ 𝑑ℎ = 𝐹гр ∙ (ℎ2 − ℎ1 ), 1 ℎ1 где Fгр = mg – сила тяжести; тогда получаем: 𝐴 = 𝑚𝑔ℎ2 − 𝑚𝑔ℎ1 = 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1 ) = −𝑚𝑔∆ℎ. (11) Из последнего выражения видно, что работа определяется только положением начальной и конечной точек траектории тела. Пример 2. Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела (пружины). Известно, что сила упругости пропорциональна деформации x: 𝐹упр = −𝑘𝑥, где k – коэффициент упругости; x – значение деформации; знак (–) указывает, что Fупр направлена в сторону, противоположную деформации. Для преодоления силы упругости необходимо приложить силу: 𝐹 = −𝐹упр = 𝑘𝑥. Элементарная работа – работа, совершаемая при бесконечно малой деформации: 𝑑𝐴 = 𝐹𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 ∙ 𝑑𝑥. Полная работа найдется как 𝑥 𝑘𝑥 2 𝐴 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥 = . 2 Работа в данном примере идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Если при x = 0 Won = 0, то с = 0. Потенциальная энергия упругодеформированного тела равна 𝑊П = 𝑘𝑥 2 . 2 Пример 3. Материальная точка массой m движется по оси Ох в потенциальном силовом поле с энергией, зависящей от координаты x по закону: Wр= -αx4, где α - положительная постоянная. Найти зависимость ускорения точки от координаты x. Решение. Используя связь между силой и потенциальной энергией: 𝐹𝑥 = − 𝜕𝑊𝑝 найдем зависимость силы от координаты x: 𝜕𝑥 , 𝐹𝑥 = 4𝛼𝑥 3 , 𝐹𝑦 = 0, 𝐹𝑧 = 0. По второму закону Ньютона получим выражение для ускорения: 𝑎= 𝐹 4𝛼𝑥 3 = . 𝑚 𝑚 Если аналитически или графически задана зависимость потенциальной энергии от угла поворота при вращательном движении, то, применяя соотношение 𝑀 = − 𝜕𝑊𝑝 𝜕𝜑 , можно выразить 𝑀 момент силы, а также найти угловое ускорение 𝜀 = 𝐽 . Пример 4. Вагон массой m = 20 т, двигаясь равнозамедленно с начальной скоростью v0 = 54 км/ч, под действием силы трения Fmp = 6 кН через некоторое время останавливается. Найти работу A сил трения и расстояние S, которое вагон пройдет до остановки. Решение. 1) Работа А, совершаемая результирующей силой, может быть определена как мера изменения кинетической энергии материальной точки: 𝐴 = ∆𝑊𝑘 = 𝑊𝑘 − 𝑊𝑘0 ; где Wk=mv2/2=0. Отсюда A=-Wk0; 𝑊𝑘0 = 𝑚0 𝑣02 20000 ∙ 152 = = 225 ∙ 104 Дж = 2,25 МДж. 2 2 A=-2,25 МДж 𝑇 2) Расстояние 𝑆 = 𝐹 = 225∙104 6∙103 = 375 м; Ответ: Работа сил трения равна -2,25 МДж, расстояние которое вагон пройдет до остановки 375 м. Пример 5. На рисунке изображена зависимость проекции Fx силы, действующей на материальную точку, от координаты х. Определить работу, совершенную при перемещении точки на расстояние 5 м. Fx, H 1 0,5 2 1 3 4 5 x, м -0,5 -1 Рис.12 Решение. Согласно условию сила зависит от координаты x. Работа переменной силы на участке от x1 до x2 равна 𝑥2 𝐴12 = ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥. 𝑥1 Геометрически интеграл можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной соответствующим участком графика, отрезком оси x и перпендикулярами, опущенными из конечных точек графика на ось абсцисс. На первом участке графика проекция силы Fx отрицательна и работа тоже отрицательна. Численно она равна площади треугольника. На втором и третьем участках Fx >0, работы на этих участках положительны и вычисляются как соответствующие площади прямоугольника и треугольника. В результате имеем: А = -(1∙2)/2 + 1∙2 + (1∙1)∙2 = 1,5 Дж. Если задана зависимость момента силы от угловой координаты φ, то расчет работы 𝜑 производится по аналогичной формуле 𝐴 = ∫0 𝑀𝜑 𝑑𝜑 либо аналитически, либо графически. Пример 6. К ободу диска массой m = 5 кг приложена касательная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию Wк будет иметь диск через время t = 5 c после начала действия силы? Решение. 1) 𝑊𝑘 = 𝐽𝜔2 2 - кинетическая энергия диска; 2) ω=εt - угловая скорость; 3) 𝜀 = 𝑀 𝐽 = 𝐹𝑚 𝑚𝑅2 2 2𝐹 = 𝑚𝑅 − угловое ускорение 4) Момент инерции для диска 𝐽 = 𝑚𝑅2 ; 2 2 𝑚𝑅 2 ∙ 4𝐹 2 𝑡 2 𝑚𝑅 2 2𝐹 ∙ ( ∙ 𝑡) 𝑚𝑅 2 ∙ 4𝐹 2 𝑡 2 𝐹 2 𝑡 2 𝑚𝑅 2𝑚2 𝑅2 5) 𝑊𝑘 = 2 = = = 2 2 4𝑚2 𝑅 2 𝑚 6) Подставив данные, получим: 𝐹 2 𝑡 2 19,62 ∙ 52 = = 19,62 ∙ 5 = 1920,8 Дж ≈ 1,9 кДж. 𝑚 5 Ответ: Кинетическая энергия, через 5 с. после начала действия силы будет равна 1,9 кДж. Теорема об изменении кинетической энергии точки. Рассмотрим точку с массой т, перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения M0 , где она имеет скорость 𝑣0 , в положение М1 , где ее скорость равна 𝑣1. Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению 𝑚𝑎 = ∑ 𝐹𝑘 выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную 𝑀𝜏 к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим: 𝑚𝑎 = ∑ 𝐹𝑘𝑥 Стоящую слева величину касательного ускорения можно представить в виде 𝑎𝜏 = 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑠 𝑑𝑉 = = 𝑉. 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 В результате будем иметь: 𝑚𝑉 𝑑𝑉 = ∑ 𝐹𝑘𝑥 . 𝑑𝑠 Умножив обе части этого равенства на ds, внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что ∑ 𝐹𝑘𝑥 𝑑𝑠 = 𝑑𝐴𝑘 где 𝑑𝐴𝑘 - элементарная работа силы Fk получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: 𝑑( 𝑚𝑉 2 ) = ∑ 𝑑𝐴𝑘 . 2 Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M0 и M1, найдем окончательно: 𝑚𝑉12 𝑚𝑉02 − = ∑ 𝐴(𝑀0 𝑀1 ). 2 2 Уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении. Пример 7. По графику зависимости скорости от времени v(t) определить, является ли работа силы, действующей на материальную точку в интервале времени от 0 до τ положительной, отрицательной, равной нулю (рис.13). Учесть, что АО = ОВ. v A О  t B Рис.13 Решение. Работа силы, действующей на частицу, равна приращению кинетической энергии частицы. 𝐴 = 𝑊𝑘𝐼𝐼 − 𝑊𝑘𝐼 . Кинетическая энергия материальной точки связана со скоростью соотношением 𝑊𝑘 = 𝑚𝑣 2 . 2 Поскольку скорости частицы в моменты времени t=0 и t=τ согласно условию задачи равны по величине (на графике АО = ОВ), то и кинетические энергии в этих состояниях одинаковы, т.е. 𝑊𝑘𝐼 = 𝑊𝑘𝐼𝐼 . Следовательно, работа приложенной силы за указанный промежуток времени равна нулю. Пример 8. Точка движется по оси Ox под действием силы, направленной вдоль оси x (рис.14). Сравните значения кинетической энергии точки в начальном и конечном состояниях для случаев, когда проекция силы на ось координат изменяется согласно графикам “а” и “б” ? б Fх а О x Рис.14 Решение. Согласно теореме приращение кинетической энергии частицы равно работе силы, действующей на частицу. 𝐴 = 𝑊𝑘𝐼𝐼 − 𝑊𝑘𝐼 . Работа переменной силы определяется соотношением 𝐴 = ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥. Учитывая геометрический смысл интеграла (площадь криволинейной трапеции), нетрудно видеть, что в случае “а” работа равна нулю и кинетические энергии начального и конечного состояний совпадают. В случае “б” работа положительна и кинетическая энергия конечного состояния больше, чем начального. Пример 9. Два диска с равными массами, на разных размеров (RA = 2RB) раскручивают до одинаковых угловых скоростей. Найти отношения произведенных работ. Решение. Работа по раскручиванию диска равна приращению кинетической энергии, т.