Статика

Раздел I. Статика Глава 1. Основные понятия и аксиомы статики 1.1 Введение: предмет, метод, место среди естественных наук и границы применимости теоретической механики "В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени". Материя, в философском смысле, – это все то, что реально существует вне нас, независимо от нашего сознания и что может быть воспринято нашими органами чувств непосредственно или с помощью специальных приборов и экспериментов. Движение, в философском смысле, – это всякое происходящее в пространстве и во времени изменение реальности, всякий процесс. Движение является основным, неотъемлемым свойством материи. Движущаяся материя существует извечно и не может быть ни создана, ни уничтожена. Пространство и время неотделимы от движущейся материи и являются объективными формами ее существования. Формы движения материи многообразны и взаимно связаны. Наиболее простой формой движения материи является механическое движение. Под механическим движением материального объекта понимают происходящее с течением времени изменение его положения по отношению к другим материальным объектам. Более сложные формы движения материи – тепловые, химические, электромагнитные и другие процессы – не сводятся и не могут быть сведены к механической форме движения. Они содержат механическую форму движения, но полностью ею не объясняются и не исчерпываются. Все многообразие явлений природы есть не что иное, как проявление различных форм движения материи. Участие естественных наук в познании явлений природы заключается в том, что естественные науки изучают основные свойства материи и общие законы различных форм ее движения. Теоретическая механика относится к разряду естественных наук. Она изучает общие законы механического движения и равновесия материальных объектов и возникающее при этом механическое взаимодействие между материальными объектами. В природе мы наблюдаем различные формы взаимодействия материальных объектов, но в теоретической механике рассматривается только механическое взаимодействие. Под механическим взаимодействием материальных объектов понимают такое их взаимодействие, которое либо приводит к движению (в частности, к покою) одних материальных объектов относительно других, либо к деформации материальных объектов, либо к тому и другому вместе. Так, например, вследствие механического взаимодействия Земли и Солнца мы наблюдаем движение Земли относительно Солнца; тело, лежащее на столе, вследствие механического взаимодействия с Землей и столом находится в покое относительно Земли; деталь вследствие механического взаимодействия с молотом деформируется. Установление меры механического взаимодействия материальных объектов привело к понятию силы. Сила в теоретической механике есть величина, которая не только отражает объективное существование механического взаимодействия между материальными объектами, но и является количественной мерой этого взаимодействия. Таким образом, сила возникает только в результате механического взаимодействия материальных объектов. Поэтому нельзя рассматривать силу как нечто, существующее в природе само по себе, независимо от материального объекта, являющегося ее источником, и материального объекта, испытывающего ее действие. Пользуясь понятием силы, нужно всегда помнить, что только в целях простоты мы заменяем этим понятием механическое взаимодействие между рассматриваемыми материальными объектами. Механическое взаимодействие между материальными объектами не обязательно осуществляется путем непосредственного контакта. Например, движение тела под действием силы притяжения Земли совершается в воздухе при отсутствии непосредственного контакта между телом и Землей. Физическая природа сил разнообразна. Вопрос о физической природе силы в теоретической механике не играет роли, так как здесь нас интересует только тот эффект, который производят на данный материальный объект действующие на него силы независимо от физической сущности этих сил. Из определения механического движения следует, что можно говорить об изменении положения того или иного материального объекта лишь по отношению к другому какому-нибудь материальному объекту, который играет при этом роль системы отсчета. Если положение всех точек материального объекта по отношению к выбранной системе отсчета остается все время неизменным, то материальный объект по отношению к этой системе отсчета находится в покое. Если же положение каких-нибудь точек материального объекта стечением времени изменяется, то этот материальный объект по отношению к данной системе отсчета находится в движении. Так как выбор системы отсчета в известной мере произволен и зависит от характера рассматриваемой задачи, то понятия о механическом движении и покое являются по существу относительными, и материальный объект, движущийся по отношению к одной системе отсчета, может находиться в покое по отношению к другой системе отсчета. Поэтому при изучении механического движения всегда нужно знать ту систему отсчета, по отношению к которой будет изучаться данное движение. Если такая система отсчета не задана, то задача изучения механического движения становится в механике неопределенной. Любое механическое движение (и равновесие) имеет объективный характер, и относительность механического движения не означает, что оно субъективно. Так как в природе абсолютно неподвижных материальных объектов не существует, то принципиально невозможно установить абсолютно неподвижную систему отсчета. Следовательно, понятия абсолютного движения и абсолютного покоя, т. е. движения и покоя относительно абсолютно неподвижной системы отсчета, не имеют конкретного смысла. В теоретической механике возможность установления абсолютно неподвижной системы отсчета постулируется. Эту систему отсчета можно мыслить как часть введенного Ньютоном трехмерного абсолютно неподвижного пространства, в котором все измерения проводятся на основании аксиом геометрии Эвклида. За основную, или абсолютно неподвижную систему отсчета, отвечающую полностью принятой в теоретической механике совокупности основных законов, условно принимают гелиоцентрическую систему, т. е. систему координат с началом в центре Солнца и осями, направленными к трем так называемым неподвижным звездам. Но при решении многих технических задач движение Земли относительно гелиоцентрической системы не учитывают и абсолютно неподвижную систему отсчета соединяют с Землей. Очевидно, что при этом совершаются некоторые погрешности, которые, однако, невелики и могут быть учтены. Наряду с предположением о существовании абсолютного пространства, в теоретической механике, следуя Ньютону, делается предположение о существовании абсолютного времени, одинакового для всех точек как абсолютно неподвижной системы отсчета, так и любой подвижной системы отсчета независимо от характера ее движения. Все эти представления Ньютона о пространстве и времени были в своей основе материалистическими, поскольку пространство и время признавались им объективно существующими. Однако понятия пространства и времени устанавливались Ньютоном метафизически, так как он отрывал пространство и время от движущейся материи. Несмотря на метафизичность учения Ньютона о пространстве и времени, даже для случаев движения тел со скоростями, значительно меньшими скорости света, введенные им понятия пространства и времени являются полноценными и достаточно точными абстракциями реального пространства и реального времени. В определении механического движения, кроме понятий пространства и времени, содержится еще понятие о том, что движется, т. е. понятие о материальном объекте, имеющем массу*. В теоретической механике различают материальные объекты только по их геометрической форме, массе и по распределению массы в объемах этих материальных объектов, полагая, что все другие физические свойства одинаковы. Кроме того, в теоретической механике считают, что материальным объектам присуще такое свойство, в силу которого в одном и том же месте не могут находиться одновременно два или большее количество материальных объектов. В качестве материальных объектов в теоретической механике рассматриваются: абсолютно твердое тело, материальная точка и механическая система материальных точек или тел. Всякое реальное тело природы вследствие взаимодействия с другими материальными объектами, будет ли оно оставаться в покое или приходить в определенное движение, изменяет свою форму (деформируется). При этом величины этих деформаций зависят от материала тела, его геометрической формы и размеров, а также от действующих на тело сил. Учет этих деформаций имеет существенное значение при расчете прочности частей (деталей) различных инженерных сооружений или машин**. При этом для обеспечения необходимой прочности той или иной конструкции материал и размеры ее частей подбирают так, чтобы деформации при действующих силах были достаточно малы. Поэтому при изучении общих законов механического движения и общих условий равновесия твердых тел можно пренебрегать малыми деформациями этих тел и рассматривать их как недеформируемые, или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается неизменным. В дальнейшем при изучении теоретической механики будем рассматривать все тела как абсолютно твердые. Во многих случаях форма и размеры движущегося тела не играют существенной роли. Поэтому вводится понятие о материальной точке, не имеющей протяженности, но обладающей массой. К понятию материальной точки мы приходим, пренебрегая всеми размерами тела по сравнению с его расстоянием от других тел или по сравнению с размерами других входящих в изучаемую проблему тел. Под материальной точкой понимают тело (имеющее массу), размерами которого при изучении его движения (или равновесия) можно пренебречь. Например, при изучении движения Земли вокруг Солнца можно принять Землю за материальную точку с массой, равной массе Земли, ввиду того, что размеры Земли весьма малы по сравнению с ее расстояниями от Солнца, и поэтому ими можно пренебречь. Но в задаче о вращении Земли вокруг ее оси уже нельзя принять Землю за материальную точку, а нужно рассматривать ее как тело конечных размеров. Материальную точку можно рассматривать не только как абстрактный образ тела с массой, равной массе этого тела, но и как абстрактный образ части тела с массой, равной массе этой части. В самом деле, всякое тело можно мысленно разбить на отдельные части, размеры которых по всем направлениям малы по сравнению с размерами всего тела, и, следовательно, этими размерами можно пренебречь. Каждую такую отдельную столь малую часть тела можно принять за материальную точку. Отсюда следует, что всякое тело можно представить состоящим из материальных точек, характер связи между которыми зависит от свойств этого тела. При этом масса всего тела равна арифметической сумме масс всех материальных точек, входящих в состав этого тела. Если тело конечных размеров совершает поступательное движение, то все его точки движутся одинаково. Чтобы определить в этом случае движение тела, достаточно найти движение одной его точки – центра тяжести тела, предполагая при этом, что вся масса тела сосредоточена в этой точке. Поэтому поступательно движущееся тело всегда можно рассматривать как материальную точку, совпадающую с его центром тяжести и имеющую массу, равную массе этого тела. Таким образом, не обязательно понимать под материальной точкой тело очень малых размеров. Материальная точка – это тело (имеющее массу), вращательными движениями которого, по сравнению с поступательными, можно пренебречь. Заменяя тело материальной точкой, мы не только сохраняем за ним его массу, но также и способность взаимодействовать с другими материальными объектами. На чертеже материальная точка изображается геометрической точкой. Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой материальной точки или каждого тела зависит от положения и движения всех остальных. Определяющим признаком механической системы материальных точек или тел является наличие сил взаимодействия между отдельными материальными точками или телами системы. Классическим примером механической системы является наша солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения. Другим примером механической системы может служить любая машина или механизм, в которых все тела связаны силами взаимного давления или натяжения. Совокупность материальных точек или тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия, например группа летящих самолетов или летящий рой пчел, механическую систему не образует. В теоретической механике рассматриваются только механические системы материальных точек или тел. Для краткости часто механическую систему материальных или тел называют механической системой или просто системой. Если расстояние между двумя любыми материальными точками (или телами) механической системы не изменяется при движении или покое этой системы, то такая механическая система называется неизменяемой; в противном случае механическая система называется изменяемой. В частности, неизменяемой механической системой является абсолютно твердое тело. Примерами изменяемой механической системы могут служить упругие тела, а также механизмы, состоящие из твердых звеньев, перемещающихся относительно друг друга. Положение и движение механической системы относительно выбранной системы отсчета известно, если известно положение и, следовательно, по движение каждой материальной точки, принадлежащей этой механической системе относительно той же системы отсчета, и наоборот. Поэтому изучению движения механической системы должно предшествовать изучение движения одной материальной точки как простейшей механической системы. По характеру материальных объектов в теоретической механике различают механику материальной точки, механику абсолютно твердого тела и механику механической системы. Материальная точка, абсолютно твердое тело и механическая система – понятия отвлеченные, результат абстракции. Введение этих понятий в теоретическую механику вносит значительное упрощение в исследование механического равновесия и движения реальных материальных объектов. Метод абстракции, таким образом, играет в теоретической механике весьма важную роль. Применение метода абстракции, обобщение результатов опыта и непосредственных наблюдений позволили теоретической механике установить основные ее законы, или аксиомы. Из этих аксиом, соединенных с методами математического анализа, теоретическая механика получает все дальнейшие выводы о механическом движении и равновесии материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы. Достоверность теоретической механики зависит, таким образом, от достоверности ее аксиоматики, на которой она покоится, так как математические выводы из этой аксиоматики внести ошибок не могут. При этом не следует забывать, что аксиомы теоретической механики так же, как и ее основные понятия, имеют опытное происхождение. По характеру рассматриваемых задач теоретическую механику делят обычно на статику, кинематику и динамику. В статике рассматриваются вопросы об эквивалентности различных систем сил, приложенных к абсолютно твердому телу, т. е. вопросы о замене заданной системы сил другой, эквивалентной ей по механическому воздействию на данное твердое тело. Наряду с этим статика занимается также рассмотрением необходимых и достаточных условий равновесия различных систем сил, действующих на абсолютно твердое тело. При этом следует иметь в виду, что устанавливаемые в статике законы сложения сил и приведения любой системы сил к простейшему виду одни и те же как при равновесии твердого тела, так и при его движении. В кинематике рассматриваются общие геометрические свойства механического движения материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы независимо от действия на них сил. Наконец, в динамике изучаются общие законы механического движения материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы с учетом действия на них сил. Заметим, что динамика пользуется теми же абстрактными представлениями о материальных объектах, что и статика и кинематика, но в дополнение к ним рассматривает основную материальную характеристику материального объекта – его массу. Теоретическая механика является научной базой теории механизмов и машин, сопротивления материалов, теории упругости и пластических деформаций, гидравлики, гидромеханики и газовой динамики с их многочисленными приложениями в машиностроении, авиации, кораблестроении и других областях техники. Вместе с тем на базе теоретической механики продолжают успешно развиваться вопросы устойчивости движения механических систем, теории колебаний и теории гироскопа. Эти дисциплины также тесно связаны с теорией автоматического регулирования машин и производственных процессов. Астрономия, внешняя баллистика и физика своим современным состоянием также во многом обязаны теоретической механике. Роль и значение теоретической механики состоит не только в том, что она представляет собой одну из научных основ современной техники, но и в том, что ее законы и методы способствуют развитию точного естествознания в целом, а также выработке правильного материалистического мировоззрения. В настоящее время теоретическая механика, основанная на законах Галилея – Ньютона, называется классической механикой. Классическая механика имеет ограниченную область применимости. Последующее развитие науки показало, что для описания движения тел – порядка атомных и меньших размеров, а также для тел, размеры которых больше размеров атома, и движущихся со скоростями того же порядка, что и скорость света, – классическая механика оказалась непригодной. Изучение этих проблем является предметом релятивистской и квантовой, или волновой, механики. И релятивистская и квантовая механика являются как бы некоторым обобщением классической механики в разных направлениях, так что сама классическая механика является частным случаем каждой из них. Формулы, уравнения и закономерности классической механики могут быть получены из соответствующих соотношений релятивистской механики, если в них будем пренебрегать величиной отношения скорости тела к скорости света по сравнению с единицей. Результаты классической механики можно также получить из соотношений квантовой механики, если считать в этих соотношениях массу движущегося тела подавляюще большой по сравнению с массой электрона. В релятивистской механике пространство и время утрачивают последние черты той абсолютности, которой они обладали в классической механике. Последовательный анализ основных понятий релятивистской механики приводит к установлению взаимосвязи пространства, времени и движущейся материи. Таким образом, метафизическое представление Ньютона об абсолютном времени и пространстве, существующих независимо от движущейся материи и наряду с ней, заменяется в релятивистской механике представлением, выдвинутым диалектическим материализмом, рассматривающим пространство и время как объективные формы существования материи. В классической механике масса движущегося тела считалась постоянной величиной, не зависящей от скорости тела, в то время как релятивистской механикой было установлено, что масса тела не является постоянной и зависит от скорости тела. Релятивистская механика и квантовая механика не опровергли пригодности классической механики, а только уточнили область приложения классической механики. Эти новые механики лишь строго доказали, что предметом классической механики является изучение общих законов движения тел больших размеров (начиная с размера молекул) и движущихся медленно по сравнению со скоростями света. Очень сложная в математическом отношении форма, которую принимают усложняет законы методы релятивисткой исследования и квантовой движения всех механики, тел, излишне отличных от микрочастиц (электроны, позитроны и др.), при скоростях не близких к скорости света, т. е. движений, которые имели и имеют огромное значение в обычной технической практике и небесной механике. Поэтому классическая механика никогда не потеряет своего научного значения и практической ценности. В данном курсе рассматриваются проблемы только классической механики. 1.2 Сила, система сил, эквивалентная система сил и уравновешенная система сил В статике рассматриваются следующие две основные задачи: 1) сложение сил и приведение системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, к простейшему виду; 2) определение необходимых и достаточных условий равновесия действующих на абсолютно твердое тело систем сил. Все тела в той или иной степени деформируемы. В тех случаях, когда этими деформациями можно пренебречь, тело рассматривается как абсолютно твердое, т. е. предполагается, что расстояния между любыми его точками остаются неизменными. В статике рассматривают все тела как абсолютно твердые, но для краткости часто называют их твердыми телами или просто телами. Если данное тело может получить любое перемещение в пространстве, то такое тело называется свободным. Примером свободного тела может служить снаряд, выпущенный из дула орудия. Мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия, называется в механике силой. Если в результате действия одного тела на другое происходит изменение движения, в частности изменение покоя другого тела, то тогда говорят о динамическом проявлении силы. Например, в брошенном теле вследствие механического взаимодействия его с Землей происходит изменение движения, и, следовательно, мы наблюдаем динамическое проявление силы тяжести тела, с которой это тело притягивается к центру Земли. Если же в результате действия одного тела на другое не происходит изменения движения, в частности не происходит изменения покоя другого тела (вследствие механического взаимодействия этого тела еще и с другими телами), то в этом случае говорят о статическом проявлении силы. Например, если тело лежит на столе, то сила тяжести тела не вызывает изменения движения этого тела (в данном случае состояния покоя) вследствие механического взаимодействия тела с опорой (столом), и в этом случае мы наблюдаем статическое проявление силы тяжести тела. Понятие силы в механике имеет научную ценность потому, что ее можно измерять. Измерение силы в механике основано на сравнении сил. Если сравнивать динамическое или статическое проявление силы с проявлением силы, принятой за единицу измерения, то можно произвести динамическое или статическое измерение силы. При этом две сравниваемые силы считают равными, если их действия на тело в одних и тех же условиях одинаковы. За единицу силы в технической системе единиц (МКГСС) принимается сила в один килограмм (1 кг), в международной же системе единиц (СИ) за единицу силы принимается один ньютон (1 Н) (1 кг=9,81 Н, а 1 н=0,102 кг). Как известно из опыта, действие силы на тело вполне определяется численным значением (модулем), направлением и точкой приложения. Поэтому сила, действующая на тело, является величиной векторной. Для статического измерения сил служат известные из курса физики приборы, называемые динамометрами. Главную часть этих приборов составляет градуированная пружина. Принцип действия динамометра основан на том, что до известных пределов деформация пружины (растяжение или сжатие) пропорциональна силе, ее вызывающей, и исчезает по прекращении действия этой силы. При этом о модуле силы, приложенной к пружине, судят по величине растяжения или сжатия пружины. Такой способ измерения модуля силы основан, таким образом, на равновесии между приложенной силой, модуль которой измеряется, и силой упругости, развиваемой пружиной динамометра. Поэтому этот способ измерения модуля силы можно назвать статическим. Другой, динамический, способ измерения модуля силы будет указан в динамике. Кроме модуля силы, важно еще указать направление и точку