Свойства функции

Свойства функции 1) Область определения функции и область значений функции. Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. 2) Нули функции. Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0. 3) Точки экстремума Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х)< f(Xmax). Значение Ymax = f(Xmax) называется максимумом этой функции. Хmax – точка максимума Уmax – максимум Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х)>f(Xmin). Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции. Xmin – точка минимума Ymin – минимум Xmin, Хmax – точки экстремума 4) Монотонность функции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2). Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2). 5) Наименьшее и наибольшее значения функции Наименьшее значение функции обозначают символом yнаим, наибольшее – символом yнаиб. Если множество X не указано, то необходимо искать наименьшее и наибольшее значения функции на всей области определения. 6) Четность (нечетность) функции. Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция называется четной, если – область определения функции симметрична относительно нуля; – для любого х из области определения f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси 0y Функция называется нечетной, если – область определения функции симметрична относительно нуля; – для любого х из области определения f(-x) = –f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. четная функция нечетная функция 7) Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная. ограниченная функция неограниченная функция 8) Периодичность функции. Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. Функция f(x) называется периодической с периодом Т, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т). График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если повторяющихся фрагментов нет, но функция непериодическая. 9) Асимптоты графика.  Это прямые, к которым график функции бесконечно приближается, но никогда не пересекает. вертикальная горизонтальная наклонная 10) Выпуклость функций График функции y=f(x) называется выпуклым вниз на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.