Статистические индексы

Тема 8. Индексы Статистические индексы. Важное значение в статистических исследованиях коммерческой деятельности имеет индексный метод. Полученные на основе этого метода показатели используются для характеристики развития анализируемых показателей во времени, по территории, изучения структуры и взаимосвязей, выявления роли факторов в изменении сложных явлений. Индексы широко применяются в экономических разработках государственной и ведомственной статистики. Статистический индекс — это относительная величина сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию. Например, ассортимент продовольственных товаров состоит из товарных разновидностей, первичный учет которых на производстве и в оптовой торговле ведется в натуральных единицах измерения: молоко — в литрах, мясо — в центнерах, яйцо — в штуках, консервы — в условных банках и т.д. Для определения общего объема производства и реализации продовольственных товаров суммировать данные учета разнородных товарных масс в натуральных измерителях нельзя. Не подлежат непосредственному суммированию и данные о количестве произведенных и реализованных различных видов непродовольственных товаров. Было бы, например, бессмысленно для получения общего объема реализации суммировать данные о продаже тканей (в метрах), костюмов (в штуках), обуви (в парах) и т.д. В этих сложных статистических совокупностях единицами наблюдения являются товары с различными потребительскими свойствами. Данные о натурально — вещественной форме реализации отдельных товарных разновидностей непосредственному суммированию не подлежат. Для получения в сложных статистических совокупностях обобщающих (суммарных) величин прибегают к индексному методу. Основой индексного метода при определении изменений в производстве и обращении товаров является переход от натурально — вещественной формы выражения товарных масс к стоимостным (денежным) измерителям. Именно посредством денежного выражения стоимости отдельных товаров устраняется их несравнимость как потребительских стоимостей и достигается единство. Индивидуальные и общие индексы. В зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изучаемой совокупности индексы подразделяются на индивидуальные (элементарные) и общие. Индивидуальные индексы характеризуют изменения отдельных единиц статистической совокупности. Так, например, если при изучении оптовой реализации продовольственных товаров определяются изменения в продаже отдельных товарных разновидностей, то получают индивидуальные (однотоварные) индексы. Общие индексы выражают сводные (обобщающие) результаты совместного изменения всех единиц, образующих статистическую совокупность. Пример, показатель изменения объема реализации товарной массы продуктов питания по отдельным периодам будет общим индексом физического объема товарооборота. Важной особенностью общих индексов является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами. Синтетические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение (агрегирование) в целом разнородных единиц статистической совокупности. Аналитические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя. Для определения индекса надо произвести сопоставление не менее двух величин. При изучении динамики социально-экономических явлений сравниваемая величина (числитель индексного отношения) принимается за текущий (или отчетный) период, а величина, с которой производится сравнение — за базисный период. Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина. Под индексируемой величиной понимается значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения. Так, при изучении изменения цен индексируемой величиной является цена единицы товара p. При изучении изменения физического объема товарной массы в качестве индексируемой величины выступают данные о количестве товаров в натуральных измерителях q. Стоимость продукции обозначается через s. Индивидуальные индексы принято обозначать i, а общие индексы — I. Знак внизу справа означает период: — базисный, — отчетный. Пример. В текущем, отчѐтном году предприятие произвело 120 тыс.т. продукции вместо 100 тыс.т. в прошлом базисном, году. Цены за каждую тонну этой продукции снизились с 20 до 18 рублей; а еѐ общая стоимость возросла с 2 000 до 2 160 тыс. руб. В данном примере можно вычислить три индекса: индекс объѐма продукции: или 120%; индекс цен: или 90%; индекс стоимости продукции: или 108% Полученные индексы показывают, что объѐм продукции и еѐ стоимость возросла в отчѐтном году по сравнению с базисным в 1,2 и 1,08 раза, а цены, наоборот, снизились до 1,9 их базисного уровня. Все три индекса образуют систему показателей — сомножителей: или 1,2 * 0,9 = 1,08. Агрегатные индексы. Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы. Достижение в сложных статистических совокупностях сопоставимости разнородных единиц осуществляется введением в индексные отношения специальных сомножителей индексируемых величин. Такие сомножители называются соизмерителями. Они необходимы для перехода от натуральных измерителей разнородных единиц статистической совокупности к однородным показателям. При этом в числителе и знаменателе общего индекса изменяется лишь значение индексируемой величины, а их соизмерители являются постоянными величинами. В качестве соизмерителей индексируемых величин выступают тесно связанные с ними экономические показатели: цены, количество и др. Произведение каждой индексируемой величины на соизмеритель образует в индексном отношении определѐнные экономические категории. Пример. Таблица 1. Товар Ед. изм. I период II период Индивидуальные индексы цена за единицу товара, руб. кол-во цена за единицу товара, руб. кол-во, цен физич-го объѐма А т 20 7 500 25 9500 1,25 1,27 Б м 30 2 000 30 2500 1,0 1,25 В шт. 15 1 000 10 1500 0,67 1,5 При определении по данным таблицы статистических индексов первый период принимается за базисный, в котором цена единицы товара принимается , а количество — . Второй период принимается за текущий (или отчетный), в котором цена единицы товара обозначается , а количество — . Индивидуальные индексы показывают, что в текущем периоде по сравнению с базисным цена на товар А повысилась на 25%, на товар Б осталась без изменения, а на товар В снизилась на 33%. Количество реализации товара А возросло на 27%, товара Б — на 25%, а товара В — на 50%. При определении общего индекса цен в агрегатной форме в качестве соизмерителя индексируемых величин и могут приниматься данные о количестве реализации товаров в текущем периоде . При умножении на индексируемые величины в числителе индексного отношения образуется значение , сумма стоимости продажи товаров в текущем периоде по ценам того же текущего периода. В знаменателе индексного отношения образуется значение , т.е. сумма стоимости продажи товаров в текущем периоде по ценам базисного периода. Агрегатная формула такого общего индекса цен имеет следующий вид: = (1) Расчѐт агрегатного индекса цен по данной формуле предложил немецкий экономист Г. Пааше, поэтому он называется индексом Пааше. Применяем формулу для расчѐта агрегатного индекса цен по данным табл.1: числитель индексного отношения =25 * 9 500 + 30 * 2 500 + 10 * 1 500 = 327 500 руб. знаменатель индексного отношения = 20 * 9 500 + 30 * 2 500 + 15 * 1 500 = 287 500 руб. Полученные значения подставляем в формулу 1: = или 113,9% Применение формулы 1 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом цены повысились в среднем на 13,9%. При другом способе определения агрегатного индекса цен в качестве соизмерителя индексируемых величин и могут применяться данные о количестве реализации товаров в базисном периоде . При этом умножение на индексируемые величины в числителе индексного отношения образует значение , т.е. сумму стоимости продажи товаров в базисном периоде по ценам текущего периода. В знаменателе индексного отношения образуется значение , т.е. сумма стоимости продажи товаров в базисном периоде по ценам того же базисного периода. Агрегатная формула такого общего индекса имеет вид: = (2) Расчѐт общего индекса цен по данной формуле предложил немецкий экономист Э. Ласпейрес, и получил название индекса Ласпейреса. Применяем формулу для расчѐта агрегатного индекса цен по данным табл.1: числитель индексного отношения = 25 * 7 500 + 30 * 2 000 + 10 * 1000 = 257 500 руб. знаменатель индексного отношения = 20 * 7 500 + 30 * 2 000 + 15 * 1 000 = 225 000 руб. Полученные значения подставляем в формулу 2: = или 114,4% Применение формулы 2 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом цены повысились в среднем на 14,4%. Таким образом, выполненные по формулам 1 и 2 расчѐты имеют разные показания индексов цен. Это объясняется тем, что индексы Пааше и Ласпейреса характеризуют различные качественные особенности изменения цен. Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчѐтном периоде. Индекс Ласпейреса показывает влияние изменения цен на стоимость количества товаров, реализованных в базисном периоде. Другим важным видом общих индексов, которые широко применяются в статистике, являются агрегатные индексы физического объѐма товарной массы. При определении агрегатного индекса физического объѐма товарной массы в качестве соизмерителей индексируемых величин и могут применяться неизменные цены базисного периода . При умножении на индексируемые величины в числителе индексного отношения образуются значение , т.