приложения силы. Направление и точка приложения силы зависят от характера механического взаимодействия тел и их взаимного положения. Например, сила тяжести, с которой Земля действует на тело, направлена к центру Земли и приложена к центру тяжести тела. Силы давления двух прижатых друг к другу гладких тел направлены по нормали к поверхностям этих тел в точках их касания и приложены в этих точках и т. д. На практике сила давления всегда действует на некоторые поверхности, и о точке приложения силы можно говорить лишь условно, т. е. понятие точка приложения силы, в сущности, является абстракцией. Графически сила изображается направленным прямолинейным отрезком (со стрелкой), совпадающим по направлению с направлением силы (рисунок 1). Длина этого отрезка выражает в выбранном масштабе модуль силы, направление отрезка соответствует направлению силы, его начало совпадает с точкой приложения силы. Иногда на практике бывает удобно изображать силу так, что точка ее приложения является конец вектора силы – острие стрелки. Прямая СД, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Например, линия Рисунок 1 действия силы тяжести есть вертикаль, проходящая через центр тяжести тела. Силу, как и всякую векторную величину, будем обозначать какойнибудь буквой с чертой над ней, например F . Модуль данной силы, как и всякой другой векторной вели чины, будем обозначать той же буквой, но без черты, например F, или символом F . Теперь выясним понятие системы сил, механической эквивалентности систем сил, а также понятие системы взаимно уравновешивающихся сил. Совокупность сил, одновременно действующих на данное тело или систему тел, называется системой сил. Если одну систему сил, действующих на данное свободное тело, можно заменить другой системой сил, не изменяя при этом покоя или его движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил, а силы, совместное действие которых может быть заменено равнодействующей, называются составляющими. Таким образом, равнодействующая – это сила, которая одна может заменить действие данной системы сил на твердое тело. Нахождение равнодействующей называется сложением сил, а замену одной силы системой сил, производящей на тело то же действие, что и данная сила, называют разложением сил. В дальнейшем мы увидим, что не всякая система сил может быть заменена одной силой, и, следовательно, не всякая система сил имеет равнодействующую. Если под действием данной системы сил свободное тело не изменяет своего движения (выражение "тело не изменяет своего движения" надо понимать в том смысле, что это тело под действием данной системы сил движется так, как оно двигалось бы, если бы этой системы сил не было), или, в частности, продолжает оставаться в покое, то такая система сил называется системой взаимно уравновешивающихся сил, или уравновешенной системой, или системой, эквивалентной нулю. Иногда говорят, что эта система находится в равновесии. Сила, которая, будучи присоединена к некоторой системе сил, действующих на тело, приводит эту систему к равновесию, называется уравновешивающей силой данной системы сил. Очевидно, что в уравновешенной системе сил каждая из сил является уравновешивающей по отношению ко всем остальным. Под равновесием тела понимают состояние покоя этого тела по отношению к другим телам, играющим роль системы отсчета. Если систему отсчета, по отношению к которой изучается равновесие данного тела, можно считать неподвижной, то равновесие этого тела условно называют абсолютным, а в противном случае – относительным. В действительности все тела на Земле движутся вместе с Землей вокруг ее оси, вокруг Солнца и вместе с Солнцем в космическом пространстве. Поэтому абсолютного равновесия в природе нет. Однако часто, как уже говорилось во введении, при решении многих практических задач движение Земли не учитывают и считают Землю за неподвижную систему отсчета. Вследствие этого всякое тело, не движущееся относительно Земли, считают находящимся в состоянии абсолютного равновесия. В статике изучают только абсолютное равновесие тел. (В статике мы всегда будем пользоваться системой отсчета, неизменно связанной с Землей). Вопрос об относительном равновесии будет изучен в динамике. Ясно, что уравновешенность сил, приложенных к свободному телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела. В равновесии тело будет находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до приложения к нему уравновешенных сил. По известному из курса физики закону инерции следует, что если на тело не действуют никакие силы или если силы, действующие на него, взаимно уравновешиваются, то это тело или находится в покое, или движется по инерции. (При этом не следует думать, что движение тела по инерции может быть представлено только в виде поступательного, прямолинейного и равномерного движения. В динамике будет показано, что при отсутствии сил (или при их равновесии) тело может также находиться и в состоянии равномерного вращения. Движение тела по инерции в общем случае может быть представлено в виде комбинации двух одновременных движений: прямолинейного равномерного движения центра тяжести этого тела и равномерного вращения вокруг постоянно движущейся оси, проходящей через центр тяжести. При этом ось вращения может составлять любой угол с направлением движения центра тяжести этого тела). Поэтому под состоянием равновесия тела можно понимать не только состояние покоя, но и движение по инерции. Однако в статике мы под состоянием равновесия материальной точки или тела будем понимать только состояние покоя. 1.3 Аксиомы статики и некоторые следствия из них Изложение ньютоновских общих аксиом теоретической механики мы отложим до начала изложения динамики. Теперь же, приступая к изучению статики абсолютно твердого тела, ограничимся установлением частных аксиом, которые достаточны, чтобы обосновать на них статику, но недостаточны для обоснования всей теоретической механики. При этом в число аксиом статики войдет одна из ньютоновских общих аксиом, т. е. аксиома равенства действия и противодействия. С точки зрения логической строгости необходимо, чтобы число аксиом было минимальным, чтобы они были непротиворечивыми и независимыми. Таким образом, в основе статики лежит несколько аксиом, или истин, принимаемых без математических доказательств и подтверждаемых повседневным опытом. Все же остальные положения статики выводятся и строго доказываются, исходя из этих аксиом. Рисунок 2 Рисунок 3 Аксиома I. Свободное абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия (рисунок 2). Эта аксиома определяет простейшую уравновешенную систему сил. Опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, не может находиться в равновесии. Аксиома II. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю. Из этой аксиомы следует, что две системы сил отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу. Следствие I . Не изменяя действия данной силы на абсолютно твердое тело, точку приложения этой силы можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела. Доказывается это следствие на основании аксиом I и II. А именно, пусть дана сила F , приложенная в точке А рассматриваемого абсолютно твердого тела (рисунок 3, а). Согласно аксиоме II можно в произвольной точке В, взятой в этом же теле на линии действия силы F , приложить две равные по модулю и противоположно направленные по одной прямой силы F1 и F2 (рисунок 3, б). Подберем при этом силы F1 и F2 так, чтобы они подмодулю были равны заданной силе F . Тогда согласно аксиоме I силы F1 и F будут взаимно уравновешены. Согласно аксиоме II мы можем силы F1 и F отбросить. В результате остается одна сила F2 , приложенная в точке В (рисунок 3, в) и эквивалентная (сила F2 эквивалентна силе F => F2 ~ F – рисунок 3, в) прежней силе F , которая была приложена в точке А. Таким образом, следствие доказано. Так как точку приложения силы, действующей на твердое тело, можно помещать на линии действия где угодно, то точка приложения силы перестает быть характерным элементом силы, и поэтому говорят, что сила есть вектор скользящий. Следовательно, сила, действующая на твердое тело, определяется ее модулем, линией действия и направлением вдоль линии действия. Свобода переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия является характерным свойством только абсолютно твердого тела. В деформируемом теле такой перенос силы недопустим. Например, если вдоль стержня к двум концам его приложить две равные по модулю и прямо противоположные по направлению силы F1 и F2 , направленные внутрь стержня, то деформируемый стержень будет сжиматься (рисунок 4, а). Если же перенести эти силы вдоль линии их действия (рисунок 4, б) в соответственно противоположные концы стержня, то в новом своем положении те же силы F1 и F2 будут растягивать стержень. В этом случае говорят, что сила, приложенная к деформируемому телу, есть вектор приложенный (неподвижный). Этот пример показывает, что системы сил, эквивалентные в статическом смысле, могут быть не эквивалентны с точки зрения механики деформируемых тел. Следствие I I . Равнодействующая и уравновешивающая силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Докажем это следствие. Предположим, что сила R есть равнодействующая данной системы сил F1 , F2 , F3 ,…, Fn , действующих на абсолютно твердое тело (рисунок 5). Приложим к этому телу по линии действия равнодействующей равную ей по модулю, но направленную в противоположную сторону силу R . Силы R и R взаимно уравновешиваются по аксиоме I. Не нарушая механического состояния тела, мы можем заменить равнодействующую эквивалентной ей системой сил F1 , F2 , F3 ,…, Fn . А так как сила R уравновешивает равнодействующую R , то она будет уравновешивающей и для системы сил F1 , F2 , F3 ,…, Fn . Поскольку по условию сила R  равна по модулю и направлена противоположно силе R , то следствие II доказано. Из этого следствия вытекает, что нахождение силы, уравновешивающей данную систему сил, можно свести к нахождению равнодействующей этой системы сил. Аксиома III. Равнодействующая двух сил, приложенных, к телу в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой диагонали (рисунок 6, а). Рисунок 5 Рисунок 4 Параллелограмм, построенный на данных силах F1 и F2 , называется параллелограммом сил, а сам способ нахождения равнодействующей путем построения параллелограмма называется правилом параллелограмма сил. Рисунок 6 Здесь же необходимо равнодействующей двух сил F1 заметить, и F2 что при нахождении нет надобности строить весь параллелограмм (рисунок 6, а). Достаточно выполнить лишь следующее построение: из конца вектора первой силы F1 (рисунок 6, б) проводим вектор второй силы F2 . Вектор, соединяющий начальную и конечную точки полученной ломаной линии, изобразит, очевидно, по модулю и направлению равнодействующую R этих сил. Этот способ нахождения равнодействующей двух сил называется правилом треугольника сил. Равнодействующая R является геометрической (векторной) суммой сил F1 и F2 . Поэтому на основании аксиомы III имеем R  F1  F2 , где знак "плюс" обозначает операцию геометрического (векторного) сложения сил F1 и F2 , т. е. сложения этих сил по правилу параллелограмма (рисунок 6, а) или, что то же самое, по правилу треугольника (рисунок 6, б). Аксиома III позволяет нам рассмотреть два метода для отыскания равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке. Первый из них, называемый графическим методом сложения сил, требует только точного и аккуратного выполнения чертежа. Построив параллелограмм сил (рисунок 6, а) или треугольник сил (рисунок 6, б) в определенном масштабе и измерив в этом масштабе длину диагонали параллелограмма или длину замыкающей треугольника, мы найдем модуль равнодействующей силы. При этом направление этой равнодействующей силы определяется путем измерения углов  1 и  2 , которые она образует с составляющими силами F1 и F2 . Второй метод, называемый геометрическим, основан на применении правил геометрии и некоторых формул тригонометрии. Пользуясь этим методом, не следует стремиться точно построить чертеж, так как теперь он будет служить лишь для иллюстрации решения задачи о сложении двух сил, приложенных в одной точке. Из треугольника АВО согласно теореме косинусов найдем модуль равнодействующей R  F12  F22  2 F1 F 2cos(    ) , где перед корнем берем знак "плюс", так как модуль вектора всегда число положительное. Так как cos(    )   cos  , то предыдущее равенство будет иметь вид R  F12  F22  2 F1 F 2cos  (1) где  – угол между линиями действия сил F1 и F2 . Определим теперь направление равнодействующей. По теореме синусов из того же треугольника АВС будем иметь F1 F2 R .   sin  2 sin  1 sin(    ) Но sin(    )  sin  , следовательно, F1 F2 R .   sin  2 sin  1 sin  (2) Формула (2) позволяет найти синусы углов между равнодействующей и составляющими силами, а следовательно, и сами эти углы. Пользуясь I и III аксиомами, докажем теперь следующую теорему об уравновешивании двух сил, линии действия которых пересекаются в одной точке третьей силой: если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил обязательно пересекаются в одной точке. Рисунок 8 Рисунок 7 Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что данное абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием системы трех сил F1 , F2 , F3 , т. е. эта система сил эквивалентна нулю. Пусть дано, что линии действия сил F1 и F2 пересекаются в точке О, а линия действия силы F3 неизвестна (рисунок 7). Перенесем точки приложения сил F1 и F2 по линиям действия этих сил в точку О. Построив на этих силах как на сторонах параллелограмм, заменим эти силы согласно аксиоме III одной равнодействующей R  F 1  F 2 (рисунок 8). В результате получим систему сил R , F3 , эквивалентную прежней системе сил F1 , F2 , F3 , и находящуюся по условию в равновесии. Но, согласно аксиоме I, это возможно только в том случае, если силы R и F3 , лежат на одной прямой, чем и доказывается теорема. Эта теорема будет иметь широкое применение при решении задач. Заметим, что данная теорема дает лишь необходимое условие равновесия, но недостаточное, ибо ясно, что не всякие три силы, линии действия которых пересекаются и лежат в одной плоскости, будут находиться в равновесии. Аксиома IV. Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Эта аксиома называется законом равенства действия и противодействия. Смысл аксиомы IV состоит в том, что если тело А действует на тело В с силой F B , то одновременно тело В действует на тело А с силой F A   F B (рисунок 9). Одна из этих сил, например F A , получила название "действие", а другая F B – "противодействие". Нужно запомнить, что силы FA и FB не образуют уравновешенной системы сил, так как Рисунок 9 они приложены не к одному, а к двум разным телам. Из этой аксиомы следует, что в природе не существует одностороннего действия силы. Аксиома V. Если деформируемое тело находится под действием некоторой системы сил в равновесии, то равновесие не нарушится и в том случае, если это тело отвердеет (станет абсолютно твердым). Эту аксиому называют принципом отвердевания. Из принципа отвердевания следует, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для абсолютно твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего деформируемого тела. (Достаточные условия равновесия деформируемых тел устанавливаются сопротивления материалов и теории упругости). в курсах Например, твердый брусок (рисунок 10, а, б) находится в равновесии Рисунок 10 Рисунок 11 под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль оси бруска друг к другу либо друг от друга, а нить, соответствующая этому бруску, находится в равновесии только под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль нити друг от друга (рисунок 11). Очевидно, что под действием сил, направленных друг к другу, нить сомнется. Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела и статикой деформируемого тела. Этот принцип позволяет результаты, изложенные в статике абсолютно твердого тела, перенести затем не только на исследование равновесия материалов) деформируемых и целых тел (сопротивление инженерных сооружений (строительная механика), но и на равновесие жидкости (гидростатика). 1.4 Исследование связей и установление направления их реакций Тело, некоторым перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Всякое тело, ограничивающее свободу перемещения данного твердого тела, является по отношению к нему связью. Рисунок 12 В статике абсолютно твердого тела связи, налагаемые на рассматриваемое тело, чаще всего встречаются в виде неподвижных поверхностей, линий и точек, а также в виде гибких нитей. Таким образом, твердое тело является несвободным, если на это тело наложены связи. Например, висящее на гибкой нити тело будет несвободным (рисунок 12), так как на него наложена связь в виде нити и оно не может перемещаться вертикально вниз по направлению вытянутой нити, не разорвав ее. Если на твердое тело не наложены никакие связи, то такое тело очевидно является свободным. Если тело не может покинуть связь, то эта связь называется удерживающей. Примером может служить случай шарика с отверстием, надетого на проволоку. Если же тело при некоторых перемещениях может покинуть связь, то такая связь называется неудерживающей. Таким, например, случаем является тело, лежащее на столе. В этом случае тело может перемещаться по столу – связь не нарушается; но можно поднять тело, сняв его со стола, – при таком перемещении связь нарушается. Следовательно, на тело, лежащее на столе, наложена неудерживающая связь. При этом не считается возможным, например, такое движение, при котором тело пробивает доску стола, осуществляющую связь, так как считается, что связи физически неразрушимые. Сила, характеризующая действие связи на тело, называется силой реакции связи. Если считать силу, с которой тело действует на связь, действием, то сила реакции связи является противодействием и приложена к телу. Эти силы нельзя считать уравновешенными, хотя они и равны по модулю и направлены противоположно, так как точки приложения этих двух сил принадлежат различным телам. Все силы, действующие на тело, можно разделить на две группы: силы активные (сила тяжести, сила упругости сжатой или растянутой пружины и т. п.) и силы реакций связей. При этом активными силами следует считать все силы, не являющиеся силами реакций связей. Характерной особенностью активных сил является то, что модуль и направление каждой активной силы наперед известны и непосредственно не зависят от действия других, приложенных к данному телу сил, а также от движения этого тела и от характера наложенных на него связей. Силы же реакций связей зависят от действия приложенных к нему активных сил, а также от движения этого тела и от характера наложенных на него связей. Силы реакций связей возникают только тогда, когда тело, на которое наложены связи, под действием активных сил оказывает давление на эти связи. Как только прекращаются эти давления на связи, перестают действовать на тело и силы реакций связей. В этом смысле силы реакций связей называются пассивными силами. (Пассивные силы не могут сами вызывать движение тела, в отличие от сил активных). Для определения силы реакции связи необходимо знать ее модуль, направление и точку приложения. Модуль каждой силы реакции связи всегда зависит от действующих на тело активных сил и является наперед неизвестным. Направление же сил реакций связей известно лишь для некоторых типов связей. Если данная связь препятствует перемещению тела только в одном каком-нибудь направлении, то направление ее реакции противоположно этому направлению. Если же данная связь препятствует перемещениям тела по многим направлениям, то направление силы реакции связи наперед неизвестно и должно (так же, как и модуль силы реакции) определяться в результате решения соответствующей задачи статики. Точка приложения силы реакции связи, как правило, бывает известна. Аксиома VI. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие соответствующими силами реакций связей. Эта аксиома называется аксиомой связей, или принципом освобождаемости от связей. Аксиома связей дает возможность применить к несвободному телу условия равновесия, справедливые для свободного тела. Для этого следует мысленно отбросить связи, наложенные на тело, заменив их действие соответствующими силами реакций связей. Затем нужно рассмотреть равновесие этого несвободного тела как тела свободного под действием активных сил и сил реакций связей. Определение модулей и направлений сил реакций связей имеет первостепенное практическое значение, так как, зная силы реакций, согласно аксиоме IV, будем знать и силы давления на связи. А это, в свою очередь, позволит, пользуясь законами сопротивления материалов, определить, выдержат ли связи данные давления или нет, т. е. рассчитать прочность машины, конструкции или сооружения. При решении некоторых задач на равновесие тела можно сразу указать направление сил реакций связей. При этом следует лишь определить модули сил реакций связей в ходе решения статических задач. Для правильного направления сил реакций связей укажем несколько примеров наиболее часто встречающихся связей и установим возможное Рисунок 13 направление их сил реакций. 1. Связь посредством осуществляется идеально гладкой неподвижной плоскости или поверхности (рисунок 13). Гладкой называют такую плоскость или поверхность, на которой можно пренебречь трением. Так как такая связь не препятствует скольжению по ней поверхности тела и препятствует только перемещению, направленному по общей нормали к поверхности тела и к связи, то ее сила реакции N A направлена по этой нормали (Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный через точку касания. При этом под касательной плоскостью понимают плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через данную точку), и приложена к Рисунок 15 Рисунок 14 телу в точке касания. Поэтому эту реакции называют нормальной силой реакции. Модуль нормальной реакции равен давлению, производимому телом на связь, и зависит от активных сил, приложенных к телу. Заметим, если на идеально гладкую поверхность, осуществляющую связь, опирается в некоторой точке шар, то сила реакции связи направлена по общей нормали к поверхности шара и к связи в точке их касания и проходит через центр шара. Если поверхность данного тела или поверхность тела, осуществляющего связь, имеет в месте касания заострение, то в этих случаях проведение общей нормали представляет собой операцию неопределенную. В этом случае сила реакции должна быть направлена по нормали к той поверхности, для которой ее проведение является операцией определенной, и приложена к телу в точке касания (рисунок 14, а, б; рисунок 15). (Предполагается, что трение между телом и связью нет). 2. Связь осуществляется посредством гибкого тела (нить, канат, и т. п.). Такая связь называется гибкой. Если на тело наложена гибкая связь, то сила реакции приложена к телу в точке прикрепления гибкой связи. Сила реакции гибкой связи направлена, вообще говоря, по касательной к связи в точке ее прикрепления к телу. В частности, сила реакции гибкой связи Т А (см. рисунок 12) может иметь линией действия ось этой связи. 