Стационарная теория возмущений

Глава I Стационарная теория возмущений § Теория возмущений в отсутствии вырождения Точные решения стационарного уравнения Шредингера удается получить в очень ограниченном числе случаев (движение частиц в бесконечно глубокой потенциальной яме конечной ширины, гармонический осциллятор, атом водорода и ещѐ пара – тройка других систем). В тоже время существует весьма обширный класс случаев, для которых задача о нахождении квантовых уровней рассматриваемой системы может быть приближенно сведена к задаче, относящейся к более простой системе. Для последней предполагается известным и возможные еѐ состояния и энергетический спектр. Такая возможность представляется тогда, когда оператор Гамильтона ̂ рассматриваемой системы мало отличается от оператора ̂ более простой системы. Полагаем, что оператор Гамильтона ̂ можно представить в виде суммы двух эрмитовых операторов. ̂ ̂ ̂ (1) где ̂ – оператор возмущения. Здесь предполагается, что собственные функции и собственные значения «невозмущѐнного» оператора ̂ известны, так что для них выполняется соотношение : ̂ (2) Считается также, что оба слагаемых в (1) не зависят от времени, а спектр в уравнении (2) является не вырожденным. Стационарное уравнение Шредингера для рассматриваемой системы имеет вид: ̂ (3) Для нахождения решений уравнения (3), целесообразно перейти в энергетическое представление и разложить функцию в ряд по собственным функциям { } оператор ̂ ∑ Учитывая, что совокупность функций { } образует полную ортонормированную систему, то такое разложение будет единственным. Подставляя разложение (4) в уравнение (3) и умножая полученное уравнение справа на с последующим его интегрированием, получим ∑ Чтобы явно выразить степень малости оператора ̂, положим ̂ (6) где - малый параметр, . Соответственно, матричный элемент оператора возмущения представится в виде: ∫ ̂ ̂ ∫ (7) Тогда уравнение (5) запишется следующим образом ∑ Данная система линейных однородных алгебраических уравнений является в общем случае бесконечной. Для нахождения коэффициентов и энергии E разложим их в ряды теории возмущений. с (9) (10) Подставляя разложения (9) и (10) в уравнение (8), находим с с ∑ Перегруппировав члены с одинаковыми степенями , преобразуем левую часть уравнения (11) так, чтобы она представляла ряд по возрастающим степеням . Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях нулю, получим систему уравнений. : ∑ ∑ ………………………………………………………………………………….. Решим первое уравнение системы (12), которое представляет нулевое приближение m=1,2,…k,… (13) Пусть нас интересует, как меняются уровень и собственная функция ̂ действием возмущения . Тогда соответственно, получим под (14) т.е. все =0, кроме =1. Полученные соотношения будем считать решением уравнения (8) в нулевом приближении. Теперь исследуем второе уравнение системы (12). Вначале рассмотрим для него случай m=k, тогда его решением будет (15) В случае m второе уравнение системы сведѐтся к следующему соотношению: (16) Откуда находим, что (17) Решая третье уравнение системы (12) можно определить второе приближение. В случае m третье уравнение сведется (18) Откуда получим ∑ Из найденного выражения следует, что поправка к энергии второго порядка к выражению энергии основного состояния всегда отрицательна. В случае m найдем ∑ Применимость выше приведѐнного метода теории возмущений можно оправдать только в том случае, если ряд последовательных приближений сходится. Необходимым условием сходимости этого ряда является малость каждой последующей поправки по сравнению с предыдущей. Откуда следует, , для любых m и k, m § 2 Теория возмущения при наличии вырождения. В квантовых системах в большинстве случаев в отсутствие возмущения имеет место вырождение. Предположим, что в невозмущенной системе собственному значению , принадлежит не одна, а сразу f собственных функций: .Здесь f - кратность вырождения. Мы знаем, что выбор этих функций неоднозначен: если вместо этой совокупности функций, взять другую совокупность f – независимых функций являющиеся линейными комбинациями первых f – функций ∑ то функции определяемые по формуле (21), будут также решениями стационарного уравнения Шредингера. , (22) принадлежащими собственному значению . Очевидно, такие совокупности функций можно подобрать столько угодно раз и без специального исследования невозможно выявить, какую из этих совокупностей нужно взять, чтобы получить правильное нулевое приближение. Для решения данной проблемы необходимо также представить функцию х в виде разложения. х ∑с Здесь уже вместо одного индекса суммирования (n) используется два (n, ). Проделывая те же вычисления, что и в предыдущем разделе, получим  с с n ,  m ,  (24) где ̂ ∫ (25) Задачу будем решать в первом приближении для энергетических уровней и в нулевом приближении для коэффициентов с .При этом будем искать квантовый уровень возмущенной системы близкий к . В нулевом приближении уравнение (24) примет вид с Если , то из (26) следует (26) . Однако при этом не одно , а все коэффициенты, соответствующие собственному значению , а именно для Таким образом, отлична от нуля целая группа коэффициентов (всего f штук). Откуда получаем = 1,2,…,f , ( (27) В этом приближении из уравнений (24) останутся только те, которые содержат не равные нулю коэффициенты . ∑ т.к. ограничиваемся приближением k-му уровню положив ∫ = 1,2, … f , то мы можем сократить индекс , ̂ (29) (30) Уравнение (29) представляет собой систему однородных алгебраических уравнений: оно имеет нетривиальное решение, только в том случае, если определитель этой системы, составленный из коэффициентов при неизвестных | , равен нулю, т.е. |=0 (31) Полученное уравнение представляет собой алгебраическое уравнение степени f относительно неизвестной . Его называют секулярным или вековым уравнением (впервые такое уравнение возникло в астрономии). Решая уравнение (31) можно получить f корней. (32) В силу малости матричных элементов эти корни будут близки между собой. Таким образом при наложении возмущений f – кратно вырожденный уровень распадается на f близко расположенных уровней: если часть корней (32) совпадает, то вырождение снимается частично. Отсутствие комплексных корней является следствием эрмитовости оператора возмущения ̂. Подставляя корни в систему (28), находим коэффициенты (где = 1,2, … f) , совокупность которых представляет волновую функцию х в энергетическом представлении. В координатном представлении полученное решение запишется в виде ∑ Таким образом, каждому уровню принадлежит теперь своя функция , которая и является функцией нулевого приближения для возмущѐнной системы, описываемой оператором ̂ .