е. сумма стоимости товарной массы текущего периода в базисных ценах. В знаменателе — , т.е. сумма стоимости товарной массы базисного периода в ценах того же базисного периода. Агрегатная форма общего индекса имеет следующий вид: = (3) Поскольку, в числителе формулы 3 содержится сумма стоимости реализации товаров в текущем периоде по неизменным (базисным) ценам, а в знаменателе — сумма фактической стоимости товаров, реализованных в базисном периоде в тех же неизменных (базисных) ценах, то данный индекс является агрегатным индексом товарооборота в сопоставимых (базисных) ценах. Используем формулу 3 для расчѐта агрегатного индекса физического объѐма реализации товаров по данным табл.1: числитель индексного отношения = 9 500 * 20 + 2 500 * 30 + 1 500 * 15 = 287 500 руб. знаменатель индексного отношения = 7 500 * 20 + 2 000 * 30 + 1 000 * 15 = 225 000 руб. Полученные значения подставляем в формулу 3: = или 127,8% Применение формулы 3 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом прирост физического объѐма реализации в текущем периоде составил в среднем 27,8%. Агрегатный индекс физического объѐма товарооборота может определяться посредством использования в качестве соизмерителя индексируемых величин и цен текущего периода . Агрегатная формула общего индекса будет иметь вид: = (4) числитель индексного отношения = 9 500 * 25 + 2 500 * 30 + 1 500 * 10 = 327 500 руб. знаменатель индексного отношения = 7 500 * 25 + 2 000 * 30 + 1 000 * 10 = 257 500 руб. Полученные значения подставляем в формулу 4: = или 127,2% Применение формулы 4 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом прирост физического объѐма реализации в текущем периоде составил в среднем 27,2%. Аналогичным образом производится расчѐт индекса себестоимости, при этом сравниваются суммы затрат в производстве в отчѐтном периоде ( — числитель индекса) с суммой затрат в производстве на продукцию отчѐтного периода по себестоимости базисного периода ( — знаменатель). Индексы с постоянными и переменными весами. При изучении динамики коммерческой деятельности приходится производить индексные сопоставления более чем за два периода. Поэтому индексные величины могут определяться как на постоянной, так и на переменной базах сравнения. При этом, если задача анализа состоит в получении характеристик изменения изучаемого явления во всех последующих периодах по сравнению с начальным, то вычисляются базисные индексы. Например, сопоставление объѐма розничного товарооборота II, III и IV кварталов с I кварталом. Но если требуется охарактеризовать последовательно изменения изучаемого явления из периода в период, то вычисляются цепные индексы. Например, при изучении объѐма розничного товарооборота по кварталам года сопоставляют товарооборот II квартала c I, III — cо II и IV — с III кварталом. В зависимости от задачи исследования и характера исходной информации базисные и цепные индексы исчисляются как индивидуальные, так и общие. Способы расчѐта индивидуальных базисных и цепных индексов аналогичны расчѐту относительных величин динамики. Общие индексы в зависимости от их вида вычисляются с переменными и постоянными весами — соизмерителями. Используя индексный ряд за несколько периодов, можно получить динамику стоимости продукции и динамику товарооборота в неизменных ценах, т.е. в ценах какого - то одного прошлого периода. Такие индексные ряды называются индексами с постоянными весами. Для них действует правило: произведение цепных индексов даѐт индекс базисный. Пример. По заводу имеются данные об объѐме производства и стоимости продукции. Таблица 2. Вид. прод. Ед. изм. Произведено продукции Цена в 1985г., тыс.руб. Стоимость продукции в неизменных ценах 1985, тыс.руб. 1988 1989 1990 1988 1989 1990 А тыс.т. 60 64 69 5 000 300 320 345 Б млн.