е. A=∆Wk. Начальная кинетическая энергия каждого диска равна нулю, конечная связана с угловой скоростью формулой 𝐉𝛚𝟐 𝐖𝐤 = 𝟐 . Учитывая, что момент инерции сплошного однородного диска равен 𝐉 = получим искомое отношение произведенных работ: 𝐴𝐴 𝐴𝐵 = 𝑊𝑘𝐴 𝑊𝑘𝐵 𝐦𝐑𝟐 , 𝟐 𝐽𝐴 𝜔 2 𝑚𝑅2𝐴 𝐽 𝑅𝐴 2 2 𝐴 2 = = = =( ) =4 𝐽𝐵 𝜔2 𝐽𝐵 𝑚𝑅2𝐵 𝑅𝐵 2 2 Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов). Из двух основных динамических характеристик, величина 𝑚𝑣 является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора 𝑚𝑣 оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Момент вектора 𝑚𝑣 относительно данного центра О или оси z обозначается 𝑚0 (𝑚𝑣 ) или 𝑚𝑧 (𝑚𝑣 ) и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора 𝑚𝑣 так же, как и момент силы. При этом вектор 𝑚𝑣 считается приложенным к движущейся точке. По модулю 𝑚0 |𝑚𝑣 | = 𝑚𝑣ℎ, где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора 𝑚𝑣 (рис.15). Теорема моментов относительно центра. Найдем для материальной точки, движущейся под действием силы F (рис.15), зависимость между моментами векторов 𝑚𝑣 и 𝐹 относительно какой-нибудь неподвижного центра О. В конце было показано, что , 𝑚0 (𝐹) = 𝑟 × 𝐹. ⃗. Аналогично 𝑚0 (𝑚𝑣 ) = 𝑟 × 𝑚𝑉 При этом вектор 𝑚0 (𝐹 ) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор 𝐹 , а вектор 𝑚0 (𝑚𝑣 ) - перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор 𝑚𝑣. Рис.15 Дифференцируя выражение 𝑚0 (𝑚𝑣 ) по времени, получаем: 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑟 ⃗)=( (𝑟 × 𝑚𝑉 𝑑𝑡 ⃗ ) + (𝑟 × 𝑚 × 𝑚𝑉 ⃗ 𝑑𝑉 𝑑𝑡 ⃗ × 𝑚𝑉 ⃗ ) + (𝑟 × 𝑚𝑎 ) = (𝑉 ⃗ ). ⃗ × 𝑚𝑉 ⃗ = 0, как векторное произведение двух параллельных векторов, a 𝑚𝑎 = 𝐹. Но𝑉 Следовательно, 𝑑 𝑑𝑡 ⃗ ) = 𝑟 × ⃗𝐹 или (𝑟 × 𝑚𝑉 𝑑 𝑑𝑡 ⃗ )] = 𝑚 ⃗ ). [𝑚 ⃗⃗ 0 (𝑚𝑉 ⃗⃗⃗ 0 (𝐹 В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы  относительно того же центра. Аналогичная теорема имеет место для моментов вектора mv  силы F относительно какой-нибудь оси z, в чем можно убедиться, проектируя обе части 𝑑 𝑑 ⃗ )] = 𝑚 ⃗ )] = равенства [𝑚 ⃗⃗ 0 (𝑚𝑉 ⃗⃗ 0 (𝐹 ) на эту ось. относительно оси дается формулой [𝑚𝑧 (𝑚𝑉 𝑑𝑡 𝑚𝑧 (𝐹 ). 𝑑𝑡 Лекция 11. Прямолинейные колебания точки В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Свободные колебания без учета сил сопротивления. 2. Сложение колебаний. 3. Энергия гармонических колебаний. 4. Понятие о фазовой плоскости. 5. Свободные колебания в поле постоянной силы. 6. Параллельное включение упругих элементов. 7. Последовательное включение упругих элементов. 8. Вынужденные колебания. Резонанс. 9. Свободные колебания с вязким сопротивлением. 10. Вынужденные колебания с вязким сопротивлением. Изучение данных вопросов необходимо для динамики колебательного движения механических систем, теории удара, для решения задач в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Детали машин». Свободные колебания без учета сил сопротивления. Движения, обладающие той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями. Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд, с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы, в земной ионосфере и атмосфере циркулируют потоки заряженных частиц, ветры возбуждают колебания воды на поверхности водоемов. Внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные, ритмично повторяющиеся процессы, например, с удивительной надежностью бьется сердце, даже психика людей подвержена колебаниям. В виде сложнейшей совокупности колебаний частиц и полей можно представить «устройство» микромира. В технике колебания либо выполняют определенные функциональные обязанности (маятник, колебательный контур, генератор), либо возникают как неизбежное проявление физических свойств (вибрация машин и сооружений, неустойчивости и вихревые потоки при движении тел в газах). В физике выделяются колебания механические, электромагнитные и их комбинации. Это обусловлено той исключительной ролью, которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в масштабах, характерных для жизнедеятельности человека. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем бóльшую часть прямой информации об окружающем нас мире. По мере изучения колебаний различной физической природы возникло убеждение о возможности общего, «внепредметного» подхода к ним, основанного на свойствах и закономерностях колебательных процессов вообще. В результате появилась теория колебаний и волн. Основным математическим аппаратом теории колебаний являются дифференциальные уравнения. Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической природе, основные законы этих колебаний во всех случаях остаются одними и теми же. Поэтому изучение механических колебаний является важным не только по той причине, что такие колебания очень часто имеют место в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения и уяснения колебательных явлений в других областях. Если значения физических величин, изменяющихся в процессе движения, повторяются через равные промежутки времени, то такое движение называется периодическим. Примерами периодического движения могут служить движение планет вокруг Солнца, движение поршня в цилиндре двигателя внутреннего сгорания и др. В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают механические и электромагнитные колебания. Колебательную систему вне зависимости от ее физической природы называют осциллятором. Примером осциллятора может служить колеблющийся груз, подвешенный на пружине или нити. Полным колебанием называют один законченный цикл колебательного движения, после которого оно повторяется в том же порядке. По способу возбуждения колебания делят на: свободные (собственные), происходящие в представленной самой себе системе около положения равновесия после какого-либо первоначального воздействия; вынужденные – происходящие при периодическом внешнем воздействии (например, колебания моста при прохождении по нему поезда или раскачивание человеком качелей); параметрические – происходящие при изменении какого-либо параметра колебательной системы; автоколебания – происходящие в системах, самостоятельно регулирующих поступление внешних воздействий. Собственные колебания являются не только самыми распространенными, но и самыми важными с точки зрения теории колебаний, так как условия возникновения и характер всех других типов колебаний существенно зависят от характера собственных колебаний. Начнем с изучения свободных колебаний точки без учета сил сопротивления. Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы 𝐹̅ , направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы 𝐹̅ на ось Ох (рис.1) будет равна Fx=-cx. Рис.1 Сила 𝐹̅ , как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где F=0; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером такой силы является сила упругости. Коэффициент c пропорциональности называется жесткостью упругого элемента. Любая другая сила, неупругая по природе, но удовлетворяющая соотношению F = – cx, называется квазиупругой. Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения получим 𝑚 𝑑2 𝑥 = −𝑐𝑥. 𝑑𝑡 2 Деля обе части равенства на т и вводя обозначение 𝑐 = 𝜔02 , 𝑚 приведем уравнение к виду 𝑚 𝑑2 𝑥 + 𝜔02 𝑥 = 0. 𝑑𝑡 2 Уравнение представляет собою дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x=ent. Полагая x=ent, получим для определения п так называемое характеристическое уравнение, имеющее в данном случае вид п2 +𝜔20 = 0. Поскольку корни этого характеристического уравнения являются чисто мнимыми (𝑛1,2 = ±𝑖𝑘), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение имеет вид X=C1sinω0t+C2cosω0t, где C1 и С2 - постоянные интегрирования. Если вместо постоянных C1 и С2 ввести постоянные а и 𝛼, такие, что 𝐶1 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝐶2 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝛼, то мы получим 𝑥 = 𝐴(𝑠𝑖𝑛𝜔0 𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼) или 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝛼). Это другой вид решения, в котором постоянными интегрирования являются A и 𝛼. Им удобнее пользоваться для общих исследований. Скорость точки в рассматриваемом движении равна 𝑉𝑥 = 𝑥̇ = 𝐴𝜔0 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝛼). Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называемых гармоническими. Колебания, совершаемые точкой по закону косинуса или синуса 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝛼) или 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝛼) называются гармоническими колебаниями. Система, закон движения которой имеет такой вид, называется одномерным (линейным) классическим гармоническим осциллятором или сокращенно гармоническим осциллятором. Скорость и ускорение гармонического осциллятора находят, взяв первую, а затем вторую производные от смещения x: 𝑣= 𝑑𝑥 = 𝑥̇ = −𝐴𝜔0 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝛼) = 𝑑𝑡 𝜋 = 𝐴𝜔0 𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡 + 𝛼 + ) = −𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝛼), 2 𝑎= 𝑑𝑣 𝑑2 𝑥 = = 𝑥̈ = −𝐴𝜔02 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝛼) = −𝑎𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝛼) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 = 𝐴𝜔02 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝛼 + 𝜋) = −𝜔02 𝑥. Тогда сила 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑥̈ = −𝑚𝐴𝜔02 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝛼) = = −𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝛼) = −𝑚𝜔02 𝑥 = −𝑘𝑥, Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим; во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний. Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную кинематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся равномерно по окружности радиуса а из положения В0 определяемого углом ∠𝐷𝑂𝐵 = 𝛼 (рис.2). Пусть постоянная угловая скорость вращения радиуса ОВ равна 𝜔0 . Тогда в произвольный момент времени t угол 𝜑 = ∠𝐷𝑂𝐵 = 𝛼 + 𝜔0 𝑡 и проекция М точки В на диаметр, перпендикулярный к DE, движется по закону 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝛼), где х=ОМ, т.е. совершает гармонические колебания. Рис.2 Величина A, равная наибольшему отклонению точки М от центра колебаний, называется амплитудой колебаний. Величина 𝜑 = 𝛼 + 𝜔0 𝑡 называется фазой колебаний. Фаза колебания определяет смещение в момент времени t. Начальная фаза α определяет смещение тела в момент начала отсчета времени. Фаза колебаний представляет собой угловую меру времени, прошедшего от начала колебаний. Колебания точки, происходящие с постоянной амплитудой, называют незатухающими, а колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой – затухающими. Величина k, совпадающая с угловой скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис.2 называется круговой (круговой) частотой колебаний. Циклической или круговой частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за время 2π с: 𝜔 = 2𝜋𝑣 = 2𝜋 [рад/с] 𝑇 Промежуток времени Т (или 𝜏), в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2𝜋. Следовательно, должно 𝑘𝑇 = 2𝜋 откуда период 𝑇= 2𝜋 . 𝜔 Величина 𝑣, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний 𝑣= 1 𝜔 = . 𝑇 2𝜋 Отсюда видно, что величина k отличается от Т только постоянным множителем 2𝜋. В дальнейшем мы обычно для краткости частотой колебаний будем называть величину k. Единица частоты колебаний — герц (Гц). Герц – это частота колебаний, период которых равен 1 с: 1 Гц = 1 с –1. Если положение тела в любой момент времени может быть описано единственным параметром, то тело имеет одну степень свободы. Такое колеблющееся тело называют одномерным осциллятором. Значения A и 𝛼 определяются по начальным условиям. Считая при t=0 𝑥 = 𝑥0 , получим 𝑥0 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝛼 и 𝑉0 𝑘 𝑉𝑥 = 𝑉0 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼. Отсюда, складывая сначала квадраты этих равенств, а затем деля их почленно, найдем: 𝐴 = √𝑥02 + 𝑉02 , 𝜔02 𝑡𝑔𝛼 = 𝜔0 𝑥0 . 𝑉0 Отметим, что свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами: 1) амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий; 2) частота k, а следовательно, и период Т колебаний от начальных условий не зависят. Рис.3 Влияние постоянной силы на свободные колебания точки. Пусть на точку М, кроме восстанавливающей силы F, направленной к центру О, действует еще постоянная по модулю и направлению сила Р (рис.3). Величина силы F по прежнему пропорциональна расстоянию от центра О, т.е. 𝐹 = 𝑐 ∙ 𝑂𝑀. Очевидно, что в этом случае положением равновесия точки М будет центр О1 отстоящий от О на расстоянии 𝑂𝑂1 = 𝛿ст , которое определяется равенством с ∙ 𝛿ст = Р или Р 𝛿ст = . с Величину 𝛿ст назовем статическим отклонением точки. Примем центр O1 за начало ⃗ . Тогда 𝐹𝑥 = −𝑐(𝑥 + 𝛿ст ), отсчета и направим координатную ось О1х в сторону действия силы Р 𝑃𝑥 = 𝑃. В результате, составляя дифференциальное уравнение движения и учитывая, что согласно равенству с ∙ 𝛿ст = Р, будем иметь: 𝑚 𝑑2 𝑥 𝑑2 𝑥 = −𝑐𝑥 или + 𝜔02 𝑥 = 0. 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Отсюда заключаем, что постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения 𝜹ст . Физический маятник. Представляет собой твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс (центр тяжести) тела (рис.4). Рис.4 Колебания маятника, как и в случае математического маятника, совершаются под действием силы тяжести: mgsinφ≈mgφ Если маятник отклонить на некоторый угол  от положения равновесия, то на него будет действовать момент силы: M=mgsinφl (или для малых углов M=mgφl), возвращающий его в исходное положение, где l – расстояние от точки подвеса О до центра тяжести маятника – С. ⃗⃗ = 𝐽 ∙ 𝜀, Воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения 𝑀 запишем уравнение колебаний физического маятника: −𝑚𝑔𝜑𝑙 = 𝐽 ∙ 𝑑2 𝜑 𝑑2 𝜑 𝑚𝑔𝑙 или + ∙ 𝜑 = 0. 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝐽 Решением этого уравнения является выражение вида 𝜑 = 𝜑𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 ), где 𝜔0 = √ 𝑚𝑔𝑙 𝐽 - частота собственных колебаний маятника. Таким образом, маятник будет совершать гармонические колебания, период которых определяется выражением 𝐽 𝑇 = 2𝜋√ , 𝑚𝑔𝑙 Приведенная длина физического маятника (lпр) – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника: 𝑙пр = 𝐽 . 𝑚𝑙 Математический маятник. Это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити по дуге окружности в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (рис. 5). Рис.5 Момент силы, действующей на маятник равен, M= -mglsinφ. Знак « – » указывает, что момент силы противоположен направлению поворота. Так как угол φ мал, то sinφ≈φ и M= -mglφ. Основное уравнение динамики для вращающегося тела имеет вид ⃗⃗ = 𝐽 ∙ 𝜀, 𝑀 Для математического маятника момент инерции J=ml2, а угловое ускорение 𝜀 = 𝑑2 𝜑 . 𝑑𝑡 2 Тогда как уравнение движения математического маятника запишется −𝑚𝑔𝑙𝜑 = 𝑚𝑙 2 𝑑2 𝜑 . 𝑑𝑡 2 Перепишем это уравнение в следующем виде: 𝑑2 𝜑 𝑔 + 𝜑 = 0. 𝑑𝑡 2 𝑙 Мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, решением которого является 𝜑 = 𝜑𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 ), 𝑔 где частота собственных колебаний маятника 𝜔0 = √ 𝑙 , т.е. период собственных колебаний равен 𝑙 𝑇 = 2𝜋√ . 𝑔 Выражение определено только для малых углов φ. Пружинный маятник. Это система, состоящая из груза массы m, прикрепленного к пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с массой груза. Рис.6 При малом смещении шарика вправо относительно положения равновесия (рис.6) на него действует возвращающая сила F – сила упругости, пропорциональная смещению х и направленная к положению равновесия: F=-kx, где k – коэффициент упругости [Н/м]. Уравнение движения пружинного маятника определяется вторым законом Ньютона: F=ma. Так как 𝑎 = 𝑑2 𝑥 , то 𝑑𝑡 2 уравнение движения шарика примет вид −𝑘𝑥 = 𝑑2 𝑥 ∙ 𝑚. 𝑑𝑡 2 Преобразуем это уравнение: 𝑚∙ 𝑑2 𝑥 + 𝑘𝑥 = 0; 𝑑𝑡 2 или 𝑑2 𝑥 𝑘 + 𝑥 = 0, 𝑑𝑡 2 𝑚 𝑘 где 𝑚 = 𝜔02 , ω0 - круговая частота собственных колебаний. Следовательно, период собственных колебаний пружинного маятника будет определяться выражением 𝑇= 2𝜋 𝑚 , или 𝑇 = 2𝜋√ . 𝜔 𝑘 Запишем общий вид дифференциального уравнения гармонических колебаний: 𝑑2 𝑥 + 𝜔02 𝑥 = 0. 