Теоретическая механика

Лекция по теоретической механике от 29.04.2020 (ПМФ) Н.Н. Пенкина Кафедра квантовой механики Санкт-Петербургский государственный университет Содержание лекции Чистый сдвиг и равномерное всестороннее сжатие. Однородные деформации Простое растяжение (сжатие) стержня. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона Уравнение Ламе Упругие волны Чистый сдвиг и равномерное всестороннее сжатие. Однородные деформации Чистым сдвигом называются такие деформации, которые происходят без изменения объема. В случае малых деформаций относительное изменение объема равно следу тензора деформации 𝑑𝑉 ′ − 𝑑𝑉 = 𝑢11 + 𝑢22 + 𝑢33 = 𝑢𝑙𝑙 𝑑𝑉 (1) Если 𝑢𝑙𝑙 = 0, то объем не меняется, а изменяется только форма тела. Это и есть чистый сдвиг. Тензор напряжений в этом случае имеет вид: 𝜎𝑖𝑘 = 2𝜇𝑢𝑖𝑘 (2) (Это следует из формул (26) предыдущей лекции). Коэффициент 𝜇 называется модулем сдвига и обозначается 𝑀. Деформации, происходящие без изменения формы, называются равномерным всесторонним сжатием. В этом случае изменяется только объем тела, причем, все относительные удлинения, равные главным компонентам тензора деформации, должны быть равны: 𝑢(1) = 𝑢(2) = 𝑢(3) = 𝑐 (3) Следовательно, в главных осях тензор 𝑢𝑖𝑘 имеет вид: 𝑢𝑖𝑘 = 𝑐𝛿𝑖𝑘 (4) Поскольку это скаляр, он имеет такой же вид в любых осях. Из соотношений (26) следует, что тензор напряжений тоже диагонален: 1 2 𝜎𝑖𝑘 = (𝜆𝑢𝑙𝑙 + 2𝜇 𝑢𝑙𝑙 ) 𝛿𝑖𝑘 = (𝜆 + 𝜇) 𝑢𝑙𝑙 𝛿𝑖𝑘 3 3 (5) 𝜎𝑖𝑘 = 𝐾𝑢𝑙𝑙 𝛿𝑖𝑘 (6) или 2 Здесь 𝐾 = 𝜆 + 𝜇; 𝐾 называется модулем всестороннего сжатия. Так как 𝜆 и 𝜇 3 положительны, то и 𝐾 > 0. Равномерное всестороннее сжатие (растяжение) относится к классу однородных деформаций, при которых тензор деформаций постоянен во всем объеме (не зависит от координат). В случае равномерного всестороннего сжатия на единицу поверхности тела действует одинаковое по величине давление 𝑝, направленное по внутренней нормали к поверхности. На элемент поверхности 𝑑𝑆 действует сила – 𝑝𝑑𝑆, 𝑖-ая компонента которой равна – 𝑝𝑑𝑆𝑖 . На этот же элемент поверхности со стороны внутренних напряжений действует сила, 𝑖-ая компонента которой равна 𝜎𝑖𝑘 𝑑𝑆𝑘 . Условие равновесия дает: – 𝑝𝑑𝑆𝑖 = 𝜎𝑖𝑘 𝑑𝑆𝑘 (7) – 𝑝𝑑𝑆𝑖 = 𝐾𝑢𝑙𝑙 𝛿𝑖𝑘 𝑑𝑆𝑘 = 𝐾𝑢𝑙𝑙 𝑑𝑆𝑖 (8) Подставим сюда выражение (6): Для следа тензора деформации 𝑢𝑙𝑙 получим: 𝑢𝑙𝑙 = − 𝑝 𝐾 (9) Тогда тензор деформации приобретает вид: 𝑢𝑖𝑘 = − 𝑝 𝛿 3𝐾 𝑖𝑘 (10) Покажем, что произвольную деформацию можно представить в виде суперпозиции деформаций чистого сдвига и равномерного всестороннего сжатия. Для этого достаточно написать очевидное тождество: 1 1 𝑢𝑖𝑘 = (𝑢𝑖𝑘 − 𝑢𝑙𝑙 𝛿𝑖𝑘 ) + 𝑢𝑙𝑙 𝛿𝑖𝑘 3 3 (11) Первое слагаемое описывает чистый сдвиг, поскольку сумма его диагональных элементов равна нулю, а второе описывает равномерное всестороннее сжатие. Подставляя (11) в обобщенный закон Гука для линейно-упругой изотропной среды, найдем связь между напряжениями и деформациями: 1 2 𝜎𝑖𝑘 = 2𝜇 (𝑢𝑖𝑘 − 𝑢𝑙𝑙 𝛿𝑖𝑘 ) + 𝐾𝑢𝑙𝑙 𝛿𝑖𝑘 = 2𝑀𝑢𝑖𝑘 + (𝐾 − 𝑀) 𝑢𝑙𝑙 𝛿𝑖𝑘 (12) 3 3 Несложные выкладки позволяют выразить отсюда, наоборот, тензор деформаций через тензор напряжений 𝜎𝑙𝑙 = 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 = 3𝐾𝑢𝑙𝑙 , 𝑢𝑙𝑙 = 𝑢𝑖𝑘 = 1 1 1 (𝜎𝑖𝑘 − 𝜎𝑙𝑙 𝛿𝑖𝑘 ) + 𝜎 𝛿 2𝑀 3 9𝐾 𝑙𝑙 𝑖𝑘 1 𝜎 3𝐾 𝑙𝑙 (13) В этих формулах 𝜇 - коэффициент Ламе, он же модуль сдвига 𝑀, а 𝐾 – модуль равномерного всестороннего сжатия, связанный с коэффициентами Ламе 2 равенством: 𝐾 = 𝜆 + 𝜇. 3 Простое растяжение (сжатие) стержня. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона Рассмотрим так называемое простое растяжение (или сжатие) стержня. Пусть стержень (прямая призма произвольного сечения) расположен вдоль оси 𝑧 и к его торцам приложены силы, растягивающие его в противоположные стороны. Эти силы действуют равномерно на всю поверхность торцов стержня; сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, равна 𝑝. Тогда условие равновесия на концах стержня есть 𝜎𝑧𝑧 = 𝑝 (14) К боковой поверхности силы не приложены. Условия равновесия на боковой поверхности имеют вид: 𝜎𝑖𝑘 𝑛𝑘 = 0 (𝑖, 𝑘 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) (15) Или, более подробно: 𝜎𝑥𝑥 𝑛𝑥 + 𝜎𝑥𝑦 𝑛𝑦 + 𝜎𝑥𝑧 𝑛𝑧 = 0 𝜎𝑦𝑥 𝑛𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 𝑛𝑦 + 𝜎𝑦𝑧 𝑛𝑧 = 0 𝜎𝑧𝑥 𝑛𝑥 + 𝜎𝑧𝑦 𝑛𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 𝑛𝑧 = 0 (16) Условия равновесия внутри стержня: 𝜕𝜎𝑖𝑘 =0 𝜕𝑥𝑘 Нетрудно убедиться, что условиям напряжений следующего вида: 𝜎𝑖𝑘 ~ (0 (𝑖, 𝑘 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) (17) (14), (16) и (17) удовлетворяет тензор 0 0 0 0) 0 𝑝 Можно доказать, что это решение единственно. (18) Для компонент тензора деформации с использованием соотношения (13) получим: 𝑢𝑥𝑥 = 𝑢𝑦𝑦 = 𝑢𝑧𝑧 = 1 1 1 𝑝 1 1 𝑝+ (− 𝑝) = ( − ) 9𝐾 2𝑀 3 3 3𝐾 2𝑀 1 1 1 𝑝 1 1 𝑝+ (𝑝 − 𝑝) = ( + ) 9𝐾 2𝑀 3 3 3𝐾 𝑀 (19) (20) Остальные компоненты тензора деформации равны нулю. Компонента 𝑢𝑧𝑧 определяет относительное удлинение стержня вдоль оси 𝑧 𝑢𝑧𝑧 = 𝑝 , 𝐸 (21) где 𝐸 называется модулем Юнга, а величина 1/𝐸 имеет смысл коэффициента пропорциональности между приложенной к единице площади силой 𝑝 и относительным удлинением 𝑢𝑧𝑧 . Эта величина зависит только от свойств твердого тела и может быть выражена либо через модуль сдвига 𝑀 и модуль равномерного всестороннего сжатия 𝐾, либо через коэффициенты Ламе: 9𝐾𝑀 3𝜆 + 2𝜇 𝐸= =𝜇 (22) 3𝐾 + 𝑀 𝜆+𝜇 Компоненты 𝑢𝑥𝑥 и 𝑢𝑦𝑦 определяют относительное сжатие в поперечном направлении. Отношение поперечного сжатия к продольному растяжению носит название коэффициента Пуассона: 𝜎=− 𝑢𝑥𝑥 1 3𝐾 − 2𝑀 𝜆 = = 𝑢𝑧𝑧 2 3𝐾 + 𝑀 2(𝜆 + 𝜇) (23) Знак минус соответствует разным знакам у 𝑢𝑥𝑥 и 𝑢𝑧𝑧 . Поскольку 𝐾 и 𝑀 всегда положительны, коэффициент Пуассона формально может меняться в пределах от – 1 (при 𝐾 = 0) до + 1/2 (при 𝑀 = 0): −1 ≤ 𝜎 ≤ 1 2 (24) В реальности коэффициент Пуассона меняется от 0 до 1/2, так как отрицательные значения 𝜎 соответствовали бы телам, увеличивающим поперечный размер при продольном растяжении. У большинства металлов 𝜎 ≈ 0,3; 𝜎 ≈ 0,5 соответствует телу, у которого поперечное сжатие сравнимо с