3. Связь осуществляется посредством неподвижного цилиндрического шарнира или подшипника (рисунок 16). При наложении такой связи рассматриваемое тело неизменно скрепляется с втулкой, которая надевается на болт, неподвижно прикрепленный к соответствующей опоре (на рисунке 16 показано, что втулка имеет цилиндрическое отверстие, диаметр которого несколько больше диаметра болта). Рисунок 16 Трением между поверхностями втулки и болта во многих случаях можно пренебречь. Связь, осуществляемая посредством такого идеального шарнира, не препятствует ни повороту тела вокруг оси болта, ни его перемещению вдоль этой оси (ось болта перпендикулярна к плоскости рисунка). Эта связи препятствует лишь перемещению тела в направлении нормали к поверхности втулки и болта, и, следовательно, ее реакция может быть направлена только по этой нормали. Но так как втулка в зависимости от ее расположения и активных сил, приложенных к неизменно скрепленному с ней телу, может прижиматься к любой точке болта, то указать заранее направление реакции даже такого идеального шарнира нельзя. Можно только утверждать, что сила реакции идеального неподвижного цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т. е. в плоскости Axy (рисунок 16, б). В этом случае линия действия реакции R A связи всегда проходит через центр шарнира, но модуль R A и направление (угол  ) этой реакции неизвестны. Поэтому при освобождении тела от шарнирной связи силу реакции R A раскладывают на две составляющие X A и Y A . Эти составляющие всегда направляют в сторону положительного направления осей координат Ax и Ay . Если в результате решения задачи для X A и Y A получатся отрицательные значения, то это означает, что в действительности составляющие X A и Y A реакции R A направлены в стороны, противоположные положительному направлению осей координат. Модуль и направление полной реакции R A цилиндрического шарнира определяется по формулам:   XA Y RA  X  Y ; cos( R ,i )  ; cos( R , j )  A , RA RA 2 A где: i , j 2 A – единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат. Однако можно в точно некоторых указать реакции случаях направление неподвижного цилиндрического шарнира. Например, пусть балка АD весом P , закрепленная на неподвижном цилиндрическом шарнире A, опирается в точке В на неподвижную опору, как показано на рисунке 17. Реакция N B неподвижной опоры направлена перпендикулярно к Рисунок 17 балке АD. Реакцию неподвижного цилиндрического шарнира А обозначим через R A . Так как три силы P , N B и R A взаимно уравновешиваются, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке (это следует из доказанной выше теоремы о трех уравновешивающихся силах), поэтому линия действия реакции ка неподвижного цилиндрического шарнира А проходит через точку пересечения О линий действия сил P и N B . Следовательно, эта реакция R A направлена по прямой ОА, соединяющей точку О с неподвижной точкой А (с неподвижным болтом шарнира, рассматриваемым как точка). 4. Связь осуществляется посредством сферического шарнира (рисунок 18). Сферический шарнир представляет собой шар, который может вращаться как угодно внутри сферической полости. Направление реакции в этом случае заранее указать нельзя, даже если трение в шарнире пренебрежимо мало. Реакция связи, осуществленной в виде сферического шарнира, может быть направлена по любой наперед неизвестной нормали к поверхности этого шарнира. Если на тело, неизменно скрепленное со сферическим шарниром А (рисунок 19), действует произвольная пространственная система сил (линии действия такой системы расположены произвольным образом в различных плоскостях), F1 , F2 ,…, Fn , то при отыскивании реакции сферического шарнира R A эту неизвестную по модулю и направлению реакцию раскладывают по трем осям координат на три составляющие X A , Y A и Z A . При этом всегда направляют составляющие реакции R A в сторону положительного направления осей координат. Если в результате решения задачи модуль какой-нибудь из составляющих будет иметь отрицательное значение, то фактически эта составляющая направлена в сторону, противоположную направлению соответствующей оси координат. Рисунок 19 Рисунок 18 Модуль и направление полной реакции сферического шарнира находятся по формулам:  RA  X  Y  Z ; cos( R A ,i )  2 A 2 A 2 A XA ; RA   YA Z ; cos( R A ,k )  A cos( R A , j )  RA RA где: i , j , k – единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат. 5. Связь осуществляется посредством подпятника. Подпятник В (рисунок 20) представляет собой соединение цилиндрического шарнира с опорной плоскостью, не позволяющей опускаться телу, на которое эта связь наложена. Реакция подпятника складывается из нормальной реакции опорной плоскости и реакции цилиндрического шарнира. Если две какие-нибудь точки данного тела неподвижно закрепим при помощи подпятника и подшипника, то такое тело может вращаться вокруг оси, проходящей через эти две неподвижные точки. Предположим, что к телу, ось которого может вращаться в подпятнике В и в подшипнике А, приложена произвольная пространственная система сил F1 , F2 ,…, Fn (рисунок 20). Так как подшипник А (цилиндрический шарнир) допускает скольжение тела в вертикальном направлении, то его полная реакция не будет иметь вертикальной составляющей и разложится лишь на две составляющие X A и Y A . Реакция же подпятника В дает в этом случае три составляющие X В , Y В и ZВ, направленные по трем координатным осям ( X В , Y В – реакции цилиндрического шарнира, ZВ – нормальная реакция опорной плоскости). В случае рассматриваемое действия тело на произвольной плоской системы сил (линии действия Рисунок 20 сил такой системы произвольным плоскости) расположены образом в направление одной реакции подпятника и подшипника будет несколько иное. В этом случае полная реакция подпятника В раскладывается только на горизонтальную X В и вертикальную Y В составляющие. Подшипник А даст при этом только горизонтальную реакцию X A , перпендикулярную к оси вращения. 6. Связь осуществляется посредством невесомого твердого стержня (рисунок 21). Предположим, что невесомый (под невесомым стержнем понимают такой стержень, весом которого по сравнению силами, действующими на всю конструкцию, можно пренебречь) абсолютно твердый прямолинейный стержень АВ (рисунок 21, а) соединен своими концами с данным телом, равновесие которого мы рассматриваем, и с другим какимнибудь телом посредством идеальных (лишенных трения) шарниров А и В. При этом никакие активные силы к этому стержню не приложены. Шарнирные соединения концов стержня называются узлами. Найдем направление реакции, например, стержня АВ. Если вся рассматриваемая Рисунок 21 конструкция (рисунок 21, а) находится в равновесии, то, следовательно, в равновесии находится и сам стержень АВ. Мысленно отделяем стержень АВ от остальной части конструкции (отбрасываем связи-шарниры) и, чтобы не нарушилось его равновесие, прикладываем к обоим концам стержня АВ силы реакции отброшенных шарниров. Так как выделенный невесомый стержень АВ, рассматриваемый как свободное тело, находится в равновесии под действием только двух сил – реакций шарниров А и В, то по аксиоме I эти реакции S  3 и S 3 равны по модулю, направлены в противоположные стороны и действуют по одной прямой, соединяющей центры этих шарниров, т. е. по продольной центральной оси стержня (рисунок 21 б, в). В зависимости от направления реакции отброшенных шарниров стержень АВ либо растягивается (рисунок 21, б), либо сжимается (рисунок 21, в). Заметим, что на основании аксиомы IV сила реакции S 3 стержня АВ на шарнир А, приложенная к шарниру А (рисунок 21, а), равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции S  3 шарнира А на стержень АВ (рисунок 21, б, в). Поэтому сила реакции S 3 стержня АВ на рассматриваемое тело также направлена по продольной центральной оси стержня аналогично S 1 и S 2 (рисунок 21, а). При этом сила реакции направлена или от узла стержня, если воспринимает растягивающее усилие, или к узлу стержня, если последний подвергается сжатию. Во многих задачах нельзя заранее сказать, работает стержень на сжатие или на растяжение. Поэтому при решении задачи на равновесие силу реакции стержня направляют от узла к середине стержня, т. е. предполагают, что стержень работает на растяжение. Результат решения задачи покажет, будет ли это так. Если значение силы реакции получится положительным, то стержень действительно работает на растяжение, а если отрицательным, то стержень фактически сжимается. Рисунок 22 7. Связь осуществляется посредством негладкой неподвижной поверхности (рисунок 22, а, б). До сих пор мы рассматривали связи, которые осуществлялись действительности (шероховатыми). посредством же абсолютно реальные Негладкая гладких поверхности поверхность не поверхностей. бывают только В негладкими препятствует перемещению, нарушающему связь, но и оказывает некоторое сопротивление перемещению по этой поверхности. Это сопротивление тоже представляет некоторую реакцию, направленную по касательной плоскости к поверхности и называемую силой трения скольжения. Сила трения скольжения направлена в сторону, противоположную той, в которую двигают или стремятся сдвинуть тело приложенные к нему активные силы. Как и всякая реакция связи, сила трения определяется теми активными силами, которые действуют на рассматриваемое тело*. Следовательно, реакция негладкой неподвижной поверхности имеет две составляющие: одну – нормальную к поверхности, осуществляющей негладкую связь, а другую – лежащую к общей касательной плоскости к поверхности тела и поверхности, осуществляющей негладкую связь. Первая составляющая – формальная сила реакции – на рисунке 22 а, б обозначена через N A и N B , а вторая составляющая – сила трения скольжения – на тех же рисунках обозначена через F A и F B . Рисунок 23 Хотя идеально гладких поверхностей, а следовательно, и связей без трения в действительности не существует, но во многих случаях практики величина силы трения может быть настолько малой, что ею можно пренебречь и практически считать связи идеально гладкими. Примером такой связи является часто применяемая в мостовых и других конструкциях опора на катках (рисунок 23). Подвижность катка настолько велика, и, следовательно, сила трения настолько мала, что можно считать эту связь препятствующей лишь перемещению, перпендикулярному к опорной плоскости. Поэтому эта связь характеризуется только одной нормальной реакцией N A . Глава 2. Приведение пространственной и плоской систем сходящихся сил к равнодействующей 2.1 Геометрический метод определения равнодействующей пространственной и плоской систем сходящихся сил Система сил, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости, но пересекаются в одной точке, называется пространственной системой сходящихся сил. Система же сил, линии действия которых лежат в одной плоскости, и пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящихся сил. Если мы перенесем точки приложения A1 , A2 ,…, An всех сил F1 , F2 ,…, Fn данной пространственной плоской или системы сходящихся сил в общую точку О пересечения линий действий этих сил (рисунок 24, а, первому б), то согласно следствию из аксиом I и II действие этой Рисунок 24 системы сил на абсолютно твердое тело не изменится. Таким образом, любую систему сходящихся сил можно заменить эквивалентной системой сил, приложенных в одной точке. Всюду в статике, а также и в динамике мы будем иметь дело со случаями, когда к телу приложена какая-нибудь система сил. Мы увидим, что сложную систему сил можно заменить по определенным правилам простой системой, действие которой на тело будет таким же, как и действие сложной системы сил. Эта замена сложной системы сил простой системой называется приведением системы сил к простейшей, ей эквивалентной. Если система сил приводится только к одной силе, ей эквивалентной, то эта одна сила называется равнодействующей системы сил, а приведение системы сил называется в этом случае сложением сил. Обратный процесс носит название разложения сил. В этой главе прежде всего рассмотрим пространственную систему сходящихся сил, действующих на тело, с целью замены этой системы одной равнодействующей и, в частности, с целью нахождения необходимого и достаточного условия равновесия этой системы сил. Одновременно рассмотрим указанные две основные задачи статики (приведения и равновесия) и для плоской системы сходящихся сил. Далее мы рассмотрим более трудные задачи приведения и равновесия различных систем сил, требующих более сложных методов и новых понятий. Предположим, что к точке А абсолютно твердого тела приложены, например, четыре силы F1 , F2 , F3 , F4 , линии действия которых не лежат в Рисунок 25 одной плоскости (рисунок 25, а). Постараемся установить, что эта пространственная система сходящихся сил приводится только к равнодействующей. Для этого будем складывать силы F1 , F2 , F3 , F4 последовательно, пользуясь уже установленным нами для сложения двух сходящихся сил правилом силового треугольника. Сначала сложим по этому правилу какие-либо две из данных сил, например силы F1 и F2 , для чего из конца вектора силы F1 (точки В) проведем вектор BC , равный силе F2 . Равнодействующая R 12 сил F1 и F2 изобразится в выбранном масштабе замыкающей стороной треугольника, т. е. вектором AC . Сложим поэтому же правилу силы R 12 и F3 , для чего из точки С проведем вектор CD , равный силе F3 , и соединим точки А и D. Вектор AD представляет в выбранном масштабе равнодействующую R 123 сил R 12 и F3 , т. е. заменяет собой действие сил F1 , F2 , F3 . Затем сложим силы R 123 и F4 . Для этого проводим из точки D вектор DE , равный силе F4 , и соединяем прямой точки А и Е. Вектор AE , представляя в выбранном масштабе равнодействующую R сил R 123 и F4 будет, очевидно, служить и равнодействующей всей данной пространственной системы сходящихся сил (рисунок 25, а). Процесс определения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил удобнее вести, как это видно из рисунка 25, а, несколько иным путем (рисунок 25, б). Из конца вектора силы F1 (точки В) проводим вектор BC , равный силе F2 . Из конца этого вектора (точки С) проводим вектор CD , равный силе F3 . Из конца этого вектора (точки D) проводим вектор DE , равный силе F4 . Полученный многоугольник AВСДЕ называется силовым многоугольником. Стороны этого многоугольника, равные заданным силам и одинаково с ними направленные, называются составляющими силами. Вектор АE , соединяющий начало А первой силы и конец Е последней силы и направленный навстречу составляющим силам, называется замыкающей стороной силового многоугольника. Поэтому можно сказать, что равнодействующая пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил изображается в выбранном масштабе по модулю и по направлению замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах (правило силового многоугольника). Если в точке А тела приложены три силы F1 , F2 , F3 (рисунок 26), линии действия которых не лежат в одной плоскости, то равнодействующая R этой пространственной системы сходящихся сил изобразится по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, и будет приложена в той же точке А (правило параллелепипеда сил). В самом деле, для трех сил параллелепипеда F1 , есть F2 , F3 диагональ АD соответствующего замыкающая сторона АD построенного многоугольника этих сил АВСD. Необходимо иметь в виду, что силовой многоугольник, при получающийся определении равнодействующей пространственной системы сходящихся сил (при любом числе сил), не будет плоским, так как линии действия сил этой системы Рисунок 26 Полученное правило не лежат в одной плоскости. определения равнодействующей системы сходящихся сил справедливо при любом числе сил, входящих в состав данной системы. Нахождение равнодействующей системы сходящихся сил по правилу силового многоугольника называется векторным или геометрическим сложением сил. Нужно заметить, что порядок, в котором производится векторное, или геометрическое, сложение сил, безразличен: при изменении порядка слагаемых сил замыкающая сторона силового многоугольника не изменит ни своего модуля, ни своего направления. Таким образом, мы доказали следующую теорему: пространственная и, следовательно, плоская система сходящихся сил в общем случае эквивалентна одной силе, являющейся равнодействующей, которая приложена в точке пересечения линий действия всех этих сил и равна их векторной (геометрической) сумме: R  F 1  F 2  ...  F n . Для обозначения векторной (геометрической) суммы сходящихся сил F1 , F2 ,…, Fn будем пользоваться обычным знаком  (сигма): n R  Fi , (1) i 1 где знак n  обозначает суммирование стоящих справа от него отмеченных i 1 индексом i сил по всем последовательным значениям этого индекса от i  1 до i  n . Эту же теорему, но применительно к плоской системе сходящихся сил, можно сформулировать аналогичным образом. Однако при этом нужно указать, что линия действия равнодействующей плоской системы сходящихся сил лежит в той же плоскости, в которой расположены линии действия всех сил этой системы. 2.2 Условие равновесия пространственной и плоской систем сходящихся сил в геометрической форме Пусть на свободное тело действует пространственная (или плоская) система сходящихся сил F1 , F2 ,…, Fn (рисунок 27, а). Сложив по правилу силового многоугольника n  1 из этих сил, мы приведем данную систему сходящихся сил к системе двух сил R 1 и Fn , эквивалентной данной системе F1 , F2 ,…, Fn . Но из аксиомы I известно, что две силы R 1 и Fn , приложенные к свободному абсолютно твердому телу, находятся в равновесии в том и только в том случае, если эти силы имеют равные модули и направлены по одной прямой в прямо противоположные стороны ( R 1   F n ), т. е. если их равнодействующая R 1  F n  R равна нулю. Таким образом, необходимым и достаточным условием равновесия пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил является равенство нулю равнодействующей R этой системы сил, т. е. R  R1  F n  F 1  F 2  F 3  ...  F n  0 , или n R  Fi 0. (1) i 1 Это векторное равенство называют векторным условием равновесия пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил. Геометрически это условие выражается требованием, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, замыкался сам по себе. Рисунок 27 Заметим, что в замкнутом силовом многоугольнике конец вектора последней силы Fn совпадает с началом вектора первой силы F1 , а стрелки векторов всех сил указывают одну и ту же сторону обхода периметра силового многоугольника (рисунок 27, б). Таким образом, мы приходим к следующему геометрическому (или графическому) условию равновесия: для равновесия пространственной, а также плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на векторах слагаемых сил этой системы, был замкнут. 2.3 Разложение силы на сходящиеся составляющие Разложить данную силу на две или несколько сходящихся составляющих сил значит найти такую систему двух или нескольких сходящихся сил, для которой данная сила является равнодействующей. Разложение силы по двум заданным направлениям. Пусть, например, требуется разложить на две сходящиеся силы силу F , модуль и направление которой заданы. Возьмем два произвольных направления ОМ и ОN и построим вектор OA , изображающий в некотором масштабе данную силу F . Из точки А проведем прямые АВ и АС, соответственно параллельные прямым ОN и ОМ (рисунок 28). Получается параллелограмм ОВАС, для которого сила F является диагональю. Векторы ОВ и ОС дают в том же масштабе составляющие силы, равнодействующая которых равна F . Взяв два других произвольных направления ON 1 и OM 1 и аналогичным образом построив новый параллелограмм OB1 AC1 , мы получим другие составляющие силы OB1 и OC1 , дающие в сумме ту же самую равнодействующую. Таким образом, по данной силе F , очевидно, можно построить бесчисленное множество параллелограммов сил, и, следовательно, задача о разложении данной силы F на две сходящиеся составляющие силы является в такой постановке неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании двух дополнительных условий. Рисунок 28 Рисунок 29 Такими дополнительными условиями могут, например, быть: 1) задание двух направлений, по которым должны действовать составляющие; 2) задание модулей обеих составляющих сил; 3) задание модуля одной составляющей силы и направление другой. Рассмотрим первый случай. Разложим заданную силу F (рисунок 28) на две сходящиеся составляющие силы по направлениям, параллельным данным прямым ОN и ОМ (линия действия силы и эти прямые лежат в одной плоскости). Задача сводится к построению такого параллелограмма, у которого диагональ будет изображать силу F , а стороны будут параллельны прямым ОМ и ОN. Для решения задачи проводим через начало и конец вектора силы F прямые, параллельные ОN и ОМ. При этом стороны таким образом построенного параллелограмма ОВ и ОС, направление которых совпадает с заданными направлениями искомых составляющих сил, дадут нам эти искомые составляющие силы в том же масштабе, в каком отложена данная сила F . Два последних случая предоставляем читателю рассмотреть самостоятельно. Разложение силы по трем заданным направлениям. Исходя из правила параллелепипеда сил, можно решить задачу о разложении данной силы F на три сходящиеся силы по трем заданным направлениям ОN, ОМ и OL, не лежащим в одной плоскости (рисунок 29). Для этого, очевидно, достаточно построить параллелепипед, ребра которого ОА, ОВ и ОС имели бы заданные направления, а диагональю ОD являлась бы заданная сила F . При этом ребра этого параллелепипеда ОА, ОВ и ОС дадут нам модули искомых составляющих данной силы F в том же масштабе, в каком отложена сила F . 2.4 Проекции силы на ось и на плоскость Проекция силы на ось. Аналитический метод решения задач статики основан на понятии о проекции силы на ось. Пусть мы имеем силу F , приложенную в точке А тела, и некоторую ось х, положительное направление которой будем считать от точки а в ту сторону, где стоит буква х. Предположим, что линия действия силы F и ось Рисунок 30 х лежат в одной плоскости (проекция силы на ось, расположенную любым образом, находится аналогично). Опустим из начала и конца вектора силы F на ось х перпендикуляры Аа и Вb (рисунок 30, а). Взятая с соответствующим знаком длина отрезка аb называется проекцией силы F на ось х. Проекция силы имеет знак "плюс", если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси (рисунок 30, а), и знак "минус", если в отрицательном (рисунок 30, б). Из этого определения следует, что проекция силы на ось является величиной скалярной. Проекцию силы на ось будем обозначать той же буквой, которой обозначена сила, но со знаком внизу, указывающим наименование оси проекций (например, F x и F 1 x , или прописной буквой X и X 1 ). Таким образом, Fx  X  ab ; F1 x  X 1  ab1 . Если провести через начало вектора силы прямую x , параллельную оси х, то легко видеть, что ab  AC  F cos  1 , ab1  AC1   F1 cos   F1 cos  1 Отсюда Fx  X  F cos  , F1 x  X 1  F1 cos  1 , т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением, оси проекций. Проекция силы на плоскость. Проекцией силы F на плоскость Oxy называется вектор F xy  ab , заключенный между Рисунок 30 (1) проекциями начала и конца вектора силы F на эту плоскость (рисунок 31). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Oxy. Модуль проекции силы на плоскость определяется по формуле Fxy  F cos  где  – угол между направлением вектора силы F и ее проекции F xy на плоскость Oxy. Заметим, что для нахождения проекции силы F , например на ось х, можно сначала найти ее проекцию на плоскость Oxy, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость F xy . спроектировать на данную ось: Fx  Fxy cos   F cos  cos  . 2.5 Определение силы по ее проекциям на координатные оси Если сила и ось проекций заданы, то проекция силы на ось определяется единственным образом. Но задание одной проекции силы еще не определяет саму силу, так как различные силы могут иметь одинаковые проекции на одну и ту же ось (рисунок32, а)- Если линия действия силы F расположена в координатной плоскости Оху (рисунок 32, б), то для определения этой силы нужно знать ее проекции Fx и Fy на две прямоугольные декартовы оси координат Ох и Оу Рисунок 32 (аналитический способ задания силы). В этом случае модуль силы F численно равен диагонали прямоугольника, длины сторон которого численно равны абсолютным значениям проекций на координатные оси Ох и Оу. Отсюда следует, что модуль силы F равен F  Fx2  Fy2 , (1) где перед корнем всегда надо брать знак "плюс", так как модуль силы есть число арифметическое. Направление силы F определяется из равенств:    Fx    Fy cos F ,i   ; cos F , j   .   