𝑑𝑡 2 Решением этого уравнения является функция x=Acos(ω0t+φ0), что можно проверить подстановкой. График x(t) приведен на рисунке 6.1. Рис.6.1 Свойствами маятников широко пользуются в различных приборах (в часах, в приборах для определения ускорения свободного падения, ускорений движущихся тел, колебаний земной коры, в гироскопических устройствах, в приборах для экспериментального определения момента инерции тел). Сложение колебаний Векторная диаграмма колебаний. Решение многих вопросов, в том числе сложение нескольких колебаний одного и того же направления, значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости (рис.7). Рис.7 Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от +А до –А, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону: x=Acos(ωt+φ0). Следовательно, гармоническое колебание может быть задано с помощью вращающегося вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол φ, равный начальной фазе колебания. Вращение вектора х может быть задано уравнением φ(t)=φ0+ωt. Сложение колебаний одного направления. Биения. Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебательных процессах, происходящих вдоль одного и того же направления. Например, шарик, подвешенный на пружине к потолку вагона, качающегося на рессорах, участвует в собственных колебаниях относительно вагона и в колебаниях вагона относительно Земли. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, но с различными начальными фазами и амплитудами: x1=A1cos(ωt+φ1), x2=A2cos(ωt+φ2). (1) Представим оба колебания на векторной диаграмме и построим по правилам сложения векторов результирующий вектор 𝐴 (рис. 7.1). Рис.7.1 Так как проекция 𝐴 на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов, следовательно, вектор 𝐴 представляет собой результирующее гармоническое колебание той же частоты ω, с амплитудой А и начальной фазой φ. Из построения видно, что по теореме косинусов можно записать: 𝐴2 = 𝐴12 + 𝐴22 − 2𝐴1 𝐴2 ∙ 𝑐𝑜𝑠[𝜋 − (𝜑2 − 𝜑1 )], или 𝐴2 = 𝐴12 + 𝐴22 + 2𝐴1 𝐴2 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜑2 − 𝜑1 ), (2) и 𝑡𝑔𝜑 = 𝐴1 𝑠𝑖𝑛𝜑1 + 𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 . 𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜑2 (3) Итак, при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты, направленных по одной и той же прямой, результирующее движение – также гармоническое колебание с той же частотой ω и с амплитудой А, лежащей в пределах (A1-A2)≤A≤(A1+A2). (4) Если фазы обоих колебаний одинаковы φ2=φ1, то амплитуды колебаний просто складываются A=A1+A2. Если φ2-φ1=π, то колебания находятся в противофазе, и A=|A1-A2|, в частности, если A1=A2, то A=0, т.е. оба колебания взаимно уничтожаются. Биениями называют периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами (рис.7.2) (T – период биения). Рис. 7.2 Биение возникает вследствие того, что разность фаз между двумя колебаниями с различными частотами все время изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе, через некоторое время – в противофазе, затем снова в фазе и т.д. Если А1 и А2 – амплитуды двух накладывающихся колебаний, то при одинаковых фазах колебаний амплитуда достигает наибольшего значения A=A1+A2, а когда фазы колебаний противоположны, амплитуда падает до наименьшего значения A1-A2. В простейшем случае, когда амплитуды обоих колебаний равны, их сумма достигает значения 2А при одинаковых фазах колебаний и падает до нуля, когда они противоположны по фазе. Результат наложения колебаний можно записать в виде 𝜔1 − 𝜔2 𝜔1 + 𝜔2 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔1 𝑡 + 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔2 𝑡 = 2𝐴𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) ∙ 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡), 2 2 (5) где ω1 и ω2 - циклические частоты двух накладывающихся гармонических колебаний. Если ω1 и ω2 мало различаются, то величину |2𝐴𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔1 −𝜔2 𝑡)| 2 в уравнении (5) можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду (огибающую) колебания, происходящего по закону 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔1 + 𝜔2 𝑡). 2 Частота Ω=ω1-ω2 называется циклической частотой биений. 𝑇= 2𝜋 Ω - период биений. По мере сближения частот ω1 и ω2 частота биения Ω уменьшается, исчезая при ω1 → ω2 («нулевые» биения). Определение частоты биения между измеряемым и эталонным колебаниями – один из наиболее точных методов измерения частоты, широко применяемый на практике. Метод биений применяют для измерения емкости, индуктивности, для настройки музыкальных инструментов, при анализе слухового восприятия и т.д. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим систему, обладающую двумя степенями свободы, т.е. такую систему, для задания положения которой нужны две координаты. На рисунке 8 тяжелый шарик, подвешенный на легкой длинной пружине, совершает маятникообразные колебания в одной плоскости. Если растянуть и отпустить пружину, то шарик будет двигаться по некоторой сложной траектории, участвуя в двух колебаниях. На рисунке 8.1 показан тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Этот шарик может совершать одновременно колебания во взаимноперпендикулярных направлениях, причем частоты колебаний одинаковы, в этом случае вид колебаний будет зависеть от разности фаз обоих колебаний. Рис.8 Рис.8.1 Рассмотрим результат сложения взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты , совершающихся вдоль координатных осей х и у. Уравнения этих колебаний запишутся следующим образом: { 𝑥 = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡, 𝑦 = 𝐵 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑), (6) где φ – разность фаз колебаний. Чтобы получить уравнение траектории точки, нужно исключить из этих уравнений параметр t. Из первого уравнения следует, что 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = , 𝐴 (7) тогда с учетом, что sin2ωt+cos2ωt=1, можно записать 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 = √1 − 𝑥2 . 𝐴2 (8) Преобразуем второе уравнение (6): 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝐵 Подставим sinωt и cosωt (7) и (8) и избавимся от корня: 𝑦 𝑥 𝑥2 = ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 − √1 − 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝐵 𝐴 𝐴 Возведем обе части равенства в квадрат: 2 𝑥2 𝑥 𝑦 ( ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 − ) = (√1 − 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑) . 𝐴 𝐵 𝐴 2 После преобразования имеем 𝑥2 𝑥𝑦 𝑦2 − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 + = 𝑠𝑖𝑛2 𝜑. 𝐴2 𝐴𝐵 𝐵2 (9) Как известно из аналитической геометрии, полученное уравнение является уравнением эллипса, ориентация и значение полуосей которого относительно осей х и у зависит от амплитуд А и В и разности фаз φ. Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях. 1. φ=0. В этом случае уравнение примет вид 𝑥 𝑦 2 ( − ) = 0, 𝐴 𝐵 или 𝑦= 𝐵 ∙ 𝑥. 𝐴 Это уравнение прямой, следовательно, в этом случае точка движется по прямой (рис. 8.2). Рис.8.2 2. φ=±π. Уравнение траектории примет вид 𝑥 𝑦 2 ( + ) = 0, 𝐴 𝐵 или 𝑦=− 𝐵 ∙ 𝑥, 𝐴 т.е. в этом случае точка гармонически колеблется вдоль прямой (рис.8.3). Рис.8.3 𝜋 3. При φ=±2 уравнение траектории примет вид 𝑥2 𝑦2 + = 1. 𝐴2 𝐵2 Это уравнение эллипса, полуоси которого равны соответствующим амплитудам колебаний. Если А = В, эллипс вырождается в окружность; при 𝜑 = + 𝜋 𝜋 2 движение происходит по часовой стрелке, при 𝜑 = − 2 точка движется по эллипсу против часовой стрелки (рис. 8.4). Рис.8.4 Фигуры Лиссажу. Если частоты двух взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу (таблица 1). Метод фигур Лиссажу – широко распространенный способ сравнения (измерения) частот двух складываемых колебаний, т.