Связь между энергетическим спектром и АКФ сигнала

Связь между энергетическим спектром и АКФ сигнала Допустим, что некоторый импульсный сигнал u(t) имеет спектральную плотность S(). Определим АКФ, записав заданный сигнал u(t) в виде обратного преобразования Фурье: Которая получена с использованием уравнения Для упрощения и удобства дальнейших вычислений введем новую переменную x = t - . Затем, сделав в последнем выражении ряд перестановок, получим: Здесь интеграл () есть функция, комплексно-сопряженная со спектральной плотностью сигнала S(). Поэтому формула примет вид: Функцию называют энергетическим спектром (спектральной плотностью энергии) сигнала, который показывает распределение его энергии по оси частот. Физическая размерность энергетического спектра сигнала Wи() измеряется в В2 с  Гц. Окончательно получим выражение для АКФ аналогового детерминированного сигнала: В( =и ()ejd Окончательно получим выражение для АКФ аналогового детерминированного сигнала: В( =и ()ejd. Как следует из этой формулы, автокорреляционная функция представляет собой обратное преобразование Фурье от энергетического спектра. Очевидно, что имеется и прямое преобразование Фурье от автокорреляционной функции: Прямое преобразование Фурье АКФ соответствует энергетическому спектру, а обратное преобразование Фурье энергетического спектра – автокорреляционной функции детерминированного сигнала. Данные результаты имеют фундаментальное значение в радиотехнике по двум важным причинам. Во-первых, исходя из распределения энергии по спектру, становится возможным определить корреляционные свойства сигналов: чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем короче (в частотной области) его энергетический спектр. Во-вторых, выведенные соотношения позволяют экспериментально определить одну из функций по значению другой. В практических случаях часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить энергетический спектр сигнала. Этот прием широко применяется при анализе свойств сигналов в реальном масштабе времени, т.е. без временной задержки при его обработке.