F   F (2) Покажем теперь, что сила F будет вполне определена, если будут известны ее проекции Fx , Fy , Fz , на три прямоугольные декартовы оси координат Ох, Оу и Оz (рисунок 33). В самом деле, из формулы (1, §7) следует, что          Fx  F cos F ,i  ; Fy  F cos F , j  ; Fz  F cos F ,k  .       Отсюда находим косинусы углов между вектором (3) силы и положительными направлениями осей проекций:    Fx    Fy    Fz cos F ,i   ; cos F , j   ; cos F ,k   ,   F   F   F (4) которые называются направляющими косинусами. Возводя равенства (3) почленно в квадрат и складывая их, находим модуль силы F по формуле: F  Fx2  Fy2  Fz2 , (5)          cos 2  F ,i   cos 2  F , j   cos 2  F ,k   1 .       (6) так как Рисунок 33 Рисунок 34 Формулы (4) и (5) позволяют, зная проекции силы на оси координат, найти ее углы с осями и модуль, т. е. определить силу. Заметим, что в формуле (5) перед корнем всегда берется знак "плюс", так как эта формула определяет модуль силы. Из формулы (6) следует, что из трех направляющих косинусов независимыми являются только два. Поэтому нельзя задавать произвольно три угла F ,i , F , j и F ,k образуемых силой F с координатными осями Ох, Оу и Оz. Докажем теперь следующую теорему о проекции равнодействующей на ось: проекция равнодействующей системы сходящихся сил (безразлично, пространственной или плоской) на какую-либо ось равна алгебраической сумме : проекций составляющих сил на ту же ось. В самом деле, положим, что на точку А тела одновременно действуют сходящиеся силы F1 , F2 , F3 ,…, Fn (рисунок 34). Найдем их равнодействующую R по правилу силового многоугольника. Спроектируем силы F1 , F2 ,…, Fn и их равнодействующую R на данную ось х: Rx  ag ; F1 x  ab ; F2 x  bc ; F3 x  cd ; F4 x  de ; F5 x  eg . Сложив последние пять равенств, находим F1 x  F2 x  F3 x  F4 x  F5 x  ab  bc  cd  de  eg  ag  Rx , или Rx  F1 x  F2 x  F3 x  F4 x  F5 x , чем и доказывается теорема. Данная теорема справедлива при любом числе сил, поэтому аналогично получим Rx  F1 x  F2 x  ...  Fnx , или n Rx   Fix i 1 2.6 Аналитический метод определения равнодействующей пространственной и плоской систем сходящихся сил (7) Правило силового многоугольника позволяет геометрически (построением) определить модуль и направление равнодействующей R данной пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил; равнодействующая при этом векторно определяется формулой (1, §4). Аналитическое решение этой же задачи основано на применении метода проекций и базируется на теореме о проекции равнодействующей на ось (7, §8). Пусть мы имеем пространственную систему сходящихся сил F1 , F2 , F3 ,…, Fn , Рисунок 35 заданных своими проекциями на координатные оси, начало которых взято в точке пересечения линий действия данных сил (рисунок35). Требуется определить модуль и направление равнодействующей R данной системы сходящихся сил. Обозначая проекции искомой равнодействующей R на координатные оси х, у и z через Rx , R y и Rz , а проекции составляющих сил F1 , F2 , F3 ,…, Fn на те же оси заглавными буквами X, Y и Z с соответствующими индексами, на основании теоремы о проекции равнодействующей силы на ось будем иметь n n n i 1 i 1 i 1 Rx   X i ; R y   Yi ; Rz   Z i . (1) Отсюда, подставляя эти значения в формулу (5, §8), получим следующее выражение для модуля равнодействующей пространственной системы сходящихся сил: 2 2 2 n n n R  R  R  R    X i    Yi     Z i  .  i 1   i 1   i 1  2 x 2 y 2 z (2) Чтобы определить направление равнодействующей R , нужно найти ее углы F ,i , F , j и F ,k с координатными осями х, y и z. На основании формулы (4, §8) будем иметь следующие формулы, определяющие направление равнодействующей R :    Rx X i    Rz Z i    R y Yi ; cos R , j   ; cos R ,k   , cos R ,i      R R R   R   R   R (3) где модуль R равнодействующей R известен из предыдущего равенства (2). Формулы (2) и (3) полностью решают задачу об аналитическом определении равнодействующей пространственной системы сходящихся сил по заданным проекциям составляющих сил. После того как найдены величина и направление равнодействующей пространственной системы сходящихся сил, можно найти и линию действия этой равнодействующей. Для этого надо составить уравнение прямой, проходящей через точку А ( x A , y A , z A ) пересечения линий действия данных сходящихся сил F1 , F2 , F3 ,…, Fn и имеющей направление равнодействующей R этих сил. По правилам аналитической геометрии получаем это уравнение в виде: Это следует из уравнения x  xA y  yA z  z A   . X Y Z R R R x  xA y  y A z  z A   , X Y Z (4) где x, y, z – текущие координаты, а x A , y A , z A – координаты точки А пересечения линий действия данных сил F1 , F2 ,…, Fn (рисунок36). Если начало декартовой системы координат взято в точке пересечения данных сходящихся сил в пространстве, то уравнение (4) примет вид x y z   . X Y Z В случае плоской системы сходящихся сил можно принять плоскость, в которой расположены линии действия всех сил этой системы, за координатную плоскость хОу, тогда проекция любой силы на ось z будет равна нулю, и будем иметь n n i 1 i 1 Rx   X i ; R y   Yi . (5) Модуль равнодействующей в этом случае будет определяться по формуле 2 2 n n R  R  R    X i     Yi  ,  i 1   i 1  2 x 2 y (6) а ее направление – по формулам:    Rx X    R y Y ; cos R , j   . cos R ,i     R R   R   R (7) Чтобы получить линию действия равнодействующей плоской системы сходящихся сил, нужно найденное направление (7) провести через ту точку, в которой пересекаются линии действия всех заданных сил. Рисунок 36 2.7 Условия равновесия пространственной и плоской систем сходящихся сил в аналитической форме. Указания к решению задач В § 2.6 мы установили, что для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этой системы сил равнялась нулю ( R  0 ). Выразим теперь это условие аналитически. Из предыдущего параграфа известно, что модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил определяется по формуле 2 2 2 n n n R    X i     Yi     Z i  .  i 1   i 1   i 1  Но если R  0 , то равно нулю и подкоренное выражение. Поскольку стоящие под корнем слагаемые как квадраты некоторых чисел (безразлично, положительных или отрицательных) всегда положительны, то R может равняться нулю только в том случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности. Откуда следует, что должны соблюдаться следующие три условия: X i  0 ; Yi  0 ; Z i  0 . (1) С другой стороны, очевидна и достаточность этих условий для равновесия рассматриваемой системы сил, так как из них следует, что R  0 . Таким образом, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех выбранных любым образом координатных осей. Таково условие равновесия пространственной системы сходящихся сил в аналитической форме. Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можно плоскость, в которой расположены линии действия всех этих сил, принять за координатную плоскость хОу. Тогда третье условие равновесия будет выполнено тождественно, и условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме сведутся к двум следующим условиям: n  Xi  0 ; i 1 n Y i 1 i 0. (2) Таким образом, для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические сумма проекций всех сил на каждую из двух, выбранных любым образом координатных осей, лежащих в плоскости, в которой расположены линии действия всех сил. Если на свободное тело действует система сходящихся сил (безразлично, пространственная или плоская), эквивалентная нулю, то из этого еще не следует, что данное тело будет находиться в покое от выбранной системы отсчета, так как при выполнении условий (1) или (2) это тело может двигаться по инерции. Необходимыми и достаточными условиями состояния покоя свободного тела, на которое действует система сходящихся сил, являются: 1) равнодействующая этой системы сил должна быть равна нулю ( R 0) и 2) начальные скорости всех точек рассматриваемого тела также должны быть равны пулю. Если эти два условия выполняются, то говорят, что данное тело находится в равновесии (условия равновесия свободного тела в этом случае полностью совпадают с условиями равновесия свободной материальной точки). Однако иногда под равновесием рассматриваемого тела понимают его движение по инерции, а не только состояние покоя. В связи с этим в статике решают задачи, относящиеся не только к телам, находящимся в покое, но и к телам, движущимся по инерции. Если же на данное тело наложены связи, то, присоединяя силы реакций связей к активным силам, приложенным к телу, можно рассматривать его как свободное (аксиома связей). При этом в большинстве случаев в задачах статики по некоторым известным активным силам, приложенным к данному несвободному телу, требуется определить неизвестные силы реакций связей, предполагая, что тело находится в покое и что, следовательно, все приложенные к нему активные силы и силы реакций связей уравновешиваются. При решении таких задач, когда линии действия всех сил, приложенных к телу, включая и силы реакций, пересекаются в одной точке, нужно воспользоваться условиями равновесия системы сходящихся сил в геометрической или аналитической форме. В первом случае для системы сходящихся сил мы определяем искомые силы реакций связей или другие неизвестные в данной задаче величины при помощи построения замкнутого силового многоугольника или чисто графически, строя этот силовой многоугольник в строго определенном масштабе, или вычисляя его стороны по правилам геометрии и тригонометрии (геометрический метод). Однако геометрический метод решения задач статики при числе сил больше трех становится неудобным. При большом числе сил почти всегда выгоднее применять аналитический метод. При аналитическом методе мы находим искомые величины из уравнений равновесия (1) или (2), в левые части которых войдут, кроме проекций известных активных сил, и проекции неизвестных сил реакций связей. Нужно заметить, что те из соотношений (1) или (2), в которые будут входить проекции сил реакций связей, называют уравнениями равновесия, а те из них, в которые проекции сил реакций связей не будут входить, называют условиями равновесия. Если тело несвободно, то число условий равновесия будет равно числу степеней свободы тела, т. е. числу независимых перемещений, которые может иметь это тело. При решении задач о равновесии несвободного твердого тела силы реакций наложенных на это тело связей являются величинами, наперед неизвестными. Число этих неизвестных зависит от числа и характера наложенных связей. Определение неизвестных сил реакций по известным активным силам как раз и составляет содержание большинства задач статики. Соответствующая задача статики может быть решена только в том случае, когда для нее число неизвестных сил реакций не превышает числа уравнений равновесия, содержащих эти силы реакций. Если число уравнений равновесия равно числу неизвестных сил реакций, то такая задача о равновесии тела называется статически определенной. Если же из всех уравнений равновесия все неизвестные силы реакций определить нельзя, потому что уравнений равновесия меньше, чем неизвестных сил реакций, то такая задача о равновесии тела называется статически неопределенной. Для решения статически неопределенных задач методы статики абсолютно твердого тела оказываются недостаточными, и поэтому для определения всех неизвестных сил реакций приходится учитывать упругие свойства тела, т. е. его деформацию. Статически неопределенные задачи решаются в курсах сопротивления материалов или статики сооружений. В дальнейшем мы будем рассматривать только статически определенные задачи. При решении задач статики рекомендуется придерживаться следующего порядка: 1. Выбрать тело (или точку), равновесие которого должно быть рассмотрено в данной задаче. 2. Освободить выбранное тело от связей и изобразить (расставить) все действующие на это тело (и только на это тело) активные силы и силы реакций отброшенных связей. Тело, освобожденное от связей, с приложенной к нем системой активных сил и сил реакций, следует изображать отдельно. При определении направления сил реакций связей и изображении этих сил на чертеже нужно пользоваться теми соображениями, о которых говорилось в §3. 3. Составить уравнения равновесия. Для составления уравнений равновесия необходимо сначала выбрать оси координат. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения равновесия будут решаться проще если одну из осей направить перпендикулярно к линии действия какой-либо неизвестной силы реакции. Решение полученных уравнений равновесия следует, как правило, проводить до конца в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин будут получаться формулы, позволяющие проанализировать найденные результаты; численные значения найденных величин подставляются только в окончательные формулы. Уравнения равновесия составляются при аналитическом методе решения задач на равновесие системы сходящихся сил. Однако, если число сходящихся сил, равновесие которых рассматривается, равно трем, то удобно применить геометрический метод решения этих задач. Решение в данном случае сводится к тому, что вместо уравнений равновесия всех действующих сил (активных и реакций связей) строится силовой треугольник, который на основании геометрического условия равновесия должен быть замкнут (начинать построение этого треугольника следует с заданной силы). Решая силовой треугольник, находим искомые величины. Рисунок 37 Задача 1. Тяжелый шар весом P килограммов подвешен на нити (рисунок 37, а) в точке А и удерживается в отклоненном на угол а от вертикали отложении горизонтальной нитью, привязанной в точке В. Найти натяжение нитей. Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет шар. Вес P шара известен. Будем рассматривать шар как материальную точку О. Эта точка несвободна. Связи, наложенные на нее, осуществляются нитями ОА и OВ. Отбрасываем связи (перережем мысленно нити) и заменяем их действие на точку O реакциями. Тогда точку О можно будет рассматривать как свободную и находящуюся в равновесии под действием плоской системы из трех сходящихся сил: активной P и реакций T1 и T2 нитей (рисунок 37, б) которые направлены вдоль нитей. Реакции T1 и T2 по модулю равны искомым натяжениям нитей. Следовательно, определение натяжений нитей можно заменить определением их реакций T1 и T2 . Рассмотрим три метода решения данной задачи. Г р а ф и ч е с к и й м е т о д р е ш е н и я . Так как три силы P , T1 и T2 находятся в равновесии, то силовой треугольник, составленный из этих сил, должен замыкаться. Строим этот силовой треугольник: для этого в определенном масштабе строим силу, которая нам известна по модулю и направлению, затем через начало и конец вектора P проводим прямые, параллельные направлениям сил T1 и T2 . Стороны DE и ЕС полученного таким образом замкнутого силового треугольника СDЕ (рисунок 37, в) дают модули и направления искомых реакций нитей. Чтобы найти их модули, а следовательно, и натяжения нитей, остается измерить в принятом масштабе стороны DE и ЕС. Г е о м е т р и ч е с к и й м е т о д решения. Искомые стороны DE и ЕС силового треугольника CDE можно найти не только путем непосредственного измерения, но и вычислением, применяя правила геометрии и тригонометрические формулы. Из способа построения силового треугольника CDE ясно, что CDE  90 , DCE   и DEC  90   (рисунок 37, а, б). Из силового треугольника CDE видно. что T1  P кГ; T2  Ptg кГ. cos Нужно иметь в веду, что геометрический метод решения задач статики при числе сил больше трех становится неудобным. Аналитический метод решения. Для составления уравнений равновесия необходимо выбрать оси координат. Выбирать систему координат так, чтобы проектирование сил в выбранной системе координат было наиболее удобным и выражения проекций были возможно проще. В данной задаче начало координат возьмем в точке O, равновесие которой мы рассматриваем. Направим ось Ox горизонтально вправо, а ось Oy – вертикально вверх  (рисунок 37, б). Из сравнения рисунка 37, а и 37, б видно, что  T 1 , j    и   T 2 , j   90 . Составим теперь уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил.  X  0 ; Y  0 . Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические суммы:  X  T1 cos(90   )  T2  T1 sin   T2  0 ;  Y  T1 cos  P  0 . Решая эти уравнения равновесия, находим T1  P кГ; T2  Ptg кГ. cos Как мы видим, данную задачу можно решить различными методами. Выбор того или иного метода решения задачи зависит от характера этой задачи и от требований, предъявляемых к точности решения. Задача 2. Из трех прикрепленных к вертикальной стене стержней АО, ВО и СО стержни АО и ВО расположены в горизонтальной плоскости и образуют со стеной угол   60 , а стержень СО образует со стеной угол   30 (рисунок 38, а). Стержни прикреплены к стене шарнирами и скреплены шарниром в точке О, к которой прикреплен груз Q весом P  300 кг. Определить усилия, действующие вдоль стержней АО, ВО и СО. Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет узел, или точка О. Эта точка несвободна; связями служат стержни АО, ВО и СО. Отбросим эти стержневые связи и заменим их действие на точку О силами реакций S A , S B и S C линии действия которых направлены вдоль стержней АO, ВО и СО. Кроме этих трех сил, к узлу О приложена еще реакция T веревки, на которой подвешен груз Q, равная, очевидно, по модулю весу P груза Q. В точке О, таким образом, сходятся четыре силы: T , S A , S B и SC . Выберем оси координат, как показано на рисунке 38, б, совместив плоскость yOz с плоскостью, в которой действуют силы T и S C . При этом силы S A и S B будут лежать в координатной плоскости хОу. Составим теперь уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил:  X  0 ; Y  0 ;  Z  0 . Рисунок 38 Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические суммы.  X  S B cos60  S A cos60  0 ; Y  S A  S B cos30  SC cos60  0 ;  Z  T  SC cos30  0 , Откуда SC  T P   346 кг; cos30 cos30 S A  SB  S C cos60  100 кг. 2 cos30 Все три силы: S C , S A и S B — получились со знаком «плюс», следовательно, сделанное предположение об их направлении правильно. Выясним вопрос о том, какие стержни сжаты, какие — растянуты. Так как стержни АО и ВО действуют на точку О силами S A и S B , направленными от О к А и от О к В, то точка О действует на стержни AO и ВО силами, обратно направленными и растягивающими эти стержни. Стержень СО действует на точку О c силой S C , направленной от С к О, следовательно, точка О действует на стержень СО силой, обратно направленной и сжимающей этот стержень. Таким образом, стержни АО и ВО будут работать на растяжение, а стержень СО — на сжатие. Если бы сразу не было очевидным, какой из стержней сжат и какой растянут, то можно было бы предварительно считать все стержни растянутыми. Отрицательное значение реакций того или иного стержня, полученное в результате решения уравнений равновесия, пока зало бы, что действительное направление этой реакции противоположно принятому. 2.8. Момент силы относительно точки. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей 1. Момент силы относительно точки. Понятие момента силы возникло в связи с определением вращательного действия силы, приложенной к телу, имеющему неподвижную точку или неподвижную ось. Представим себе твердое тело, имеющее в точке О сферическую опору (рисунок 39, а, б). Рассмотрим силу F , приложенную в точке А этого тела. Очевидно, что сила F будет поворачивать тело вокруг неподвижной точки О. Длина перпендикуляра d, опущенного из точки О на линию действия силы Рисунок 39 F , называется плечом этой силы относительно точки О. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы F будет зависеть: 1) от модуля F силы F и длины плеча d; 2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через точку О и силу F ; 3) от направления поворота в этой плоскости. Ограничимся здесь пока рассмотрением плоской системы сил, т. е. когда линии действия сил системы расположены в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил системы является обшей и в дополнительном задании не нуждается, а направление поворота в этой плоскости можно охарактеризовать соответствующим знаком, считая поворот вокруг точки О против хода часовой стрелки положительным, а в направлении противоположном – отрицательным. Тогда для количественного измерения вращательного эффекта силы F можно ввести следующее понятие о моменте этой силы относительно некоторой точки О на плоскости: моментом силы относительно некоторой точки О на плоскости называется скалярная величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее плечо относительно этой точки. При этом будем считать, что момент силы F относительно точки О имеет знак «плюс», если эта сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки (рисунок 39, а), и знак «минус»,— если по ходу часовой стрелки (рисунок 39, б). Момент силы F относительно точки О будем обозначать символом mO F . Следовательно, mO F    Fd . (1) Заметим, что момент силы относительно точки О можно принимать за скалярную (алгебраическую) величину лишь в тех случаях, когда имеем дело с плоской системой сил. В случае же пространственной систем сил, т. е. когда линия действия всех сил системы расположены в различных непараллельных плоскостях, правило знаков момента силы относительно точки теряет свои силы. Таким образом, мы установили, что момент силы относительно точки О сил плоской системы отличаются друг от друга численным значением и знаком. При этом численное значение момента сил относительно точки О равно произведению модуля силы на длину ее плеча относительно этой точки. Отметим в заключение, что геометрически численное значение момента силы F относительно точки О выражается удвоенной площадью треугольника OAB (рисунок 40), вершиной которого является данная точка О, а основанием – данная сила F : mO F   Fd  2ïë .OAB . Единица момента силы определяется по формуле (1), или mO  Fd . Положив в этой формуле F = 1 кг, d = 1 м, получим: 1 единица момента сил  1êã  1ì  1êã  ì (2) Размерность единицы момента силы в системе МКГСС mO   F d   êà  ì . Если же модуль силы выражен в ньютонах (F = 1 H), а длина плеча в метрах (d = 1 м), то, очевидно, размерность единицы момента в системе СИ выражается в виде m   F d   í  ì O Рисунок 40 . Рисунок 41 Отметим теперь следующие свойства момента силы относительно точки: 1. Момент силы относительно точки не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия, так как при этом не изменяется ни модуль силы, ни длина ее плеча. 2. Момент силы относительно точки равен нулю только тогда, когда модуль силы равен нулю или когда линия действия силы проходит через точку, так как в этом последнем случае длина плеча равна нулю 2. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. Докажем теперь следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно некоторой точки, лежащей в плоскости сил, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки. Рассмотрим плоскую систему сходящихся сил F 1 , F 2 , ..., F n , приложенных в точке А твердого тела (рисунок 41). Их равнодействующая n R  Fi будет приложена в той же точке. По теореме о проекции i 1 n равнодействующей на ось получим R x   F ix . Умножая обе части этого i 1 равенства на ОА, получим OA  R   OA  Fix  . n (3) i 1 Преобразуем эту формулу, для чего найдем момент относительно точки О любой из сил системы, например силы F 1 . Очевидно, mO F1   2ïë .OAB  OA  Ob  OA  F1x , (4) где F1x  Ob — проекция силы F 1 на ось Ох, перпендикулярную к ОА. Согласно формуле (4) можно преобразовать формулу (3) к виду mO R    mO Fi . n (5) i 1 Эта формула и дает математическое выражение теоремы Вариньона о моменте равнодействующей. 