к. отношение частот обратно пропорционально количеству точек касания кривой с соответствующей осью: 𝜔𝑥 𝑛𝑦 = . 𝜔𝑦 𝑛𝑥 Таблица 1 Отношение φ=0 nx/ny 1:1 1:2 1:3 π/4 π/2 3π/4 π 2:3 3:4 Энергия гармонических колебаний Колебания любых физических величин почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида. Так, при отклонении маятника от положения равновесия увеличивается потенциальная энергия груза, запасенная им в поле тяжести; если груз отпустить, он падает, вращаясь около точки подвеса как около центра; в нижнем положении потенциальная энергия превращается в кинетическую, и груз проскакивает это положение равновесия, увеличивая снова потенциальную энергию. Далее процесс перекачки энергии повторяется, пока рассеяние (диссипация) энергии, обусловленное, например, трением, не приводит к полному прекращению колебаний (рис. 9). Рис.9 Характерной чертой гармонического осциллятора является то, что средние значения кинетической и потенциальной энергии осциллятора равны друг другу и каждое из них составляет половину полной энергии. Покажем это. Кинетическую энергия колеблющегося тела можно определить, если в выражение для кинетической энергии 𝐸𝐾 = 𝑚𝑣 2 /2 подставить скорость 𝑣 = 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑0 ): 𝐸𝐾 = 𝑚𝑣 2 1 = 𝑚𝜔2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜔𝑡 2 2 (1) Потенциальная энергия, обусловленная упругой силой, определяется как эквивалент работы, необходимой для смещения тела на расстояние x от положения равновесия, и равна: 1 𝐸𝑃 = − ∫(−𝑘𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 2 1 2 2 = 𝑘𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡. 2 2 Учитывая, что k=ω2x, получим: 1 𝐸𝑃 = 𝑚𝜔2 𝐴2 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 2 (2) Полная механическая энергия осциллятора равна: E=EK+EP. 1 1 𝐸 = 𝑚𝜔2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜔𝑡 + 𝑚𝜔2 𝐴2 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 = 2 2 = 𝑚𝜔2 𝐴2 𝑚𝜔2 𝐴2 (𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜔𝑡) = . 2 2 𝐸= 𝑚𝜔2 𝐴2 . 2 Из выражений (1) и (2) видно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются со временем, причем, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия обращается в нуль, и наоборот (рис.9.1). х T/4 3T/4 t EK t EP t Е T/2 Рис.23.1. t T Рис.9.1 Период колебания кинетической и потенциальной энергий вдвое меньше периода колебаний системы. Полная механическая энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты. Постоянство полной механической энергии обусловлено отсутствием потерь энергии на совершение работы против сил сопротивления. Свободные затухающие колебания. Реально свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают. Объясняется это действием сил, тормозящих движение, например, сил трения в месте подвеса при колебаниях маятника, или силой сопротивления среды. В этом случае энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против этих сил. Поэтому свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают. Затухание нарушает периодичность колебаний, потому они уже не являются периодическим процессом (рис.10). Пусть точка совершает линейное гармоническое колебание в вязкой среде. Из опыта известно, что сила сопротивления среды зависит от скорости и направлена в сторону, 𝑑𝑥 противоположную скорости. При малых скоростях: 𝐹сопр = −𝑟𝑣 = −𝑟 𝑑𝑡 , где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды. Уравнение колебаний: 𝑚 Введем обозначения: 𝑟 𝑚 = 2𝛽, 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑟 . 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑘 𝑚 = 𝜔02 , тогда дифференциальное уравнение затухающего колебания: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 + 2𝛽 + 𝜔02 𝑥 = 0, 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (1) где β – коэффициент затухания, ω0 – собственная частота колебания. При отсутствии трения β=0, уравнение примет вид уравнения для свободных незатухающих колебаний. В результате решения уравнения (1) получим зависимость смещения х от времени, то есть уравнение затухающего колебательного движения: 𝑥 = 𝐴0 𝑒 −𝛽𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑0 ). (2) Выражение 𝐴0 𝑒 −𝛽𝑡 называется амплитудой затухающего колебания. Амплитуда уменьшается по экспоненциальному характеру с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания. Огибающая на графике зависит от β. Чем она больше, тем круче огибающая, то есть колебания быстрее затухают (рис.10.1). Рис.10 Рис.10.1 Путем подстановки функции (2) и ее производных по времени в уравнение (1), можно найти значение угловой частоты: 𝜔 = √𝜔02 − 𝛽 2 . Период затухающих колебаний равен: 𝑇= 2𝜋 √𝜔02 − 𝛽2 . С увеличением трения период колебаний возрастает, а при β=ω0 период T⇒∞. При дальнейшем увеличении  период становится мнимым, а движение точки апериодическим – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний (рис. 10.2). Рис.10.2 Критическое затухание («успокоение») имеет большое значение в измерительных приборах, таких как баллистические гальванометры, которые испытывают резкие импульсивные воздействия в положении нулевого смещения. Наглядной характеристикой затухания является отношение значений двух амплитуд, соответствующих промежутку времени в один период. Это отношение называют декрементом затухания θ: 𝜃= 𝐴𝑡 𝐴0 𝑒 −𝛽𝑡 = = 𝑒 𝛽𝑇 . 𝐴𝑡+𝑇 𝐴0 𝑒 −𝛽(𝑡+𝑇) Его натуральный логарифм есть безразмерная величина, называемая логарифмическим декрементом затухания: 𝛿 = 𝑙𝑛 𝐴𝑡 = 𝛽𝑇. 𝐴𝑡+𝑇 Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний N, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз. 1 𝛽 Промежуток времени 𝜏 = , в течение которого амплитуда затухающего колебания убывает в е раз, называют временем релаксации. Тогда выражение для логарифмического декремента затухания примет вид: 𝛿 = 𝛿= 1 . 𝑁 𝑇 𝜏 или Добротность колебательной системы: 𝜋 𝑄= . 𝛿 Понятие о фазовой плоскости Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости координаты от времени x=x(t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости. Состояние системы в любой фиксированный момент времени t определяется парой соответствующих значений x и 𝑣 = 𝑥̇ и может быть представлено изображающей (фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат x, v, если откладывать по оси абсцисс координату x, а по оси ординат – скорость v. Такая плоскость называется фазовой. В процессе движения рассматриваемой системы величины x и v изменяются и, соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией. Для построения фазовой траектории при заданном законе движения x=x(t) нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости v=x(t), а затем исключить время из двух уравнений: x=x(t), 𝑣 = 𝑥̇ (𝑡). Функция v=v(x) и описывает фазовую траекторию данного движения. Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости. Совокупность фазовых траекторий, которая описывает все возможные движения данной системы, называется фазовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы. Для свободных гармонических колебаний 𝑥(𝑡) = 𝐴 ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝛼), cos(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝛼). Исключая из этих выражений время t получаем а 𝑣(𝑡) = 𝜔 ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 2 𝑣 2 ( ) +( ) = 1. 𝐴 𝜔∙𝐴 Это уравнение эллипса (рис.11). Его полуоси зависят от амплитуды и круговой частоты. Рис.11 Свободные колебания в поле постоянной силы. На материальную точку кроме упругой силы, действует сила постоянная по величине и направлению. Рис.12 Обозначим ее Fст (рис.12), тогда дифференциальное уравнение движения точки примет вид: 𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑥 = 𝐹ст или 𝑥 + 𝜔2 ∙ 𝑥 = 𝐹ст 𝑐 , где 𝜔2 = . 𝑚 𝑚 Начальные условия имеют вид: при t=0: 𝑥(0) = 𝑥0 , 𝑣(0) = 𝑣0 . Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение складывается из решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения 𝑥частн (𝑡) = 𝑥ст = 𝐹ст . с Решение имеет вид: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 ∙ cos(𝜔 ∙ 𝑡) + 𝐶2 ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡) + 𝐹ст , с 𝑥̇ (𝑡) = −𝜔 ∙ 𝐶1 ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡) + 𝜔 ∙ 𝐶2 ∙ cos(𝜔 ∙ 𝑡) 𝐶1 = 𝑥0 − 𝐹ст с 𝑥(𝑡) = (𝑥0 − 𝐶2 = 𝐹ст )∙ с 𝑣0 𝜔 𝑣 cos(𝜔 ∙ 𝑡) + 𝜔0 ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡) + 𝐹ст , с Если начало отсчета координаты сдвинуть на 𝑥ст = 𝐹ст , с 𝑥1 = 𝑥 − 𝑥ст (рис.13), тогда в новой системе отсчета решение будет иметь вид: 𝑣 𝑥1 (𝑡) = 𝑥10 ∙ cos(𝜔 ∙ 𝑡) + 𝜔0 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔 ∙ 𝑡) , 𝑥1 (𝑡) = 𝐴 ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝛼) 𝑣2 2 𝐴 = √𝑥10 + 𝜔02 - амплитуда колебаний; Рис.13 Параллельное включение упругих элементов. Масса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных параллельно (рис.14). Рис.14 Сместим массу на расстояние x. 𝐹1 = −𝑐1 ∙ 𝑥, 𝐹2 = −𝑐2 ∙ 𝑥, 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 = −(𝑐1 + 𝑐2 ) ∙ 𝑥 = −𝑐Σ ∙ 𝑥. Результирующая жесткость упругих элементов расположенных параллельно равна сумме жесткостей этих элементов. Последовательное включение упругих элементов. Масса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных последовательно (рис.15). Рис.15 Сместим массу на расстояние x. В упругих элементах возникает восстанавливающая (упругая) сила F, одинаковая для обоих элементов (рис.15). Первый упругий элемент изменит длину на x1, второй - на x2. 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 . 𝐹 = −𝑐1 ∙ 𝑥1 , 𝐹 = −𝑐2 ∙ 𝑥2 , 𝐹 = −𝑐Σ ∙ 𝑥. 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝐹 𝐹 𝐹 1 1 1 − = − , следовательно = + . 𝑐1 𝑐2 𝑐Σ 𝑐Σ 𝑐1 𝑐2 Обратная величина результирующей жесткости упругих элементов расположенных последовательно равна сумме обратных величин жесткостей этих элементов. Обратная величина жесткости упругого элемента называется податливостью элемента. этого 1 1 1 𝑢 = , 𝑢1 = , 𝑢2 = , 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2 . 𝑐 𝑐1 𝑐2 Результирующая податливость упругих элементов расположенных последовательно равна сумме податливостей этих элементов. Вынужденные колебания. Резонанс. Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих, когда на точку, кроме ⃗, восстанавливающей силы 𝐹 , действует еще периодически изменяющаяся со временем сила 𝑄 проекция которой на ось Ох равна Q=Q0sinpt. Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными. Величина Р является частотой возмущающей силы. Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда Qx определяется указанным равенством. Такая возмущающая сила называется гармонической. Рассмотрим движение точки, на которую, кроме восстанавливающей силы 𝐹 , действует ⃗ . Дифференциальное уравнение движения в этом случае только возмущающая сила 𝑄 𝑚 𝑑2 𝑥 = −𝑐𝑥 + 𝑄0 𝑠𝑖𝑛𝑝𝑡. 𝑑𝑡 2 Разделим обе части этого уравнения на т и положим 𝑄0 = 𝑃0 . 𝑚 Тогда, учитывая обозначение, приведем уравнение движения к виду 𝑑2 𝑥 + 𝜔02 𝑥 = 𝑃0 sin 𝑝𝑡. 𝑑𝑡 2 Уравнение является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений, будет 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 , где 𝑥1 - общее решение уравнения без правой части, а 𝑥2 - какоенибудь частное решение полного уравнения. Полагая, что p = k, будем искать решение 𝑥2 в виде 𝑥2 = 𝐴 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑝𝑡, где А - постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы равенство обратилось в тождество. Подставляя значение 𝑥2 и его второй производной в уравнение будем иметь: −𝑝𝐴𝑠𝑖𝑛𝑝𝑡 + 𝑘 2 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑝𝑡 = 𝑃0 𝑠𝑖𝑛𝑝𝑡. Это равенство будет выполняться при любом t, если A(k2-p2)=P0 или 𝐴= 𝜔02 𝑃0 . − 𝑝2 Таким образом, искомое частное решение будет 𝑥2 = 𝜔02 𝑃0 𝑠𝑖𝑛𝑝𝑡. − 𝑝2 Так как 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 , а общее решение имеет окончательно вид 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝛼) + 𝜔02 𝑃0 𝑠𝑖𝑛𝑝𝑡, − 𝑝2 где A и 𝛼 - постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение показывает, что колебания точки складываются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой A (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых собственными колебаниями, и 2) колебаний с амплитудой А (не зависящей от начальных условий) и частотой р, которые называются вынужденными колебаниями График вынужденных колебаний показан на рис.16. Рис.16 Частота р вынужденных колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числитель и знаменатель на k2, можно представить в виде: 𝐴= 𝑃 где 𝛿0 = 𝜔02 = 𝑄0 , 𝑐 |𝜔02 𝑃0 𝛿0 = , − 𝑝2 | |1 − ( 𝑝 )2 | 𝜔0 т. е. 𝛿0 есть величина статического отклонения точки под действием силы Q0. Как видим, A зависит от отношения частоты р возмущающей силы к частоте ω0 собственных колебаний. Подбирая различные соотношения между р и ω0, можно получить вынужденные колебания с разными амплитудами. При p=0 амплитуда равна 𝛿0 (или близка к этой величине). Если величина р близка к ω0, амплитуда A становится очень большой. Когда p>> ω0, амплитуда A становится очень малой (практически близка к нулю). Резонанс. При вынужденных колебаниях в случае, когда p= ω0, т.е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса (резкое возрастание амплитуды колебаний системы). Размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать так, как показано на рис.16.1. При резонансе наступают наиболее благоприятные условия для поступления энергии в колеблющуюся систему от источника внешней силы. Увеличение амплитуды происходит до тех пор, пока вся работа внешней силы не сравняется с энергией потерь. В реальных условиях всегда существуют факторы, ограничивающие амплитуду колебаний и определяющие возможность существования резонанса. Это, прежде всего, рассеивание (диссипация) энергии в системе и неточное совпадение частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы. Амплитуда при резонансе 𝐴рез = 𝐹0 ⁄𝑚 2𝛽√𝜔02 − 𝛽 2 , а резонансная частота 𝜔 = √𝜔02 − 2𝛽 2 . Рис.16.1 Резонанс играет большую роль в природе, науке и технике. Резонанс сооружений и машин при периодических внешних воздействиях может являться причиной катастроф. Чтобы избежать резонансного воздействия, подбирают соответствующим образом свойства системы или используют успокоители колебаний, основанные на явлении антирезонанса. В радиотехнике благодаря резонансу можно отделить сигналы одной (нужной) радио- или телестанции от всех других. Свободные колебания с вязким сопротивлением. Существуют устройства (демпферы), которые создают силу пропорциональную относительной скорости 𝐹д = −𝑏 ∙ 𝑥̇ (рис.17). Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом демпфирования или коэффициентом вязкого сопротивления. Рис.17 Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере имеет вид: 𝑚 ∙ 𝑥̈ = 𝐹𝑦 + 𝐹д , 𝑚 ∙ 𝑥̈ + 𝑏 ∙ 𝑥̇ + 𝑐 ∙ 𝑥 = 0 или 𝑥̈ + 2 ∙ 𝑛 + 𝜔2 ∙ 𝑥 = 0, 𝜔2 = 𝑐 𝑏 , 2∙𝑛 = . 𝑚 𝑚 Начальные условия имеют вид: t=0, 𝑥(0) = 𝑥0 , 𝑣(0) = 𝑣0 . Характеристическое уравнение имеет вид: 𝜆2 + 2 ∙ 𝑛 ∙ 𝜆 + 𝜔2 = 0. Корни характеристического уравнения равны: 𝜆1,2 = −𝑛 ± √𝑛2 − 𝜔 2 Рассмотрим возможные решения: 1-й случай 𝑛 < 𝜔, 𝜔1 = √𝜔 2 − 𝑛2 , 𝜆1,2 = −𝑛 ± 𝑖 ∙ 𝜔1 Решение имеет вид: 𝑥(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑒 −𝑛∙𝑡 ∙ sin(𝜔1 ∙ 𝑡 + 𝛼) 𝐴 = √𝑥02 + (𝑣0 +𝑛∙𝑥0 )2 , 𝜔12 𝐴 ∙ 𝑒 −𝑛∙𝑡 - условная амплитуда затухающих колебаний; Рис.18 𝜔1 - круговая или циклическая частота затухающих колебаний. Измеряется в рад/сек. 𝛼- фазовый угол (или просто фаза). 𝑡𝑔(𝛼) = 𝑇1 = 2 ∙ 1 𝜋 𝜔1 𝑥0 ∙ 𝜔1 . 𝑣0 + 𝑛 ∙ 𝑥0 𝜋 𝜔 > 𝑇 = 2 ∙ - период затухающих колебаний (рис.18). 