Статистика

СТАТИСТИКА Панкратова Ярославна Борисовна к.ф.-м.н., доцент Кафедра математической теории игр и статистических решений y.pankratova@spbu.ru Консультации: Вт, пт 17.00 – 18.00 + 8. Проверка статистических гипотез 8.1 Общее понятие о статистических гипотезах Определение 8.1.1: Статистическими гипотезами называют предположения о виде закона распределения или о параметрах распределения наблюдаемой случайной величины ξ. В обоих случаях наряду с основной гипотезой Н0 всегда формулируется альтернативная гипотеза На, конкурирующая с основной гипотезой в том смысле, что если основная гипотеза будет отвергнута, ее место займет альтернативная. Определение 8.1.2: Гипотеза называется простой, если в ней единственным образом определяется закон распределения генеральной совокупности. В противном случае гипотеза называется сложной. Пример 8.1.1: гипотеза: «генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения с параметрами (0,1)» - простая, а гипотеза: «распределение генеральной совокупности нормальное» - сложная + 8. Проверка статистических гипотез 8.1 Общее понятие о статистических гипотезах Статистический критерий - правило, согласно которому проводят проверку статистической гипотезы Параметрические гипотезы несут в себе суждения о параметрах распределения. Как уже отмечалось, параметры распределения зачастую связаны с числовыми характеристиками, поэтому для нормального распределения проверяют гипотезы о значении математического ожидания и дисперсии + 8. Проверка статистических гипотез 8.1 Общее понятие о статистических гипотезах При проверке статистической гипотезы могут возникнуть следующие ситуации: Гипотеза верна и она принимается согласно выбранному критерию; 2) Гипотеза неверна и она отвергается согласно выбранному критерию; 3) Гипотеза верна, но она отвергается согласно выбранному критерию (происходит ошибка первого рода); 4) Гипотеза неверна, но она принимается согласно выбранному критерию (происходит ошибка второго рода). Вероятность совершения ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают α, чаще всего уровень значимости выбирают равным 0,05; 0,01; 0,005. Если через β обозначить вероятность ошибки второго рода, то величину 1-β называют мощностью критерия. + 8. Проверка статистических гипотез 8.1 Общее понятие о статистических гипотезах При проверке гипотезы вся область значений изучаемой случайной величины разбивается на две области: область принятия основной гипотезы и критическую область. Если выборочная статистика (критерий) будет попадать в область принятия гипотезы, то принимают основную гипотезу Н0. В случае попадания критерия в критическую область основную гипотезу Н0 отклоняют, в пользу альтернативной На. + 8. Проверка статистических гипотез 8.1 Общее понятие о статистических гипотезах Алгоритм проверки любой гипотезы: 1. Выдвигается нулевая гипотеза Ho и альтернативная гипотеза На. Задается уровень значимости. Обычно 0,001, 0,01 или 0,05 2. Выбираем статистику критерию так, что при условии справедливости гипотезы Ho эта статистика подчиняется некоторому известному закону распределения вероятностей. 3. Определяется критическая область. В качестве критической области для гипотезы Ho выбирается такая область возможных значений статистики, попадание в которую при условии справедливости гипотеза Ho выглядит маловероятным по сравнению с возможностью попадания этой статистики в указанную область при условии справедливости гипотезы На. 4. Делается вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы. + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о величине математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии Если основная гипотеза Но верна, то указанная случайная величина 𝜂(𝑥 𝑛 ) распределена по нормальному закону. + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о величине математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о величине математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о величине математического ожидания нормально распределенной случайной величины при НЕизвестной дисперсии 𝜏(𝑥 𝑛 𝑥ҧ − 𝑎0 𝑥ҧ − 𝑎0 )= 𝑛−1= 𝑛 =∈ 𝑇𝑛−1 𝑆 𝑆ሚ + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о величине математического ожидания нормально распределенной случайной величины при НЕизвестной дисперсии + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о величине дисперсии нормально распределенной случайной величины Проверка основной гипотезы основана на теореме о том, что если основная гипотеза верна, то следующая выборочная статистика 𝑛𝑆 2 (𝑛)𝑆ሚ 2 𝜋(𝑋 𝑛 ) = 2 = 𝜎0 𝜎02 распределена по закону χ2 с (n-1) степенью свободы. + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о величине дисперсии нормально распределенной случайной величины + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий Рассмотрим две нормально распределенные случайные величины: ξ1 и ξ2. Обозначим неизвестные параметры распределения первой случайной величины a1 и σ1, а параметры распределения второй случайной величины a2 и σ2 . Предположим, что имеются выборки значений этих случайных величин объемов n и m соответственно. + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при неизвестных и равных дисперсиях + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о равенстве дисперсий Рассмотрим две нормально распределенные случайные величины: ξ1 и ξ2. Обозначим неизвестные параметры распределения первой случайной величины a1 и σ1, а параметры распределения второй случайной величины a2 и σ2 . Предположим, что имеются выборки значений этих случайных величин объемов n и m соответственно. + 8. Проверка статистических гипотез 8.2 Параметрический гипотезы Гипотезы о параметрах нормального распределения Проверка гипотезы о равенстве дисперсий 8. Проверка статистических гипотез 8.3 Критерии Согласия Для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной непрерывной величины можно использовать критерии согласия: критерии Пирсона и Колмогорова. Критерий Согласия Пирсона + 8. Проверка статистических гипотез 8.3 Критерии Согласия Критерий Согласия Пирсона + 8. Проверка статистических гипотез 8.3 Критерии Согласия Критерий Согласия Колмогорова Приложение (Распределение Колмогорова) + 8. Проверка статистических гипотез 8.4 Непараметрические гипотезы Критерий Колмогорова Смирнова Критическая область См приложение (Распределение Колмогорова)