2.9 Пара сил. Момент пары сил Рисунок 46 Мы уже знаем, что система двух сил, как угодно расположенных в одной плоскости, приводятся к одной равнодействующей силе; исключением является система двух взаимно уравновешивающихся сил. В этом параграфе мы установим, что другим исключением является система двух равных по модулю параллельных друг другу и направленных в разные стороны сил F 1 и F 2 , линии действия которых не совпадают (рисунок 46). Такая система двух сил образует так называемую пару сил, или просто пару, для обозначения которой будем пользоваться символом F 1 , F2  . Плоскость в которой расположена пара сил, называется плоскостью действия пары. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары F 1 , F2  , т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки приложения А одной из сил пары на линию действия второй силы, называется плечом пары d. (Плечо пары d не следует смешивать с расстоянием l между точками приложения сил пары. Однако, перемещая точку приложения каждой силы пары вдоль линий действия силы, всегда можно расположить пару так, что расстояние между точками приложения сил одновременно будет и плечом.). Напомним, что от сложения двух параллельных сил. неравных по модулю и направленных равнодействующая, в модуль противоположные и положение стороны, линий получается действия которой определяется по формуле: R  F1  F2 ( F1 > F2 ); BC AC AB .   F1 F2 R Предположим теперь, что F 1   F2 , тогда R  F1  F2  0 и AC  AB  F2 AB  F2  , F1  F2 т. е. равнодействующая пары сил равна нулю, а точка ее приложения находится в бесконечности. Этот результат указывает на то, что пара сил не имеет равнодействующей, т.е. ее нельзя заменить одной силой, ей эквивалентной. Вместе с тем силы, составляющие пару сил, не находятся в равновесии, так как на основании аксиомы I две противоположные силы уравновешиваются только тогда, когда они действуют по одной прямой, а в данном случае силы имеют различные линии действия. Пара сил не может быть уравновешена одной силой. Это вытекает из того, что если бы пара уравновешивалась одной силой, то на основании следствия II (см. § 2) она имела бы равнодействующую, что невозможно. Так как силы, составляющие пару, не находятся в равновесии, не имеют равнодействующей и не могут быть уравновешены одной силой, то пара сил занимает среди других систем сил особое место. В механике, наряду с силой, приходится рассматривать пару сил как самостоятельный, неприводимый элемент. Непосредственный опыт показывает, что пара сил, приложенная к твердому телу, способна привести его во вращательное движение, если только этому не препятствуют наложенные на данное тело связи. Вращательное действие пары на тело будет тем больше, чем больше плечо пары и модули сил, образующих эту пару, и измеряется так называемым моментом пары. При этом численное значение момента пари определяется как произведение модуля одной из сил пары на плечо этой пары. Для полной характеристики вращательного действия на тело пары, лежащей в данной плоскости, нужно, кроме численного значения момента, знать еще и направление вращения, которое пара стремится сообщить телу. Будем считать положительным момент такой пары которая стремится повернуть тело против направления вращения часовой стрелки, и отрицательным — момент такой пары, которая стремится повернуть тело по направлению вращения часовой стрелки. Так, например, пара F 1 , F2  , изображенная на рисунке 47, имеет положительный момент, а пара F 1 , F2  , изображенная на рисунке 48, имеет отрицательный момент. В данной главе будут рассматриваться свойства пар, расположенных в одной плоскости. Для этого случая по аналогии с моментом силы относительно точки можно ввести следующее определение момента пары: моментом пары называется скалярная величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Будет обозначать момент пары символом m или m F 1 , F2  . Тогда m   F1d   F2 d . Очевидно, что момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки прилежания другой (рисунок 47, 48): (Понятие момента пары не следует смешивать с моментом силы. Понятие момента силы связано с точкой, относительно которой берется этот момент. Момент пары ни с какой точкой плоскости не связан.). m  mB F1   mA F2  . (1) Заметим, что момент пары, так же как и момент силы относительно точки, можно принимать за скалярную алгебраическую величину лишь в тех случаях, когда мы имеем дело с плоской системой сил. в случае же пространственной системы сил правило знаков момента пары теряет свой смысл (Момент пары в этом случае рассматривается как вектор). Рисунок 47 Рисунок 48 Отметим, что геометрически численное значение момента пары выражается в виде удвоенной площади треугольника, основанием которого является одна из сил пары, например F 2 , а высотой – плечо пары d (рисунок 49): m  F2 d  2пл.ABC . Размерность единицы момента пары такая же, как и размерность единицы момента силы – кг  м (в системе МКГСС) и Н  м (в системе СИ). Докажем теперь следующую теорему: алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любой точки, лежащей в плоскости ее действия, не зависят от выбора этой точки и равна моменту пары. Пусть на твердом теле действует пара сил F , F . Опустим из произвольной точки О перпендикуляр на линию действия сил пары (рисунок 50). Точки пересечения этого перпендикуляра с линиями действия сил пары обозначим через a и b. Тогда, так как F   F , mO F   F  Oa и mO F   F   Ob . Складывая эти равенства почленно и замечая, что Ob  Oa  d , получим mO F   mO F   Fd  mF , F  , где mF , F  – момент данной пары. Этим и исчерпывается доказательство теоремы. Рисунок 49 Рисунок 50 2.10 Теорема Вариньона о моменте равнодействующей произвольной плоской системы сил. Условие равновесия рычага Докажем следующую теорему Вариньона о моменте равнодействующей произвольной плоской системы сил: если произвольная плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно любой точки, лежащей в плоскости действия данных сил, равен алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки. Доказательство. На рисунке 57, б (§ 4.3) сила R  R приложена в точке А. Эта точка отстоит от произвольно выбранного центра приведения О на расстоянии OA  d  MO . R (1) Сила R является равнодействующей произвольной плоской системы сил. Из рисунка 57, б и формулы (1) следует, что абсолютная величина момента равнодействующей R относительно центра приведения О равна mO R   Rd  R MO  MO , R (2) где M O есть абсолютная величина главного момента рассматриваемой системы сил относительно выбранного центра приведения О. Знак же момента равнодействующей R относительно центра приведения О также всегда совпадает со знаком главного момента M O , т. е. момента пары R, R , как это видно из рисунке 57, а, б. Поэтому вместо (2) будем иметь mO R   M O . Но, согласно (5, § 4.2), M O   mO Fi . n i 1 Подставляя это в формулу (3), приходим к равенству (3) mO R    mO Fi  , n (4) i 1 чем и доказывается теорема. Примем центр приведения О за начало координат (рисунок 56, а), и мысленно разложим силу Fi , приложенную к точке Ai xi , yi  тела на два взаимно перпендикулярных направления — направления осей координат. Составляющие силы обозначим буквами X i и Yi . Тогда согласно теореме Вариньона и рисунок 56, а момент рассматриваемой силы Fi относительно начала координат определяется так: mO Fi   mO  X i   mO Yi   xiYi  yi X i . Подставляя это равенство в формулу (4), получим mO R    xiYi  yi X i  . n (5) i 1 Таким образом, если начало координат выбрано в центре приведения и известны проекции всех сил на оси координат и координаты точек приложения этих сил, то момент равнодействующей можно найти по формуле (5). Теорема Вариньона о моменте равнодействующей (4) дает простой метод нахождения условия равновесия рычага. Пусть на рычаг первого рода (рисунок 60, а) или второго рода (рисунок 60, б) действует произвольная точка опоры. Предположим, плоская что эта система сил система F1 , F2 , …, Fn и О – сил приводится к равнодействующей R . Отбросив связь (шарнирную опору), заменим ее действие на рычаг силой реакции связи N O . При этом рычаг можно рассматривать как свободное тело, к которому приложены только две силы F1 и N O . Так как сила реакции связи N O приложена к точке О , то для равновесия сил F1 и N O (а следовательно, и для равновесия рычага) необходимо, чтобы и равнодействующая сила R тоже проходила через точку О. Но в этом случае mO R   0 . Рисунок 60 Это условие равновесия рычага согласно теории Вариньона (4) можно записать в виде  m F   0 , n i 1 O i т. е. для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех приложенных к рычагу сил относительно точки его опоры равнялась нулю. Задача 9. На концы прямолинейного рычага АВ длиной l, закрепленного на шарнире О, действуют силы F1 и F2 , образующие с рычагом углы  1 и  2 . Найти расстояние ОА при равновесии рычага (рисунок 61). Решение. Так как рычаг АВ находится в равновесии под действием сил F1 и F2 , то алгебраическая сумма моментов этих сил относительно опоры О равна нулю, т. е. mO F1   mO F2   0 . Но mO F1   F1  OA1 , mO F2    F2  OB1 , Рисунок 61 где OA1 – плечо силы F1 относительно точки О, а OB1 – плечо силы F2 относительно той же точки О. Из треугольников OBB1 и OAA1 находим OA1  OAsin 1 и OB1  OB sin  2   AB  OAsin  2   l  OAsin  2 . Следовательно, mO F1   F1  OA  sin 1 ; mO F2    F2 l  OAsin  2 . Уравнение равновесия рычага примет вид F1  OA  sin 1  F2 l  OAsin  2  0 , отсюда OA  F2 l sin  2 . F1 sin 1  F2 sin  2 2.11 Условия равновесия произвольной плоской системы сил Выше было установлено, что произвольная плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда R  0 ), или к одной паре (когда R  0 ). Однако в результате приведения произвольной плоской системы сил может оказаться,, что одновременно главный вектор R этой системы сил и главный момент ее M O относительно центра приведения равны нулю, т. е. R  0 ; M O  0 , или n  Fi  0 ; i 1  m F   0 , n i 1 O i где 0 — любая точка плоскости. Условия (1) являются необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной плоской системы сил. В самом деле, условия (1) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то рассматриваемая система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда R  0 ), или к паре (когда M O  0 ), и, следовательно, эта система сил не будет находиться в равновесии. Одновременно условия (1) являются достаточными, потому что при R  0 произвольная плоская система сил может приводиться только к паре с моментом M O , а так как M O  0 , то эта система сил будет находиться в равновесии. Таким образом, для равновесии произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно и главный вектор, и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю. Найдем теперь вытекающие из равенств (1) аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил. В § 4.2 было установлено, что R   X   Y  2 2 ; M O   mO Fi   0 ; n i 1 отсюда следует, что R и M O обращаются в нуль в том и только в том случае, когда n X i 1 i n Y  0; i i 1  0;  m F   0 . n i 1 O (2) i Эти равенства выражают следующие аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и. достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух любым образом выбранных в плоскости действия этой системы сил координатных осей и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки той оке плоскости были равны нулю. Одновременно равенства (2) выражают необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил (предполагается, что до приложения указанной системы сил рассматриваемое тело находилось в состоянии покоя относительно выбранной системы отсчета). Равенства (2) являются основной формой условий равновесия произвольной плоской системы сил. Они могут быть выражены и в другом виде. Докажем, например, следующую теорему о трех моментах: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно каждой из трех любых точек А, В и С, взятых в плоскости действия этой системы сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю:  mA Fi   0 ; n i 1  mB Fi   0 ; n i 1  m F   0 . n i 1 C i (3) Необходимость этих условий очевидна, так как при равновесии произвольной плоской системы сил алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки, взятой в плоскости действия этой системы сил, должна равняться нулю. Докажем, что эти условия и достаточны. Возьмем за центр приведения точку А. По условию доказываемой теоремы  m F   0 , n A i 1 (4) i поэтому для рассматриваемой системы сил должно быть M A  0 . Если при этом главный вектор R  0 , то в этом случае данная система сил приводится только к одной равнодействующей силе R  R . Согласно теореме Вариньона m A R    m A Fi  и условию (4) будем иметь n i 1 mA R   0 , что может быть в двух случаях: или когда равнодействующая сила R  R  0 , или когда ее линия действия проходит через точку А (тогда плечо равнодействующей R  R будет равна нулю). R  R  0 . Взяв последовательно за центры Предположим, что приведения точки В и С и принимая во внимание условия  m F   0 ;  m F   0 , n i 1 n B i i 1 C i мы также установим, что линия равнодействующей R  R пройдет и через точки В и С. А это невозможно, так как точки А, В и С не лежат на одной прямой. Следовательно при выполнении условий (3) обязательно должно быть R  R  0 , и, следовательно, произвольная плоская система сил при выполнении условий (3) будет находиться в равновесии. Докажем теперь, что условия равновесия произвольной плоской системы сил можно сформулировать так: для равновесии произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно. чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из двух любых точек А и В, взятых в плоскости действия этой системы, и алгебраическая сумма проекций всех этих сил на любую ось Ox, не перпендикулярную к прямой, проходящей через точки А и В, были равны нулю:  mA Fi   0 ; n i 1  mB Fi   0 ; n i 1 n X i 1 i  0. (5) Необходимость этих условий вытекает из того, что при равновесии произвольной плоской системы сил равны нулю как алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки, взятой в плоскости действия этой системы, так и алгебраическая сумма проекции всех сил на любую ось. Рисунок 63 Докажем последовательно достаточность точки А и этих условий. В центры за Для этого приведения. примем Если для рассматриваемой системы сил выполняются первые два из условий (5), то M A  0 , M B  0 . При этом данная система сил, как мы уже знаем из § 4.3, может не находиться в равновесии, а иметь равнодействующую R  R , одновременно проходящую через точки А и В (рисунок 63). Но согласно третьему условию должно быть Rx   X i  0 . Так как ось Ох есть произвольная прямая, не перпендикулярная к АВ, то это последнее условие может быть выполнено, если равнодействующая R  R будет равна нулю R  R  0, и, следовательно, произвольная плоская система сил при выполнении условий (5) будет находиться в равновесии. 2.11 Указания к решению задач Еще раз подчеркнем, что приступая к решению задач, относящихся к равновесию несвободного твердого тела под действием произвольной плоской системы сил, нужно: 1) выбрать тело, равновесия которого следует рассмотреть в данной задаче; 2) освободить от связей выбранное тело и заменить их действие силами реакции; 3) изобразить в виде векторов все действующие на выбранное тело (рассматриваемое как свободное) заданные силы и силы реакций от брошенных связей; 4) выбрать систему осей декартовых координат; 5) составить уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, в которые, корме активных сил, войдут и реакции связей, и решить их. Так как тело, равновесие которого рассматривают в данной задаче, находится в покое, то все приложенные к нему силы, включая и реакции отброшенных связей, должны удовлетворять условиям равновесия, полученным в § 4.6 и 4.7. При этом нужно применять ту из форм этих условий, которая приводит к более простой системе уравнений (наиболее простой будет та система уравнений, в каждое из которых входит по одному неизвестному). Для получения более простых уравнений равновесия нужно: а) составляя уравнения проекций, направлять одну координатную ось перпендикулярно к линии действия одной, а если возможно, и двух неизвестных сил; при этом проекция силы на эту ось обратится в нуль, а на ось, ей параллельную, сила спроектируется в натуральную величину, что облегчит решение задачи; б) составляя уравнение моментов, выбрать центр моментов в такой точке (если она есть), через которую проходят линии действия двух неизвестных сил; тогда в уравнение моментов всех сил войдет только одна неизвестная сила. При вычислении момента тоя или иной силы можно брать момент самой силы или сумму моментов составляющих ее сил (для этого необходимо силу разложить на две составляющие и воспользоваться теоремой Вариньона) в зависимости oт того, где проще определяются плечи сил. Если из уравнений равновесия найдены реакции связей, а необходимо было найти давления, оказываемые телом на те или иные плоскости (поверхности), то необходимо учесть, что, согласно аксиоме IV, давления равны реакциям по модулю, но направлены в противоположные им стороны. Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки или мостовые фермы. При этом, кроме балок, имеющих две опоры (имеется в виду подвижная шарнирная опора и неподвижная шарнирная опора, которые уже были рассмотрены в § 3), встречается так называемая балка-консоль. Балка-консоль имеет один свободный конец, а другой заделан (защемлен) в стену или в какую-либо массивную часть конструкции, препятствующая повороту и смещению этого конца в любом направлении (рисунок 65, а). В такой неподвижной защемленной опоре, как правило, в результате действия активных сил F1 , F2 , F3 , …, Fn возникает сила реакции и пара, момент которой называется реактивным моментом (рисунок 65, в). В самом деле, на заделанный конец балки-консоли со сторон опорных плоскостей ab, bc и cd (рисунок 65, б) действует система распределенных сил реакций, которая может быть приведена к одной равнодействующей реакции R , модуль, направление и точка приложения которой неизвестны. Перенесем эту силу R параллельно самой себе в точку А пересечения оси балки с плоскостью стены ab. При этом сила R будет эквивалентна силе RA  R  , приложенной в точке А, и присоединенной паре с неизвестным реактивным моментом MA (рисунок 65, в). Силу RA соответствующими X A и YA . Таким образом, можно изобразить ее для нахождения реакции неподвижной защемленной опоры надо определить три неизвестных величины X A , YA и M A . Найдем теперь эти величины. Поскольку на рассматриваемую балку-консоль наряду с произвольной плоской системой активных сил F1 , F2 , …, Fn и сил реакций X A и YA действует лежащая в той же плоскости пара с реактивным моментом M A , то при составлении уравнений равновесия в уравнения проекций пара не войдет, так как сумма проекций сил пары на любую ось, очевидно, равна нулю. В уравнении же моментов к моментам сил алгебраически прибавится реактивный момент M A пары, так как сумма моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары (§ 14). Таким образом, уравнения Рисунок 65 равновесия при действии на балку-консоль указанной системы сил и пары будут X i  XA  0;  Yi  YA  0 ;  m F   M A i A  0. Отсюда X A   X i ; YA  Yi ; M A   mA Fi  . Из первых двух формул найдем модуль силы реакции: RA  X A2  YA2   X   Y  2 2 i i . В частных случаях нагружения консоли в заделке может возникнуть только сила реакции или пара. Возможен также случай, когда действующие на консоль активные силы взаимно уравновешиваются, не вызывая в заделке ни реакции, ни реактивного момента (например, когда балка-консоль нагружена двумя противоположными парами с одинаковыми моментами). Задача 11. На балку с защемленным концом действует на участке CD равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q  0,8 т/м, в точке В действует сила F  2 т под углом   45 к балке, кроме того, на балку действует пара сил с моментом m  1,2 т·м. Определить реакции заделки. Размеры указаны на рисунке 66, а. Решение. Балка АВ является тем телом, равновесие которого мы должны рассмотреть. К ней приложена сосредоточенная сила F , пара сил с моментом т и силы, равномерно распределенные вдоль отрезка CD балки АВ. Эта плоская система равномерно распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т. е. величиной силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. В рассматриваемом случае интенсивность является величиной постоянной. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей Q , т. е. сосредоточенной силой. По модулю эта равнодействующая равна Q  q  CD  0,8  3  2,4 т. При этом сила Q приложена в середине О отрезка CD. Рисунок 66 Заметим, что сосредоточенной силой называют такую силу, которая приложена к телу в какой-нибудь одной его точке. Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые в теоретической механике рассматриваются как сосредоточенные, представляют собой по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил. В инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному закону. Связью, наложенной на балку АВ, является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ, заменим действие этой заделки на балку силами реакций X A и YA и реактивным моментом M A (рисунок 66, б). Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как сдвоенного твердого тела, на которое действуют заданные силы F , Q и пара сил с моментом m,а также неизвестные силы реакций X A и YA и пара сил в заделке с моментом M A . Для составления уравнений равновесия этой произвольной плоской системы сил выбираем оси координат, как показано на рисунке 66, б, и принимаем за центр моментов точку А. Составим уравнение равновесия произвольной плоской системы сил в форме X i  0; Y i 0;  m F   0 . A i В рассматриваемом случае будем иметь X Y i  m F   M A i  F cos  X A  0 ; (1)  YA  Q  F sin   0 ; (2) i A  m  Q  OA  F sin   AB  0 . (3) Из уравнения (1) находим X A  F cos  2 cos 45  2  2  2  1,41 т. 2 Из уравнения (2) получаем YA  Q  F sin   2,4  2  2  2,4  1,41  3,81 т. 2 Наконец, из уравнения (3) находим M A  Q  OA  F sin   AB  m  2,4  2,5  2  2  5  1,2  11,87 т·м. 2 Задача 12. Однородный стержень АВ весом Q  20 кГ в точке А закреплен шарнирно, а в точке С свободно опирается на опору С. На стержень АВ действует пара сил с моментом m  5 кг·м, а к концу его В привязана веревка, перекинутая через блок D, на конце которой висит груз весом P  5 2 кГ. Определить реакцию шарнира А и опоры С, если AC  2 см, BC  40 см, а угол   45 (Рисунок 67, а). Решение. Телом, равновесие которого в этой задаче рассматривается, является стержень АВ. К нему приложена пара сил с известным моментом т и две активные силы: в точке В наклонная сила T , равная по модулю весу груза, т. е. Т = Р (неподвижный блок D, не изменяя модуля силы P , изменяет только ее направление), и на середине Е стержня — вертикальная сила Q (его собственный вес). Рисунок 67 Связями, наложенными на стержень АВ, являются шарнир А и опора С. Так как стержень АВ свободно опирается на опору С, то реакция RC этой опоры направлена перпендикулярно к стержню. Неизвестную по направлению и по модулю реакцию R A шарнира А представляем двумя составляющими X A и YA , направленными в положительные стороны двух координатных осей Ах и Ау. При этом ось Ах направим вдоль стержня АВ, а ось Ау – перпендикулярно к нему. Отбросим связи и заменим их действие на стержень АВ реакциями RC , X A и YA (рисунок 67, б). Рассмотрим теперь равновесие стержня АВ как свободного твердого тела, на которое действуют активные силы Q и T и силы реакции RC , X A и YA , а также пара сил с заданным моментом т. За центр моментов удобно взять точку А, так как через нее проходят линии действия двух неизвестных сил X A и YA . Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил в форме X  0; i Y i 0;  m F   0 . A i Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось, а также моменты этих сил относительно центра моментов и приравняем к нулю эти суммы: X Y i  X A  T cos  0 ; (1)  YA  RC  Q  T sin   0 ;  m F   R A i i C (2)  AC  T  AB cos  Q  AE  m  0 . (3) Из уравнения (1) находим X A  T cos  5 2 cos 45  5 2  2  5 кГ. 2 Из уравнения (3) получаем RC  T  AB cos  Q  AE  m  AC 5 2  60  2  20  30  5 2  35 кГ. 40 Из уравнения (2) находим YA  Q  T sin   RC  20  5 2  Знак «минус» при YA 2  35  10 кГ. 2 показывает, что сила реакции YA имеет направление, противоположное показанному на чертеже. Задача 13. Между опорами двухконсольной горизонтальной балки CD (рисунок 68, а) приложена пара P, P, к левой консоли – равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, а в точке D правой консоли – вертикальная нагрузка Q  4,6 т, Определить реакции опор, если P  P  4 т, q  4 т/м, a  2,5 м. Решение. Двухконсольная балка CD является тем телом, равновесие которого мы должны рассмотреть. К ней приложена пара сил P, P с моментом т=Ра и две активные силы: в точке D сила Q и на середине левой консоли сила R  q  CA , являющаяся равнодействующей равномерно распределенной нагрузки (смотри задачу 11). Следовательно, все приложенные к балке CD активные силы являются вертикальными, так как пару сил P, P , не изменяя ее действия на балку, можно повернуть в плоскости рисунка так, чтобы составляющие пару P, P силы P и P   P были вертикальны. Рисунок 68 Связями, наложенными на балку CD, являются подвижная шарнирная опора В и неподвижная шарнирная опора А. Отбросим эти связи и заменим их действие на балку CD силами реакций. Реакция RB подвижной шарнирной опоры В нормальна к плоскости опоры (рисунок 68, б). Так как все действующие на балку CD активные силы вертикальны, то реакция R A неподвижной шарнирной опоры А также вертикальна. Рассмотрим теперь равновесие двухконсольной балки CD как свободного твердого тела, на которое действует указанная плоская система параллельных сил (рисунок 68, б). Для составления уравнений равновесия этой системы сил в форме  m F   0 ;  m F   0 A i B i последовательно примем за центр моментов точки А и В. При этом уравнения моментов будут содержать только одно неизвестное. Итак, в данном случае будем иметь a  m F   qa  2  m  R A i B  2a  Q  3a  0 ; a   m F   qa 2  2a   R B i   A  2a  m  Qa  0 . (1) (2) Решая порознь уравнения (1) и (2), найдем RA  11,5 т; RB  2,5 т. Глава 3. Произвольная пространственная система сил и теория пар, как угодно расположенных в пространстве 3.1 Момент силы относительно точки как вектор В случае произвольной плоской системы сил мы рассматривали момент силы относительно точки как алгебраическую величину, равную произведению модуля силы на ее плечо, взятому со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того направления, в котором сила стремится вращать тело. В случае же произвольной пространственной системы сил указания только модуля момента силы относительно точки (модуль момента силы относительно точки равен произведению модуля силы на ее плечо) и его знака для полной характеристики вращательного действия силы недостаточно. Взяв произвольную пространственную систему сил и выбрав какую-нибудь точку в пространстве, можно провести через эту точку и через линию действия каждой из сил в отдельности плоскость. Эти плоскости у разных сил будут разными, т. е. они будут расположены под различными углами друг к другу. В этом случае силы, имеющие одинаковые модули моментов относительно одной и той же точки, будут производить различные вращательные действия на тело, если плоскости, проходящие через линии действия этих сил и выбранную в пространстве общую точку, не будут совпадать. Поэтому при рассмотрении произвольной пространственной системы сил необходимо так обобщить понятие момента силы относительно точки, чтобы в определение этого понятия уже входило задание положения в пространстве плоскости, проходящей через линию действия силы и выбранную в пространстве точку (в случае же произвольной плоской системы сил выбранный центр моментов и линии действия всех сил лежат в одной плоскости. Поэтому необходимость задавать каждый раз положение плоскости, проходящей через центр моментов и линию действия силы, отпадает). Положение плоскости в пространстве, как известно, можно задать направлением перпендикуляра к этой плоскости. Таким образом, в определение момента силы относительно точки должны входить как модуль момента, так и указание направления перпендикуляра к плоскости, проходящей через линию действия силы и через выбранную точку. Отсюда вытекает следующее векторное определение момента силы F относительно точки О (рисунок 91): моментом силы F относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный по модулю произведению модуля силы на ее плечо и направленный по перпендикуляру к плоскости ОАВ, проходящей через линию действия силы F и точку О, в ту сторону, откуда вращение тела силой представляется происходящим против часовой стрелки. Рисунок 91 Обозначим момент силы F относительно точки О символом mO F . Модуль этого момента mO F   Fd , где d — плечо силы, т. е. Длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы F . Выразим теперь момент mO F  силы F относительно точки О с помощью векторного произведения r  F , где вектор r  OA называется радиусом-вектором точки А приложения силы F относительно точки О (рисунок 91). Модуль этого векторного произведения (рисунок 91)   r  F  Fr sin r ,  F  Fd  2пл.OAB (1) Но модуль mO F  вектора-момента mO F  силы F относительно точки О тоже равен Fd или 2пл.OAB , поэтому mO F   r  F . (2) Направлен же вектор r  F перпендикулярно к плоскости ОАВ в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение вектора r с вектором силы F (если их отложить от одной точки) видно происходящим против хода часовой стрелки. Но точно так же направлен и вектор-момент mO F  силы F относительно точки О. Расставим модуль вектора-момента mO F , определяемый формулой (2), и принимая во внимание его направление, приходим к заключению, что вектор-момент mO F  можно выразить с помощью векторного произведения r  F т. е. mO F   r  F . (3) Таким образом, момент силы относительно точки равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы. 3.2 Момент силы относительно оси При изучении произвольной пространственной системы сил, кроме уже введенного понятия о векторе-моменте силы относительно точки, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси. Рассмотрим тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рисунок 92) (Очертание тела, как не имеющее значения для вывода, мы здесь не изображаем). Пусть на это тело действует сила F , приложенная в точке А тела. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную к оси вращения тела z, которая пересекается с плоскостью ху в точке О. Разложим данную силу F на две составляющие: Fÿ , параллельную оси z, и Fÿí , лежащую в .плоскости ху и являющуюся одновременно проекцией силы F на эту плоскость. Составляющая Fÿ , очевидно, не может повернуть тело вокруг оси z. Эта составляющая только стремится сдвинуть тело вдоль оси z. Отсюда следует, что весь вращательный эффект, создаваемый данной силой F , по отношению к оси z, будет одинаков с вращательным эффектом, создаваемым ее составляющей Fxy по отношению к оси z или точке О. Момент силы относительно оси определяется так: mz F   mz Fxy   mO Fxy    Fxy d , (1) где символ mz F  обозначает момент данной силы F относительно оси z; mz Fxy  – момент составляющей Fxy силы F относительно той же оси z; mO Fxy  – момент составляющей Fxy силы F относительно точки О, в которой ось z пересекается с перпендикулярной к ней плоскостью xy. Из рисунка 92, видно, что при вычислении момента силы относительно точки по формуле (1) плоскость ху можно проводить через любую точку оси z. Рисунок 92 Таким образом, момент силы относительно оси равен, моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью. Момент силы F относительно оси считают положительным, если с положительного конца оси поворот, совершаемый составляющей Fxy этой силы F , виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Момент силы F относительно оси вполне определяется своей абсолютной величиной и знаком и является, следовательно, алгебраической, а не векторной величиной. Рассмотренное в § 11 понятие момента силы относительно точки представляет собой момент силы, лежащей в плоскости Оху относительно оси Оz. Поэтому для произвольной плоской системы сил было достаточно принять определение момента силы относительно точки как алгебраическую величину. Для того чтобы найти момент какой-либо силы относительно какойнибудь оси z, нужно: 1) провести плоскость лгу, перпендикулярную коси z; 2) спроектировать силу F на эту плоскость и вычислить модуль Fxy ее составляющей Fxy ; 3) опустить из точки О пересечения оси г с плоскостью ху перпендикуляр на линию действия составляющей Fxy и найти его длину d, т. е. плечо силы Fxy относительно точки О; 4) вычислить произведение Fxy d ; 5) определить знак момента силы Fxy относительно точки О. Из определения момента силы F относительно данной оси z следует: 1. Момент силы F относительно данной оси z не изменяется при переносе точки A приложения этой силы вдоль линии ее действия, так как при этом не изменяется ни проекция Fxy силы F на плоскость ху, ни ее плечо d. 2. Момент силы F относительно данной оси z равен нулю в тех случаях, когда линия действия этой силы и ось г лежат в одной плоскости. При этом возможны следующие частные случаи: а) сила F параллельна оси z (в этом случае Fxy  0 ); б) линия действия силы F пересекает ось z (в этом случае d  0 ). 3. Если сила F перпендикулярна к оси z, то модуль ее момента относительно этой оси равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью. 3.3. Зависимость между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно точки, лежащей на этой оси Пусть на тело действует приложенная в точке А сила F (рисунок 93). Момент этой силы относительно точки О определится, как мы знаем, вектором mO F , перпендикулярным к плоскости треугольника ОАВ и по модулю равному удвоенной его площади, т. е.   mO F  2пл.OAB . (1) Рисунок 93 Проведя через взятую на оси z точку О плоскость ху, перпендикулярную к этой оси, и проектируя на плоскость xy силу F , найдем момент силы F относительно точки О:     mz F  mO Fxy  Fxy d  2пл.ОАВ . (2) Но треугольник OAB представляет собой проекцию ОАВ на треугольника плоскость ху. По известной из геометрии теореме площадь проекции равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью этой фигуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями треугольников ОАВ и OAB равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е. углу  между вектором момента mO F  и осью z. Поэтому получим, что пл.OAB  пл.OAB cos  . Подставляя это равенство в формулу (2), находим   вектора-момента m F  на ось z выразится так: mz F  2пл.OAB cos  . Проекция O (3)     пр z mO F  mO F cos  . Подставляя в это равенство формулу (1), найдем   пр z mO F  2пл.ОАВ cos  . Сравнивая это равенство с формулой (3), получим     mz F  пр z mO F , (4) т. е. моментом силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора-момента силы F относительно произвольной точки О, лежащей на этой оси. 3.4 Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей Момент данной силы относительно точки О (рисунок 93) F определяется, как мы уже знаем, но формуле   mO F  r  F (1) где r – радиус-вектор точки А приложения силы F .   Формула разложения вектора m O F по координатным осям х, y и z будет иметь вид            mO F  пр x mO F i  пр y mO F j  прz mO F k , (2) где i , j , k – единичные векторы координатных осей Ох, Оу и Оz. Как известно из векторной алгебры, векторное произведение r  F можно представить символически через определитель: i x X j y Y k z , Z где х, у, z – координаты точки А приложения силы F , или проекции радиусвектора r точки А на оси координат Ох, Оу, Оz, а X, У, Z. – проекции силы F на те же оси координат. Таким образом, получим для вектора-момента силы F относительно точки О, принимаемой нами за начало координат, следующее выражение: i mO F  r  F  x X   Разлагая детерминант по j y Y элементам k z . Z первой строки, получим   разложение вектора m O F покоординатным осям в несколько ином виде:   mO F   yZ  zY i  zX  xZ  j  xY  yX k . Сравнивая это равенство с формулой (2), получим проекции вектора   m O F на оси координат:    пр m F  j  zX  xZ ; пр m F k  xY  yX . пр x mO F i  yZ  zY ; Но согласно y O z O формуле (4, §33) можно получить следующее аналитическое выражение моментов силы F относительно координатных осей:       mz F  yZ  zY ;   m y F  zX  xZ ;  mz F  xY  yX . С формул помощью этих момент силы относительно оси (3) можно вычислить, зная проекции силы и координаты точки ее приложения. Задача 18. Сила F расположена в плоскости АВСD, параллельной Рисунок 94 координатной плоскости Охz, и наклонена к горизонту под углом α; при этом СB  a , OC  b (рисунок 94). Определить момент силы F относительно каждой оси координат.   Р е ш е н и е . Найдем момент mx F силы F относительно оси x. Для   вычисления mx F проектируем силу F на плоскость Оyz; получаем Fyz  F sin  . Плечо силы F yx относительно точки О равно b, а поворот ее с конца оси х виден происходящим по ходу часовой стрелки, следовательно   mx F  bF sin  .   Момент mx F силы F относительно оси х можно вычислить аналитически по формуле   mx F  yZ  zY , (4) где под у и z будем понимать координаты точки В, для которой y  b , z  0 (так как х, у, z в формулах (3) являются координатами любой точки на |линии действия силы F (точку приложения А силы F можно переносить вдоль линии действия силы F ), то для удобства вычислений следует выбирать точку (х, у, z) так, чтобы одна или несколько координат ее обращались в нуль). Проекции силы F на оси z и у будут Z  F sin  ; Y  0 . Подставляя эти значения в формулу (4), получим тот же результат:   mx F  bF sin  но только при этом знак момента получается в результате применения формулы (4).   Найдем теперь момент m y F силы F относительно оси у. Так как сила F лежит в плоскости, перпендикулярной к оси у, то     my F  mC F   F  CE , где CE  BC sin   a sin  – плечо силы F . Знак "минус" стоит потому, что поворот силы F с конца оси у виден происходящим по ходу часовой стрелки.   Вычислим теперь m y F аналитически по формуле   my F  zX  xZ , (5) где z и x – координаты точки В, для которой z  0 , x  a . Проекции силы F на оси х и z будут X  F cos  ; Z  F sin  . Подставляя эти значения в формулу (5), получим тот же результат   my F  aF sin  , при этом знак момента получается в результате применения формулы (5).   Наконец, найдем момент mz F силы F относительно оси z. Проекция силы F на плоскость ху равна Fxy  F cos  , а ее плечо относительно точки О равно b. Поворот силы F xy с конца оси z виден происходящим по ходу часовой стрелки, следовательно:   mz F  bF cos  .   Вычислим теперь mz F аналитически по формуле   mz F  xY  yX , (6) где под х и у будем понимать координаты точки D, для которой x  0 y  b . Проекции силы F на оси Ох и Оу будут X  F cos  ; Y  0 . Подставляя эти значения в формулу (6), получим тот же результат   mz F  bF cos  , при этом знак момента также получается в результате применени я формулы (6). 3.5 Момент пары как вектор При рассмотрении пар, не лежащих в одной плоскости, для полной характеристики вращательного действия пары на тело указания только абсолютной величины момента и его знака недостаточно, так как вращательное действие пары на тело зависит еще и от направления в пространстве плоскости действия пары. Поэтому принятое в §14 определение момента пары следует дополнить указанием направления в пространстве плоскости действия пары. Последнее определяется, очевидно, направлением перпендикуляра к плоскости действия пары. Следовательно, в случае пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики вращательного действия на тело каждой из пар необходимо задать: 1) модуль момента пары; 2) направление перпендикуляра к плоскости действия пары и 3) направление вращения пары в ее плоскости. Это приводит к следующему определению момента пары: моментом пары называется вектор, модуль которого равен модулю момента пары, т. е. произведению модуля одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно к плоскости действия пары в ту сторону, откуда поворот тела данной парой виден происходящим против хода часовой стрелки (рисунок 96). Рисунок 96 Момент пары, или вектор-момент пары, будем обозначать буквой m.Так как пару можно перемещать как угодно в ее плоскости действия и переносить из этой плоскости в любую другую плоскость, ей параллельную, то точка приложения вектора-момента m пары безразлична. Поэтому вектормомент m пары представляет собой свободный вектор. На рисунке 97 показано различное положение вектора –момента m ( F1 , F1 ) пары. Легко видеть, что вращательное действие пары на тело действительно определяется ее вектором-моментом m , так как, проведя любую плоскость, перпендикулярную к m , мы найдем плоскость действия пары, измерив в принятом масштабе длину вектора m , определим модуль момента пары, а по направлению m установим направление вращения тела данной парой. Докажем, что вектор-момент m пары ( F1 , F2 ) по модулю и направлению равен векторному произведению радиуса-вектора AB (рисунок 98) на ту из сил F2 этой пары, к началу которой направлен радиус-вектор AB , т. е. AB  F2 . В самом деле, AB  F2  AB  F2 sin   F2 d  m , т. е. модуль векторного произведения AB  F2 равен модулю вектора момента m пары ( F1 , F2 ). При этом вектор AB  F2 , так же как и вектормомент m пары ( F1 , F2 ), направлен по перпендикуляру к плоскости действия пары ( F1 , F2 ) в ту сторону, откуда вращение пары ( F1 , F2 ) видно совершающимся против хода часовой стрелки. Следовательно, m  AB  F2 , (1) что и требовалось доказать. Очевидно, что по модулю вектор-момент пары ( F1 , F2 ) равен векторумоменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т.       е. m  mA F2  mB F1 ; по направлению же векторы m , m A F2 совпадают (рисунок 98). Таким образом, имеем   и mB F1     m  mB F1  mA F2 . Рисунок 97 (2) Рисунок 98 Докажем теперь, что вектор-момент пары равен геометрической сумме векторов-моментов сил, составляющих, эту пару, относительно произвольной точки О пространства. Рассмотрим для этого в плоскости П (рисунок 99) силы F1 и F2   F1 , образующие пару ( F1 , F2 ), и обозначим через r1 и r2 радиусы-векторы точек А и В приложения этих сил. Рисунок 99 Векторы-моменты сил F1 и F2 пары ( F1 , F2 ) относительно любой точки О пространства можно записать так:       mO F1  r1  F1  r1   F2  r1  F2  mO F2  r2  F2 . Отсюда геометрическая сумма векторов-моментов сил данной пары относительно точки О будет       mO F1  mO F2  r1  F2  r2  F2  r2  r1  F2 . Мы видим, что эта геометрическая сумма векторов-моментов представляет вектор, не зависящий от выбора точки О. Так как r2  r1  AB  r , то эта сумма принимает вид     mO F1  mO F2  r  F  AB  F2 , где AB  F2 – вектор-момент m рассматриваемой пары. Это и доказывает, что     m  mO F1  mO F2 . Заметим, что проще всего вычислять вектор-момент пары ( F1 , F2 ) для точки, лежащей на линии действия одной из сил, составляющих пару. В самом деле, определим вектор-момент m этой пары, например для точки А, лежащей на линии действия силы F1 (рисунок 99). Тогда вектор-момент силы F1 относительно точки А будет равен нулю, и нахождение векторамомента m пары ( F1 , F2 ) сведется к нахождению вектора-момента силы F2 относительно точки А. Действительно,       m  mА F1  mА F2  mА F2 ,     m  m F   r  F , так как mА F1  0 . Но mА F2  r  F2 , поэтому А 2 2 т. е. мы непосредственно приходит к формуле (1). 3.6 Условие эквивалентности двух пар Условие эквивалентности двух пар можно теперь выразить в следующем общем виде: две пары эквивалентны, если их векторы-моменты m1 и m2 геометрически равны. Действительно, из условия параллельности векторов-моментов m1 и m2 следует, что плоскости действия данных пар параллельны. Обе эти пары можно считать приведенными к одинаковым параллельным плечам, а следовательно, и равным по модулю и параллельным силам. На основании доказанной в § 6.5 теоремы одна из этих пар может быть перенесена в плоскость действия второй пары. Кроме того, из условия равенства модулей векторов-моментов m1 и m2 следует, что данные пары имеют численно равные моменты. Так как по условию векторы-моменты m1 и m2 направлены в одну сторону, то пары имеют одинаковое направление вращения. Но из §3.4 мы знаем, что две пары, лежащие в одной плоскости действия и имеющие одинаковые по численному значению и по направлению вращения моменты, эквивалентны. Следовательно, и рассматриваемые нами пары тоже эквивалентны. 3.7 Сложение пар, лежащих в разных плоскостях. Условие равновесия пар Докажем следующую основную теорему о сложении системы пар, лежащих в разных плоскостях: система пар, лежащих в разных плоскостях, эквивалентна одной паре с вектором-моментом, равным геометрической сумме векторов-моментов слагаемых пар. Рассмотрим сначала сложение двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостях П1 и П2 с векторами-моментами m1 и m2 (рисунок 120). Приведем эти пары к общему плечу. Для этого на линии Рисунок 100 пересечения плоскостей П 1 и П 2 выберем произвольный отрезок АВ и, перемещая каждую из пар в ее плоскости действия, приведем их к общему плечу АВ  m1 m2 , где F1 , F1  F1 F2 и F2 , F2 – соответственно силы первой и второй пары. Сложив по правилу параллелограмма силы F1 и F2 . приложенные в точке А, получим равнодействующую R  . Точно так же, сложив силы F1 и F2 , приложенные в точке В, получим равнодействующую R . Силы R  и R равны по модулю, параллельны (вследствие равенства и параллельности соответствующих сторон параллелограмма сил) и направлены в противоположные стороны. Таким образом, система двух данных пар ( F1 , F1 ) и ( F2 , F2 ) приводится к одной равнодействующей паре ( R , R  ), лежащей в некоторой плоскости П, не совпадающей ни с одной из плоскостей П 1 и П 2 . Найдем вектор-момент m пары ( R , R  ). Так как R  F1  F2 , а вектор-момент всякой пары, в том числе и пары ( R , R  ), равен вектору-моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы, то   m  AB  R  AB  F1  F2  AB  F1  AB  F2 . Но AB  F1  m , а AB  F2  m2 , поэтому окончательно получим m  m1  m2 , (1) т. е. вектор-момент m равнодействующей пары по модулю и направлению изображается диагональю параллелограмма (рисунок 100), построенного из векторов-моментов слагаемых пар. В этом и состоит доказательство теоремы о сложении двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостях. Если на тело действуют n пар, лежащих в разных плоскостях, то, складывая эти пары в последовательном порядке и применяя каждый раз теорему о сложении двух пар (1), мы установим, что эта система пар заменится одной равнодействующей парой с вектором-моментом n m  m1  m2  .... mn   mi , i 1 (2) где m1 , m2 , …, mn – векторы-моменты слагаемых пар. При сложении нескольких пар, лежащих плоскостях, слагаемых в разных строят из векторов-моментов m1 , m2 , …, mn многоугольник, замыкающая сторона которого будет изображать вектор- момент m равнодействующей пары (рисунок 101). Рисунок 101 Если слагаемые расположены пары в одной плоскости или в параллельных плоскостях, то в этом случае векторымоменты слагаемых перпендикулярной к пар будут направлены этой плоскости, и их по одной сложение прямой, сведется к алгебраической операции (см. §16). Так как система пар, лежащих в разных плоскостях, заменяется одной равнодействующей парой с вектороммоментом n m   mi , (3) i 1 то очевидно, что для равновесия этих пар необходимо и достаточно, чтобы вектор-момент этой равнодействующей пары был равен нулю, т. е. m 0 (4)  mi  0 . (5) или Таким образом, для равновесия системы пар, лежащих в разных плоскостях, необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю геометрическая сумма векторов-моментов составляющих пар, или, иначе, чтобы многоугольник, построенный из этих векторов-моментов, был замкнут. Из формулы (4) следует, что модуль m вектора-момента m равнодействующей пары должен равняться нулю, т. е. m  0 . Последнее согласно формуле (4) будет иметь место только тогда, когда mx  0 , m y  0 и mz  0 . Отсюда согласно формуле (5) получаем аналитическое условие равновесия системы пар, лежащих в разных плоскостях, в следующей форме mix  0 ; miy  0 ; miz  0 . (6) 3.8 Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай пространственной системы параллельных сил 1. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Остановимся теперь на случае, когда произвольная пространственная система сил такова, что ее главный вектор R и главный вектор-момент M O относительно произвольного центра приведения О одновременно равны нулю: R  0 ; MO  0 (1) или F0.  Fi  0 ; m O i Очевидно, что такая система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии. Наоборот, если данная система сил находится в равновесии, то должны выполняться условия (1). В самом деле, если бы, например, R  0 , но MO  0 , то данная система сил привелась бы к равнодействующей R  R , приложенной в центре приведения О, и равновесия не было бы. Если бы R  0 , но MO  0 , то данная система сил привелась бы к одной паре и равновесия также не было бы. Не будет равновесия и в том случае, когда R  0 и MO  0 , так как сила и пара не могут уравновесить друг друга. Отсюда следует, что для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный вектор-момент относительно произвольно выбранного центра приведения одновременно были равны нулю. Условия (1) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в векторной форме. Этим условиям равновесия можно придать более удобную для практических целей аналитическую форму. Из формул (6, §39 и (9, §39) для модулей главного вектора R и главного вектора-момента M O произвольной пространственной системы сил следует, что R 'и M O одновременно обращаются в нуль при соблюдении следующих шести условий:   i  1 i  1 i  1   n n n  m F  ; m F  ; m F  .   x i y i z i i  1 i  1 i  1  n n n X  ; Y  ; Z  ;  i i  i   (2) Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из трех любым образом выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю. Условия (2) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в аналитической форме. Заметим, что условия равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, приложенных к свободному твердому телу, вообще говоря, не будут условиями равновесия этого тела. Как будет показано в динамике, свободное твердое тело при выполнении условий равновесия (2) может двигаться поступательно, прямолинейно и равномерно вдоль осей координат и одновременно равномерно вращаться вокруг этих осей. Для того чтобы условия равновесия (2) произвольной пространственной системы сил были одновременно и условиями равновесия свободного твердого тела, к которому эта система сил приложена, необходимо потребовать, чтобы до приложения указанной системы сил тело находилось в покое относительно выбранной системы отсчета. При этом первые три равенства (2) выражают необходимые условия того, чтобы тело не имело перемещений вдоль координатных осей, а последние три являются условиями отсутствия вращений вокруг этих осей. 2. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Если линии действия всех сил данной системы сил расположены в разных плоскостях и параллельны между собой, то такая система сил называется пространственной системой параллельных сил. Пользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространственной системы параллельных сил (выведенные нами ранее условия равновесия для плоской и пространственной систем сходящихся сил, произвольной плоской системы сил и плоской системы параллельных сил также можно было бы получить, пользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил). Пусть на действует твердое тело пространственная система параллельных сил (рисунок 110). Так как выбор координатных осей произволен, то можно выбрать координатные оси так, чтобы ось z была параллельна силам. При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z будут равны нулю, и, следовательно, равенства Xi  0 , Рисунок 110 Yi  0 и mzFi 0 удовлетворяются независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, а поэтому перестают быть условиями равновесия**. Поэтому система (2) даст только три условия равновесия: n Zi 0; i1 n  m F 0;  x i i1 mF0.  n i1 y (3) i Следовательно, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам, также равнялась нулю. 3.9 Равновесие твердого тела с одной и с двумя закрепленными точками. Указания к решению задач 1. Равновесие твердого тела с одной закрепленной точкой. Выведенные в § 3.8 условия равновесия, а также установленные нами ранее условия равновесия для частных случаев расположения сил являются условиями равновесия свободного твердого тела. На практике мы обычно имеем дело с телами несвободными. Примером несвободного тела может служить тело с одной неподвижной точкой. Неподвижное закрепление точки тела можно осуществить, например, при помощи сферического шарнира, т. е. приспособления, обеспечивающего неподвижность Рисунок 111 точки закрепления тела и допускающего возможность поворота тела вокруг любой оси, проходящей через эту точку. Пусть на твердое тело с одной закрепленной точкой О (рисунок 111) действует произвольная пространственная система сил Fi i  1,2, ...,n . Под действием этой системы сил возникает сила реакции RO , неподвижно закрепленной точки О, которая служит связью. Эта реакция неизвестна ни по модулю, ни по направлению. Выбирая начало координат в неподвижной точке, разложим реакцию RO на три составляющие, Rx , R y и Rz , имеющие направление осей координат. Отбрасывая связь и заменяя ее действие на тело реакциями Rx , R y и Rz , можно данное несвободное тело рассматривать как свободное и написать для него шесть соотношений равновесия:  Rz  0 ;   i 1 i 1 i 1   n n n  mx Fi  0;  m y Fi  0;  mz Fi  0.   i 1 i 1 i 1 n  X i  Rx  0 ;   n  Yi  Ry  0;   n Z i (1)   Моменты силы RO относительно всех трех координатных осей равны нулю, так как сила RO пересекает все эти три оси. Поэтому в последние три соотношения входят только активные силы Fi i  1,2, ...,n . Те из соотношений (1), в которые не входит реакция связи RO называются условиями равновесия. В последние три соотношения проекции реакции RO закрепленной точки не входят. Следовательно, эти три соотношения являются условиями равновесия, которым должны удовлетворять активные силы Fi i  1,2, ...,n , действующие на тело, чтобы оно оставалось в равновесии. Соотношения (1), в которые реакция связи RO входит, называются уравнениями равновесия. В первые три соотношения проекции реакции RO закрепленной точки входят, поэтому эти соотношения являются уравнениями равновесия, из которых можно определить проекции Rx , R y и Rz Рисунок 112 неизвестной реакции RO и, следовательно, можем найти и реакцию RO . 2. Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками. Неподвижное закрепление двух точек А и В тела можно осуществить, например, при помощи сферических шарниров или подпятников (рисунок 112, а). Ясно, что прямая, проходящая через точки А и В, также будет неподвижной. Эта прямая называется осью вращения. Тело в этом случае имеет возможность поворачиваться вокруг оси вращения. Примем точку А за начало координат и направим ось z по оси вращения АВ. Расстояние между точками А и В обозначим через h. Пусть на это тело действует произвольная пространственная система сил Fi i  1,2, ...,n . Тогда в результате действия на тело сил этой системы в точках закрепления А и В возникнут силы реакций R A и RB . Разложим эти неизвестные по модулю и направлению реакций на составляющие по осям координат. Обозначим эти составляющие соответственно через R Ax , R Ay , R Az и RBx , RBy , RBz . Отбрасывая связи и заменяя их действие на тело реакциями R A и RB , можно данное несвободное тело рассматривать как свободное и написать для него шесть соотношении равновесия (моменты силы R A относительно координатных осей равны нулю, так как эта сила пересекает все эти три оси):  R Ay  RBy  0 ;   i 1 i 1   n  Z i  R Az  RBz  0 ;  i 1   n n  m x Fi  hRBx  0 ;  m y Fi  hRBz  0 ;   i 1 i 1   n  m z Fi  0.   i 1 n  X i  RAx  RBx  0; n Y i     (2)   В последнее из соотношений (2) неизвестные силы реакций закрепленных точек А и В не входят. Следовательно, это соотношение является условием равновесия, которому должны удовлетворять заданные силы Fi i  1,2, ...,n , действующие на тело, чтобы оно оставалось в равновесии. Первые пять соотношений содержат силы реакций, поэтому они будут являться уравнениями равновесия. Эти пять уравнений равновесия служат для определения шести проекций R Ax , R Ay , R Az , RBx , RBy , RBz неизвестных реакций R A и RB . Одна неизвестная является лишней. Следовательно, задача будет статически неопределимой. Эта статическая неопределимость устраняется, если предположить, что в одной из точек закрепления, например в точке В, имеется подшипник (рисунок 112, б). 3. Указания к решению задач. Задачи этой главы можно разбить на два основных типа: 1) задачи, относящиеся к равновесию произвольной пространственной системы сил; 2) задачи, относящиеся к приведению произвольной пространственной системы сил к простейшему виду. Принцип решения задач первого типа остается тем же, что и для произвольной плоской системы сил. Установив, равновесие какого тела будет рассматриваться, отбрасывают наложенные на тело связи, заменяют их действие на тело соответствующими силами реакций и составляют уравнения равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Задачи этого типа решаются при помощи шести уравнений равновесия (в частном случае, когда все заданные силы и реакции связей параллельны, имеем три уравнения равновесия). При составлении уравнений равновесия для определения проекций сил на координатные оси нужно воспользоваться указаниями, данными в §24. Новым элементом при решении задач первого типа в составлении уравнений равновесия является вычисление моментов сил относительно осей координат. Ось моментов рекомендуется выбирать лежащей в плоскости одной из неизвестных сил. Тогда момент этой силы относительно данной оси будет равен нулю. Момент силы относительно координатной оси можно вычислить двумя способами: 1) аналитически, пользуясь формулами (3, §34), выражающими искомый момент силы через проекции этой силы на координатные оси и через координаты ее точки приложения; 2) геометрически, проектируя данную силу на координатную плоскость, перпендикулярную к этой оси, и вычисляя момент этой проекции относительно начала координат. В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие, из которых одна параллельна какойнибудь координатной оси. Затем нужно воспользоваться теоремой Вариньона о моменте равнодействующей. При решении задач второго типа рекомендуется придерживаться следующего порядка: 1. Принимаем выбранный нами центр приведения за начало координат и направляем координатные оси так, чтобы, можно было проще определять проекции сил на оси и моменты сил относительно этих осей. 2. Определяем проекции главного вектора R  данной системы и ее главного вектора-момента M O на каждую из трех координатных осей. 3. Устанавливаем, к какому простейшему виду приводится данная система сил: А. Если окажется равной нулю каждая проекция R  на координатные оси и не равной нулю хотя бы одна проекция M O на те же оси, то R  0 , M O  0 , и данная система сил приводится к одной паре, вектор-момент которой равен главному вектору-моменту MO данной системы сил относительно выбранного центра приведения О (начала координат). В этом случае остается найти модуль и направляющие косинусы главного векторамомента M O по формулам (9, 10, §39). Б. Если хотя бы одна из проекций R  на координатные оси не равна нулю, а каждая проекция M O на те же оси равна нулю, то R  0 , M  0 , и данная система сил приводится к равнодействующей, равной главному вектору R  , линия действия которой проходит через центр приведения О. В этом случае остается вычислить модуль и направляющие косинусы этой равнодействующей по формулам (6, 7, §39). В. Если хотя бы одна из проекций R  на координатные оси и хотя бы одна из проекций M O на те же оси не равны нулю, то R  0 , M O  0 . Если при этом окажется, что R  M O  0 , т. е. главный вектор-момент M O окажется перпендикулярным к главному вектору R  , то данная система сил также приводится к равнодействующей, равной главному вектору R  . При этом модуль и направляющие косинусы равнодействующей определяются но тем же формулам (6, 7, §6.9). В данном случае точка А приложения равнодействующей, как известно, не совпадает е центром приведения О. Положение точки А приложения равнодействующей силы может быть определено после определения положения M O при помощи формул (10, §39). Точка А будет лежать на перпендикуляре к векторам R  и M O на расстоянии OA  MO . При этом перпендикуляр необходимо восставлять в ту сторону, R откуда наблюдателю, расположенному по главному вектору-моменту M O , поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки. Г. Если же окажется R  M O  0 , т. е. если R  0 и M O  0 и, кроме того, M O не перпендикулярен к R  , то данная система сил приводится к динаме. В этом случае нужно найти точку А, через которую проходит центральная ось данной системы сил, а также модуль вектора-момента M * относительно этой точки. Модуль M * вектора-момента M * динамы определяется по формуле (1, §42). Так как центральная ось данной системы сил параллельна главному вектору R  этой системы, то направление центральной оси необходимо определить по формулам (7, §39). Координаты х и у точки пересечения центральной оси с плоскостью хоу определяются уравнениями центральной оси (4, §42) после подстановки в них z  0 . Задача 19. Систему двух сил F1  8 кГ, направленную по оси Рисунок 113 Оz, и F2  12 кГ, направленную параллельно оси Оу, как указано на рисунке 113, где OB  1,3 м, требуется привести к простейшему виду, определив главный вектор R  и вектор-момент динамы M * . Найти координаты х и у точки пересечения центральной оси с плоскостью Оху. Р е ш е н и е . За центр приведения возьмем точку О, которую примем за начало координат; координатные оси Оx, Оу, Oz направим так, как показано на рисунке 113. Чтобы определить для данной системы сил главный вектор R  и главный вектор-момент M O относительно точки О, найдем проекции этих векторов на координатные оси. Для проекций главного вектора R  на координатные оси имеем Rx  X i  0 ; Ry  Yi  12 ; Rz  Z i  8 . Так как точка приложения силы F2 лежит на оси Ох и сила F2 параллельна оси Оу , а точка приложения силы F1 лежит на осях Ох и Оу и сила F1 направлена вдоль оси Оz, то       m F   m F   m F   0 , mx F2  my F2  0 ; mz F2  12  1,3  15,6 ; x 1 y 1 z 1 а поэтому для проекций главного вектора-момента M O на координатные оси имеем       M x  mx Fi  0 ; M y  my Fi  0 ; M z  mz Fi  15,6 . По найденным проекциям главного вектора R  определим его модуль и направляющие косинусы: R  Rx 2  Ry 2  Rz 2  12 2  8 2  14 ,4 кГ;    R   cos R, i   x  0 ; cos R,   R  12  R ; j  y   R 14 , 4  8    Rz cos R, k    .   R 14 ,4 Далее находим модуль главного вектора-момента направляющие косинусы: MO и его M O  M x2  M y2  M z2  15 ,6 кГм;    Mx    My cos M O , i    0 ; cos M O , j   0;   MO   MO    M cos M O , k   z  1 .   MO Так как главный вектор R  данной системы сил не равен нулю, то эта система не может быть приведена к одной паре. Поэтому остается установить, приводится ли система, состоящая из главного вектора R  , приложенного в точке О, и пары с вектором-моментом, равным главному вектору-моменту M O , к равнодействующей или к динаме. Для этого составим выражение для второго инварианта: R  M O  Rx M x  Ry M y  Rz M z  8  15,6  124 ,8 кГм2  0 . Так как второй инвариант нулю не равен, то главный вектор-момент M O не перпендикулярен к главному вектору R  , и, следовательно, данная система из двух сил приводится к динаме (рисунок 114, а). Чтобы найти положение центральной оси, составим уравнения (4, §42), которые в рассматриваемой задаче примут вид  8 y  12 z 8 x 15 ,6  12 x ,   12 8 или 3z  2 y  0 ; x  0 ,9 . Если положим в этих уравнениях z  0 , то найдем координаты точки А пересечения центральной оси с координатной плоскостью хОу (рисунок 114, б): x  0 ,9 ; y  0 z  0 . Рисунок 114 Точку А пересечения центральной оси с плоскостью хОу можно найти и другим путем. Для этого найдем модуль вектора-момента M 1 (рисунок 114, а): 12 187 ,2        кГм. M 1  M O sin M O , R   M O cos R, j   15 ,6   14 ,4 14 ,4     Представляя вектор-момент M 1 в виде пары ( RA ,  R ), которую он изображает, найдем точку А, принадлежащую центральной оси:    M O cos R, j  M1    187 ,2  0 ,9 м, OA   R R 208 т. е. центральная ось данной системы сил проходит через точку А с координатами x  0 ,9 ; y  0 z  0 . Теперь найдем модуль М* вектора-момента M * данной системы сил относительно любой точки, лежащей на центральной оси (наименьший главный вектор-момент). Разложим по правилу параллелограмма главный вектор-момент M O относительно точки О на две составляющие (рисунок 114, а): M * , параллельную R  , и M 1 перпендикулярную R  . Заметим, что первая составляющая является искомым наименьшим главным вектороммоментом. Проекция главного вектора-момента M O на направления главного вектора R  определяется по формуле    RM O cos M O , R        R  M O . M *  M O cos M O , R   R R   Подставляя сюда найденное значение второго инварианта R  M O и модуля главного вектора, получим M*  124 ,8  8 ,65 кГм. 14 ,4 Так как в данном случае R  M O  0 , то параллельные векторы R  RA и M * направлены в одну сторону. Раздел 2. Кинематика точки и твердого тела Глава 8. Кинематика точки 8.1. Введение в кинематику. 8.2. Способы задания движения точки. 8.3. Вектор скорости точки. 8.4. Вектор ускорения точки. 8.5. Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения. 8.6. Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения. 8.7. Определение траектории точки по заданным уравнениям движения точки. 8.1 Введение в кинематику Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих них сил. Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. В дальнейшем будем говорить о движении тела (или точки) по отношению к данной системе отсчета, подразумевая под этим движение по отношению к тому телу, с которым эта система отсчета связана. Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны). Выбор системы отсчета в кинематике произволен, и в отличие от динамики все кинематические зависимости, полученные при изучении движения в какой-нибудь одной системе отсчета, будут справедливы и в любой другой системе отсчета. Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем как трехмерное евклидово пространство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается 1 метр (м). За единицу времени принимается 1 секунда (с). В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t . Отсчет времени ведется некоторого начального момента (t  0) , о выборе которого в каждом случае условливаются. Разность между какими-нибудь двумя последовательными моментами времени называют промежутком времени. Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано). Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) – значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Установление математических способов задания движения точек или тел является одной из важных задач кинематики. Изучение кинематики начнем с изучения движения простейшего объекта – точки (кинематика точки), а затем перейдем к изучению кинематики твердого тела. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая – криволинейным. 8.2. Способы задания движения точки Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный (или траекторный). 1. Векторный способ задания движения точки. Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz (рис.1.1). Положение этой точки в любой момент времени можно определить, Рисунок 1.1 задав её радиус-вектор r , проведенный из начала координат в точку M . При движении точки M вектор r будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, r является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t : r  r (t ) . (1) Это равенство и определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор r и найти положение движущейся точки. Геометрическое место концов вектора r , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки. Аналитически, как известно, вектор задается его проекциями на координатные оси. Для вектора r будет: rx  x; ry  y и rz  z , где x, y, z - координаты точки. Тогда, если ввести единичные векторы (орты) координатных осей, получим для вектора выражение r  xi  yj  zk . (2) Следовательно, зависимость r  r (t ) будет известна, если будут заданы координаты x, y, z точки как функции времени. Такой способ задания движения точки (координатный) рассмотрим ниже. 2.Координатный способ задания движения точки. Чтобы знать закон движения точки, т.е. её положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости x  f1 (t ), y  f 2 (t ), z  f 3 (t ) . (3) Эти уравнения и есть уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Если движение происходит в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость Oxy, получим x  f1 (t ), y  f 2 (t ) (4) При прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось Ох, движение будет определяться одним уравнением x  f (t ) (5) Это и есть закон прямолинейного движения. 3. Естественный способ задания движения точки. Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться, когда траектория точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при её движении относительно координат Oxyz (рис. 1.2). Выберем на этой траектории точку (неподвижную) О и примем её за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направление отсчета. Положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой S , которая равна расстоянию от точки О до точки М , измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При перемещении точки расстояние S с течением времени будет изменяться. Рисунок 1.2 Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени надо знать зависимость S  f (t ) . Это уравнение и выражает закон движения точки М вдоль траектории. (6) Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траектории с указанием знака (+ или –); 3) закон движения точки вдоль траектории в виде S  f (t ) . 8.3. Вектор скорости точки Одной из кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Скорость точки - это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М (рис. 1.3), определяемом радиус-вектором r , а в момент t1 приходит в положение M 1 , определяемое вектором r1 . Тогда перемещение точки за промежуток времени t  t1  t определяется вектором MM 1 , который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно (рис. 1.3,а), и вдоль самой траектории AB , когда движение является прямолинейным (рис. 1.3,б). Рисунок 1.3 Из треугольника ОММ1 , видно, что r  MM 1  r1 , следовательно, MM 1  r1  r  r . Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени t : Vср  MM 1 r .  t t (7) Направлен вектор Vср так же, как и вектор ММ 1 , т.