𝜔 𝑣1 = 𝑇 = 2∙𝜋1 - частота колебаний (1 колеб/cек=1 Гц) 1 𝐷= 𝑥𝑖𝑚𝑎𝑥 𝑛∙𝑇1 − декремент колебаний. 𝑚𝑎𝑥 = 𝑒 𝑥𝑖+1 𝜂 = ln(𝐷) = 𝑛 ∙ 𝑇1 - логарифмический декремент колебаний. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой 𝜔1 и амплитудой, величина которой все время убывает. Движение изображающей точки на фазовой плоскости показано на рис. 19. Рис.19 2-й случай 𝑛 > 𝜔, 𝜔2 = √𝑛2 − 𝜔 2 , 𝜆1,2 = −𝑛 ± 𝜔2 Решение имеет вид: 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝑛∙𝑡 ∙ (𝐶1 ∙ 𝑒 𝜔2 ∙𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑒 −𝜔2 ∙𝑡 ) Материальная точка совершает затухающее неколебательное движение (рис.39). Рис.20 3-й случай 𝑛 = 𝜔, 𝜆1,2 = −𝑛 (два одинаковых корня) Решение имеет вид: 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝑛∙𝑡 ∙ (𝐶1 ∙ 𝑡 + 𝐶2 ) Материальная точка так же совершает затухающее неколебательное движение (рис.20). Вынужденные колебания с вязким сопротивлением. Рассмотрим движение точки под действием трех сил: одна восстанавливающая сила, вторая - сила демпфирования (сила вязкого сопротивления), а третья зависит от времени. 𝐹(𝑡) = 𝐹0 ∙ 𝑒 𝑖∙𝜔∙𝑡 - гармоническая возмущающая сила. F0 - амплитуда возмущающей силы. 𝜔- круговая частота возмущающей силы. Рис.21 Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере (рис.21), под действием возмущающей гармонической силы имеет вид: 𝑚 ∙ 𝑥̈ + 𝑏 ∙ 𝑥̇ + 𝑐 ∙ 𝑥 = 𝐹0 ∙ 𝑒 𝑖∙𝜔∙𝑡 . Задавая решение уравнения в виде: 𝑥(𝑡) = 𝑥0 ∙ 𝑒 𝑖∙𝜔∙𝑡 и подставляя его в дифференциальное уравнение получим алгебраическое уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний. −𝑚 ∙ 𝜔2 ∙ 𝑥0 + 𝑖 ∙ 𝜔 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥0 + 𝑐 ∙ 𝑥0 = 𝐹0 . 𝑐 𝑏 Разделим его на массу и обозначим Ω2 = 𝑚 , 2 ∙ 𝑛 = 𝑚, тогда 𝑥0 ∙ (Ω2 − 𝜔2 + 𝑖 ∙ 𝜔 ∙ 2 ∙ 𝑛) = 𝐹0 /𝑚 и окончательно 𝑥0 = 𝐹0 /𝑚 Ω2 −𝜔2 +𝑖∙𝜔∙2∙𝑛 - амплитуда вынужденных колебаний. Ω - частота собственных колебаний Материальная точка колеблется с амплитудой 𝑥0 и частотой возмущающей силы 𝜔. Построим зависимость модуля амплитуды |𝑥0 | от частоты возмущающей силы 𝜔 (рис.22). Рис.22 Модуль амплитуды вынужденных колебаний возрастает от 𝑥ст = 𝐹ст 𝑐 (при 𝜔 = 0) до некоторой величины, а затем убывает до нуля (при 𝜔 → ∞). Лекция 12. Динамика системы и твердого тела. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Механическая система. Силы внешние и внутренние. 2. Масса системы. 3. Центр масс. 4. Динамика вращательного движения. 5. Момент инерции системы относительно оси. 6. Радиус инерции. 7. Момент инерции тела относительно параллельных осей. 8. Момент инерции тела относительно произвольной оси. 9. Теорема Гюйгенса-Штейнера. 10. Дифференциальные уравнения движения системы. 11. Теорема о движении центра масс. 12. Закон сохранения движения центра масс. Изучение данных вопросов необходимо для динамики колебательного движения механических систем, теории удара, для решения задач в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Детали машин». Механическая система. Силы внешние и внутренние. Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных. Материальное абсолютно твердое тело мы также будем рассматривать как систему материальных точек, образующих это тело и связанных между собой так, что расстояния между ними не изменяются, все время остаются постоянными. Классическим примером механической системы является солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения. Другим примером механической системы может служить любая машина или механизм, в которых все тела связаны шарнирами, стержнями, тросами, ремнями и т.п. (т.е. различными геометрическими связями). В этом случае на тела системы действуют силы взаимного давления или натяжения, передаваемые через связи. Совокупность тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия (например, группа летящих в воздухе самолетов), механическую систему не образует. В соответствии со сказанным, силы, действующие на точки или тела системы, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы. Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Будем обозначать внешние силы символом - 𝐹 𝑒 , а внутренние - 𝐹 𝑖 . Как внешние, так и внутренние силы могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей. Реакции связей или просто – реакции, это силы которые ограничивают движение точек системы (их координаты, скорость и др.). В статике это были силы заменяющие связи. В динамике для них вводится более общее определение. Активными или задаваемыми силами называются все остальные силы, все кроме реакций. Необходимость этой классификации сил выяснится в следующих главах. Разделение сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой системы тел мы рассматриваем. Например, если рассматривать движение всей солнечной системы в целом, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; при изучении же движения Земли по её орбите вокруг Солнца та же сила будет рассматриваться как внешняя. Внутренние силы обладают следующими свойствами: 1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. В самом деле, по третьему закону динамики любые две точки системы (рис.1) действуют 𝑖 𝑖 друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами 𝐹12 и 𝐹21 , сумма которых равна нулю. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек системы, то ∑ 𝐹𝑘𝑖 = 0. Рис.1 2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равняется нулю. Действительно, если взять произвольный центр О, то из 𝑖 𝑖 рис.1 видно, что 𝑚 ⃗⃗ 0 (𝐹12 ⃗⃗ 0 (𝐹21 )+𝑚 ) = 0. Аналогичный результат получится при вычислении моментов относительно оси. Следовательно, и для всей системы будет: ∑𝑚 ⃗⃗ 0 (𝐹𝑘𝑖 ) = 0 или ∑ 𝑚𝑥 (𝐹𝑘𝑖 ) = 0. Из доказанных свойств не следует однако, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызывать взаимные перемещения этих точек или тел. Уравновешенными внутренние силы будут тогда, когда рассматриваемая система представляет собою абсолютно твердое тело. Масса системы. Центр масс. Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему 𝑀 = ∑ 𝑚𝑘 . В однородном поле тяжести, для которого g=const, вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести: 𝑋𝐶 = ∑ 𝑃𝑘 𝑋𝑘 , 𝑃 𝑌𝐶 = ∑ 𝑃𝑘 𝑌𝑘 , 𝑃 𝑍𝐶 = ∑ 𝑃𝑘 𝑍𝑘 . 𝑃 (1) В полученные равенства входят только массы 𝑚𝑘 материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘, 𝑧𝑘 этих точек. Следовательно, положение точки С (xC, yC, zC) действительно характеризует распределение масс в теле или в любой механической системе, если под 𝑚𝑘 , 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘, 𝑧𝑘 понимать соответственно массы и координаты точек этой системы. Геометрическая точка С, координаты которой определяются указанными формулами, называется центром масс или центром инерции системы. Положение центра масс определяется его радиус-вектором 𝑟𝐶 𝑟𝐶 = ∑ 𝑚𝑘 𝑟𝑘 , 𝑀 где 𝑟𝑘 - радиус-векторы точек, образующих систему. Хотя положение центра масс совпадает с положением центра тяжести тела, находящегося в однородном поле тяжести, понятия эти не являются тождественными. Понятие о центре тяжести, как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс, как о характеристике распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, причем, это понятие сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли данная система под действием каких-нибудь сил или нет. Пример 1. На горизонтальной поверхности находится клин массы m2 с углом α к горизонту и на нем брусок массы m1. Найти ускорение клина. Все поверхности соприкасающихся тел считать гладкими. y2 y1 x2 N2 N12 x1 a2  a1 N21  m1g m2g Рис.1.1 Решение. В этой задаче брусок скользит по клину вниз, а клин смещается вправо по горизонтальной поверхности. Рассмотрим движение обоих тел относительно Земли, т.