шт. 5,5 6,2 7,0 2 000 110001240014000 всего 113001272014345 Требуется рассчитать индексы физического объѐма продукции с постоянными весами. Индексы с постоянной базой (базисные): Индексы с переменной базой (цепные): Убедимся, что произведение цепных индексов равно базисному: 1,126 * 1,128 = 1,27 Если индексы цен, себестоимости и производительности труда имеют в качестве весов количество продукции отчѐтного периода, то эти индексы образуют индексные ряды с переменными весами, поскольку в каждом отдельном индексе отчѐтный период изменяется. Индексы с переменными весами не подчиняются правилу, согласно которому произведение цепных индексов равно базисному. Пример. Имеются данные об объѐме производства и себестоимости продукции: Таблица 3. Вид Единица Выработано продукции за квартал Себестоимость единицы продукции в квартал, руб. Продукции измерения I II III I II III А шт. 100 120 150 10 9,9 9,6 Б шт. 300 310 320 35 35 34 В кг. 7 800 8 200 8 500 0,5 0,48 0,45 Рассчитать индексы себестоимости с переменными весами. Перемножив цепные индексы, получим: 0,989 * 0, 963 = 0, 9524 Рассчитаем базисный индекс III квартала: Как видим, расхождение есть, но оно проявляется только в четвѐртом знаке после запятой. Величина расхождения не многим более 0,01%. Средние индексы. Всякий агрегатный индекс может быть преобразован в средний арифметический из индивидуальных индексов. Для этого индексируемая величина отчѐтного периода, стоящая в числителе агрегатного индекса, заменяется произведением индивидуального индекса на индексируемую величину базисного периода. Так, индивидуальный индекс цен равен , откуда . Следовательно, преобразование агрегатного индекса цен в средний арифметический имеет вид: == Аналогично индекс себестоимости равен , откуда , следовательно, = = , Аналогично индекс физического объѐма продукции (товарооборота) равен , откуда , следовательно, = = Пример. Определить средний арифметический индекс физического объѐма продукции. Таблица 4. Отрасль произв. Стоимость прод. в базисном году, млн. руб. Индексы физич. объѐма прод. в отчѐт. году (базис. год = 1) Сахарная 20 1,47 Мукомольная 30 1,55 Мясная 25 1,71 Рыбная 15 2,1 ИТОГО 90 = = или 166,7% Физический объѐм продукции 4 отраслей увеличился на 66,7%. Расчеты недостающих индексов с помощью индексных систем. Многие экономические индексы тесно связаны между собой и образуют индексные системы. Так, индекс цен связан с индексом физического объема товарооборота или физического объема продукции, образуя следующую индексную систему: или Произведение индекса цен на индекс физического объема товарооборота или продукции дает индекс физического объема товарооборота в фактических ценах, или индекс стоимости продукции. Индекс себестоимости промышленной продукции связан с индексом физического объема продукции по себестоимости, образуя следующую индексную систему: или Произведение индекса себестоимости продукции на индекс физического объема дает индекс затрат в производстве. Используя индексы системы, можно по двум известным индексам найти третий, неизвестный. Пример. Имеются следующие данные о продаже товаров в магазинах А: Таблица 5 Товар Продано, кг Цена 1 кг, руб. базисный период отчетный период базисный период отчетный период Яблоки 5000 6000 12 10 Бананы 2000 2500 25 24 Апельсины 4000 3800 16 14 Необходимо исчислить индексы цен, физического товарооборота в фактических ценах по трем товарам вместе. объема Рассчитаем индекс цен: Цены снизились на 11,33%, и покупатель имел экономию, равную 22100 руб. (19530 — 173200). Определим индекс физического объема товарооборота: Товарооборот в неизменных ценах вырос на 12,23%, прирост товарооборота в неизменных ценах составил 21300 руб. (195300 — 174000). Рассчитаем индекс товарооборота в фактических ценах: Товарооборот в фактических ценах снизился на 0,5%, что в абсолютном выражении составляет 800 руб. (174000 — 173200). Произведение первых двух индексов дает третий индекс В определенной связи находятся и разности между знаменателем и числителем индексов: населению по ценам базисного периода было продано товаров на 21300 руб. больше, но в силу того, что население имело экономию от снижения цен на товары в сумме 22100 руб., оно за эти товары в отчетном периоде по фактическим ценам уплатило на 800 руб. меньше. Контрольная работа №3 Задача №1. По данным таблицы 6 определить: 1) общий индекс цен по всем товарам; 2) индекс цен по товарам овощной группы; 3) индекс цен по товарам молочной группы; 4) общий индекс физического объѐма товарооборота; 5) индекс объѐма продукции по овощной группе; 6) индекс объѐма продукции по молочной группе; 7) сделайте выводы. Таблица 6. Товары Цена, руб. Продано, натур. ед. Стоим. прод. в отч. периоде по ценам: (кг.) Базисн. период Отчѐт. период Базисн. период период Базисн. период Отчѐт. период Картофель 16 15 80 000 100 000 Капуста 20 20 45 000 50 000 Морковь 40 35 15 000 20 000 Молоко 50 60 12 000 10 000 Творог 150 180 4 000 5 000 Сметана 200 200 200 500 Отчѐт. Задача №2 По данным таблицы 7 определить базисные и цепные индексы цен. Сделайте выводы. Таблица 7. Товар Среднесуточная продажа, кг. Цена за 1 кг, руб. Октябрь Ноябрь Декабрь Октябрь Ноябрь Декабрь А 1 200 1 000 600 0,8 1,0 1,2 Б 800 300 100 1,1 1,5 2,0 Продолжение контрольной работы № 3 в лекции №9.