е. при криволинейном движении вдоль хорды ММ 1 , в сторону движения точки, а при прямолинейном движении – вдоль самой траектории. Очевидно, что чем меньше промежуток времени t , тем величина Vср будет точнее характеризовать движение точки. Поэтому скоростью точки V в данный момент времени t называется векторная величина V , к которой стремится скорость Vср при стремлении промежутка времени t к нулю. V  lim Vср  lim t 0 Предел отношения r . t t 0 r при t  0 представляет собой первую производную от t вектора r по аргументу t и обозначается V  dr , тогда dt dr . dt (8) Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора точки по времени. Так как предельным направлением секущей ММ 1 является касательная, то вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Размерность скорости L , т.е. длина время . Единицы измерения м с, км ч . T 8.4. Вектор ускорения точки Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости. Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость V (рис.1.4), а в момент времени t1 приходит в точку М 1 и имеет Рисунок 1.4 скорость V1 . Тогда за промежуток времени t  t1  t скорость изменится на V  V1  V . Для построения вектора V отложим от точки М вектор, равный V , и построим параллелограмм, в котором диагональю будет V1 , а одной из сторон V . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображением вектора V . Заметим, что вектор V всегда направлен в сторону вогнутости траектории. Отношение V к t определяет вектор среднего ускорения точки за промежуток времени t . aср  V . t (9) Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор V , т.е. направлен в сторону вогнутости траектории. Тогда a  lim V dV  t dt t 0 или с учетом равенства (8), a dV d 2 r  2 . dt dt (10) Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени. Размерность Вектор длина L м , т.е. . Единица измерения 2 . 2 2 T с (время ) а направлен, также как и вектор аср , лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону её вогнутости. 8.5. Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения 8.5.1. Скорость точки Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 1.5): x  f ( t ), y  f ( t ), z  f ( t ) . 1 2 3 Рисунок 1.5    Обозначим орты осей координат i , j , k . Проведем из начала координат О в  движущуюся точку М радиус-вектор r . Согласно рис. 1.5 ОМ  ОА  АВ  ВМ или rxiyjzk. Скорость точки равна производной от радиус-вектора по времени. Найдем эту    производную, учитывая, что орты i , j , k имеют неизменные модули и направления, т.е. постоянны и могут быть вынесены за знак производной:   d  r dx dy dz V  i  j  k . dtdtdtdt Построив прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям   координат, а диагональ совпадает со скорость V , получим проекции скорости V на оси координат Vx ,Vy ,Vz , равные алгебраическим величинам отрезков Ма, Мb, Mc. Тогда разложение скорости на компоненты по осям координат примет вид     V  iV jV k V x y z. Сопоставляя обе формулы, определяющие скорость находим dx dy dz V V V x , y , z . dt dt dt (11) Следовательно, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Пользуясь принятым обозначением производных по времени, имеем ,V ,V . V x y z x y z (12) Зная проекции скорости, можно найти её модуль и направление (т.е. углы  ,  ,  ,  которые вектор V образует с координатными осями) по формулам    V V V y 2 2 2 x z V V V V  , cos , cos  . x y z , cos V V V 8.5.2. Ускорение точки Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 1.6): x  f ( t ), y  f ( t ), z  f ( t ) 1 2 3 .  Радиус-вектор r движущейся точки М представлен в виде rxiyjzk. (13) Рисунок 1.6 Так как ускорение точки равно второй производной от радиус-вектора по времени,    а векторы i , j , k постоянны, то имеем  2 2 2 2 d r d xd yd z a 2 i 2 j 2 k2. dtdt dt dt  Разлагаем ускорение a на составляющие по осям координат:    a ia ja k a x y z,  где ax , ay , az - проекции ускорения a на оси x, y, z . Сопоставляя обе формулы, определяющие ускорение, получаем: 2 2 2 d x d y d z       a   x , a   y , a   z x y z 2 2 2 dt dt dt (14) Так как первые производные от координат точки по времени равны проекциям скорости на соответствующие оси, т.е. dx dy dz  V ,  V ,  V x y z, то проекции ускорения dt dt dt точки можно представить в другом виде: dVdV dV y z a x, a  , a x y z . dt dt dt Таким образом, проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся по формулам    a a a y 2 2 2 x z a a a a  , cos , cos  , x y z , cos 1 1 1 a a a где 1 , 1 , 1 - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями. (15) 8.6. Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения При естественном способе задания движения точки заданы траектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории в виде S=f(t).   В этом случае значения V и a определяют по их проекциям не на оси системы отсчета Oxyz, а на подвижные оси Mτnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею( рис.1.7). Эти оси называют осями естественного трехгранника (или скоростными осями) и направлены они следующим образом: ось Мτ – по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния S; Рисунок 1.7 ось Mn – по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb – перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей. Mn – называется главной нормалью, если она лежит в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), перпендикулярная ей нормаль Mb – бинормалью. 8.6.1. Скорость точки  Найдем значение скорости точки V . Если за промежуток времени t точка совершит вдоль дуги траектории перемещение ММ 1  ΔS (рис. 1.2), где одновременно ΔS – приращение координаты S, то численно средней скоростью точки за этот промежуток времени будет Vср  S и в пределе, найдем, что t S V lim , dS  t или V  S . dt t 0 (16) Таким образом, числовое значение скорости точки в данный момент времени равно первой производной от расстояния (криволинейной координаты) S этой точки по времени. Значение скорости V можно также находить как отношение элементарного перемещения dS точки к соответствующему промежутку времени dt. Так как всегда dt>0, то знак скорости совпадает со знаком dS. Следовательно, когда V>0, скорость направлена в сторону положительного отсчета расстояния S, а когда V<0, - в противоположную сторону. Таким образом, величина V одновременно определяет и модуль скорости, и сторону, куда она направлена. 8.6.2. Ускорение точки  Установлено, что ускорение а лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоско сти Mτn. Следовательно, проекция вектора а на бинормаль равна нулю ( аb  0 ).     dV d2r Найдем проекции а на две другие оси. Проектируя обе части равенства a  2 на dt dt    оси Мτ и Мn и обозначая символами (dV ) и (dV ) n проекции вектора dV на эти оси получим:   ( d V ) ( d V ,a ) n a .  n dt dt (17) Рисунок 1.8  Вектор dV представляет собой разность между скоростями в двух соседних точках      М и М  (рис. 123,Т), т.е. dVVV. Отложим векторы V  МА и V   МВ от общего  начала (рис. 1.8), тогда dV  АВ, а фигуру АСВD при бесконечно малом угле d можно   ( d V )  AC  DB  MB  MA  V  V  dV рассматривать как прямоугольник. Отсюда , где  dV – элементарное приращение числового значения скорости. Далее, поскольку предел отношения дуги к хорде равен единице, можно АD рассматривать как элементарную дугу радиуса МА, размер которой определяется произведением радиуса на центральный угол.    d V )  AD  MA  d   Vd  Тогда ( . Подставляя найденные значения (dV ) и (dV ) n в n   ( d V ) ( d V )  n ,a формулы проекций a , получим:  n dt dt dV Vd  a .   ,a n dt dt (18) Угол между касательными к кривой в двух ее точках называется углом смежности, тогда d - элементарный угол смежности. Отношение d к dS= ММ  , определяет кривизну кривой в точке М, а кривизна k является величиной, обратной радиусу кривизны в этой точке, т.е. d 1 k  . dS  Введем эту величину в равенство an  (19) Vd dS и преобразуем его, учтя, что V  ,к dt dt виду  2 ddS1 V a  V  V   V  . n dS dt   В результате окончательно получим: 2 2 dV d S V a   , a  , a  .  b 2 n dt dt  (20) Таким образом, проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от числового значения скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) S по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Это одна из важных теорем кинематики. Величины а и аn называют касательным и нормальным ускорениями точки. При движении точки М в одной плоскости касательная Мτ поворачивается вокруг бинормали Mb с угловой скоростью   Vd d . Тогда an  дает еще одну формулу для dt dt вычисления аn : аn  V . Это значит, что нормальное ускорение равно произведению скорости точки на угловую скорость поворота касательной к траектории. Кроме числового значения полного ускорения и его составляющих а и аn важно  знать их направление. Отложим вдоль касательной Мτ и главной нормали Mn векторы а   и аn (рис.1.9). При этом составляющая аn всегда направлена в сторону вогнутости  кривой, так как всегда аn >0, а составляющая а может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Мτ в зависимости от знака а . Рисунок 1.9    Вектор а изображается диагональю параллелограмма, построенного на а и аn .  Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора а и угол µ его отклонения от нормали Mn определяется формулами: 2 2  dV V     a  a  a       , dt     2 2 2 n tg  где - a an , (21)      ; при µ>0 вектор а отклонен от нормали Mn в сторону оси Мτ, а при µ<0 – 2 2 в противоположную сторону. Таким образом, если движение точки задано естественным способом, то, зная траекторию (а, следовательно, и ее радиус кривизны в любой точке) и закон движения, т.е. зависимость S  f (t ) , можно определить модуль и направление векторов скорости и ускорения в любой момент времени. 8.7 Определение траектории точки по заданным уравнениям движения точки Задачи, решаемые методами кинематики точки, могут состоять в определении траектории точки. Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки. Для этого нужно из уравнений движения исключить время t. Так, исключив время t из уравнений (3), получим уравнение траектории f ( x, y, z )  0, (22) а после исключения времени t из уравнения (4) уравнение траектории примет вид f ( x, y)  0. (23) Например, исключив время t из заданных уравнений x  2t и y  3t , получим уравнение траектории 3x  2 y  0 . В этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат. Глава 9. Поступательное и вращательное движение твердого тела 9.1. Поступательное движение. 9.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси: 9.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение тела. 9.2.2. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Различают пять видов движения твердого тела: 1) поступательное; 2) вращательное; 3) плоское или плоскопараллельное; 4) движение твердого тела вокруг неподвижной точки (сферическое); 5) общий случай движения твердого тела. 9.1 Поступательное движение Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части: 1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом; 2) определение кинематических характеристик отдельных точек тела. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть криволинейными. Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Рисунок 2.1 Для доказательства теоремы выберем две произвольные точки твердого тела А и В, положение которых в момент времени t определяются радиусами-векторами точку В радиус-вектор rA и rB (рис. 132,Т); проведем из точки А в АВ . Тогда   rB  rA  АВ . (24) При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела , а направление АВ АВ во все время   движения тела остается постоянным ( АВ =const). Вследствие этого, как видно из равенства rB  rA  АВ , остается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор траектория точки В получается постоянный вектор из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на АВ . Следовательно, траектории точек А и В будет действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми. Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства   rB  rA  АВ по времени. Получим     drB drA d ( АВ ) drB  drA  d ( АВ ) , но    0.  VB ,  VA , а dt dt dt dt dt dt В результате находим, что   VA  VB , скорости точек А и В геометрически равны, т.е. в любой момент времени скорости точек А и В одинаковы по модулю и направлению. Беря от обеих частей полеченного равенства производные по времени, найдем:     dV A dV или a A  a B .  dt dt Следовательно, ускорении точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению. Так как точки А и В произвольны, то полученные соотношения относятся ко всем точкам. Установленные свойства поступательного движения позволяют свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки этого тела, т.е. к задаче кинематики точки, нами уже рассмотренной. Общие для всех точек твердого тела, движущегося поступательно, скорость   V и ускорение a называют скоростью и ускорением поступательного движения твердого тела. При любом другом движении твердого тела точки тела движутся с различными скоростями и ускорениями. Точки твердого тела, движущегося поступательно, могут описывать любые траектории, в том числе и прямые. Примером поступательного движения твердого тела является движение спарника. Все точки спарника описывают окружности радиусом равным длине кривошипа, и имеют геометрически равные скорости и ускорения. 9.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие – нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно связанные с ним), остаются во все время движения неподвижными (рис. 2.2). Рисунок 2.2 Проходящая через неподвижные точки А и В прямая называется осью вращения. Так как расстояние между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси будут неподвижны, а все остальные будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направлена ось Az, полуплоскость І – неподвижную и полуплоскость ІІ врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним. Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом φ между этими плоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), а отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол φ будем в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т.е.   f (t ) . Это уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε. (25) 9.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение тела Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью. Если за промежуток времени t  t1 t тело совершает поворот на угол 1  , то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет ср   . В пределе при t  0 получим t  d или    . dt (26) Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Правило знаков: когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0. В качестве единицы измерения обычно применяют величина безразмерная, рад или, так как радиан – с 1 1 (с ) . с  В теоретических выкладках удобнее пользоваться вектором угловой скорости  , модуль которого равен  и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки. Этот вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси. Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела. Если за промежуток времени t приращение угловой скорости равно  , то отношение   cр , т.е. определяет значение среднего ускорения вращающегося тела за t время t . При стремлении t  0 получаем величину углового ускорения в момент t: d d2   .  2 или   dt dt  (27) Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела во времени. В качестве единицы измерения обычно применяют рад 1 2 или, что тоже, 2 (с ) . 2 с с Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Когда величины ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет ускоренным, когда разные – замедленным. По аналогии с  угловой скоростью угловое ускорение также можно изобразить в виде вектора  , направленного вдоль оси вращения. При этом    d . dt   Если тело вращается ускоренно направление  совпадает с  , и противоположно   при замедленном вращении. Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной (ω=const), то вращение тела называется равномерным. Из   d имеем d  dt. Отсюда, считая, что в начальный момент времени dt t  0 угол    0 , и беря интегралы слева от  0 до  , а справа от 0 до t, получим окончательно 0 t . (28)  При равномерном вращении, когда  0 =0,   t и   . t Скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и ω 1/с. При одном обороте тело повернется на 2π, а при n оборотах на 2π n; этот поворот делается за 1 мин, т.е. t=1мин=60с. Из этого следует, что 2  n     ,1 n . 6030 (29) Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε=const), то вращение называется равнопеременным. В начальный момент времени t=0 угол    0 , а угловая скорость    0 ( 0 начальная угловая скорость).   d ; d =ε dt . Интегрируя левую часть от 0 до  , а dt правую от 0 до t, найдем 0 t , если заменить   (30) d d  tdt , то = 0  t или d , вторично интегрируя, найдем 0dt dt dt закон равнопеременного вращения t   t 2. 0 2 (31) Угловая скорость ω этого вращения 0 t . Если ω и ε имеют одинаковые знаки, вращение будет равноускоренным, а если разные – равнозамедленным. 9.2.2. Скорости и ускорения точек вращающегося тела 1. Скорости точек тела. Точка М твердого тела (рис. 2.2), находящаяся на расстоянии h от оси вращения, при вращении описывает окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. За время dt тело совершает поворот на угол dφ, а ds h d  d     h или точка М передвигается на dsh d , тогда V dt dt dt V  h . (32) Эта скорость V в отличие от угловой скорости тела называется линейной или окружной скорость точки М. Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние её до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярна плоскости, проходящей через ось вращения и точку М. Так как для всех точек тела угловая скорость  имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Поле скоростей точек вращающегося твердого тела показано на рис. 2.3. Рисунок 2.3 2. Ускорение точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами (20), но ρ=h и V  h , тогда a  h d h22 a  , или dt n h a  h и an  h2 . (33) Касательное ускорение a направлено по касательной к траектории в сторону углового ускорения; нормальное ускорение аn всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис. 2.4). Рисунок 2.4 Полное ускорение точки М будет 2 2 2 4 a a a h    .  n (34) Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой окружности a определяется углом  , который вычисляется по формуле: tg  a . Подставляя значения n a и an , получим tg   . 2 (35) Так как ε и ω для всех точек тела в данный момент времени одно и тоже значение , то из формул ah  4 2 и tg  2 следует, что ускорения всех точек  вращающегося тела пропорционально их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окружностей. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов V и a проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор r точки М (рис.2.5). Тогда h rsin и по формуле V  h V  h   rsin или V  r . Таким образом, модуль векторного произведения   r равен модулю скорости точки М. Направления векторов   r и V тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно, Рисунок 2.5 V   r , (36) т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Эту формулу называют формулой Эйлера. Беря от обеих частей этого равенства производные по времени. Получим d V d r r  d      или     dt dt dt  a (  r) (   V ). (37) Полученная формула определяет вектор ускорения любой точки вращающегося тела. Вектор   r направлен, как и вектор   V , т.е. по касательной к траектории точки М, а  r  rsin   h . Вектор же   V направлен вдоль МС, т.е. по нормали к траектории точки М, а   V   V sin 90   h , так 2 как V  h . Учитывая все эти 2 результаты, а также формулы a  h , an  h , заключаем, что  r  а и V аn . 9.3. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях. Поступательное движение твердого тела, вращательное движение твердого тела, скорость и ускорение точек твердого тела при вращательном движении, классификация поступательного движения твердого тела, классификация вращательного движения твердого тела. Поступательное движение твердого тела – любая прямая тела остается параллельной своему первоначальному положению. Траектория тела – прямая. Ускорение любой точки тела при поступательном движении ; ; - закон вращательного движения твердого тела. [рад/с]; (рад/ ) Задача 1. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону Определить скорость и ускорение точки тела на расстоянии r=0,5 м от оси вращения в момент времени t =1 с. Решение: ; ; в сторону вращение тела равнокскоренное в сторону . ; ; вдоль r от точки к центру кривизны Ответ: . Задача 2. Тело движется поступательно согласно уравению х=0,4t². Определить скорость и ускорение тела при t=2с. x ; тело движется поступательно равноускоренно Ответ: ; . . 9.4 Передаточные механизмы. Передаточные механизмы, преобразование поступательного и вращательного движения твердого тела в механизмах. Передаточные механизмы - это такие механизмы, в которых передается движение от ведущего звена к ведомому. Основная характеристика передаточного механизма передаточное число. -угловая скорость ведущего и ведомого валов; r1 и r2 – радиусы ведомого и ведущего валов; z1 и z2 – число зубьев ведомого и ведущего зубчатых колес. Например: внешняя зубчатая передача Задача: Груз 1 поднимается с помощью лебедки, барабан 2 которой вращается согласно закону . Определить скорость точки М барабана в момент времени t=1c, если диаметр барабана d=0,6м. M 2 1 Рисунок 96 Решение: M В Лебедке груз 1 связан с барабаном 2 гибкой 2 связью (трос, нить). 1 - угловая скорость барабана 2. Ответ: 9.5 Кинематический анализ передаточных механизмов. Поступательное движение твёрдого тела – траектория, скорость, ускорение точек тела. Вращательное движение твёрдого тела – траектория, скорость, ускорение точек тела. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Скорости и ускорения всех точек тела абсолютно равны. Скорость точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние её до оси вращения. Полное ускорение точки М при вращательном движении будет a  a2  an2  h   2   4 . (1) Рисунок 97 Задача: Рисунок 98 Дано: ω1 = 5t-2t2; t1 = 2c; τ1 = 2 см; R1 = 4 см; τ2 = 6 см; R2 = 8 см; τ3 = 12 см; R3 = 16 см; Определить: Ư5; Ưв; ε2; αс; α4; Решение: Обозначим скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса Rj) – через Ưj, а точек, лежащих на внутренних ободах ( радиуса τj) – через ui. Рейка 4, ступенчатые колеса 3 радиусами R3 и τ3 и колесо 2 с радиусами R2 и τ2 находятся в зацеплении; колесо 2 связано с колесом 1 ременной передачей. На вал 1 намотана нить с грузом 5=>Ư5=u1=ω1τ1=(5·2 – 2·22)·2 = 4 см/с; Так как колеса 2 и 1 связаны ременной передачей , => Ư1 = u2 => ω1R1 = ω2τ2; Ưв = ω2τ2 => ω1R1 = ω2R2 = ωв = (5·2-2·22)·4 = 8 см/с; ω1R1 = ω2τ2 => ω2 = 1 R1 (5  2  2  2 2 )  4 2  4 рад = = 1,33 ; 2 6 6 с R  (5  4t ) R1  (5t  2t 2 ) / d 2 d  1 R1    ε2 = =  = = 1 -угловое ускорение  2 2 dt   2  dt колеса 2 ε2 в момент времени t1 = 2c ε2(t1) = 4  (5  4  2) = -2c2 6 ε2 и ω2 разного направления => вращения колеса 2 замедленное Так как колеса 2 и 3 находятся в зацеплении => ω2R2 = ω3R3; Ư2 = Ư3 => ω3 =  2 R2 1,33  8 рад = = 0,67 ; R3 16 с ε3 - угловое ускорение колеса 3; ε3 = d ( 2 R2 )  R R d 3 4  8  (5  4  2) 4  8  (5  4t ) рад = = 1 1 2 = = = -4 2 ; dt ( R3 )  2  R3 64 6  16 dt с ε3 и ω3 разного направления => вращение колеса 3 – замедленное. αсn = ω32·R3 = 0,672·16 = 0,45·16 = 7,18 см/с2; αсτ = ε3·R3 = 4·16 = 64cv/c2; (αс) =  с h 2   c 2 = 7,18 2  64 2 = 51,59  4096 = 64.4 см/с2; Так как колесо 3 и рейка 4 находятся в зацеплении, то υ3=υ4 => ω3R3 = υ4 ; α4 = d ( 3 R3 ) d 4 = = dt dt   2  R2  R   R3  3   = R2 d 2 = R2·ε2 = 8·2 = 16 см/с2;  dt  Ответ: υ5 = 4 см/с; υв = 8 см/с; ε2 = -2 с-2; αс = 64.4 см/с2; α4 = 16 см/с2;