е. в инерциальной системе отсчета. На брусок действует Земля с силой тяжести m1g и клин с силой нормального давления N12 (двойные индексы указывают, что на первое тело действует второе). По второму закону Ньютона в векторной форме имеем: ⃗ 12 . 𝑚1 𝑎1 = 𝑚1 𝑔 + 𝑁 На клин действуют силы со стороны Земли m2g, горизонтальной поверхности N2 и сила нормального давления бруска N21, причем, по третьему закону Ньютона N21 = -N12. Обозначим модули последних сил N. По второму закону Ньютона для клина запишем: ⃗2 +𝑁 ⃗ 21 . 𝑚2 𝑎2 = 𝑚2 𝑔 + 𝑁 Поскольку оба тела движутся с разными ускорениями, нужно записать уравнения, связывающие эти ускорения. С этой целью изобразим клин и брусок в двух состояниях. r2 r1 Рис.1.2  r1 Из рис.1.2 видно, что перемещение бруска относительно Земли ∆r1 складывается из двух перемещений: бруска относительно клина ∆𝑟1′ и вместе с клином ∆r2: ∆𝑟1 = ∆𝑟1′ + ∆𝑟2 . Отсюда, 𝑑 2 ∆𝑟 учитывая определение ускорения 𝑎 = 𝑑𝑡 2 , несложно получить требуемое соотношение: 𝑎1 = 𝑎1′ + 𝑎2 . С учетом уравнения кинематической связи векторное уравнение для бруска примет вид ⃗ 12 . 𝑚1 (𝑎1′ + 𝑎2 ) = 𝑚1 𝑔 + 𝑁 Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Поскольку нам известно направление ускорения 𝑎1′, направим ось х1 вдоль наклонной плоскости вниз, а перпендикулярно ей - ось y1. 𝑥: 𝑚1 (𝑎1′ − 𝑎2 𝑐𝑜𝑠𝛼) = 𝑚1 𝑔 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼, (1) 𝑦: (2) − 𝑚1 𝑎2 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑁. Проектируя векторное уравнение динамики для клина, оси координат целесообразно выбрать иначе, совместив ось х2 с вектором ускорения a2: 𝑥: 𝑚2 𝑎2 = 𝑁 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼, (3) 𝑦: 0 = −𝑚2 𝑔 − 𝑁𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑁2 . (4) Нетрудно увидеть, что в уравнениях (2) и (3) содержатся только две неизвестные величины: a2 и N. Исключая из этих уравнений N, получим искомое выражение для ускорения клина: 𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑎2 = 𝑚 . 2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 𝑚1 На примере этой задачи рассмотрим, каким образом можно анализировать полученный результат. Во-первых, обычно производится анализ размерности, во-вторых, рассматриваются предельные случаи. Проверка размерности результата решения данной задачи тривиальна. Значительно интереснее оценить правдоподобность результата, исследуя предельные случаи. 𝑚 Пусть m2>>m1 (очень тяжелый клин). Тогда 𝑚2 → ∞, следовало ожидать из соображений здравого смысла. 1 𝑎2 → 0, т.е. клин неподвижен, что и 𝑚 Если m2< 0. (11) Пример 5. Стержень ОА весом Р может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис.12). Найдем и исследуем устойчивость положений равновесия. Рис.12 Решение. Стержень имеет одну степень свободы. Обобщенная координата – угол 𝜑. Относительно нижнего, нулевого, положения потенциальная энергия П=Рh или 𝑙 𝑙 1 П = 𝑃 ( − 𝑐𝑜𝑠𝜑) = 𝑃𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜑), 2 2 2 В положении равновесия должно быть 𝜕П 𝜕𝜑 1 = 2 𝑃𝑙𝑠𝑖𝑛𝜑 = 0. Отсюда имеем два положения равновесия, соответствующие углам 𝜑1 = 0 и 𝜑2 = 𝜋 (положения ОА1 и ОА2). Исследуем их устойчивость. Находим вторую производную 1 𝑃𝑙 2 > 0. 𝜕2 П 𝜕𝜑2 1 = 2 𝑃𝑙𝑐𝑜𝑠𝜑. Конечно, при 𝜑 = 𝜑1 = 0, 𝜕2 П Положение равновесия устойчиво. При 𝜑 = 𝜑2 = 𝜋, 𝜕𝜑2 𝜕2 П 𝜕𝜑2 = 1 2 = − 𝑃𝑙 < 0. Второе положение равновесия – неустойчиво. Результаты очевидны. Обобщенные силы инерции. По той же методике (8), по которой вычислялись обобщенные силы Qk, соответствующие активным, задаваемым, силам, определяются и обобщенные силы Sk, соответствующие силам инерции точек системы: 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 1 1 𝛿𝑟𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝑆𝑘 = ∑ 𝐹𝑖ин 𝛿𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑖 = ∑ 𝐹𝑖ин ∙ 𝛿𝑟𝑖 = ∑ 𝐹𝑖ин ∙ = ∑ 𝐹𝑖ин ∙ 𝛿𝑞𝑘 𝛿𝑞𝑘 𝛿𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑘 ⃗⃗⃗ 𝑖 = −𝑚𝑖 𝑑𝑣⃗𝑖, то И, так как 𝐹𝑖ин = −𝑚𝑖 𝑊 𝑑𝑡 𝑛 𝑆𝑘 = − ∑ 𝑖=1 𝑑𝑣𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 Немного математических преобразований. Очевидно, (13) (12) 𝑑 𝜕𝑟𝑖 𝑑𝑣𝑖 𝜕𝑟𝑖 . (𝑣𝑖 )= 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 Отсюда 𝑑𝑣𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝑑 𝜕𝑟𝑖 𝑑 𝜕𝑟𝑖 = (𝑣𝑖 . ) − 𝑣𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 (14) Так как 𝑟𝑖 = 𝑟𝑖 (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , … , 𝑞𝑠 , 𝑡), а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), то 𝑣𝑖 = 𝑑𝑟𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝑑𝑞𝑘 = 𝑞̇ 1 + 𝑞̇ 2 + ⋯ + 𝑞̇ 𝑘 + ⋯ + 𝑞̇ 𝑠 + , где 𝑞̇ 𝑘 = 𝑑𝑡 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑠 𝜕𝑡 𝑑𝑡 Значит, частная производная скорости 𝑣𝑖 по 𝑞̇ 𝑘 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑟𝑖 = . 𝜕𝑞̇ 𝑘 𝜕𝑞𝑘 (15) Кроме того, в последнем члене (14) можно поменять порядок дифференцирования: 𝑑 𝜕𝑟𝑖 𝜕 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑣𝑖 = = . 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑘 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 (16) Подставляя (15) и (16) в (14), а потом (14) в (13), получим 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑑 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑣𝑖 𝑑 1 𝜕𝑣𝑖2 1 𝜕𝑣𝑖2 𝑆𝑘 = − ∑ 𝑚𝑖 [ (𝑣𝑖 ] = − ∑ 𝑚𝑖 [ ( ]. ) − 𝑣𝑖 )− 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑘 𝜕𝑞𝑘 𝑑𝑡 2 𝜕𝑞̇ 𝑘 2 𝜕𝑞𝑘 Разделив последнюю сумму на две и, имея ввиду, что сумма производных равна производной от суммы, получим 𝑛 𝑛 𝑑 𝜕 𝑚𝑖 𝑣𝑖2 𝜕 𝑚𝑖 𝑣𝑖2 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑆𝑘 = − (∑ )+ ∑ =− + , 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑘 2 𝜕𝑞𝑘 2 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑘 𝜕𝑞𝑘 𝑖=1 где 𝑇 = ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝑣𝑖2 2 𝑖=1 – кинетическая энергия системы, 𝑞̇ 𝑘 = 𝑑𝑞𝑘 𝑑𝑡 - обобщенная скорость. Уравнения Лагранжа. По определению (7) и (12) обобщенные силы 𝑄𝑘 = 1 ∑ 𝐹𝑖 𝛿𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 ; 𝑆𝑘 = 1/𝛿𝑞𝑘 ∑ 𝐹𝑖ин 𝛿𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑖 . 𝛿𝑞𝑘 Сумма их 𝑄𝑘 + 𝑆𝑘 = (17) 1 (∑ 𝐹𝑖 𝛿𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + ∑ 𝐹𝑖ин 𝛿𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑖 ) или 𝛿𝑞𝑘 (𝑄𝑘 + 𝑆𝑘 )𝛿𝑞𝑘 = ∑ 𝐹𝑖 𝛿𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + ∑ 𝐹𝑖ин 𝛿𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑖 . Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все 𝛿𝑞𝑘 (k = 1,2,3,…,s) отличны от нуля, то 𝑄𝑘 + 𝑆𝑘 = 0. Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇 − = 𝑄𝑘 , (𝑘 = 1,2,3, … … , 𝑠), 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑘 𝜕𝑞𝑘 (18) Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа. Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы. Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда 𝜕П обобщенные силы 𝑄𝑘 = − 𝜕𝑞 , уравнения Лагранжа можно составить по форме 𝑘 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕П − + = 0, 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑘 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑘 (19) Или 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − = 0, 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑘 𝜕𝑞𝑘 (𝑘 = 1,2,3, … … , 𝑠), (20) где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей). Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты qj не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими. Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще. Так как 𝜕𝑇 𝜕𝑞𝑗 =0и 𝜕П 𝜕𝑞𝑗 = 0, то 𝑑 𝜕𝑇 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑗 = 0. Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом: 𝜕𝑇 = 𝐶𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝜕𝑞̇ 𝑘 (21) Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика». Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач. И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).