продольным растяжением (резина). Относительное увеличение объема стержня равно: 𝑑𝑉 ′ − 𝑑𝑉 𝑝 = 𝑢𝑙𝑙 = 𝑑𝑉 3𝐾 (25) Уравнение Ламе Обобщенный закон Гука при 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝜒𝑗 = const позволяет замкнуть систему уравнений движения для изотропной линейно-упругой среды, так как дает как раз шесть недостающих уравнений, связывающих компоненты 𝜎𝑖𝑘 и 𝑢𝑖𝑘 (уравнения (26) из предыдущей лекции). Уравнения движения сплошной среды в дифференциальной форме (формула (19) из предыдущей лекции): 𝜌 𝑑𝑣𝑖 𝜕𝜎𝑖𝑘 = 𝜌𝐹𝑖 + 𝑑𝑡 𝜕𝑥𝑘 (𝑖, 𝑘 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) Подставим сюда значение 𝜎𝑖𝑘 из формулы (12): 𝜕𝜎𝑖𝑘 𝜕𝑢𝑖𝑘 2 𝜕𝑢𝑙𝑙 𝜕𝑢𝑖𝑘 2 𝜕𝑢𝑙𝑙 = 2𝑀 + (𝐾 − 𝑀) 𝛿𝑖𝑘 = 2𝑀 + (𝐾 − 𝑀) 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 3 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 3 𝜕𝑥𝑖 (26) Далее используем выражения для компонент тензора деформации 𝑢𝑖𝑘 и его следа 𝑢𝑙𝑙 через компоненты вектора деформации 𝑢𝑖 и произведем ряд выкладок: 1 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑘 𝑢𝑖𝑘 = ( + ) 2 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝑢𝑙𝑙 = (малые деформации) 𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 = + + = 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ 𝜕𝑥𝑙 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 𝜕𝜎𝑖𝑘 1 𝜕 2 𝑢𝑖 𝜕 2 𝑢𝑘 2 𝜕 2 𝑢𝑙 = 2𝑀 ( 2 + ) + (𝐾 − 𝑀) = 𝜕𝑥𝑘 2 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 3 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑙 𝜕 2 𝑢𝑖 𝜕 2 𝑢𝑘 2 𝜕 2 𝑢𝑘 1 𝜕 2 𝑢𝑘 𝜕 2 𝑢𝑖 = 𝑀( 2 + ) + (𝐾 − 𝑀) = (𝐾 + 𝑀) +𝑀 3 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 3 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘2 𝑑𝑣𝑖 1 𝜕 2 𝑢𝑘 𝜕 2 𝑢𝑖 𝜌 = 𝜌𝐹𝑖 + (𝐾 + 𝑀) +𝑀 𝑑𝑡 3 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘2 1 2 1 (𝐾 + 𝑀) = (𝜆 + 𝑀) + 𝑀 = 𝜆 + 𝑀 = 𝜆 + 𝜇 3 3 3 В векторных обозначениях: 𝜕 𝜕𝑢𝑘 𝜕 𝜕𝑢𝑘 𝜕 𝜕𝑢𝑘 ( )𝑖 + ( )𝑗 + ( ) 𝑘⃗ = 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥3 𝜕𝑥𝑘 = 𝜕 𝜕 𝜕 (𝑑𝑖𝑣𝑢 (𝑑𝑖𝑣𝑢 (𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ )𝑖 + ⃗ )𝑗 + ⃗ )𝑘⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗; 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 𝜕 2 𝑢1 𝜕 2 𝑢1 𝜕 2 𝑢1 ( 2 + + )𝑖 + 𝜕𝑥1 𝜕𝑥22 𝜕𝑥32 𝜕 2 𝑢2 𝜕 2 𝑢2 𝜕 2 𝑢2 𝜕 2 𝑢3 𝜕 2 𝑢3 𝜕 2 𝑢3 ⃗ +( 2 + 2 + 2 )𝑗 + ( 2 + 2 + 2 )𝑘 = 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 = Δ𝑢1 𝑖 + Δ𝑢2 𝑗 + Δ𝑢3 𝑘⃗ = Δ𝑢 ⃗ В результате получим: 𝜌 𝑑𝑣 = 𝜌𝐹 + (𝜆 + 𝜇)𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ + 𝜇Δ𝑢 ⃗ 𝑑𝑡 (27) Это и есть уравнение Ламе, представляющее собой уравнение движения деформированного твердого тела в случае малых деформаций. Вместе с уравнением неразрывности 𝑑𝜌 + 𝜌 𝑑𝑖𝑣𝑣 = 0 𝑑𝑡 имеем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных: трех компонент поля вектора скоростей 𝑣 , а также плотности среды 𝜌. Здесь 𝑣 = 𝑑𝑢 ⃗ /𝑑𝑡, где 𝑢 ⃗ (𝑟, 𝑡) есть вектор смещения, а 𝜆 и 𝜇 задают свойства деформируемой среды. Поскольку мы считаем малыми не только сами деформации, но и компоненты