Статистические гипотезы и их проверка

Лекция № 2 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ И ИХ ПРОВЕРКА 1. Понятие статистической гипотезы 2. Проверка статистических гипотез 1. Понятие статистической гипотезы. Статистической гипотезой называют научное предположение о тех или иных статистических законах распределения рассматриваемых случайных величин, которое может быть проверено на основе выборки. Гипотезы в свою очередь классифицируются на: - простые и сложные; - параметрические и непараметрические; - основные (высказанные) и альтернативные (конкурирующие). Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез, при этом указывается некоторая область вероятных значений параметра. Гипотезы о параметрах генеральной совокупности называются параметрическими, о распределениях — непараметрическими. Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее обозначают Н0. При этом предполагается, что действительное различие сравниваемых величин равно нулю, а выявленное по данным отличие от нуля носит случайный характер. Нулевая гипотеза отвергается тогда, когда по выборке получается результат, который при истинности выдвинутой нулевой гипотезы маловероятен. По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н1. По своему содержанию статистические гипотезы подразделяются на несколько основных типов: - гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины; - гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности; - гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей; 1 - гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками. Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, решения относительно нулевой гипотезы Н0 имеют вероятностный характер. Следовательно, такое решение сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону. То есть в небольшой доле случаев а нулевая гипотеза Н0 может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода, а ее вероятность – уровнем значимости и обозначают  В какой-то небольшой доле случаев нулевая гипотеза Н0 принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза Нх. Такую ошибку называют ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки 2-го рода обозначается как Вероятность 1 -  называют мощностью критерия. При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок  или . Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой. Принято задавать вероятность ошибки 1-го рода  уровень значимости. Как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости : 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. В агрономических исследования обычно используется 0,05 или 5% уровень значимости. В отношении свойств генеральной совокупности могут выдвигаться некоторые гипотезы о величине средней, дисперсии, характере распределения, форме и тесноте связи между переменными. Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления согласованности эмпирических данных с гипотетическими (теоретическими). Если расхождение между сравниваемыми величинами не выходит за пределы случайных ошибок, гипотезу принимают. При этом не делается никаких заключений о правильности самой гипотезы, речь идет лишь о согласованности сравниваемых данных. 2. Проверка статистических гипотез. Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия. Статистический критерий – это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н0. 2 Как уже отмечалось выше, следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер, так как принимаемые вывод основываются на изучении свойств распределения случайной переменной по данным выборки, а потому всегда существует риск допустить ошибку. Однако с помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятия ложного решения. Если вероятность последнего невелика, то можно считать, что применяемый критерий обеспечивает малый риск ошибки. При проведении проверки статистических гипотез в первую очередь приходится решать задачи статистической проверки гипотез о: 1) принадлежности «выделяющихся» единиц исследуемой выборочной совокупности генеральной совокупности; 2) виде распределения изучаемых признаков; 3) величине средней арифметической и доли; 4) наличии и тесноте связи между изучаемыми признаками; 5) о форме корреляционной связи. В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверки практически любых гипотез. Притом основные принципы их построения и применения являются общими. Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее: 1) сформулировать проверяемую гипотезу Н0. Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая (альтернативная) гипотеза; 2) выбрать уровень значимости , контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода; 3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область; 4) принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значений критерия. Проверка статистических гипотез складывается из следующих этапов: - формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования; - выбирается статистическая характеристика гипотезы; - выбираются испытуемая и альтернативная гипотезы на основе анализа возможных ошибочных решений и их последствий; - определяются область допустимых значений, критическая область, а также критическое значение статистического критерия (t, F,) по соответствующей таблице; 3 - вычисляется фактическое значение статистического критерия; - проверяется испытуемая гипотеза на основе сравнения фактического и критического значений критерия, и в зависимости от результатов проверки гипотеза либо отклоняется, либо не отклоняется. Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия. 4