Свойства объектов моделирования

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ Лекция №2 Свойства объектов моделирования. Структура математической модели Это совокупност ь переменны х математ ическом вы раж ении. и парамет ров, записанны х в Например: , Где: x, y и z – переменные величины; a, b, c, d, e – коэффициенты параметры. Парамет ры – это количественные характеристики внутренних свойств объекта, которые отражаются его структурой, а в математической модели они являются коэффициентами, входящими в математическое выражение. 2 Непрерывные модели Подавляющее большинство различных технических объектов имеет свойство непрерывности переменных. Состояния этих объектов описываются макроскопическими физическими величинами: температурой, скоростью, давлением, пространственными координатами, электрическим током и т. п. При моделировании объектов с непрерывными переменными используют главным образом аппараты дифференциальных и интегральных уравнений, передаточные функции, частотные характеристики и др. 𝒅𝒚 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎 𝒚 ( 𝒕 )=𝒃 𝟎 𝒙 (𝒕 ) 𝒅𝒕 𝑲 𝑾 ( 𝒑 )= 𝑻𝒑+ 𝟏 3 Дискретные и дискредитированные модели Дискретны е переменны е принимают конечное число заданных значений. Характерными примерами объектов с дискретными переменными являются: релейные переключательные схемы; коммутационные системы АТС; цифровые вычислительные машины. Основой формализованного описания объектов с дискретными переменными является аппарат математической логики. Дискретные методы анализа получили широкое распространение для описания и исследования объектов с непрерывными переменными. При этом значения непрерывных величин округляются до дискретных значений, а исходные дифференциальные уравнения в частных производных заменяются эквивалентными конечно-разностными уравнениями. Модели с непрерывными переменными, представленные дискретно, называют дискредит ированны ми. 𝒂𝟎 𝒃𝟎 𝒚 𝒌 = 𝒚 𝒌 −𝟏 + ∆ 𝒕 ∙ − 𝒚𝒌 −𝟏 + 𝒙𝒌 𝒂𝟏 𝒂𝟏 ( ) 4 Стационарность и нестационарность моделей Ст ационарност ь предполагает неизменность и структуры, и параметров объекта. Стационарный объект описывается математическим выражением, которое включает в себя только постоянные коэффициенты. Нест ационарны е объекты имеют изменяющиеся во времени структуру и параметры. Для исследования объектов переменной структуры, общую нестационарную задачу расчленяют на ряд стационарных относительно структуры подзадач, решения которых находят отдельно, а затем объединяют в одно. 5 Распределенность параметров моделей В пространственно протяженных объектах, в частности включающих в себя непрерывные среды (газы, жидкости, твердые среды), когда время распространения физических явлений оказывается соизмеримым с инерционными эффектами, адекватное описание процессов требует учета как временных, так и пространственных координат. Такие объекты относятся к объект ам с распределенны ми парамет рами. С математической точки зрения объекты с распределенными параметрами представляют собой поле, существующее в пространственно-временном континууме, а переменные соответствующих моделей в общем случае суть функции времени и пространственных координат. Примерами одномерных объектов с распределенными параметрами служат «длинные линии»: проводные линии связи, длинные трубопроводы, линии электропередачи на большие расстояния. Примерами моделей двухмерного объекта с распределенными параметрами являются сечения различных трубопроводов, кабелей, проводов, где рассматриваются в плоскостях поля температур, плотностей и напряженностей. 6 Распределенность параметров моделей 7 Сосредоточенность параметров моделей Если пространственной протяженностью можно пренебречь и считать, что независимой переменной протекающих в нем процессов является только время, принято говорить об объекте с сосредоточенны ми параметрами. К числу таких объектов, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, относится подавляющее большинство механизмов, машин, устройств, а также все системы, у которых расстояния между отдельными элементами практически не влияют на исследуемые свойства. Математический аппарат, строго описывающий объекты с распределенными параметрами, существенно сложнее, чем аппарат объекта с сосредоточенными параметрами. Поэтому на практике всегда, где это возможно, прибегают к аппроксимации, т. е. заменяют распределенные параметры на сосредоточенные, например, разбивая пространство на небольшие элементы (подпространства) или делая корректировку сосредоточенных параметров. 8 Сосредоточенность параметров моделей 9