вектора смещения, постольку полную производную по времени 𝑑𝑣 /𝑑𝑡 можно заменить на частную производную ⃗ 𝜕𝑣 𝜕𝑡 , пренебрегая при этом слагаемыми второго порядка малости. Упрощенное уравнение Ламе имеет вид: 𝜕2𝑢 ⃗ 𝜌 2 = 𝜌𝐹 + (𝜆 + 𝜇)𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ + 𝜇Δ𝑢 ⃗ 𝜕𝑡 (28) Его можно еще упростить, если считать, что при малых деформациях изменения плотности среды малы, то есть положить 𝜌 = 𝜌0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Тогда уравнение неразрывности можно не рассматривать, а уравнение Ламе приобретает вид: 𝜕2𝑢 ⃗ 𝜆+𝜇 𝜇 = 𝐹 + 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ + Δ𝑢 ⃗ 𝜕𝑡 2 𝜌0 𝜌0 (29) При заданной плотности внешних массовых сил подлежит определению поле вектора смещения, содержащее в себе полную информацию о деформированном состоянии тела: зная 𝑢 ⃗ (𝑟, 𝑡), можно построить тензор деформации 𝑢𝑖𝑘 , а затем по нему тензор напряжений 𝜎𝑖𝑘 . Уравнение Ламе является уравнением в частных производных. Чтобы решение было единственным, следует задать не только начальные условия, но также и граничные условия, то есть задать внешние поверхностные силы на границе деформируемого тела в течение всего рассматриваемого интервала времени. Частным случаем уравнения движения является уравнение равновесия, когда все точки тела (среды) покоятся, и левая часть уравнения Ламе обращается в ноль. В статических задачах теории упругости предметом изучения является конечное деформированное и напряженное состояние равновесия упругого тела, описываемое уравнением: 𝜌𝐹 + (𝜆 + 𝜇)𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ + 𝜇Δ𝑢 ⃗ =0 (30) Это уравнение надо решать совместно с граничными условиями. Упругие волны Важным частным случаем общей динамической задачи является задача о свободных колебаниях упругой среды. Если каким-либо способом вывести некоторую часть упругой среды из положения равновесия и затем предоставить ее самой себе, то в среде будет происходить распространение возмущения, которое называется упругими волнами или звуком. Звук в широком смысле – это колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твердой среде; то же самое, что упругие волны. Звук в узком смысле – явление, субъективно воспринимаемое органом слуха человека и животных. Человек слышит звук в диапазоне от 16 Гц до 20 кГц. Звук с частотой ниже 16 Гц называется инфразвуком, выше 20 кГц – ультразвуком, выше 106 Кгц – гиперзвуком. Процесс распространения малых возмущений в изотропной линейно-упругой среде в отсутствие внешних сил описывается уравнением Ламе 𝜕2𝑢 ⃗ 𝜌 2 = (𝜆 + 𝜇)𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ + 𝜇Δ𝑢 ⃗ 𝜕𝑡 (31) Будем считать среду неограниченной и рассмотрим волну, в которой перемещение 𝑢 ⃗ зависит только от одной из декартовых координат, например, от 𝑥, и от времени 𝑡: 𝑢 ⃗ = 𝑢𝑥 (𝑥, 𝑡)𝑖 + 𝑢𝑦 (𝑥, 𝑡)𝑗 + 𝑢𝑧 (𝑥, 𝑡)𝑘⃗ (32) Такая волна называется плоской, потому что ее фронт (поверхность равной фазы) перепендикулярен оси 𝑥. Уравнение Ламе в компонентах имеет вид: 𝜕 2 𝑢𝑥 𝜕 𝜕 2 𝑢𝑥 𝜕 2 𝑢 𝑥 𝜕 2 𝑢𝑥 𝜌 = (𝜆 + 𝜇) 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ +𝜇( 2 + + ) 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕 2 𝑢𝑦 𝜕 2 𝑢𝑦 𝜕 2 𝑢 𝑦 𝜕 2 𝑢𝑦 𝜕 𝜌 = (𝜆 + 𝜇) 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ +𝜇( 2 + + ) 𝜕𝑡 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕 2 𝑢𝑧 𝜕 𝜕 2 𝑢𝑧 𝜕 2 𝑢 𝑧 𝜕 2 𝑢𝑧 𝜌 2 = (𝜆 + 𝜇) 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ +𝜇( 2 + + ) 𝜕𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 (33) Так как 𝑢 ⃗ =𝑢 ⃗ (𝑥, 𝑡), имеем: 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑢𝑧 = = = = = =0 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑢𝑥 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ = + + = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 С учетом (34) и (35) уравнения (33) упростятся: (34) (35) 𝜕 2 𝑢𝑥 𝜕 2 𝑢𝑥 𝜌 = (𝜆 + 2𝜇) 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 𝜕 2 𝑢𝑦 𝜕 2 𝑢𝑦 𝜌 =𝜇 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 𝜕 2 𝑢𝑧 𝜕 2 𝑢𝑧 𝜌 2 =𝜇 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 Их принято записывать в виде: (36) 1 𝜕 2 𝑢𝑥 𝜕 2 𝑢𝑥 − =0 𝜕𝑥 2 𝑐𝑙2 𝜕𝑡 2 1 𝜕 2 𝑢𝑦 𝜕 2 𝑢𝑦 − =0 𝜕𝑥 2 𝑐𝑡2 𝜕𝑡 2 1 𝜕 2 𝑢𝑧 𝜕 2 𝑢𝑧 − =0 𝜕𝑥 2 𝑐𝑡2 𝜕𝑡 2 (37) 𝑐𝑙 ≡ √ 𝜆 + 2𝜇 3𝐾 + 4𝑀 =√ 𝜌 3𝜌 𝜇 𝑀 𝑐𝑡 ≡ √ = √ 𝜌 𝜌 Это обычные волновые уравнения в одном измерении; входящие в них величины 𝑐𝑙 и 𝑐𝑡 дают скорости распространения волны (звука). Эти скорости различны для компоненты 𝑢𝑥 и компонент 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧 . Таким образом, плоская упругая волна представляет собой по существу две независимо распространяющиеся волны. В одной из них смещение точек среды 𝑢 ⃗ 1 = 𝑢𝑥 𝑖 направлено вдоль распространения самой волны; такая волна называется продольной. В другой - смещение 𝑢 ⃗ 2 = 𝑢𝑦 𝑗 + 𝑢𝑧 𝑘⃗ лежит в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения; такая волна называется поперечной. Отметим, что скорость продольной волны всегда больше скорости поперечной. Как известно, относительное изменение объема равно дивергенции вектора смещения 𝑑𝑉 ′ − 𝑑𝑉 = 𝑢𝑙𝑙 = 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗ 𝑑𝑉 В поперечной волне 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗2 = 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑧 + =0, 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (38) то есть не происходит изменения объема отдельных частиц среды. Зато 𝑟𝑜𝑡𝑢 ⃗ 2 не равен 0: 𝑟𝑜𝑡𝑢 ⃗2 =− 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑧 𝑗+ 𝑘⃗ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (39) Поэтому поперечные волны сопровождаются «вращением» частиц среды (волны сдвига). Наоборот, для продольных волн 𝑑𝑖𝑣𝑢 ⃗1 = 𝜕𝑢𝑥 ≠0 𝜕𝑥 (40) 𝑟𝑜𝑡𝑢 ⃗1 = 0 Поэтому они сопровождаются изменениями сопровождаются их «вращением». (41) объема частиц среды, но не Разделение упругой волны на две независимо распространяющиеся с разными скоростями части можно произвести и в случае произвольной (не плоской) волны в неограниченном пространстве.